江苏省扬州市2026-2027学年八年级数学上学期期中模拟练习试卷

江苏省扬州市2026-2027学年度八年级数学上学期 期中模拟练习试卷 (考试时间：120分钟，满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~3章。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列交通标志图案是轴对称图形的是() 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《倜髀算经》中，下列各组 数中，是“勾股数”的是() A.1,1,2 B.1,√3,2 C.3,4,5 D.0.5,1.2,1.3 3.如图，己知△ABC兰△DEF,∠A=46°，∠B=93°，则∠DFE的度数为() B E A.31° B.35° C.41° D.469 第1页，共8页 4.如图，0A1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=1,∠0A1A2=∠0A2A3=∠0A3A4=∠0A4A5=90°，则 OAs的长是() A A.V3 B.2 c.5 D.√6 5.在2m, ,-√⑧，-27,3.14,3.868668666（相邻两个8之间6的个数逐次加1）中，无理数的数 是()个 A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，△ABC中，AB=AC,∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,则∠BDC的度数为 () D A.72° B.36° C.60° D.82° 7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,S△ABC=10,DE=2,AB=6,则AC的长是() E B A.3 B.4 C.6 D.5 8.如图，Rta ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,BD平分∠ABC,如果M、N分别为BD、BC 上的动点，那么CM+MN的最小值是() D M B 第2页，共8页 A.2.4 B.3 C.4 D.4.8 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，共30分。 9.-64=· 10.等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角的度数为°. 11.如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为9.8km,则M、C两 点间的距离为 km. B 12.若一个正数的两个平方根是2a-5和a-7,则这个正数是一 13.如图，数轴上的点A、B对应的实数分别是1、3，线段AB1BC于点B,且BC长为1个单位长度.若以点 A位圆心，AC长为半径的弧交数轴于3和4之间的点P,则点P表示的实数是一· LA⊥B 0123P4 14.如图，在四边形ABCD中，对角线AC1BD,若AB=3,BC=2,CD=1,则AD=· D 15.如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的勾股弦图》， 它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别 为a,b,且a2+b2=ab+10,那么小正方形的面积为_ 第3页，共8页 16.如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1,P2,连接P1P2交0A于M,交 0B于N,P1P2=15,则△PMN的周长为· R 17.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边 BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E,则AE的长是· B. A E 18.己知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边向外侧作正方形ABDE、ACFG、 BCHI,连接CE,如果正方形ABDE的面积为36，正方形BCHI的面积为25，则△ACE的面积为· H G D 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题8分)计算： (1)V4+(W3)2+⑧： (2)-32+(m-1)°+√(-5)2 第4页，共8页 20.(本小题8分)求下列各式中的x. (1)4x2-16=0 (2)27(x-3)3=-64. 21.(本小题8分) 某数学兴趣小组用数学知识测一池塘两端之间的长度，他们所绘示意图如图所示，点B、F、C、E(其中点 F、C为池塘的两端，之间的长度不能直接测量)在直线l上，点A,D在的异侧，且LA=∠D, AB//DE,测得AB=DE. (1)求证：△ABC兰△DEF; (2)若BE=100m,BF=30m,求池塘两端F、C之间的长度. 22.(本小题8分) 如图，在四边形ABCD中，LA=90°，AD/BC,BC=BD,CE 1 BD,垂足为E. (1)求证：△ABD≌△ECB; (2)若AD=4,DE=1,求CE的长. D E B 第5页，共8页 23.(本小题8分) 【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根士√a,我们把正数a的正的平方根√a,叫做a的算术平方 根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即V0=0. (1)【发现结论】由上述材料可知，代数式va表示a的算术平方根，a的取值范围是 (2)【运用结论】若x、y都是实数，且y=√x-3+V3-x+2,求(x-y)2024的值. (3)【拓展提升】若12023-a+Va-2024=a,求a-20232的值. 24.(本小题8分) 如图，在△ABC中，AB=AC,E是AC上的一点，CE=5,BC=13,BE=12. (1)判断△ABE的形状，并说明理由. (2)求线段AB的长， 25.(本小题8分) 如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,过点B作BE⊥AD,交AD延长线于点 E,F为AB的中点，连接CF,交AD于点G,连接BG. (1)求证：△BEG是等腰直角三角形： D G (2)线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由. 第6页，共8页 26.(本小题12分) 如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE L BC交LBAC的平分线于点E,EF⊥AB交AB于点F,EG L AC交AC 的延长线于点G (1)连接BE、CE,求证：BF=CG: (2)若AB=10,AC=6,求AF的长： (3)在(2)的条件下，△ABC中连接AD,直接写出AD的取值范围； (4在(2)的条件下，若AE与BC相交于H,当BC=12时，直接写出BH的值. B B G ◇G 备用图 27.(本小题14分) 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形ABED和四边形 CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a,b,c之间的一个重要结论： a2+b2=c2. B D B G b a B 图1 图2 图3 (1)请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：RtA ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c. 求证：a2+b2=c2, 第7页，共8页 证明：由图可知SE方ABED=4S△ABc十SE方欣rGH SE方形ABED=C2,S.ABc=—, 正方形CFGH边长为一， c2=4×3ab+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2, 即a2+b2=c2. (2)【深入思考】 如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,以AB为直角边在AB的右侧作等腰直角 △ABD,其中AB=BD,∠ABD=90°，过点D作DE1CB,垂足为点E 求证：DE=a,BE=b; (3)请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2: (④)【实际应用】将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的 “数学风车”，若a=12,b=9,“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图 案的面积. 28.(本小题14分) 如图，△ABC为等边三角形，在△ABC的外侧作射线AP,∠BAP=(0°<《<90)，点B关于射线AP的对 称点为点D,连接AD,CD,则CD交直线AP于点E. B 备用图 (1)依题意补全图形：当a=20°，LADC=一°； (2)当0°<<60时，求LAEC的度数： (3)当0°<a<60时，探究AE,BE,CD之间的数量关系，并说明理由： (4若△DBC为等腰三角形，直接写出的度数_ 第8页，共8页 江苏省扬州市2026-2027学年度八年级数学上学期 期中模拟练习试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列交通标志图案是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中，下列各组数中，是“勾股数”的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图，已知，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.在，，，，，相邻两个之间的个数逐次加中，无理数的数是个 A. B. C. D. 6.如图，中，，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 8.如图，中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，共30分。 9.      ． 10.等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为           11.如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为          ． 12.若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是      ． 13.如图，数轴上的点、对应的实数分别是、，线段于点，且长为个单位长度若以点位圆心，长为半径的弧交数轴于和之间的点，则点表示的实数是      ． 14.如图，在四边形中，对角线，若，，，则        ． 15.如图，年月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的勾股弦图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为，，且，那么小正方形的面积为      ． 16.如图所示，点为内一点，分别作出点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为      ． 17.如图，三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是        ． 18.已知：如图，在中，，分别以、、为边向外侧作正方形、、，连接，如果正方形的面积为，正方形的面积为，则的面积为          ． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分计算： ； ． 20.本小题分求下列各式中的． ． 21.本小题分 某数学兴趣小组用数学知识测一池塘两端之间的长度，他们所绘示意图如图所示，点、、、其中点、为池塘的两端，之间的长度不能直接测量在直线上，点，在的异侧，且 ， ，测得 ． 求证： ； 若 ， ，求池塘两端、之间的长度． 22.本小题分 如图，在四边形中，，，，，垂足为． 求证：≌； 若，，求的长． 23.本小题分 【教材呈现】我们知道，正数有两个平方根，我们把正数的正的平方根，叫做的算术平方根，的平方根也叫做的算术平方根，即． 【发现结论】由上述材料可知，代数式表示的算术平方根，的取值范围是          ． 【运用结论】若、都是实数，且，求的值． 【拓展提升】若，求的值． 24.本小题分 如图，在中，，是上的一点，，，． 判断的形状，并说明理由． 求线段的长． 25.本小题分 如图，中，，平分交于点，过点作，交延长线于点，为的中点，连接，交于点，连接． 求证：是等腰直角三角形； 线段与线段有何数量关系？并说明理由． 26.本小题12分 如图，在中，为的中点，交的平分线于点，交于点，交的延长线于点． 连接，求证：； 若，，求的长； 在的条件下，中连接，直接写出的取值范围； 在的条件下，若与相交于，当时，直接写出的值． 27.本小题分 【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：． 请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，． 求证：． 证明：由图可知， ，           ， 正方形边长为          ， ， 即． 【深入思考】 如图，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点 求证：，； 请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】将图中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓图中实线部分的总长度为，求这个风车图案的面积． 28.本小题14分 如图，为等边三角形，在的外侧作射线，，点关于射线的对称点为点，连接，则交直线于点． 依题意补全图形；当，           ； 当时，求的度数； 当时，探究之间的数量关系，并说明理由； 若为等腰三角形，直接写出的度数          ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $答案与解析 1.【答案】B 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、图形是轴对称图形，故此选项符合题意： C、图形不是轴对称图形，故此选项不合题意： D、图形不是轴对称图形，故此选项不合题意. 故选：B 2.【答案】C 【解析】本题主要考查了勾股数， 根据定义逐项判断即可，满足a+b=c的三个正整数，即为勾股数. 【详解】因为1+1≠2，所以这三个数不是勾股数，则A不符合题意： 因为V3不是正整数，所以B不符合题意： 因为3+4=52，且都是正整数，所以C符合题意： 因为0.5,1.2,1.3不是正整数，所以D不符合题意. 故选：C. 3.【答案】C 【解析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，先根据全等三角形的性质得到 ∠D=∠A=46“,∠E=∠B=93°，然后利用三角形的内角和定理即可求出∠DFE的度数. 【详解】.△ABC≌△就. ∴.∠D=∠A=46,∠E=∠B=93, ∴.∠DFE=180°-∠D-∠E=180°-46°-93°=41， 故选C. 4.【答案】C 【解析】根据勾股定理计算即可. 【详解】解：由勾股定理得，0A2=VOA+A1A2=2 0A,=√0A22+A2A3=V3: 0A4=VOA32+A3A42=V4=2 第1页，共1页 OAs=VOA 2+AA 2=V5 故选C. 5.【答案】B 【解析】解： 之是分数，属于有理数；-27三3，是整数，属于有理数：314是有限小数，屈于有理 数 所以无理数有2π，-√8,3.868668666.…相邻两个8之间6的个数逐次加1)共3个. 故选：B 6.【答案】A 解：，AB=AC,∠A=36°， ∠ABC=∠C=180,∠A=180°36°=72， 2 :DE垂直平分AB ∴.∠A=∠ABD=36' ∴.∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72 故选A. 7.【答案】B 【解析】解：过点D作DF⊥AC于点F,如图， E :AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB, 第2页，共1页 .DE=DF, .SAABC=10,DE=2,AB=6, .SAABC=S△ABD+S△ACD 6x2+×ncx2-i0, 2 解得AC=4, 故选：B 8.【答案】D 解：过点C作CE⊥AB于E,交BD于点M,过点M作MN⊥BC于点N, ,BD平分∠ABC, ∴.ME=MN, .∴.CM+MN=CM+ME=CE, .Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,CE⊥AB, 5.wABCE-AG-C, ∴.10CE=6×8, ∴.CE=4.8,即CM+MN的最小值是4.8 故选D N M B E 9.【答案】-4 第3页，共1页 解：(-4=-64 .3-64=-4 故答案为-4. 10.【答案】40 解：因为等腰三角形的两个底角相等， 所以其顶角为180°-70°×2=40°. 故答案为：40 11.【答案】4.9 【解析】解：由题意可知△ACB是直角三角形， :M是AB的中点， ..CM=IAB, 'AB=9.8 km CM=×9.8=49(km 故答案为：4.9 12.【答案】9 【解析】解：根据题意得2a-5+a-7=0, 解得a=4, :这个正数是(a-7P=(4-7P=9 故答案为：9 13.【答案】V5+1 【解析】解：由题知， AC=V1+22=5 第4页，共1页 所以AB=AC=V5, 则点P到原点的距离为V5+1, 所以点P表示的数为V5+1. 故答案为：V5+1. 14.【答案】V6 【解析】解：如图， B 在Rt△BOC、Rt△BOA、Rt△COD、Rt△AOD中，由勾股定理得， BC2-OC2=OB2=AB-OA2, CD2-0C2=0D=AD2-0A2, 即22-0C2=0B2=32-0A2, 1-0C2=0D2=AD2-0A2, .0D2+0A2=6, 即AD=6, .AD=√6（负值舍去）， 故答案为：√6 15.【答案】2 第5页，共1页 【解析】解：设大正方形的边长为C, .大正方形的面积是18 .c2=181 a2+b2=c2=18 .a2+b2=ab+10 .∴.ab+10=18' ∴.ab=8' :小正方形的面积=(b-a2=a2+62-2ab=18-2×8=2 故答案为：2. 16.【答案】15 解：，'P点关于OA的对称点是P1,P点关于OB的对称点是P2, ∴.PM=P1M'PN=P2N. △PMN的周长为PM+PN+MN=MN+P,M+P,N=P,P,=15 故答案为15 17【容】号 【解析】解：根据折叠，可知AB=AD,ED=EC, ∴.∠ADB=∠B'∠EDC=∠C' .∠BAC=90o' 第6页，共1页 .∴.∠B+∠C=90' .∴.∠ADB+∠EDC=90' ∴.∠ADE=90° 设AE=X, .AB=2'AC=3 ∴.AD=2'CE=3-x' ..ED=3-x 在Rt△ADE中，根据勾股定理，得2+(3-X}=X2, 解得x= 6 ·AE=13 3 故答案为：6 8【陪美1号 第7页，共1页 解：如图，作EH⊥CA交CA的延长线于H. H G B H. .∠ACB=90°， ..AC2+BC2=A B2, ∴.AC2=36-25=11, ,∠BAE=∠ACB=∠H=90°， .∴.∠CAB+∠HAE=90°，∠HAE+∠AEH=90°， .∴.∠CAB=∠AEH, .AB=AE, .△ACB≌△EHA(AAS), ∴.EH=AC, 5 AGEH-AG2-号 3N 第8页，共1页 19.【答案】【小题1】 解：√4+(3+8 =2+3+2 =7 【小题2】 解：-32+π-1°+V-57 =-9+1+5 =-3 20.【答案】【小题1】 解：4x2-16=0 4x2=16 x2=4, ∴.X=±2 【小题2】 27x-33=-64 (x-33=-64 27 x-3=27 31 …xs5 31 21.【答案】【小题1】 证明：，AB/DE, ∴.∠ABC=∠g就， 在△ABC与△g乙中， ∠ABC=∠g乙AB=DE ∠A=∠D 第9页，共1页 ∴.△ABC≌△g|ASA): 【小题2】 解：.'△ABC≌△C, ∴.BC=EF .∴.BF+FC=EC+FC, ∴.BF=EC, .'BE=100m,BF=30m .∴.FC=100-30-30=40m 池塘两端F、C之间的长度是40m. 22.【答案】(1)证明：.AD//BC, .∠ADB=∠EBC' .CE⊥BD'∠A=90' ∴.∠A=∠BEC=90 在△ABD和△ECB中， ∠A=∠BEC ADB=∠EBC, BD=CB △ABD≌△ECB(AAS)F (2解：由(1)可知，△ABD2△ECB .∴.AD=BE=4 .DE=11 第10页，共1页 .∴.BC=BD=BE+DE=5' 在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE=VBC2-BE=V5-4=3 即CE的长为3 23.【答案】【小题1】 a≥0 【小题2】 .y=Vx-3+V3-x+2, .X-3≥0,3-x≥0 解得：x=3, ∴y=2, .x-y2024=3-22024=12024=1 【小题3】 .|2023-a+√a-2024=a, .∴.a-2024≥0， 解得：a≥2024， ∴.a-2023+Va-2024=a, .∴.Va-2024=2023, ∴.a-2024=20232, .a-20232=2024: 24.【答案】【小题1】 解：△BCE是直角三角形；理由如下： .CE=5,BE=12,BC=13, ∴.CE2+BE2=25+144=169,BC2=169, ∴.CE2+BE=BC2, .△BCE是直角三角形： 【小题2】 解：设AE=x,则AC=x+5, 第11页，共1页 ∴.AB=AC=x+5, .∠BEC=90°， ∴.∠AEB=90°， AB=AE+BE(x+5P=x+12 解得：X=119 10 4C=19+5=169 10 10, 即AB=169 10 25.【答案】【小题1】 解：△BEG是等腰直角三角形，理由如下： .△ABC中，AC=BC,∠ACB=90, .∠CAB=∠CBA=45°， .AD平分∠BAC, 1 ∴.∠GAB=5∠CAB=22.5°， F为AB的中点， ∴.AF=BF, .∴.CF⊥AB, ∴.AG=BG, .∠GAB=∠GBA=22.5, ∴.∠EGB=∠GAB+∠GBA=45°， .BE⊥AD, ∴.∠BEG=90, .∴.∠EBG=90°-∠EGB=45, ∴.EG=EB, ,∴.△BEG是等腰直角三角形， 【小题2】 解：图，BE=方AD,理由下： 延长BE、AC交于点H, 第12页，共1页 H C D E G .BE⊥AD, ∴.∠AEB=∠AEH=90, .AD平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠HAE, 在△BAE和△HAE中， ∠AEB=∠AEH AE=AE, ∠BAE=∠HAE .△BAE≌△HAE ASA, BE=证H, :∠ACB=90, ∴.∠BCH=180°-∠ACB=90°=∠ACD, ∴.∠CBH=90°-∠H=∠CAD, 在△BCH和△ACD中， ∠BCH=∠ACD BC=AC ∠CBH=∠CAD .△BCH≌△ACD|ASA, ∴.BH=AD, E=号AD, 26.【答案】【小题1】 证明：如图1， 第13页，共1页 图1 .ED⊥BC,D为BC的中点， ∴BE=EC .EF⊥AB,EG⊥AC,AE是∠BAC的角平分线， ∴.EF=EG,∠EFB=∠EGC=90, 在Rt△BEF和Rt△CEG中， BE=EC EF=EG .∴.Rt△BEF≌Rt△CEG HL, ∴.BF=CG: 【小题2】 解：EF⊥AB,EG⊥AC, ∴.∠AFE=∠AGE=90°， 在Rt△AFE和Rt△AGE中， AE-AE EF=EG ∴.Rt△AFE≌Rt△AGE HL, .∴.AF=AG, BF=CG, ∴.AF+AG=AB+AC, .AF=AG, :AF=号xAF+AG=号×AB+ACl=号x10+6=8; 【小题3】 解：如图2，延长AD到P,使AD=DP,连接BP, 第14页，共1页 10 D 图2 BD=CD,∠ADC=∠PDB, ∴.△ADC≌△PDB SAS, ∴.BP=AC=6,AD=PD, ∴.10-6<AP<10+6,即4<2AD<16, ∴.2<AD<8: 【小题4】 解：如图3，过点A作AM⊥BC于M,设CM=x,则BM=12-x, G F B∠ E 图3 由勾股定理得：AM2=AC-CM2=AB-BM2, .62-x2=102-12-x2, :x=10 .CM=10 过点H作HG⊥AB于G,作HQ⊥AC于Q, .'AH平分∠BAC, ∴.HG=HQ, 第15页，共1页 4x12=*10c6HG. 2 ∴.HG=V14, xB1x4-×10×4. 32 “朋=只 27.【答案】【小题1】 b a-b 【小题2】 证明：DE⊥BC, ∴.∠DBE+∠BDE=90, ,∠ABD=90, ∴.∠ABC+∠DBE=90, ∴，∠ABC=∠BDE, 在△ABC和△BDE中， ∠ABC=∠BDE ∠C=∠BED=90°， AB=BD .∴△ABC≌△BDE AAS. ∴.BC=DE=a,AC=BE=b: 【小题3】 证明：由题意，第一种方法： SAnG+SAABD+S Dabtc-ab 2 2 第二种方法： 第16页，共1页 S#赢AC+DECB+BE a+bia +b! 2a+b, …2a*b7-ab+, ∴.a2+2ab+b2=2ab+c2, .a24b2=c2 【小题4】 由题意，如图， B C ,:“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108， ∴.AD+BD=108÷4=27, 设AD=x,则BD=27-X, 在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2 ∴.a2+b+x2=27-x2 将a=12,b=9代入可得， 19+x2+144=27-x2 ∴.X=7 .小正方形的边长等于a-b=12-9=3, CD=AD+b=7+9=16' 第17页，共1顶 风车的面积为： 2Bc×CDx4+3×3= ×12×16×4+3×3=393. 28.【答案】【小题1】 40 解：如图， D .·△ABC为等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=60°， 根据轴对称可知：AD=AB,∠DAP=∠BAP=20°， ∴.∠DAC=∠DAP+∠BAP+∠BAC=100°，AD=AC, ∠ADC=∠ACD=180-100=40' 【小题2】 解：由对称可知，∠BAE=∠DAE=Q, ∴.∠DAC=60°+2a, AD=AB=AC, 2ADC=180-60+2al-60'-ax 2 ∴.∠AEC=∠ADC+∠DAE=60°-a+a=60; 【小题3】 解：CD=AE+2BE,证明如下： 在CD上截取BG=BE,如图： ,:△ABC是等边三角形， C .∴.AC=AB,∠BAC=60°， 第18页，共1页 由对称可知：BE=DE,AB=AD,∠PAB=∠PAD, ∴.AC=AD ∴.∠ACD=∠D, .∠BAP=a, .∴.∠PAD=a, .∴.∠CAD=∠BAC+∠PAB+∠PAD=60°+2a, ∠ADC=180·-∠CAD=60·-a, .∠AEC=∠D+∠DAP=60°-a+a=60, ∴.∠BCG=60°-∠ACD,∠DAE=60·-∠D, .'∠ACD=∠D, ∴.∠BCG=∠DAE, 由对称可知：∠PEB=∠PED,DE=BE, .∠PED=∠AEC=60°， .∠PEB=∠PED=60, ∴.∠BEG=180°-60°-60°=60， 'BG=BE, .△BGE是等边三角形， ∴.∠BGE=60°，BG=EG=BE=DE, ∴.∠BGC=120°， .∠AED=180°-∠AEC=120°， ∴.∠AED=BGC, 在△BCG和△DAE中， ∠BCG=∠DAE ∠BGC=∠AED, BC=AD ∴.△BCG≌△DAE AAS, .AE=CG, EG=BE=DE, ∴.CD=AE+2BE; 【小题4】 第19页，共1页 30或75 解：分以下三种情况： ①当BD=CD时，延长DA交BC于点E,如图所示： P AC=AB,BD=CD, B E ∴.AD垂直平分BC,即AE垂直平分BC, ,'△ABC为等边三角形， ·∠BAE=∠CAE=克<BAC=30 ∴.∠DAB=180°-30°=150， 根据轴对称可知：a=∠PAD=∠PAB=号∠DAB=75'; ②当BC=BD时，如图： B 根据轴对称可知：AB=AD, ∴.AB=AD=BC=BD, `.△ABD是等边三角形， .∠BAD=60°， =2×60=30 ③当BC=CD时，如图： D CD=BC,AD=AB, 第20页，共1页 ∴.AC垂直平分BD, 根据轴对称可知，AP垂直平分BD ∴C,A,P三点在同一条直线上， ∠PAB=Q=180·-∠BAC=120不合题意，舍去， 综上所述，当△DBC是等腰三角形时，a的值为30或75°. 故答案为：30或75. 第21页，共1项