2026-2027学年苏科版八年级数学上册期中复习卷01
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内容正文：
苏科版 八年级数学 期中复习卷01
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列代数式是分式的是（ ）
A． B． C．2xy D．
【答案】B
【解析】一般地，形如（A、B都是整式，且B中含有字母）的式子叫做分式，据此逐项观察各选项分母中是否含有字母即可判断．
【详解】解：A、的分母中不含字母，不是分式，本选项不符合题意；
B、的分母中含有字母，是分式，本选项符合题意；
C、2xy不是分式，故此选项不符合题意；
D、的分母中不含字母，不是分式，本选项不符合题意；
故选：B．
2．若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≠0 D．x＜3
【答案】A
【解析】分式有意义的条件是分母不等于零，令x－3≠0即可求出x的取值范围．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，解得x≠3．
故选：A．
3．下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ）
A．5、5、12 B．12、13、25 C．9、15、6 D．2、3、4
【答案】D
【解析】判断三条线段能否围成三角形，只需检验两条较短线段的长度之和是否大于最长线段，逐项验证即可．
【详解】解：A、5+5＝10＜12，两条较短边之和不大于第三边，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、12+13＝25，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、6+9＝15，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、2+3＞4，能组成三角形，故D符合题意．
故选：D．
4．在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠C＞∠A D．无法判断
【答案】B
【解析】依据三角形中"大边对大角"的性质，先写出AB、AC、BC所对的角分别是∠C、∠B、∠A，再由边的大小直接得到角的大小关系．
【详解】解：∵AB＞AC＞BC，
∴∠C＞∠B＞∠A．
故选：B．
5．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2+a+1＝a（a+1）+1
C．am+bm＝m（a+b） D．
【答案】C
【解析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此检查等号右边是否为整式的乘积即可逐项判断．
【详解】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1是整式乘法运算，则A不符合题意，
a2+a+1＝a（a+1）+1中，等号右边不是积的形式，则B不符合题意，
am+bm＝m（a+b）符合因式分解的定义，则C符合题意，
a2+2a＝a2（1）中不是整式，右边不是整式的积，则D不符合题意，
故选：C．
6．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与射线OA，OB交于点M，N，则以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变；其中正确的为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【解析】过点P作PE⊥OA于E、PF⊥OB于F，先由角平分线的性质得PE＝PF，证Rt△POE≌Rt△POF得OE＝OF，再证△PEM≌△PFN，由此对PM＝PN、OM＋ON、四边形PMON的面积、MN的长四个结论逐一判断．
【详解】解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴∠EPF+∠AOB＝180°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠EPF＝∠MPN，
∴∠EPM＝∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于点F，
∴PE＝PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE＝OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，
∴S△PEM＝S△PNF，
∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（3）正确，
∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值，故（2）正确，
∵M，N的位置变化，
∴MN的长度是变化的，故（4）错误，
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，点D为边AB上一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，，则下列结论：①点D是AB的中点；②△DEC是等腰三角形；③∠DFE与∠DCE互补．其中结论正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由折叠的性质得DB＝DE、CB＝CE、DA＝DE、AF＝EF，∠B＝∠DEC、∠A＝∠DEF，于是DB＝DE＝DA，可判定①；结合可判定②；由∠ADF＋∠EDF＋∠BDC＋∠EDC＝180°及四边形内角和可证∠DFE＋∠DCE＝180°，判定③．
【详解】解：根据折叠的性质，得DB＝DE，CB＝CE，DA＝DE，AF＝EF，
∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，
∴DB＝DE＝DA，
∴点D是AB的中点，
故①正确；
∵∠ACB＝90°，DB＝DE＝DA，
∴，
∴△DEC是等腰三角形，
故②正确；
根据折叠的性质，得∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，∠BDC＝∠EDC，∠ADF＝∠EDF，
∵∠ACB＝90°，∠ADF+∠EDF+∠BDC+∠EDC＝180°，
∴∠A+∠B＝90°，∠EDF+∠EDC＝90°，
∴∠DEF+∠DEC＝90°，∠FDC＝90°，
∴∠CEF＝90°，
∵∠CEF+∠FDC+∠DFE+∠DCE＝360°，
∴∠DFE+∠DCE＝180°，
∴∠DFE与∠DCE互补，
故③正确；
∴结论正确的有3个，
故选：D．
8．如图，AO⊥OM，OA＝6，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，点B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2.5
【答案】B
【解析】过点E作EN⊥BM于点N，先证△ABO≌△BEN（AAS）得BN＝AO＝6、BO＝NE，再证△BPF≌△NPE（AAS）得BP＝NP，由BN＝AO即可得出结论．
【详解】解：如图，AO⊥OM，△OBF和△ABE都是等腰直角三角形，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，
∴∠AOB＝∠ABE＝∠BNE＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝∠ABO+∠NBE＝90°，
∴∠BAO＝∠NBE，
∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，
∴AB＝BE，BF＝BO；
在△ABO与△BEN中，
，
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴BN＝AO，BO＝NE，
∵BO＝BF，
∴BF＝NE，
在△BPF与△NPE中，
，
∴△BPF≌△NPE（AAS），
∴，
∵BN＝AO，OA＝6，
∴，
故选：B．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．因式分解：a2+4a＝ ．
【答案】a（a+4）
【解析】两项都含有公共因式a，直接提取公因式a即可分解．
【详解】解：原式＝a（a+4），
故答案为：a（a+4）．
10．当x的值为 时，分式的值为零．
【答案】2．
【解析】分式的值为零必须同时满足分子等于零且分母不等于零，两个条件缺一不可．
【详解】解：依题意，分子x－2＝0，解得x＝2，
且分母1﹣x≠0，即 x≠1．
当x＝2 时，分母1﹣2＝﹣1≠0，满足条件．
故答案为：2．
11．若a、b都是正实数，且，则 ．
【答案】
【解析】把已知等式左边通分并整理得，即b2－a2＝2ab，再将这一整体代入所求代数式即可求出其值．
【详解】解：∵，
∴，
即b2﹣a2＝2ab，
则所求代数式．
故填空答案：．
12．如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°．∠A＝50°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD．那么∠ACD的度数是 ．
【答案】20°
【解析】先由直角三角形两锐角互余求出∠B＝40°，再由BC＝BD知△BCD是等腰三角形，用内角和求出∠BDC＝70°，最后由∠ACD＝∠ACB－∠BCD求出结果．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，已知AB＝10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于16，则BC的长为 ．
【答案】6
【解析】由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等得AE＝BE，从而把△BCE的周长转化为AC＋BC，再代入AB＝AC＝10求BC．
【详解】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长等于16，
∴△BCE的周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝16，
∵AB＝10，
∴BC＝16﹣10＝6，
故答案为：6．
14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是 ．
【答案】3．
【解析】过点P作PD⊥OB于点D，在Rt△OPD中由含30°角的直角三角形性质得OD＝½OP＝4；再由PM＝PN、PD⊥MN用等腰三角形三线合一得D是MN的中点，求出MD＝1，故OM＝OD－MD＝3．
【详解】解：过点P作PD⊥OB于点D，
在Rt△OPD中，
∵∠ODP＝90°，∠POD＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴，
∴OM＝OD﹣MD＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
15．如图，在3×4正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足△ABC是等腰三角形，那么符合条件的点C共有 个．
【答案】7．
【解析】以A为圆心，AB长为半径画圆；以B为圆心，AB长为半径画圆；AB的垂直平分线；三种情形在网格中逐格探寻，数出全部符合条件的格点C．
【详解】解：三种情况在网格中探寻，结果如下：
综上所述，符合条件的点C有7个，
故答案为：7．
16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 ．
【答案】1
【解析】由BE＝CE得S△AEC＝½S△ABC＝3，由AD＝2BD得S△ACD＝⅔S△ABC＝4，再按S1－S2＝（S△ADC－S△AFC）－（S△ACE－S△AFC）＝S△ADC－S△ACE计算，公共部分相互抵消．
【详解】解：∵BE＝CE，
∴BEBC，
∵S△ABC＝6，
∴S△AECS△ABC6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△ACDS△ABC＝4，
∴S1﹣S2＝（S△ADC﹣S△AFC）﹣（S△ACE﹣S△AFC）＝S△ADC﹣S△ACE＝4﹣3＝1，
即S1﹣S2的值为1．
三．解答题（共11小题，共82分）
17．（本题6分）化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）1；（2）x﹣1；（4）．
【解析】（1）同分母分式相减，分子相减后约分；（2）先通分，再把分子相加减，能因式分解的先分解再约分；（3）（4）将除法化为乘法，分子分母因式分解后约分化简．
【详解】（1）解：原式
＝1；
（2）原式
＝x﹣1；
（3）原式
．
18．（本题6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
【答案】；．
【解析】先算括号内的加法（通分），再把除法化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果，最后把x＝－2代入求值．
【详解】解：原式
，
当x＝﹣2时，原式．
19．（本题6分）解分式方程：
（1）；
（2）；
【答案】（1）原方程无解；（2）x＝﹣3；
【解析】四个小题都是先去分母（两边同乘最简公分母）化为整式方程，求出未知数的值，再代入最简公分母检验：使公分母不为零的是原方程的解，使公分母为零的是增根，必须舍去．
【详解】（1）解：原方程可变为，
两边都乘以2（x﹣3）得，2（x﹣2）＝x﹣3+2，
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）两边都乘以（x+2）（x﹣2）得，2+x（x+2）＝x2﹣4，
解得x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是原方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣3；
20．（本题6分）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O；求证：△AEC≌△BED．
【解析】由∠1＝∠2两边同时加上∠AED得∠AEC＝∠BED，再结合∠A＝∠B、AE＝BE，用ASA即可证明△AEC≌△BED．
【详解】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED，
即∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
21．（本题7分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB+AC＝25cm．
（1）尺规作图：在BC边上找一点P，使点P到AB的距离等于点P到点C的距离（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若PC=4 cm，求S△ABC．
【答案】（1）如图，点P即为所求；（2）50 cm2．
【解析】（1）作∠BAC的平分线，与BC的交点即为所求的点P；
（2）作PD⊥AB，角平分线AP把△ABC分成两个三角形：△ABP和△ACP，S△APB=，S△APB=，所以S△ABC=S△ABP+S△ACP=．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求；
（2）如图，作PD⊥AB于点D
∵ AP平分∠BAC，∠C=90°
∴ PC=PD
∴ S△ABC=S△ABP+S△ACP=
∵ PC=4 cm，AB+AC=25 cm
∴ S△ABC=2
22．（本题7分）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．
（1）证明：MN⊥BD；
（2）若∠BAD＝60°，AC＝8，求MN的长．
【答案】（1）MN⊥BD，证明见详解；（2）MN的长为2．
【解析】（1）连接BM、DM，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，于是△BMD是以BD为底的等腰三角形，再由N是BD的中点，用等腰三角形三线合一即可证MN⊥BD；
（2）由等腰三角形的性质与三角形外角的性质得∠BMD＝2∠BAD＝120°，进而∠BMN＝60°、∠MBN＝30°，在Rt△BMN中由即可求出MN的长．
【详解】（1）证明：连接BM、DM，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，
∴，
∵N是BD中点，
∴MN⊥BD；
（2）解：∵AC＝8，
∴由（1）可得BM＝AM＝MC＝MDAC8＝4，
∴∠ABM＝∠BAM，∠MAD＝∠MDA，
∵∠BMC是△ABM的外角，∠CMD是△ADM的外角，
∴∠BMC＝2∠BAM，∠CMD＝2∠MAD，
∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BMD＝120°，
∵N是BD中点，
∴∠BMN＝∠DMN＝60°，
∴，
∴MN＝2，
则MN的长为2．
23．（本题7分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，AD平分∠BAC；
（1）求证：BE＝CF；
（2）已知AC＝20，BE＝4，DF＝8，求四边形ABDC的面积．
【解析】（1）由AD平分∠BAC、DE⊥AB、DF⊥AC得DE＝DF，再用HL证Rt△BED≌Rt△CFD，即得BE＝CF；
（2）同法用HL证Rt△AED≌Rt△AFD得AE＝AF，再结合CF＝BE把AB＝AE－BE转化为AC－2CF求出AB，最后用面积公式求四边形ABCD的面积．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFA＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵Rt△BED≌Rt△CFD，
∴CF＝BE，
∵AC＝20，BE＝4，
∴AB＝AE﹣BE＝AF﹣CF＝AC﹣CF﹣CF＝20﹣4﹣4＝12．
∴四边形ABCD的面积．
24．（本题7分）为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展“四大名著”阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套后，发现仍不能满足学生的阅读需求，决定追加购买．此时正赶上图书城八折销售活动，用2400元购买的数量比第一次仅少4套．求第二次购买时每套图书的价格．
【答案】120元．
【解析】设第一次购买时每套图书x元，则第二次每套0.8x元，按"第二次用2400元购买的数量比第一次用3600元购买的数量少4套"这一等量关系列出分式方程，解出并检验后求0.8x即得第二次的单价．
【详解】解：设第一次购买时每套图书的价格是x元，则第二次购买时每套图书的价格是0.8x元，
根据题意得：4，
解得x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴0.8x＝0.8×150＝120，
答：第二次购买时每套图书的价格是120元．
25．（本题10分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10m+25＝0，求m，n的值．
∵m2﹣2mn+2n2﹣10m+25＝0，
∴（m2﹣2m+n2）+（n2﹣10m+25）＝0．
∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0．
∵（m﹣n）2≥0，（n﹣5）2≥0，
∴m﹣n＝0，n﹣5＝0．
∴n＝5，m＝5．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，求x﹣y的值；
（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，求△ABC的周长的最大值；
（3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由．
【答案】（1）4；（2）19；（3）△ABC是等边三角形．
【解析】三个小题都把已知等式分组配方，化成两个非负数（平方）之和等于0，再令每个平方因式分别为0求出字母的值，并结合三角形的三边关系或三角形的分类作出判断．
【详解】（1）解：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，
x2+2xy+y2+y2+4y+4＝0，
（x+y）2+（y+2）2＝0，
x+y＝0，y+2＝0，
解得y＝﹣2，x＝2，
∴x﹣y＝2﹣（﹣2）＝4；
（2）a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，
a2﹣8a+16+b2﹣12b+36＝0，
（a﹣4）2+（b﹣6）2＝0，
∴a＝4，b＝6，
∵2＜c＜10，
∴c最大为9，
∴△ABC的周长的最大值为4+6+9＝19；
（3）a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
a2﹣2ab+b2+b2+c2﹣2bc＝0，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
26．（本题10分）如图，△ABC是边长为a的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD＝30°时，证明：△APD是直角三角形；
（2）若QB＝BD，AE＝1，则AD＝ ；
（3）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）△APD是直角三角形，证明见详解；（2）4；（3）线段ED的长不会发生变化，证明见详解．
【解析】（1）由等边三角形得∠ABC＝60°，结合∠ABC＝∠BQD＋∠BDQ与∠BQD＝30°求出∠BDQ＝30°，于是∠ADP＝30°，在△APD中由∠A＋∠ADP＝90°得∠APD＝90°；
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝CA＝a，
∵∠ABC＝∠BQD+∠BDQ，∠BQD＝30°，
∴∠BDQ＝30°，
∴∠BDQ＝∠ADP＝30°，
∴∠A+∠ADP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴△APD是直角三角形；
（2）解：∵QB＝BD，
∴∠BQD＝∠BDQ，
∵∠ABC＝∠BQD+∠BDQ，
∴∠BDQ＝∠BQD＝30°，
∴∠BDQ＝∠ADP＝30°，
∴∠A+∠ADP＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴△APD是直角三角形；
∴AD＝2AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵PE⊥AB，
∴∠APE＝30°，
∴AP＝2AE，
∴AD＝4AE，
∵AE＝1，
∴AD＝4，
（3）解：线段ED的长不会发生变化，且，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵PE⊥AB，
∴∠APE＝30°，
∴AP＝2AE，
设AP＝QB＝2x，则AE＝x，
过点P作PF∥BC交AB于点F，
∴∠APF＝∠ACB＝60°，∠AFP＝∠ABC＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AF＝PF＝AP＝2x，
∴AE＝EF＝x，
∴BF＝AB﹣AE﹣EF＝a﹣2x，
∵QB＝AP，
∴QB＝PF，
∵PF∥BC，
∴∠DPF＝∠DQB，
在△DPF和△DQB中，
∵，
∴△DPF≌△DQB（AAS），
∴，
∴，
故线段ED的长不会发生变化，且为．
27．（本题10分）【模型提出】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，∴称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
（1）①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，则线段AD，BE与DE之间满足的数量关系是DE＝BE+AD ；
②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝5，BE＝2，则DE的长为 3 ．
【模型初探】
（2）①如图3，四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，CD＝8，则△BCD的面积为 32 ．
②如图4，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°．分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连DC交OB延长线于点E．判断AO与BE的数量关系并证明．
【模型拓展】
（3）如图5，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝6，以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，则△BCD的面积为 10或4 ．
【答案】（1）①DE＝BE+AD；②3；②3；（2）①32；②OA＝2BE；（3）△BCD的面积为10或4．
【解析】（1）①由AD⊥DE、BE⊥DE得∠ADC＝∠CEB＝90°，结合∠ACB＝90°推出∠CAD＝∠BCE，用AAS证△CAD≌△BCE，得CD＝BE、AD＝CE，于是DE＝CD＋CE＝BE＋AD；②同理可证△CAD≌△BCE，按DE＝CE－CD＝AD－BE计算；
（2）①过点B作BH⊥DC交DC的延长线于点H，证△BHC≌△CDA（AAS）得BH＝CD＝8，再用三角形面积公式求解；
②过点D作DT⊥OB于点T，连接CT，证△DTB≌△BOA（AAS）得DT＝OB＝BC、BT＝OA，再证四边形BCTD是平行四边形得BE＝TE，即OA＝2BE；
（3）分∠CAD＝90°与∠ACD＝90°两种情况，各以AC为直角边作等腰直角三角形ACD，借助（1）的全等结论求出对应的高，再分别计算面积．
【详解】（1）①解：在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△CAD和△BCE中，
，
∴△CAD≌△BCE（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CD+CE＝BE+AD，
②在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△CAD和△BCE中，
，
∴△CAD≌△BCE（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵AD＝5，BE＝2，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE＝5﹣2＝3，
（2）①如图，过点B作BH⊥DC交DC的延长线于点H．
∵∠H＝∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠BCH+∠ACD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠BCH＝∠CAD，
在△BHC和△CDA中，
，
∴△BHC≌△CDA（AAS），
∴BH＝CD＝8，
∴S△BCD•CD•BH8×8＝32．
②结论：OA＝2BE．
理由：如图4中，过点D作DT⊥OB于点T，连接CT．
∵∠AOB＝∠ABD＝∠DTB＝90°，
∴∠TBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠TBD＝∠BAO，
∵BD＝DA，
∴△DTB≌△BOA（AAS），
∴DT＝OB＝BC，BT＝OA，
∵∠OBC＝∠TBC＝∠BTD＝90°，
∴BC∥DT，
∴四边形BCTD是平行四边形，
∴BE＝TE，
∴OA＝2BE；
（3）△BCD的面积为10或4．理由如下：
以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，∠CAD＝90°，如图4，作高线AE，过点D作DF⊥EA于点F，
∵AB＝AC，BC＝4，S△BCD
∴AE＝3，
由（1）得：△ACE≌△DAF，
∴AF＝CE＝2，
∴S△BCDBC•EF4×（2+3）＝10，
以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，如图5，作高线AE，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB＝AC，BC＝4，S△ABCBC•AE＝6，
∴AE＝3，
由（1）得：△AEC≌△CFD，
∴CE＝DF＝2，
∴S△BCDBC•DF4×2＝4．
综上所述，△BCD的面积为10或4．
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苏科版 八年级数学 期中复习卷01
时间：120分钟 满分：130分
考试范围：（八上）三角形、（八下）因式分解、分式
班级：____________ 姓名：_______________
一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列代数式是分式的是（ ）
A． B． C．2xy D．
2．若分式有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠3 B．x＞3 C．x≠0 D．x＜3
3．下列数据是三根小棒的长度，用它们能组成三角形的是（ ）
A．5、5、12 B．12、13、25 C．9、15、6 D．2、3、4
4．在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠C＞∠A D．无法判断
5．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．a2+a+1＝a（a+1）+1
C．am+bm＝m（a+b） D．
6．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与射线OA，OB交于点M，N，则以下结论：①PM＝PN恒成立；②OM+ON的值不变；③四边形PMON的面积不变；④MN的长不变；其中正确的为（ ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
第6题 第7题 第8题 第12题
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，点D为边AB上一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，，则下列结论：①点D是AB的中点；②△DEC是等腰三角形；③∠DFE与∠DCE互补．其中结论正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，AO⊥OM，OA＝6，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB，AB为直角边，点B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2.5
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9．因式分解：a2+4a＝___________ ．
10．当x的值为_____ 时，分式的值为零．
11．若a、b都是正实数，且，则___________________ ．
12．如图，在Rt△ABC中．∠ACB＝90°．∠A＝50°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD．那么∠ACD的度数是 ________ ．
第13题 第14题 第15题 第16题
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，已知AB＝10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于16，则BC的长为 _____ ．
14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是_____ ．
15．如图，在3×4正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足△ABC是等腰三角形，那么符合条件的点C共有_____ 个．
16．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2的值为 _____ ．
三．解答题（共11小题，共82分）
17．（本题6分）化简：
（1）； （2）； （3）．
18．（本题6分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
19．（本题6分）解分式方程：（1）； （2）；
20．（本题6分）如图，∠1＝∠2，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O；求证：△AEC≌△BED．
21．（本题7分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB+AC＝25cm．
（1）尺规作图：在BC边上找一点P，使点P到AB的距离等于点P到点C的距离（请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若PC=4 cm，求S△ABC的面积．
22．（本题7分）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．
（1）证明：MN⊥BD；
（2）若∠BAD＝60°，AC＝8，求MN的长．
23．（本题7分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，AD平分∠BAC；
（1）求证：BE＝CF；
（2）已知AC＝20，BE＝4，DF＝8，求四边形ABDC的面积．
24．（本题7分）为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展“四大名著”阅读活动．图书管理员用3600元购买若干套后，发现仍不能满足学生的阅读需求，决定追加购买．此时正赶上图书城八折销售活动，用2400元购买的数量比第一次仅少4套．求第二次购买时每套图书的价格．
25．（本题10分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣10m+25＝0，求m，n的值．
∵m2﹣2mn+2n2﹣10m+25＝0， ∴（m2﹣2m+n2）+（n2﹣10m+25）＝0．
∴（m﹣n）2+（n﹣5）2＝0． ∵（m﹣n）2≥0，（n﹣5）2≥0，
∴m﹣n＝0，n﹣5＝0． ∴n＝5，m＝5．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知：x2+2xy+2y2+4y+4＝0，求x﹣y的值；
（2）已知：△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，求△ABC的周长的最大值；
（3）已知：△ABC的三边长是a，b，c，且满足：a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断△ABC是什么形状的三角形并说明理由．
26．（本题10分）如图，△ABC是边长为a的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD＝30°时，证明：△APD是直角三角形；
（2）若QB＝BD，AE＝1，则AD＝_____ ；
（3）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
27．（本题10分）【模型提出】
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
（1）①如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，则线段AD，BE与DE之间满足的数量关系是_____________ ；
②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝5，BE＝2，则DE的长为_____ ．
【模型初探】
（2）①如图3，四边形ABCD中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，CD＝8，则△BCD的面积为_______ ．
②如图4，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°．分别以BA和OB为直角边作等腰Rt△ABD和等腰Rt△OBC，连DC交OB延长线于点E．判断AO与BE的数量关系并证明．
【模型拓展】
（3）如图5，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝6，以AC为直角边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连接BD，则△BCD的面积为_________ ．
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