精品解析：山东省日照市五莲县第二中学2025-2026学年上学期九年级12月学习成果展示数学试题

2025年12月九年级数学摸底诊断试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ） A. 极差是5 B. 众数是8 C. 中位数是9 D. 方差是2.8 4. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，，则∠E的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 5. 已知反比例函数的图象上有点，，，且，则关于，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，六边形是的内接正六边形，连接，，，若的面积为6，则正六边形的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 8. 如图，是的直径，为弦，是弧的中点，连接交于，若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 9. 若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，有下面五个结论： ①； ②； ③当 时，一定有随的增大而增大； ④若点的坐标为，则点的坐标为； ⑤若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为； 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①④⑤ D. ①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 12. 因式分解：______． 13. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 14. 在学校组织的实践活动中，小明同学用一个圆心角为120°，半径为2的扇形纸板制作了一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为______. 15. 如图，是等边三角形，是的外心，外接圆半径为，分别以，，为圆心，，，为半径作弧交的三边于点，，，，，，则阴影部分的面积为______． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是______． 三、解答题：本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 18. 中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献（分别记为A，B，C，D，E）．某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）随机抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图； （2）若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数； （3）该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率． 19. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是6． （1）求点A的坐标及m和k的值； （2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标； ②请结合图象，直接写出不等式的解集． （3）若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围． 21. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①填空：与之间的函数关系式是___________； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元? 22. 如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点B和点A，与y轴交于点C． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图2，点P是抛物线上一动点，连接，当P在上方时，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，设点P的横坐标为m，请用含m的式子表示点F的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，探索以A，F，B，G（点G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，直接写出这个四边形的面积；若变化，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月九年级数学摸底诊断试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合选项分别进行合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方以及完全平方公式的运算，选出正确答案． 【详解】A．与不是同类项，不能合并，该选项错误； B．，该选项错误； C．，该选项正确； D．，该选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方以及完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键． 3. 已知一组数据8，5，x，8，10的平均数是8，以下说法错误的是（ ） A. 极差是5 B. 众数是8 C. 中位数是9 D. 方差是2.8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数求出x的值，然后分别根据极差、众数、中位数以及方差的定义求解即可． 【详解】一组数据8，5，x，8，10的平均数是8， ， 解得， 这组数据为：5，8，8，9，10， 极差为10-5=5，故A选项正确，不符合题意； 众数是8，故B选项正确，不符合题意； 中位数是8，故C选项错误，符合题意； 方差=， D选项正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】此题考查了极差、众数、中位数以及方差的定义，熟练掌握并运用平均数、众数、中位数以及极差的概念是解题的关键． 4. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，，则∠E的度数是（ ） A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论、平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 5. 已知反比例函数的图象上有点，，，且，则关于，，大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，且每个象限内随着的增大而增大，结合即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，且每个象限内随着的增大而增大， ∵， ∴， 故选：D． 6. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，则，过点作于，延长交于点，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 如图，过点作于，延长交于点， ， ∴，， ∴，即， ∴，即小孔到的距离为， 故选：B． 7. 如图，六边形是的内接正六边形，连接，，，若的面积为6，则正六边形的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定，关键是由正六边形的性质证明． 连接，由正六边形的性质得到把圆六等分，推出，得到是等边三角形，由证明，得到的面积的面积，同理：的面积的面积，的面积的面积，因此的面积的面积的面积的面积，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵六边形是的内接正六边形， ∴把圆六等分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的面积的面积， 同理：的面积的面积，的面积的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， 故选：B． 8. 如图，是的直径，为弦，是弧的中点，连接交于，若，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，连接，，，交于点，由题意得出，证明出为等边三角形，解直角三角形得出的长，即可得出答案． 【详解】解：连接，，，交于点， ， ∵是弧的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，，， 故， 故选A． 9. 若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于的分式方程方程有整数解， ∴或或， 解得：或或或或或， ∵， ∴， ∵， ∴或或或， ∴满足条件的整数之和为， 故选：C． 10. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，有下面五个结论： ①； ②； ③当 时，一定有随的增大而增大； ④若点的坐标为，则点的坐标为； ⑤若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为； 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①④⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据对称轴的范围确定的范围；②根据顶点的纵坐标为，结合的取值范围，求出的取值范围，进行判断；③当对称轴在轴右侧时，，部分随的增大而减小；④根据之间的关系式，用含的式子表示两点坐标，进行判断即可；⑤根据抛物线过原点，得到，利用顶点纵坐标为，求出的值，进而求出顶点横坐标，进行判断即可． 【详解】解：①∵抛物线的顶点在线段上运动，轴，，， ∴，抛物线顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间， ∴，即：， ∴；故①正确； ②∵抛物线的顶点的纵坐标为， ∴，即：， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值：，当时，取得最小值： ∴；故②正确； ③∵抛物线开口向上，顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间， ∴当对称轴在轴右边，时，部分随的增大而减小，故③错误； ④由②知：， ∴抛物线， 当时，， 解得：， ∵点在点的左侧， ∴， ∴当点C的坐标为，则， ∴ 即：；故④正确； ⑤当抛物线经过原点时， ∴， ∴， ∴， ∴若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标为或；故⑤错误； 综上：正确的是①②④； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与二次函数解析式中系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．属于中考常考题型． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 解得． 故答案为： 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法因式分解是关键，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式的意义可以得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】根据题意得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式.一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 14. 在学校组织的实践活动中，小明同学用一个圆心角为120°，半径为2的扇形纸板制作了一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：依题意，， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形，是的外心，外接圆半径为，分别以，，为圆心，，，为半径作弧交的三边于点，，，，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外心的定义、等边三角形的性质、正多边形的中心角的定义、勾股定理、扇形的面积公式等知识，连接、、，则，由等边三角形的性质得，，则，延长交于点，则，所以，则，，所以，即可由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、，则， 是等边三角形， ，， ， 平分， 延长交于点，则， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】连接CE，如图所示， 根据折叠可知：A′E＝AE＝ AB＝1， 在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°， ∴CE＝＝， ∵CE＝，A′E＝1， ∴点A′在CE上时，A′C取最小值，最小值为CE﹣A′E＝﹣1， 故答案为：﹣1. 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等，连接CE是解决本题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解不等式组等知识，掌握相关运算法则是解题的关键： （1）根据绝对值的意义，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则等计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 中国古代有辉煌的数学成就：其中《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》，《五经算术》是我国古代数学的重要文献（分别记为A，B，C，D，E）．某中学为丰富学校数学文化，调查学生对这五部数学文献的了解情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果制作如下不完整的统计图． 根据以上信息解答下列问题： （1）随机抽取的学生人数为______人，并补全条形统计图； （2）若该校有900名学生，估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数； （3）该校决定从A、B、C、D四部文献中随机选两部作为假期学习课程，用列表法或画树状图法求恰好选中A和B的概率． 【答案】（1）60， 补全条形统计图如图所示： （2）459人 （3） 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得随机抽取的学生人数；求出类的人数，补全条形统计图即可． （2）根据用样本估计总体，用900乘以样本中类和类的人数所占的百分比之和，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中和的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：随机抽取的学生人数为（人． 故答案为：60． 类的人数为（人． 【小问2详解】 解：（人． 估计该校学生对《九章算术》和《孙子算经》了解的人数约495人． 【小问3详解】 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中和的结果有2种， 恰好选中和的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 19. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （2） 证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论； （2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作轴，垂足为B，连接．已知四边形是平行四边形，且其面积是6． （1）求点A的坐标及m和k的值； （2）①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标； ②请结合图象，直接写出不等式的解集． （3）若直线与四边形有交点时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标为，， （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据可得一次函数的图象过定点，进而可得，结合四边形的面积求出点C的坐标，代入一次函数和反比例函数解析式即可求出m和k的值； （2）①将一次函数与反比例函数解析式联立，可求另一个交点坐标；②利用图象求解； （3）当直线经过点C时，t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值，由此可解； 【小问1详解】 解：， 无论k取何值，当时，y的值恒为0， 一次函数的图象过定点， 点A的坐标为， ， 四边形是平行四边形，且其面积是6， ，， ， 点C的坐标为， 将代入，得：， 解得， 将代入，得：， 解得； 【小问2详解】 解：①由（1）得一次函数解析式为， 反比例函数解析式为：， 令 解得或， 点C的坐标为， 另一个交点的横坐标为6， 将代入，得， 另一个交点的坐标为； ② 由图可得，当或时，反比例函数的图象在一次函数的图象上方， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图所示，当直线经过点C时，t取最大值，当直线经过点A时，t取最小值， 将点代入，得， 解得； 将点代入，得， 解得， 若直线与四边形有交点时，t的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，涉及一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解集等，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 21. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同， 已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①填空：与之间的函数关系式是___________； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1）甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对； （2）①；②乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【解析】 【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【小问1详解】 解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为元/对，由题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对； 【小问2详解】 解：①， 答：y与x之间的函数解析式为：； ②∵， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴， ∴， ∵时，y随x的增大而增大， ∴当时，． ． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【点睛】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 22. 如图，内接于，为的直径，延长到点，连接．过点作，交于点，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵为的直径， ∴． ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，根据圆周角定理、切线的性质以及平行线的性质可得，进而说明，即可证明结论； （2）由勾股定理可得，即；再根据平行线等分线段定理可得，设，，根据线段的和差列方程求得k，进而求得，再运用勾股定理可得，最后证明四边形为平行四边形并根据其性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴． ∵，，， ∴， 设，， ∴，解得：， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、平行线分线段定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质以及平行线等分线段定理是解答本题的关键． 23. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点B和点A，与y轴交于点C． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图2，点P是抛物线上一动点，连接，当P在上方时，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，设点P的横坐标为m，请用含m的式子表示点F的坐标； （3）如图3，在（2）的条件下，探索以A，F，B，G（点G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，直接写出这个四边形的面积；若变化，说明理由． 【答案】（1）； （2）点F坐标为； （3）四边形面积不变，面积为16 【解析】 【分析】本题综合考查了一元二次函数和一次函数的图象和性质，几何图形面积的求解，熟练地掌握它们的图象和性质，解析式的求解，几何图形求面积的方法是解决问题的关键． （1）根据抛物线与x轴分别交于点B，与y轴交于点C，将、两点坐标代入解析式，即可求解． （2）设点P的横坐标为m，将横坐标m代入抛物线解析式，可用含m的式子表示纵坐标，根据第一问求出的抛物线解析式，可得到点坐标．设直线解析式为：，将点坐标代入可求得只含的直线解析式，又因为点P在直线上，代入直线解析式，可用含m的式子表示．点在抛物线的对称轴上，横坐标可知，纵坐标利用直线解析式可求出，由此可以得到用含m的式子表示点F的坐标． （3）由于，，所以要确定四边形的面积，只需求出，的长．求出点的坐标是关键，点G是点E关于x轴的对称点，所以需要先求出点E坐标．类似于第二问，可以用含m的式子表示点的坐标，利用两点间的距离公式求出，化简即可求解． 【小问1详解】 解： 点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设点P的横坐标为m，在抛物线上， 则， ， 点为抛物线与轴交点， 点坐标为， 直线过点，设直线解析式为：，则，解得， 直线解析式为， 又 在直线上，将代入， 则， 与为不同的点，故， ， 抛物线对称轴为直线，即点F的横坐标为， 点F在直线：上， ， 点F坐标为． 【小问3详解】 解：设直线解析式为：，点B， ，解得， 直线解析式为：， 在直线上，将代入， 即，解得（、为不同点，）， 点在抛物线对称轴直线上，即点的横坐标为， 点在直线：上， ， 点坐标为， 点G是点E关于x轴的对称点， 点坐标为． ， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $