4.5.2 用二分法求方程的近似解（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 这份同步练习以“分层递进+高考衔接”为特色，通过A组基础巩固、B组能力提升、C组思维拓展及高考链接，构建从概念理解到综合应用的完整知识路径，适配新授课差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二分法条件/过程、函数零点、指数/对数模型、给定/拟合模型应用|基础题型对应核心考点，如二分法条件判断、单一函数模型直接应用| |B组|二分法精度控制、复杂函数模型应用|中档题综合知识点，如含参数零点问题、多步函数模型计算| |C组|跨情境问题探究、创新模型构建|难题突出思维深度，如调日法、跨学科（物理冷却模型）应用| |拓展|高考真题及模拟题|对接高考题型，如2025北京高考真题、新课标卷函数模型题|

分层作业 4.5.2 用二分法求方程的近似解 4.5.3 函数模型的应用 参考答案 用二分法求方程近似解的条件题型01 1．B 2. C 3．B 4. C 5.9 二分法求方程近似解的过程题型02 6．B 7．B 8.B 9．D 二分法求函数零点的过程题型03 10．D 11.A 12．C 13.B 14．C 15.C 16．2 指数函数模型题型04 17.D 18．B 19.D 20．C 21.B 22．C 23．6 对数函数模型题型05 24．D 25.D 26.ABD 27. 12 利用给定的函数模型解决实际问题题型06 28. C 29.B 30. B 31. 32．【答案】(1)；(2) 【详解】（1）已知 ​，代入和得： ， 消可得：， 所以解得，再代入， 即， 由张三同学希望数学成绩不低于90分，则， 所以有， 两边取常用对数得： 由于，则每周玩手机时长最大值为小时； （2）由题意可知：， 则先计算 设， 则， 所以，故. 33. B 【答案】(1)；(2)，540元 【详解】（1）由题意可知，当时， ； 当时，， 综上，. （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元． 34. 【答案】(1)选模型②，；(2)（i）；（ii） 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，所以选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为， 所以当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 建立拟合函数模型解决实际问题题型07 35.【答案】(1)最符合实际的函数模型是模型①；(2)；(3)第16个月. 【详解】（1）最符合实际的函数模型是模型①，理由： 由给定数据表知，函数定义域为，会员人数逐月增加，增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将表格中代入，得，解得，则， 所求函数模型的解析式为. （3）当时，，即，解得， 所以预测第16个月会员人数达到14万. 36.【答案】(1)选①，，；(2)该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 【详解】（1）对于②：因为在定义域内单调递减，不符合题意； 故选①：， 由题意可得：，解得， 所以，. （2）当时，设该车在国道的耗电量为， 则 当且仅当时，等号成立， 当时，设该车在高速的耗电量为， 则， 可知在内单调递增，则； 综上所述：该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 37. 【答案】(1)选择模型②， (2) ，当时，取得最小值 【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量的增大，函数值在变小， 又函数模型①是单调递增的指数型函数，模型②为单调递减的反比型函数，故选择模型②. 观察表格中的4组数据，从数据简洁并且易于计算的角度， 可选择中间两组数据代入②，即， 解得，所以. 可检验与原数据完全吻合， 所以. （2）由（1）可得 , 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取到最小值， 当时，单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又，所以当时取得最小值，最小值为. 38．【答案】(1)；(2)平台成立的第年就能实现该目标 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数需满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，模型③满足两个条件，所以选择模型③， 将数据，代入得， ，解得，所以， 将代入，同样满足函数， 所以函数模型的解析式为. （2）由题意知，1 万人 = 100 百人，，解得， ， 即， 所以平台成立的第年就能实现该目标. 39．【答案】(1)；(2)6 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将代入，得，解得， 所以函数为. （2）令，则， 则，即， 则平台成立的第6年就能实现该目标. 40．【答案】(1)由数据知，当时，停车距离，当时，停车距离，所以保持100米以上的安全距离才能保证遇到突发情况时能避免与前车碰撞 （只要能言之有理即可，但一定要有利用数据进行说理） (2)， (3)模型二的拟合效果更好． 【详解】（1）略 （2）模型一：，由题意可得， 解得，， 则模型一的解析式为. 模型二：，由题意可得， 解得，， 则模型二的解析式为. （3）将代入模型一解析式得出， 将代入模型二解析式得出， 由于实际的停车距离为245.5m，则模型二的拟合效果更好． 1． C 2．BC 3．C 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9.B 10. 11.①③④ 12. 【答案】(1)在单调递增；(2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【详解】（1）证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 13. 【答案】(1)；(2)4；(3) 【详解】（1）由，得，即. 因为的解集为，或所以方程的两根分别为. 由韦达定理可知， ，所以. 当时， 由，得，或， 解得. 所以的解集为或. 综上，的值为. （2）因为函数在上有零点， ，，. 所以函数在上有零点；此时 因为，所以函数在上有零点；此时. 因为， 所以函数在上有零点；此时, 因为， 所以函数在上有零点.此时. 所以用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. 方法二：因为用二分法求零点的近似值，每次二分后，区间的长度均缩小为原来的一半. 所以经过1次二分后，区间的长度为； 经过2次二分后，区间的长度为； 经过3次二分后，区间的长度为； 经过4次二分后，区间的长度为. 故用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. （3）因为，所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，，即的最大值为. 设，且，则. 因为，所以； 因为，所以. 所以，即.所以在上单调递增. 所以当时，的最大值为. 因为，使，所以，即. 所以实数a的取值范围是. 14.【答案】(1)；(2)；(3)第3日销售额最少，最小值为512元，超过了500元 【详解】（1）因为第9天的日销售收入为552元，所以有， 即，解得：； （2）模型①和模型③都为单调函数或常函数， 由表中数据可知，既有单调递减区间又有单调递增区间的情况，故选择模型. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 由列表可知，的单调性是先增后减，因此合适， 把代入， 得，解得：， 则，显然，也满足该函数的解析式， 所以； （3）由题意可知，当时，， ， 当且仅当，即时取等号，此时； 所以第3日销售额最少，最小值为512元，超过了500元． 15.【答案】(1)选择模型② ，解析式为 ； (2)约6.5分钟。 【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； （2），得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 16.【答案】(1)选择②，，.(2) 【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，且函数增长的速度越来越快， 选择②（且） 代入表格中的三个点可得：，解得： ，. （2）由（1）可知：，，故不等式对恒成立， 对恒成立， 令，则， ，， 在上单调递增，， . ． 1.A 2. 3． ;14 4.1.875 5.【答案】(1)；(2)倍；(3)5.1. 【详解】（1）. （2）设该火箭开始时的质量比为，理想速度提升1倍后的质量比为，则： ，得  ①； ，得  ②； 由①②两式，得倍. （3）技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，则：， 即，即，即， 从而， 故该火箭在改进前质量比的最小值为5.1. 1.B 2．ACD 3. B 4.B 5. D 6. C 7. 8. 2.6 9. 10. 【答案】（1）；（2）时，. 【详解】（1）当时，,即,； 当时，,此时无解. 综上所述，； （2）当时，,解得, 当时， 当时，, 当 时取得最大值. 综上所述当 时取得最大值，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.5.2 用二分法求方程的近似解 4.5.3 函数模型的应用 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 用二分法求方程近似解的条件 题型02 二分法求方程近似解的过程 题型03 二分法求函数的零点的过程 题型04 指数函数模型 题型05 对数函数模型 题型06 利用给定的函数模型解决实际问题 题型07 建立拟合函数模型解决实际问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 用二分法求方程近似解的条件题型01 1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是_____． 二分法求方程近似解的过程题型02 6．（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 二分法求函数零点的过程题型03 10．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 指数函数模型题型04 17．（26-27高一上·福建厦门·开学考试）某市2024年的扶贫资金为万元，比2023年增长了，计划2025年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（     ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 18．（25-26高一上·安徽合肥·期末）Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．21h B．36h C．35h D．32h 19．（25-26高一上·山西吕梁·期末）汾酒产自山西省汾阳市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存年的此种品牌酒整箱的收藏价值为元，则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 20．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是（    ） （参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 21．（25-26高一上·江苏南通·期末）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满混合均匀；再倒出，又用水填满混合均匀……，若要使得容器中的纯酒精含量不高于原来的，则至少要重复操作几次？（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·河北保定·开学考试）为了改善空气质量，某科研单位通过实验发现：在一定范围内，每使用1个单位剂量的缓释净化剂，空气中释放的净化剂浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于时，它才能起到净化空气的作用．若一次性使用2个单位剂量的净化剂（此时浓度为使用1个单位剂量时的2倍），则有效净化时长约为（    ）（参考数据：） A．3.8小时 B．4.2小时 C．4.6小时 D．5.6小时 23．（25-26高一上·山西吕梁·期末）工厂生产一种溶液，要求杂质含量不超过1%.若初始时含杂质20%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤________已知， 对数函数模型题型05 24．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）某模型对图象中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（     ） A．1152 B．1560 C．1842 D．2303 25．（25-26高一上·云南昭通·期末）光线在水面的强度（单位：坎德拉）与光线在水中距离水面（单位：米）处的强度（单位：坎德拉）具有关系，其中为常数．已知某水域10米深处的光线强度是该水域水面光线强度的，若该水域最深处的光线强度是该水域水面光线强度的，则该水域最深大约有（参考数据：）（   ） A．40米 B．30.75米 C．25.25米 D．18.75米 26．（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（    ）（参考数据：） A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋 C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方 27．（25-26高一上·浙江衢州·期末）碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 利用给定的函数模型解决实际问题题型06 28．（26-27高一上·河南平顶山·开学考试）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（    ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 29．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）某放射性物质的衰变满足（单位：克，单位：年）.若初始质量为100克，则质量减少到50克所需时间约为（）（   ） A．25年 B．34.65年 C．50年 D．69.3年 30-．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）智能物流车配送包裹具有安全、快速、准确的优势.下表统计了某地区的智能物流车的数量情况： 年份 2023 2024 2025 智能物流车数量（单位：百台） 2 3 4.5 近似反映该地区智能物流车的数量与年份的函数模型为，则该地区智能物流车的数量从（    ）年开始超过40百台（参考数据：） A．2030 B．2031 C．2032 D．2033 31．（25-26高一下·贵州黔东南·开学考试）经科学研究，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏级M之间有关系为，2011年某海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的___________倍. 32．（25-26高一下·贵州毕节·期中）某研究机构对高中生每周玩手机时长（单位：小时，）与数学成绩（单位：分，满分分）的关系进行调查.通过实验采集到以下信息：已知成绩与时长近似满足函数关系，其中为常数；每周玩手机4小时，成绩为70分；每周玩手机5小时，成绩为60分. (1)若张三同学希望数学成绩不低于90分，求他每周玩手机时长的最大值（精确到0.1小时；参考数据）； (2)若，求的值. 33．（25-26高一下·广东深圳·期中）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 34．（25-26高一上·安徽合肥·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间. （参考数据：，） 建立拟合函数模型解决实际问题题型07 35．（2025高一上·福建厦门·专题练习）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 36．（25-26高一上·山东枣庄·期末）2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 37．（24-25高一上·四川泸州·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 38．（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品．该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③． (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：） 39．（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③. (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：，，） 40．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度.设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则．下图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图. 例如：时，；时， (1)根据相关数据，试解释为什么交通部门要求在限速的路段，行车要至少与前车保持100米以上的距离； (2)根据相关数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型一：或模型二：（其中v为汽车速度，，为待定系数）进行拟合，请根据和两组数据分别求出两个函数模型的解析式； (3)通过计算时的停车距离，分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好. （参考数据：；；.） 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（25-26高一上·安徽六安·期末）根据国际标准室内二氧化碳浓度应不超过，此时人体健康不受影响.已知二氧化碳浓度与开窗通风时长之间关系式为（）该室内初始时刻的二氧化碳浓度为，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（   ）（参考数据：，） A．9分钟 B．10分钟 C．11分钟 D．12分钟 7．（25-26高一上·浙江·期末）某实验室废液中含有害化学物质B，处理时其浓度会随时间衰减.已知物质B的初始浓度为20mg/L，处理后浓度y（mg/L）与处理时间t（小时）的关系为.按安全标准，该物质浓度需降至0.5mg/L以下才能排放，则至少需要处理的时间为（参考数据：，）（   ） A．15小时 B．17小时 C．19小时 D．21小时 8．（25-26高一上·河南·期末）某生态修复项目计划对一片沙化土地进行植被恢复.已知到2025年底植被恢复面积为10万亩，即初始值．经过年后该地区植被恢复面积为万亩，且，满足关系式，其中为增长系数．若增长系数为0.2，则到2030年底植被恢复面积为（    ） A．20万亩 B．16万亩 C．15万亩 D．12万亩 9．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 10．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 11．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是________.①方程的解在内；②函数的零点是，；③用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上.④连续函数在上有零点是的必要不充分条件. 12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 13．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，，其中a为常数. (1)若的解集为或，求a的值； (2)已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次二分法的迭代操作？. (3)，使，求实数a的取值范围. 14．（25-26高一上·广东广州·期末）小明通过对11月（以30天计）的某种水果的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示： 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9天的日销售收入为552元． (1)求的值； (2)日销售量给出以下三种函数模型： ①；②；③； 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)设该水果的上半月的日销售收入为函数（单位：元），问哪天的日销售收入最少，最小值为多少，可以超过500元吗？ 15．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 16．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，② (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 2．【新文化问题】（25-26高一上·上海·阶段检测）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__． 3．【跨学科问题】（26-27高一上·浙江·开学考试）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 4．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）某同学在借助题设给出的数据求方程的近似解（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的四个值中的第三个值为______． 5．（25-26高一上·云南昆明·期末）中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s. 参考数据：，，. (1)当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度； (2)假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？ (3)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）. 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 2．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2020·山东·高考真题）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 4．（2020·全国II卷·高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ） A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 5．（2015·新课标Ⅰ·高考真题）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 7．（2026·北京·高考真题）我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式（其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 8．（2003·上海·高考真题）方程的根___________．（结果精确到0.1） 9．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____. 10．（2020·上海·高考真题）已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.5.2 用二分法求方程的近似解 4.5.3 函数模型的应用 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 用二分法求方程近似解的条件 题型02 二分法求方程近似解的过程 题型03 二分法求函数的零点的过程 题型04 指数函数模型 题型05 对数函数模型 题型06 利用给定的函数模型解决实际问题 题型07 建立拟合函数模型解决实际问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 用二分法求方程近似解的条件题型01 1．下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A. 函数无零点，故错误； B.函数有零点1，当时， ，当 时， ，x=1的两侧同号，不能用二分法，故错误； C. 由图象知：两个零点的两侧函数值异号，能用二分法，故正确； D.由图象知：两个零点-1，2的两侧的函数值同号，不能用二分法，故错误； 故选：C 3．（25-26高一上·山西长治·期末）下列函数中，与x轴均有交点，但不能用二分法求零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用二分法求函数的零点应具备的条件为：函数图象在零点附近连续不断，在该零点左右函数值异号， 对于A，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于B，先减后增，在零点处左右函数值都为正，不能用二分法求零点； 对于C，单调递增，在零点处左右函数值异号，能用二分法求零点； 对于D，先减后增，在零点，处左右函数值异号，能用二分法求零点. 4．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 5．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是_____． 【答案】9 【详解】由题意知函数在零点两侧同号，所以，解得． 二分法求方程近似解的过程题型02 6．（25-26高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记，由于均为上的单调递增函数，故为上的单调递增函数， 因为， 且，所以函数的零点落在区间内， 又因为， 所以， 所以函数的零点落在区间内， 即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为. 故选：B. 7．（25-26高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程根的近似解时，令，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程的一个近似解为（精确度为）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数的零点为， 因为，，则，所以，区间长度为， 取区间中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，，则， 所以，区间长度为， 取区间的中点，则或， 此时区间长度为，故方程的一个近似解为， 故选：B. 8．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 9．（25-26高一上·全国·阶段检测）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 那么当精确度达到时，可作为方程的一个近似根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由表格中的数据知，， 所以函数的一个正数零点在区间内， 且区间的长度为， 此时，区间内的任一值均可作为方程的近似根， 选项D中的是该区间的端点，符合题意 故选：D. 二分法求函数零点的过程题型03 10．（25-26高一上·江西赣州·期末）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 11．（25-26高一上·山东威海·期中）用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，下一步应考察的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知 ，， 根据零点存在定理，函数在区间 内有零点， 区间中点 ， ， 由，，及零点存在定理知： 零点位于区间 内， 下一步应考察的区间为 . 故选：A 12．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）用二分法求函数在区间上的零点近似值，给定精确度时，所需二分区间的次数最少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】区间长度为1，经过一次操作区间长度缩为原来的一半， 所以经过n次操作，区间长度变为原来的， 用二分法求函数在区间上的零点近似值，要求精确度， 则，解得，即至少需要4次操作. 故选：C 13．（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 14．（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数和均为R上单调递增函数， 所以函数是R上单调递增函数， 且，所以函数在上有唯一零点. 取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度为. 再取区间的中点，且， 所以零点在区间内且区间长度. 对照选项只有在区间内，故可以是. 故选：C. 15．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，设函数在内的零点为； 因为，，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 取区间的中点，则，所以，所以； 即两次二分法后，函数零点所在的区间为. 故选：C. 16．（25-26高一上·上海嘉定·期末）若用二分法寻找函数的零点，在每一步中均将当前区间按中点进行二分，并取零点所在的子区间．已知前三次按上述规则确定零点所在的区间依次为、、，则________． 【答案】 【详解】由题意，第二次操作的区间为，其中点为， 第三次操作得到的区间为，是区间的左子区间， 故其右端点应等于原区间的中点，则有，解得 指数函数模型题型04 17．（26-27高一上·福建厦门·开学考试）某市2024年的扶贫资金为万元，比2023年增长了，计划2025年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（     ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【详解】设2023年的扶贫资金为万元，2025年的扶贫资金为万元 所以3年总金额为. 18．（25-26高一上·安徽合肥·期末）Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．21h B．36h C．35h D．32h 【答案】B 【详解】根据题意，，当时，，代入公式，得， 所以当时，（h）． 故选：B. 19．（25-26高一上·山西吕梁·期末）汾酒产自山西省汾阳市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存年的此种品牌酒整箱的收藏价值为元，则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】由题意可得，即， 则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为元. 故选： 20．（25-26高一下·黑龙江·开学考试）某公司为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该公司2025年全年投入科研经费1700万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元的年份是（    ） （参考数据：，，） A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 【答案】C 【详解】取2026年是第1年，根据题意得第年该公司全年投入的科研经费为. 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则， 则第4年，即2029年该公司全年投入的科研经费开始超过2500万元. 故选：C. 21．（25-26高一上·江苏南通·期末）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满混合均匀；再倒出，又用水填满混合均匀……，若要使得容器中的纯酒精含量不高于原来的，则至少要重复操作几次？（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一次倒出，纯酒精剩余， 第二次倒出，纯酒精剩余， 第次后，纯酒精剩余， 则，两边同取以为底的对数得， 则，所以，则至少操作次. 故选： 22．（25-26高一下·河北保定·开学考试）为了改善空气质量，某科研单位通过实验发现：在一定范围内，每使用1个单位剂量的缓释净化剂，空气中释放的净化剂浓度（单位：）随时间（单位：小时）变化的函数关系式近似为由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于时，它才能起到净化空气的作用．若一次性使用2个单位剂量的净化剂（此时浓度为使用1个单位剂量时的2倍），则有效净化时长约为（    ）（参考数据：） A．3.8小时 B．4.2小时 C．4.6小时 D．5.6小时 【答案】C 【详解】依题意，一次性使用2个单位剂量的净化剂，浓度， 则当时，由，得，因此； 当时，由，得， 得，因此，则， 所以一次性使用2个单位剂量的净化剂，有效净化时长约为4.6小时． 23．（25-26高一上·山西吕梁·期末）工厂生产一种溶液，要求杂质含量不超过1%.若初始时含杂质20%，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤________已知， 【答案】6 【详解】设至少过滤的次数为，依题意，，即， 则，即，则， 因此， 所以至少过滤6次才能满足要求. 对数函数模型题型05 24．（25-26高一下·陕西咸阳·期末）某模型对图象中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（     ） A．1152 B．1560 C．1842 D．2303 【答案】D 【详解】令，得 ，， 两边取对数，得 ，. 25．（25-26高一上·云南昭通·期末）光线在水面的强度（单位：坎德拉）与光线在水中距离水面（单位：米）处的强度（单位：坎德拉）具有关系，其中为常数．已知某水域10米深处的光线强度是该水域水面光线强度的，若该水域最深处的光线强度是该水域水面光线强度的，则该水域最深大约有（参考数据：）（   ） A．40米 B．30.75米 C．25.25米 D．18.75米 【答案】D 【详解】由题意知，，. 当时，，即，解得. 当时，即，解得. 故选：D 26．（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（    ）（参考数据：） A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋 C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方 【答案】ABD 【详解】对于A，响度级增加10方对应的响度为，则， 因此，即，则响度级每增加10方，响度约增加一倍，A正确； 对于B，当时，，则，B正确； 对于C，当时，，解得，C错误； 对于D，当时，，解得，D正确. 故选：ABD 27．（25-26高一上·浙江衢州·期末）碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米／秒）与队内选手的平均划桨速度（次／分钟）之间满足函数关系：（米／秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行____________米． 【答案】 【详解】设甲队龙舟的平均行进速度（米／秒），乙队龙舟的平均行进速度（米／秒）， 则，，又 则 （米／秒）， 所以开赛1分钟后，甲队比乙队多划行（米）. 利用给定的函数模型解决实际问题题型06 28．（26-27高一上·河南平顶山·开学考试）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是（    ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【详解】对于A，由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； 对于B，由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； 对于C，要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； 对于D，由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 29．（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）某放射性物质的衰变满足（单位：克，单位：年）.若初始质量为100克，则质量减少到50克所需时间约为（）（   ） A．25年 B．34.65年 C．50年 D．69.3年 【答案】B 【详解】根据题意， 故， 故选：B. 30-．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）智能物流车配送包裹具有安全、快速、准确的优势.下表统计了某地区的智能物流车的数量情况： 年份 2023 2024 2025 智能物流车数量（单位：百台） 2 3 4.5 近似反映该地区智能物流车的数量与年份的函数模型为，则该地区智能物流车的数量从（    ）年开始超过40百台（参考数据：） A．2030 B．2031 C．2032 D．2033 【答案】B 【详解】由题意得，即，解得， 所以， 由，即， 所以， 所以， 所以该地区智能物流车的数量从2031年开始超过40百台. 31．（25-26高一下·贵州黔东南·开学考试）经科学研究，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏级M之间有关系为，2011年某海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的___________倍. 【答案】 【详解】， 当时，， ，， 当时，， ，， . 32．（25-26高一下·贵州毕节·期中）某研究机构对高中生每周玩手机时长（单位：小时，）与数学成绩（单位：分，满分分）的关系进行调查.通过实验采集到以下信息：已知成绩与时长近似满足函数关系，其中为常数；每周玩手机4小时，成绩为70分；每周玩手机5小时，成绩为60分. (1)若张三同学希望数学成绩不低于90分，求他每周玩手机时长的最大值（精确到0.1小时；参考数据）； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）已知 ​，代入和得： ， 消可得：， 所以解得，再代入， 即， 由张三同学希望数学成绩不低于90分，则， 所以有， 两边取常用对数得： 由于，则每周玩手机时长最大值为小时； （2）由题意可知：， 则先计算 设， 则， 所以，故. 33．（25-26高一下·广东深圳·期中）某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费）合计元．已知这种水果的市场售价大约为21元/千克，且销售畅通，供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)写出单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式． (2)若施用肥料千克，当取何值时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)；(2)，540元 【详解】（1）由题意可知，当时， ； 当时，， 综上，. （2）当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，该水果树的单株利润最大，最大利润是540元． 34．（25-26高一上·安徽合肥·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳.且当茶水温度接近室温时，将趋于稳定.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，不用说明理由，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式. (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间. （参考数据：，） 【答案】(1)选模型②，；(2)（i）；（ii） 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，所以选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为， 所以当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 建立拟合函数模型解决实际问题题型07 35．（2025高一上·福建厦门·专题练习）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 【答案】(1)最符合实际的函数模型是模型①；(2)；(3)第16个月. 【详解】（1）最符合实际的函数模型是模型①，理由： 由给定数据表知，函数定义域为，会员人数逐月增加，增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将表格中代入，得，解得，则， 所求函数模型的解析式为. （3）当时，，即，解得， 所以预测第16个月会员人数达到14万. 36．（25-26高一上·山东枣庄·期末）2025年，某市成功获批“中国新能源电池名城”称号，其锂电产业被科技部授予创新型产业集群．目前该市锂电产品出口40多个国家和地区，配套服务多款新能源电动汽车主流品牌．某型号国产电动汽车，在一段限速的国道进行测试，经多次实验得到每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的下列数据： 20 40 60 2800 4800 8400 为了描述汽车每小时耗电量与速度的关系，现有两种模型供选择： ①；②． (1)当时，选出你认为最符合实际的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)假设一辆同型号电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，其中国道上行驶40km，高速上行驶200km．若高速上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：）的关系满足，则该车在国道和高速上分别以什么速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①，，；(2)该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 【详解】（1）对于②：因为在定义域内单调递减，不符合题意； 故选①：， 由题意可得：，解得， 所以，. （2）当时，设该车在国道的耗电量为， 则 当且仅当时，等号成立， 当时，设该车在高速的耗电量为， 则， 可知在内单调递增，则； 综上所述：该车在国道和高速上分别以、速度行驶，才能使总耗电量最少，最少总耗电量为. 37．（24-25高一上·四川泸州·期末）国内某大型机械加工企业在过去的一个月内（共计天，包括第天），其主营产品在第天的指导价为每件（元），且满足（），第天的日交易量（万件）的部分数据如下表： 第天 （万件） (1)给出以下两种函数模型：①，②，其中为常数.请你根据上表中的数据，从①②中选择你认为最合适的一种函数模型来拟合该产品日交易量（万件）的函数关系；并且从四组数据中选择你认为最简洁合理的两组数据进行合理的推理和运算，求出的函数关系式； (2)若该企业在未来一个月（共计天，包括第天）的生产经营水平维持上个月的水平基本不变，由（1）预测并求出该企业在未来一个月内第天的日交易额的函数关系式，并确定取得最小值时对应的. 【答案】(1)选择模型②， (2) ，当时，取得最小值 【详解】（1）由给出数据可知：随着自变量的增大，函数值在变小， 又函数模型①是单调递增的指数型函数，模型②为单调递减的反比型函数，故选择模型②. 观察表格中的4组数据，从数据简洁并且易于计算的角度， 可选择中间两组数据代入②，即， 解得，所以. 可检验与原数据完全吻合， 所以. （2）由（1）可得 , 当时，由基本不等式得， 当且仅当，即时取到最小值， 当时，单调递减， 故在时，有最小值，最小值为万元， 又，所以当时取得最小值，最小值为. 38．（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品．该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③． (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：） 【答案】(1)；(2)平台成立的第年就能实现该目标 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数需满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，模型③满足两个条件，所以选择模型③， 将数据，代入得， ，解得，所以， 将代入，同样满足函数， 所以函数模型的解析式为. （2）由题意知，1 万人 = 100 百人，，解得， ， 即， 所以平台成立的第年就能实现该目标. 39．（25-26高一上·浙江温州·期末）为响应温州市“打造数字乡村，助力共同富裕”的号召，某县农产品电商服务平台自2023年正式上线运营，致力于通过直播带货推广当地猕猴桃、茶叶等农产品，该平台会员人数（主要为本地农户及采购商）增长迅速，下表记录了平台成立初期的会员人数情况： 平台成立年数（2023年为第1年） 1 2 3 会员人数（单位：百人） 16 24 36 为了更好地规划物流和供应链，平台拟从以下三种函数模型中选择最合适的一种来预测未来会员的增长趋势： ①；②；③. (1)求此函数模型的解析式； (2)若平台计划在会员人数突破1万人时举办“温州农特产年度促销会”，问平台成立的第几年就能实现该目标？ （参考数据：，，） 【答案】(1)；(2)6 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快， 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将代入，得，解得， 所以函数为. （2）令，则， 则，即， 则平台成立的第6年就能实现该目标. 40．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度.设表示停车距离，表示反应距离，表示制动距离，则．下图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图. 例如：时，；时， (1)根据相关数据，试解释为什么交通部门要求在限速的路段，行车要至少与前车保持100米以上的距离； (2)根据相关数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型.可选择模型一：或模型二：（其中v为汽车速度，，为待定系数）进行拟合，请根据和两组数据分别求出两个函数模型的解析式； (3)通过计算时的停车距离，分析选择哪一个函数模型的拟合效果更好. （参考数据：；；.） 【答案】(1)由数据知，当时，停车距离，当时，停车距离，所以保持100米以上的安全距离才能保证遇到突发情况时能避免与前车碰撞 （只要能言之有理即可，但一定要有利用数据进行说理） (2)， (3)模型二的拟合效果更好． 【详解】（1）略 （2）模型一：，由题意可得， 解得，， 则模型一的解析式为. 模型二：，由题意可得， 解得，， 则模型二的解析式为. （3）将代入模型一解析式得出， 将代入模型二解析式得出， 由于实际的停车距离为245.5m，则模型二的拟合效果更好． 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 2．（多选）（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由知此函数的判别式，故函数无零点；对于D．由知此函数的判别式，故无法用二分法求零点近似值；对于B，C，函数存在变号零点，能用二分法求解． 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，，，，，那么方程的一个近似解（精确度为）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 不满足精确度，取中点； ，，在内有零点， 满足精确度，， 方程的一个近似解为. 故选：C. 4．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为 又，，所以，此时区间长度为， 所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次. 故选：C 5．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】设至少需要计算中点函数值的次数为； 区间[0，5]长度为，经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以，化简得到， 因为，所以，所以； 故选：C 6．（25-26高一上·安徽六安·期末）根据国际标准室内二氧化碳浓度应不超过，此时人体健康不受影响.已知二氧化碳浓度与开窗通风时长之间关系式为（）该室内初始时刻的二氧化碳浓度为，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（   ）（参考数据：，） A．9分钟 B．10分钟 C．11分钟 D．12分钟 【答案】B 【详解】依题意，时，， 则，解得， 因此，由， 得，解得 则，， 所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟. 故选：B. 7．（25-26高一上·浙江·期末）某实验室废液中含有害化学物质B，处理时其浓度会随时间衰减.已知物质B的初始浓度为20mg/L，处理后浓度y（mg/L）与处理时间t（小时）的关系为.按安全标准，该物质浓度需降至0.5mg/L以下才能排放，则至少需要处理的时间为（参考数据：，）（   ） A．15小时 B．17小时 C．19小时 D．21小时 【答案】B 【详解】由题意得，， 两边同时取对数得， 由对数函数的性质可知，， 又， ， ， 则至少需要处理的时间为17小时. 故选;B. 8．（25-26高一上·河南·期末）某生态修复项目计划对一片沙化土地进行植被恢复.已知到2025年底植被恢复面积为10万亩，即初始值．经过年后该地区植被恢复面积为万亩，且，满足关系式，其中为增长系数．若增长系数为0.2，则到2030年底植被恢复面积为（    ） A．20万亩 B．16万亩 C．15万亩 D．12万亩 【答案】B 【详解】  由题可知，到2030年底时，， 此时，所以， 所以，所以， 解得． 故到2030年底植被恢复面积为万亩. 故选：B. 9．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于：．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量（单位：）与饮酒后经过的时间（单位：）近似满足关系式，其中为饮酒者的体重（单位：），为酒精摄入量（单位：）．根据上述关系式，已知某驾驶员体重，他快速饮用了含酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在（     ）（取：，，） A．12小时后 B．24小时后 C．28小时后 D．30小时后 【答案】B 【详解】将、代入函数： 当时，， 该函数在上单调递增，因此，不符合合法驾驶要求； 当时，， 令，化简得： ，两边取自然对数， 所以 ， 代入，， 得： ， 即，因此最少需在24小时后合法驾驶. 10．（25-26高一上·吉林延边·期末）已知函数，若能用二分法求函数的零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】由题得的定义域为， 因为，当时，， 当且仅当时等号成立，故时不能用二分法求函数零点； 因为， 又当时，， 当且仅当时等号成立， 若要用二分法求的零点，需满足，所以， 故答案为：． 11．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是________.①方程的解在内；②函数的零点是，；③用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，，，则零点近似值在区间上.④连续函数在上有零点是的必要不充分条件. 【答案】①③④ 【详解】对于①，设函数，因为函数和在上为增函数， 所以在上为单调递增函数，且， 即，所以函数在上存在零点，使得， 所以方程的解在内，所以①正确； 对于②，由函数，令，即， 解得或，所以函数的零点为和，所以②错误； 对于③，由，，可得， 可得函数的零点近似值在区间上，所以③正确； 对于④，函数在上具有零点，则不一定成立； 例如：在区间上有零点，但，所以充分性不成立； 反之：若，可得函数在上有零点，所以必要性成立， 所以连续函数在上有零点是的必要不充分条件，所以④正确. 故答案为：①③④ 12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1)在单调递增；(2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【详解】（1）证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，， 可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 13．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，，其中a为常数. (1)若的解集为或，求a的值； (2)已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次二分法的迭代操作？. (3)，使，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2)4；(3) 【详解】（1）由，得，即. 因为的解集为，或所以方程的两根分别为. 由韦达定理可知， ，所以. 当时， 由，得，或， 解得. 所以的解集为或. 综上，的值为. （2）因为函数在上有零点， ，，. 所以函数在上有零点；此时 因为，所以函数在上有零点；此时. 因为， 所以函数在上有零点；此时, 因为， 所以函数在上有零点.此时. 所以用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. 方法二：因为用二分法求零点的近似值，每次二分后，区间的长度均缩小为原来的一半. 所以经过1次二分后，区间的长度为； 经过2次二分后，区间的长度为； 经过3次二分后，区间的长度为； 经过4次二分后，区间的长度为. 故用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. （3）因为，所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，，即的最大值为. 设，且，则. 因为，所以； 因为，所以. 所以，即.所以在上单调递增. 所以当时，的最大值为. 因为，使，所以，即. 所以实数a的取值范围是. 14．（25-26高一上·广东广州·期末）小明通过对11月（以30天计）的某种水果的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示： 9 14 18 22 29 54 59 63 59 52 已知第9天的日销售收入为552元． (1)求的值； (2)日销售量给出以下三种函数模型： ①；②；③； 请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式； (3)设该水果的上半月的日销售收入为函数（单位：元），问哪天的日销售收入最少，最小值为多少，可以超过500元吗？ 【答案】(1)；(2)；(3)第3日销售额最少，最小值为512元，超过了500元 【详解】（1）因为第9天的日销售收入为552元，所以有， 即，解得：； （2）模型①和模型③都为单调函数或常函数， 由表中数据可知，既有单调递减区间又有单调递增区间的情况，故选择模型. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 由列表可知，的单调性是先增后减，因此合适， 把代入， 得，解得：， 则，显然，也满足该函数的解析式， 所以； （3）由题意可知，当时，， ， 当且仅当，即时取等号，此时； 所以第3日销售额最少，最小值为512元，超过了500元． 15．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95 88 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型，求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．（参考数据：，） 【答案】(1)选择模型② ，解析式为 ； (2)约6.5分钟。 【详解】（1）由表格可知，函数单调递减，且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增 函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得：，，， 所以； （2），得， ， 刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间约为分钟. 16．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 (1)依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，② (2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【答案】(1)选择②，，.(2) 【详解】（1）从表格数据可以得知，函数是一个增函数，且函数增长的速度越来越快， 选择②（且） 代入表格中的三个点可得：，解得： ，. （2）由（1）可知：，，故不等式对恒成立， 对恒成立， 令，则， ，， 在上单调递增，， . 1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 2．【新文化问题】（25-26高一上·上海·阶段检测）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和、、、，则是的更为精确的近似值．纵横古今，关于值的研究，经历了古代试验法时期、几何法时期、分析法时期、蒲丰或然性试验方法时期、计算机时期，已知，试以上述的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得的近似分数为__． 【答案】 【详解】由“调日法”的计算方法可知： 第一次用“调日法”后可得更为精确的近似值为，即得， 则第二次用“调日法”后可得更为精确的近似值为， 故答案为： 3．【跨学科问题】（26-27高一上·浙江·开学考试）著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则$t$分钟后物体的温度满足：，若空气温度恒定且为30℃，某物体的温度从90℃下降到50℃时，大约需要的时间为22分钟，则大约为______________，该物体的温度从50℃再下降到40℃时，大约还需要时间为______________分钟.（参考数据：，） 【答案】 14 【详解】由题，当时，， 则，当从50℃再下降到40℃时， . 4．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）某同学在借助题设给出的数据求方程的近似解（精确到0.1）时，设，得出，且，他用“二分法”取到了4个的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为，那么他所取的四个值中的第三个值为______． 【答案】1.875 【详解】根据二分法原理，方程的根即函数的零点， 初始区间为（因， 第一个值：取区间的中点，计算得： ，新区间为； 第二个值：取区间的中点，计算得： ，新区间为； 第三个值：取区间的中点，计算得：，新区间为； 第四个值：取区间的中点，计算得： ， 由于，新区间为。此时区间长度， 满足精度要求，且区间两端点的值精确到均为，因此得出近似解为 此时区间两端精确到均为，即近似解为. 综上，所取四个值依次为，第三个值为. 5．（25-26高一上·云南昆明·期末）中国航天事业在2025年迎来里程碑式发展，全年发射次数突破300次大关，共将超过300颗卫星精准送入预定轨道.1903年前苏联航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为：，其中为火箭初始质量，为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量，称为火箭质量比，为火箭发动机喷气速度.至今所有火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900 m/s. 参考数据：，，. (1)当该型号火箭的质量比为8时，求该型号火箭的理想速度； (2)假设一个火箭的理想速度为v（单位：m/s），若希望火箭发射的理想速度提升1倍，则火箭的质量比变为原来的多少倍？ (3)经过改进后，该火箭发动机喷气速度变为原来的2倍，火箭质量比变为原来的，若使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，求该火箭在改进前质量比的最小值（结果保留一位小数）. 【答案】(1)；(2)倍；(3)5.1. 【详解】（1）. （2）设该火箭开始时的质量比为，理想速度提升1倍后的质量比为，则： ，得  ①； ，得  ②； 由①②两式，得倍. （3）技术改进前的理想速度， 技术改进后的理想速度， 要使火箭的理想速度至少增加1975 m/s，则：， 即，即，即， 从而， 故该火箭在改进前质量比的最小值为5.1. 1．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 2．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 3．（2020·山东·高考真题）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（ ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 4．（2020·全国II卷·高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ） A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 【答案】B 【详解】由题意，第二天新增订单数为， ，故至少需要志愿者名. 故选：B 5．（2015·新课标Ⅰ·高考真题）设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，. 所以，函数的最小值为. 又，. 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得，故选D. 6．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】C 【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果. 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 7．（2026·北京·高考真题）我国在机器人技术领域取得了一系列重要成就．在处理机器人语音信号时，常用公式（其中常数）将声音频率（单位：）转换为．若的取值范围是，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 8．（2003·上海·高考真题）方程的根___________．（结果精确到0.1） 【答案】2.6 【详解】设，函数单调递增， 且 ， ， 结果保留到,则. 故答案为：. 9．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____. 【答案】. 【详解】当时，即 又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.    当时，函数与的图象有个交点； 当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得. 综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为. 10．（2020·上海·高考真题）已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1）；（2）时，. 【详解】（1）当时，,即,； 当时，,此时无解. 综上所述，； （2）当时，,解得, 当时， 当时，, 当 时取得最大值. 综上所述当 时取得最大值，. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $