第6讲：乘法公式 讲义-2026-2027 学年人教版八年级上册数学

第6讲：乘法公式 题型一：运用平方差公式进行运算 3 题型二：平方差公式与几何图形 4 题型三：运用完全平方公式进行运算 5 题型四：完全平方公式的变形求值 5 题型五：求完全平方公式的字母 6 题型六：完全平方公式在几何图形的应用 6 题型七：乘法公式混合计算 7 题型八：乘法公式的与几何交汇问题 8 知识点一、平方差公式 1. 公式：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 结构特征（重中之重） 左边：两个二项式相乘；一项完全相同，另一项互为相反数 右边：相同项的平方 − 相反项的平方 a、b可以是单项式、多项式 3. 几何意义：边长为a的正方形挖去边长为b的小正方形，剩余面积 𝑎2−𝑏2，可拼接成长(𝑎+𝑏)、宽(𝑎−𝑏)的长方形。 4. 常见变形 1. 位置变化：(𝑏+𝑎)(−𝑏+𝑎)=𝑎2−𝑏2 2. 符号变化：(−𝑎−𝑏)(𝑎−𝑏)=(−𝑏)2−𝑎2=𝑏2−𝑎2 3. 系数变化：(2𝑎+3𝑏)(2𝑎−3𝑏)=(2𝑎)2−(3𝑏)2=4𝑎2−9𝑏2 4. 指数变化：(𝑥2+𝑦)(𝑥2−𝑦)=𝑥4−𝑦2 5. 连用公式：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)(𝑎2+𝑏2)=(𝑎2−𝑏2)(𝑎2+𝑏2)=𝑎4−𝑏4 知识点二、完全平方公式 1. 公式：(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2 (𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 2 倍。 口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 2. 结构特征 左边：二项式的平方 右边：三项式；两项是平方项，恒非负；中间项是2ab，符号由括号内符号决定 a、b可以是单项式、多项式 3. 几何意义 (𝑎+𝑏)2：边长𝑎+𝑏的大正方形，拆成𝑎2、𝑏2和两个ab长方形 (𝑎−𝑏)2：边长a正方形去掉两条宽b长条，补回重叠小正方形𝑏2 4. 高频派生变形（考试必考） 5. 拓展：三项完全平方（选学，常出压轴） (𝑎+𝑏+𝑐)2=𝑎2+𝑏2+𝑐2+2𝑎𝑏+2𝑎𝑐+2𝑏𝑐 口诀：各项平方和，两两乘积两倍相加 知识点三、乘法公式使用通用步骤 1. 先观察式子，判断：平方差 / 和的完全平方 / 差的完全平方 2. 找准谁是a，谁是b（带符号、系数、括号整体打包） 3. 套公式，先加括号再平方，防止漏乘系数：(2𝑥)2≠2𝑥2 4. 去括号、化简合并同类项 核心思想：整体思想，把多项式看成一个整体当作公式里的a或b 例：(𝑥+𝑦−2)(𝑥+𝑦+2)，令𝑎=𝑥+𝑦,𝑏=2，原式=(𝑥+𝑦)2−4 题型一：运用平方差公式进行运算 【例1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型二：平方差公式与几何图形 【例2】．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）某中学手工社团开展实践活动，同学们准备了大小不同的长方形硬纸板，把纸板进行裁剪、重新拼接，借助图形面积的等量关系探究乘法公式的几何意义．将图1的阴影长方形裁剪后拼接得到图2所示的阴影图形．裁剪拼接只改变图形形状，阴影部分面积保持不变，因此可以验证的一个乘法公式是(     ) A． B． C． D． 【变式1】．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27八年级上·重庆·期中）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（    ） A． B． C． D． 题型三：运用完全平方公式进行运算 【例3】．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·阶段检测）下列各式中，与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列各式中，可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 题型四：完全平方公式的变形求值 【例4】．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式1】．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【例2】．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知求： (1) (2) 题型五：求完全平方公式的字母 【例5】．（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）关于x的整式是一个完全平方式，则________． 【变式1】．（25-26七年级下·山东聊城·期末）如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_________． 【变式2】．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）单项式使得多项式是一个完全平方式，则______． 题型六：完全平方公式在几何图形的应用 【例6】．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 【变式1】．（25-26六年级下·山东烟台·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学问题中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如下图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）如图，在直角三角形中，，以直角的两条直角边向外作正方形，、和分别是两个正方形和的面积．已知，，则等于（     ） A．10 B．20 C．40 D．60 题型七：乘法公式混合计算 【例7】．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【变式1】．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 题型八：乘法公式的与几何交汇问题 【例8】．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在如图1所示的的网格图中，放置着5个边长为1的小正方形，将它们按某种裁剪线剪开后重新拼装，能拼装成一个大正方形． (1)①请你在图1中画出裁剪线，并在图2中画出重新拼装后的大正方形； ②重新拼装的大正方形的边长为__________． (2)图3是由4个边长分别为的长方形和1个小正方形拼成的正方形图案． ①图3中小正方形的边长为__________； ②若该图案的总面积为，中间小正方形的面积为，则下列结论正确的是__________．（把所有正确结论的字母填在横线上） A．            B．            C．若，则 (3)在（2）的基础上，顺次连接长方形的对角线，得到一个新的正方形（如图4），若其面积为，求，，三者之间的数量关系． 【变式1】．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中． 【知识建构】 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：． 【类比探究】 (1)学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________． 【实战运用】 (2)若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________． 【深度拓展】 (3)校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值． 【迁移运用】 (4)如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 【变式2】．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 一、单选题 1．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列等式中，成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）若，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）若是关于的完全平方式，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D． 4．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算等于（     ） A． B． C． D． 5．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 6．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）下列运用乘法公式计算，错误的是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．无法确定 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）若是关于的完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或2 D．或 9．（26-27八年级上·海南·期中）如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积（ ） A．20 B．22 C．36 D．38 10．（25-26七年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）已知，则的值为______． 12．（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：________． 13．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，那么的值为_________． 14．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图，已知正方形与正方形的边长分别为，，如果，，那么阴影部分的面积为________． 15．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字之和与百位上的数字与个位上的数字之和的积等于121，则称这个数为“对称数”．例如，对于四位数8536，，是“对称数”，则最小的“对称数”为________；一个“对称数”，记，，若，则满足条件的的值为________． 三、解答题 16．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 17．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26七年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，，则，． ． 【类比探究】 解决下列问题： (1)若满足，则的值为 ； (2)若，求的值； 【拓展应用】 (3)已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 19．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证． 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母） A． B． C．D． (2)小丽在计算时利用了（1）中的公式： ________．（请你将最后结果补充完整） (3)仿照以上的结论和方法，计算： 20．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）对完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，= 22，求的值； (2)填空： ①若，则 ______； ②若 ，则 ______； (3)如图，学校有一块梯形空地，对角线于点E，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲：乘法公式 题型一：运用平方差公式进行运算 3 题型二：平方差公式与几何图形 5 题型三：运用完全平方公式进行运算 6 题型四：完全平方公式的变形求值 7 题型五：求完全平方公式的字母 8 题型六：完全平方公式在几何图形的应用 9 题型七：乘法公式混合计算 11 题型八：乘法公式的与几何交汇问题 12 知识点一、平方差公式 1. 公式：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2 文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 结构特征（重中之重） 左边：两个二项式相乘；一项完全相同，另一项互为相反数 右边：相同项的平方 − 相反项的平方 a、b可以是单项式、多项式 3. 几何意义：边长为a的正方形挖去边长为b的小正方形，剩余面积 𝑎2−𝑏2，可拼接成长(𝑎+𝑏)、宽(𝑎−𝑏)的长方形。 4. 常见变形 1. 位置变化：(𝑏+𝑎)(−𝑏+𝑎)=𝑎2−𝑏2 2. 符号变化：(−𝑎−𝑏)(𝑎−𝑏)=(−𝑏)2−𝑎2=𝑏2−𝑎2 3. 系数变化：(2𝑎+3𝑏)(2𝑎−3𝑏)=(2𝑎)2−(3𝑏)2=4𝑎2−9𝑏2 4. 指数变化：(𝑥2+𝑦)(𝑥2−𝑦)=𝑥4−𝑦2 5. 连用公式：(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)(𝑎2+𝑏2)=(𝑎2−𝑏2)(𝑎2+𝑏2)=𝑎4−𝑏4 知识点二、完全平方公式 1. 公式：(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2 (𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 文字表述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 2 倍。 口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央，符号看前方。 2. 结构特征 左边：二项式的平方 右边：三项式；两项是平方项，恒非负；中间项是2ab，符号由括号内符号决定 a、b可以是单项式、多项式 3. 几何意义 (𝑎+𝑏)2：边长𝑎+𝑏的大正方形，拆成𝑎2、𝑏2和两个ab长方形 (𝑎−𝑏)2：边长a正方形去掉两条宽b长条，补回重叠小正方形𝑏2 4. 高频派生变形（考试必考） 5. 拓展：三项完全平方（选学，常出压轴） (𝑎+𝑏+𝑐)2=𝑎2+𝑏2+𝑐2+2𝑎𝑏+2𝑎𝑐+2𝑏𝑐 口诀：各项平方和，两两乘积两倍相加 知识点三、乘法公式使用通用步骤 1. 先观察式子，判断：平方差 / 和的完全平方 / 差的完全平方 2. 找准谁是a，谁是b（带符号、系数、括号整体打包） 3. 套公式，先加括号再平方，防止漏乘系数：(2𝑥)2≠2𝑥2 4. 去括号、化简合并同类项 核心思想：整体思想，把多项式看成一个整体当作公式里的a或b 例：(𝑥+𝑦−2)(𝑥+𝑦+2)，令𝑎=𝑥+𝑦,𝑏=2，原式=(𝑥+𝑦)2−4 题型一：运用平方差公式进行运算 【例1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型二：平方差公式与几何图形 【例2】．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）某中学手工社团开展实践活动，同学们准备了大小不同的长方形硬纸板，把纸板进行裁剪、重新拼接，借助图形面积的等量关系探究乘法公式的几何意义．将图1的阴影长方形裁剪后拼接得到图2所示的阴影图形．裁剪拼接只改变图形形状，阴影部分面积保持不变，因此可以验证的一个乘法公式是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：图1的面积为，图2的面积为，因此可以验证的乘法公式是． 【变式1】．（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在两个特殊整数的乘法运算中，存在一种简便方法（如图），可以用图1到图2的转化过程加以说明（图中，均为整数）．下列算式中，能用这种方法进行计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：图1中长方形的面积为，图2中图形的面积为， ∴对应的简便计算公式为， 对于选项A：，不符合题意； 对于选项B：，不符合题意； 对于选项C：，不符合题意； 对于选项D：，符合题意． 【变式2】．（26-27八年级上·重庆·期中）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等，∴，∴可以验证成立的公式为． 题型三：运用完全平方公式进行运算 【例3】．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列各式中，不可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：完全平方公式适用于两个相同二项式相乘的形式． A选项：，可用完全平方公式计算． B选项：中项相同，项符号相反，为平方差公式形式，不可用完全平方公式计算． C选项：，可用完全平方公式计算． D选项：，可用完全平方公式计算． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·阶段检测）下列各式中，与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，故不符合题意； D、，符合题意． 【变式2】．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列各式中，可以用完全平方公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，不能表示成两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； 、，能表示两数和或差的平方的形式，能用完全平方公式计算，符合题意； 、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意； 、，不能表示两数和或差的平方的形式，不能用完全平方公式计算，不符合题意． 故选． 题型四：完全平方公式的变形求值 【例4】．（26-27八年级上·吉林长春·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ， ； （2）解：． 【变式1】．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 代入， 则； （2）解： 代入得，． 【例2】．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知求： (1) (2) 【答案】(1)26 (2)36 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 题型五：求完全平方公式的字母 【例5】．（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）关于x的整式是一个完全平方式，则________． 【答案】或 【详解】解：∵整式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得，． 【变式1】．（25-26七年级下·山东聊城·期末）如果多项式是一个完全平方式，则m的值是_________． 【答案】9或 【详解】解：， ∵多项式是一个完全平方式， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上所述，m的值是9或． 【变式2】．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）单项式使得多项式是一个完全平方式，则______． 【答案】 【详解】解：多项式是一个完全平方式，且，， ， 又， ∴． 题型六：完全平方公式在几何图形的应用 【例6】．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（     ） A．61 B．76 C．80 D．144 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 联立①②可解得， ∴图3中的阴影部分的面积 ． 【变式1】．（25-26六年级下·山东烟台·期末）“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，这是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学问题中所发挥的重要价值与意义的高度概括，如下图所示，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在图甲中，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形的面积，再加上一个边长为的正方形的面积， 在图乙中，阴影部分的面积等于边长为的正方形的面积， ∴等式为． 【变式2】．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）如图，在直角三角形中，，以直角的两条直角边向外作正方形，、和分别是两个正方形和的面积．已知，，则等于（     ） A．10 B．20 C．40 D．60 【答案】D 【详解】解：∵在直角三角形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型七：乘法公式混合计算 【例7】．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）利用乘法公式进行简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)420 【详解】（1）解： （2） 【变式1】．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式2】．（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） 原式； （2） 原式； （3） 原式； （4） 原式． 题型八：乘法公式的与几何交汇问题 【例8】．（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在如图1所示的的网格图中，放置着5个边长为1的小正方形，将它们按某种裁剪线剪开后重新拼装，能拼装成一个大正方形． (1)①请你在图1中画出裁剪线，并在图2中画出重新拼装后的大正方形； ②重新拼装的大正方形的边长为__________． (2)图3是由4个边长分别为的长方形和1个小正方形拼成的正方形图案． ①图3中小正方形的边长为__________； ②若该图案的总面积为，中间小正方形的面积为，则下列结论正确的是__________．（把所有正确结论的字母填在横线上） A．            B．            C．若，则 (3)在（2）的基础上，顺次连接长方形的对角线，得到一个新的正方形（如图4），若其面积为，求，，三者之间的数量关系． 【答案】(1)①在图1中画出裁剪线如图三块，在图2中按顺序重新拼装后的大正方形如图： ②重新拼装的大正方形的面积为，则边长为． （2）解：①根据四个边长分别为的长方形可以得图3中小正方形的边长为； ②由图可得大正方形的边长为，小正方形的边长为 ∴，， A．，结论正确； B．，结论正确； C．若，则，，即，结论错误； （3）解：由图可得，，， ∴． 【变式1】．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）【实践背景】 为打造“书香校园、绿色校园”，学校计划利用数形结合的数学思想，设计校园景观与文化标识，让抽象的数学知识在校园场景中变得直观可感．本次活动以“图形面积探究”为主题，引导学生通过几何图形的面积推导，理解数学公式的本质，并将其应用于校园景观设计中． 【知识建构】 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性．很多代数恒等式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 如图（1），在边长为的正方形中减掉一个边长为的小正方形，余下部分剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影面积可表示为，图（2）阴影面积可表示为，因此可得平方差公式：． 【类比探究】 (1)学校文化墙设计中，用两种不同方法表示图（3）中阴影部分的面积，可得代数恒等式：___________． 【实战运用】 (2)若文化墙设计中，，则阴影部分的面积和___________． 【深度拓展】 (3)校园景观设计中，某区域的尺寸满足，求该区域相关图形的面积和的值． 【迁移运用】 (4)如图（4），学校有一块梯形空地，对角线于点，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 【答案】(1) (2)90 (3)5 (4)12 【详解】（1）解：图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即， 由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为， 因此阴影部分的面积为，所以有代数恒等式：； （2）解：∵，，∴； （3）解：设，，则，， ∴； （4）解：∵，设，， ∴，，，， ∵种花区域的面积和为，即， ∴， ∵， ∴种草区域的面积和为： ． 【变式2】．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 【答案】(1) (2)平方米 (3)①；② 【详解】（1）解：图1中4个小长方形的面积为， 图2中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设米，米， 由题意得，米， ∵种花区域的面积和为120平方米 ∴，即， ∴ （平方米）， 答：种草区域的面积和为80平方米． （3）解：①∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， 即a与b之间的数量关系为； ②由（3）①得，， ∴当时，． 一、单选题 1．（26-27七年级上·上海青浦·阶段检测）下列等式中，成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故该选项等式不成立； B．，故该选项等式不成立； C．，故该选项等式不成立； D．，等式成立． 2．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分解因式，结合已知条件整体代入化简求值． 【详解】解：由， ∵， ∴． 3．（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）若是关于的完全平方式，则的值为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：∵是关于的完全平方式． ∴． ∴． 解得或． 4．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 5．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】利用平方差公式分别展开M和变形后的N，通过比较减数大小判断两者关系． 【详解】解：， ， ， ，即． 6．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）下列运用乘法公式计算，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A． ，故本选项错误，符合题意； B．，故本选项正确，不符合题意； C．，故本选项正确，不符合题意； D．，故本选项正确，不符合题意． 7．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）若是关于的完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， ∴，即或． 9．（26-27八年级上·海南·期中）如图有两张正方形纸片和，图将放置在内部，测得阴影部分面积为，图将正方形并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为，若将个正方形和个正方形并列放置后构造新正方形如图，（图，图中正方形纸片均无重叠部分）则图阴影部分面积（ ） A．20 B．22 C．36 D．38 【答案】D 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由图1可知，阴影部分面积， 图2可知，阴影部分面积， ， 化简得， 由图3可知，阴影部分面积 ． 10．（25-26七年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用三角形数表给出二项式展开式的系数规律，这个三角形数表称为杨辉三角（如图），例如：，展开式中所有系数的和为．根据杨辉三角，可得展开式中所有系数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察可得： 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， 当时，系数和为， ⋯， 当二项式的次数为时，系数和为， ∴展开式的系数和是． 二、填空题 11．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）已知，则的值为______． 【答案】 【详解】解：， 两边平方得， 展开并计算得， 整理得， 将代入得 原式． 12．（26-27七年级上·上海宝山·阶段检测）计算：________． 【答案】 【分析】将原式变形为平方差公式的结构，先利用平方差公式计算，再展开完全平方项化简即可． 【详解】解：原式 ． 13．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）如果，那么的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，展开得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图，已知正方形与正方形的边长分别为，，如果，，那么阴影部分的面积为________． 【答案】4 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为 ． ∵，， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为4． 15．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）一个四位自然数，若千位上的数字与十位上的数字之和与百位上的数字与个位上的数字之和的积等于121，则称这个数为“对称数”．例如，对于四位数8536，，是“对称数”，则最小的“对称数”为________；一个“对称数”，记，，若，则满足条件的的值为________． 【答案】 【详解】解：∵ ，两个数位数字的和最大为 ∴ 只能，，即，． 要使四位自然数最小，优先让千位最小． 当时，，不符合是一位数的要求，舍去； 当时，，符合要求，接下来优先让百位最小； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，不符合要求，舍去； 当时，，符合要求，因此最小的“对称数”为． ∵ ， ∴ ， 将、代入得： ， 化简得：，配方得：， ∵ 平方为非负数，为整数 ∴ ，，得， ∴，，故，验证符合所有条件． 三、解答题 16．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 17．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 18．（25-26六年级下·山东烟台·期末）【阅读材料】 若满足，求的值． 解：设，，则，． ． 【类比探究】 解决下列问题： (1)若满足，则的值为 ； (2)若，求的值； 【拓展应用】 (3)已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3) 【详解】（1）解：设，，则，． ． （2）解：设，则，变形得， 故； （3）解：正方形边长为，且，， ，，令，，则， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ． 19．（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证． 如图①，从边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个矩形（如图②）． (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的乘法公式是_______；（直接填字母） A． B． C．D． (2)小丽在计算时利用了（1）中的公式： ________．（请你将最后结果补充完整） (3)仿照以上的结论和方法，计算： 【答案】(1)B (2) (3) 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 由图①、图②中阴影部分面积相等可得，故选项B符合题意． （2）解：原式 …… ． （3）解：原式 …… ． 20．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）如图①，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的长方形． (1)请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图①： ． 图②： ． (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ．（用字母，表示） 【应用】 (3)请应用这个公式完成下列各题： ①若，则的值为（    ） A．6；B．4；C．3；D．2 ②计算： 【拓展】 (4)计算： 【答案】(1)；； (2)； (3)①B；②；(4)． 【详解】（1）解：图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即， 图②的阴影部分为长为，宽为的矩形，则其面积为； （2）解：由图①与图②的面积相等可得到乘法公式：； （3）①解：原式， ∵，， ∴； ②解：原式 ； （4）解： ． 21．（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）对完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，所以，即：， 又因为，所以． 根据上面的解题思路与方法，请你解决下列问题： (1)若，= 22，求的值； (2)填空： ①若，则 ______； ②若 ，则 ______； (3)如图，学校有一块梯形空地，对角线于点E，，．学校计划在和区域内种花，已知种花区域的面积和为，对角线，求种草区域（和）的面积和． 【答案】(1)7； (2)①29；②8； (3)12． 【详解】（1）解：， ，，． （2）解：①令，，，，，，，． ② 令，， ， 又，，， ，． （3）解：设，， 于点， ，， 花坛面积， ， ， ， ， ， ， 草地面积，草地面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $