第07讲 带电粒子在组合场中的运动 讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考物理一轮复习磁场专题（全国通用）

第07讲 带电粒子在组合场中的运动 目录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 6 题型归纳 7 题型01：磁场与磁场组合 7 题型02： 先电场后磁场 14 (一） 先电加速后磁偏转 14 (二）先电场中类平抛后进入磁场做圆周运动 20 题型03：先磁场后电场 31 （一） 带电粒子由磁场进入电场做匀变速直线运动 32 （二） 带电粒子由磁场进入电场做类平抛运动 33 （三） 带电粒子由磁场进入电场做类斜抛运动 38 题型04：带电粒子在电场、磁场中的交替运动 46 题型05：带电粒子在组合场应用实例模型 50 （一）质谱仪 50 （二）回旋加速器 55 1. 考点地位：高考物理压轴大题高频考点，综合性极强，属于磁场、电场综合难题，分值一般在12~18分，是区分高分段考生的核心题型。 组合场定义：电场、磁场分区存在，互不重叠（区别于复合场，复合场是场在同一空间叠加），粒子在不同区域先后进入电场、磁场。 2. 考查形式：几乎只出计算题，偶尔在多选出现小模型；常见搭配：电场加速+磁场偏转、电场类平抛+磁场圆周。 3. 命题特点：粒子分段运动，一段场对应一种运动；多结合临界、边界、多解；经常要求求粒子运动总时间、打在屏上位置。 1. 能区分组合场（场分开）和复合场（场叠加），判断粒子在每一个场内的运动形式。 2. 熟练掌握：电场中匀加速直线运动 / 类平抛运动；磁场中匀速圆周运动。 3. 掌握衔接点处理：粒子出场速度=下一场的入场速度，速度大小、方向是两段运动的桥梁。 4. 能画分段轨迹，结合几何、动能定理、类平抛规律、圆周公式联立求解。 5. 会计算全程总时间，分段求时间再相加。 知识点一：带电粒子在组合场中的运动 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2.分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3.常见粒子的运动及解题方法 4.“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v0⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F＝qE 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 求解方法 利用类平抛运动的规律得x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 根据牛顿第二定律和向心力公式可得qvB＝m，T＝，t＝T 动能 静电力做的功等于动能变化量 洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变 5.带电粒子在组合场中的运动常见情形 (1)先电场后磁场 ①先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 ②先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 (2)先磁场后电场 常见情境 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图举例 在电场中的运动性质 匀加速或匀减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 （3） 磁场到磁场 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 6.“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题 知识点二：带电粒子在组合场中的运动模型 1.质谱仪： （1）构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。 （2）作用：测量带电粒子质量和分离同位素． （3）原理(如图所示) ①加速电场：qU＝mv2； ②偏转磁场：qvB＝m，； 由以上两式可得r＝，m＝，＝. 2. 回旋加速器 （1）回旋加速器结构 核心部件是垂直磁场方向放置的两个D形盒（D1，D2）、粒子源A、匀强磁场B、高频交变电源U、粒子引出装置，整个装置处于真空中. （2）工作原理 带电粒子由静止开始从D形盒中的粒子源A释放，经电场加速后进入匀强磁场中做匀速圆周运动，半个周期后再次进入两盒间的狭缝被加速. （3）主要特征 ①电场只起加速作用，磁场只起偏转作用，粒子在一个周期内被加速两次. ②加速条件：高频电源的周期与粒子在D形盒中的运动周期相同，即T电源＝T回旋＝，因此粒子进入电场时总能够被加速. ③轨道半径：粒子从静止开始被电场加速，由rn＝，vn＝可知r∝.因此，相接轨道半径之比依次为1∶∶∶….由于每个周期粒子被加速两次，故相邻轨道（即同侧轨道）的半径之比依次为1∶∶∶….可见，越靠近D形盒的边缘，相邻两轨道的间距越小（由于相邻轨道的间距Δr∝－，故Δr是减函数）. ④粒子的最终能量：由于D形盒的大小一定，故所有粒子的最大回旋半径相同.设rmax＝R，则粒子的最大速度为vmax＝，最大能量为Emax＝m＝.可见，粒子的最终能量仅受磁感应强度B和D形盒半径的限制，而与加速电压和频率无关，加速电压只是影响粒子在D形盒内加速的次数. ⑤粒子被加速的次数：n＝＝（粒子在磁场中转动的圈数为）. ⑥粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝. 一．核心思路：分段研究，衔接找速度 1. 划分区域，分阶段 把运动拆成一段一段，一个场单独分析： （1）匀强电场： ①沿电场线入射 →匀变速直线运动，用动能定理/牛顿运动定律； ②垂直电场入射 →类平抛，分解为水平匀速、竖直匀加速。 （2）匀强磁场：垂直入射 →匀速圆周运动，qvB＝ m，r＝ ，T＝。 2. 抓住衔接点（最重要） 粒子离开上一个场的速度（大小+方向），就是进入下一个场的初速度。速度方向决定下一段轨迹的入射角度。 3. 列式顺序 ①电场段：动能定理 qU=或者类平抛的x、y方向方程； ②磁场段：洛伦兹力提供向心力，几何作图找半径、圆心角； ③联立方程求解未知量。 4. 时间计算 总时间 = 电场内运动时间 + 磁场内圆弧运动时间 t＝T。 2． 经典模型 1. 加速器模型：电场加速 →磁场偏转（最基础） 2. 电偏转+磁偏转模型：电场做类平抛，之后进入磁场做圆周运动。 三．高频易错点 1. 混淆组合场与复合场，乱用公式； 2. 衔接处忽略速度方向，只看速度大小，导致磁场圆心找错； 3. 总时间计算遗漏某一段的运动时间； 4. 几何画图出错，圆心角判断错误； 5. 忽略粒子有可能多次在电场磁场之间往返运动。 题型01：磁场与磁场组合 【典型例题1】如图在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。若粒子重力不计，则粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 【典型例题2】薄铝板将同一匀强磁场分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，高速带电粒子可穿过铝板一次，在两个区域内运动的轨迹如图所示，半径R1>R2，假定穿过铝板后粒子电荷量保持不变，但速率减小，则该粒子（　　） A．带正电 B．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动时间相同 C．从Ⅱ区域穿过铝板运动到Ⅰ区域 D．从Ⅰ区域穿过铝板运动到Ⅱ区域 【典型例题3】O点为圆心、半径为R的圆形区域内以直径AB为分界线，左半圆内有垂直纸面向外的匀强磁场，右半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小相等。现有质量和电荷量均相同的两个粒子1、2，分别从A点和C点垂直磁场方向射入磁场，且从C点入射的粒子速度方向与AB平行，观察到它们的轨迹如图所示，两粒子在O点发生正碰。C点到AB的距离为0.5R，粒子的重力不计，不考虑两粒子间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．两粒子均带正电 B．1粒子应先进入磁场 C．1、2粒子在磁场中运动的半径之比为 D．1、2粒子速度大小之比为 【典型例题4】宇宙中的暗物质湮灭会产生大量的高能正电子，正电子的质量为m，电荷量为e，通过寻找宇宙中暗物质湮灭产生的正电子是探测暗物质的一种方法(称为“间接探测”)．如图所示是某科研攻关小组为空间站设计的探测器截面图，粒子入口的宽度为d，以粒子入口处的上沿为坐标原点建立xOy平面直角坐标系，以虚线AB、CD、EF为边界，0<x<d区域有垂直纸面向外的匀强磁场，d<x<2d区域有垂直纸面向里的匀强磁场，0<x<2d区域内磁感应强度的大小均为B；2d<x<3d区域有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为；x＝5d处放置一块与y轴平行的足够长的探测板PQ.在某次探测中，仅考虑沿x轴正方向射入的大量速度不等的正电子，正电子的重力以及相互作用不计，其中一些正电子到达边界AB时，速度与x轴正方向的最小夹角为60°，对此次探测，求： (1)初速度多大的正电子能到达探测板PQ； (2)正电子自入口到探测板PQ的最短时间； (3)正电子经过边界CD时的y轴坐标范围？ 【变式训练1-1】利用磁场可以实现对带电粒子运动的控制。如图所示，在直角坐标系xOy中，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域和，虚线为它们的分界线，与轴正向夹角。区域中的磁感应强度为，方向垂直纸面向外；区域中的磁感应强度为，方向垂直纸面向里，点为它们分界线上的某一点，已知。质量为、带电荷量为的粒子从坐标原点平行于轴正方向射入区域I，初速度未知，经过一段时间后，粒子恰好经过，忽略粒子重力和一切阻力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子运动到N点时速度方向可能平行于x轴 B．粒子从O点运动到点的时间至少为 C．粒子的初速度v0大小可能是 D．粒子的初速度v0大小可能是 【变式训练1-2】如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是（  ） A．电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P B．电子运动一周回到P点所用的时间 C．B1=4B2 D．电子在B2区域受到的磁场力始终不变 【变式训练1-3】（多选)如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，P(－L，0)、Q(0，－L)为坐标轴上的两个点。现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力)，以与x轴正向成45°的速度v从P点射入磁场，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对粒子从P运动到Q的过程描述正确的是(　　) A.粒子运动的总路程一定为 B.粒子运动的最短时间为 C.粒子从P点运动至Q点动量变化量大小为2mv D.粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为1∶3 【变式训练1-4】（多选)如图所示，坐标系xOy第一象限有磁场区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，区域Ⅱ中磁场的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内。两区域分界线与x轴正方向成37°。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从分界线上的P点沿y轴负方向射入区域Ⅰ，粒子第二次回到分界线时恰好经过原点O。忽略粒子重力，已知OP＝5L，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则下列说法中正确的是（　　） A．粒子经过O点时速度沿x轴负方向 B．粒子经过O点时速度沿y轴负方向 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子运动的速度为 【变式训练1-5】如图所示，虚线ab上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场Ⅰ，下方存在方向相同、磁感应强度大小为λB的匀强磁场Ⅱ，虚线ab为两磁场的分界线。M、O、N位于分界线上，点O为MN的中点。一电子从O点射入磁场Ⅰ，速度方向与分界线ab的夹角为30°，电子离开O点后依次经N、M两点回到O点。已知电子的质量为m，电荷量为e，重力不计，求: (1)λ的值; (2)电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间。 【变式训练1-6】如图所示，在直角坐标系中的y轴和x＝10L的虚线之间以x轴为边界存在两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，区域Ⅱ磁场方向垂直于纸面向里。一粒子加速器放置在y轴上，其出射口P点坐标为，其加速电压可调。质量为m、电荷量为q的粒子经加速器由静止加速后平行于x轴射入区域Ⅰ，粒子重力忽略不计。 (1)调节加速电压，粒子恰好从O点射出磁场，求加速电压的大小U; (2)若区域Ⅱ磁感应强度大小为B，如果粒子恰好不从y轴射出，求粒子从P点射出后第二次经过x轴所用时间t; (3)在第(2)问的情形中，求粒子经过x轴的点的横坐标值。 【变式训练1-7】电子束光刻系统的核心技术是聚焦电子束以获得更高能量。如图所示为某公司研发的多电子束聚焦系统和测试系统。每个电子枪均可以将电子通过加速电压加速后，连续发射速度方向与y轴垂直的电子束。各电子束通过聚焦区后，可以在x轴上位置聚焦成一束更高能量的电子束。其中，聚焦区由两个匀强磁场区域构成，磁感强度大小均为B，方向垂直纸面相反，磁场长度足够长，宽度均为d。已知电子质量为m、电子元电荷量为，不考虑电子间的相互作用，忽略电子的初速度。 （1）若电子枪的加速电压为U，求电子在聚焦区做圆周运动的轨道半径R； （2）求从位置坐标射入的电子在聚焦区运动的总时间t； （3）若电子枪的加速电压为U，射入聚焦区时的坐标为，要使各电子枪射出的电子束均在x轴上位置聚焦，求在范围内的y与U需满足的函数关系并写出U的取值范围； （4）为进一步测试聚焦后的电子束强度，在x轴上位置的右方放置一测试区，在测试区施加一垂直纸面的匀强磁场，电子束被约束在该测试区中不会射出，电子在测试区运动速度大小为v时所受的阻力（k为常数且）。求从位置坐标y射入聚焦区的电子在测试区中运动的路程s与y的关系。 【变式训练1-8】利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    【变式训练1-9】离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。 （1）①求磁感应强度B的大小； ②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小； （2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小； （3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。 【变式训练1-10】某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。 （1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s； （2）求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离； （3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。 【变式训练1-11】通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值），可研究中子（）的衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子。如图所示，位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距离为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。 已知电子质量，中子质量，质子质量（c为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。 若质子的动量。 （1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以为能量单位）； （2）当，时，求计数率； （3）若取不同的值，可通过调节的大小获得与（2）问中同样的计数率，求与的关系并给出的范围。 题型02： 先电场后磁场 (1） 先电加速后磁偏转 带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 【典型例题1】如图所示，平面直角坐标系xOy中第一、二、四象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从S点（-l，-l）由静止释放，进入磁场区域运动，恰好过x轴上P点（l，0）、不计粒子重力。 （1）求匀强电场的电场强度大小； （2）粒子释放开始计时，求粒子第1次到达y轴正半轴的时间； （3）粒子第3次过y轴时的坐标。 【典型例题2】扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图，Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电荷量为－q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角θ＝30°。 （1）当Ⅰ区宽度L1＝L、磁感应强度大小B1＝B0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0； （2）若L2＝L1＝L、B1＝B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件； （3）若B1≠B2，L1≠L2，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出。为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，求B1、B2、L1、L2之间应满足的关系式。 【典型例题3】医学检查中磁共振成像简化模型如图所示，其中一个重要的部件“四极铁”，能够提供梯度磁场，从而控制电子束在运动过程中汇聚或发散，图甲为该磁场的磁感线分布情况。一束电子从M板上均匀分布的小孔飘入（初速度可以忽略不计），经过平行板MN间电场加速后获得速度v，沿垂直纸面向里的方向进入“四极铁”空腔。电子质量为m，电量为e，不计粒子重力和粒子间相互作用。 （1）求加速电压大小，判断图甲中a、c和b、d两对电子，哪一对电子进入磁场后会彼此靠近； （2）以图甲中磁场中心为坐标原点O建立坐标系，垂直纸面向里为x轴正方向，沿纸面向上为y轴正方向，在xOy平面内的梯度磁场如图乙所示，该磁场区域的宽度为d。在范围内，电子束沿x轴正方向射入磁场，磁感应强度（且已知，以垂直xOy平面向里为磁场正方向）。电子速度大小均为v，穿过磁场过程中，电子的y坐标变化很小，可认为途经区域为匀强磁场。 ①求从处射入磁场的电子，在磁场中运动的半径及速度偏转角的正弦值； ②研究发现，所有电子通过磁场后，将聚焦到x轴上处。由于d很小，可认为电子离开磁场时，速度方向的反向延长线通过点，且速度方向的偏转角很小，，求f的表达式； ③在处再放置一个磁场区域宽度为d的“四极铁”（中心线位于处），使②问中的电子束通过后速度方向变成沿x轴正方向，若该“四极铁”的磁感应强度，求； ④如图丙，仪器实际工作中，加速电压U会在附近小幅波动，导致电子聚焦点发生变化。若要求聚焦点坐标偏差值不超过，求电压波动幅度的最大值。 【变式训练2-1-1】如图所示，平面直角坐标系y轴的左侧存在沿x轴正方向电场强度为E的匀强电场，一质量为m，带电量为的质子从P点由静止开始加速，P点的坐标为，从坐标原点射入圆形匀强磁场区域（图中未画出），磁场方向垂直纸面向外，质子飞出磁场区域后，经过y轴上的M点再次进入电场，此时质子速度与y轴负方向夹角为，M点的坐标为，质子重力不计，求： （1）磁感应强度为多大； （2）圆形匀强磁场区域的最小面积； （3）在圆形磁场面积最小时，质子第三次经过y轴的y坐标。    【变式训练2-1-2】如图，在y>a区域有方向沿y轴负方向的匀强电场，y<a区域有方向垂直xOy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。t=0时刻，质量为m的甲粒子从（，）点静止释放，另一质量为2m的乙粒子，刚好以沿x轴负方向的速度通过x轴上Q点，当甲第一次经过原点O时，甲、乙恰好相遇并发生时间极短的对心碰撞，且碰后甲、乙还能再次碰撞。假设甲的电荷量始终为q（q>0）、乙始终不带电，碰撞过程中无能量损失，不计粒子重力。求： （1）电场强度的大小； （2）甲粒子第一次到达原点O的时刻； （3）Q点的横坐标。 【变式训练2-1-3】如图所示，竖直虚线的左侧有水平向左的匀强电场，右侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，比荷为k的负粒子甲由电场中的M点无初速释放，由O点进入磁场，OM在一条直线上，经过一段时间与静止在N点的不带电粒子乙发生无能量损失的碰撞，碰后两粒子的电荷量均分。已知粒子乙的质量为粒子甲质量的，，N到两虚线的距离均为L。忽略粒子的重力以及碰后粒子间的相互作用。 （1）求竖直虚线左侧电场强度的大小； （2）若粒子甲、乙碰后的瞬间，立即将粒子乙拿走，求粒子甲从释放到第四次通过竖直虚线时到O点的距离。 【变式训练2-1-4】空腔圆柱的截面圆如图所示，其圆心为O，半径为R，圆面上开有A、B、C、D四个小孔，，，，圆内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未知），圆外OB和OC射线范围内存在垂直纸面向内的匀强磁场（未知）。紧靠A孔有两金属板M，N，两板间加上交变电压，其中已知，质量为m，电荷量为q的正电粒子持续由M板静止释放，经电场加速的粒子从A孔沿半径方向进入空腔内部，发现在时刻释放的粒子恰好能从B孔射出磁场，并能经过D孔。已知粒子在电场中加速的时间忽略不计，粒子撞击圆面即被吸收，圆面始终不带电。 （1）求从B孔飞出的粒子的速度及截面圆内磁感应强度的大小； （2）求粒子从A孔运动到D孔的时间及比值； （3）紧靠D孔有两金属板，，两板间加上沿半径方向的交变电压，以板出口处点为原点建立直角坐标系，在y轴右侧区域内存在垂直纸面向内的匀强磁场，当时，从点进入磁场的速度最大的粒子恰好从点离开磁场。若要让从点进入磁场的速度最小的粒子也恰好击中点P，则的取值应为多少？ 【变式训练2-1-5】CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则(　　) A．M处的电势高于N处的电势 B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移 C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外 D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移 【变式训练2-1-6】半导体有着广泛的应用，人们通过离子注入的方式优化半导体以满足不同的需求。离子注入系统的原理简化如图所示。质量为m、电荷量为q的正离子经电场加速后从P点沿方向垂直射入圆心为O、半径为R的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。当磁感应强度为时，离子恰好沿方向射出并击中晶体的中点Q。已知，，，，不考虑离子进入加速器的初速度及离子重力和离子间的相互作用。 （1）求加速电场两板间的电压； （2）为使离子能够击中晶体的各个部分，求磁感应强度的取值范围。 【变式训练2-1-7】电子扩束装置由电子加速器、偏转电场和偏转磁场组成。偏转电场的极板由相距为d的两块水平平行放置的导体板组成，如图甲所示。大量电子由静止开始，经加速电场加速后速度为，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入偏转电场。当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为；当在两板间加最大值为，周期为的电压（如图乙所示）时，所有电子均能从两板间通过，然后进入竖直长度足够大的匀强磁场中，最后打在竖直放置的荧光屏上。已知磁场的水平宽度为L，电子的质量为m、电荷量大小为e，其重力不计。 （1）求电子离开偏转电场时到的最远距离； （2）要使所有电子都能打在荧光屏上，求匀强磁场的磁感应强度B的范围； （3）在满足第（2）问的条件下求打在荧光屏上的电子束的宽度。 【变式训练2-1-8】某款空气净化器（如图丙所示） 采用了“等离子灭活”技术，内部有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个真空区域，其中L=5cm，如图甲所示。Ⅰ区中平行金属板A、B与电源连接（图中未画出），其中B板接地（电势为零），A板的电势变化周期为T=s，规律如图乙所示，B板粒子发生处能连续均匀地释放质量kg，电量C的带电粒子。Ⅱ、Ⅲ两条形区存在着宽度分别为L、0.5L，竖直方向无界、方向相反的匀强磁场，其中B2=2B1，B1=T，不计粒子间的相互作用力和重力。求： （1）一个周期内穿出电场的粒子数和B板所释放的粒子数之比； （2）一个周期内穿过Ⅱ区进入Ⅲ区的粒子数和B板所释放的粒子数之比； （3）粒子将从Ⅲ区右边界的不同位置穿出，求穿出位置最高点与最低点之间的距离。 甲 乙 丙 （二）先电场中类平抛后进入磁场做圆周运动 带电粒子在匀强电场中做类平抛(或类斜抛)运动，在磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 【典型例题1】（多选）如图所示，质量为m，带电量为＋q的点电荷，从原点以初速度射入第一象限内的电磁场区域，在，（、为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（E值有多种可能），可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则（ ） A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度满足 B．粒子从NP中点射入磁场时速度为 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为 D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 【典型例题2】如图所示，一个质量为、电荷量为的微粒，在点（0，3m）以初速度平行轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，点（6m，0）和点（8m，0）分别是微粒第一、二次经过轴上的点。已知该微粒的比荷为，微粒重力不计，求： (1)微粒在电场中加速度的大小及电场强度的大小； (2)微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角； (3)磁感应强度的大小及微粒从运动到的时间。 【典型例题3】如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一半径为L且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。 【典型例题4】如图所示，在竖直平面内，虚线MN与水平方向成角，虚线上方存在着方向竖直向下的匀强电场，虚线下方存在着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，虚线上有A、C、D三点，，质量为m、电荷量为+q的粒子从A点以初速度v0沿水平方向进入电场，恰好从C点进入磁场，又从D点射出磁场，粒子的重力不计，可能会用到的公式，求： (1)匀强电场的场强大小E； (2)粒子经过C点的速度大小和方向； (3)匀强磁场的磁感应强度大小B。 【典型例题5】如图甲所示，在平面直角坐标系xOy的y轴左侧有沿y轴正方向的匀强电场，在y轴的右侧与平行于y轴的屏之间有垂直坐标平面向外的匀强磁场I，磁场的磁感应强度大小为B0，在电场中坐标为（L，0.5L）的P点，以大小为v0的初速度沿x轴正方向射出一质量为m、电量为q的带正电的粒子，粒子刚好从坐标原点O进入磁场并恰好打在屏上的Q点，Q点在x轴上。粒子重力不计。求： （1）匀强电场的电场强度大小； （2）y轴到屏间的距离为多少； （3）若在磁场I中再加一个匀强磁场II，磁场II的方向垂直于坐标平面向里，其大小随时间变化如图乙所示，，若粒子从P点射出后在t=0时刻进入磁场，则粒子最终打在屏上的位置离x轴的距离为多少。 【典型例题6】如图所示，竖直面内的三个区域中分别存在电场和磁场。在区域内匀强电场方向沿轴正方向，在轴右侧分布着相邻的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿轴正向，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。一质量为、带电量为的油滴从轴上的点无初速释放，到达轴上的点时，速度与轴负方向夹角；到达竖直电场右边界的点时，速度与轴正方向夹角仍为。两点间距离两点的竖直高度差。已知重力加速度取，带电油滴的运动均在真空中。求： （1）水平电场的大小及油滴到达到点时的速度； （2）竖直电场的大小及油滴到达点时的速度； （3）油滴在磁场中运动的速度的最大值。 【变式训练2-2-1】如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 (1)求金属板间电势差U； (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 【变式训练2-2-2】平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示．一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍．粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等．不计粒子重力，问： (1)粒子到达O点时速度的大小和方向； (2)电场强度和磁感应强度的大小之比． 【变式训练2-2-3】如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从电场中的O点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为，粒子返回电场前的运动轨迹过P点正上方的Q点，P、Q间距离及O、P间的水平距离均为L。不计粒子重力。 (1)判断粒子的电性； (2)求电场强度大小E； (3)求磁感应强度大小B。 【变式训练2-2-4】如图所示，在平面直角坐标系中，虚线与x轴正方向的夹角为，与y轴之间存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，第二象限存在沿y轴正方向的匀强电场。一带负电的粒子从x轴负半轴的P点以初速度进入电场，与x轴正方向的夹角为，经电场偏转后从点垂直y轴进入磁场，粒子恰好不从边界射出磁场，不计粒子重力，求： (1)x轴上的P点坐标； (2)该粒子的比荷； (3)粒子从P点出发到再次回到x轴时的总时间。 【变式训练2-2-5】如图，在平面直角坐标系内，第象限存在沿轴负方向的匀强电场，第象限以为直径的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带正电的粒子，自轴正半轴上处的点，以速度垂直于轴射入电场。经轴上处的点进入磁场，最后垂直于轴的方向射出磁场。不计粒子重力。求： 电场强度大小； 粒子在磁场中运动的轨道半径； 粒子在磁场运动的时间。 【变式训练2-2-6】如图所示，直角坐标系xOy中，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴负方向。在第Ⅳ象限区域内有方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的p(0，L)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的M(2L，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点垂直y轴进入第Ⅲ象限，不计粒子的重力，求： (1)(4分)电场强度E的大小； (2)(5分)粒子到达M点时速度的大小和方向； (3)(5分)磁场的磁感应强度B的大小。 【变式训练2-2-7】如图所示的平面直角坐标系xOy中，第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场边界分别为x轴、MN和y轴，M、N两点的坐标分别为(L，0)、(0，-L)。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带电粒子从第二象限的A点沿x轴正方向以初速度v0射出，A点坐标为(-2L，L)，粒子恰好从坐标原点O进入第四象限，之后粒子从MN上的P点(图中未标出)进入磁场，经磁场偏转后从x轴上的Q点(图中未标出)垂直于x轴射出磁场，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从A点运动到Q点所用的时间t。 【变式训练2-2-8】如图所示，在直角坐标系的第一象限，有方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场，在第四象限有垂直纸面向外的匀强磁场，在x轴下方放置一长度为L的绝缘薄板PQ，挡板平面与x轴垂直且上端紧贴x轴。一质量为m，电荷量为的粒子从y轴上一点以大小为的速度水平向右射出，恰好从薄板上边缘P点处射入磁场，粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，之后粒子恰好未与薄板碰撞，不计粒子重力，求： （1）粒子在y轴上的发射位置到P点的水平距离； （2）匀强磁场磁感应强度B的大小： （3）粒子在薄板右侧运动的时间t。 【变式训练2-2-9】如图所示，平面直角坐标系xOy的第二、三象限内有方向沿y轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有圆形有界磁场，有界磁场的半径为L，磁场的方向垂直于坐标平面向里，磁场边界与y轴相切于O点，在x轴上坐标为(－L,0)的P点沿与x轴正方向成θ＝45°角斜向上射出一个速度大小为v0的带电粒子，粒子的质量为m，电荷量为q，粒子经电场偏转垂直y轴射出电场，粒子进入磁场后经磁场偏转以沿y轴负方向的速度射出磁场，不计粒子的重力．求： (1)粒子从y轴上射出电场的位置坐标； (2)匀强电场电场强度大小及匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子从P点射出到射出磁场运动的时间为多少？ 【变式训练2-2-10】如图所示，在平面直角坐标系的第一象限有竖直向上的匀强电场，在第四象限有一圆心在O1（2L，-2L）半径为2L的圆形有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一负电子从P（0，L）点沿x轴正方向以速度v0入射，经匀强电场偏转后恰好从M（2L，0）点进入匀强磁场。已知电子电荷量为e，质量为m，电子重力不计。求： （1）求匀强电场的电场强度大小E； （2）若匀强磁场的磁感应强度为B，电子离开磁场后恰好垂直穿过y轴，求B的大小； （3）求电子从y轴上的P点出发至再次经过y轴所需要的时间t。 【变式训练2-2-11】为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为-q的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0（v0已知）从点P（0，d）垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 （1）求电场强度E的大小；                      （2）求磁感应强度B的大小； （3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f＝kv（k为已知常量），观察发现该粒子轨迹呈螺旋状，且粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求粒子由P点运动到Q点的时间t。 【变式训练2-2-12】如图所示，水平直线上方有竖直向下的匀强电场，下方有一边长为的正三角形匀强磁场区域（边界上也有磁场），点在边界上，边与平行，匀强磁场方向垂直纸面向外。质量为、带电量为的粒子从点以初速度垂直电场方向射出，在电场中偏转后从点进入磁场，之间的水平距离为，竖直距离为，粒子重力不计。 （1）求电场强度的大小； （2）若粒子从点离开磁场，求粒子在磁场中的运动时间； （3）若粒子从边上距离点为的点离开磁场，求磁感应强度的大小。    【变式训练2-2-13】如图所示，PQ、MN两挡板竖直正对放置，两板长度l均为1m，间距也为1m，两挡板间有垂直纸面向里、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。挡板的上边缘P、M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向上的匀强电场，电场强度大小E=10V/m；一带负电粒子自电场中A点以一定速度水平向右发射，恰好从P点处与水平方向成45°射入磁场，从两挡板下边缘Q、N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知：该带负电的粒子比荷大小为1.0×105C/kg，粒子发射位置A到水平线PM的距离h=2m，不计粒子的重力。整个装置处于真空中且不考虑地磁场的影响。求： （1）粒子从A点发射的初速度v0； （2）求磁感应强度大小的取值范围。 【变式训练2-2-14】如图所示，在第一象限的区域内存在沿x轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，在的区域内存在沿y轴负方向、电场强度大小未知的匀强电场，x轴下方存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计粒子的重力）从y轴上A（0，L）点处由静止释放，粒子离开区域后撤去该区域内的匀强电场，粒子经C（3L，0）进入x轴下方的磁场中，之后粒子经过第二象限回到A点。求 （1）匀强电场的电场强度大小； （2）粒子从A点出发至第一次返回A点所用时间t。 【变式训练2-2-15】如图，在平面直角坐标系的第二、三象限内有沿x轴正向、大小为E的匀强电场，在y轴和直线之间有垂直坐标平面向外的匀强磁场，x轴上P点的坐标为，在P点沿y轴正向射出电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，粒子的初速度大小为，粒子在y轴上Q点以与y轴正方向成进入匀强磁场，粒子在磁场中运动轨迹刚好与直线相切，不计粒子的重力，求： （1）粒子进磁场时的速度大小和OQ之间的距离； （2）匀强磁场的磁感应强度大小。 【变式训练2-2-16】如图所示，在xOy平面内和x轴之间存在沿+x方向的匀强电场，的区域存在匀强磁场。比荷为2k的带负电粒子1从O点以速度沿y轴正方向射入，此时电场强度大小变为原来的3倍，粒子1不经过磁场直接到达收集装置被收集，且在粒子1到达收集装置的过程中，前一半时间存在电场，后一半时间电场消失。电场恢复到开始时情况，比荷为k的带正电粒子2从O点以速度沿y轴正方向射入，最终到达固定于坐标的收集装置被收集。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求： （1）开始时电场强度的大小； （2）磁感应强度的大小。 【变式训练2-2-17】蜜蜂飞行时依靠峰房、采蜜地点和太阳三个点进行定位做“8”字形运动，以此告知同伴蜜源方位。某兴趣小组用带电粒子在电场和磁场中的运动模拟蜜蜂的运动。如图所示，空间存在足够大且垂直纸面、方向相反的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，其上、下边界分别为、，间距为d。与之间存在沿水平方向且大小始终为的匀强电场，当粒子通过进入电场中运动时，电场方向水平向右；当粒子通过进入电场中运动时，电场方向水平向左。现有一质量为m、电荷量为的粒子在纸面内以初速度从A点垂直射入电场，一段时间后进入磁场Ⅱ，之后又分别通过匀强电场和磁场Ⅰ，以速度回到A点，磁场Ⅱ的磁感应强度，不计粒子重力。求： （1）粒子进入磁场Ⅱ时速度v的大小和方向； （2）磁场Ⅰ的磁感应强度大小。 【变式训练2-2-18】如图所示，直角坐标系平面内，绝缘等腰直角三角形框架底边中点位于原点，，、边上有关于轴对称的小孔、。三角形框架内有沿轴正方向的匀强电场，框架外至圆心在点、半径为的半圆形边界内有垂直于纸面向里的匀强磁场。质量为、电量为、不计重力的带电粒子以初速度从点沿方向射入电场，经过小孔垂直于进入磁场区域，与绝缘框架碰撞后原速返回。调节匀强磁场磁感应强度为某些值时，粒子能绕过点回到出发点，此后重复做周期性运动。求： (1)粒子经过点时速度大小； (2)与两点间的电势差； (3)粒子运动周期最长时磁感应强度大小B。 【变式训练2-2-19】如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限内有一抛物线，如图中虚线所示，其方程为，虚线上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为，第三象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在抛物线的下方的区域有大量质量、电荷量的粒子以相同的初速度平行于x轴射入电场，最后均经过O点进入磁场，不计粒子的重力，求： (1)带电粒子的初速度大小； (2)在磁场中，所有带电粒子能到达离x轴的最远距离。 (3)若磁感应强度与y轴的关系为，那么所有粒子在磁场中，能到达离x轴的最远距离。 【变式训练2-2-20】如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，x轴下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。A是质量为m1带正电的小球，C是质量为m2带负电的小球，A、C均可视为电荷量大小为q的质点，且2m1=m2=m。初始时C球被锁定在x轴上某一位置，把A球从y轴上某点以初速度v0水平抛出，A球与C球发生一维对心正碰，碰撞时间极短，碰前瞬间解除对C球的锁定，碰后瞬间A球速度为零，C球速度方向与x轴正方向夹角为θ=53°，碰撞前后A、C两球电荷量不变，重力加速度为g，sin53°=0.8，求： （1）小球A从开始抛出到与C球碰前运动的时间t及两球碰撞损失的机械能； （2）A球在磁场中运动的最大速度vm（结果用v0表示）； （3）C球在磁场运动过程中离x轴的最大距离H（结果用v0和g表示）。 注：其中（2）、（3）问不考虑A、C两球在磁场中可能发生的碰撞。 题型03：先磁场后电场 磁场中：匀速圆周运动 电场中：匀变速直线运动 （v与E同向或反向） 磁场中：匀速圆周运动 电场中：类平抛运动 （v与E垂直） 磁场中：匀速圆周运动 电场中：类斜抛运动 （v与E成一定角度（非直角）） 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 （1） 带电粒子由磁场进入电场做匀变速直线运动 【典型例题】现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，各区边界均垂直于x轴，O为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m的粒子。如图，甲、乙平行于x轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为v0和v0。甲到P点时，乙刚好射入Ⅰ区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O点时，乙恰好到P点。已知Ⅲ区存在沿＋x方向的匀强电场，电场强度大小E0＝。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。 (1)求磁感应强度的大小B； (2)求Ⅲ区宽度d； (3)Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴，电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为E＝ωt－kx，其中常系数ω>0，ω已知、k未知，取甲经过O点时t＝0。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F与Δx间的关系式(不要求写出Δx的取值范围)。 【变式训练3-1-1】一个带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x正方向成的方向射入第一象限内磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿x轴负方向。不计粒子重力，求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过y轴所需要的时间t。 【变式训练3-1-2】如图所示，在xOy坐标系中，第二、四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场，质量为m、电荷量为q的粒子以速度v0从A（-L，0）点垂直x轴射入第二象限，后与x轴方向成θ=45°角射入第四象限，粒子进入电场时速度方向与y轴成45°角，最终粒子从x轴上的C点（图中未画出）垂直x轴回到第二象限，不计粒子重力，求： (1)第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小B1、B2； (2)匀强电场的电场强度大小E； (3)A、C两点间的距离d； (4)粒子从A点运动到C点的时间t。 （2） 带电粒子由磁场进入电场做类平抛运动 【典型例题1】如图所示，在x＞0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，在x＜0的区域有方向与y轴负方向成30°斜向右下方的匀强电场，x正半轴上的c点有一个离子源，Oc＝L。可以向各方向发射质量为m、带电量为q，初速度大小为v0的正离子（重力不计），当与x轴正方向成30°射入第Ⅰ象限时，从距离O点为的d点进入电场，则下列说法正确的是（ ） A．磁感应强度B＝ B．从c点发射出的所有离子第一次穿过y轴的纵坐标最大值为2L C．离子从磁场经过d点第一次进入电场运动后离开电场时的速度为 D．离子从磁场经过d点第一次进入电场运动后再次回到磁场中，两次经过y轴时速度的偏角的正切值为 【典型例题2】如图所示，在xOy坐标系的第一、第四象限内存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，y轴和ab为其左、右边界，两边界距离为l=2.4r，第一象限内电场E2方向竖直向下，第四象限内电场E1方向竖直向上。在y轴的左侧有一分布在半径为r的圆内的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，其中OO'是圆的半径。在电场右边界ab上，一电荷量为+q、质量为m的不计重力的粒子以初速度v从M点沿水平方向垂直射入匀强电场，M点和x轴之间的距离为1.2r，该粒子通过x轴上的N点(未画出)进入上部匀强电场，然后从y轴上的P点水平射出，P点坐标为(0，0.6r)，经过一段时间后粒子进入磁场区域，该粒子进出磁场时速度方向改变了90°。其中m、+q、v、r为已知量。求： (1)第一、第四象限内电场强度大小之比E2∶E1； (2))磁场的磁感应强度B的大小； (3)该粒子从射入电场到偏转出磁场的全过程运动的总时间。 【典型例题3】如图所示，在直角坐标系的第二、第三象限内有一垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场区域，坐标分别为、、。在直角坐标系的第一象限内，有沿y轴负方向、大小为的匀强电场，在处垂直于x轴放置一荧光屏，其与x轴的交点为Q。粒子束以相同的速度由O、C间的各位置垂直y轴射入，已知从y轴上的点射入磁场的粒子恰好经过O点，忽略粒子间的相互作用，不计粒子的重力。求 （1）粒子的比荷； （2）荧光屏上的发光长度。 【典型例题4】如图所示，在xOy平面的第一象限内有半径为R的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为，其边界与x轴、y轴分别相切于P、Q点。位于P处的质子源均匀地向纸面内以大小为v的相同速率发射质量为m、电荷量为e的质子，且质子初速度的方向被限定在两侧与的夹角均为的范围内。第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在x轴（）的某区间范围内放置质子接收装置MN。已知沿方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直y轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。 （1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B； （2）求y轴正方向上有质子射出的区域范围； （3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN接收，求接收装置MN的最短长度x。 【变式训练3-2-1】利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy平面(纸面)内，x<x1的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的x1<x<x2区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从原点O处以大小为v0的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角θ＝60°，一段时间后垂直x＝x1虚线边界进入电场。已知x1＝L，x2＝L，区域Ⅱ中电场的电场强度E＝。求： (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t； (3)粒子离开电场时的速度大小v。 【变式训练3-2-2】如图，在平面直角坐标系xOy中x轴上方有一匀强磁场，方向垂直于纸面向里，在x轴下方有平行于xOy平面且与x轴正方向夹角为45°的匀强电场。y轴上有一个P点，P点的y坐标为()L，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度v0从P点与y轴正方向夹角为60°斜向左上方射出，正好在x轴负半轴的Q点(图中未画出)处以与x轴正方向夹角为45°的方向第一次经过x轴射入下方电场，若粒子第二次经过x轴时的点和Q点关于原点对称，不计粒子的重力，求： (1)(4分)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)(7分)匀强电场的电场强度大小； (3)(4分)带电粒子在匀强电场中离x轴的最远距离。 【变式训练3-2-3】强电场，电场方向与xOy平面平行，且与x轴成45°夹角．一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子以初速度 v0从y轴上的P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经 过一段时间T0，磁场的方向变为垂直于纸面向里，大小不变．不计重力． (1)求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需的时间； (2)若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值． 【变式训练3-2-4】如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限区域中，有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小为E=k。在第二象限有一半径为R=b的圆形区域磁场，圆形磁场的圆心O1坐标为（－b，b），与两坐标轴分别相切于P点和N点，磁场方向垂直纸面向里。在x=3b处垂直于x轴放置一平面荧光屏，与x轴交点为Q。大量的电子以相同的速率在纸面内从P点进入圆形磁场，电子的速度方向在与x轴正方向成θ角的范围内，其中沿y轴正方向的电子经过磁场到达N点，当速度与x轴正方向成θ=120°角的电子经过磁场后到达Y轴上M点。忽略电子间的相互作用力，不计电子的重力，电子的比荷为。求： （1）圆形磁场的磁感应强度大小； （2）M点的坐标； （3）电子打到荧光屏上距Q点的最远距离。 【变式训练3-2-5】如图所示，半径为R的圆形边界，圆心为O，半径Oe与直径jp垂直，圆形边界内除扇形区域jOe外，存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，带电平行金属板ab、cd的长度均为R，间距为2R，圆形边界与ac相切于e点，且e点是ac的中点，在平行板的右侧放置一荧光屏，荧光屏与bd平行，且与bd的间距为R。一带电量为、质量为m的粒子甲（不计重力），从p点以指向圆心O的速度垂直进入磁场，然后从e点进入匀强电场，最后从d点射出；再让与粒子甲相同的粒子乙从p点垂直射人磁场，速度的大小与甲相同、方向与甲不同，乙从j点射出磁场，进入电场，最后打在荧光屏上的f点，求： （1）匀强电场的场强； （2）粒子乙从p点到f点的运动时间。 【变式训练3-2-6】如图所示，在直角坐标系的范围内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外；在的范围内有与y轴负方向成斜向下的匀强电场。y轴与x轴上有P、Q两点，Q点坐标为。一个质量为m、带电量为的粒子从O点以与x轴正方向夹角为的方向射入磁场中，先后经过P、Q两点又回到O点，粒子重力不计。求： （1）P点的纵坐标和粒子从O射入磁场时的初速度的大小； （2）匀强电场场强E的大小； （3）在此过程中，粒子轨迹经过点的纵坐标范围。    【变式训练3-2-7】利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy平面(纸面)内，x<x1的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的x1<x<x2区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从原点O处以大小为v0的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角θ＝60°，一段时间后垂直x＝x1虚线边界进入电场。已知x1＝L，x2＝L，区域Ⅱ中电场的电场强度E＝。求: (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B; (2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t; (3)粒子离开电场时的速度大小v。 （3） 带电粒子由磁场进入电场做类斜抛运动 【典型例题1】（多选）如图所示，在平面直角坐标系第一、二象限的区域内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第一象限的区域内存在着匀强电场，电场方向与轴负方向成斜向下。位于坐标原点处的粒子源能在平面向第二象限内持续发射质量为、电荷量为的相同粒子，速度方向与轴正方向的夹角，且各个方向的速度大小与的关系为（式中为未知定值）。的粒子恰好通过坐标为的点，经过直线时距轴最远的粒子到达直线时，速度方向刚好沿轴负方向，，不计粒子重力，及粒子间的相互影响，下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电荷 B． C．粒子运动到直线上时与轴的最远距离为 D．匀强电场的电场强度为 【典型例题2】如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N竖直固定，间距为d。M板接地，其左侧整个区域存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场。M板上O点左侧P点有一粒子源，可不断地沿纸面内任意方向发射速度大小均相同，质量为m，电荷量为q的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，带电粒子在板间的运动可视为匀变速运动，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。求： (1)粒子源发射粒子的速度大小； (2)粒子从P点出发，第1次到Q的可能时间； (3)粒子打到M板右表面的位置与Q点的最小距离。 【典型例题3】在如图所示的坐标系中，第一和第二象限(包括y轴的正半轴)内存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场；第三和第四象限内存在平行于y轴正方向、大小未知的匀强电场．p点为y轴正半轴上的一点，坐标为(0，l)；n点为y轴负半轴上的一点，坐标未知．现有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子由p点沿y轴正方向以一定的速度射入匀强磁场，该粒子经磁场偏转后以与x轴正半轴成45°角的方向进入匀强电场，在电场中运动一段时间后，该粒子恰好垂直于y轴经过n点．粒子的重力忽略不计．求： (1)粒子在p点的速度大小； (2)第三和第四象限内的电场强度的大小； (3)带电粒子从由p点进入磁场到第三次通过x轴的总时间． 【变式训练3-3-1】如图所示，在xOy平面的第一、二象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在第三、四象限范围内有沿x轴正方向的匀强电场，在坐标原点O有一个粒子源可以向x轴上方以不同速率向各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，x轴上的P点坐标为，y轴上的Q点坐标为。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法中正确的是（    ） A．所有经过P点的粒子最小速度为 B．若以最小速率经过P点的粒子又恰好能过Q点，则电场强度大小为 C．沿不同方向进入匀强磁场的粒子要经过P点，速度大小一定不同 D．所有经过P点的粒子在匀强电场中运动的时间均相同 【变式训练3-3-2】如图所示，平面直角坐标系中，y轴右侧有三个足够长的区域，区域边界线均与y轴平行其中Ⅰ、Ⅲ区域内存在垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，其宽度均为；Ⅱ区域内存在沿着y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，其宽度为。P为Ⅲ区域右边界线与x轴交点。一带负电粒子以一定的速度从O点出发沿x轴正方向射入磁场，一段时间后该粒子恰好以从O点出发时的速度从P点沿x轴正方向离开Ⅲ区域。不计粒子重力。 （1）定性画出粒子在三个区域中的运动轨迹； （2）求粒子在Ⅱ区内的运动时间； （3）若粒子刚进入Ⅱ区时的速度与y轴正方向夹角为，求粒子在磁场中运动的总时间t。    【变式训练3-3-3】如图所示，在直角坐标系内，OP射线(O为顶点)与y轴夹角为30°,OP与y轴所围区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B, OP 与x轴之间存在匀强电场，方向沿x轴负方向。一个带电粒子经加速电压U加速后，以与OP平行的速度从N点进人磁场, ON间距为2d,带电粒子从OP上的某点A (图中未画出)垂直于OP离开磁场，从x轴上的某点C (图中未画出)垂直于x轴离开电场,不计粒子的重力。求: (1)带电粒子的电性及比荷; (2)带电粒子在第一象限中的运动时间; (3)匀强电场的电场强度。 【变式训练3-3-4】如图所示， 的区域存在沿x轴负方向的匀强电场，的区域存在垂直xOy纸面向外的匀强磁场，P（，0）点处有一个粒子源，可以向的区域发射质量为m，电荷量为q，速度大小为的带正电粒子，在所有到达y轴的粒子中，位置M（0，）点的粒子与P点距离最远，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）求磁感应强度大小，及粒子进入电场前，在磁场中运动的最短时间； （2）若第一次从M点射出磁场的粒子，第二次从 OM的中点N射出磁场，求电场强度大小。    【变式训练3-3-5】如图，水平放置的平行栅极板M带正电，N带负电，间距为d，电压，P处有一质量为m、电荷量大小为q的带负电离子，以v0速度沿着与竖直方向成角θ（未知）垂直磁场射向板M上方的匀强磁场B1区，经过匀强电场区域后进入N下方的匀强磁场B2区，恰好没从下边界Q射出，并刚好能直接返回到P处。已知磁场方向均垂直纸面向里，，下边界Q到极板N的距离为3d，离子在经过栅极板时均没有与栅极板相碰，不计离子重力。求： (1)离子进入板N下方磁场时速度v的大小； (2)sinθ的大小； (3)极板M上方磁场磁感应强度B1的大小。 【变式训练3-3-6】如图所示，在平面内轴左侧存在平行于纸面范围足够大的匀强电场（大小未知）。一质量为、电荷量为的电子（重力不计），从轴上的点以速度、与轴负方向夹角入射，之后电子从轴上的点以的速度沿轴正方向射入第一象限，在第一象限有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，分布在一个半径为的圆形区域内（图中未画出），且圆形区域的左侧与轴相切，圆形区域所处的位置恰好能够使得电子穿过圆形区域时速度的偏转角度最大。电子从圆形区域射出后，从轴上点射入轴下方，在轴下方存在范围足够大、方向均沿轴负方向的匀强电场（大小未知）和匀强磁场（大小未知），电子在轴下方运动一段时间后能够恰好返回点，求： （1）、两点间的电势差； （2）点的纵坐标； （3）电子在圆形磁场区域中运动的时间； （4）的可能值。 【变式训练3-3-7】探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔C所处位置的坐标； （2）求离子打在N板上区域的长度L； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压； （4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。 【变式训练3-3-8】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，x轴上方区域有垂直于纸面向里的磁场，磁感应强度为B，x轴下方区域有水平向左的匀强电场，P点是y轴上的一点。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v从坐标原点O平行于纸面射入磁场，方向与x轴负向的夹角为30°，从A点射出磁场。粒子在电场中的运动轨迹与y轴相切于P点。不计粒子的重力。求： （1）A、O两点的距离； （2）粒子从O点到A点所用的时间； （3）粒子从A点到P点电场力做的功。 【变式训练3-3-9】如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧有1、2、3…足够多个等宽区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为；偶数区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为（未知）。圆上M、N两点与圆心共线，与区域1左边界垂直。有一个带电粒子由点进入圆形磁场区域，经过点进入区域1，速度大小为，方向与左边界夹角为斜向下，进入区域2时与左边界夹角为斜向下，该粒子恰好不能从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)每个区域的宽度； (3)磁感应强度的大小； 【变式训练3-3-10】如图所示，两个半圆区域abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场，两圆的半径分别为R1和R2，ab与a'b'间有一个匀强电场，电势差为U，cd与c'd'间有一个插入体，电子每次经过插入体速度减为原来的k倍(k<1)。现有一个质量为m、电量为e的电子，从cd面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达cd面，速度增加，多次循环运动后，电子到达cd的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，忽略电子经过电场与插入体的时间。求： (1)(电子进入插入体前后在磁场中的半径r1、r2之比； (2)电子多次循环后到达cd的稳定速度v； (3)若电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界上的d点，求电子从P到d的时间t。 【变式训练3-3-11】在空间中一足够长圆柱形区域内存在匀强磁场，磁场的方向沿轴线向右，磁感应强度为，在轴线上有一粒子源，可以每秒发射N个质量为m，电荷量为＋q，速度为的粒子。不计重力和粒子间的相互作用力。 （1）如图1所示，使粒子源沿垂直轴线的方向发射粒子，粒子恰好不会飞出磁场区域，求磁场区域的半径R； （2）如图2所示，在磁场区域半径满足（1）的前提下，在右侧磁场范围内垂直轴线放一块足够大收集板A，将大量粒子沿与轴线成向右射出，为保证所有粒子在A上均汇聚于一点，求粒子源到极板A的水平距离； （3）如图3所示，大量粒子沿与轴线成向右均匀射出，粒子源到A的距离满足（2）问，在A的中心挖一小孔，可使粒子通过。将收集板B平行放置于A右侧，并在AB极板间加上电压。粒子打在B板上即被完全吸收，求收集板B所受的作用力F与极板间电压的关系； （4）实验室中，常利用亥姆霍兹线圈产生匀强磁场，当一对亥姆霍兹线圈间的距离增大时，即可生成磁感应强度随空间缓慢变化的磁场，如图4所示，其磁感应强度两端强，中间弱。带电粒子可以在端点处“反射”而被束缚其中，即“磁约束”。粒子的运动满足如下规律：带电粒子在垂直磁场方向的速度分量与此处的磁感应强度B之间满足：，现假设该磁场中的最大磁感应强度和最小磁感应强度之比为，在该磁场的中部最弱区域有一带电粒子源，与轴线成发射粒子束，要使这些粒子能被束缚在该磁场区域，求的最小值。 【变式训练3-3-12】利用电磁场研究带电的微观粒子是物理学家常用的方法。真空中一实验装置如图甲所示（磁场未画出），其截面图如图乙所示，区域I为足够大的水平平行金属板区域，极板间距为d，极板间电压U恒定，同时板间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，区域II内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度（大小未知）。极板和光屏在磁场方向上均足够长。当频率为的入射光照射到竖直放置的金属板表面MN时，金属板表面MN逸出大量速率不同、沿各个方向运动的光电子。区域I由于速度选择器的作用，只有匀速运动的粒子能够离开区域I并进入区域II，最后全部打在水平光屏上，光屏亮光区域在截面图上的长度PQ为。已知逸出的光电子最大速率为，，元电荷为e，光电子质量为m，普朗克常量为h，忽略相对论效应，不计光电子重力和光电子之间相互作用。求： （1）该金属的逸出功W和出区域I的光电子的最小速度v； （2）区域II中磁场的磁感应强度； （3）区域II中，在如图乙截面内粒子到达区域的面积S； （4）区域II中，光电子运动位移的最大值。 题型04：带电粒子在电场、磁场中的交替运动 【典型例题1】现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动，如图所示，真空中存在着多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，宽度均为d，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，求sin θn。 【典型例题2】（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一、二象限存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限存在着沿y轴正方向的匀强电场，场强大小未知。一带正电的粒子从y轴上的M点以速度沿x轴正方向开始运动，从x轴上的N点进入磁场后恰好经O点再次进入电场，已知MN两点的连线与x轴的夹角为，且，带电粒子的质量为m，电荷量为q，不计带电粒子的重力。求：（     ） A．粒子第一次经过N点的速度大小为 B．粒子从N点运动到O点的过程中，洛伦兹力的冲量 C．电场强度E的大小 D．粒子连续两次通过x轴上同一点的时间间隔为 【典型例题3】如图所示，xOy平面直角坐标系中，在第二象限内存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，O1为圆心，半径为R，磁场边界与两坐标轴相切；y≤0区域内交替分布宽度均为d的匀强电场和匀强磁场，其边界均与x轴平行，匀强电场的电场强度大小为E0，方向沿y轴负方向，匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向里。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，从圆形边界上的P点以初速度v0射入磁场，PO1与x轴平行，v0与PO1夹角α=60°。粒子射出圆形磁场瞬间，在y>0区域内加上沿y轴正方向的匀强电场(图中未画出)。已知圆形磁场的磁感应强度大小为，y>0区域内匀强电场的电场强度大小为，不计粒子重力。 (1)求粒子在圆形磁场区域做圆周运动的半径； (2)求粒子离开圆形磁场区域后，到达x轴的速度大小； (3)求粒子穿出y≤0区域内第二个电场时速度方向与竖直方向夹角的正弦值； (4)若粒子到达y≤0区域内某个磁场下边界时，速度方向恰好沿x轴正方向，求此时速度大小。 【典型例题4】如图所示，在一直角坐标系的区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小，在的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。在点处有一个粒子源，向第一象限内各方向发射电量大小、质量、速度的带负电粒子，不计粒子重力和空气阻力。 (1)求带电粒子在电场中的加速度大小； (2)若带电粒子射入电场时速度沿x轴正方向，求带电粒子第一次经过x轴的位置到O点的距离； (3)求带电粒子首次进入磁场时沿x方向的最大位移，以及该条件下在电场的运动时间和末速度； (4)若带电粒子射入电场时速度沿x轴正方向，设带电粒子第一次经过x轴的位置为C，从此时开始计时，求带电粒子再次到达C点所需要的时间。 【变式训练4-1】如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，已知左侧匀强电场的电场强度大小为E、方向水平向右，宽度为L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外;右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子(质量为m、电荷量为q、不计重力)从电场左边缘O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了O点，然后重复上述运动过程，则中间磁场区域的宽度d和带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点时所用的时间t分别是(　　) A.、2 B.、2 C.、2 D.、2 【变式训练4-2】如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，电场强度沿y轴负方向;在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的P1点时速率为v0，方向沿x轴正方向，然后经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h处的P3点，不计重力，求: (1)粒子到达P2点时速度v的大小和方向; (2)磁感应强度B的大小; (3)粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间。 【变式训练4-3】如图所示，在xOy平面内虚线OM与x轴负方向的夹角为45°，虚线OM右侧区域Ⅰ内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，虚线OM左侧区域Ⅱ内存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从原点O沿x轴正方向以速度v0射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线OM后恰好能到达x轴上的P点。原点O与P点间的距离为d，不计粒子受到的重力，求: (1)匀强磁场的磁感应强度大小B; (2)匀强电场的电场强度大小E; (3)粒子从O点射出至第三次穿过边界线OM所用的时间t总。 【变式训练4-4】如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b到水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s=3h。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度) 【变式训练4-5】如图所示，在真空坐标系xOy中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为：m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以速度大小为、方向与y轴负方向的夹角为从坐标原点O进入区域，区域存在磁感应强度大小、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，不计粒子重力。求： （1）第二象限中电场强度大小与磁感应强度大小的比值； （2）粒子从坐标原点O第1次经过x轴到第2次经过x轴的时间。 【变式训练4-6】一质量为m、电荷量为的带电粒子始终在同一水平面内运动，其速度可用图示的直角坐标系内，一个点表示，、分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P位于图中点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P点沿线段ab移动到点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P点沿以O为圆心的圆弧移动至点；然后粒子离开磁场返回电场，P点沿线段ca回到a点。已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求 （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期； （2）电场强度的大小； （3）P点沿图中闭合曲线移动1周回到a点时，粒子位移的大小。 【变式训练4-7】如图所示，以点为圆心、半径为的圆形区域内存在竖直向下的匀强电场；水平直线边界上方、圆形电场以外的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为。为圆与边界的切点，为圆的最高点，、为圆上与圆心等高的两点。从点右侧某区域垂直于发射不同速率的离子，所有离子均可沿水平方向射入电场区域，离子的比荷为，不计离子重力及离子间的相互作用力，求： (1)离子的电性； (2)若从点射入电场的离子恰好可从点射出电场，则匀强电场的电场强度的大小为多少； (3)若将水平直线上方的磁场方向变为垂直纸面向里，并调整上方磁场磁感应强度的大小，同时调整电场强度的大小，使得从距点右侧处发射的离子可依次经过点与点，则离子在上方区域运动的总时间为多少。 题型05：带电粒子在组合场应用实例模型 （一）质谱仪 【典型例题1】质谱仪是分析同位素的重要工具，其原理如图所示。氖元素的两种同位素粒子、质量不同、电荷量相同。、两种粒子从容器下方的小孔，飘入电势差为的加速电场，其初速度可视为，然后经过沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为的匀强磁场。、两种粒子分别打到照相底片上的和处，关于、两种粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是。 A.两种粒子的动能不相同 B.粒子的速度大于粒子的速度 C.粒子受到的洛伦兹力大于粒子受到的洛伦兹力 D.粒子的运动时间大于粒子的运动时间 【典型例题2】某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的y>0区域存在方向垂直纸面向外、大小为B的匀强磁场，在x轴上放置照相底片，SO间有电压为U的辐射状加速电场，大量的氢同位素、离子从圆弧S处飘入，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后均打到照相底片上。已知、两种离子打在照相底片上的区域刚好不重叠，不考虑离子间的相互作用，的质量为m，电量为q，则为（　　） A． B． C． D． 【典型例题3】如图所示，一质谱仪由加速电场、静电分析器、磁分析器构成。静电分析器通道的圆弧中心线半径为R，通道内有均匀辐向电场，中心线处的电场强度大小为E；半圆形磁分析器中分布着方向垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场。要让质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力），由静止开始从M板经加速电场加速后，沿圆弧中心线通过静电分析器，再由P点垂直磁场边界进入磁分析器，最终打到胶片上，则（　　） A. 加速电场的电压U需满足的关系为 B. 若，则M板电势低于N板电势，辐向电场的方向由圆心指向圆外，且磁分析器中磁场方向垂直于纸面向外 C. 电荷量相同的粒子都能打在胶片上的同一点 D. 粒子打在胶片上的位置Q到P点的距离为 【变式训练5-1-1】质谱仪可以用来测量带电粒子的比荷。如图所示，一质量为、电荷量大小为的带电粒子（重力不计）从容器下方的小孔无初速度飘入电压为的加速电场，经电场加速后，该粒子沿直线穿过小孔、垂直进入磁感应强度大小为的匀强磁场中，最后打在点，粒子在磁场中的轨迹为半圆，测得的长度为，则（　　） A．该粒子带负电 B．带电粒子进入磁场时的速度大小为 C．增大加速电场的电压，带电粒子在磁场中运动的时间不变 D．带电粒子的比荷 【变式训练5-1-2】19世纪末，汤姆孙的学生阿斯顿设计了质谱仪，其用途非常广泛。如图所示为某种质谱仪的工作原理图，质子从入口处由静止开始被加速电压为的电场加速，经磁感应强度大小为的匀强磁场偏转后恰好从出口离开磁场。若要使α粒子也从该入口处由静止开始被电场加速，经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，下列操作可行的是（　　） A．保持匀强磁场的磁感应强度不变，调节加速电场电压为 B．保持匀强磁场的磁感应强度不变，调节加速电场电压为 C．保持加速电场电压不变，调节匀强磁场的磁感应强度为 D．保持加速电场电压不变，调节匀强磁场的磁感应强度为 【变式训练5-1-3】（多选）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 【变式训练5-1-4】容器A中装有大量的质量、电荷量不同但均带正电的粒子，粒子从容器下方的小孔S1不断飘入加速电场(初速度可视为零)做直线运动，通过小孔S2后从两平行板中央沿垂直电场方向射入偏转电场．粒子通过平行板后沿垂直磁场方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域，最后打在感光片上，如图所示．已知加速电场中S1、S2间的加速电压为U，偏转电场极板长为L，两板间距也为L，板间匀强电场强度E＝，方向水平向左(忽略板间外的电场)，平行板f的下端与磁场边界ab相交于点P，在边界ab上实线处固定放置感光片．测得从容器A中逸出的所有粒子均打在感光片PQ之间，且Q距P的长度为3L，不考虑粒子所受重力与粒子间的相互作用，求： (1)粒子射入磁场时，其速度方向与边界ab间的夹角； (2)射到感光片Q处的粒子的比荷(电荷量q与质量m之比)； (3)粒子在磁场中运动的最短时间． 【变式训练5-1-5】质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。I为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；Ⅱ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，再经O点的小孔进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 （1）判断粒子电性并求粒子的比荷； （2）求O点到P点的距离； （3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为（略大于），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的点，求点到O点的距离。 【变式训练5-1-6】 双聚焦分析器是一种能同时实现速度聚焦和方向聚焦的质谱仪，其原理如图所示，电场分析器中有指向圆心O的辐射状电场，磁场分析器中有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。不同的带正电离子组成的离子束，以不同速度进入电场分析器后能沿着半径为R的圆弧轨迹通过电场并从P点垂直进入圆形磁场区域，之后从磁场下边界射出并进入检测器，检测器可在M，N之间左右移动且与磁场下边界的距离恒等于0.5d。某一质量为m、电荷量为q的带正电离子A通过电场区域和磁场区域后，恰好垂直于磁场下边界射出，并从K点进入检测器，己知磁场区域的磁感应强度大小为B，PO1=d，忽略离子间的相互作用，求： （1）离子A在匀强磁场中运动时的速度大小； （2）电场分析器中圆弧轨迹处的电场强度大小； （3）探测器能接收到的离子中比荷的最大值。 （二）回旋加速器 【典型例题1】如图甲所示是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒。在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连。带电粒子在磁场中运动的动能随时间的变化规律如图乙所示，忽略带电粒子在电场中的加速时间，则下列判断错误的是（　　） A. 在图中应有 B. 高频电源的变化周期应该等于 C. 粒子加速次数越多，粒子最大动能不一定越大 D. 要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的半径 【典型例题2】如图所示为回旋如速器示意图。两个靠得很近的D形金属盒处在与盒面垂直的匀强磁场中，一氘核从加速器的A处由静止开始加速，运动一段时间后从加速器出口C处射出。已知D型盒的半径为R，高频交变电源的电压为U、频率为f，氘核质量为m。下列说法正确的是（　　） A. 氘核在D形盒中运动时间与加速电压U无关 B. 氘核的最大动能为 C. 氘核第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为 D. 若要加速粒子，交流电的频率f不需要改变 【典型例题3】某种获得高能粒子的装置示意图如图所示。环形区域内存在方向垂直纸面的匀强磁场，a、b为开有小孔的极板，质量为m，电荷量大小为e的电子在a板处由静止释放，在两板间做加速运动，电子离开b板后在环形区域内做半径为R的圆周运动。每当电子到达a板时，两板间电压为；离开b板时，两板电压为零。电子在电场中被多次加速，电子在环形区域内绕行轨道始终保持不变。已知a、b板间距远小于R，不考虑电场、磁场变化产生的影响，不计电子的重力，则（   ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．电子经过a板的时间间隔保持不变 C．电子绕行第n圈时磁感应强度大小为 D．电子绕行第n圈时等效电流大小为 【变式训练5-2-1】如图所示为回旋加速器示意图，利用回旋加速器对粒子进行加速，此时形盒中磁场的磁感应强度大小为，形盒缝隙间电场变化周期为，加速电压为。忽略相对论效应和粒子在形盒缝隙间的运动时间，下列说法正确的是() A.保持、和不变，该回旋加速器可以加速质子 B.只增大加速电压，粒子获得的最大动能增大 C.只增大加速电压，粒子在回旋加速器中运动的时间变短 D.回旋加速器只能加速带正电粒子，不能加速带负电的粒子 【变式训练5-2-2】某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为，磁感应强度大小为，质子加速后获得的最大动能为．根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为（忽略相对论效应，）（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2-3】某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为、质量为m的离子以初速度从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．第1次加速后，离子的动能增加了 C．第k次加速后．离子的速度大小变为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 【变式训练5-2-4】如图是一个回旋加速器示意图，其核心部分是两个D形金属盒，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连．现分别加速氘核(H)和氦核(He)，下列说法中正确的是(　　) A．它们的最大速度相同 B．它们的最大动能相同 C．两次所接高频电源的频率相同 D．仅增大高频电源的频率可增大粒子的最大动能 【变式训练5-2-5】劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图所示．置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为f，加速电压为U.若A处粒子源产生质子的质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响．则下列说法正确的是(　　) A．质子被加速后的最大速度与D形盒半径R有关 B．质子离开回旋加速器时的最大动能与交流电频率f成正比 C．质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为 ∶1 D．不改变磁感应强度B和交流电频率f，经该回旋加速器加速的各种粒子的最大动能不变 【变式训练5-2-6】美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，其基本原理如图所示．现有一回旋加速器，当外加磁场一定时，可把质子的速度从零加速到v，质子获得的动能为Ek.在不考虑相对论效应的情况下，用该回旋加速器加速原来静止的α粒子(氦核)时，有(　　) A. 能把α粒子从零加速到 B．能使α粒子获得的动能为2Ek C．加速α粒子的交变电场频率与加速质子的交变电场频率之比为1∶2 D．加速α粒子的交变电场频率与加速质子的交变电场频率之比为2∶1 【变式训练5-2-7】如图，有一回旋加速器，两盒加上垂直纸面外、磁感应强度可调节的匀强磁场，左盒通过一水平管道与一个左右两侧都开有很小狭缝的圆筒相连，圆筒内有垂直纸面向内的匀强磁场。现在左盒附近的点放置一电子，再利用两盒狭缝加上一交变电压来给电子周期性加速，经过时间电子便获得一定速率贴着管壁通过水平管道后进入圆筒，与下圆筒壁发生多次弹性碰撞又不作循环的从圆筒的右狭缝直接离开圆筒。 已知圆筒的半径为、磁感应强度恒为盒的半径为，电子的比荷为，电子在两盒狭缝间运动的时间不计，加速电子时电压的大小可视为不变，电子重力不计。 （1）求与下圆筒壁碰撞次的电子的速率； （2）由（1）的速率确定盒中磁感应强度的表达式，并求时的值； （3）若电子在狭缝中加速次数与回旋半周的次数相同，根据时的值及其他已知量求加速电压的值。 【变式训练5-2-8】1932年，劳伦斯和利文斯顿设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，加速电压为U。不计粒子的重力，加速过程中不考虑相对论效应。 (1)求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比； (2)求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t； (3)实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一回旋加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 带电粒子在组合场中的运动 目录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 6 题型归纳 7 题型01：磁场与磁场组合 7 题型02： 先电场后磁场 26 (一） 先电加速后磁偏转 26 (二）先电场中类平抛后进入磁场做圆周运动 44 题型03：先磁场后电场 83 （一） 带电粒子由磁场进入电场做匀变速直线运动 84 （二） 带电粒子由磁场进入电场做类平抛运动 88 （三） 带电粒子由磁场进入电场做类斜抛运动 104 题型04：带电粒子在电场、磁场中的交替运动 128 题型05：带电粒子在组合场应用实例模型 144 （一）质谱仪 144 （二）回旋加速器 156 1. 考点地位：高考物理压轴大题高频考点，综合性极强，属于磁场、电场综合难题，分值一般在12~18分，是区分高分段考生的核心题型。 组合场定义：电场、磁场分区存在，互不重叠（区别于复合场，复合场是场在同一空间叠加），粒子在不同区域先后进入电场、磁场。 2. 考查形式：几乎只出计算题，偶尔在多选出现小模型；常见搭配：电场加速+磁场偏转、电场类平抛+磁场圆周。 3. 命题特点：粒子分段运动，一段场对应一种运动；多结合临界、边界、多解；经常要求求粒子运动总时间、打在屏上位置。 1. 能区分组合场（场分开）和复合场（场叠加），判断粒子在每一个场内的运动形式。 2. 熟练掌握：电场中匀加速直线运动 / 类平抛运动；磁场中匀速圆周运动。 3. 掌握衔接点处理：粒子出场速度=下一场的入场速度，速度大小、方向是两段运动的桥梁。 4. 能画分段轨迹，结合几何、动能定理、类平抛规律、圆周公式联立求解。 5. 会计算全程总时间，分段求时间再相加。 知识点一：带电粒子在组合场中的运动 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2.分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3.常见粒子的运动及解题方法 4.“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v0⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F＝qE 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 求解方法 利用类平抛运动的规律得x＝v0t，y＝at2，a＝，tan θ＝ 根据牛顿第二定律和向心力公式可得qvB＝m，T＝，t＝T 动能 静电力做的功等于动能变化量 洛伦兹力不做功，带电粒子的动能不变 5.带电粒子在组合场中的运动常见情形 (1)先电场后磁场 ①先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示，在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 ②先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示，在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 (2)先磁场后电场 常见情境 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入匀强电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图举例 在电场中的运动性质 匀加速或匀减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 （3） 磁场到磁场 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 6.“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题 知识点二：带电粒子在组合场中的运动模型 1.质谱仪： （1）构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。 （2）作用：测量带电粒子质量和分离同位素． （3）原理(如图所示) ①加速电场：qU＝mv2； ②偏转磁场：qvB＝m，； 由以上两式可得r＝，m＝，＝. 2. 回旋加速器 （1）回旋加速器结构 核心部件是垂直磁场方向放置的两个D形盒（D1，D2）、粒子源A、匀强磁场B、高频交变电源U、粒子引出装置，整个装置处于真空中. （2）工作原理 带电粒子由静止开始从D形盒中的粒子源A释放，经电场加速后进入匀强磁场中做匀速圆周运动，半个周期后再次进入两盒间的狭缝被加速. （3）主要特征 ①电场只起加速作用，磁场只起偏转作用，粒子在一个周期内被加速两次. ②加速条件：高频电源的周期与粒子在D形盒中的运动周期相同，即T电源＝T回旋＝，因此粒子进入电场时总能够被加速. ③轨道半径：粒子从静止开始被电场加速，由rn＝，vn＝可知r∝.因此，相接轨道半径之比依次为1∶∶∶….由于每个周期粒子被加速两次，故相邻轨道（即同侧轨道）的半径之比依次为1∶∶∶….可见，越靠近D形盒的边缘，相邻两轨道的间距越小（由于相邻轨道的间距Δr∝－，故Δr是减函数）. ④粒子的最终能量：由于D形盒的大小一定，故所有粒子的最大回旋半径相同.设rmax＝R，则粒子的最大速度为vmax＝，最大能量为Emax＝m＝.可见，粒子的最终能量仅受磁感应强度B和D形盒半径的限制，而与加速电压和频率无关，加速电压只是影响粒子在D形盒内加速的次数. ⑤粒子被加速的次数：n＝＝（粒子在磁场中转动的圈数为）. ⑥粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝. 一．核心思路：分段研究，衔接找速度 1. 划分区域，分阶段 把运动拆成一段一段，一个场单独分析： （1）匀强电场： ①沿电场线入射 →匀变速直线运动，用动能定理/牛顿运动定律； ②垂直电场入射 →类平抛，分解为水平匀速、竖直匀加速。 （2）匀强磁场：垂直入射 →匀速圆周运动，qvB＝ m，r＝ ，T＝。 2. 抓住衔接点（最重要） 粒子离开上一个场的速度（大小+方向），就是进入下一个场的初速度。速度方向决定下一段轨迹的入射角度。 3. 列式顺序 ①电场段：动能定理 qU=或者类平抛的x、y方向方程； ②磁场段：洛伦兹力提供向心力，几何作图找半径、圆心角； ③联立方程求解未知量。 4. 时间计算 总时间 = 电场内运动时间 + 磁场内圆弧运动时间 t＝T。 2． 经典模型 1. 加速器模型：电场加速 →磁场偏转（最基础） 2. 电偏转+磁偏转模型：电场做类平抛，之后进入磁场做圆周运动。 三．高频易错点 1. 混淆组合场与复合场，乱用公式； 2. 衔接处忽略速度方向，只看速度大小，导致磁场圆心找错； 3. 总时间计算遗漏某一段的运动时间； 4. 几何画图出错，圆心角判断错误； 5. 忽略粒子有可能多次在电场磁场之间往返运动。 题型01：磁场与磁场组合 【典型例题1】如图在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。若粒子重力不计，则粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】粒子在磁场中的第二象限和第一象限的运动轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得R1＝，R2＝，根据几何关系可得cos θ＝，解得θ＝60°，粒子在第二象限、第一象限做圆周运动的周期分别为T1＝，T2＝，则带电粒子在第二象限、第一象限中运动的时间分别为t1＝，t2＝T2，则粒子在磁场中运动的时间t＝t1＋t2＝，故D正确。 【典型例题2】薄铝板将同一匀强磁场分成Ⅰ、Ⅱ两个区域，高速带电粒子可穿过铝板一次，在两个区域内运动的轨迹如图所示，半径R1>R2，假定穿过铝板后粒子电荷量保持不变，但速率减小，则该粒子（　　） A．带正电 B．在Ⅰ、Ⅱ区域的运动时间相同 C．从Ⅱ区域穿过铝板运动到Ⅰ区域 D．从Ⅰ区域穿过铝板运动到Ⅱ区域 【答案】BD 【解析】ACD．粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得 粒子穿过铝板后，速率减小，电量不变，可知轨道半径减小，所以粒子是从区域Ⅰ穿过铝板运动到区域Ⅱ，根据左手定则知，粒子带负电，故AC错误，D正确； B．粒子在磁场中做圆周运动的周期 周期大小与粒子的速度无关，粒子在两区域的运动时间都是半个周期，则粒子在Ⅰ、Ⅱ区域的运动时间相同，故B正确。 故选BD。 【典型例题3】O点为圆心、半径为R的圆形区域内以直径AB为分界线，左半圆内有垂直纸面向外的匀强磁场，右半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小相等。现有质量和电荷量均相同的两个粒子1、2，分别从A点和C点垂直磁场方向射入磁场，且从C点入射的粒子速度方向与AB平行，观察到它们的轨迹如图所示，两粒子在O点发生正碰。C点到AB的距离为0.5R，粒子的重力不计，不考虑两粒子间的作用力，下列说法正确的是（　　） A．两粒子均带正电 B．1粒子应先进入磁场 C．1、2粒子在磁场中运动的半径之比为 D．1、2粒子速度大小之比为 【答案】BC 【解析】A．由粒子的运动轨迹和左手定则可知，1粒子带负电，2粒子带正电，A项错误； B．由几何关系可得，C点到AB的距离为0.5R ，可知2粒子轨迹圆心角为60°，两粒子在O点正碰，可知1粒子轨迹圆心角为120°，根据 可知从1粒子在破场中运动时间更长，要使两粒子在O点发生正碰，它应先进入磁场，B项正确； C．由几何关系可得，2粒子在磁场中的轨迹半径 1粒子在磁场中的轨迹半径 则1、2粒子磁场中运动的半径之比为，C项正确： D．根据 可知射入磁场时的速度大小之比为 D项错误。 【典型例题4】宇宙中的暗物质湮灭会产生大量的高能正电子，正电子的质量为m，电荷量为e，通过寻找宇宙中暗物质湮灭产生的正电子是探测暗物质的一种方法(称为“间接探测”)．如图所示是某科研攻关小组为空间站设计的探测器截面图，粒子入口的宽度为d，以粒子入口处的上沿为坐标原点建立xOy平面直角坐标系，以虚线AB、CD、EF为边界，0<x<d区域有垂直纸面向外的匀强磁场，d<x<2d区域有垂直纸面向里的匀强磁场，0<x<2d区域内磁感应强度的大小均为B；2d<x<3d区域有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为；x＝5d处放置一块与y轴平行的足够长的探测板PQ.在某次探测中，仅考虑沿x轴正方向射入的大量速度不等的正电子，正电子的重力以及相互作用不计，其中一些正电子到达边界AB时，速度与x轴正方向的最小夹角为60°，对此次探测，求： (1)初速度多大的正电子能到达探测板PQ； (2)正电子自入口到探测板PQ的最短时间； (3)正电子经过边界CD时的y轴坐标范围？ 【答案】　(1)v>　(2)(＋)　(3)－3d≤y≤－d 【解析】　(1)正电子只要能经过边界AB就能到达探测板PQ，正电子能到达探测板PQ时，正电子做圆周运动的轨道半径r>d 由牛顿第二定律得evB＝m 解得v> (2)在边界AB速度方向与x轴夹角为60°的正电子到PQ的时间最短，正电子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设正电子的轨道半径为r1，由牛顿第二定律得ev1B＝m 由几何知识得d＝r1sin 在入口和AB间、AB和CD间的运动时间相同，设为t1，则r1＝v1t1 解得t1＝ 自CD至PQ，t2＝ t＝2t1＋t2＝(＋) (3)速度最大的正电子在每一磁场区域沿y轴负方向偏移的距离y1＝r1－r1cos 速度最小的正电子在每一磁场区域沿y轴负方向偏移的距离y2＝d 正电子经过边界CD时的y轴坐标范围是－2y2－d≤y≤－2y1 即－3d≤y≤－d. 【变式训练1-1】利用磁场可以实现对带电粒子运动的控制。如图所示，在直角坐标系xOy中，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域和，虚线为它们的分界线，与轴正向夹角。区域中的磁感应强度为，方向垂直纸面向外；区域中的磁感应强度为，方向垂直纸面向里，点为它们分界线上的某一点，已知。质量为、带电荷量为的粒子从坐标原点平行于轴正方向射入区域I，初速度未知，经过一段时间后，粒子恰好经过，忽略粒子重力和一切阻力，则下列说法正确的是（　　） A．粒子运动到N点时速度方向可能平行于x轴 B．粒子从O点运动到点的时间至少为 C．粒子的初速度v0大小可能是 D．粒子的初速度v0大小可能是 【答案】C 【解析】A．做出粒子部分运动轨迹如图，粒子先在磁场区域I中做顺时针的圆周运动，圆心角为，之后在磁场区域II中做逆时针的圆周运动，圆心角也为，此时速度竖直向上，以后做重复运动。这样粒子从点运动到点时速度方向不可能平行于轴，所用的时间最短为 故AB错误； CD．设在磁场区域I中做顺时针圆周运动的半径为，则在磁场区域中做逆时针圆周运动的半径为。则满足…… 再根据可判断C正确，D项错误。 故选C。 【变式训练1-2】如图所示，两个匀强磁场的方向相同，磁感应强度分别为B1、B2，虚线MN为理想边界。现有一个质量为m、电荷量为e的电子以垂直于边界MN的速度v由P点沿垂直于磁场的方向射入磁感应强度为B1的匀强磁场中，其运动轨迹为图中虚线所示的心形图线，以下说法正确的是（  ） A．电子的运动轨迹为P→D→M→C→N→E→P B．电子运动一周回到P点所用的时间 C．B1=4B2 D．电子在B2区域受到的磁场力始终不变 【答案】A 【解析】A．由左手定则可知，电子在P点所受的洛伦兹力的方向向上，轨迹为P→D→M→C→N→E→P，故A正确； BC．电子在磁场中做匀速圆周运动有 解得 ， 由图知2r1=r2，则B1=2B2，2T1=T2， 电子运动一周回到P点所用的时间为 故BC错误； D．电子在磁场中受洛伦兹力始终与速度垂直，方向时刻改变，故D错误。 【变式训练1-3】（多选)如图所示，在xOy平面内存在着磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其中第一、二、四象限内的磁场方向垂直纸面向外，第三象限内的磁场方向垂直纸面向里，P(－L，0)、Q(0，－L)为坐标轴上的两个点。现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子(不计重力)，以与x轴正向成45°的速度v从P点射入磁场，恰好经原点O并能到达Q点，则下列对粒子从P运动到Q的过程描述正确的是(　　) A.粒子运动的总路程一定为 B.粒子运动的最短时间为 C.粒子从P点运动至Q点动量变化量大小为2mv D.粒子从P点到O点的时间与从O点到Q点的时间之比可能为1∶3 【答案】　BD 【解析】　若粒子从P点出发恰好经原点O到达Q点，运动轨迹可能如图甲、乙所示，图甲中粒子运动的总路程为s1＝πr1＝πL，图乙中粒子运动的总路程为s2＝2×2πr2＝2×2π×L＝πL，故A错误;粒子运动的周期为T＝，根据粒子的运动轨迹图可知，图甲中粒子运动的时间最短，tmin＝·，故B正确;根据粒子的运动轨迹图可知，图甲中粒子从P到Q的动量变化量大小为2mv，图乙中粒子从P到Q的动量变化量大小是0，C错误;由于粒子在磁场中运动的周期相同，由t＝T知粒子运动的时间之比等于圆心角之比，根据粒子的运动轨迹图可知，图甲中粒子从P到O的时间与从O到Q的时间之比为1∶1，图乙中粒子从P到O的时间为t1＝2×T＝T，粒子从O到Q的时间为t2＝2×T＝T，可得t1∶t2＝1∶3，故D正确。 【变式训练1-4】（多选)如图所示，坐标系xOy第一象限有磁场区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，区域Ⅱ中磁场的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内。两区域分界线与x轴正方向成37°。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从分界线上的P点沿y轴负方向射入区域Ⅰ，粒子第二次回到分界线时恰好经过原点O。忽略粒子重力，已知OP＝5L，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则下列说法中正确的是（　　） A．粒子经过O点时速度沿x轴负方向 B．粒子经过O点时速度沿y轴负方向 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子运动的速度为 【答案】BCD 【解析】解：AB.带电粒子射入磁场中，由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得 解得 可知，粒子在Ⅰ和Ⅱ两磁场中做圆周运动的半径关系为r1＝2r2 运动轨迹如图所示 则带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域l时，与分界线OP的夹角为53°，由带电粒子在单边磁场运动的对称性知，粒子穿过OP边进入区域Ⅱ时与OP边的夹角为53°，则粒子一定是从区域Ⅱ中射出O点，方向沿y轴负方向，故A错误，B正确； C.粒子在磁场Ⅰ、Ⅱ中做匀速圆周运动的周期分别为， 粒子在区域Ⅰ中转过的圆心角为θ1＝106° 粒子在区域Ⅰ中运动的时间为 粒子在区域Ⅱ中转过的圆心角为θ2＝106° 粒子在区域Ⅱ中运动的时间为 所以该粒子在磁场中运动时间，故C正确； D.带电粒子在OP边移动的距离为5L＝L1+L2 其中， 联立解得，故D正确。 故选：BCD。 【变式训练1-5】如图所示，虚线ab上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场Ⅰ，下方存在方向相同、磁感应强度大小为λB的匀强磁场Ⅱ，虚线ab为两磁场的分界线。M、O、N位于分界线上，点O为MN的中点。一电子从O点射入磁场Ⅰ，速度方向与分界线ab的夹角为30°，电子离开O点后依次经N、M两点回到O点。已知电子的质量为m，电荷量为e，重力不计，求: (1)λ的值; (2)电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间。 【答案】(1)　(2) 【解析】(1)电子在磁场中的运动轨迹如图所示。 设电子在匀强磁场Ⅰ、Ⅱ中做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，电子在磁场中做匀速圆周运动有evB＝① evλB＝② 由于最终能回到O点，由几何关系，可得 r2＝2r1③ 联立①②③，解得λ＝ 。 (2)电子在磁场Ⅰ中的运动周期T1＝ 电子在磁场Ⅱ中的运动周期T2＝ 设电子经过三段轨迹的时间分别为t1、t2、t3，由几何关系可得 O到N的圆心角为60°，则t1＝T1 N到M的圆心角为300°，则t2＝T2 M到O的圆心角为60°，则t3＝T1 电子从射入磁场到第一次回到O点所用的时间为t＝t1＋t2＋t3 联立以上式子，解得t＝。 【变式训练1-6】如图所示，在直角坐标系中的y轴和x＝10L的虚线之间以x轴为边界存在两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，区域Ⅱ磁场方向垂直于纸面向里。一粒子加速器放置在y轴上，其出射口P点坐标为，其加速电压可调。质量为m、电荷量为q的粒子经加速器由静止加速后平行于x轴射入区域Ⅰ，粒子重力忽略不计。 (1)调节加速电压，粒子恰好从O点射出磁场，求加速电压的大小U; (2)若区域Ⅱ磁感应强度大小为B，如果粒子恰好不从y轴射出，求粒子从P点射出后第二次经过x轴所用时间t; (3)在第(2)问的情形中，求粒子经过x轴的点的横坐标值。 【答案】　(1)　(2)　 (3)xn＝(2n－1)(2－)L(n＝0，1，…，19) 【解析】　(1)粒子在加速过程有qU＝mv2 粒子恰好从O点射出磁场，在磁场Ⅰ中的轨迹为半圆，故半径为r＝ 在磁场Ⅰ中偏转过程，洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝m，联立可解得U＝。 (2)能使粒子恰好不从y轴射出的临界情况是第一次在Ⅱ区域中偏转的运动轨迹与y轴相切，如图所示 有r1＝r2 由几何关系知(r1＋r2)sin α＝r2 解得α＝30° 圆周运动周期为T＝ 粒子第二次经过x轴所用时间为 t＝T＋T＝。 (3)根据第(2)问的情形解得r1(1＋cos 30°)＝L 解得r1＝r2＝2(2－)L 第一次经过x轴时的坐标x1＝r1sin 30°＝(2－)L 第二次经过x轴时的坐标x2＝3r1sin 30°＝3(2－)L …… 第n次经过x轴时的坐标 xn＝(2n－1)r1sin 30°＝(2n－1)(2－)L 因xn＝(2n－1)(2－)L<10L，可得n<19.2 则坐标为xn＝(2n－1)(2－)L(n＝0，1，…，19)。 【变式训练1-7】电子束光刻系统的核心技术是聚焦电子束以获得更高能量。如图所示为某公司研发的多电子束聚焦系统和测试系统。每个电子枪均可以将电子通过加速电压加速后，连续发射速度方向与y轴垂直的电子束。各电子束通过聚焦区后，可以在x轴上位置聚焦成一束更高能量的电子束。其中，聚焦区由两个匀强磁场区域构成，磁感强度大小均为B，方向垂直纸面相反，磁场长度足够长，宽度均为d。已知电子质量为m、电子元电荷量为，不考虑电子间的相互作用，忽略电子的初速度。 （1）若电子枪的加速电压为U，求电子在聚焦区做圆周运动的轨道半径R； （2）求从位置坐标射入的电子在聚焦区运动的总时间t； （3）若电子枪的加速电压为U，射入聚焦区时的坐标为，要使各电子枪射出的电子束均在x轴上位置聚焦，求在范围内的y与U需满足的函数关系并写出U的取值范围； （4）为进一步测试聚焦后的电子束强度，在x轴上位置的右方放置一测试区，在测试区施加一垂直纸面的匀强磁场，电子束被约束在该测试区中不会射出，电子在测试区运动速度大小为v时所受的阻力（k为常数且）。求从位置坐标y射入聚焦区的电子在测试区中运动的路程s与y的关系。 【答案】（1）;（2）;（3）;（4） 【解析】（1）电子在加速区，由动能定理 由洛伦兹力提供向心力 解得 （2）如图所示 由几何关系 解得 其中 解得 从位置坐标射入的电子在聚焦区运动的总时间 （3）结合几何关系 将 带入解得 射入的电子，对应半径为 对应加速电压为 射入的电子，对应半径 对应加速电压为 所以取值范围为 （4）由动量定理 累加后 解得 射入位置与半径关系 即有 解得 【变式训练1-8】利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。 （1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t； （2）若，求能到达处的离子的最小速度v2； （3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。    【答案】（1）；（2）（3）60% 【解析】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系 解得r1=2L 根据 解得 在磁场中运动的周期 运动时间    （2）若B2=2B1，根据 可知 粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系 解得r2=2L 根据 解得 （3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理 即 求和可得 粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中 解得 则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为 η=60% 【变式训练1-9】离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。 （1）①求磁感应强度B的大小； ②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小； （2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小； （3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。 【答案】（1）①，②，k = 0，1，2，3…；（2），n = 0，1，2，…；（3），， 【解析】（1）①离子在磁场中做圆周运动有 则 ②离子在磁场中的运动时间 转筒的转动角度 ，k = 0，1，2，3… （2）设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为，有 离子在磁场中的运动时间 转筒的转动角度ω′t′ = 2nπ + θ 转筒的转动角速度，n = 0，1，2，… 动量定理 ，n = 0，1，2，… （3）转筒的转动角速度 其中k = 1，，n = 0，2或者 可得，， 【变式训练1-10】某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，探测板平行于水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界水平射入磁场，b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为，探测板的宽度为，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。 （1）求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界时与H点的距离s； （2）求探测到三束离子时探测板与边界的最大距离； （3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到距离L的关系。 【答案】（1），0.8R；（2）；（3）当时：；当时：；当时： 【解析】1）离子在磁场中做圆周运动 得粒子的速度大小 令c束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界边的Q点射出，则由几何关系可得， （2）a束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界边射出时距离H点的距离为x，由几何关系可得 即a、c束中的离子从同一点Q射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为、，由几何关系可得 探测到三束离子，则c束中的离子恰好达到探测板的D点时，探测板与边界的距离最大 则 （3）a或c束中每个离子动量的竖直分量 当时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力为 当时，只有a和b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为 当时，只有b束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力为 【变式训练1-11】通过测量质子在磁场中的运动轨迹和打到探测板上的计数率（即打到探测板上质子数与衰变产生总质子数N的比值），可研究中子（）的衰变。中子衰变后转化成质子和电子，同时放出质量可视为零的反中微子。如图所示，位于P点的静止中子经衰变可形成一个质子源，该质子源在纸面内各向均匀地发射N个质子。在P点下方放置有长度以O为中点的探测板，P点离探测板的垂直距离为a。在探测板的上方存在方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。 已知电子质量，中子质量，质子质量（c为光速，不考虑粒子之间的相互作用）。 若质子的动量。 （1）写出中子衰变的核反应式，求电子和反中微子的总动能（以为能量单位）； （2）当，时，求计数率； （3）若取不同的值，可通过调节的大小获得与（2）问中同样的计数率，求与的关系并给出的范围。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）核反应方程满足质量数和质子数守恒： 核反应过程中： 根据动量和动能关系： 则总动能为： （2）质子运动半径： 如图甲所示： 打到探测板对应发射角度： 可得质子计数率为： （3）在确保计数率为的情况下： 即： 如图乙所示： 恰能打到探测板左端的条件为： 即： 题型02： 先电场后磁场 (1） 先电加速后磁偏转 带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 【典型例题1】如图所示，平面直角坐标系xOy中第一、二、四象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从S点（-l，-l）由静止释放，进入磁场区域运动，恰好过x轴上P点（l，0）、不计粒子重力。 （1）求匀强电场的电场强度大小； （2）粒子释放开始计时，求粒子第1次到达y轴正半轴的时间； （3）粒子第3次过y轴时的坐标。 【答案】（1）；（2）；（3）（0，-2l） 【解析】（1）带正电粒子从S点（-l，-l）由静止释放，则在电场中做匀加速直线运动，从（0，-l）位置进入磁场区域运动，恰好过x轴上P点（l，0）、可知在磁场中做圆周运动的半径 r=l 根据 可得 则在电场中 可得 （2）粒子在电场中加速的时间 粒子第1次到达y轴正半轴时，在磁场中运动半周，则运动时间 则总时间 （3）粒子从（-l，0）位置进入第三象限的电场，则当粒子第3次过y轴时 解得 y=2l 即粒子第3次过y轴时的坐标（0，-2l）。 【典型例题2】扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。其简化模型如图，Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L，磁场方向相反且垂直纸面。一质量为m、电荷量为－q、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN板处由静止释放，极板间电压为U，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平方向夹角θ＝30°。 （1）当Ⅰ区宽度L1＝L、磁感应强度大小B1＝B0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30°，求B0及粒子在Ⅰ区运动的时间t0； （2）若L2＝L1＝L、B1＝B0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B2应满足的条件； （3）若B1≠B2，L1≠L2，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出。为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射入的方向总相同，求B1、B2、L1、L2之间应满足的关系式。 【答案】（1）；（2）；（3）B2L2＝B1L1 【解析】（1）由题意可得粒子运动轨迹大致如图所示。 设粒子射入磁场的速度为v，在磁场Ⅰ区中做圆周运动的半径为R1， 在加速电场中由动能定理可得qU＝ 在磁场Ⅰ区中由牛顿第二定律B0qv＝ 由几何知识得L＝2R1sin θ，联立解得B0＝ 粒子在Ⅰ区运动的时间为t0＝。 （2）由题意可得粒子运动轨迹大致如图所示。 设粒子在磁场Ⅱ区中做圆周运动的半径为R2，由牛顿第二定律得qvB2＝， 为使粒子能返回Ⅰ区，应满足R2＋R2sin θ≤L，代入数据解得。 （3）由题意可得粒子运动轨迹大致可能如下图所示两种情况： 设粒子射出磁场Ⅰ区时速度与水平方向的夹角为α，由几何知识可得 L1＝R1sin θ＋R1sin α（或L1＝R1sin θ－R1sin α） L2＝R2sin θ＋R2sin α（或L2＝R2sin θ－R2sin α） 又根据洛伦兹力提供向心力有qvB1＝，qvB2＝ 联立解得B2L2＝B1L1。 【典型例题3】医学检查中磁共振成像简化模型如图所示，其中一个重要的部件“四极铁”，能够提供梯度磁场，从而控制电子束在运动过程中汇聚或发散，图甲为该磁场的磁感线分布情况。一束电子从M板上均匀分布的小孔飘入（初速度可以忽略不计），经过平行板MN间电场加速后获得速度v，沿垂直纸面向里的方向进入“四极铁”空腔。电子质量为m，电量为e，不计粒子重力和粒子间相互作用。 （1）求加速电压大小，判断图甲中a、c和b、d两对电子，哪一对电子进入磁场后会彼此靠近； （2）以图甲中磁场中心为坐标原点O建立坐标系，垂直纸面向里为x轴正方向，沿纸面向上为y轴正方向，在xOy平面内的梯度磁场如图乙所示，该磁场区域的宽度为d。在范围内，电子束沿x轴正方向射入磁场，磁感应强度（且已知，以垂直xOy平面向里为磁场正方向）。电子速度大小均为v，穿过磁场过程中，电子的y坐标变化很小，可认为途经区域为匀强磁场。 ①求从处射入磁场的电子，在磁场中运动的半径及速度偏转角的正弦值； ②研究发现，所有电子通过磁场后，将聚焦到x轴上处。由于d很小，可认为电子离开磁场时，速度方向的反向延长线通过点，且速度方向的偏转角很小，，求f的表达式； ③在处再放置一个磁场区域宽度为d的“四极铁”（中心线位于处），使②问中的电子束通过后速度方向变成沿x轴正方向，若该“四极铁”的磁感应强度，求； ④如图丙，仪器实际工作中，加速电压U会在附近小幅波动，导致电子聚焦点发生变化。若要求聚焦点坐标偏差值不超过，求电压波动幅度的最大值。 【答案】（1），会彼此靠近；（2）①，；②；③；④ 【解析】（1）在电场中，根据动能定理 解得 由左手定则可知，a、c电子进入磁场后会彼此靠近。 （2）①设处感应强度的大小为，则有 根据洛伦兹力提供向心力 解得电子的转动的半径 速度方向的偏转角度 ②从y处进入磁场中的电子，速度方向偏转 且 电子射出后做匀速直线运动，则 解得 可知，从不同位置y以相同速度v射入磁场的电子，到达x轴的位置f相同且与电子入射位置y无关；因此从不同位置射入的电子必将经过x轴的同一点。 ③从y处进入磁场的电子，将从处进入处的四极铁磁场，电子通过两个磁场区域，速度方向变成沿x轴正方向，可得从处射入磁场后，速度方向的偏转角度 又 因洛伦兹力不做功，电子通过磁场区域时速度大小不变，则两处磁感应强度大小相等、方向相反，即 则 解得 ④根据 联立可得 根据数学关系，若要求聚焦点坐标偏差值不超过，只需满足 解得 【变式训练2-1-1】如图所示，平面直角坐标系y轴的左侧存在沿x轴正方向电场强度为E的匀强电场，一质量为m，带电量为的质子从P点由静止开始加速，P点的坐标为，从坐标原点射入圆形匀强磁场区域（图中未画出），磁场方向垂直纸面向外，质子飞出磁场区域后，经过y轴上的M点再次进入电场，此时质子速度与y轴负方向夹角为，M点的坐标为，质子重力不计，求： （1）磁感应强度为多大； （2）圆形匀强磁场区域的最小面积； （3）在圆形磁场面积最小时，质子第三次经过y轴的y坐标。    【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）质子从O点进入磁场的速度为，则有质子进入磁场后的运动轨迹如图所示，反向延长M点的速度方向与x轴交点为C，作的角平分线交y轴于，即为运动轨道的圆心，即为运动轨道的半径，设为。    由几何关系可得质子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得联立解得 （2）最小的圆形磁场区域是以为直径的圆，设圆的半径为，则有最小圆形区域的面积 解得 （3）质子从M点进入电场后，有，设质子从M点进入电场到质子第三次经过y轴的运动时间为t，在x方向在y方向的位移联立解得质子第三次经过y轴的坐标为 【变式训练2-1-2】如图，在y>a区域有方向沿y轴负方向的匀强电场，y<a区域有方向垂直xOy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。t=0时刻，质量为m的甲粒子从（，）点静止释放，另一质量为2m的乙粒子，刚好以沿x轴负方向的速度通过x轴上Q点，当甲第一次经过原点O时，甲、乙恰好相遇并发生时间极短的对心碰撞，且碰后甲、乙还能再次碰撞。假设甲的电荷量始终为q（q>0）、乙始终不带电，碰撞过程中无能量损失，不计粒子重力。求： （1）电场强度的大小； （2）甲粒子第一次到达原点O的时刻； （3）Q点的横坐标。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）如图所示 甲在电场中做匀加速直线运动，设场强为E，甲进入磁场时的速率为；由动能定理有 甲在磁场中受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，有 因甲、乙第一次相碰于原点O，则有 联立解得 ， （2）甲在电场中的运动时间为，由运动学规律有 解得 设碰撞前在磁场中的运动时间为，甲做圆周运动的周期为 故有 故甲第一次到达原点O的时刻为 （3）根据题意，甲、乙第一次碰撞后速度必然沿水平方向，甲做轨迹与x轴相切的匀速圆周运动，乙做水平方向的匀速直线运动。甲、乙要想再次碰撞，只有一种可能，即第一次碰后乙的速度恰好为0。设乙碰撞前的速率为，由于其不带电，因此做匀速直线运动。设甲第一次碰撞后的速度为，以向右为正方向，碰撞过程中，甲、乙组成的系统动量守恒、机械能守恒由动量守恒定律有 机械能守恒定律有 解得 ， 即 因时刻，乙刚好通过Q点，故乙由Q到O的时间即甲第一次碰撞前的运动时间，故乙在第一次碰撞前运动的距离为 解得Q点的横坐标为 【变式训练2-1-3】如图所示，竖直虚线的左侧有水平向左的匀强电场，右侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，比荷为k的负粒子甲由电场中的M点无初速释放，由O点进入磁场，OM在一条直线上，经过一段时间与静止在N点的不带电粒子乙发生无能量损失的碰撞，碰后两粒子的电荷量均分。已知粒子乙的质量为粒子甲质量的，，N到两虚线的距离均为L。忽略粒子的重力以及碰后粒子间的相互作用。 （1）求竖直虚线左侧电场强度的大小； （2）若粒子甲、乙碰后的瞬间，立即将粒子乙拿走，求粒子甲从释放到第四次通过竖直虚线时到O点的距离。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）粒子甲在磁场中做匀速圆周运动经过N点，由几何关系可知粒子甲在磁场中做圆周运动的轨迹半径为L，由洛伦兹力提供向心力有 解得 设电场强度大小为E，粒子甲从M到O的过程，由动能定理有 解得 （2）粒子甲、乙碰撞过程无机械能损失，设粒子甲的质量为m，碰后瞬间粒子甲、乙的速度分别为、，则粒子乙的质量为，取碰前瞬间甲的速度方向为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律有 解得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 则碰撞后粒子甲在磁场中做圆周运动的轨迹半径仍为L，则再偏转个圆周后垂直竖直虚线进入电场，粒子甲在电场中先向左做匀减速直线运动，再向右做匀加速直线运动，由对称性可知粒子甲再次进入磁场时速度大小不变，做圆周运动的轨迹半径仍为L，可知粒子甲第四次通过竖直虚线时到O点的距离为 【变式训练2-1-4】空腔圆柱的截面圆如图所示，其圆心为O，半径为R，圆面上开有A、B、C、D四个小孔，，，，圆内存在垂直纸面向外的匀强磁场（未知），圆外OB和OC射线范围内存在垂直纸面向内的匀强磁场（未知）。紧靠A孔有两金属板M，N，两板间加上交变电压，其中已知，质量为m，电荷量为q的正电粒子持续由M板静止释放，经电场加速的粒子从A孔沿半径方向进入空腔内部，发现在时刻释放的粒子恰好能从B孔射出磁场，并能经过D孔。已知粒子在电场中加速的时间忽略不计，粒子撞击圆面即被吸收，圆面始终不带电。 （1）求从B孔飞出的粒子的速度及截面圆内磁感应强度的大小； （2）求粒子从A孔运动到D孔的时间及比值； （3）紧靠D孔有两金属板，，两板间加上沿半径方向的交变电压，以板出口处点为原点建立直角坐标系，在y轴右侧区域内存在垂直纸面向内的匀强磁场，当时，从点进入磁场的速度最大的粒子恰好从点离开磁场。若要让从点进入磁场的速度最小的粒子也恰好击中点P，则的取值应为多少？ 【答案】（1），；（2），；（3） 【解析】（1）时刻的电压为 电场中加速 得 由几何关系得：从A到B的过程中的轨迹半径为R，由 联立解得 （2）由（1）得，速度为的粒子才能经过B孔，进而经过C孔和D孔由几何关系得：从B孔到C孔的轨迹的圆心角为，半径为 从C孔到D孔的轨迹的圆心角为，半径为R，则 代入得 由 代入得 （3）在时刻和时刻进入A孔的粒子能经过B孔，则粒子经过D孔时的时刻为和时刻，设时刻经过板后的速度为，则 设时刻经过板后的速度为，则 得 由题意得最大圆半径 则最小圆半径圆轨迹方程为 设粒子自点离开轨迹圆沿切线飞出，由几何关系的 同时满足 联立得 【变式训练2-1-5】CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，CT扫描机可用于对多种病情的探测。图(a)是某种CT机主要部分的剖面图，其中X射线产生部分的示意图如图(b)所示。图(b)中M、N之间有一电子束的加速电场，虚线框内有匀强偏转磁场；经调节后电子束从静止开始沿带箭头的实线所示的方向前进，打到靶上，产生X射线(如图中带箭头的虚线所示)；将电子束打到靶上的点记为P点。则(　　) A．M处的电势高于N处的电势 B．增大M、N之间的加速电压可使P点左移 C．偏转磁场的方向垂直于纸面向外 D．增大偏转磁场磁感应强度的大小可使P点左移 【答案】　D 【解析】　电子带负电，故必须满足N处的电势高于M处的电势才能使电子加速，故选项A错误；由左手定则可判定磁感应强度的方向垂直纸面向里，故选项C错误；对加速过程应用动能定理有eU＝mv2，设电子在磁场中运动半径为r，由洛伦兹力提供向心力有evB＝m，则r＝，电子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，电子从磁场射出的速度方向与水平方向的夹角θ满足sin θ＝(其中d为磁场宽度)，联立可得sin θ＝dB，可见增大U会使θ减小，电子在靶上的落点P右移，增大B可使θ增大，电子在靶上的落点P左移，故选项B错误，D正确。 【变式训练2-1-6】半导体有着广泛的应用，人们通过离子注入的方式优化半导体以满足不同的需求。离子注入系统的原理简化如图所示。质量为m、电荷量为q的正离子经电场加速后从P点沿方向垂直射入圆心为O、半径为R的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里。当磁感应强度为时，离子恰好沿方向射出并击中晶体的中点Q。已知，，，，不考虑离子进入加速器的初速度及离子重力和离子间的相互作用。 （1）求加速电场两板间的电压； （2）为使离子能够击中晶体的各个部分，求磁感应强度的取值范围。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设加速电场两板间的电压为U，离子经电场加速后的速度大小为v，由动能定理有 当磁感应强度为时，设离子在磁场中运动的半径为，由几何关系和牛顿运动定律有 解得 （2）当磁感应强度为时，离子离开磁场后到达晶体的M处，设离子在磁场中运动的半径为，由几何关系和牛顿运动定律有 解得 当磁感应强度为时，离子离开磁场后到达晶体的N处，设离子在磁场中运动的半径为，由几何关系和牛顿运动定律有 解得 所以，磁感应强度的取值范围为。 【变式训练2-1-7】电子扩束装置由电子加速器、偏转电场和偏转磁场组成。偏转电场的极板由相距为d的两块水平平行放置的导体板组成，如图甲所示。大量电子由静止开始，经加速电场加速后速度为，连续不断地沿平行板的方向从两板正中间射入偏转电场。当两板不带电时，这些电子通过两板之间的时间为；当在两板间加最大值为，周期为的电压（如图乙所示）时，所有电子均能从两板间通过，然后进入竖直长度足够大的匀强磁场中，最后打在竖直放置的荧光屏上。已知磁场的水平宽度为L，电子的质量为m、电荷量大小为e，其重力不计。 （1）求电子离开偏转电场时到的最远距离； （2）要使所有电子都能打在荧光屏上，求匀强磁场的磁感应强度B的范围； （3）在满足第（2）问的条件下求打在荧光屏上的电子束的宽度。 【答案】见解析 【解析】、（1）由题意可知，从0、、、……等时刻进入偏转电场的电子离开偏转电场时的位置到的距离最大，在这种情况下，电子的最大距离为： 加速度大小，竖直分速度大小，解得： （2）设电子从偏转电场中射出时的偏向角为，由于电子要打在荧光屏上，临界情况是与屏相切，所以电子在磁场中运动半径应满足 设电子离开偏转电场时的速度为，垂直偏转极板的速度为，则电子离开偏转电场时的偏向角为， 又，，解得 （3）从、、……等时刻进入偏转电场的电子离开偏转电场时的位置到的距离最小，在这种情况下，电子的最小距离为： 解得： 由于各个时刻从偏转电场中射出的电子的速度大小相等，方向相同，因此电子进入磁场后做圆周运动的半径也相同，所以打到屏上的粒子是一系列平行的圆弧，由第（1）问知电子离开偏转电场时的位置到的最大距离和最小距离的差值为， 最远位置和最近位置之间的距离 所以打在荧光屏上的电子束的宽度为 【变式训练2-1-8】某款空气净化器（如图丙所示） 采用了“等离子灭活”技术，内部有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个真空区域，其中L=5cm，如图甲所示。Ⅰ区中平行金属板A、B与电源连接（图中未画出），其中B板接地（电势为零），A板的电势变化周期为T=s，规律如图乙所示，B板粒子发生处能连续均匀地释放质量kg，电量C的带电粒子。Ⅱ、Ⅲ两条形区存在着宽度分别为L、0.5L，竖直方向无界、方向相反的匀强磁场，其中B2=2B1，B1=T，不计粒子间的相互作用力和重力。求： （1）一个周期内穿出电场的粒子数和B板所释放的粒子数之比； （2）一个周期内穿过Ⅱ区进入Ⅲ区的粒子数和B板所释放的粒子数之比； （3）粒子将从Ⅲ区右边界的不同位置穿出，求穿出位置最高点与最低点之间的距离。 甲 乙 丙 【答案】．（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设时刻进入I区的粒子，恰好能到达A板，根据牛顿第二定律有 若加速时间 加速位移 减速位移 又 联立解得 一个周期内t1时刻后的粒子无法穿过I区，一个周期内穿出电场的粒子和B板所释放的粒子数之比为 （1分） 1. 粒子能进入III区，，II区中，根据洛伦兹力提供向心力有 假设t2时刻（）进入I区的粒子，先以加速度a做匀加速，后匀减速，恰好以v1速度离开并进入II中，则有 加速位移减速位移 又 解得 一个周期内t2时刻后的粒子无法进入III区，一个周期内穿过II区进入III区的粒子和B板所释放的粒子数之比 （3）0时刻进入粒子离开速度最大 ，如图所示 在II区中，根据洛伦兹力提供向心力，则有 最大运动半径r0=0.1m=2L 同理，在III区B2磁场中半径 由何关系得， 则离距离 在t2时刻进入粒子离开速度最小，如图所示 在II区中，r1=L，在III区中 由几关系得 ， 则离距离 故最高点与最低点之间的距离 （二）先电场中类平抛后进入磁场做圆周运动 带电粒子在匀强电场中做类平抛(或类斜抛)运动，在磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 【典型例题1】（多选）如图所示，质量为m，带电量为＋q的点电荷，从原点以初速度射入第一象限内的电磁场区域，在，（、为已知）区域内有竖直向上的匀强电场，在区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，控制电场强度（E值有多种可能），可让粒子从NP射入磁场后偏转打到接收器MN上，则（ ） A．粒子从NP中点射入磁场，电场强度满足 B．粒子从NP中点射入磁场时速度为 C．粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为 D．粒子在磁场中运动的圆周半径最大值是 【答案】AD 【解析】若粒子打到PN中点，则，。解得，A正确；粒子从PN中点射入磁场时，则，速度，B错误；设粒子从电场中射出时的速度方向与竖直方向夹角为θ，则，粒子从电场中射出时的速度，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，则，则粒子进入磁场后做圆周运动的圆心到MN的距离为，解得，C错误；当粒子在磁场中运动有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时粒子从N点进入磁场，此时竖直最大速度，离开电场的最大速度，则由，可得最大半径，D正确；故选：AD。 【典型例题2】如图所示，一个质量为、电荷量为的微粒，在点（0，3m）以初速度平行轴射入电场区域，然后从电场区域进入磁场，又从磁场进入电场，点（6m，0）和点（8m，0）分别是微粒第一、二次经过轴上的点。已知该微粒的比荷为，微粒重力不计，求： (1)微粒在电场中加速度的大小及电场强度的大小； (2)微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角； (3)磁感应强度的大小及微粒从运动到的时间。 【答案】(1)， (2) (3)， 【解析】（1）微粒平行于轴正方向射入电场区域，在电场中从到的过程做类平抛运动，其在轴方向上做的是匀速直线运动，则有 解得微粒从到的运动时间为 微粒在轴方向做从静止开始的匀加速直线运动，设其加速度为，则有 解得 由牛顿第二定律有 解得电场强度的大小为 （2）设微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角为，沿轴方向的速度为，则有， 联立解得 则有 所以微粒到达点时速度方向与轴正方向的夹角为。 （3）根据题意，画出微粒的运动轨迹，如图所示： 微粒进入磁场时的速度为 由几何关系可知，微粒在磁场中做匀速圆周运动的半径为 由牛顿第二定律有 解得磁感应强度的大小为 微粒在磁场中做匀速圆周运动的周期为 【典型例题3】如图，边长为L的正方形abcd区域及矩形cdef区域内均存在电场强度大小为E、方向竖直向下且与ab边平行的匀强电场，ef右边有一半径为L且与ef相切的圆形区域，切点为ef的中点，该圆形区域与cdef区域内均存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。一带电粒子从b点斜向上射入电场后沿图中曲线运动，经cd边的中点进入cdef区域，并沿直线通过该区域后进入圆形区域。所有区域均在纸面内，粒子始终在该纸面内运动，不计粒子重力。求： (1)粒子沿直线通过cdef区域时的速度大小； (2)粒子的电荷量与质量之比； (3)粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角。 【答案】　(1)　(2)　(3)60° 【解析】　(1)由粒子在abcd区域内的运动轨迹可知粒子带正电，带电粒子在cdef区域做直线运动，则有静电力与洛伦兹力平衡，经过cd边的中点时速度水平向右，设粒子到达cd边的中点时速度大小为v0，带电荷量为q，质量为m，由平衡条件有qE＝qv0B 解得v0＝ (2)粒子从b点到cd边的中点的运动，可逆向看成从cd边的中点到b点的类平抛运动，设运动时间为t，加速度大小为a，由牛顿第二定律可得qE＝ma 由类平抛运动规律可得v0t＝L at2＝ 联立解得粒子的电荷量与质量之比 (3)粒子从ef中点进入圆形区域后做匀速圆周运动，设粒子的运动半径为R， 由洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝m 解得R＝L 粒子在磁场中运动轨迹如图所示，粒子沿半径方向射入，又沿半径方向射出，设粒子射出圆形区域时速度方向与进入圆形区域时速度方向的夹角为α，由几何关系可知α＝2θ 又tan θ＝，得θ＝30° 所以微粒从运动到的时间为 【典型例题4】如图所示，在竖直平面内，虚线MN与水平方向成角，虚线上方存在着方向竖直向下的匀强电场，虚线下方存在着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，虚线上有A、C、D三点，，质量为m、电荷量为+q的粒子从A点以初速度v0沿水平方向进入电场，恰好从C点进入磁场，又从D点射出磁场，粒子的重力不计，可能会用到的公式，求： (1)匀强电场的场强大小E； (2)粒子经过C点的速度大小和方向； (3)匀强磁场的磁感应强度大小B。 【答案】(1) (2)，与水平方向的夹角为α，且 (3) 【解析】（1）设粒子从A点到C点的时间为t，水平方向有 竖直方向有 解得 在电场中有，解得 （2）将C点的速度vC分解为水平分速度vx和竖直分速度vy，根据类平抛运动的规律，水平方向有 竖直方向有 由，解得 设vC与水平方向的夹角为α，则有 （3）如图所示，作出粒子在磁场中的运动轨迹，轨迹圆心为O点，过O点作CD的垂线，垂足为F，根据几何关系可知 由题给公式有，所以 粒子的轨迹半径 粒子在磁场中运动有 解得 【典型例题5】如图甲所示，在平面直角坐标系xOy的y轴左侧有沿y轴正方向的匀强电场，在y轴的右侧与平行于y轴的屏之间有垂直坐标平面向外的匀强磁场I，磁场的磁感应强度大小为B0，在电场中坐标为（L，0.5L）的P点，以大小为v0的初速度沿x轴正方向射出一质量为m、电量为q的带正电的粒子，粒子刚好从坐标原点O进入磁场并恰好打在屏上的Q点，Q点在x轴上。粒子重力不计。求： （1）匀强电场的电场强度大小； （2）y轴到屏间的距离为多少； （3）若在磁场I中再加一个匀强磁场II，磁场II的方向垂直于坐标平面向里，其大小随时间变化如图乙所示，，若粒子从P点射出后在t=0时刻进入磁场，则粒子最终打在屏上的位置离x轴的距离为多少。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）设匀强电场的电场强度大小为E，粒子在电场中做类平抛运动，则 根据牛顿第二定律 解得 （2）由 解得 则粒子进磁场时速度大小 方向与y轴正向的夹角为，则 故 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据牛顿第二定律 根据几何关系 解得 （3）粒子在磁场I中做圆周运动的周期 则 在到时间内，合磁场方向垂直于坐标平面向里，磁场的磁感应强度大小为2B0，粒子做圆周运动的半径 粒子做圆周运动周期 则 根据几何关系可知，在时刻，粒子离x轴的距离为 离屏的距离为 从至时间内，粒子沿y轴正向运动的距离 解得 因此粒子最终打在屏上的位置离x轴的距离 【典型例题6】如图所示，竖直面内的三个区域中分别存在电场和磁场。在区域内匀强电场方向沿轴正方向，在轴右侧分布着相邻的匀强电场和匀强磁场，电场方向沿轴正向，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为。一质量为、带电量为的油滴从轴上的点无初速释放，到达轴上的点时，速度与轴负方向夹角；到达竖直电场右边界的点时，速度与轴正方向夹角仍为。两点间距离两点的竖直高度差。已知重力加速度取，带电油滴的运动均在真空中。求： （1）水平电场的大小及油滴到达到点时的速度； （2）竖直电场的大小及油滴到达点时的速度； （3）油滴在磁场中运动的速度的最大值。 【答案】（1），；（2），；（3） 【解析】 （1）由题可知，油滴从P到Q做匀加速直线运动，即 解得 根据可知 （2）由题可知，油滴在电场内做类抛体运动，可将其分解为沿x方向的匀速直线运动和沿y方向的匀加速直线运动，故 ， 到达M点时的速度为 由动能定理可知 代入数据解得 （3）如图所示将速度进行分解 其中 故油滴的运动可分解为沿水平方向的匀速直线运动和一个匀速圆周运动 由余弦定理可得 联立解得 当两速度方向相同时，油滴的速度最大 【变式训练2-2-1】如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 (1)求金属板间电势差U； (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O'点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 【答案】　(1)　(2)(或60°)　(3)见解析图 【解析】　(1)设板间距离为d，则板长为d，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为E＝，根据牛顿第二定律得qE＝ma，解得a＝ 设粒子在平板间的运动时间为t0，根据类平抛运动的规律得a， d＝v0t0 联立解得U＝ (2)设粒子出电场时与水平方向夹角为α，则有 tan α＝，故α＝ 则出电场时粒子的速度为v＝v0 粒子出电场后做匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝ 已知圆形磁场区域半径为R＝，故r＝R 粒子沿PO方向射入磁场，轨迹如图所示， 即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为θ，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为θ，由几何关系可得θ＝2α＝，故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为(或60°)； (3)粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为r＝R，根据几何关系可知，粒子在该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长，则相对应的运动轨迹以及圆心M的位置如图所示。 【变式训练2-2-2】平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示．一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍．粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等．不计粒子重力，问： (1)粒子到达O点时速度的大小和方向； (2)电场强度和磁感应强度的大小之比． 【答案】　(1)v0，与x轴正方向成45°角斜向上　(2) 【解析】　(1)在电场中，粒子做类平抛运动，设Q点到x轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，有 2L＝v0t① L＝at2② 设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为vy vy＝at ③ 设粒子到达O点时速度方向与x轴正方向夹角为α，有 tan α＝④ 联立①②③④式得 α＝45°⑤ 即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45°角斜向上． 设粒子到达O点时速度大小为v，由运动的合成有 v＝⑥ 联立①②③⑥式得 v＝v0.⑦ (2)设电场强度为E，粒子电荷量为q，质量为m，粒子在电场中受到的电场力为F，由牛顿第二定律可得 F＝ma ⑧ 又F＝qE ⑨ 设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，所受的洛伦兹力提供向心力，有 qvB＝m ⑩ 由几何关系可知 R＝L⑪ 联立①②⑦⑧⑨⑩⑪式得 ＝. 【变式训练2-2-3】如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从电场中的O点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为，粒子返回电场前的运动轨迹过P点正上方的Q点，P、Q间距离及O、P间的水平距离均为L。不计粒子重力。 (1)判断粒子的电性； (2)求电场强度大小E； (3)求磁感应强度大小B。 【答案】(1)正电 (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，粒子向上偏转，所受电场力向上，与电场方向相同，则粒子带正电。 （2）设粒子在电场中运动的时间为t，水平方向上由运动学公式，有 设粒子在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律，有 竖直方向上由运动学公式，有 联立上述各式，得 （3）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系，得                    洛伦兹力提供向心力，有 联立得 【变式训练2-2-4】如图所示，在平面直角坐标系中，虚线与x轴正方向的夹角为，与y轴之间存在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，第二象限存在沿y轴正方向的匀强电场。一带负电的粒子从x轴负半轴的P点以初速度进入电场，与x轴正方向的夹角为，经电场偏转后从点垂直y轴进入磁场，粒子恰好不从边界射出磁场，不计粒子重力，求： (1)x轴上的P点坐标； (2)该粒子的比荷； (3)粒子从P点出发到再次回到x轴时的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据逆向思维，粒子从P点到M点的逆运动为从M点到P点的类平抛运动，则有， 竖直方向有 水平方向有 解得， 故P点坐标为 （2）粒子恰好不从边界射出磁场，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，根据几何关系有 可得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得粒子的比荷为 （3）在磁场中运动的周期为 可得在磁场中运动的时间为 再次返回电场做类平抛运动过程中，由几何关系知，而 由知 可得粒子从P点出发到再次回到x轴时的总时间 【变式训练2-2-5】如图，在平面直角坐标系内，第象限存在沿轴负方向的匀强电场，第象限以为直径的半圆形区域内，存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。一质量为、电荷量为的带正电的粒子，自轴正半轴上处的点，以速度垂直于轴射入电场。经轴上处的点进入磁场，最后垂直于轴的方向射出磁场。不计粒子重力。求： 电场强度大小； 粒子在磁场中运动的轨道半径； 粒子在磁场运动的时间。 【答案】见解析 【解析】解：设粒子在电场中运动的时间为，根据类平抛规律有：， 根据牛顿第二定律可得： 联立解得： 粒子进入磁场时沿方向的速度大小： 粒子进入磁场时的速度：，方向与轴成角 根据洛伦兹力提供向心力可得： 解得： 粒子在磁场中运动的周期： 根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的圆心角： 则粒子在磁场中运动的时间： 【变式训练2-2-6】如图所示，直角坐标系xOy中，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴负方向。在第Ⅳ象限区域内有方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的p(0，L)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的M(2L，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点垂直y轴进入第Ⅲ象限，不计粒子的重力，求： (1)(4分)电场强度E的大小； (2)(5分)粒子到达M点时速度的大小和方向； (3)(5分)磁场的磁感应强度B的大小。 【答案】　(1)m　(2)2v0　与x轴正方向夹角为60°　(3) 【解析】　(1)粒子在电场中仅受静电力的作用做类平抛运动，设在第一象限内运动时间为t1。则 水平方向2L＝v0t1 竖直方向L＝a 由牛顿第二定律有qE＝ma 联立解得E＝m (2)设粒子到达M点时竖直方向分速度为vy＝at1＝t1 代入数据解得vy＝v0 到达M点的合速度为v＝＝2v0 设M点时速度方向与x轴正方向夹角为θ， 又tan θ＝ 所以θ＝60° (3)由于垂直打到y轴，易得带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心角为120°，由洛伦兹力提供向心力得 qvB＝ 由几何关系得rsin 60°＝2L 联立解得B＝ 则有α＝60°。 【变式训练2-2-7】如图所示的平面直角坐标系xOy中，第二象限内有沿y轴负方向的匀强电场，第四象限内存在垂直纸面向里的有界匀强磁场，磁场边界分别为x轴、MN和y轴，M、N两点的坐标分别为(L，0)、(0，-L)。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的带电粒子从第二象限的A点沿x轴正方向以初速度v0射出，A点坐标为(-2L，L)，粒子恰好从坐标原点O进入第四象限，之后粒子从MN上的P点(图中未标出)进入磁场，经磁场偏转后从x轴上的Q点(图中未标出)垂直于x轴射出磁场，不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从A点运动到Q点所用的时间t。 【答案】　(1)　　(2)(+ 【解析】　(1)粒子的运动轨迹如图所示，在电场中做类平抛运动 则有2L=v0t1，L=a 又qE=ma 联立解得t1=，E=，vy=at1=v0 粒子运动到O点速度与x轴正方向的夹角正切值tan θ==，即θ=60° 粒子运动到O点时的速度v==2v0 在磁场区域，根据几何关系可得r=L 又洛伦兹力提供向心力，有qvB=m 解得B= (2)由几何关系可知，从O点到磁场之间，粒子运动的位移为L， 则运动的时间t2== 在磁场中，粒子运动的周期T== 则运动的时间t3=T= 粒子从A点运动到Q点所用的时间t=t1+t2+t3=(+。 【变式训练2-2-8】如图所示，在直角坐标系的第一象限，有方向竖直向下、场强大小为E的匀强电场，在第四象限有垂直纸面向外的匀强磁场，在x轴下方放置一长度为L的绝缘薄板PQ，挡板平面与x轴垂直且上端紧贴x轴。一质量为m，电荷量为的粒子从y轴上一点以大小为的速度水平向右射出，恰好从薄板上边缘P点处射入磁场，粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，之后粒子恰好未与薄板碰撞，不计粒子重力，求： （1）粒子在y轴上的发射位置到P点的水平距离； （2）匀强磁场磁感应强度B的大小： （3）粒子在薄板右侧运动的时间t。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）根据题意可得粒子在P点速度方向与轴的夹角为，可得粒子在P点的竖直分速度 粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，有 竖直方向根据牛顿第二定律有 而根据速度与时间的关系可得 联立以上各式可得 （2）粒子在点的速度 粒子在磁场中做圆周运动，有 粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示 根据几何关系可得 联立解得 （3）根据几何关系可知，粒子在挡板右侧磁场中运动的时间 而粒子做圆周运动的周期 解得 【变式训练2-2-9】如图所示，平面直角坐标系xOy的第二、三象限内有方向沿y轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有圆形有界磁场，有界磁场的半径为L，磁场的方向垂直于坐标平面向里，磁场边界与y轴相切于O点，在x轴上坐标为(－L,0)的P点沿与x轴正方向成θ＝45°角斜向上射出一个速度大小为v0的带电粒子，粒子的质量为m，电荷量为q，粒子经电场偏转垂直y轴射出电场，粒子进入磁场后经磁场偏转以沿y轴负方向的速度射出磁场，不计粒子的重力．求： (1)粒子从y轴上射出电场的位置坐标； (2)匀强电场电场强度大小及匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子从P点射出到射出磁场运动的时间为多少？ 【答案】　(1)(0，L)　(2)　　(3)＋ 【解析】　(1)粒子在电场中的运动为类平抛运动的逆运动， 水平方向：L＝v0cos θ·t1， 竖直方向：y＝v0sin θ·t1， 解得：y＝L， 粒子从y轴上射出电场的位置坐标为：(0，L)； (2)粒子在电场中的加速度大小：a＝， 竖直分位移：y＝at12， 解得：E＝； 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，以沿y轴负方向的速度射出磁场，运动轨迹如图所示， 由几何知识得：AC与竖直方向夹角为45°， AD＝y＝L， 因此AC刚好为圆形有界磁场的直径，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径：r＝L， 粒子在磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvB＝m， 其中，粒子的速度：v＝v0cos θ， 解得：B＝； (3)粒子在电场中的运动时间：t1＝＝， 粒子离开电场进入磁场前做匀速直线运动，位移：x＝L－L， 粒子做直线运动的时间：t2＝＝， 粒子在磁场中做圆周运动的时间：t3＝T＝×＝， 粒子总的运动时间：t＝t1＋t2＋t3＝＋. 【变式训练2-2-10】如图所示，在平面直角坐标系的第一象限有竖直向上的匀强电场，在第四象限有一圆心在O1（2L，-2L）半径为2L的圆形有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一负电子从P（0，L）点沿x轴正方向以速度v0入射，经匀强电场偏转后恰好从M（2L，0）点进入匀强磁场。已知电子电荷量为e，质量为m，电子重力不计。求： （1）求匀强电场的电场强度大小E； （2）若匀强磁场的磁感应强度为B，电子离开磁场后恰好垂直穿过y轴，求B的大小； （3）求电子从y轴上的P点出发至再次经过y轴所需要的时间t。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）电子在电场中类平抛运动，则 联立解得 ， （2）设电子进入磁场时速度方向与x轴夹角为θ，则 所以 电子运动的轨迹如图所示 根据磁发散模型特点可知 根据洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （3）电子在磁场中运动的时间为 所以 电子出磁场后做匀速直线运动，则有 所以电子从y轴上的P点出发至再次经过y轴所需要的时间为 【变式训练2-2-11】为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，直角坐标系xOy平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的匀强磁场B和沿y轴正方向的匀强电场E，E、B大小均未知。质量为m、电荷量为-q的粒子从x轴负半轴M点与x轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0（v0已知）从点P（0，d）垂直y轴进入磁场，最后从N点与x轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。 （1）求电场强度E的大小；                      （2）求磁感应强度B的大小； （3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f＝kv（k为已知常量），观察发现该粒子轨迹呈螺旋状，且粒子恰好从Q点（图中未标出）垂直x轴射出磁场，求粒子由P点运动到Q点的时间t。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）带电粒子在电场中做反向类平抛运动，即在水平方向匀速直线，竖直方向匀减速直线，竖直分速度减小到0，则 根据动能定理 联立解得 （2）带电粒子在电场中做圆周运动，根据牛顿第二定律 运动轨迹如图所示 由几何关系 联立解得 （3）有阻力后，例子不再做圆周运动，但洛伦兹力仍提供向心力，列式为 角速度ω保持不变，且 解得 【变式训练2-2-12】如图所示，水平直线上方有竖直向下的匀强电场，下方有一边长为的正三角形匀强磁场区域（边界上也有磁场），点在边界上，边与平行，匀强磁场方向垂直纸面向外。质量为、带电量为的粒子从点以初速度垂直电场方向射出，在电场中偏转后从点进入磁场，之间的水平距离为，竖直距离为，粒子重力不计。 （1）求电场强度的大小； （2）若粒子从点离开磁场，求粒子在磁场中的运动时间； （3）若粒子从边上距离点为的点离开磁场，求磁感应强度的大小。    【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）根据题意可知，粒子在电场中做类平抛运动，垂直电场方向有 沿电场方向有 解得 （2）根据题意，粒子在电场中的运动轨迹如图所示    由几何关系可知，粒子离开电场时 又有 解得 粒子进入磁场后做圆周运动，若从点出磁场，轨迹如图所示    由牛顿第二定律有 据几何关系可得 圆心角 粒子在磁场中运动的时间 解得 （3）若粒子从点出磁场，轨迹如图所示    设粒子速度的偏转角为，据几何关系可得 解得 又有 解得 【变式训练2-2-13】如图所示，PQ、MN两挡板竖直正对放置，两板长度l均为1m，间距也为1m，两挡板间有垂直纸面向里、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。挡板的上边缘P、M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向上的匀强电场，电场强度大小E=10V/m；一带负电粒子自电场中A点以一定速度水平向右发射，恰好从P点处与水平方向成45°射入磁场，从两挡板下边缘Q、N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知：该带负电的粒子比荷大小为1.0×105C/kg，粒子发射位置A到水平线PM的距离h=2m，不计粒子的重力。整个装置处于真空中且不考虑地磁场的影响。求： （1）粒子从A点发射的初速度v0； （2）求磁感应强度大小的取值范围。 【答案】（1）2×103m/s；（2） 【解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有 根据牛顿第二定律有 解得 （2）粒子在磁场运动的速度大小为 粒子在磁场中运动的临界轨迹（从Q射出）如图所示 由几何关系可知，最小半径为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，即 解得磁感应强度大小的临界值为 所以磁感应强度大小的取值范围为 【变式训练2-2-14】如图所示，在第一象限的区域内存在沿x轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，在的区域内存在沿y轴负方向、电场强度大小未知的匀强电场，x轴下方存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计粒子的重力）从y轴上A（0，L）点处由静止释放，粒子离开区域后撤去该区域内的匀强电场，粒子经C（3L，0）进入x轴下方的磁场中，之后粒子经过第二象限回到A点。求 （1）匀强电场的电场强度大小； （2）粒子从A点出发至第一次返回A点所用时间t。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）粒子在区域内做匀加速直线运动，根据动能定理，有 进入竖直向下的电场后做类平抛运动，经C（3L，0）进入x轴下方的磁场中，根据运动的合成与分解，水平方向有 竖直方向有 联立解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，飞出磁场后，在第二象限做匀速直线运动，粒子进入磁场时的水平速度为 竖直速度为 所以粒子进入磁场时速度方向与x轴成斜向下，速度大小 粒子的运动轨迹如图所示 可知粒子离开磁场时的速度也是与x轴成斜向上，粒子经过第二象限回到A点；根据几何关系可得 解得 粒子在磁场中运动的轨迹所对圆心角为，粒子在磁场中运动的时间为 粒子在电场中运动的时间为 粒子在第四象限运动的时间为 所以粒子从A点出发回到A点所用的时间为 【变式训练2-2-15】如图，在平面直角坐标系的第二、三象限内有沿x轴正向、大小为E的匀强电场，在y轴和直线之间有垂直坐标平面向外的匀强磁场，x轴上P点的坐标为，在P点沿y轴正向射出电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，粒子的初速度大小为，粒子在y轴上Q点以与y轴正方向成进入匀强磁场，粒子在磁场中运动轨迹刚好与直线相切，不计粒子的重力，求： （1）粒子进磁场时的速度大小和OQ之间的距离； （2）匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设粒子进入磁场时的速度大小为，根据类平抛运动的规律有 解得 设OQ间的距离为y，有 联立解得 （2）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据几何关系 解得 根据牛顿第二定律 解得 【变式训练2-2-16】如图所示，在xOy平面内和x轴之间存在沿+x方向的匀强电场，的区域存在匀强磁场。比荷为2k的带负电粒子1从O点以速度沿y轴正方向射入，此时电场强度大小变为原来的3倍，粒子1不经过磁场直接到达收集装置被收集，且在粒子1到达收集装置的过程中，前一半时间存在电场，后一半时间电场消失。电场恢复到开始时情况，比荷为k的带正电粒子2从O点以速度沿y轴正方向射入，最终到达固定于坐标的收集装置被收集。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求： （1）开始时电场强度的大小； （2）磁感应强度的大小。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设粒子1存在电场的时间为t，则竖直方向一直做匀速运动 带负电粒子1向轴负方向运动，设水平方向加速后的速度为，水平方向先做匀加速运动，后做匀速运动 匀加速过程有 由题知 联立解得 （2）带正电粒子2向轴正方向做类平抛运动 竖直方向做匀速运动 水平方向做匀加速运动 其中 解得 竖直方向的速度 所以进入磁场时速度为 方向与竖直方向成45° 在磁场中洛伦兹力提供向心力 由几何关系可知 联立解得 【变式训练2-2-17】蜜蜂飞行时依靠峰房、采蜜地点和太阳三个点进行定位做“8”字形运动，以此告知同伴蜜源方位。某兴趣小组用带电粒子在电场和磁场中的运动模拟蜜蜂的运动。如图所示，空间存在足够大且垂直纸面、方向相反的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，其上、下边界分别为、，间距为d。与之间存在沿水平方向且大小始终为的匀强电场，当粒子通过进入电场中运动时，电场方向水平向右；当粒子通过进入电场中运动时，电场方向水平向左。现有一质量为m、电荷量为的粒子在纸面内以初速度从A点垂直射入电场，一段时间后进入磁场Ⅱ，之后又分别通过匀强电场和磁场Ⅰ，以速度回到A点，磁场Ⅱ的磁感应强度，不计粒子重力。求： （1）粒子进入磁场Ⅱ时速度v的大小和方向； （2）磁场Ⅰ的磁感应强度大小。 【答案】（1），方向与成指向右上方；（2） 【解析】（1）粒子从进入电场做类平抛运动，竖直方向匀速 水平方向做加速运动 解得 则粒子进入磁场Ⅱ的速度大小 设速度v与夹角为，由 解得 可知v方向与成指向右上方。 （2）粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 粒子在磁场Ⅱ中的运动 粒子在电场中沿电场方向运动的距离 （或） 由几何关系 粒子在磁场Ⅰ中的运动 解得 【变式训练2-2-18】如图所示，直角坐标系平面内，绝缘等腰直角三角形框架底边中点位于原点，，、边上有关于轴对称的小孔、。三角形框架内有沿轴正方向的匀强电场，框架外至圆心在点、半径为的半圆形边界内有垂直于纸面向里的匀强磁场。质量为、电量为、不计重力的带电粒子以初速度从点沿方向射入电场，经过小孔垂直于进入磁场区域，与绝缘框架碰撞后原速返回。调节匀强磁场磁感应强度为某些值时，粒子能绕过点回到出发点，此后重复做周期性运动。求： (1)粒子经过点时速度大小； (2)与两点间的电势差； (3)粒子运动周期最长时磁感应强度大小B。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）题意可知方向与夹角为，可知 （2）粒子从到，根据动能定理有 联立解得 （3）因为， 根据几何关系可得 可得 则 根据三角形相似可得 则 联立解得 粒子能回到点并周期性运动，则粒子与边碰撞次数满足 不出磁场，则在点附近 因为不变，取值越小，粒子运动时间越短，综上，此时 因为 解得 【变式训练2-2-19】如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限内有一抛物线，如图中虚线所示，其方程为，虚线上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为，第三象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在抛物线的下方的区域有大量质量、电荷量的粒子以相同的初速度平行于x轴射入电场，最后均经过O点进入磁场，不计粒子的重力，求： (1)带电粒子的初速度大小； (2)在磁场中，所有带电粒子能到达离x轴的最远距离。 (3)若磁感应强度与y轴的关系为，那么所有粒子在磁场中，能到达离x轴的最远距离。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设从坐标为处射入的粒子，在电场中做类平抛运动，则水平方向 竖直方向 加速度 联立解得 （2）粒子从点进入磁场时，水平速度 竖直速度 则速度方向与轴负向夹角为 带电粒子射入电场时，值越大，越大；从坐标射入的粒子，与轴夹角最大为，速度相同的粒子，夹角越大，到达的最低点离轴距离越大；夹角相同的粒子，速度越大，到达的最低点离轴距离越大；所以，从坐标射入的粒子能在磁场中到达最低点，粒子合速度为 轨迹半径 半径大小为到达离轴最大距离为 由以上公式联立可得 在点时， 夹角 则 最远距离 当时， （3）带电粒子在磁场中水平初速度为；到达最低点时，粒子的速度为水平方向，最大速 度为 带电粒子在水平方向受到洛伦兹力 在水平方向上由动量定理得 代入可得 即 代入数值可解得 【变式训练2-2-20】如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系，x轴下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。A是质量为m1带正电的小球，C是质量为m2带负电的小球，A、C均可视为电荷量大小为q的质点，且2m1=m2=m。初始时C球被锁定在x轴上某一位置，把A球从y轴上某点以初速度v0水平抛出，A球与C球发生一维对心正碰，碰撞时间极短，碰前瞬间解除对C球的锁定，碰后瞬间A球速度为零，C球速度方向与x轴正方向夹角为θ=53°，碰撞前后A、C两球电荷量不变，重力加速度为g，sin53°=0.8，求： （1）小球A从开始抛出到与C球碰前运动的时间t及两球碰撞损失的机械能； （2）A球在磁场中运动的最大速度vm（结果用v0表示）； （3）C球在磁场运动过程中离x轴的最大距离H（结果用v0和g表示）。 注：其中（2）、（3）问不考虑A、C两球在磁场中可能发生的碰撞。 【答案】（1）；；（2）；（3） 【解析】（1）由题意可知，小球A以初速度v0水平抛出，做平抛运动，A球与C球碰前速度方向也与x轴正方向夹角为θ，速度大小为v，则有 解得 A、C两球碰撞动量守恒，碰后C球速度为vC，则有 损失的机械能 解得 （2）法一：由于只有重力做功，A球运动到轨迹最低点时速度最大，此时A球下降高度为H1，A球水平方向由动量定理可得 又 由能量守恒有 解得 法二：A球碰后在磁场中的运动，可看做以速度v1水平向右的匀速直线运动和以v1为线速度大小的逆时针匀速圆周运动的合运动，且v1满足 则A球运动到圆周运动最低点时速度最大 解得 （3）法一：C球在磁场运动过程中离x轴距离最大时速度为vCm，对C球在水平方向由动量定理可得 又 由能量守恒有 解得 法二：同（2）中C球向左匀速运动速度为v2，则有 匀速圆周运动的速度大小为v3，过x轴时v3水平分速度是 竖直分速度 可得 可得 C球运动到圆周运动最低点时离x轴距离最大，则有 解得 题型03：先磁场后电场 磁场中：匀速圆周运动 电场中：匀变速直线运动 （v与E同向或反向） 磁场中：匀速圆周运动 电场中：类平抛运动 （v与E垂直） 磁场中：匀速圆周运动 电场中：类斜抛运动 （v与E成一定角度（非直角）） 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 （1） 带电粒子由磁场进入电场做匀变速直线运动 【典型例题】现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ区宽度均为L，存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度等大反向；Ⅲ、Ⅳ区为电场区，Ⅳ区电场足够宽，各区边界均垂直于x轴，O为坐标原点。甲、乙为粒子团中的两个电荷量均为＋q，质量均为m的粒子。如图，甲、乙平行于x轴向右运动，先后射入Ⅰ区时速度大小分别为v0和v0。甲到P点时，乙刚好射入Ⅰ区。乙经过Ⅰ区的速度偏转角为30°，甲到O点时，乙恰好到P点。已知Ⅲ区存在沿＋x方向的匀强电场，电场强度大小E0＝。不计粒子重力及粒子间相互作用，忽略边界效应及变化的电场产生的磁场。 (1)求磁感应强度的大小B； (2)求Ⅲ区宽度d； (3)Ⅳ区x轴上的电场方向沿x轴，电场强度E随时间t、位置坐标x的变化关系为E＝ωt－kx，其中常系数ω>0，ω已知、k未知，取甲经过O点时t＝0。已知甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，设乙在Ⅳ区受到的电场力大小为F，甲、乙间距为Δx，求乙追上甲前F与Δx间的关系式(不要求写出Δx的取值范围)。 【答案】　(1)　(2)πL　(3)F＝·Δx 【解析】　(1)对乙粒子，如图所示 由洛伦兹力提供向心力 qv0B＝m 由几何关系sin 30°＝ 联立解得磁感应强度的大小为B＝ (2)由题意可知，根据对称性，乙在磁场中运动的时间为t1＝2×× 对甲粒子，由对称性可知，甲粒子沿着直线从P点到O点， 由运动学公式d＝v0t1＋a 由牛顿第二定律a＝ 联立可得Ⅲ区宽度为d＝πL (3)甲粒子经过O点时的速度为 v甲＝v0＋at1＝3v0 因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动， 则E＝0， 即ωt＝kx＝k×3v0t 可得k＝ 设乙粒子经过Ⅲ区的时间为t2，乙粒子在Ⅳ区运动时间为t0，则t＝t0＋t2 对乙可得＝ω(t0＋t2)－kx2 整理可得x2＝3v0(t0＋t2)－ 对甲可得x1＝3v0(t0＋t2) 则Δx＝x1－x2＝ 化简可得乙追上甲前F与Δx间的关系式为 F＝·Δx。 【变式训练3-1-1】一个带电粒子从x轴上的点以速度v沿与x正方向成的方向射入第一象限内磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限，进入第二象限的匀强电场中，电场强度大小为E，方向沿x轴负方向。不计粒子重力，求： (1)带电粒子的比荷； (2)带电粒子在电场中速度第一次为零时的坐标； (3)带电粒子从开始到第三次经过y轴所需要的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】1）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得 粒子运动轨迹如图所示 由几何知识得 联立解得 （2）粒子离开磁场时，离O的竖直距离为 粒子在电场中做匀减速直线运动 其中 解得 故粒子速度第一次为零时的坐标为 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期 粒子在磁场中运动的总时间 粒子从y轴进入电场至速度为0的过程中，可得， 解得 粒子从P点射入到第三次经过y轴的总时间 【变式训练3-1-2】如图所示，在xOy坐标系中，第二、四象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限存在沿x轴正方向的匀强电场，质量为m、电荷量为q的粒子以速度v0从A（-L，0）点垂直x轴射入第二象限，后与x轴方向成θ=45°角射入第四象限，粒子进入电场时速度方向与y轴成45°角，最终粒子从x轴上的C点（图中未画出）垂直x轴回到第二象限，不计粒子重力，求： (1)第二、四象限匀强磁场的磁感应强度大小B1、B2； (2)匀强电场的电场强度大小E； (3)A、C两点间的距离d； (4)粒子从A点运动到C点的时间t。 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 根据几何关系，有 解得 由几何关系可得 洛伦兹力提供向心力，有 解得。 （2）粒子在电场中沿电场方向有 沿轴方向有 根据牛顿第二定律，有 速度为 联立解得，， （3）A、C两点间的距离 解得。 （4）根据位移关系，有 粒子从A点运动到C点的时间 解得 （2） 带电粒子由磁场进入电场做类平抛运动 【典型例题1】如图所示，在x＞0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，在x＜0的区域有方向与y轴负方向成30°斜向右下方的匀强电场，x正半轴上的c点有一个离子源，Oc＝L。可以向各方向发射质量为m、带电量为q，初速度大小为v0的正离子（重力不计），当与x轴正方向成30°射入第Ⅰ象限时，从距离O点为的d点进入电场，则下列说法正确的是（ ） A．磁感应强度B＝ B．从c点发射出的所有离子第一次穿过y轴的纵坐标最大值为2L C．离子从磁场经过d点第一次进入电场运动后离开电场时的速度为 D．离子从磁场经过d点第一次进入电场运动后再次回到磁场中，两次经过y轴时速度的偏角的正切值为 【答案】C 【解析】A、由几何关系可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径r＝L，洛伦兹力提供向心力Bv0q＝，得B＝，故A错误； B、由几何关系可知，离子从d点离开磁场时，cd为直径，是从c点发射出的离子第一次穿过y轴时离O点最远的位置，故B错误； C、离子在电场中做类平抛运动，沿电场方向位移s1＝，垂直于电场方向位移s2＝v0t，且s1∶s2＝∶1，vy＝at，解得at＝，故离子再次穿过y轴时，速度大小v＝，解得v＝，故C正确； D、设速度偏向角为θ，由平抛运动的推论可知tan θ＝2tan α，α＝60°，故tan θ＝，D错误。 【典型例题2】如图所示，在xOy坐标系的第一、第四象限内存在着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，y轴和ab为其左、右边界，两边界距离为l=2.4r，第一象限内电场E2方向竖直向下，第四象限内电场E1方向竖直向上。在y轴的左侧有一分布在半径为r的圆内的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，其中OO'是圆的半径。在电场右边界ab上，一电荷量为+q、质量为m的不计重力的粒子以初速度v从M点沿水平方向垂直射入匀强电场，M点和x轴之间的距离为1.2r，该粒子通过x轴上的N点(未画出)进入上部匀强电场，然后从y轴上的P点水平射出，P点坐标为(0，0.6r)，经过一段时间后粒子进入磁场区域，该粒子进出磁场时速度方向改变了90°。其中m、+q、v、r为已知量。求： (1)(第一、第四象限内电场强度大小之比E2∶E1； (2)磁场的磁感应强度B的大小； (3)该粒子从射入电场到偏转出磁场的全过程运动的总时间。 【答案】　(1)2∶1　(2)　(3) 【解析】　(1)设粒子经x轴上的N点由第四象限内电场进入第一象限内电场，画出粒子在电场中的运动轨迹如图所示 在第一、四象限，沿着x轴方向粒子做匀速直线运动，有vP=vM=v 在M到P的过程中应用动能定理，有 qE1×1.2r-qE2×0.6r=m-m 解得E2∶E1=2∶1 (2)由题意可知粒子由P点射出电场后，经过一段时间进入磁场中做匀速圆周运动，在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，画出粒子由P点射出电场后的运动轨迹，如图所示，过O'作y轴的平行线，与O1F交于K点，O1Q与x轴的交点为H。设粒子做匀速圆周运动的半径为R，则在△QHO'中有(0.6r)2+HO'2=r2 解得HO'=0.8r 在△O'KF中有(R-0.6r)2+(R-0.8r)2=r2 解得R=1.4r 又qvB=m 解得B= (3)带电粒子在电场中的运动时间为t== 做匀速直线运动时间为t'== 在磁场中的运动时间为t″== 则带电粒子从M点射入电场到偏转出磁场的全过程运动的总时间t总=t+t'+t″=。 【典型例题3】如图所示，在直角坐标系的第二、第三象限内有一垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场区域，坐标分别为、、。在直角坐标系的第一象限内，有沿y轴负方向、大小为的匀强电场，在处垂直于x轴放置一荧光屏，其与x轴的交点为Q。粒子束以相同的速度由O、C间的各位置垂直y轴射入，已知从y轴上的点射入磁场的粒子恰好经过O点，忽略粒子间的相互作用，不计粒子的重力。求 （1）粒子的比荷； （2）荧光屏上的发光长度。 【答案】（1）；（2）3a 【解析】（1）由题意可知，粒子在磁场中的轨迹半径为 r＝a 由牛顿第二定律得 Bqv0＝m 故粒子的比荷 （2）能进入电场中且离O点上方最远的粒子在磁场中的运动轨迹恰好与AB边相切，设粒子运动轨迹的圆心为O′点，如图所示： 由几何关系知 O′A＝r·＝2a 则 OO′＝OA－O′A＝a 即粒子离开磁场进入电场时，离O点上方最远距离为 OD＝ym＝2a 则根据几何关系可知x轴上方荧光屏上的发光长度为 x轴下方荧光屏上的发光长度为 所以荧光屏上的发光长度为 【典型例题4】如图所示，在xOy平面的第一象限内有半径为R的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为，其边界与x轴、y轴分别相切于P、Q点。位于P处的质子源均匀地向纸面内以大小为v的相同速率发射质量为m、电荷量为e的质子，且质子初速度的方向被限定在两侧与的夹角均为的范围内。第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在x轴（）的某区间范围内放置质子接收装置MN。已知沿方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直y轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。 （1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B； （2）求y轴正方向上有质子射出的区域范围； （3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN接收，求接收装置MN的最短长度x。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）沿方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直y轴射入匀强电场，则该质子运动半径为，有 解得 （2）如图所示，设在左右两侧角方向上射入磁场的质子，最终分别有磁场边界上的A、B两点射出，对应圆周运动的圆心分别为、，则四边形和均为 ，则粒子由A、B两点水平飞出，且与B点重合。 根据几何关系可知 B点到轴的距离为，所以y轴正方向上有质子射出的区域范围为 （3）若质子由处飞入电场时打在M点，由处飞入电场时打在N点，根据类平抛运动的规律，有 解得 MN的最短长度为 【变式训练3-2-1】利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy平面(纸面)内，x<x1的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的x1<x<x2区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从原点O处以大小为v0的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角θ＝60°，一段时间后垂直x＝x1虚线边界进入电场。已知x1＝L，x2＝L，区域Ⅱ中电场的电场强度E＝。求： (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t； (3)粒子离开电场时的速度大小v。 【答案】　(1)　(2)　(3)v0 【解析】　(1)区域Ⅰ内粒子在洛伦兹力作用下做圆周运动，设在磁场中做圆周运动的半径为R， 由几何关系可得 Rsin θ＝L 解得R＝2L 又qv0B＝m 解得区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小 B＝ (2)粒子在磁场中运动圆轨迹所对的圆心角为120°，在磁场中运动时间设为t1， 则t1＝T 其中T＝ 粒子在电场中做类平拋运动，设该粒子的加速度大小为a，在电场中运动时间为t2，沿y轴负方向运动的距离为h， 则有qE＝ma x2－x1＝v0t2 解得t2＝ 其中h＝a 解得h＝ 由于h<R＋Rcos θ＝3L 粒子从电场边界离开，则总时间t＝t1＋t2 解得t＝ (3)由动能定理得qEh＝mv2－m 解得v＝v0。 【变式训练3-2-2】如图，在平面直角坐标系xOy中x轴上方有一匀强磁场，方向垂直于纸面向里，在x轴下方有平行于xOy平面且与x轴正方向夹角为45°的匀强电场。y轴上有一个P点，P点的y坐标为()L，一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度v0从P点与y轴正方向夹角为60°斜向左上方射出，正好在x轴负半轴的Q点(图中未画出)处以与x轴正方向夹角为45°的方向第一次经过x轴射入下方电场，若粒子第二次经过x轴时的点和Q点关于原点对称，不计粒子的重力，求： (1)(4分)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)(7分)匀强电场的电场强度大小； (3)(4分)带电粒子在匀强电场中离x轴的最远距离。 【答案】　(1)　(2)　(3) 【解析】　(1)如图，根据题意OP＝()L，θ＝30° 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为R， 则OP＝R·cos 45°＋R·cos 30° 可得R＝2L 又qBv0＝m 联立解得B＝ (2)粒子在x轴负半轴的Q点处以与x轴正方向夹角为45°的方向第一次经过x轴射入下方电场，匀强电场方向与x轴正方向夹角为45°，可知粒子在电场中做类平抛运动，设粒子第二次经过x轴时的点为M OM＝OQ＝R·sin 30°＋R·sin 45°＝(＋1)L 则QM＝2(＋1)L 则沿电场方向的位移y＝QMsin 45°＝(2＋)L 在速度方向的位移x＝QMcos 45°＝(2＋)L 根据y＝at2，x＝v0t，a＝， 联立解得E＝ (3)速度v0在垂直于x轴方向的分量是v1＝v0sin 45° 加速度在垂直于x轴方向的分量是a1＝asin 45° 带电粒子在匀强电场中离x轴的最远距离s＝ 联立解得s＝。 【变式训练3-2-3】强电场，电场方向与xOy平面平行，且与x轴成45°夹角．一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子以初速度 v0从y轴上的P点沿y轴正方向射出，一段时间后进入电场，进入电场时的速度方向与电场方向相反；又经 过一段时间T0，磁场的方向变为垂直于纸面向里，大小不变．不计重力． (1)求粒子从P点出发至第一次到达x轴时所需的时间； (2)若要使粒子能够回到P点，求电场强度的最大值． 【答案】　(1)　(2) 【解析】　(1)带电粒子在磁场中做圆周运动，设运动半径为R，运动周期为T，根据洛伦兹力公式及圆周运动规律，有qv0B＝m，T＝ 依题意，粒子第一次到达x轴时，运动转过的角度为π，所需时间t1为t1＝T，求得t1＝. (2)粒子进入电场后，先做匀减速运动，直到速度减小为0，然后沿原路返回做匀加速运动，到达x轴时速度大小仍为v0，设粒子在电场中运动的总时间为t2，加速度大小为a，电场强度大小为E， 有qE＝ma，v0＝at2，得t2＝ 根据题意，要使粒子能够回到P点，必须满足t2≥T0 得电场强度最大值E＝. 【变式训练3-2-4】如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限区域中，有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度的大小为E=k。在第二象限有一半径为R=b的圆形区域磁场，圆形磁场的圆心O1坐标为（－b，b），与两坐标轴分别相切于P点和N点，磁场方向垂直纸面向里。在x=3b处垂直于x轴放置一平面荧光屏，与x轴交点为Q。大量的电子以相同的速率在纸面内从P点进入圆形磁场，电子的速度方向在与x轴正方向成θ角的范围内，其中沿y轴正方向的电子经过磁场到达N点，当速度与x轴正方向成θ=120°角的电子经过磁场后到达Y轴上M点。忽略电子间的相互作用力，不计电子的重力，电子的比荷为。求： （1）圆形磁场的磁感应强度大小； （2）M点的坐标； （3）电子打到荧光屏上距Q点的最远距离。 【答案】（1）B=k；（2）（0，1.5b）；（3） 【解析】（1）由于速度沿y轴正方向的电子经过N点，因而电子在磁场中做圆周运动的半径为 r=b 而 电子的比荷为 解得 B=k （2）速度与x轴正方向成θ角的电子在磁场中做圆周运动的圆心为O′，电子离开磁场时的位置为P′，连接PO1P′O′可知该四边形为菱形，如图甲 由于PO1竖直，因而轨迹半径P′O′也为竖直方向，电子离开磁场时速度一定沿x轴正方向由图甲可知 Y=bsin（θ－90°）＋b=1.5b 可见M点的坐标是（0，1.5b）。 （3）由（2）可知，所有的电子以平行于x轴正方向的速度进入电场中做类平抛运动，设电子在电场中运动的加速度为a，运动的时间为t，竖直方向位移为y，水平方向位移为x，则有 x=v0t eE=ma 联立解得 设电子最终打在荧光屏的最远点距Q点为H，如图乙所示 设电子射出电场时的夹角为α，有 v=at 有 有 当 即 时，H有最大值，由于 所以 【变式训练3-2-5】如图所示，半径为R的圆形边界，圆心为O，半径Oe与直径jp垂直，圆形边界内除扇形区域jOe外，存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，带电平行金属板ab、cd的长度均为R，间距为2R，圆形边界与ac相切于e点，且e点是ac的中点，在平行板的右侧放置一荧光屏，荧光屏与bd平行，且与bd的间距为R。一带电量为、质量为m的粒子甲（不计重力），从p点以指向圆心O的速度垂直进入磁场，然后从e点进入匀强电场，最后从d点射出；再让与粒子甲相同的粒子乙从p点垂直射人磁场，速度的大小与甲相同、方向与甲不同，乙从j点射出磁场，进入电场，最后打在荧光屏上的f点，求： （1）匀强电场的场强； （2）粒子乙从p点到f点的运动时间。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）作出甲粒子的运动轨迹如图所示 轨迹几何关系可知，粒子圆周运动的轨道半径为 粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有 粒子在电场中做类平抛运动，则有 ， 根据牛顿第二定律有 解得 （2）作出乙粒子的运动轨迹如图所示 粒子在磁场中圆周运动的周期 结合解得 粒子在磁场中运动的时间 粒子进入电场前做匀速直线运动，经历时间 解得 粒子在电场中做类平抛运动，根据上述，可知 解得 粒子飞出电场后做匀速直线运动，水平方向有 解得 则粒子乙从p点到f点的运动时间为 解得 【变式训练3-2-6】如图所示，在直角坐标系的范围内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外；在的范围内有与y轴负方向成斜向下的匀强电场。y轴与x轴上有P、Q两点，Q点坐标为。一个质量为m、带电量为的粒子从O点以与x轴正方向夹角为的方向射入磁场中，先后经过P、Q两点又回到O点，粒子重力不计。求： （1）P点的纵坐标和粒子从O射入磁场时的初速度的大小； （2）匀强电场场强E的大小； （3）在此过程中，粒子轨迹经过点的纵坐标范围。    【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】（1）依题意，画出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示    根据几何关系判断，可知粒子在磁场中的运动轨迹所对应圆心角为；利用几何知识，可求得粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 且 所以点的纵坐标为 由粒子在磁场中运动时满足 可得 因为，可得 （2）依题意，可知粒子进入电场后在电场力的作用下做类平抛运动，从到点过程中，有 而 联立可求得 （3）利用几何关系，可得粒子轨迹点纵坐标的最大值为 粒子在电场中做类平抛运动，当粒子的速度方向平行轴时，此时粒子轨迹的纵坐标有最小值。将处速度及电场力分别分解，在垂直轴方向上，则有 则可得 联立可求得 所以，可得粒子运动轨迹纵坐标的范围为 【变式训练3-2-7】利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。在图示的xOy平面(纸面)内，x<x1的区域Ⅰ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，x轴上方的x1<x<x2区域Ⅱ内存在沿y轴负方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从原点O处以大小为v0的速度垂直磁场射入第二象限，方向与x轴负方向夹角θ＝60°，一段时间后垂直x＝x1虚线边界进入电场。已知x1＝L，x2＝L，区域Ⅱ中电场的电场强度E＝。求: (1)区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B; (2)粒子从原点O出发到离开电场的总时间t; (3)粒子离开电场时的速度大小v。 【答案】　(1)　(2)　(3)v0 【解析】　(1)粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，设半径为R，由几何关系可得Rcos θ＝L 又qv0B＝m 解得区域Ⅰ内磁场的磁感应强度大小B＝。 (2)粒子在磁场中运动圆轨迹所对的圆心角为120°，设运动时间为t1，则t1＝T 其中T＝ 粒子在电场中做类平拋运动，设该粒子的加速度大小为a，在电场中运动时间为t2，沿y轴负方向运动的距离为h，则有qE＝ma x2－x1＝v0t2 解得t2＝ 其中h＝a 解得h＝ 由于h<R＋Rcos θ＝3L 粒子从电场边界离开，则总时间t＝t1＋t2 解得t＝。 (3)由动能定理得qEh＝mv2－m 解得v＝v0。 （3） 带电粒子由磁场进入电场做类斜抛运动 【典型例题1】（多选）如图所示，在平面直角坐标系第一、二象限的区域内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第一象限的区域内存在着匀强电场，电场方向与轴负方向成斜向下。位于坐标原点处的粒子源能在平面向第二象限内持续发射质量为、电荷量为的相同粒子，速度方向与轴正方向的夹角，且各个方向的速度大小与的关系为（式中为未知定值）。的粒子恰好通过坐标为的点，经过直线时距轴最远的粒子到达直线时，速度方向刚好沿轴负方向，，不计粒子重力，及粒子间的相互影响，下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电荷 B． C．粒子运动到直线上时与轴的最远距离为 D．匀强电场的电场强度为 【答案】BD 【解析】A. 因沿y轴正向射出的粒子经过P点，则根据粒子在磁场中的偏转方向，结合左手定则可知，粒子带正电荷，A错误； B. 时，此时粒子恰好通过坐标为的点，可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为r0=L 根据 解得，B正确； C. 时，此时粒子做圆周运动的半径最大，粒子运动到直线上时与轴的距离最远，此时 解得 此时圆心恰好在x=L直线上，与轴的最远距离为，C错误； D. 粒子垂直于直线向右进入匀强电场，到达直线时，速度方向刚好沿轴负方向，则水平方向做匀减速运动，则到达x=2L时水平速度减为零，则 其中 解得匀强电场的电场强度为，D正确。 故选BD。 【典型例题2】如图，真空中两个足够大的平行金属板M、N竖直固定，间距为d。M板接地，其左侧整个区域存在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场。M板上O点左侧P点有一粒子源，可不断地沿纸面内任意方向发射速度大小均相同，质量为m，电荷量为q的同种带电粒子。当发射方向与OP的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，带电粒子在板间的运动可视为匀变速运动，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。求： (1)粒子源发射粒子的速度大小； (2)粒子从P点出发，第1次到Q的可能时间； (3)粒子打到M板右表面的位置与Q点的最小距离。 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【解析】（1）由几何关系得 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期为 若垂直穿过M，则由图1知磁场中 则有 若如图2射入，则有， （3）随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向右的电场强度增加，粒子做减速运动加速度最大时，时间最短，此时满足 因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动如图所示 由几何关系可知此时粒子进入两板间时的速度方向与M板夹角为，则在两板间运动时间 则粒子打到M板右表面的位置与Q点的最小距离为 解得 【典型例题3】在如图所示的坐标系中，第一和第二象限(包括y轴的正半轴)内存在磁感应强度大小为B、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场；第三和第四象限内存在平行于y轴正方向、大小未知的匀强电场．p点为y轴正半轴上的一点，坐标为(0，l)；n点为y轴负半轴上的一点，坐标未知．现有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子由p点沿y轴正方向以一定的速度射入匀强磁场，该粒子经磁场偏转后以与x轴正半轴成45°角的方向进入匀强电场，在电场中运动一段时间后，该粒子恰好垂直于y轴经过n点．粒子的重力忽略不计．求： (1)粒子在p点的速度大小； (2)第三和第四象限内的电场强度的大小； (3)带电粒子从由p点进入磁场到第三次通过x轴的总时间． 【答案】(1)　(2) (3)(＋2＋2) 【解析】粒子在复合场中的运动轨迹如图所示． (1)由几何关系可知 rsin 45°＝l 解得r＝l又因为qv0B＝m，可解得 v0＝. (2)粒子进入电场在第三象限内的运动可视为平抛运动的逆过程，设粒子射入电场坐标为(－x1,0)，从粒子射入电场到粒子经过n点的时间为t2，由几何关系知x1＝(＋1)l，在n点有v2＝v1＝v0 由类平抛运动规律有 (＋1)l＝v0t2 v0＝at2＝t2 联立以上方程解得t2＝，E＝. (3)粒子在磁场中的运动周期为 T＝ 粒子第一次在磁场中运动的时间为 t1＝T＝ 粒子在电场中运动的时间为 2t2＝ 粒子第二次在磁场中运动的时间为 t3＝T＝ 故粒子从开始到第三次通过x轴所用时间为 t＝t1＋2t2＋t3＝(＋2＋2). 【变式训练3-3-1】如图所示，在xOy平面的第一、二象限内有垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在第三、四象限范围内有沿x轴正方向的匀强电场，在坐标原点O有一个粒子源可以向x轴上方以不同速率向各个方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，x轴上的P点坐标为，y轴上的Q点坐标为。不计粒子的重力及粒子之间的相互作用。下列说法中正确的是（    ） A．所有经过P点的粒子最小速度为 B．若以最小速率经过P点的粒子又恰好能过Q点，则电场强度大小为 C．沿不同方向进入匀强磁场的粒子要经过P点，速度大小一定不同 D．所有经过P点的粒子在匀强电场中运动的时间均相同 【答案】AD 【解析】A．根据洛伦兹力充当向心力有 可得 而所有通过P点的粒子，OP为其轨迹上的一条弦，可知，在粒子比荷相同的情况下，粒子的发射速度越大，粒子在磁场中运动的轨迹半径越大，因此当OP为粒子轨迹的直径时，经过P点的粒子半径最小，最小半径 可得最小入射速度 故A正确； B．以最小速率经过P点的粒子入射方向沿着轴正方向，出射方向过P点沿着轴负方向，即进入电场时垂直与电场方向，可知粒子进入电场后做类平抛运动，竖直方向做匀速直线运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，根据平抛运动的研究方法可得 ， 联立解得 故B错误； C．如图1所示 沿图1所示轨迹运动的粒子，进入磁场的方向不同，但都经过了P点，且粒子入射速度大小相同，故C错误； D．设沿不同方向进入磁场的粒子经过P点的速度方向与轴的夹角为，如图2所示 根据几何关系可得 ， 则有 可知粒子出磁场时垂直电场方向的分速度为定值，则粒子穿过电场的过程中沿轴负方向做匀速直线运动，有 可得 因此，所有经过P点的粒子在匀强电场中运动的时间均相同，故D正确。 故选AD。 【变式训练3-3-2】如图所示，平面直角坐标系中，y轴右侧有三个足够长的区域，区域边界线均与y轴平行其中Ⅰ、Ⅲ区域内存在垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，其宽度均为；Ⅱ区域内存在沿着y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，其宽度为。P为Ⅲ区域右边界线与x轴交点。一带负电粒子以一定的速度从O点出发沿x轴正方向射入磁场，一段时间后该粒子恰好以从O点出发时的速度从P点沿x轴正方向离开Ⅲ区域。不计粒子重力。 （1）定性画出粒子在三个区域中的运动轨迹； （2）求粒子在Ⅱ区内的运动时间； （3）若粒子刚进入Ⅱ区时的速度与y轴正方向夹角为，求粒子在磁场中运动的总时间t。    【答案】（1）见详解；（2）；（3） 【解析】（1）粒子运动轨迹作图如下    （2）在Ⅰ中 由几何关系，有 在Ⅱ区中，y方向上粒子做匀减速运动，有 且有 ， 联立解得    （3）在Ⅰ区的运动时间 在Ⅱ区的水平分运动 在Ⅰ区内，由几何关系有 解得在磁场中运动总时间    【变式训练3-3-3】如图所示，在直角坐标系内，OP射线(O为顶点)与y轴夹角为30°,OP与y轴所围区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B, OP 与x轴之间存在匀强电场，方向沿x轴负方向。一个带电粒子经加速电压U加速后，以与OP平行的速度从N点进人磁场, ON间距为2d,带电粒子从OP上的某点A (图中未画出)垂直于OP离开磁场，从x轴上的某点C (图中未画出)垂直于x轴离开电场,不计粒子的重力。求: (1)带电粒子的电性及比荷; (2)带电粒子在第一象限中的运动时间; (3)匀强电场的电场强度。 【答案】(1) 正电 (2) (3) 【解析】：（1）磁场方向垂直纸面向外，粒子垂直于OP离开磁场， 则所受洛伦兹力在速度方向的右侧，可知粒子带正电 画出运动轨迹，由几何关系可得 在磁场中由牛顿第二定律可得 在电场中加速可得 联立②③④式解得 （2） 由④⑤式可得粒子进入磁场时的速度为 此后进入电场，当出射方向和轴垂直时，可知粒子在方向的分速度减为零，沿y轴方向可视为做匀速直线运动。垂直OP出射时，与竖直方向夹角为60°， 在磁场中做匀速圆周运动，运动路径为四分之一圆周，在磁场中的运动时间 从OP上的出射点到O点的距离为 则在电场中的运动时间为 在第一象限中运动的总时间为 （3）在方向上做匀减速运动 垂直出射，方向速度恰好减到0， 联立可得 【变式训练3-3-4】如图所示， 的区域存在沿x轴负方向的匀强电场，的区域存在垂直xOy纸面向外的匀强磁场，P（，0）点处有一个粒子源，可以向的区域发射质量为m，电荷量为q，速度大小为的带正电粒子，在所有到达y轴的粒子中，位置M（0，）点的粒子与P点距离最远，不计重力及粒子间的相互作用。 （1）求磁感应强度大小，及粒子进入电场前，在磁场中运动的最短时间； （2）若第一次从M点射出磁场的粒子，第二次从 OM的中点N射出磁场，求电场强度大小。    【答案】（1），；（2） 【解析】（1） M点为粒子到达的最远点，则PM为粒子运动轨迹的直径，可得 粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力可得联立解得运动时间最短的粒子为从坐标原点O出射的粒子，该粒子对应的弧长最短，由于可知最短时间轨迹对应的圆心角为60°，则有 （2）若第一次从M点射出磁场的粒子，第二次从 OM的中点N射出磁场，如图所示    记粒子由y轴上的Q点回到磁场，由粒子在电场中运动的对称性可知，粒子在Q点的速度大小为，方向与y轴负方向的夹角为60° ；由几何关系可知弦长可得电场中竖直方向上的位移为在电场中竖直方向有水平方向上有， 联立解得 【变式训练3-3-5】如图，水平放置的平行栅极板M带正电，N带负电，间距为d，电压，P处有一质量为m、电荷量大小为q的带负电离子，以v0速度沿着与竖直方向成角θ（未知）垂直磁场射向板M上方的匀强磁场B1区，经过匀强电场区域后进入N下方的匀强磁场B2区，恰好没从下边界Q射出，并刚好能直接返回到P处。已知磁场方向均垂直纸面向里，，下边界Q到极板N的距离为3d，离子在经过栅极板时均没有与栅极板相碰，不计离子重力。求： (1)离子进入板N下方磁场时速度v的大小； (2)sinθ的大小； (3)极板M上方磁场磁感应强度B1的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据动能定理得。代入数据得 （2）根据题意，可知粒子运动的轨迹如图所示 设进入下方磁场时的速度与竖直方向的夹角为α，运动的半径为r2，则 又有 解得，得 在M、N间的电场区域，解得 （3）在电场区间运动时间设为t，由，解得 在电场区间运动时，水平方向的位移 设在上方磁场区间，粒子运动的轨道半径为r1 由轨迹图和几何关系可知，解得 由，解得 【变式训练3-3-6】如图所示，在平面内轴左侧存在平行于纸面范围足够大的匀强电场（大小未知）。一质量为、电荷量为的电子（重力不计），从轴上的点以速度、与轴负方向夹角入射，之后电子从轴上的点以的速度沿轴正方向射入第一象限，在第一象限有一垂直于纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，分布在一个半径为的圆形区域内（图中未画出），且圆形区域的左侧与轴相切，圆形区域所处的位置恰好能够使得电子穿过圆形区域时速度的偏转角度最大。电子从圆形区域射出后，从轴上点射入轴下方，在轴下方存在范围足够大、方向均沿轴负方向的匀强电场（大小未知）和匀强磁场（大小未知），电子在轴下方运动一段时间后能够恰好返回点，求： （1）、两点间的电势差； （2）点的纵坐标； （3）电子在圆形磁场区域中运动的时间； （4）的可能值。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）到由动能定理得 解得 （2）将点速度沿水平方向和竖直方向分解得 又 解得竖直位移 则点纵坐标值 （3）由洛伦兹力提供向心力 解得 偏转角最大则圆心角最大 此时运动时间 （4）将点速度分解为 电场力在竖直方向，则水平方向速度不变，则有 绕点垂直于纸面方向做匀速圆周运动，周期为 竖直方向做匀速直线运动，返回点时 且 则有 解得 ，（） 【变式训练3-3-7】探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。 （1）求孔C所处位置的坐标； （2）求离子打在N板上区域的长度L； （3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压； （4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时， 【解析】1）速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图 由洛伦兹力提供向心力 解得半径 孔C所处位置的坐标， （2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力 解得半径 若要能在C点入射，则由几何关系可得 解得 如图 由几何关系可得 （3）不管从何角度发射 由（2）可得 根据动力学公式可得， 联立解得 （4）孔C位置坐标x， 其中 联立可得， 解得 在此范围内，和（3）相同，只与相关，可得 解得 根据动力学公式可得， 解得 【变式训练3-3-8】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，x轴上方区域有垂直于纸面向里的磁场，磁感应强度为B，x轴下方区域有水平向左的匀强电场，P点是y轴上的一点。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v从坐标原点O平行于纸面射入磁场，方向与x轴负向的夹角为30°，从A点射出磁场。粒子在电场中的运动轨迹与y轴相切于P点。不计粒子的重力。求： （1）A、O两点的距离； （2）粒子从O点到A点所用的时间； （3）粒子从A点到P点电场力做的功。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）带电粒子在磁场中做圆周运动，则带电粒子带负电，如图所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中转过的角度为 根据洛伦兹力提供向心力，可得 A、O两点的距离为 （2）根据 可得粒子从O点到A点所用的时间为 （3）粒子在电场中的运动轨迹与y轴相切于P点，则 根据动能定理可得 解得 【变式训练3-3-9】如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧有1、2、3…足够多个等宽区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为；偶数区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为（未知）。圆上M、N两点与圆心共线，与区域1左边界垂直。有一个带电粒子由点进入圆形磁场区域，经过点进入区域1，速度大小为，方向与左边界夹角为斜向下，进入区域2时与左边界夹角为斜向下，该粒子恰好不能从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)每个区域的宽度； (3)磁感应强度的大小； 【解析】(1) (2) (3) 【解析】（1）带电粒子在圆形区域做圆周运动，带电粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系得 带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，满足 两式联立，解得带电粒子的比荷 （2）设带电粒子进入区域2的速度为，因粒子在区域1运动时竖直方向速度大小不变，故 根据动能定理有 解得每个区域的宽度 （3）设在区域14右边界，速度沿竖直方向且速度大小为，带电粒子由区域1到区域14，根据动能定理有 平行边界方向，根据动量定理有 整理得 解得 【变式训练3-3-10】如图所示，两个半圆区域abcd、a'b'c'd'中有垂直纸面向里的匀强磁场，两圆的半径分别为R1和R2，ab与a'b'间有一个匀强电场，电势差为U，cd与c'd'间有一个插入体，电子每次经过插入体速度减为原来的k倍(k<1)。现有一个质量为m、电量为e的电子，从cd面射入插入体，经过磁场、电场后再次到达cd面，速度增加，多次循环运动后，电子到达cd的速度大小达到一个稳定值，忽略相对论效应，忽略电子经过电场与插入体的时间。求： (1)(电子进入插入体前后在磁场中的半径r1、r2之比； (2)电子多次循环后到达cd的稳定速度v； (3)若电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界上的d点，求电子从P到d的时间t。 【答案】　(1)1∶k (2)，方向垂直于cd向左 (3) 【解析】　(1)设电子进入插入体前后的速度大小分别为v1、v2，由题意可得：v2＝kv1 电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得：evB＝m 解得：r＝ 可知在磁场中的运动半径r∝v， 可得：r1∶r2＝v1∶v2＝1∶k (2)电子多次循环后到达cd的稳定速度大小为v，则经过插入体后的速度大小为kv， 电子经过电场加速后速度大小为v， 根据动能定理得：Ue＝mv2－m(kv)2 解得：v＝， 方向垂直于cd向左。 (3)电子到达cd中点P时速度稳定，并最终到达边界上的d点，由P点开始相继在两个半圆区域的运动轨迹如图所示。 根据(1)(2)的结论，可得电子在右半圆区域的运动半径为： r＝ 电子在左半圆区域的运动半径为kr 图中所示的Δx＝2r－2kr P点与d点之间的距离为：Pd＝(R2－R1) 电子由P点多次循环后到达d点的循环次数为：n＝ 电子在左、右半圆区域的运动周期均为T＝ 忽略电子经过电场与插入体的时间，则每一次循环的时间均等于T，可得电子从P到d的时间为：t＝nT＝。 【变式训练3-3-11】在空间中一足够长圆柱形区域内存在匀强磁场，磁场的方向沿轴线向右，磁感应强度为，在轴线上有一粒子源，可以每秒发射N个质量为m，电荷量为＋q，速度为的粒子。不计重力和粒子间的相互作用力。 （1）如图1所示，使粒子源沿垂直轴线的方向发射粒子，粒子恰好不会飞出磁场区域，求磁场区域的半径R； （2）如图2所示，在磁场区域半径满足（1）的前提下，在右侧磁场范围内垂直轴线放一块足够大收集板A，将大量粒子沿与轴线成向右射出，为保证所有粒子在A上均汇聚于一点，求粒子源到极板A的水平距离； （3）如图3所示，大量粒子沿与轴线成向右均匀射出，粒子源到A的距离满足（2）问，在A的中心挖一小孔，可使粒子通过。将收集板B平行放置于A右侧，并在AB极板间加上电压。粒子打在B板上即被完全吸收，求收集板B所受的作用力F与极板间电压的关系； （4）实验室中，常利用亥姆霍兹线圈产生匀强磁场，当一对亥姆霍兹线圈间的距离增大时，即可生成磁感应强度随空间缓慢变化的磁场，如图4所示，其磁感应强度两端强，中间弱。带电粒子可以在端点处“反射”而被束缚其中，即“磁约束”。粒子的运动满足如下规律：带电粒子在垂直磁场方向的速度分量与此处的磁感应强度B之间满足：，现假设该磁场中的最大磁感应强度和最小磁感应强度之比为，在该磁场的中部最弱区域有一带电粒子源，与轴线成发射粒子束，要使这些粒子能被束缚在该磁场区域，求的最小值。 【答案】（1）；（2），；（3）；（4） 【解析】（1）由于 可得 （2）粒子沿轴线做匀速直线运动，在垂直轴线方向上做圆周运动沿不同方向出射的粒子要汇聚于一点，只能汇聚在轴线上，恰好完成整数次圆周运动 ， （3）在极板间，沿轴线做匀减速直线运动，垂直轴线方向上做圆周运动 在垂直轴线方向上，速度分量大小不变 在沿轴线方向上 在垂直B板方向上 在平行B板方向上，因为粒子沿各个方向均匀射出，对B板的作用力合力为零，所以 （4）要束缚粒子，磁场最强处应该为粒子的位移极值点，也就是速度的水平分量为0的点，满足 对磁场最强和最弱点应用公式 可得 【变式训练3-3-12】利用电磁场研究带电的微观粒子是物理学家常用的方法。真空中一实验装置如图甲所示（磁场未画出），其截面图如图乙所示，区域I为足够大的水平平行金属板区域，极板间距为d，极板间电压U恒定，同时板间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，区域II内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度（大小未知）。极板和光屏在磁场方向上均足够长。当频率为的入射光照射到竖直放置的金属板表面MN时，金属板表面MN逸出大量速率不同、沿各个方向运动的光电子。区域I由于速度选择器的作用，只有匀速运动的粒子能够离开区域I并进入区域II，最后全部打在水平光屏上，光屏亮光区域在截面图上的长度PQ为。已知逸出的光电子最大速率为，，元电荷为e，光电子质量为m，普朗克常量为h，忽略相对论效应，不计光电子重力和光电子之间相互作用。求： （1）该金属的逸出功W和出区域I的光电子的最小速度v； （2）区域II中磁场的磁感应强度； （3）区域II中，在如图乙截面内粒子到达区域的面积S； （4）区域II中，光电子运动位移的最大值。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）由爱因斯坦光电效应方程可得 解得逸出功 从平行板区域射出的粒子满足洛伦兹力与电场力平衡 解得 （2）光电子在区域II中截面内的运动轨迹如图所示 光电子运动的半径为r，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力 解得 （3）根据题意分析可知，截面内磁场的最小面积为一个四分之一圆形区域和矩形区域，粒子在磁场中扫过的面积为 代入数据可得 （4）光电子在截面内的最大位移为 最大时，x1最大，光电子在磁场中运动时间最长，沿磁场向的位移最大，总位移最大，由几何关系可得 则最大值为，故 光电子在磁场中运动的周期为 光电子在磁场中运动的最长时间为 光电子在沿磁场方向的最大速度 光电子沿磁场方向的最大位移为 光电子运动位移最大时，在垂直磁场方向的偏转角度为 可得 题型04：带电粒子在电场、磁场中的交替运动 【典型例题1】现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动，如图所示，真空中存在着多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场，宽度均为d，电场强度为E，方向水平向右；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放，粒子始终在电场、磁场中运动，不计粒子重力及运动时的电磁辐射。粒子从第n层磁场右侧边界穿出时，速度的方向与水平方向的夹角为θn，求sin θn。 【答案】　B 【解析】　设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，如图所示， 在电场中，根据动能定理有 nqEd=m 解得vn= 在磁场中由动量定理有qvxBΔt=mΔvy 即qBΔx=mΔvy 两边累加得qBx=mvy，其中x为在磁场中的水平位移，x=nd 联立得vy=，sin θn= 解得sin θn=B。 用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题 假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为+q。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。 沿两轴方向的洛伦兹力分力Fx=qvyB Fy=qvxB 两个方向分别列动量定理 -qvyBΔt=mΔvx qvxBΔt=mΔvy 即-qBΔy=mΔvx qBΔx=mΔvy 【典型例题2】（多选）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一、二象限存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，第四象限存在着沿y轴正方向的匀强电场，场强大小未知。一带正电的粒子从y轴上的M点以速度沿x轴正方向开始运动，从x轴上的N点进入磁场后恰好经O点再次进入电场，已知MN两点的连线与x轴的夹角为，且，带电粒子的质量为m，电荷量为q，不计带电粒子的重力。求：（     ） A．粒子第一次经过N点的速度大小为 B．粒子从N点运动到O点的过程中，洛伦兹力的冲量 C．电场强度E的大小 D．粒子连续两次通过x轴上同一点的时间间隔为 【答案】CD 【解析】A．粒子在第四象限的匀强电场中做类平抛运动，设粒子从点运动到点的时间为，根据运动学公式分别有， 其中为粒子在点沿轴正方向的分速度，根据几何关系有 联立解得 代入解得 粒子第一次经过点的速度大小为 解得 由此可知粒子第一次经过点的速度大小与选项不符，故A错误； B．粒子进入磁场后做匀速圆周运动，经点再次进入电场，根据运动的对称性可知，粒子在点的速度大小为，方向与轴正方向成斜向下，即速度的轴分量为，轴分量为。粒子从点运动到点的过程中，在轴方向和轴方向的动量变化量分别有， 根据动量定理可知，洛伦兹力的冲量大小等于动量变化量的大小，即 解得 由此可知洛伦兹力的冲量大小与选项不符，故B错误； C．由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的弦长为，弦与进入磁场时速度方向的夹角为，根据几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径为 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 联立解得 在匀强电场中，根据牛顿第二定律和运动学公式分别有，， 联立解得 由此可知电场强度的大小与选项相符，故C正确； D．粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为，所以在磁场中单次运动的时间为 根据周期公式有 联立解得 粒子从点再次进入电场后，在轴方向做匀速直线运动，在轴方向做先减速后反向加速的匀变速直线运动，设粒子再次回到轴上经历的时间为，根据运动学公式有 解得 由前面的分析可知 联立解得 粒子在电场中经过时间后，沿轴方向的位移为 代入数据解得 即粒子在处从电场进入磁场，此时速度大小和方向与在点第一次进入磁场时完全相同。粒子在磁场中再次做圆周运动，经过时间后，沿轴负方向前进，恰好再次回到点。由此可知，粒子连续两次通过点的时间间隔为 解得 同理连续两次通过轴上其他同一点（如处）的时间间隔均为该值，可知与选项相符，故D正确。 故选CD。 【典型例题3】如图所示，xOy平面直角坐标系中，在第二象限内存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，O1为圆心，半径为R，磁场边界与两坐标轴相切；y≤0区域内交替分布宽度均为d的匀强电场和匀强磁场，其边界均与x轴平行，匀强电场的电场强度大小为E0，方向沿y轴负方向，匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向垂直于纸面向里。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，从圆形边界上的P点以初速度v0射入磁场，PO1与x轴平行，v0与PO1夹角α=60°。粒子射出圆形磁场瞬间，在y>0区域内加上沿y轴正方向的匀强电场(图中未画出)。已知圆形磁场的磁感应强度大小为，y>0区域内匀强电场的电场强度大小为，不计粒子重力。 (1)求粒子在圆形磁场区域做圆周运动的半径； (2)求粒子离开圆形磁场区域后，到达x轴的速度大小； (3)求粒子穿出y≤0区域内第二个电场时速度方向与竖直方向夹角的正弦值； (4)若粒子到达y≤0区域内某个磁场下边界时，速度方向恰好沿x轴正方向，求此时速度大小。 【答案】　(1)R　(2)0　(3)　 (4) 【解析】　(1)粒子在第二象限圆形磁场中， 有qv0B1=m 其中B1= 解得r=R (2)如图甲所示 由几何关系得粒子射出圆形磁场时距离x轴d1=R(1-cos α) 粒子从射出圆形磁场到x轴，由动能定理得-qE1d1=mv2-m 解得v=0 (3)粒子在y≤0区域第一个电场中加速，由动能定理得qE0d=m 粒子在y≤0区域第一个磁场中，有qv1B0=m 如图乙所示 由几何关系得r1sin θ1=d 粒子在y≤0区域经历两个电场加速，有2qE0d=m，v1sin θ1=v2sin θ2 解得sin θ2= (4)设粒子在第n个磁场下边界的速度为vn，粒子在y≤0区域整个向下运动过程中，由动能定理得nqE0d=m 水平方向由动量定理得qB0t=mvn 其中t=nd 解得vn= 【典型例题4】如图所示，在一直角坐标系的区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小，在的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小。在点处有一个粒子源，向第一象限内各方向发射电量大小、质量、速度的带负电粒子，不计粒子重力和空气阻力。 (1)求带电粒子在电场中的加速度大小； (2)若带电粒子射入电场时速度沿x轴正方向，求带电粒子第一次经过x轴的位置到O点的距离； (3)求带电粒子首次进入磁场时沿x方向的最大位移，以及该条件下在电场的运动时间和末速度； (4)若带电粒子射入电场时速度沿x轴正方向，设带电粒子第一次经过x轴的位置为C，从此时开始计时，求带电粒子再次到达C点所需要的时间。 【答案】(1) (2) (3)；，，方向与x轴正方向夹角为，斜向右下 (4) 【解析】（1）在电场中，由牛顿第二定律可得 解得粒子在电场中的加速度大小为 （2）带电粒子做类平抛运动，则有， 代入数据解得 （3）可将粒子的类斜抛运动分解为沿方向的匀速直线运动与沿y轴负方向的匀加速直线运动，如图1所示 设粒子运动到x轴时水平位移为x，则有 化简得 该方程一定有解，则判别式 即 可求得 即沿x方向的最大位移为 此时 射入粒子的时候粒子速度方向与x轴正方向之间夹角设为，则有即 则粒子的速度大小为 （4）设粒子第一次从C点经过x轴，速度v与x轴夹角为，则有 解得 则 即 在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 由图示几何关系可知在磁场中沿x轴负方向的位移为 故带电粒子能经过坐标原点，且经过时与x轴正方向夹角为 在电场中，则有 解得 则， 因此 可知在磁场中运动3次，电场中运动2次刚好经过C点在磁场中粒子运动时间为，， 【变式训练4-1】如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，已知左侧匀强电场的电场强度大小为E、方向水平向右，宽度为L;中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外;右侧匀强磁场的磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向里。一个带正电的粒子(质量为m、电荷量为q、不计重力)从电场左边缘O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了O点，然后重复上述运动过程，则中间磁场区域的宽度d和带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点时所用的时间t分别是(　　) A.、2 B.、2 C.、2 D.、2 【答案】　B 解析　带电粒子在电场中加速过程，根据动能定理得qEL＝mv2，得v＝，粒子在两磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律qvB＝m，得r＝。画出粒子的运动轨迹，如图所示，三段圆弧的圆心构成的三角形是等边三角形，边长为2r，故中间磁场的宽度为d＝rsin 60°＝，粒子在电场中做匀变速直线运动，加速阶段由运动学公式L＝a，根据牛顿第二定律得a＝，解得t1＝，在中间磁场中所用时间t2＝2×，在右侧磁场中的运动时间t3＝，总时间为t＝2t1＋t2＋t3＝2，故B正确。 【变式训练4-2】如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，电场强度沿y轴负方向;在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y＝h处的P1点时速率为v0，方向沿x轴正方向，然后经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h处的P3点，不计重力，求: (1)粒子到达P2点时速度v的大小和方向; (2)磁感应强度B的大小; (3)粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间。 【答案】(1)v0，方向与x轴正方向成45°斜向右下方　(2)　(3) 【解析】(1)粒子在电场中做类平抛运动，设粒子到达P2点时速度v1与x轴正方向的夹角为α，根据平抛运动的推论得tan α＝ 解得α＝45° 粒子到达P2点时速度v的大小为v＝v0 粒子到达P2点时速度v的大小为v0，方向与x轴正方向成45°斜向右下方。 (2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得qvB＝m P2P3是带电粒子在磁场中圆周运动的直径，根据勾股定理得 (2h)2＋(2h)2＝(2r)2 解得r＝h，B＝。 (3)粒子运动轨迹如图所示，粒子从P1到P2的时间为t1＝ 粒子从P2第一次回到x轴的时间t2＝T T＝，解得t2＝ 粒子从P1运动到第二次通过P2点所用的时间 t＝3t1＋2t2 解得t＝。 【变式训练4-3】如图所示，在xOy平面内虚线OM与x轴负方向的夹角为45°，虚线OM右侧区域Ⅰ内存在垂直xOy平面向里的匀强磁场，虚线OM左侧区域Ⅱ内存在沿y轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从原点O沿x轴正方向以速度v0射入磁场，此后当粒子第一次穿过边界线OM后恰好能到达x轴上的P点。原点O与P点间的距离为d，不计粒子受到的重力，求: (1)匀强磁场的磁感应强度大小B; (2)匀强电场的电场强度大小E; (3)粒子从O点射出至第三次穿过边界线OM所用的时间t总。 【答案】　(1)　(2)　(3) 【解析】　由题意，可画出粒子在磁场和电场中的运动轨迹如图所示。 (1)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，有 qv0B＝m，r＝d 解得B＝。 (2)粒子在电场中做匀减速运动，由动能定理得 －qEd＝0－m 则E＝。 (3)粒子在磁场中运动的周期为T＝ 粒子第一次在磁场中运动的时间为t1＝T＝ 在电场中的加速度为a＝ 粒子第一次在电场中来回的时间为 t2＝2× 粒子第二次在磁场中运动的时间为t3＝T＝ 粒子从O点射出至第三次穿过边界线OM的时间t＝t1＋t2＋t3＝(π＋2)。 【变式训练4-4】如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子从磁场中的a点以速度v0向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为60°，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b到水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为s=3h。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以v0竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。(一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度) 【答案】　(1)　(2)　(3) 【解析】(1)根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图甲所示 由题意可知θ=60° 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有r=rcos θ+h 解得r=2h 由牛顿第二定律有qv0B=m 解得B= (2)根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为v0，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得AB=s-2rsin θ=h 在电场中，粒子在垂直电场方向做匀速直线运动，则粒子在电场中的运动时间t== 粒子沿电场方向做匀变速直线运动，由牛顿第二定律有qE=ma 由运动学公式有-v0sin θ+at=v0sin θ 联立解得E= (3)作出粒子在磁场和电场中运动的部分轨迹，如图乙所示 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，粒子在磁场、电场中的运动具有周期性，在一个实际运动的周期T'内，粒子在磁场中运动的时间t1=T+T=T① T==×=② 联立①②解得t1= 将B=代入可得t1= 粒子在电场中运动一次的时间t2满足v0=× 将E=代入可得t2= 根据图乙中的几何关系可知，一个周期内粒子运动的位移(以向右为正方向)x=OO1=h 说明经过一个周期后粒子运动到初始位置右侧，则漂移速度大小v===。 两边累加得-qBy=mvx1-mvx0 qBx=mvy1-mvy0。 使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。 【变式训练4-5】如图所示，在真空坐标系xOy中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向竖直向下的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场，调节电场和磁场大小，可以控制飞出的带电粒子的速度大小及方向。现将质量为：m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以速度大小为、方向与y轴负方向的夹角为从坐标原点O进入区域，区域存在磁感应强度大小、方向垂直xOy平面向里的匀强磁场，不计粒子重力。求： （1）第二象限中电场强度大小与磁感应强度大小的比值； （2）粒子从坐标原点O第1次经过x轴到第2次经过x轴的时间。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）粒子从P到Q，电场力做正功，洛仑兹力不做功，由动能定理得 解得 根据题意粒子速度与y轴负方向的夹角为 粒子在经过磁场时的水平方向上，由动量定理 即 解得 故第二象限中电场强度大小与磁感应强度大小的比值为 （2）粒子在区域做匀速圆周运动，根据运动的对称性知，粒子从坐标原点O第1次经过x轴到第2次经过x轴偏转的圆心角为 周期为 经过的时间 【变式训练4-6】一质量为m、电荷量为的带电粒子始终在同一水平面内运动，其速度可用图示的直角坐标系内，一个点表示，、分别为粒子速度在水平面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P位于图中点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P点沿线段ab移动到点；随后粒子离开电场，进入方向竖直、磁感应强度大小为B的匀强磁场，P点沿以O为圆心的圆弧移动至点；然后粒子离开磁场返回电场，P点沿线段ca回到a点。已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等。不计重力。求 （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期； （2）电场强度的大小； （3）P点沿图中闭合曲线移动1周回到a点时，粒子位移的大小。 【答案】见解析 【解析】（1）根据题述，粒子出发时P位于图中点，粒子在水平方向的匀强电场作用下运动，P点沿线段ab移动到点；可知带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时的速度v==v0， 由 qvB=m 解得 r= 周期 T=2πr/v= （2）根据题述，已知任何相等的时间内P点沿图中闭合曲线通过的曲线长度都相等，由于曲线表示的为速度相应的曲线，所以P点沿图中闭合曲线的加速度相等，故可得 = 解得 E= （3）根据题意分析，可知，P点从b到c，转过270°。P点返回a点时，根据对称性可知与初始位置等高，从a到b过程中，粒子做类平抛运动，t=v0， 沿y方向位移L=v0t。 联立解得 L= 根据几何知识可知 bc之间距离xbc=r= 由粒子在两次电场中运动的对称性可知移动一周时粒子位移大小为xad= xbc-2L= 【变式训练4-7】如图所示，以点为圆心、半径为的圆形区域内存在竖直向下的匀强电场；水平直线边界上方、圆形电场以外的区域存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为。为圆与边界的切点，为圆的最高点，、为圆上与圆心等高的两点。从点右侧某区域垂直于发射不同速率的离子，所有离子均可沿水平方向射入电场区域，离子的比荷为，不计离子重力及离子间的相互作用力，求： (1)离子的电性； (2)若从点射入电场的离子恰好可从点射出电场，则匀强电场的电场强度的大小为多少； (3)若将水平直线上方的磁场方向变为垂直纸面向里，并调整上方磁场磁感应强度的大小，同时调整电场强度的大小，使得从距点右侧处发射的离子可依次经过点与点，则离子在上方区域运动的总时间为多少。 【答案】(1)离子带负电 (2) (3) 【解析】（1）由题意，所有离子在磁场中均向左偏转，进入磁场时所受洛伦兹力向左，由左手定则可知离子带负电； （2）离子从边界进入磁场到点做匀速圆周运动，根据几何条件，离子在磁场中的轨迹半径为，如图所示 由洛伦兹力提供向心力 离子从点到点做类平抛运动 平行电场方向 垂直电场方向 联立解得， 最终解得电场强度 （3）离子从距点右侧处射入磁场，做匀速圆周运动，半径为，如图所示 根据几何关系有， 根据三角函数关系有 解得 离子做匀速圆周运动周期为，运动时间为，洛伦兹力提供向心力，有 解得 周期 运动时间 离子从点进入电场到点做类平抛运动，运动时间为，与的夹角 垂直于电场方向 沿电场方向 根据动能定理有 从点离开电场的速度大小为，方向与夹角为，速度满足 解得，， 离子从点离开电场进入直线上方磁场做匀速圆周运动，运动半径为，周期为，运动时间为，根据几何条件得 周期 时间 解得 离子从点返回电场到点做类斜抛运动，运动时间为，从点垂直电场离开，据运动的对称性 离子第二次离开电场，从点到边界做匀速圆周运动，用时，据运动的对称性 总时间 解得 题型05：带电粒子在组合场应用实例模型 （一）质谱仪 【典型例题1】质谱仪是分析同位素的重要工具，其原理如图所示。氖元素的两种同位素粒子、质量不同、电荷量相同。、两种粒子从容器下方的小孔，飘入电势差为的加速电场，其初速度可视为，然后经过沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为的匀强磁场。、两种粒子分别打到照相底片上的和处，关于、两种粒子在磁场中的运动，下列说法正确的是。 A.两种粒子的动能不相同 B.粒子的速度大于粒子的速度 C.粒子受到的洛伦兹力大于粒子受到的洛伦兹力 D.粒子的运动时间大于粒子的运动时间 【答案】D 【解析】A．设两粒子的电荷量为，粒子在电场中加速有 两粒子电荷量相同，动能相同。A错误； B．离子在电场中加速有 解得 在磁场中偏转有 解得 ，a、b两种粒子分别打到照相底片D上做圆周运动的M和N处，a做圆周运动的半径大于b做圆周运动的半径。两粒子质量关系 由 可知 B错误； C．a粒子的速度小于b粒子的速度，两粒子电荷量相同，a粒子受到的洛伦兹力小于b粒子受到的洛伦兹力。C错误； D．a粒子的运动时间 b粒子的运动时间 又 D正确。 故选D。 【典型例题2】某质谱仪简化结构如图所示，在xOy平面的y>0区域存在方向垂直纸面向外、大小为B的匀强磁场，在x轴上放置照相底片，SO间有电压为U的辐射状加速电场，大量的氢同位素、离子从圆弧S处飘入，经过加速后，从坐标原点且与y轴成角的范围内垂直磁场方向射入磁场，最后均打到照相底片上。已知、两种离子打在照相底片上的区域刚好不重叠，不考虑离子间的相互作用，的质量为m，电量为q，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】离子经加速电场，有 离子在匀强磁场中，有 联立可得 由此可知，做圆周运动的半径应为做圆周运动半径的倍，两种离子打在照相底片上的区域刚好不重叠，则打在底片上距离O点的最远位置与打在底片上距离O点的最近位置相同，即， 解得 故选C。 【典型例题3】如图所示，一质谱仪由加速电场、静电分析器、磁分析器构成。静电分析器通道的圆弧中心线半径为R，通道内有均匀辐向电场，中心线处的电场强度大小为E；半圆形磁分析器中分布着方向垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场。要让质量为m、电荷量为q的粒子（不计重力），由静止开始从M板经加速电场加速后，沿圆弧中心线通过静电分析器，再由P点垂直磁场边界进入磁分析器，最终打到胶片上，则（　　） A. 加速电场的电压U需满足的关系为 B. 若，则M板电势低于N板电势，辐向电场的方向由圆心指向圆外，且磁分析器中磁场方向垂直于纸面向外 C. 电荷量相同的粒子都能打在胶片上的同一点 D. 粒子打在胶片上的位置Q到P点的距离为 【答案】D 【解析】．设离子进入静电分析器时速度为，离子在静电分析器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，根据牛顿第二定律得 离子在加速电场中加速的过程中，由动能定理得 解得 ，故A错误； 由题意可知，若，则加速电场的M板电势低于N板电势，辐向电场的方向由圆心指向圆外，负离子刚进入磁分析器时所受洛伦兹力竖直向下，根据左手定则可知，磁分析器中匀强磁场方向垂直于纸面向里，故B错误；由A分析知，静电分析器通道中心线半径 R与离子质量、电量无关，所以不同粒子经相同加速压U加速后都可以沿通道中心线安全通过静电分析器。离子在磁分析器中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得， 磁分析器P点到Q点的距离 即打在胶片上的距离与粒子的质量和电荷量有关，则电荷量相同的粒子，若质量不同，不能打在胶片上的同一点，故C错误，D正确。 【变式训练5-1-1】质谱仪可以用来测量带电粒子的比荷。如图所示，一质量为、电荷量大小为的带电粒子（重力不计）从容器下方的小孔无初速度飘入电压为的加速电场，经电场加速后，该粒子沿直线穿过小孔、垂直进入磁感应强度大小为的匀强磁场中，最后打在点，粒子在磁场中的轨迹为半圆，测得的长度为，则（　　） A．该粒子带负电 B．带电粒子进入磁场时的速度大小为 C．增大加速电场的电压，带电粒子在磁场中运动的时间不变 D．带电粒子的比荷 【答案】C 【解析】A．由左手定则可知粒子带正电，故A错误； B．在加速电场中由动能定理得得，故B错误； C．带电粒子在磁场中运动的周期，与速度大小无关，即与加速电压无关，故C正确； D．由题意有，粒子在磁场中运动，有联立得，故D错误。 故选C。 【变式训练5-1-2】19世纪末，汤姆孙的学生阿斯顿设计了质谱仪，其用途非常广泛。如图所示为某种质谱仪的工作原理图，质子从入口处由静止开始被加速电压为的电场加速，经磁感应强度大小为的匀强磁场偏转后恰好从出口离开磁场。若要使α粒子也从该入口处由静止开始被电场加速，经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场，下列操作可行的是（　　） A．保持匀强磁场的磁感应强度不变，调节加速电场电压为 B．保持匀强磁场的磁感应强度不变，调节加速电场电压为 C．保持加速电场电压不变，调节匀强磁场的磁感应强度为 D．保持加速电场电压不变，调节匀强磁场的磁感应强度为 【答案】A 【解析】由动能定理得，解得粒子进入磁场时的速率为。粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得，解得。在半径R和加速电压一定的条件下，磁感应强度B正比于；在半径R和磁感应强度B一定的条件下，加速电压与成反比。质子的质荷比为1，α粒子致的质荷比为2。所以在加速电压一定的条件下需将匀强磁场的磁感应强度调整为，故C、D错误；在磁感应强度一定的条件下，加速电压应调节为，A正确，B错误。故选：A。 【变式训练5-1-3】（多选）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 【答案】AD 【解析】A．对M粒子在加速电场中 在速度选择器中 解得M的质量，故A正确； B．进入粒子速度选择器后因N粒子向下偏转，可知，即，故B错误； C．M粒子在磁场中运动半径为r1，则，解得 N粒子在磁场中运动的半径为r2，则，解得 其中，可得 由动能定理N粒子在选择器中 在加速电场中 解得， 则要想使得粒子N沿轴线OO＇通过选择器，则需满足 联立解得，故C错误； D．若N粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则打在探测器的位移与调节前M打在探测器上的位置间距为 其中， 可得，故D正确。 故选AD。 【变式训练5-1-4】容器A中装有大量的质量、电荷量不同但均带正电的粒子，粒子从容器下方的小孔S1不断飘入加速电场(初速度可视为零)做直线运动，通过小孔S2后从两平行板中央沿垂直电场方向射入偏转电场．粒子通过平行板后沿垂直磁场方向进入磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域，最后打在感光片上，如图所示．已知加速电场中S1、S2间的加速电压为U，偏转电场极板长为L，两板间距也为L，板间匀强电场强度E＝，方向水平向左(忽略板间外的电场)，平行板f的下端与磁场边界ab相交于点P，在边界ab上实线处固定放置感光片．测得从容器A中逸出的所有粒子均打在感光片PQ之间，且Q距P的长度为3L，不考虑粒子所受重力与粒子间的相互作用，求： (1)粒子射入磁场时，其速度方向与边界ab间的夹角； (2)射到感光片Q处的粒子的比荷(电荷量q与质量m之比)； (3)粒子在磁场中运动的最短时间． 【答案】　(1)45°　(2)　(3) 【解析】　(1)设质量为m、电荷量为q的粒子通过孔S2的速度为v0，则：qU＝mv02 粒子在平行板e、f间做类平抛运动：L＝v0t，vx＝t，tan θ＝ 联立可得：tan θ＝1，则θ＝45°，故其速度方向与边界ab间的夹角为θ＝45°. (2)粒子在偏转电场中沿场强方向的位移x＝vxt＝，故粒子从e板下端与水平方向成45°角斜向下射入匀强磁场，如图所示，设质量为m、电荷量为q的粒子射入磁场时的速度为v，做圆周运动的轨道半径为r，则v＝＝v0＝2 由几何关系：r2＋r2＝(4L)2，则r＝2L qvB＝m，则r＝ 联立解得：＝. (3)设粒子在磁场中运动的时间为t，偏转角为α， 则t＝，r＝＝ ，联立可得：t＝ 因为粒子在磁场中运动的偏转角α＝π，所以粒子打在P处时间最短，此时半径为r′， 由几何关系知：r′2＋r′2＝L2，则r′＝L 联立可得：tmin＝＝. 【变式训练5-1-5】质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。I为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；Ⅱ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动，再经O点的小孔进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 （1）判断粒子电性并求粒子的比荷； （2）求O点到P点的距离； （3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为（略大于），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的点，求点到O点的距离。 【答案】（1）正电，；（2）；（3） 【解析】（1）由于粒子向上偏转，根据左手定则可知粒子带正电；（2分） 设粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入速度选择器时的速度为，在速度选择器中粒子做匀速直线运动，由平衡条件得 在加速电场中，由动能定理得 联立解得，粒子的比荷为（3分） （2）由洛伦兹力提供向心力 可得O点到P点的距离为（3分） （3）粒子进入Ⅱ瞬间，粒子受到向上的洛伦兹力，向下的电场力， 由于，且 法一：配速法，如图所示：其中满足（2分） 粒子在速度选择器中水平向右以速度做匀速运动的同时，以做匀速圆周运动。 当匀速圆周的速度转向到水平向右时，满足垂直打在速度选择器右挡板的点的要求，故此时粒子打在点的速度大小为（2分） O到的距离为粒子以做匀速圆周分运动的直径， （2分） （1分） 法二：动能定理与动量定理： 设打在点的速度大小v，O到的距离为y，由动能定理得： ①（2分） 沿SO方向由动量定理得： ②（2分） 联立①②两式得：（2分） 将，代入得：（1分） 【变式训练5-1-6】 双聚焦分析器是一种能同时实现速度聚焦和方向聚焦的质谱仪，其原理如图所示，电场分析器中有指向圆心O的辐射状电场，磁场分析器中有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。不同的带正电离子组成的离子束，以不同速度进入电场分析器后能沿着半径为R的圆弧轨迹通过电场并从P点垂直进入圆形磁场区域，之后从磁场下边界射出并进入检测器，检测器可在M，N之间左右移动且与磁场下边界的距离恒等于0.5d。某一质量为m、电荷量为q的带正电离子A通过电场区域和磁场区域后，恰好垂直于磁场下边界射出，并从K点进入检测器，己知磁场区域的磁感应强度大小为B，PO1=d，忽略离子间的相互作用，求： （1）离子A在匀强磁场中运动时的速度大小； （2）电场分析器中圆弧轨迹处的电场强度大小； （3）探测器能接收到的离子中比荷的最大值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）设离子的速度大小为v0，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则 解得 （2）粒子在电场中也做匀速圆周运动，在电场中，电场力提供向心力，则 解得 （3）设在某处被检测到的离子在磁场中运动的轨道半径为r，则在磁场中有 在电场中有 可得 由此可知离子的比荷与运动半径的平方成反比，当离子运动半径最小时，比荷最大。 作出符合条件的离子的运动轨迹如图所示，易知在M处被检测到的离子的运动半径最小，离子的比荷最大，设此离子的运动半径为r1，由几何关系可知 ，， 则 由几何关系有 联立解得 由 可得离子比荷的最大值为 （二）回旋加速器 【典型例题1】如图甲所示是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒。在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连。带电粒子在磁场中运动的动能随时间的变化规律如图乙所示，忽略带电粒子在电场中的加速时间，则下列判断错误的是（　　） A. 在图中应有 B. 高频电源的变化周期应该等于 C. 粒子加速次数越多，粒子最大动能不一定越大 D. 要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的半径 【答案】B 【解析】带电粒子的回旋的周期 可见粒子的回旋的周期不变，与粒子的速度无关，所以有 ，故A正确； 交流电源的周期必须和粒子在磁场中运动的周期一致，故电源的变化周期应该等于 故B错误； 带电粒子的在磁场中的半径 可知 则粒子的最大动能 与加速的次数无关，与D形盒的半径以及磁感应强度有关，故CD正确。 本题选错误的，故选B。 【典型例题2】如图所示为回旋如速器示意图。两个靠得很近的D形金属盒处在与盒面垂直的匀强磁场中，一氘核从加速器的A处由静止开始加速，运动一段时间后从加速器出口C处射出。已知D型盒的半径为R，高频交变电源的电压为U、频率为f，氘核质量为m。下列说法正确的是（　　） A. 氘核在D形盒中运动时间与加速电压U无关 B. 氘核的最大动能为 C. 氘核第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为 D. 若要加速粒子，交流电的频率f不需要改变 【答案】D 【解析】AB.氘核最大速度 则获得的最大动能为 加速的次数为 解得 由于D形盒的半径R不变，氘核做圆周运动周期T不变，加速电压U越大，加速次数N越少，氘核在D形盒中运动时间越短，A B错误； 根据 ，， 解得 解得 C错误； 根据 ， 解得 因为粒子与氘核的比荷相同，粒子与氘核在磁场中运动的频率相同，所以加速粒子，交流电的频率f不需要改变，D正确。 【典型例题3】某种获得高能粒子的装置示意图如图所示。环形区域内存在方向垂直纸面的匀强磁场，a、b为开有小孔的极板，质量为m，电荷量大小为e的电子在a板处由静止释放，在两板间做加速运动，电子离开b板后在环形区域内做半径为R的圆周运动。每当电子到达a板时，两板间电压为；离开b板时，两板电压为零。电子在电场中被多次加速，电子在环形区域内绕行轨道始终保持不变。已知a、b板间距远小于R，不考虑电场、磁场变化产生的影响，不计电子的重力，则（   ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．电子经过a板的时间间隔保持不变 C．电子绕行第n圈时磁感应强度大小为 D．电子绕行第n圈时等效电流大小为 【答案】D 【解析】A．由题意可知电子顺时针在磁场中做圆周运动，由左手定则可知，环形区域内磁场方向垂直纸面向里，故A错误； B．根据题意电子每经过a、b之间就加速一次，由 则周期变小，即电子经过a板的时间间隔变小，故B错误； CD．由动能定理知 得到 由牛顿第二定律有 解得磁感应强度为 电子绕行第n圈时等效电流大小为 联立解得，故C错误，D正确。 故选D。 【变式训练5-2-1】如图所示为回旋加速器示意图，利用回旋加速器对粒子进行加速，此时形盒中磁场的磁感应强度大小为，形盒缝隙间电场变化周期为，加速电压为。忽略相对论效应和粒子在形盒缝隙间的运动时间，下列说法正确的是() A.保持、和不变，该回旋加速器可以加速质子 B.只增大加速电压，粒子获得的最大动能增大 C.只增大加速电压，粒子在回旋加速器中运动的时间变短 D.回旋加速器只能加速带正电粒子，不能加速带负电的粒子 【答案】C 【解析】选C。形盒缝隙间电场变化周期与粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，有，而质子与粒子的比荷不相等，所以该回旋加速器不可以加速质子，A错误 设形盒半径为，则粒子离开回旋加速器的最大速度，所以只增大加速电压，粒子最大速度不变，其获得的最大动能不会增大，B错误 粒子在回旋加速器回旋一周，增加的动能为，在回旋加速器中运动的时间由回旋次数决定，设回旋次数为，则由，可得，所以粒子运动总时间，故只增大加速电压，粒子在回旋加速器中运动的时间会变短，C正确 回旋加速器既能加速带正电的粒子，也能加速带负电的粒子，D错误。 【变式训练5-2-2】某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为，磁感应强度大小为，质子加速后获得的最大动能为．根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为（忽略相对论效应，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】洛伦兹力提供向心力有 质子加速后获得的最大动能为 解得最大速率约为 故选C。 【变式训练5-2-3】某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为、质量为m的离子以初速度从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（　　） A．偏转磁场的方向垂直纸面向里 B．第1次加速后，离子的动能增加了 C．第k次加速后．离子的速度大小变为 D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为 【答案】D 【解析】A．直线通道有电势差为的加速电场，粒子带正电，粒子沿顺时针方向运动，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外，故A错误； BC．根据题意，由动能定理可知，加速一次后，带电粒子的动能增量为，由于洛伦兹力不做功，则加速k次后，带电粒子的动能增量为，加速k次后，由动能定理有 解得，故BC错误； D．粒子在偏转磁场中运动的半径为，则有 联立解得，故D正确。 故选D。 【变式训练5-2-4】如图是一个回旋加速器示意图，其核心部分是两个D形金属盒，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连．现分别加速氘核(H)和氦核(He)，下列说法中正确的是(　　) A．它们的最大速度相同 B．它们的最大动能相同 C．两次所接高频电源的频率相同 D．仅增大高频电源的频率可增大粒子的最大动能 【答案】　AC 【解析】　由R＝得最大速度v＝，两粒子的相同，所以最大速度相同，A正确；最大动能Ek＝mv2，因为两粒子的质量不同，最大速度相同，所以最大动能不同，B错误；高频电源的频率f＝，因为相同，所以两次所接高频电源的频率相同，C正确；粒子的最大动能与高频电源的频率无关，D错误． 【变式训练5-2-5】劳伦斯和利文斯设计出回旋加速器，工作原理示意图如图所示．置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可忽略．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，高频交流电频率为f，加速电压为U.若A处粒子源产生质子的质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，且加速过程中不考虑相对论效应和重力的影响．则下列说法正确的是(　　) A．质子被加速后的最大速度与D形盒半径R有关 B．质子离开回旋加速器时的最大动能与交流电频率f成正比 C．质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为 ∶1 D．不改变磁感应强度B和交流电频率f，经该回旋加速器加速的各种粒子的最大动能不变 【答案】AC. 【解析】质子被加速后的最大速度受到D形盒半径R的制约，因vm＝＝2πRf，故A正确；质子离开回旋加速器的最大动能Ekm＝mv＝m×4π2R2f2＝2mπ2R2f2，故B错误；根据qvB＝，Uq＝mv，2Uq＝mv，得质子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比为∶1，故C正确；因经回旋加速器加速的粒子最大动能Ekm＝2mπ2R2f2与m、R、f均有关，故D错误． 【变式训练5-2-6】美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，其基本原理如图所示．现有一回旋加速器，当外加磁场一定时，可把质子的速度从零加速到v，质子获得的动能为Ek.在不考虑相对论效应的情况下，用该回旋加速器加速原来静止的α粒子(氦核)时，有(　　) A. 能把α粒子从零加速到 B．能使α粒子获得的动能为2Ek C．加速α粒子的交变电场频率与加速质子的交变电场频率之比为1∶2 D．加速α粒子的交变电场频率与加速质子的交变电场频率之比为2∶1 【答案】 AC 【解析】粒子在洛伦兹力作用下，做匀速圆周运动，根据qvB＝m，解得v＝，则粒子的最大动能Ekm＝mv2＝，因质子与α粒子的质量数之比为1∶4，而电荷量之比为1∶2，所以α粒子加速到的速度为，动能仍为Ek，故A正确，B错误；加速器所接交流电的频率应与粒子做匀速圆周运动的频率相同，粒子做匀速圆周运动的频率为f＝，所以加速α粒子的交变电场频率与加速质子的交变电场频率之比为1∶2，故C正确，D错误． 【变式训练5-2-7】如图，有一回旋加速器，两盒加上垂直纸面外、磁感应强度可调节的匀强磁场，左盒通过一水平管道与一个左右两侧都开有很小狭缝的圆筒相连，圆筒内有垂直纸面向内的匀强磁场。现在左盒附近的点放置一电子，再利用两盒狭缝加上一交变电压来给电子周期性加速，经过时间电子便获得一定速率贴着管壁通过水平管道后进入圆筒，与下圆筒壁发生多次弹性碰撞又不作循环的从圆筒的右狭缝直接离开圆筒。 已知圆筒的半径为、磁感应强度恒为盒的半径为，电子的比荷为，电子在两盒狭缝间运动的时间不计，加速电子时电压的大小可视为不变，电子重力不计。 （1）求与下圆筒壁碰撞次的电子的速率； （2）由（1）的速率确定盒中磁感应强度的表达式，并求时的值； （3）若电子在狭缝中加速次数与回旋半周的次数相同，根据时的值及其他已知量求加速电压的值。 【答案】（1）； （2），；（3） 【解析】 （1）由图可知 电子在圆筒中又碰撞又做圆周运动的情形呈现周期性和对称性，作出两种情况为例，由此可概括出电子做圆周运动的一个单元夹角为 由几何关系 由洛伦兹力提供向心力 可得电子与下圆筒壁碰撞次的电子的速率为 （2）电子在回旋加速度中运动刚离开时 解得 当时，解得 （3）电子在回旋加速器中的加速次数为 加速N次过程中，由动能定理得 解得加速电压为 【变式训练5-2-8】1932年，劳伦斯和利文斯顿设计出了回旋加速器。回旋加速器的工作原理如图所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为＋q，在加速器中被加速，加速电压为U。不计粒子的重力，加速过程中不考虑相对论效应。 (1)求粒子第2次和第1次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比； (2)求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t； (3)实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。若某一回旋加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm。 【答案】　(1)∶1　(2)　(3)见解析 【解析】　(1)设粒子第1次经过狭缝后的轨道半径为r1，速度为v1 qU＝m qv1B＝m 解得r1＝ 同理，粒子第2次经过狭缝后的轨道半径r2＝ 则r2∶r1＝∶1 (2)设粒子到出口处被加速了n圈 2nqU＝mv2 qvB＝m T＝ t＝nT 解得t＝ (3)加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即f＝ 当磁感应强度为Bm时，加速电场的频率应为 fBm＝，粒子的动能Ek＝mv2 两个频率选较小者，作为其共同频率 当fBm≤fm时，粒子的最大动能由Bm决定 qvmBm＝m 解得Ekm＝m 当fBm≥fm时，粒子的最大动能由fm决定 则vm＝2πfmR 解得Ekm＝m＝2π2mR2。 1 学科网（北京）股份有限公司 $