四川省达州市万源市万源中学2026-2027学年高二上学期10月期中数学试题

高二数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知事件A,B满足A二B,且P(A)=0.4,P(B)=0.5,则P(AB)= A.0.9 B.0.5 C.0.4 D.0.2 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB=Q, AD=b,AA1=c,则与向量BM相等的向量为 D A.1 2a+ 2b+c 2a-2b+c 3.已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(4,1,3),B(2,-5,1),C(一3,7，一5)，则顶 点D的坐标为 A.(1,-13,3) B.(-5,1,-7) C.(5,-1,7) D.(-1,13,-3) 4.已知事件A与事件B互斥，若P(A)=0.6,P(B)=0.3,则P(AUB)= A.1.3 B.0.9 C.0.88 D.0.48 5.在空间直角坐标系中，直线1经过点O(0,0,0),且其方向向量n=(1,0,1),则点M(0,1, 1)到直线1的距离为 A./3 B.√6 6 C.3 D.2 第1页（共4页） 6,某市聚力打造“红色之城”，持续升级百团大战纪念馆等红色阵地，推出跨省研学路线，红 色研学热度高涨，红色文旅品牌影响力稳步提升.已知游客选择百团大战纪念碑的概率为 ,选择中共创硅第一城景区的概率为 两个景点都不选的概率为号，则两个景点都选 11 的概率为 2 A. B. 器 77 0.225 7.在直三棱柱ABC-AB,G中，∠BCA=2,M,N分别是A1B1,CC,的中点，BC= CA=CC1=2,则异面直线AN与BM所成的角为 A.g B受 c 2π 0 8.如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°，PA=AB=BC= AD=2,BC∥AD,Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角Q-PD-A的 平面角大小为于，则△ADQ面积的取值范围是 A B 。4√15 A0,5 。4√15 C0,5 D.(0,4] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.从装有2个红球和2个白球的盒子中任取2个球，则下面事件为互斥且对立的是 A.至少有一个红球；两个都是白球 B恰有一个红球；恰有一个白球 C至少有一个红球；至多有一个白球 D.至多有一个红球；两个都是红球 10.已知P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,则 A.P(A)=0.5 B.P(AUB)=0.9 C.P(AB)=0.3 D.P(AB)=0.8 11.已知向量a=(1,一1,2)，b=(2,1,0),c=(0,1,一1)，则下列说法正确的是 A.向量a,b的夹角为钝角 B.与向量a一b同向的单位向量为 122 3’-3’3 C向量a在向量b上的投影向量的长度为气 D.存在实数A,使得(a十λc)⊥b 第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知向最a=(m1,2.b(日71小若a/b,则实数m 13.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4，另一枚质地均匀的 正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8.同时抛掷这两枚骰子，则其朝上的两 数字之和为5的概率是 14.如图，在四棱锥S一ABCD中，SD⊥平面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,SD=CD= 2AB=2AD=2,则点D到平面SBC的距离是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球的 编号分别为1,2,3，白球的编号分别为4,5.现从盒子里随机取出2个小球， (1)记事件A为“有放回地依次取到2个白球”，求事件A发生的概率； (2)记事件B为“不放回地依次取出的小球编号之和为5”，求事件B发生的概率 16.(15分)已知向量a=(-1,0,1),b=(1,-2,0). (1)求a-b； (2)求向量a与向量a一b的夹角； (3)若向量2a十b与向量a一xb垂直，求实数x的值. 第3页（共4页） 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, PA=AB=2,BC=3,E为AD的中点. (1)证明：平面PAD⊥平面PAB; (2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值. 18.(17分)某商场开展促销活动，每消费满500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红 球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同抽奖规则为：一次性随机摸出2个球， 若摸出2个红球，则获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，则获得二等奖， (1)若甲在商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率. (2)为了加大促销的力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾 客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在商场消费了1000元，记“乙至 少获得一个一等奖”为事件A,“乙恰好获得一个二等奖”为事件B. ①求事件A发生的概率； ②判断事件A与B是否相互独立，并说明理由. 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角 形，AD∥BC,AD⊥CD,AD=CD=2BC=4,E是棱PA的中点，F是棱PC上异于端 点的一点 (1)求证：BE∥平面PCD; (2)若F为PC的中点，求二面角B一EF一P的正弦值； (3)若直线EF与平面PCD所成角的大小为，求线段PF的长. 第4页（共4页）高二数学参考答案及评分意见 1.C【解析】因为A二B,P(A)=0.4,所以P(AB)=P(A)=0.4.故选C. 2A【解折】由题意，得Bi=BB+B,成=A+2(AD-A,B)=AA+（Ad-A忘)=-号a+b十e. 故选A. 3.D【解析】设顶点D的坐标为(x,y,之).因为平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(4,1,3),B(2,一5,1)， C(-3,7,-5),BA=CD,所以(2,6,2)=(x十3，y-7,x十5)，解得x=-1,y=13,之=-3. 所以点D的坐标为(-1,13，一3).故选D. 4.A【解析】因为P(B)十P(B)=1,P(B)=0.3,所以P(B)=1-P(B)=0.7.因为事件A,B互斥，P(A)=0.6, 所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3.故选A. 5.D【解析】由题意，得OM=(0,1,1).又因为n=(1,0,1), 所以点M(0,1,1)到直线1的距离为d= OM·n2 0×1+1×0+1×1)2 =/(02+12+12) n √/12+02+12 6.A【解析】设事件A为“游客选择百团大战纪念碑”，事件B为“游客选择中共创建第一城景区”， 则事件AB为“两个景点都不选”，事件AB为“两个景点都选” 由题意，得PA)=名P(B-品，PAB)=号，所以P(A+B)=1-P(AB)=1-号- 7 IP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),得5=5十15P(AB),所以P(AB)三故选 7.B【解析】由题意，得CA,CB,CC1,两两互相垂直.以点C为坐标原点，CA,CB,CC1的方向分别为x,y,之轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， B A M Ni C B v 则A(2,0,0),N(0,0,1),B(0,2,0),M(1,1,2),.AN=(-2,0,1),BM=(1,-1,2). 设异面直线AN与BM所成的角为O, 则cos0=cos(A寸，B1=A·B |(-2)×1+0×(-1)+1×2 ANBV-2)+0+1PXw+(-D+2=0,即AN⊥BM, “异面直线AN与BM所成的角为故选B. 8.D【解析】因为二面角Q-PD一A的平面角大小为，所以点Q的轨迹是过点D的一条直线. 数学答案第1页（共7页） 又因为点Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），所以点Q的轨迹是过点D的一条线段. 设点Q的轨迹与y轴的交点为G(0,b,0),连接PG,如图. 因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AB: 又因为∠BAD=受，所以AD⊥AB,故PA,AB,AD两两互相垂直. 以点A为坐标原点，AD,AB,AP所在的直线分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),D(4,0,0),P(0,0,2),B(0,2,0),所以DP=(-4,0,2),DG=(-4,b,0),AD=(4,0,0). 因为PA⊥AB,AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以AB⊥平面PAD, 故平面PAD的一个法向量为m=AB=(0,2,0) 设平面PDG的法向量为n=(x,y,z), DP·n=-4x+2z=0, 则 令x=1测y=专=2所以a=,专2小 DG·n=-4x+by=0. 设二面角Q-PD-A的平面角为e.因为a-号，所以cosa=2 P m·n b 则cosa=cos(m,n)=T 1 =- 162,解得b=4√15>2 2./51 b2 当点Q在线段BC上时，△ADQ的面积最大，为号×4X2=4, 所以△ADQ面积的取值范围是(0,4].故选D. 24 A B G D-- 9.AD【解析】对于A,“至少有一个红球”包含的情况为1红球1白球、2红球， “两个都是白球”包含的情况为2个白球，二者不能同时发生，且并集为全部样本空间， 是互斥且对立事件，故A正确； 对于B,“恰有一个红球”和“恰有一个白球”都包含的情况为1红球1白球， 是同一事件，两事件可以同时发生，不互斥，故B错误； 对于C,“至少有一个红球”包含的情况为1红球1白球、2红球，“至多有一个白球”包含的情况为1红球1白球、2 红球，二者是同一事件，两事件可以同时发生，不互斥，故C错误； 对于D,“至多有一个红球”包含的情况为1红球1白球、2白球，“两个都是红球”包含的情况为2红球， 二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故D正确故选AD. 数学答案第2页（共7页） 10.AC【解析】P(A)=0.5,P(B)=0.4,.P(A)=0.5,P(B)=0.6,故A正确； P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.4-0.2=0.7,故B错误； P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,.事件A,B相互独立，则事件A,B,A,B也相互独立. ∴.P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3,故C正确； P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3,故D错误.故选AC. 11.BCD【解析】对于A,因为a·b=1×2-1×1十2×0=1>0， 所以向量a,b的夹角不是钝角，故A错误； 对于B,因为a-b=(-1,-2,2),所以|a-b=√/(-1)2+(-2)2+22=3， 则与向量a一-6同向的单位向错为日名一（日一号号）技B正商， 对于C,向量a在向量b上的投影向量的长度为a:b-1×2-1×1+2X01-5, b √/22+12+02 ，故C正确， 对于D,由已知，得a十λc=(1,一1+入，2一λ).若(a+λc)⊥b, 则(a十λc)·b=2-1十入=0，解得入=-1，故D正确.故选BCD. 121【锦析1因为向最a=0m1,2)h=（名g)小a0,所以空--号解得m=1 22 13号【解析】同时抛掷这两枚酸子，有6=36种可能结果，它们是等可能的记事件A为“朝上的两数字之和为 5”,则包含的所有可能结果为(1,4)，(2,3)，(2,3)，(4,1)，共4个， 所以朝上的两数字之和为5的瓶率为P(A)。-日 .42学/径B【解析)因为SDL平面ABCD,DC,DAC平面ABCD,所以SDLDC,SDD 又因为AD LCD,所以DA,DC,DS两两互相垂直.以点D为坐标原点，DA,DC,DS所在的直线分别为x,y, 之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),S(0,0,2),B(1,1,0),C(0,2,0).所以DS=(0,0,2), SC=(0,2,-2),BC=(-1,1,0) 设平面SBC的法向量为n=(x,y,之)， [n·SC=2y-2x=0 则 令x=1,则y=x=1,所以n=(1,1,1), n·BC=-x+y=0. 所以点D到平面SBC的距离为D.n-10X1+0X1+2X12w3 n √/12+12+12 3 24 数学答案第3页（共7页） 15.解：(1)有放回地依次取出2个球，则该试验的样本空间为 21={(x,y)x,y∈{1,2,3,4,5}，则n(21)=25. …2分 因为A={(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)},所以n(A)=4,… …4分 所以P(A)= n(A)4 n(21)25 …6分 (2)不放回地依次取出2个球，则该试验的样本空间为 22={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(2,3),(3,2),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3, 4),(4,3),(3,5),(5,3),(4,5),(5,4)},则n(22)=20.…9分 因为B={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)},所以n(B)=4,…11分 所以P(B)=n(B)=4_1 n(02)205…13分 16.解：(1)因为a=(-1,0,1),b=(1,一2,0)， 所以a-b=（-2,2,1).………2分 所以a-b=√/(-2)2+22+17=√9=3.…4分 (2)因为a=(-1,0,1),a-b=(-2,2,1), 所以a·(a-b)=(-1)×(-2)+0×2+1×1=3, a=√（-1)2十02十1=√2.…6分 则waa--0g×g8 又因为空间向量夹角的取值范围为[0，π]，所以向量a与向量a一b的夹角为元。 …9分 (3)因为a=(-1,0,1),b=(1,-2,0), 所以2a十b=(-1,-2,2),a-xb=（-1-x,2x,1).…11分 因为向量2a十b与向量a-xb垂直，所以(2a十b)·(a-xb)=0, 即(-1)X(-1-x)十(-2)X2x+2X1=3-3x=0,解得x=1.…14分 因为向量2a十b与向量a一xb均为非零向量，所以x=1.…15分 17.(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB. …2分 因为PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD,所以AB⊥平面PAD. 又因为ABC平面PAB,所以平面PAD⊥平面PAB.…5分 (2)解：由(1)得AB,AD,AP两两互相垂直.… …6分 以点A为坐标原点，AB,AD,AP所在的直线分别为x,y,之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 数学答案第4页（共7页） 则A(0,0,0),D(0,3,0),E0,号，0，P(0,0,2,B(2,0,0,C(2,3,0.…8分 所以P店=(20，-2.P2=(0,号，-2小pPC=(23,-2.… …9分 设平面PBE的法向量为n=(x,y,z), PB·n=2x-2z=0, 则 令之=3，则x=3,y=4,所以n=(3,4,3).……12分 3 p2·n=2y-2x=0. 设直线PC与平面PBE所成的角为a, 则sina=|cos(n,P心=n·P |2×3+3×4+(-2)×3 12 _6V2 n|川PC√3+42+32X√22+32+(-2)√34×√1717： 所以直线PC与平面PBE所成角的正弦值为2。 ……0………15分 18.解：(1)记3个红球分别为A1,A2,A3,2个白球分别为B1,B2,蓝球为C, 则该试验的样本空间2={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2), (A2,C),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C),(B1,B2),(B1,C),(B2,C)},共有15个样本点.…2分 其中获得一等奖的样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3个，…3分 所以甲获得$奖的概率为一日 ……4分 (2)由题意，乙在商场消费了100元，共获得2次独立的抽奖机会，单次抽奖获得一等奖的概率为 ①记“乙单次抽奖获得一等奖”为事件E,则“乙单次抽奖未获得一等奖”为事件E, 14 所以PE)=5,P(E)=1-5=5 …6分 因为乙两次抽奖均未获得一等奖的概率为[P(E)]2 16 5 25； 所以P(A)=1-[P(E)]=1-16=9 2525 …8分 ②事件A与B不相互独立.… …9分 理由如下：由题意，得摸曲1红球1蓝球的概窄为P,=号日换出1自球1蓝球的概容为P,=品 未颜到蓝球的概家为P,一治子 …10分 事件B包含三类互斥情况：第一次中二等奖、第二次未摸到蓝球；第二次中二等奖、第一次未摸到蓝球；两次均 摸出1白球1蓝球（仅获得额外1个二等奖）， 则PB)=PP,+P,P+PP,=日×号+号×+后×品-装 …………………………12分 记事件AB为“至少获得1个一等奖，且恰好获得1个二等奖”，此时仅包含两类互斥情况： 数学答案第5页（共7页） 第一次中一等奖、第二次中二等奖；第一次中二等奖、第二次中一等奖， 则na)-nBn:+n,P(E)-X+X;-名 …14分 9、6464 250 因为P(A)P(B)=25×225625,P(AB)=25625 …15分 所以器器用P)≠Pa)P. 所以事件A与B不相互独立.… …17分 19.(1)证明：如图，取PD的中点M,连接EM,CM. E为PA的中点，所以EM∥AD且EM=)AD,,1 又因为AD∥BC,且AD=2BC,所以EM∥BC且EM=BC, 所以四边形BCME为平行四边形，所以BE∥CM.…2分 因为BE中平面PCD,CMC平面PCD,所以BE∥平面PCD.…3分 (2)解：如图，取AD的中点O,连接OB,OP, 因为△PAD为等边三角形，所以OP⊥AD.…4分 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OPC平面PAD, 所以OP⊥平面ABCD.因为BOC平面ABCD,所以OP⊥OB.…5分 因为AD=2BC且AD∥BC,所以OD=BC且OD∥BC, 所以四边形BCDO是平行四边形，所以BO∥CD. 又因为AD⊥CD,所以BO LAD.…6分 以点O为坐标原点，OB,OD,OP所在的直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,0),A(0,-2,0),D(0,2,0),B(4,0,0),C(4,2,0),P(0,0,23),E(0,一1，√3). 因为F是PC的中点，所以F(2,1,w3). 所以EB=(4,1,-√3)，EF=(2,2,0),EP=(0,1,W3).…8分 n1·EF=2x+2y=0, 设平面BEF的法向量为n1=(x,y,z),则 n1·EB=4x+y-√3z=0. 令x=1,则y=一1，之=√3，所以n1=(1,一1，W3).……9分 n2·EF=2a+2b=0, 设平面PEF的法向量为n2=(a,b,c),则 n2·Ep=b+√3c=0. 令a=√3，则b=-√3，c=1,所以n2=(W3,-3,1).…10分 设二面角B一EF一P的平面角为0， n1·n2 1×W3+(-1)×(-√3)+√3×1 3V33√5 则cos9=osmn:》=1am,-VP+(-1D+3)×√W3)+(-)+i5x7V35 数学答案第6页（共7页） 所以二面角B-EF-P的正弦值为sin0=√I-cos20= /1 3372√7 √35 35 .……12分 (3)解：设PF=λPC,其中0<入<1. 因为C(4,2,0),P(0,0,2√3)，所以PC=(4,2,-23),故F(4λ，2λ，23-2√3). 又因为E(0,-1,W5),所以EF=(4以，2入十1，W3-2√5).…13分 设平面PCD的法向量为m=(x1,y1,之1).由于PC=(4,2,-2√3)，CD=(-4,0,0), m·PC=4x1+2y1-23x1=0, 则 m·CD=-4x1=0. 令y1=3,则x1=0,之1=1，所以m=(0,W3,1).… …15分 因为直线EF与平面PCD所成的角为号所以sn号m, x|E京.m 即sin |23+3+3-23—-3 3 )十2以十+Cg2X22解得A或A=0(不合题意，舍去》.……15分 4 又因为PC|=√42+22+(-23)2=42， 所以Pp=P=P心=反. …17分 数学答案第7页（共7页）