2026-2027学年浙教版七年级数学上册期中专题复习：数轴折叠问题

2026-2027年浙教版七年级第一学期期中专题复习：数轴折叠问题 【知识导图】 【知识梳理】 一、基础概念与三要素 定义‌：规定了原点、正方向、单位长度的直线，用于表示实数。 三要素‌： 原点：对应实数0，是正负数的分界点 正方向：通常向右为正，向左为负 单位长度：同一数轴上长度统一，相邻整数间距相等 画法步骤‌：画水平直线→标记原点→标注正方向箭头→均匀划分单位长度 二、核心性质与对应关系 点与数的对应‌：所有有理数都能用数轴上的点表示，但数轴上的点还能表示无理数（如π），与全体实数一一对应。 大小比较规则‌：数轴上右边的数总比左边的数大；正数>0>负数，正数大于所有负数。 几何关联概念‌： 相反数：除0外，互为相反数的两点在原点两侧，到原点距离相等 绝对值：数a的绝对值|a|，是该点到原点的距离 两点距离公式：数轴上a、b两点的距离=|a-b| 三、初一常考6大题型 数轴三要素辨析：判断图形是否为数轴，找出画法错误的选项 有理数标数与读数：在数轴上标注指定数，读出图中点对应的数值 有理数大小排序：将多个数在数轴上标出，按从左到右顺序排列 两点距离计算：已知两点数值求距离，或已知距离反推点对应的数 绝对值化简：根据数轴上点的位置，判断代数式正负，完成绝对值化简 动点问题：结合速度、时间，用含t的代数式表示动点位置，列方程求解相遇、距离相等类问题。 【一阶练习】 1.小浙有一条1米长的皮尺（刻度从0到100），他先在上面标记了一个点A，再沿过点A的直线l折叠皮尺，然后在重叠部分某处剪一刀得到更短的三段皮尺。若这三段的长度之比为1:1:2，则标记的点A对应的刻度可能是（ ） A．31.5 B．33 C．37.5 D．39 2.如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4 3.已知点、在数轴上对应的数为和，点对应的数为．点关于点的对称点为，点为线段的中点，当时，的值为（ ） A. 或11 B. 或29 C. 29 D. 11 【二阶练习】 1.一条数轴上有点A、B、C，点C在A，B之间，其中点A、B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离）时，C点表示的数是__________． 2.如图1，是一段的纸片，将沿着点折叠（图），再在、之间剪一刀得到三条线段，展开后，①、②、③三条纸片的长度比为，则折痕距离点的距离是_________． 3.如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为______． 4.如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是，9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，则C点表示的数是__________． 5.如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为　 　 ． 6.如图，有公共端点P的两条线段PM，PN组成一条折线M﹣P﹣N．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝4，CE＝6，则线段BC的长是 　 　 ． 7.如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“启仔等分线”．如图2，∠MPN＝80°，若射线PE绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，当∠EPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（秒）．当t＝ 　 　 时，射线PN是∠EPM的“启仔等分线”． 8.将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则的值为______． 9.如图，在数轴上剪下一条11个单位长度（从－2到9）的线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 10.如图1，一张长为，宽为的长方形纸片，分成三个小长方形，，，已知，．将纸片自左至右沿折叠，如图2，再从图（2）的处一起剪开，把原纸片分成三个长方形，则其中最大长方形周长为______．（用含，的代数式表示） 【三阶练习】 1.数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系． （1）操作一：折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与表示　 　 的点重合； （2）操作二：折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数表示　 　 的点重合； （3）操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若得到的这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？ 2.如图，数轴上有A，B两点，点A对应的数为﹣30，点B对应的数为90． （1）请求出A，B两点之间的距离，并写出与A，B两点距离相等的点P所对应的数． （2）折叠数轴，若使表示﹣30的点A与表示90的点B重合，则： ①表示50的点与表示　 　 的点重合． ②若数轴上P，Q两点之间的距离为2025（点P在点Q的左侧），且P，Q两点经折叠后重合，则点P，Q各表示什么数？ （3）现有一只电子蚂蚁从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动，当经过多少秒时两只蚂蚁到点A的距离相等？ 3.如图，以数轴上的点为折点，将数轴向右对折，数轴上点与点完全重合，记点与点关于点对称． （1）当点与点表示的数分别为和2，且满足点与点关于点对称时，则点表示的数为　 　； （2）当点与点表示的数分别为和4时，将线段进行对折，使点和点完全重合，这样将线段连续对折3次后，再将其展开，则最左端的折点表示的数为　　，最右端的折点表示的数为　　； （3）当点与点表示的数分别为和15，且满足到的距离等于到的距离的4倍（即，点与点关于点对称时，求点所表示的数．可省略“”简写为 4.如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． （1）动点P从点A运动至点C需要多少时间？ （2）动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； （3）动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 5.【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． （1）【尝试应用】 ①数轴上表示和3的两点之间的距离是______（写出最后结果）； ②若，则______； （2）【动手探究】 伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示1的点重合． ①表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为8（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则表示的数是______，表示的数是______； ③若点表示的数为，点表示的数为（在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是______； （3）【拓展延伸】 当时，的最小值是_____． 6. 如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足．     （1）_________，_________； （2）求图1中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？ （3）若刻度尺右端M的刻度为“厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米？并说明理由． 7.已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（）． （1）用含t的代数式表示的度数． （2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 8.如图，数轴上有A，B两点，点A对应的数为﹣30，点B对应的数为90． （1）请求出A，B两点之间的距离，并写出与A，B两点距离相等的点P所对应的数． （2）折叠数轴，若使表示﹣30的点A与表示90的点B重合，则： ①表示50的点与表示　 　 的点重合． ②若数轴上P，Q两点之间的距离为2025（点P在点Q的左侧），且P，Q两点经折叠后重合，则点P，Q各表示什么数？ （3）现有一只电子蚂蚁从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动，当经过多少秒时两只蚂蚁到点A的距离相等？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版七年级第一学期期中专题复习：数轴折叠问题 【知识导图】 【知识梳理】 一、基础概念与三要素 定义‌：规定了原点、正方向、单位长度的直线，用于表示实数。 三要素‌： 原点：对应实数0，是正负数的分界点 正方向：通常向右为正，向左为负 单位长度：同一数轴上长度统一，相邻整数间距相等 画法步骤‌：画水平直线→标记原点→标注正方向箭头→均匀划分单位长度 二、核心性质与对应关系 点与数的对应‌：所有有理数都能用数轴上的点表示，但数轴上的点还能表示无理数（如π），与全体实数一一对应。 大小比较规则‌：数轴上右边的数总比左边的数大；正数>0>负数，正数大于所有负数。 几何关联概念‌： 相反数：除0外，互为相反数的两点在原点两侧，到原点距离相等 绝对值：数a的绝对值|a|，是该点到原点的距离 两点距离公式：数轴上a、b两点的距离=|a-b| 三、初一常考6大题型 数轴三要素辨析：判断图形是否为数轴，找出画法错误的选项 有理数标数与读数：在数轴上标注指定数，读出图中点对应的数值 有理数大小排序：将多个数在数轴上标出，按从左到右顺序排列 两点距离计算：已知两点数值求距离，或已知距离反推点对应的数 绝对值化简：根据数轴上点的位置，判断代数式正负，完成绝对值化简 动点问题：结合速度、时间，用含t的代数式表示动点位置，列方程求解相遇、距离相等类问题。 【一阶练习】 1.小浙有一条1米长的皮尺（刻度从0到100），他先在上面标记了一个点A，再沿过点A的直线l折叠皮尺，然后在重叠部分某处剪一刀得到更短的三段皮尺。若这三段的长度之比为1:1:2，则标记的点A对应的刻度可能是（ ） A．31.5 B．33 C．37.5 D．39 【答案】C 2.如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣14，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣5 D．1或﹣4 【分析】先根据两点间的距离公式求出点A对应点所表示的数，再利用中点公式求出C表示的数． 【解答】解：10+6＝16，10﹣6＝4， 当A落在16对应的点时，C表示的数为：（16﹣14）＝1， 当A落在4对应的点时，C表示的数为：（4﹣14）＝﹣5， 故选：C． 3.已知点、在数轴上对应的数为和，点对应的数为．点关于点的对称点为，点为线段的中点，当时，的值为（ ） A. 或11 B. 或29 C. 29 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数轴的性质，利用数形相结合是解题的关键．理解题意，根据题中所给条件分别求出相应的对应点，结合线段的和差即可得解． 【详解】解：∵点、在数轴上对应的数为和，点关于点的对称点为， ∴点表示的数为，， ∵， ∴， 如图，当在的右侧时，表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴， 如图，当在的左侧时，表示的数为， ∵点为线段的中点， ∴， ∴的值为或， 故选：B． 【二阶练习】 1.一条数轴上有点A、B、C，点C在A，B之间，其中点A、B表示的数分别是，8，现以点C为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离）时，C点表示的数是__________． 【答案】．0或 2.如图1，是一段的纸片，将沿着点折叠（图），再在、之间剪一刀得到三条线段，展开后，①、②、③三条纸片的长度比为，则折痕距离点的距离是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了按比例分配，有理数的混合运算的应用；由线段总长度及三条线段的长度之比，可得三条线段的长度，即可求解． 【详解】解：线段是，①、②、③三条纸片的长度比为， 这三条线段的长度分别为，，， ∴折痕距离点的距离是 故答案为：． 3.如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，那么刻度尺上“”对应数轴上的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了数轴上表示数，数轴上两点间的距离，利用数轴上两点间的距离的表示方法列式计算即可，正确理解数轴的特点是解题的关键． 【详解】解：∵刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和， ∴刻度尺上“”对应数轴上的数为， 故答案为：． 4.如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是，9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且，则C点表示的数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离，用数轴上的点表示有理数，先求出点表示的数，再根据对称性，求出点表示的数即可． 【详解】解：∵，点表示的数为9， ∴点表示的数为：， ∵以点C为折点，将数轴向右对折，点A的对应点为点， ∴点表示的数为：； 故答案为：． 5.如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为　0　 ． 【专题】实数；运算能力． 【分析】先求出AC＝6，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，然后根据数轴的性质再列出运算式子，即可求解． 【解答】解：点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣2，b，4， 由题意得：AC＝4﹣（﹣2）＝6， ∵数字0对齐数轴上的点A，点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm， ∴AC＝5.4cm，AB＝1.8cm， ∴， 解得b＝0， 故答案为：0． 6.如图，有公共端点P的两条线段PM，PN组成一条折线M﹣P﹣N．若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝4，CE＝6，则线段BC的长是 　20或4　 ． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【分析】分点D在线段BC上，点D在线段AC上，两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：分点D在线段BC上，点D在线段AC上，两种情况进行讨论求解去、如下： 当点D在线段BC上时， ∵AC＝2CE＝12，AC+CD＝BD， ∴BD＝12+4＝16， ∴BC＝CD+BD＝20； 当点D在线段AC上时， 则AC＝2CE＝12，AD＝BC+CD， ∵AD＝AC﹣CD＝8， ∴BC+CD＝8， ∴BC＝8﹣4＝4； 故答案为：20或4． 7.如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“启仔等分线”．如图2，∠MPN＝80°，若射线PE绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，当∠EPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（秒）．当t＝ 　秒或5秒　 时，射线PN是∠EPM的“启仔等分线”． 【专题】新定义；线段、角、相交线与平行线；几何直观；创新意识． 【分析】根据旋转的过程，依次设定∠MPE＝3∠EPN，∠MPN＝3∠EPN，∠MPE＝3∠MPN，∠NPE＝3∠MPN四种情况进行分析． 【解答】解：由题意，可分四种情况： （1）当∠MPE＝3∠EPN时，∠EPN＝80°÷2＝40°，所以t＝ 40°÷8°＝5秒； （2）当∠MPN＝3∠EPN时，∠EPN＝80°÷3°，所以t＝ °÷8°秒； （3）当∠MPE＝3∠MPN时，∠EPN＝80°×2＝160°，所以t＝ 160°÷8°＝20秒，此时∠MPE＝80°+160°＝240°，不符合提议； （4）当∠NPE＝3∠MPN时，∠EPN＝80°×3＝240°，不符合条件“当∠EPN首次等于180°时停止旋转”，舍去． 故答案为：5秒或秒． 8.将一把刻度尺按如图所示的方式放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的数“”和“”，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，实数和数轴，根据数轴上两点距离计算公式可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 9.如图，在数轴上剪下一条11个单位长度（从－2到9）的线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 【答案】，， 10.如图1，一张长为，宽为的长方形纸片，分成三个小长方形，，，已知，．将纸片自左至右沿折叠，如图2，再从图（2）的处一起剪开，把原纸片分成三个长方形，则其中最大长方形周长为______．（用含，的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，理解题意是解题关键．如图1，，，，如图2，剪开后的三个长方形的长分别为、、，即可求出最大长方形周长． 详解】解：如图1，，， ，， ，，， 如图2，剪开后的三个长方形的长分别为、、， 最大长方形周长为， 故答案为： 【三阶练习】 1.数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系． （1）操作一：折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与表示　3　 的点重合； （2）操作二：折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数表示　7　 的点重合； （3）操作三：在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若得到的这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？ 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣3与3重合； （2）根据对称性找到折痕的点为2，可以得出﹣3与7重合 （3）分三种情况进行讨论：当AB：BC：CD＝1：1：2时，当AB：BC：CD＝1：2：1时，当AB：BC：CD＝2：1：1时，即可求解． 【解答】解：（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合， ∴折痕为原点O， ∴﹣3表示的点与3表示的点重合， 故答案为：3； （2）由题意可得：折痕表示的点为2， ∴﹣3表示的点与数表示7的点重合， 故答案为：7． （3）设折痕处对应的点所表示的数是x， 当AB：BC：CD＝1：1：2时， 设AB＝a，BC＝a，则CD＝2a， ∴a+a+2a＝8+1，解得：， ∴， ∴x； 如图，当AB：BC：CD＝1：2：1时， 设AB＝CD＝a，BC＝2a， ∴a+a+2a＝8+1， 解得：， ∴， ∴折痕处对应的点所表示的数为； 如图，当AB：BC：CD＝2：1：1时， 设AB＝2a，BC＝CD＝a， ∴a+a+2a＝8+1， 解得：， ∴， ∴x； 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 2.如图，数轴上有A，B两点，点A对应的数为﹣30，点B对应的数为90． （1）请求出A，B两点之间的距离，并写出与A，B两点距离相等的点P所对应的数． （2）折叠数轴，若使表示﹣30的点A与表示90的点B重合，则： ①表示50的点与表示　10　 的点重合． ②若数轴上P，Q两点之间的距离为2025（点P在点Q的左侧），且P，Q两点经折叠后重合，则点P，Q各表示什么数？ （3）现有一只电子蚂蚁从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动，当经过多少秒时两只蚂蚁到点A的距离相等？ 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）求A、B距离用B对应数减A对应数；求与A、B距离相等的点P，即求A、B对应数的平均数（中点）； （2）①先求A、B折叠的中点，再根据“中点是两对称点的平均数”，设未知对称点列方程求解； ②设P对应数，结合P在Q左侧且PQ＝2025表示Q对应数，再利用中点性质列方程； （3）设运动时间为t秒，分别表示两只蚂蚁运动后对应数，分“未追上时距离相等”和“追上后距离相等”两种情况，根据“到A的距离＝两点对应数差的绝对值”列方程求解． 【解答】解：（1）A、B两点之间的距离为90﹣（﹣30）＝120； 设点P对应的数为x， ∵PA＝PB， ∴x﹣（﹣30）＝90﹣x， 解得2x＝60⇒x＝30 点P对应的数为30； （2）①先求A、B折叠的中点对应的数：； 设表示50的点与表示x的点重合， ∵中点是两对称点的平均数， ∴， 解得50+x＝60⇒x＝10 故答案为：10； ②由①知折叠中点对应的数为30，设点P对应的数为x， ∵点P在点Q左侧，且PQ＝2025， ∴点Q对应的数为x+2025； 又∵P、Q折叠后重合， ∴中点为30，即， 解得2x+2025＝60⇒2x＝﹣1965⇒x＝﹣982.5， 则点Q对应的数为﹣982.5+2025＝1042.5． 答：点P表示﹣982.5，点Q表示1042.5； （3）以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动， 设经过t秒时两只蚂蚁到点A的距离相等， 运动t秒后，从A出发的蚂蚁对应数为﹣30﹣4t，从B出发的蚂蚁对应数为90﹣6t； 两只蚂蚁到A（对应数﹣30）的距离相等，分两种情况： 情况一：两蚂蚁位置相同（追上时）：﹣30﹣4t＝90﹣6t， 解得2t＝120⇒t＝60； 情况二：两蚂蚁在A两侧（未追上时）：（﹣30）﹣（﹣30﹣4t）＝（90﹣6t）﹣（﹣30）， 即4t＝120﹣6t，解得10t＝120⇒t＝12； 均符合题意． 答：当经过12秒或60秒时，两只蚂蚁到点A的距离相等． 3.如图，以数轴上的点为折点，将数轴向右对折，数轴上点与点完全重合，记点与点关于点对称． （1）当点与点表示的数分别为和2，且满足点与点关于点对称时，则点表示的数为　8　； （2）当点与点表示的数分别为和4时，将线段进行对折，使点和点完全重合，这样将线段连续对折3次后，再将其展开，则最左端的折点表示的数为　　，最右端的折点表示的数为　　； （3）当点与点表示的数分别为和15，且满足到的距离等于到的距离的4倍（即，点与点关于点对称时，求点所表示的数．可省略“”简写为 【分析】（1）根据中点公式求解； （2）根据中点公式求解； （3）先根据“”列方程求出，再根据中点公式求解． 【解答】解：（1）， 故答案为：8； （2）第一次折点表示的数为：， 第二次左边的折点表示的数为：，左边的折点表示的数为：， 第三次左边的折点表示的数为：，左边的折点表示的数为：， 故答案为：，； （3）设点表示的数为， 当点在上时，， 解得：， 此时，点表示的数为：， 当点在的延长线上时，， 解得：， 此时，点表示的数为：， 综上所述：点表示的数为或． 4.如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． （1）动点P从点A运动至点C需要多少时间？ （2）动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； （3）动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】（1）18.5秒 （2） （3）14.5或19.5 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及数轴， （1）利用时间路程速度，即可求出结论； （2）求出点运动到点所需时间，当时，利用点表示的数点表示的数点在线段段的运动速度（运动时间，即可用含的代数式表示出点表示的数； （3）由，及的长，可得出共有2种情况，当点在点和点之间，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值；当点在点的右侧，即时，点表示的数为，进而可得出，，结合，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值． 【小问1详解】 解：根据题意得： （秒）； 答：动点从点运动至点需要18.5秒； 【小问2详解】 解：动点从点运动至点需要时间为： （秒）， 运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数为： ， ∴当时，点表示的数为， 当动点运动至点和点之间时，点表示的数为； 【小问3详解】 解：，，， 共2两种情况． 当点在点和点之间，即时，点表示的数为， ，， ∴， 解得：； 当点在点的右侧，即时，点表示的数为， ，， ， 解得：． 答：动点的运动的时间是14.5秒或秒． 5.【阅读理解】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可以理解为与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到表示的点的距离． （1）【尝试应用】 ①数轴上表示和3的两点之间的距离是______（写出最后结果）； ②若，则______； （2）【动手探究】 伦伦在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示的点与表示1的点重合． ①表示的点与数______表示的点重合； ②若数轴上、两点之间距离为8（在的左侧），且、两点经折叠后重合，则表示的数是______，表示的数是______； ③若点表示的数为，点表示的数为（在的左侧），且，两点经折叠刚好重合，那么与之间的数量关系是______； （3）【拓展延伸】 当时，的最小值是_____． 【答案】（1）①；②或 （2）①；②，；③ （3） 【解析】 【分析】（1）①根据两点间距离公式可得答案；②根据题意可得方程或，解方程即可得到答案； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，再根据两点距离计算公式求解即可；②根据题意点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离都为，再由折叠点在A、B之间结合数轴上两点距离公式求解即可；③根据点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离相等，结合数轴上两点距离公式得到，据此可得结论； （3）根据绝对值的意义推出当时，有最小值5，同理可得，当时，有最小值6，再由，推出，，则当时，有最小值，最小值为． 小问1详解】 解；解：①， 故答案为：； ②，即， 或， 解得或， 故答案为：或； 【小问2详解】 解：①由于折叠纸面，表示的点和表示的点重合， ∴折叠点所表示的数为， 设表示的点与表示的点重合，则有：， 解得， 故答案为：； ②∵A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为，且A，B两点经过折叠后重合， ∴点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离都为， ∴点所表示的数为，点所表示的数为， 故答案为：，； ③∵点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经过折叠后重合， ∴点A到折叠点的距离和点B到折叠点的距离相等， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，有最小值5， 同理可得，当时，有最小值6， ∴， ∵， ∴和必须同时取值最小值， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：． 6. 如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足．     （1）_________，_________； （2）求图1中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？ （3）若刻度尺右端M的刻度为“厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米？并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）4厘米，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了数轴与刻度尺，绝对值的非负性质，有理数混合运算的应用等知识． （1）利用绝对值和平方的非负性质，即可得出a和b的值； （2）先根据题意求出a，b两点之间的距离以及对应刻度尺上的距离，进而得出3厘米对应的数； （3）设N表示的数为：n，先求出n的值，再得出N的刻度，进而可求出刻度尺有刻度一侧的长度． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ∴a，b两数之间的距离为，对应刻度尺上的距离为：厘米， 刻度“3厘米”所对应数轴上数是； 【小问3详解】 解：这把刻度尺有刻度一侧的长度为厘米，理由如下， 设移动前N表示的数为：n， ∵将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合， ， ∴N的刻度为：厘米， 厘米， 则这把刻度尺有刻度一侧的长度为厘米． 7.已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（）． （1）用含t的代数式表示的度数． （2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）40秒 （3）存在，18或或36或秒 【解析】 【分析】本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点． （1）的度数等于旋转速度乘以旋转时间； （2）当第二次达到时，射线在的左侧，根据列方程求解可得； （3）射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：①平分时，根据，列方程求解，②平分时，根据，列方程求解，③平分时，根据，列方程求解． 【小问1详解】 解：由题意可得：； 【小问2详解】 解：如图，根据题意知：，， 当第二次达到时，， 即，解得：， 故秒时，第二次达到； 【小问3详解】 解：射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况： ①平分时， ∵， ∴， 解得：； ②平分时， ∵，即， ∴或， 解得：，或； ③平分时， ∵， ∴， 解得：； 综上，当t的值分别为18、、36、秒时，射线是由射线、射线、射线中的其中两条组成的角的平分线． 8.如图，数轴上有A，B两点，点A对应的数为﹣30，点B对应的数为90． （1）请求出A，B两点之间的距离，并写出与A，B两点距离相等的点P所对应的数． （2）折叠数轴，若使表示﹣30的点A与表示90的点B重合，则： ①表示50的点与表示　10　 的点重合． ②若数轴上P，Q两点之间的距离为2025（点P在点Q的左侧），且P，Q两点经折叠后重合，则点P，Q各表示什么数？ （3）现有一只电子蚂蚁从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动，当经过多少秒时两只蚂蚁到点A的距离相等？ 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【分析】（1）求A、B距离用B对应数减A对应数；求与A、B距离相等的点P，即求A、B对应数的平均数（中点）； （2）①先求A、B折叠的中点，再根据“中点是两对称点的平均数”，设未知对称点列方程求解； ②设P对应数，结合P在Q左侧且PQ＝2025表示Q对应数，再利用中点性质列方程； （3）设运动时间为t秒，分别表示两只蚂蚁运动后对应数，分“未追上时距离相等”和“追上后距离相等”两种情况，根据“到A的距离＝两点对应数差的绝对值”列方程求解． 【解答】解：（1）A、B两点之间的距离为90﹣（﹣30）＝120； 设点P对应的数为x， ∵PA＝PB， ∴x﹣（﹣30）＝90﹣x， 解得2x＝60⇒x＝30 点P对应的数为30； （2）①先求A、B折叠的中点对应的数：； 设表示50的点与表示x的点重合， ∵中点是两对称点的平均数， ∴， 解得50+x＝60⇒x＝10 故答案为：10； ②由①知折叠中点对应的数为30，设点P对应的数为x， ∵点P在点Q左侧，且PQ＝2025， ∴点Q对应的数为x+2025； 又∵P、Q折叠后重合， ∴中点为30，即， 解得2x+2025＝60⇒2x＝﹣1965⇒x＝﹣982.5， 则点Q对应的数为﹣982.5+2025＝1042.5． 答：点P表示﹣982.5，点Q表示1042.5； （3）以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动， 设经过t秒时两只蚂蚁到点A的距离相等， 运动t秒后，从A出发的蚂蚁对应数为﹣30﹣4t，从B出发的蚂蚁对应数为90﹣6t； 两只蚂蚁到A（对应数﹣30）的距离相等，分两种情况： 情况一：两蚂蚁位置相同（追上时）：﹣30﹣4t＝90﹣6t， 解得2t＝120⇒t＝60； 情况二：两蚂蚁在A两侧（未追上时）：（﹣30）﹣（﹣30﹣4t）＝（90﹣6t）﹣（﹣30）， 即4t＝120﹣6t，解得10t＝120⇒t＝12； 均符合题意． 答：当经过12秒或60秒时，两只蚂蚁到点A的距离相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $