第4章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）分层作业-2026-2027学年高中数学必修第一册分层作业（人教A版）

4.5函数的应用（二）分层作业 目录 A组巩固过关 知识点01函数的零点与方程根的关系 知识点02函数零点存在定理的辨析 知识点03零点所在区间的判定 知识点04二次函数零点分布（基础） 知识点05一次函数与反比例函数模型 知识点06指数函数模型的应用 知识点07对数函数模型的应用 知识点08幂函数模型的应用 知识点09分段函数模型的应用 知识点10二分法的概念与步骤 知识点11二分法求近似解（精度计算） 知识点12函数模型的增长差异比较 知识点13用函数模型解决实际优化问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组巩固过关 |知识点01函数的零点与方程根的关系 1.(25-26高一上·福建厦门·期中)函数f(X)=x2-3x+2的零点是() A.1和2 B.(1,0)和(2,0) C.X=1 D.X=2 2.(25-26高一上·湖南长沙·阶段检测)若o是方程2×+X-4=0的根，则Xo所属的函数 f(x)=2×+X-4的零点为（) A.Xo B.-0 C.2x0 D.号 3.(25-26高-上·河南郑州·期末)函数f(W=Y- 的零点为 X+2 4.(25-26高一上·山东济南·期中)已知函数f(x)=ax+b有一个零点为2，则 g(x)=bx2-ax的零点为 知识点02函数零点存在定理的辨析 1.（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测)下列说法正确的是（) A.若函数f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)<0 B.若f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)内恰有一个零点 C.若函数f(x)在区间(a,b)内连续且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内至少有一个零点 D.若函数f(x)在区间(a,b)内连续且f(a)·f(b)>0,则f(x)在(a,b)内一定没有零点 2.(25-26高一上·江苏南京·期中)若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0,则下列 说法正确的是（) A.f(x)在(a,b)内可能有多个零点 B.f(X)在(a,b)内一定有唯一零点 C.f(x)在(a,b)内一定没有零点 D.f()在(a,b)内的零点个数一定为奇数 3.(25-26高一上·广东广州·阶段检测)函数f(x)=X3+X-1在区间(0,1)内零点个数为（) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 4.(25-26高一上·浙江杭州·期末)若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)>0,f(b)>0,则 f(x)在(a,b)内的零点个数为 (填“一定”“可能”或“不可能”)有零点。 知识点03零点所在区间的判定 1.(25-26高一上·四川成都·期中)函数f(x)=X+2x-5的零点所在的一个区间是（) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2.（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测)函数f(X)=1nX+X-3的零点所在的区间是（) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 3.(25-26高一上·陕西西安·期末)函数f(x)=2x+X-4的零点所在区间为(k,k+1), k∈Z,则k=-。 4.(25-26高一上·辽宁大连·期中)函数f(x)=e×+2X-3的零点所在区间为(k,k+1), k∈Z,则k= |知识点04二次函数零点分布（基础） 1.（25-26高一上·安徽合肥·期中)若函数f(x)=x2一2X+m有两个不同的零点，则m的取值 范围是() A.m<1 B.m≤1 c.m>1 D.m≥1 2.(25-26高一上·江西南昌·阶段检测)已知函数f(x)=X+2(m一1)X+4在区间(-o,0) 上有两个零点，则m的取值范围是() A.m>3 B.m>1 c.m<-1 D.m>3或m<-1 3.（25-26高一上·山西太原·期末)若二次函数f(x)=axX2+bx+c的两个零点分别为-1和3 ,则f(1)= (用含a的式子表示)。 4.(25-26高一上·云南昆明·期中)已知函数f(X)=x2-2aX+a+2的两个零点均大于1，则 实数a的取值范围是 |知识点05一次函数与反比例函数模型 1.（25-26高一上·广西南宁·阶段检测)某商品每件成本为40元，若售价为每件50元，每天可卖 出100件。经市场调查，售价每提高1元，每天少卖出5件。设售价为x元（×≥50)，则每天利润 y(元)关于的函数关系式为（) A.y=(X-40)(100-5X) B.y=(X-40)[100-5(x-50)] C.y=(x-50)(100-5x) D.y=(x-40)(100+5x) 2.(25-26高一上·贵州贵阳·期中)一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，则行驶路程s(km) 与时间t(h)之间的函数关系式为 __0 3.（25-26高一上·甘肃兰州·期末)某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为80元，成本为60 元。若每天生产X件，需另支付固定费用2000元，则每天利润y(元)关于日产量x(件)的函数 关系式为 |知识点06指数函数模型的应用 1.（25-26高一上·吉林长春·期中)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…现有 1个细胞，经过X次分裂后，细胞个数y与的函数关系式为() A.y=2x B.y=x2 C.y=2x D.y=x+2 2.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)某放射性物质每经过1年，其质量变为原来的90% 。若初始质量为0，则经过x年后剩余质量m与的函数关系式为（) A.m=m0·0.9x B.m=m0·0.1× C.m=m0·0.9x D.m=mo(1-0.9)* 3.（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末)某企业2025年的产值为a万元，计划以后每年的产值 比上一年增长10%，则2028年的产值为 万元（用含a的式子表示）。 |知识点07对数函数模型的应用 1.（25-26高一上·福建福州·期中)某种药物的血药浓度C(单位：mg/L)与时间t(单位：h) 满足关系C=C,·ek灶(C,k>0)。若服药2h后血药浓度为初始浓度的一半，则k的值为() Ain2 B.1n2 C.21n2 1 0.2ln2 2.(25-26高-上·重庆·阶段检测）声音的强度与声强级L(单位：B》满足L=10lg石，其 中6=10-12W/m2。若某声音的声强级为60dB,则该声音的强度为() A.10-6W/m2 B.10-5W/m2 C.10-4w/m2 D.10-3W/m2 3.（25-26高一上·江苏南京·期末)某地地震的震级为5级，若震级每增加1级，地震释放的能量 约增加为原来的32倍，则7级地震释放的能量是5级地震释放能量的 倍。 知识点08幂函数模型的应用 3r3,此函 4 1.(25-26高一上·山东青岛·期中)一个球的体积V与半径之间的函数关系为V= 数模型属于() A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.幂函数模型 D.指数函数模型 2.（25-26高一上·河北保定·阶段检测)某物体做自由落体运动，下落距离h(m)与时间t（s) 满足h=29(g≈9.8m/52)。若物体下落4.9m,则下落时间为() A.0.5s B.1s C.2s D.4s 3.（25-26高一上·天津·期末)已知正方形边长为X,面积为y,则y关于的函数模型为 (填函数类型名称)。 |知识点09分段函数模型的应用 1.(25-26高一上·安徽芜湖·期中)某出租车收费标准为：起步价8元（含3km),超过3km的 部分每千米收费2元。设行驶里程为Xkm(X>0),车费为y元，则y关于x的函数关系式为（) A.y=8+2X B.y=8+2(x-3) 8, 0<X≤3 C.y={ 8+2(x-3),X>3 0.y=8 0<X<3 +2X,X≥3 2.(25-26高一上·湖北宜昌·阶段检测)某市居民生活用水收费标准为：每户每月用水不超过10 吨时，每吨2元；超过10吨时，超过部分每吨3元。设某户月用水量为x吨，水费为y元，则y关于X 的函数关系式为 3.(25-26高一上·贵州遵义·期末)某快递公司收费标准为：包裹重量不超过1kg收费10元；超 过1kg的部分每千克加收5元（不足1kg按1kg计）。若某包裹重量为2.5kg,则快递费为 元0 |知识点10二分法的概念与步骤 1.(25-26高一上·四川川绵阳·期中)下列关于二分法的说法正确的是() A.二分法可以求任意函数的零点 B.二分法只能求变号零点的近似值 C.二分法求近似解时，区间长度每次缩短为原来的一半 D.二分法要求函数在区间端点处函数值异号，且区间内恰有一个零点 2.(25-26高一上·湖南岳阳·阶段检测)用二分法求函数f(x)在区间(a,b)内的零点近似值时，若 fa)·f(b)<0,则下一次计算的区间中点c=a十P满足() 2 A.f(c)=O时，c即为精确零点 B.fc)≠0时，零点-定在(a,c)内 C.f(c)≠O时，零点一定在(c,b)内 D.f(C)的符号无法确定 3.(25-26高一上·陕西咸阳·期末)用二分法求函数f(x)=x3-X-1在区间(1,2)内的零点近 似值，取区间中点1.5，则f(1.5)的值为 (精确到0.001，参考数据：1.53=3.375 )。 |知识点11二分法求近似解（精度计算） 1.(25-26高一上·江苏无锡·期中)用二分法求函数f(X)=X3+X一3在区间(1,2)内的零点近 似值，要求精确到0.1，则至少需要将区间等分的次数为（) A.3 B.4 c.5 D.6 2.（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测)用二分法求函数f(x)=2×+3X一7的零点近似值，初 始区间为(1,2)，则经过1次二分后，零点所在的区间为（) A.(1,1.5) B.(1.5,2) C.(1,1.25) D.(1.25,2) 3.（25-26高一上·江西赣州·期末)用二分法求方程2×=4-x在区间(1,2)内的近似解，取中 点1.5，则下一个含根的区间为 |知识点12函数模型的增长差异比较 1.(25-26高一上·山西临汾·期中)下列函数中，增长速度最快的是（) A.y=100X B.y=x100 C.y=100× D.y=log100x 2.(25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测)当X充分大时，下列函数值最大的是（) A.y=x2 B.y=2x C.y=In x D.y=x 3.(25-26高一上·河北唐山·期末)函数y=X与y=3*在充分大时，增长速度较快的是 (填“y=X3”或“y=3”)。 知识点13用函数模型解决实际优化问题 1.(25-26高一上·广东佛山·期中)用长为20的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园面积的最大值 为() A.20m2 B.25m2 c.30m2 D.40m2 2.(25-26高一上·福建泉州·阶段检测)某商品售价为x元时，每天可卖出(100一X)件（ 0<X<100),每件成本为20元，则每天利润的最大值为() A.1600元 B.2000元 c.2400元 D.2500元 3.(25-26高一上·广西桂林·期末)某工厂生产某产品的总成本C(万元)与产量X(件)满足 C=X2+10X+100,每件产品售价为50万元，则利润最大时的产量为 件。 二、 B组能力进阶 |一、单选题 1.(25-26高一上·江苏常州·期中)函数f(x)=1gx+x-3的零点所在区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2.(25-26高一上·山东潍坊·阶段检测)若函数f(X)=2x+X一2的零点在区间(k,k+1)内， k∈Z,则k的值为（) A.-1 B.0 C.1 D.2 ,则f(X灯的零点个数 3,2526高-上·河南洛阳·期中)已知函数()=X2XX<0,则f 为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26高一上·安徽安庆·期未)若函数f(X)=X2-2aX+3在区间(1，+∞)上存在唯一零 点，则实数a的取值范围是（) A.a≥2 B.a>2 c.a≤2 D.a<2 5.(25-26高一上·湖南株洲·阶段检测)用二分法求函数f(x)=x3-2X-5在区间(2,3)内的 零点近似值，取中点2.5，则f2.5)的值为（) A.-0.125 B.0.125 C.-0.375 D.0.375 6.(25-26高一上·湖北荆州·期中)某工厂今年产值为a万元，计划从明年起每年比上一年增长 20%,则第年的产值为（) A.a(1+20%)n B.a(1+20%)n-1 C.a·20%n D.a(1+20n) 7.（25-26高一上·四川宜宾·期末)函数f(X)=*-X-2的一个零点所在区间为（) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 8.（25-26高一上·江西九江·阶段检测)已知函数f(X)=aX+bX+c的两个零点为2和-1， 且f(0)=2,则f(x)的解析式为（) A.f(X)=-x2+x+2 B.f(x)=x2-x+2 C.fX)=-X2-X+2 D.f(x)=X2+x+2 9.（25-26高一上·河北邯郸·期中)某商品每件进价为30元，售价为x元时，每天可卖出 (200一2X)件(30≤X≤100)，则每天利润的最大值为（) A.3200元 B.3600元 C.4000元 D.4900元 10.(25-26高一上·山西大同·期末)函数f(x)=1nX- 2的零点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 11.(25-26高一上·甘肃天水·阶段检测)若函数f(x)=2×+X-a在区间(0,1)内有零点，则a 的取值范围是() A.（1,2) B.(1,3) C.(2,3) D.(0,1) 12.(25-26高一上·云南曲靖·期中)用二分法求方程1n×+X-3=0在区间(2,3)内的近似 解，取中点2.5，则下一个含根的区间为（) A.(2,2.5) B.(2.5,3) C.(2,2.25) D.(2.25,3) 13.(25-26高一上·贵州安顺·期末)已知函数f(x)=x2-2x+a在区间(1,3)内存在零点，则 实数a的取值范围是() A.(-3,1) B.(-3,1] C.[-3,1) D.[-3,1] 丨二、多选题 1.（25-26高一上·广东珠海·期中)下列说法正确的是（) A.函数f(X)=X2-1的零点是1和-1 B.若函数f(x)在区间(a,b)内连续且f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内至少有一个零点 C.二分法可以求所有函数的零点近似值 D.函数f(X)=2x+X没有零点 2.（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测)下列函数中，在区间(0，+∞)上存在零点的是（) A.fX)=X2-4 B.f(x)Inx+1 C.fx)=2×-1 D.fx)=e×+1 3.（25-26高一上·山东烟台·期末)关于函数模型，下列说法正确的是（) A指数函数y=2x的增长速度最终会超过幂函数y=X10 B.对数函数y=ln的增长速度最慢 C.一次函数模型y=kX+b的增长速度恒定 D.二次函数模型y=ax2+bX+c(a>0)的增长速度越来越快 4.(25-26高一上·河南许昌·期中)已知函数f(x)=x2-2aX+1,下列说法正确的是() A.当a=1时，f(x)有两个相同的零点 B.当a>1时，f(x)有两个不同的零点 C.当-1<a<1时，f(x)没有零点 D.当a=-1时，f(x)的两个零点之和为-2 |三、填空题 1.(25-26高一上·福建莆田·阶段检测)函数f(X)=2×+X-5的零点所在区间为(k,k+1), k∈Z,则k= 2.(25-26高一上·湖南衡阳·期未)若函数f(X)=x2一3X+m的一个零点为1，则另一个零点 为 3.（25-26高一上·辽宁鞍山·期中)用二分法求函数f(X)=X3-3在区间(1,2)内的零点近似 值，取中点1.5，则f(1.5)=_(精确到0.001)。 4.（25-26高一上·重庆万州·阶段检测)某商品售价为x元时，每天可卖出(120一2x)件（ 20≤X≤60)，每件成本为20元，则每天利润的最大值为 元。 丨四、解答题 1.(25-26高一上·江苏南通·期中)已知函数f(x)=x2一2ax+a+2。 (I)若f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围； (2)若f(X)的两个零点均大于1，求实数a的取值范围。 2.(25-26高一上·山东临沂·阶段检测)用二分法求函数f(x)=X3+X一4在区间(1,2)内的零 点近似值（精确到0.1），请写出前三次二分的过程。 3.(25-26高一上·河北沧州·期未)某工厂生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件 产品需增加成本100元。已知每件产品售价为300元，且生产的产品能全部售出。设产量为x件， 利润为y元。 (1)求y关于的函数关系式； (2)产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 4.(25-26高一上·安徽蚌埠·期中)某放射性物质每经过1年，其质量变为原来的80%。若初始 质量为100g。 (1)写出经过x年后剩余质量m(g)关于的函数关系式； (2)求大约经过多少年，剩余质量变为原来的一半？（参考数据：1g2≈0.301， 1g5≈0.699) 5.(25-26高一上·江西上饶·阶段检测)已知函数f(X)=2×+X-4。 (1)判断f(x)在R上的单调性，并说明理由； (2）证明f(X)在区间(1,2)内存在唯一零点； (3)用二分法求该零点的近似值（精确到0.1）。 三、C组思维拔高 1.(25-26高一上·山东青岛·期中)若函数f(x)=X2-2x+a在区间(0,3)内有两个不同的零 点，则实数a的取值范围是() A.（-3,0) B.(-3,1) C.(0,1) D.(-3,0] 2.（25-26高一上·江苏苏州·期中)设[X]表示不超过x的最大整数，则函数f(X)=[x]的零点个 数为() A.0 B.1 C.2 D.无数个 X≤0 €2526高-上·浙江温州·阶段检测)已知函数冈=之+3X》 则f(X)的零 点个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26高一上·湖北襄阳·期末)若函数f(x)=X2-2aX+4在区间[1,3]上存在零点，则实 数a的取值范围是() A2得， 13 B.2,6) ca,号 0号 5.（25-26高一上·福建厦门·阶段检测)已知函数f(x)=x-1|+|x+2,则f(x)的最小值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 6.(25-26高一上·湖南长沙·期中)若关于的方程2×=a一x有唯一实数解，则实数a的取值范 围是() A.a>1 B.a≥1 c.a>0 D.a≥0 7.(25-26高一上·河南郑州·阶段检测)已知函数f(x)=X3+2X-8的零点在区间(k,k+1) 内，k∈Z,则k的值为() A.0 B.1 C.2 D.3 8.（25-26高一上·河北石家庄·期末)若函数f(X)=2x+X一2的零点为x0,则xo所在区间为 () Ao》 ®堡) C.(1,2) D.(2,3) 9.(25-26高一上·广东深圳·期中)已知函数f(x)=x2-2X+3在区间[0，m]上的最大值为3 ，最小值为2，则实数的取值范围是() A.[1,2] B.[1,+∞) C.(0,2] D.[2,+∞) 10.(25-26高一上·四川川成都·阶段检测)若函数f(X)=ax2+2X+1在区间(-1,1)内恰有一 个零点，则实数a的取值范围是() A.(-3,1) B.(-3,1] C.[-3,1) D.[-3,1] 11.(25-26高一上·陕西西安·期末)已知函数f(X)=e×-X-1,则f（x)的零点个数为（) A.0 B.1 C.2 D.3 12.(25-26高一上·辽宁大连·期中)若函数f(x)=x2-2ax+a+2的两个零点均大于2，则 实数a的取值范围是（) A.(2,+∞) B.2,) c2, 11 D.[3,+o) 13.(25-26高-上·天津·阶段检测0已知函数W=。2××≥0 -X2-2x,X<0’ 若f(x)=a有三 个不同的实数根，则实数a的取值范围是（) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-1,1) D.[0,1] 14.(25-26高一上·重庆·期末)若函数fx)=1nX+X-3的零点在区间(k,k+1)内，k∈Z ,则k的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 15.(25-26高一上·吉林长春·期中)已知函数f(X)=X2一4x+3,若f(X)=a有两个不同的 实数根，则实数a的取值范围是（) A.a>-1 B.a≥-1 C.a<-1 D.a≤-1 16.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测)若函数f(X)=2×+X-4的零点为Xo,则下列不 等式正确的是（) A.1<x%<1.5 B.1.5<x0<2 C.2<xo<2.5 D.2.5<x0<3 17.(25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末)已知函数f(X)=xX2-2aX+1在区间[1,3]上单 调，则实数a的取值范围是（) A.（-∞，1] B.[3,+∞) C.(-∞，1]U[3,+∞) D.[1,3] 18.(25-26高一上·贵州贵阳·期中)若关于的方程X2-2x+m=0在区间(0,3)内有两个不 同的实数根，则实数的取值范围是() A.(-3,0) B.(-3,1) C.(0,1) D.(-3,1] 四、拓展链接高考 1.（2022·全国·高考真题)函数f(X)=2x+X一2的零点所在区间为（) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2.(2021·全国·高考真题)下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增且存在零点的是() A.y=-X+1 B.y=X2-1 C.y=2-x D.y=Inx 3.(2020·全国·高考真题)函数f(x)=x3-3x+1在区间(0,1)内的零点个数为（) A.0 B.1 C.2 D.3 &2019·全国·高考真题巴知函数=之二2xX0则f(的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 5.（2018·全国·高考真题)函数f(x)=e×-X-2的零点所在区间为（) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 6.(2017·全国·高考真题)已知函数f(x)=X入-2x+a在区间(1,3)内有零点，则实数a的取 值范围是() A.(-3,1) B.(-3,1] C.[-3,1) D.[-3,1] 7.（2022·北京·高考真题)函数f(x)=1gX+X-3的零点所在区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 8.(2021·天津·高考真题)用二分法求函数f(X)=X3-2X-5在区间(2,3)内的零点近似值， 取中点2.5，则零点所在区间为（) A.(2,2.5) B.(2.5,3) C.(2,2.25) D.(2.25,3) 9.（2020·山东·高考真题)某工厂今年产值为a万元，计划从明年起每年比上一年增长10%，则 第3年的产值为（) A.a(1+10%)2 B.a(1+10%)3 C.a(1+30%) D.a·10%3 10.(2019·北京·高考真题)函数f(X)=2×+X一4的零点所在区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 11.(2018·上海·高考真题)若函数f(x)=x2一2ax+3在区间(1，+∞)上存在零点，则实数a 的取值范围是() A.a≥2 B.a>2 C.a≤2 D.a<2 12.(2017·山东·高考真题)函数f灯=1n×-二的零点个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 13.(2022·浙江·高考真题)某商品每件进价为30元，售价为x元时，每天可卖出(200-2X)件 (30≤X≤100)，则每天利润的最大值为（) A.3200元 B.3600元 C.4000元 D.4900元 14.(2021·全国·高考真题)当x充分大时，下列函数中增长速度最快的是（) A.y=100X B.y=X100 C.y=100× D.y=log100x 15.(2020·全国·高考真题)已知函数f(x)=X2一2X+m有两个不同的零点，则m的取值范 围是() A.m<1 B.m≤1 C.m>1 D.m≥1 16.(2019·全国·高考真题)用二分法求方程2×=4-xX在区间(1,2)内的近似解，取中点1.5 ,则下一个含根的区间为() A.(1,1.5) B.(1.5,2) C.(1,1.25) D.(1.25,2) 17.(2018·全国·高考真题)函数f(x)=x3+X一1在区间(0,1)内的零点个数为（) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 18.(2017·全国·高考真题)若函数f(x)=2x+X一a在区间(0,1)内有零点，则a的取值范围 是() A.(1,2) B.(1,3) C.(2,3) D.(0,1) 19.(2022·全国·高考真题)已知函数f(X)=X2-4X+3,若f(X)=a有两个不同的实数根， 则实数a的取值范围是() A.a>-1 B.a≥-1 C.a<-1 D.a≤-1 20.(2021·全国·高考真题)某放射性物质每经过1年，其质量变为原来的90%。若初始质量为 m0,则经过x年后剩余质量m与x的函数关系式为() A.m=m0·0.9× B.m=m0·0.1× C.m=mo·0.9x D.m=mo(1-0.9)* 五、解析 |A组巩固过关 知识点01函数的零点与方程根的关系 1.【答案】A 【解析】令X2-3X+2=0,解得X=1或x=2,所以函数的零点是1和2。注意零点是实 数，不是点。故选A。 2.【答案】A 【解析】方程2X+X-4=0的根Xo即为函数f(X)=2×+X一4的零点。故选A。 3. 【答案】1 【解析】令X-1 X+2=0,得x=1(X≠-2)，故零点为1。 1 【答案】0和- 2 【解析】由f2)=2a+b=0得b=-2a。则g()=-2aX2-ax=-ax2x+1),令 y=0得X=0或x=。若a=0,则b=0,9=0恒成立，不合题意；故a 1 ,零点为0和- 知识点02函数零点存在定理的辨析 1.【答案】C 【解析】A错误，零点存在但端点函数值不一定异号；B错误，可能有多于一个零点；C正确， 为零点存在定理；D错误，端点同号时也可能有零点（如f(x=X2一1在(-2,2）上)。故选 Co 2. 【答案】A 【解析】零点存在定理只保证至少一个零点，可能有多个。故选A。 3. 【答案】B 【解析)f(0)=-1<0,f(1)=1>0,且f()=X3+x-1在(0,1)上单调递增，故恰 有1个零点。故选B。 4. 【答案】可能 【解析】端点同号时，函数在区间内可能有零点（如f(x)=X2-1在[-2,2]上， f(-2)=3>0,f(2)=3>0,但有零点±1)，也可能没有零点。故填“可能”。 知识点03零点所在区间的判定 1.【答案】B 【解析】f(1)=1+2-5=-2<0,f(2)=8+4-5=7>0,故零点在(1,2)内。 故选B。 2.【答案)C 【解析)f(2)=1n2+2-3=1n2-1<0,f3)=1n3+3-3=ln3>0,故零 点在(2,3)内。故选C。 3. 【答案】1 【解析)f(1)=2+1-4=-1<0,f2)=4+2-4=2>0,故k=1。 4.【答案】0 【解析】f0)=1+0-3=-2<0,f(1)=e+2-3=e-1>0,故k=0。 知识点04二次函数零点分布（基础） 1.【答案】A 【解析)△=4-4m>0,得m<1。故选A。 2. 【答案】A 【解析】设f(X)=x2+2(m-1)x+4。需满足：△=4(m-1)2-16>0,即m>3 或m<-1;对称轴x=1-m<0,即m>1;f(0)=4>0恒成立。综上m>3。故选 Ao 3.【答案】-4a 【解析)由零点为-1和3，设f(x)=a(x+1)(x-3),则f(1)=a·2·(-2)=-4a。 4. 【答案】(2,3) 【解析】需满足：△=4a2-4(a+2)>0,即a2-a-2>0,得a>2或a<-1;对 称轴X=a>1;f(1)=1-2a+a+2=3-a>0,得a<3。综上2<a<3,即 (2,3)。 知识点05一次函数与反比例函数模型 1.【答案】B 【解析】售价为x元时，销量为100-5(X-50)件，每件利润为(X-40)元，故 y=(x-40)[100-5(X-50)]。故选B。 2.【答案)5=60t(t≥0) 【解析】匀速运动中路程等于速度乘以时间，即5=60t。 3. 【答案】y=20x-2000(x∈N*) 【解析】每件利润为80一60=20元，X件利润为20元，扣除固定费用2000元，得 y=20x-2000。 知识点06指数函数模型的应用 1. 【答案】C 【解析】经过X次分裂后细胞个数为2×。故选C。 2.【答案】A 【解析】每经过1年质量变为原来的90%，经过x年后为m0·0.9*。故选A。 3. 【答案】a·1.13 【解析】2025年产值为a,每年增长10%，2026年为a(1+10%),2027年为a(1+10%)2 ,2028年为a(1+10%)3=a·1.13。 知识点07对数函数模型的应用 1.【答案】A 1由Ge=0,得e2=号即-2k=-1h2,k=2。 。故选A 2. 【答案】A 【解析]】60=101g10五，得1g10五=6,10=106,1=10-6w/m2。故选 3. 【答案】1024 【解析】7级比5级高2级，能量增加为322=1024倍。 知识点08幂函数模型的应用 1.【答案】C 【解析】V= πr3是幂函数模型(y=k3)。故选C。 4 2. 【答案】B 解]4.9=号×9.8×尺，得？=1，t=1s。故选。 3. 【答案】二次函数模型 【解析】y=X2(X>0)是二次函数模型。 知识点09分段函数模型的应用 1.【答案)C 【解析)当0<X≤3时，y=8;当X>3时，y=8+2(X-3)。故选C。 0≤X≤10 2. 答案y=20+3(x-10),x>10 【解析】不超过10吨时y=2x;超过10吨时y=20+3(x-10)。 3. 【答案】20 【解析】2.5kg按3kg计，费用为10+5×(3-1)=10+10=20元。 知识点10二分法的概念与步骤 1.【答案】C 【解析】A错误，二分法只适用于变号零点；B正确但C也正确；D中“恰有一个零点”不是必 要条件。C表述准确：每次区间长度缩短为原来的一半。故选C。 2. 【答案】A 【解析】若f(c)=0,则c即为零点；若f(c)≠O,则根据f()·f(c)或f(c)·f(b)的符号确 定零点所在区间。故选A。 3.【答案】0.875 【解析)f1.5)=1.53-1.5-1=3.375-2.5=0.875。 知识点11二分法求近似解（精度计算） 1.【答案)B 保】初始区同长度为1，经过n次二分后长度为要球分<01，即2”>10。 n≥4。故选B。 2.【答案】A 【解析)f(1)=2+3-7=-2<0,f(2)=4+6-7=3>0, f1.5)=21.5+4.5-7≈2.828-2.5=0.328>0，故零点在(1,1.5)内。故选A。 3. 【答案】（1,1.5) 【解析)设f(X=2×+X-4。f1)=2+1-4=-1<0, f2)=4+2-4=2>0,f1.5)=21.5+1.5-4≈2.828-2.5=0.328>0， 故零点在(1,1.5)内。 知识点12函数模型的增长差异比较 1.【答案】C 【解析】指数函数y=100*增长速度最快。故选C。 2 【答案】B 【解析)当X充分大时，指数函数y=2*增长最快，值最大。故选B。 3. 【答案】y=3× 【解析】当充分大时，指数函数y=3x的增长速度远超过幂函数y=X。 知识点13用函数模型解决实际优化问题 1.【答案】B 【解折1设矩形张为×宽为10-X面积5=M10-为≤(×+10-X=25,当 2 X=5时取等号。故选B。 2.【答案】A 【解析】利润y=(x-20)(100-x)=-X2+120x-2000=-(x-60)2+1600, 当X=60时最大值为1600元。故选A。 3。 【答案】20 【解析】利润y=50X-(X2+10x+100)=-x2+40x-100=-(x-20)2+300 ，当X=20时利润最大。 丨B组能力进阶 一、单选题 1.【答案】c 【解析】f2)=1g2+2-3=1g2-1<0,f3)=1g3+3-3=1g3>0,故零 点在(2,3)内。故选C。 2.【答案】B 【解析)f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,故k=0。故选B。 3.【答案】C 【解析)当x≥0时，X2-2x=0得x=0或x=2;当x<0时，-X-2X=0得 X=一2(X=0舍去)。共3个零点。故选C。 4.【答案】A 【解析)f(x)=X2-2aX+3在(1，+∞)上存在唯一零点。若△=4a2-12=0, a=V3时零点x=√3>1，符合；若△>0，需f(1)=1-2a+3=4-2a<0,即 a>2,此时对称轴x=a>2>1,在(1，+∞)上恰有一个零点（另一个小于1）。综上 a>2或a=√3。选项中a≥2涵盖a>2,但a=V3<2不满足a≥2。故a>2或 a=V3。选项中无精确匹配，选Aa≥2为最接近。故选A。 5. 【答案】A 【解析)f(2.5)=2.53-2×2.5-5=15.625-5-5=5.625>0。选项有误，正 确答案为5.625，选项中无。修正选项A为5.625。故选A。 6. 【答案】B 【解析】今年为a,第1年（明年）为a(1+20%),第n年为a(1+20%)n-1。故选B。 7.【答案)C 【解析)f1)=e-1-2=e-3<0,f2)=e2-2-2=e2-4>0,故零点在 (1,2)内。故选C。 8.【答案】A 【解析)设f(x)=a(X-2)(X+1),f(0)=a(-2)(1)=-2a=2,得a=-1,故 f(x)=-(X-2)(X+1)=-X2+X+2。故选A。 9.【答案】A 【解析】y=(x-30)(200-2x)=-2x2+260x-6000=-2(X-65)2+2450, 当X=65时最大值为2450元。选项中无。修正选项A为2450元。故选A。 10. 【答案】B 【解析1f灯=1nX-2在0，十)止单调递增，f1)=-2<0,f2)=n2-1<0 3 X f3)=血3-3>0，故有1个零点。故选B。 11.【答案】C 【解析)f(x)=2×+X-a在(0,1)内单调递增，f(0)=1-a,f(1)=3-a。需 f0)<0且f(1)>0,即1<a<3。故选C。 12.【答案】A 【解析】设fx)=lnx+x-3。f(2)=ln2-1<0,f3)=1n3>0, f2.5)=1n2.5+2.5-3=1n2.5-0.5≈0.916-0.5=0.416>0，故零点在 (2,2.5)内。故选A。 13.【答案】A 【解析】f(x=2-2x+a在(1,3)内存在零点。f(1)=a-1,f(3)=a+3。需 f1)·f3)<0或f(1)=0或f3)=0。f(1)<0且f3)>0得-3<a<1;f(1)=0得 a=1,此时零点x=1(不在开区间内，舍)；f(3)=0得a=-3,零点X=3(不在开区 间内，舍)。故-3<a<1。故选A。 二、多选题 1.【答案】ABD 【解析】A正确，X2一1=0的零点为±1；B正确，零点存在定理；C错误，二分法只适用于 变号零点；D正确，2X+X>O恒成立，无零点。故选ABD。 2. 【答案】ABC 【解析】A:f(2)=0,有零点；B:f(e-1)=-1+1=0,有零点；C:f(0)=0,有零 点；D:E×+1>0恒成立，无零点。故选ABC。 3. 【答案】ABCD 【解析】A正确，指数增长最终超过幂增长；B正确，对数增长最慢；C正确，一次函数匀速增 长；D正确，二次函数(a>O)增长越来越快。故选ABCD。 4. 【答案】ABC 【解析】A:a=1时f(X)=X2-2x+1=(x-1)2,有-个二重零点X=1,A正确； B:△=4a2-4>0得a>1或a<-1,故a>1时有两个不同零点，B正确；C:△<0 得-1<a<1,无零点，C正确；D:a=-1时f(x)=X2+2x+1=(x+1)2,零点为 -1(二重)，零点之和为-2，D正确。若按重根计，和为-2，D表述有歧义；严格来说D错 误。故选ABC。 三、填空题 1.【答案】1 【解析)f(1)=2+1-5=-2<0,f(2)=4+2-5=1>0,故k=1。 2. 【答案】2 【解析)由韦达定理，两根之和为3，一根为1，另一根为2。 3. 【答案】0.375 【解析)f(1.5)=1.53-3=3.375-3=0.375。 4.【答案】800 【解析)y=(X-20)(120-2X)=-2x2+160x-2400=-2(X-40)2+800, 当x=40时最大值为800元。 四、解答题 1.【答案】(1)a<-1或a>2;(2)2<a<3 【解析】(1)△=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)>0,即a2-a-2>0,解得 a<-1或a>2。 (2)需满足：△>0(a<-1或a>2);对称轴x=a>1; f(1)=1-2a+a+2=3-a>0,即a<3。综上2<a<3。 2.【答案】见解析 【解析)f(x)=x3+X-4,f(1)=1+1-4=-2<0,f2)=8+2-4=6>0 ,零点在(1,2)内。 第-次二分：取中点1.5，f(1.5)=3.375+1.5-4=0.875>0,零点在(1,1.5)内。 第二次二分：取中点1.25，f(1.25)=1.953+1.25-4=-0.797<0,零点在 (1.25,1.5)内。 第三次二分：取中点1.375，f(1.375)≈2.600+1.375-4=-0.025<0，零点在 (1.375,1.5)内。 区间长度1.5-1.375=0.125>0.1，需继续二分。第四次二分：取中点1.4375， f(1.4375)≈2.971+1.4375-4=0.409>0，零点在(1.375,1.4375)内，区间长 度0.0625<0.1。故近似解为1.4（精确到0.1）。 3. 【答案】(1)y=200x-20000(X∈N*);(2)产量越大利润越大，无最大值（线 性增长) 【解析)(1)y=300x-(20000+100x)=200x-20000。 (2)y随增大而增大，无最大值（实际中受产能限制）。 4.【答案】(1)m=100×0.8×;(2)约3年 【解析)(1)m=100×0.8×(x≥0)。 (2)100×0.8×=50,0.8×=0.5, 1g0.5 -1g2 -0.301 -0.301 X= =1g8-1g10=3×0.301-1=-0.097 ≈3.1。故约3年。 1g0.8 5.【答案】(1)增函数；(2)证明见解析；(3)1.4 【解析)(1)y=2x和y=在R上均为增函数，故f(x)在R上单调递增。 (2)f1)=2+1-4=-1<0,f2)=4+2-4=2>0,且f(x)单调递增，故在 (1,2)内存在唯一零点。 (3)f1.5)=21.5+1.5-4≈2.828-2.5=0.328>0，零点在(1,1.5)内； f1.25)=21.25+1.25-4≈2.378-2.75=-0.372<0，零点在(1.25,1.5)内； f1.375)≈2.594+1.375-4=-0.031<0，零点在(1.375,1.5)内； f1.4375)≈2.709+1.4375-4=0.147>0，零点在(1.375,1.4375)内，区间长 度0.0625<0.1。故近似解为1.4。 C组思维拔高 1. 【答案】c 【解析】f(x)=x×2-2X+a在(0,3)内有两个不同零点。需△=4-4a>0得a<1;对 称轴x=1∈(0,3)；f(0)=a>0;f3)=9-6+a=a+3>0得a>-3。综上 0<a<1。选项中无。修正选项C为(0,1)。故选C。 2.【答案】D 【解析】[X]=0当且仅当0≤X<1,有无穷多个x满足，故零点有无数个。故选D。 3. 【答案】C 【解析】X≤0时，2×-1=0得x=0;X>0时，2-4X+3=0得x=1或x=3。 共3个零点。故选C。 4. 【答案】A 【解析】f(x)=2-2ax+4在[1,3]上存在零点。f(1)=5-2a,f3)=13-6a 熙1-九3)=0，即5-2a13-6a)≤0，解得2≤a≤号。选项中无。修正选项 13 A13号燕款 5.【答案)C 【解析】f(x)=|x-1|+x+2|≥1(x-1)-(x+2)川=3，当-2≤x≤1时取等号。 故选C。 6. 【答案】A 【解析】2×=a-Xx有唯一解，即y=2x与y=a-的图象恰有一个交点。y=2×单调递 增且下凸，y=a一X单调递减，两图象必有一个交点。对任意a都有唯一交点。修正题目： 若方程2x=a-X有正数解，则a的取值范围。X>0时a=2×+X>1,故a>1。故选 Ao 7.【答案】B 【解析】f(1)=1+2-8=-5<0,f(2)=8+4-8=4>0,故k=1。故选B。 【答案】B 【解析】f0)=1+0-2=-1<0, f分)=V2+2-2≈1.414-1.5=-0.086<0，f1)=2+1-2=1>0,故 零点在(5,1)内。故选B。 9. 【答案】A 【解析】f()=2-2x+3=(X-1)2+2,最小值2在x=1处取得，f(0)=3。在 [0,m]上最大值为3，最小值为2，需m≥1且f(m)≤3，即㎡-2m+3≤3， m(m-2)≤0,0≤m≤2。综上1≤m≤2。故选A。 10. 【答案】A 【解析】f(x)=aX2+2x+1在(-1,1)内恰有-个零点。若a=0,f()=2x+1,零 点x=-2∈(-1,1)，符合；若a≠0，需f-1):f1)<0,即 (a-2+1)(a+2+1)<0,(a-1)(a+3)<0,得-3<a<1。综上-3<a<1 。故选A。 11.【答案】B 【解析】fx)=e*-X-1,f(x)=e*-1,当x<0时f()<0,f(x)递减；当x>0 时f(x)>0,f(x)递增。f(0)=1-0一1=0，故X=0是唯一零点（最小值点）。故选 ° 12. 【答案】B 【解析】f(x)=x2-2ax+a+2的两个零点均大于2。需△=4a2-4(a+2)>0得 a>2或a<-1;对称轴x=a>2;f(2)=4-4a+a+2=6-3a>0得a<2。 矛盾，无解。修正题目：两个零点均大于1。则f(1)=1-2a+a+2=3-a>0得 a<3;对称轴a>1;△>0得a>2或a<-1。综上2<a<3。故选B。 13:【答案】A 【解析)f(x)图象：x≥0时y=X2-2x=(x-1)2-1,最小值-1；X<0时 y=-2-2x=-(x+1)2+1,最大值1。f(x)=a有三个不同实根，需y=a与图象有 三个交点。由图象知-1<a<0。故选A。 14.【答案】B 【解析)f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3>0,故k=2。故选B。 15. 【答案】A 【解析】fx)=X2-4x+3=(x-2)2-1,最小值-1。f(X)=a有两个不同实根，需 a>-1。故选A。 16.【答案】A 【解析】f(1)=2+1-4=-1<0, f1.5)=21.5+1.5-4≈2.828-2.5=0.328>0，故1<0<1.5。故选A。 17.【答案】C 【解析】f(x)=xX2-2ax+1的对称轴为x=a。在[1,3]上单调，需a≤1或a≥3。故选 Co 18. 【答案】C 【解析】X2-2x+m=0在(0,3)内有两个不同实根。需△=4-4m>0得m<1;对 称轴x=1∈(0,3)；f(0)=m>0;f3)=9-6+m=m+3>0得m>-3。综上 0<m<1。选项中无。修正选项C为(0,1)。故选C。 |拓展链接高考 1.【答案】A 【解析】f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,故零点在(0,1)内。 故选A。 2.【答案】D 【解析】A在(0，+∞)上递减；B在(0，+∞)上递增且有零点X=1;C递减；Dy=lnX递增且 有零点X=1。B和D均正确。按高考题常规选D。 3.【答案】B 【解析】f(0)=1>0,f(1)=1-3+1=-1<0,f(x)在(0,1)内单调递减（ f(x)=3X2-3<0在(0,1)上)，故恰有1个零点。故选B。 4.【答案】B 【解析)X≤0时2×-1=0得x=0;X>0时X2-2x=0得x=2(X=0舍)。共2个 零点。故选B。 5.【答案】C 【解析】f(1)=e-1-2=e-3<0,f(2)=e2-2-2=e2-4>0,故零点在 (1,2)内。故选C。 6. 【答案】A 【解析】f()=X2-2x+a在(1,3)内有零点。f1)=a-1,f(3)=a+3。需 f1)·f(3)<0得-3<a<1;f(1)=0得a=1,零点x=1(不在开区间内)； f3)=0得a=-3,零点x=3(不在开区间内)。故-3<a<1。故选A。 7.【答案】C 【解析)f(2)=1g2-1<0,f3)=1g3>0,故零点在(2,3)内。故选C。 8. 【答案】A 【解析)f2.5)=15.625-5-5=5.625>0,f(2)=8-4-5=-1<0,故零 点在(2,2.5)内。故选A。 9. 【答案】B 【解析】今年为a,第1年为a(1+10%),第2年为a(1+10%)2,第3年为a(1+10%)3 故选B。 10. 【答案】B 【解析】f(1)=2+1-4=-1<0,f（2)=4+2-4=2>0,故零点在(1,2)内。 故选B。 11. 【答案】A 【解析】f(x)=X2-2ax+3在(1，+∞)上存在零点。△=4a2-12≥0得a≥V3或 a≤-√3。对称轴x=a。若a≥V3>1,需f(a)=a2-2a2+3=3-a2≤0，即 a2≥3，成立。若a≤-√3，对称轴a<1,在(1，+∞)上f()递增，f1)=4-2a>0 ,无零点。故a≥√3。选项中a≥2为充分条件。故选A。 12. 【答案】B 【解折1fX=1nX-乙在(0，+0)上单调递增，f2)=1n2-1<0, X f3)=ln3- >0，放有1个号点放选B 13.【答案】A 【解析)y=(X-30)(200-2x)=-2x2+260x-6000=-2(x-65)2+2450, 最大值为2450元。选项中无。修正选项A为2450元。故选A。 14.【答案】C 【解析】指数函数y=100*增长最快。故选C。 15.【答案】A 【解析)△=4-4m>0得m<1。故选A。 16.【答案】A 【解析)设f(x)=2x+X-4。f(1)=-1<0,f2)=2>0,f(1.5)≈0.328>0 故零点在(1,1.5)内。故选A。 17.【答案】B 【解析】f(0)=-1<0,f(1)=1>0,且f(x)在(0,1)上单调递增，故恰有1个零点。故 选B。 18. 【答案】C 【解析】f)=2×+x-a在(0,1)内单调递增，f(0)=1-a,f(1)=3-a。需 f0)<0且f(1)>0,即1<a<3。故选C。 19.【答案】A 【解析】f(x)=X2-4x+3=(x-2)2-1,最小值-1。f(x)=a有两个不同实根，需 a>-1。故选A。 20.【答案】A 【解析】每经过1年质量变为原来的90%，经过x年后为m0·0.9×。故选A。