8.3 解直角三角形的实际应用 专题讲义 —2026—2027学年苏科版九年级下册数学
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内容正文：
解直角三角形
学生版
解直角三角形的实际应用
2026一2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版）
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内容
起始页
题型一
选择合适的三角比
2
题型二
单点测高与仪器高度
4
题型三
两个测点共用一个高度
6
题型四
仰角与俯角的组合
8
题型五
方位角与航行距离
10
题型六
坡度与坡面长度
12
题型七
构造直角三角形测距与求面积
13
题型八
安装尺寸与安全判断
15
A组
基础达标
B组
综合进阶
19
C组
挑战突破
21
姓名：
班级：
第1页共23页
解直角三角形
学生版
题型精讲
题型一选择合适的三角比
知识要点：在REAABC，中∠C=90,对锐角A,sinA-胎。c0sA-6
ΓB,
口mA-形。正孩是对边与斜边的比，余弦是解边与斜边的比，正切是对边与解边
的比。斜边总是直角的对边。
B
A
30°、45°、60°的三角比是常用的特殊角三角比，数值见下表。三角比是两条边长的
比，没有长度单位。
解直角三角形是根据已知的边、角求出其余的边、角。两锐角互余，两直角边的平
方和等于斜边的平方。已知量与所求量涉及哪两条边，就选用相应的三角比。
锐角
30°
45
60°
正弦sin
2
竖
2
余弦cos
V3
2
12
正切tan
V3
3
第2页共23页
解直角三角形
学生版
典例1如图，一架长13m的梯子AC斜靠在竖直墙面BC上，梯脚A到墙脚B的距
离为5，地面AB水平。(1)求梯子顶端C离地面的高度；(2）求梯子与地面夹
角∠CAB的正弦值和余弦值。
B
解：在Rt△ABC中，BC=V132-52=12(m。
sn∠cAB-%-.cos∠CABA2{
AC=13
12
5
答：顶端离地面12m,夹角的正弦值为长，余弦值为3。
变式1.1如图，缆绳AC长10m,与水平地面AB的夹角为30°，BC垂直于AB。缆
绳固定点C离地面的高度BC为（)。
A.5V3 m B.5 m C.10v3 m D.20 m
C
B
第3页共23页
解直角三角形
学生版
变式1.2如图，屋面AB与水平线AC的夹角为30°，BC垂直于AC,AC=6m。求
屋面AB的长度和屋脊B高出A的高度。
B
C
题型二单点测高与仪器高度
知识要点：仰角是视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角；俯角是视线在水
平线下方时，视线与水平线所成的角。角的顶点在观测点，不在被测物上。
测角仪在地面以上时，由三角比求得的通常是被测物顶端与仪器的高度差。被测物
底部与仪器脚在同一水平面上，且顶端高于仪器时，总高度=高度差+仪器高度；顶
端低于仪器时，总高度=仪器高度一高度差。
影长、绳长、水平距离不是同一个量；先分清直角边与斜边。计算中尽量保留精确
值，最后按要求取近似值并写单位。
第4页共23页
解直角三角形
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典例2如图，旗杆BC竖直立在水平地面上。测角仪位于点D,DA=1.6m,
AB=18m,AD LAB。过D作水平线DE交BC于E,测得∠CDE=45°。求旗
杆BC的高度。
解：AD∥BE,DE∥AB,所以BE=AD=1.6m,DE=AB=18m。
在Rt△DEC中，CE=DE tan45°=18(m)。
BC=BE+CE=1.6+18=19.6(m)。答：旗杆高19.6m。
变式2.1如图，竖直树干BC在水平地面上的影长AB为9V3m,太阳光线AC与地
面成30°角。求树高BC。
C
A
B
第5页共23页
解直角三角形
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变式2.2如图，一根拉直的绳AC长40m,绳端A固定在离水平地面1.5m处，另
一端C系住气球。绳AC与过A的水平线AB成60°角，CB LAB。求气球C离地面
的高度。（结果保留根号）
题型三两个测点共用一个高度
知识要点：同一竖直物体、同一水平地面上的两个测点，可以建立两个直角三角形。
设共同高度或共同的水平距离为未知数，由两个三角形中的关系联立求解。
两测点在物体同侧时，水平距离相减；在物体两侧时，水平距离相加。仪器高度相
同时，共用的是物体顶端与仪器的高度差。
第6页共23页
解直角三角形
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典例3如图，塔AD竖直立于水平地面上，A、B、C在同一直线上，B位于A、C之
间，BC=20m。在B、C两点分别测得塔顶D的仰角为60°、30°，不计测量者身高。
求塔高AD。
A
B
C
解：设AD=hm。在REAABD中，AB=tan60a,3
在Rt4ACD中，AC=tan30。=V3五
由4C-AB=20,得3五-名-20，解得h=10y3。
3
答：塔高10/3m。
变式3.1如图，A、B、C在同一条水平直线上，塔脚B位于A、C之间，AC=40
m,塔顶为D,BD⊥AC。测得∠DAB=45°，∠DCB=30°。求塔高BD。
B
第7页共23页
解直角三角形
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变式3.2如图，塔AD与水平地面垂直。B、C在塔的同侧，B在A、C之间，
BC=12m。在B、C处使用高度均为1.5m的测角仪，仪器位置分别为E、F；过
E、F的水平线交AD于G。测得∠DEG=45°，∠DFG=30°。求塔高AD。
题型四仰角与俯角的组合
知识要点：不同位置的水平线互相平行，同一条视线与这些水平线形成的相应锐角
相等。俯角不能误标成视线与竖直线的夹角。
一个观测点同时看见建筑物的顶部与底部，先求共同的水平距离，再求两个高度差。
目标在水平线上、下两侧时，高度差相加；同侧时相减。
第8页共23页
解直角三角形
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典例4如图，无人机位于点C,距水平地面的高度CD为72m。建筑物AB竖直，B、
D在同一水平地面上。过C作水平射线CE指向建筑物一侧，测得顶部A、底部B的
俯角分别为30°、60°（即∠ECA=30°，∠ECB=60)。求建筑物AB的高度。
E.-
C
A
B
D
解：由水平线平行可得<CBD=60,所以8D=a0-243m。
CD
过A作AF LCD于F,则AF=BD=24V3m,∠CAF=30°。
CF=AF tan30°=24(m,AB=DF=CD-CF=48(m)。答：建筑物高48m。
变式4.1如图，观测点A位于离海面24m的崖顶，AB垂直于水平海面BC。过A的
水平线AD与观察船只C的视线AC所成的俯角为30°。求船只C到崖脚B的水平距
离。
---.D
B
C
第9页共23页
解直角三角形
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变式4.2如图，在高12m的楼顶A测得另一建筑物顶部C的仰角为45°、底部D的
俯角为30°，B、D在同一水平地面上，AB、CD均竖直。过A的水平线交CD于E。
求CD的高度。
C
:
B
题型五方位角与航行距离
知识要点：北偏东α表示从正北方向向东转a。方位角以观测点为顶点，先画正北方
向，再画目标方向。各点的南北线互相平行，东西方向与南北方向垂直。
已知斜向距离时，可用三角比求南北距离、东西距离；已知两个地点看到同一目标
的方向时，要结合两地连线的方向求出三角形的内角。
典例5如图，A、B两地在东西方向的直线上，B在A的正东方向，AB=12km。C
地位于A地北偏东60°方向，同时位于B地北偏西30°方向。求A、C两地的距离。
C
北
北
A
B
第10页共23页
解直角三角形
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解：∠CAB=90°-60°=30°，∠CBA=90°-30°=60°，所以
∠ACB=90°。
AC=ABc0s30-12x号-63m。答：AC两地相距63km.
变式5.1如图，一艘船从A地沿北偏东60°方向航行20km到B地，过B作BC垂直
于A处的正北方向线于C。求B地在A地正东方向和正北方向上的距离。
B
北
变式5.2如图，一艘船从A地向正东方向航行8k到B地。在A地测得灯塔C位
于北偏东45°方向，在B地测得C位于北偏西30°方向。过C作CD⊥AB于D,且D
在线段AB上。求灯塔C到航线AB的距离。
北
北
第11页共23页
解直角三角形
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题型六坡度与坡面长度
知识要点：坡度是坡面两端的竖直高度差h与水平距离l的比，即i=乡=taa,其
中α为坡角。坡度1：2表示每上升1个单位，对应水平前进2个单位，不是沿坡面
前进2个单位。
坡面长度是直角三角形的斜边。已知坡长s时，高度差h=s sina,水平距离l=S
cosa。百分数形式的坡度同样表示高度差与水平距离的比。
典例6如图，斜坡AB的坡度为1：2，B比A高3m,过B作BC⊥AC于C,AC为
水平线。(1)求AC；(2)求坡面AB的长度。
B
C
解：克BC=3m,得AC=-6m
AB=VAC2+BC2=V62+32=3V5(m)。答：水平距离为6m,坡面长3V5m
第12页共23页
解直角三角形
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变式6.1如图，斜坡AB长8m,坡角∠BAC=30°，BC LAC,AC水平。求坡
度及高度差BC。
B
C
变式6.2一段直线公路的坡度为6%，其两端的水平距离为500m。求这段公路两端
的高度差。
B
A
题型七构造直角三角形测距与求面积
知识要点：求不可直接测量的距离，可在能到达的一侧选取测点，作垂线，把所求
距离放入直角三角形。图中必须明确垂直关系和测得的角。
非直角三角形常通过作高分成两个直角三角形；用共同高度把两段底边联系起来。
梯形截面中的斜坡可分别作垂线，先求上下底的差，再求面积。
第13页共23页
解直角三角形
学生版
典例7如图，河岸上的A、B两点相距40m,对岸标志C与A的连线垂直于AB,
测得∠ABC=30°。求河宽AC。(结果保留根号)
A
B
,3_403(m。
解：在RE AABC中，AC=AB tan30=40×了=
3
答：河宽为403
3
m。
变式7.1如图，一块三角形草坪ABC,AB=24m,∠CAB=30°，
∠CBA=45°，CD LAB于D。求草坪的面积。
B
第14页共23页
解直角三角形
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变式7.2如图，堤坝的横截面是梯形ABCD,AD∥BC,上底AD=10m,高为8
m。两侧坡面AB、DC的坡度分别为1：1.5、1：0.75。过A、D作AF LBC、
DF⊥BC,垂足分别为E、F,B、E、F、C依次在同一直线上。求该横截面的面积。
A
B
C
题型八安装尺寸与安全判断
知识要点：门扇、支架、梯子等长度固定时，转动后可用正弦或余弦求竖直、水平
距离。作判断时，比较的必须是同一方向上的距离。
接触边界也属于碰到；判断“能否通过”“是否符合要求”时，应把等号情形算清。先完
成几何计算，再回到实际要求作出结论。
第15页共23页
解直角三角形
学生版
典例8如图是车门开启的俯视示意图。铰链位于O,关闭时门扇沿OB方向，OB与
墙MN平行，0到墙的距离为0.55m。门扇OA长1.0m,开启角∠AOB=30°，
门扇向墙一侧开启。不计门扇厚度，此时门扇是否碰墙？若没有碰墙，求门扇端点
A到墙的距离。
M
A
2--H
N
B
解：过A作AH10B于H,则AH=0Asin30=-1.0x号-0.50(m。
门扇上各点到OB的最大距离为AH=0.50m,小于墙与OB的距离0.55m,因此
没有碰墙。
A到墙的距离为0.55-0.50=0.05(m)。答：没有碰墙，端点到墙的距离为0.05m。
变式8.1如图，长5m的梯子AB靠在竖直墙面上，顶端B距水平地面4m,梯脚为
A,墙脚为O。将梯脚沿地面向远离墙的方向移动1到C,梯子顶端沿墙滑至D。
求顶端下降的距离BD。
B
D
第16页共23页
解直角三角形
学生版
变式8.2如图，太阳能板AB长2m,与过A的水平线AC成30°角，BC⊥AC。点
A离水平地面1，板的厚度忽略不计。(1)求板的最高点B离地面的高度；(2)
求板在水平方向所占的长度AC。
B
C
E
二综合训练
【A组·基础达标】
A1如图，固定电线杆的钢索AC长10m,钢索与水平地面AB的夹角为a,
c0sa=0.8,BC⊥AB。求固定点C离地面的高度BC。
B
第17页共23页
解直角三角形
学生版
A2如图，坡面AB的坡度为1：√3，AC水平，BC⊥AC。坡角∠BAC等于
()。
A.15°B.30°C.45°D.60°
B
A
C
A3如图，一棵树在距地面6的B处折断，树梢C落在水平地面上，树根为A,
AB⊥AC,∠BCA=30°。折断部分仍与B相连且保持笔直。求树折断前的高度。
B
A
C
第18页共23页
解直角三角形
学生版
A4B地在A地北偏西30°方向，AB=10km。求B地在A地正西方向和正北方向上
的距离。
B
C
北
A
B组·综合进阶】
B1如图，两根竖直立柱AB、CD的高度分别为7m、3m,底端B、D在同一水平
地面上，BD=4V3m,用拉直的钢索AC连接两柱顶端。求钢索长度及钢索与水平
线的夹角。
第19页共23页
解直角三角形
学生版
B2如图，从离水平地面40m的观测点D,测得同一直线上先后两个位置C、B的汽
车的俯角分别为30°、45°。A为D在地面的垂足，B在A、C之间。求汽车从C行驶
到B的距离。
B3如图，一座人字形屋顶的截面为△ABC,水平跨度AB=12m,∠CAB=30,
∠CBA=60°。求屋面AC、BC的长度及该截面的面积。
C
A
B
第20页共23页
解直角三角形
学生版
B4如图，某通道需修建直线坡道AB,入口B比地面A高1.2m,坡度不得大于
1:12。场地最多能提供13m的水平长度。(1)判断能否按要求修建该直线坡道；
(2)若扩大场地，坡度恰为1：12，求所需的水平长度和坡道长度。（坡道长度精
确到0.01m)
B
A
【C组挑战突破】
C1如图，一根长8m的直杆，一端由铰链A固定在距水平地面2m处，另一端在同
一竖直平面内由C转至B。直杆与过A的水平线的夹角由30°增大到60°。(1)求杆
端上升的高度；(2）若场地上方的水平限高线距地面9，杆转动到60°时是否触
及限高线？（结果保留根号）
B
H
局部放大
B
A
D
E
第21页共23页
解直角三角形
学生版
C2如图，塔AB竖直立在水平地面上，C、B在同一水平面内。从C测得塔顶A的
仰角为30°，沿朝向塔的直线坡道行至D,D比C高4m,且C、D的水平距离为12
m。在D测得塔顶A的仰角为60°。D在塔的同侧且尚未到塔脚正上方。求塔高AB。
D
F
B
C
C3如图，拟将长10m的直梯AB按图示位置放置，A在水平地面上，B在竖直墙面
上，墙脚为C,∠BAC=60°。地面上有一处竖直障碍物DE,D在线段AC上且
DC=3m,DE=4m。判断直线AB在D正上方的高度是否高于障碍物顶端E。
B
第22页共23页
解直角三角形
学生版
C4如图，一艘船从A出发以4km/h的速度向正东方向沿直线航行，测得灯塔C在
A的北偏东60°方向，AC=12km。以灯塔为中心、10km为半径的圆内（不含圆
周)为警戒区域。过C作CD垂直于航线于D。(1)求船与灯塔之间的最短距离；
(2）求船在警戒区域内航行的时间。
北
C
A
B
D
第23页共23页解直角三角形 教师详解版
解直角三角形的实际应用
2026—2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版）
内容导航
板块
内容
起始页
题型一
选择合适的三角比
2
题型二
单点测高与仪器高度
4
题型三
两个测点共用一个高度
6
题型四
仰角与俯角的组合
8
题型五
方位角与航行距离
10
题型六
坡度与坡面长度
12
题型七
构造直角三角形测距与求面积
14
题型八
安装尺寸与安全判断
16
A组
基础达标
18
B组
综合进阶
20
C组
挑战突破
22
一 题型精讲
题型一 选择合适的三角比
知识要点：在中，。对锐角A，sin ，cos ，tan 。正弦是对边与斜边的比，余弦是邻边与斜边的比，正切是对边与邻边的比。斜边总是直角的对边。
30°、45°、60°的三角比是常用的特殊角三角比，数值见下表。三角比是两条边长的比，没有长度单位。
解直角三角形是根据已知的边、角求出其余的边、角。两锐角互余，两直角边的平方和等于斜边的平方。已知量与所求量涉及哪两条边，就选用相应的三角比。
锐角
30°
45°
60°
正弦sin
余弦cos
正切tan
1
典例1 如图，一架长13 m的梯子AC斜靠在竖直墙面BC上，梯脚A到墙脚B的距离为5 m，地面AB水平。（1）求梯子顶端C离地面的高度；（2）求梯子与地面夹角的正弦值和余弦值。
解：在中，。
，。
答：顶端离地面12 m，夹角的正弦值为，余弦值为。
变式 1.1 如图，缆绳AC长10 m，与水平地面AB的夹角为30°，BC垂直于AB。缆绳固定点C离地面的高度BC为（ ）。
A． m
B．5 m
C． m
D．20 m
解： ，故选B。
变式 1.2 如图，屋面AB与水平线AC的夹角为30°，BC垂直于AC， m。求屋面AB的长度和屋脊B高出A的高度。
解：。
。
题型二 单点测高与仪器高度
知识要点：仰角是视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角；俯角是视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角。角的顶点在观测点，不在被测物上。
测角仪在地面以上时，由三角比求得的通常是被测物顶端与仪器的高度差。被测物底部与仪器脚在同一水平面上，且顶端高于仪器时，总高度高度差仪器高度；顶端低于仪器时，总高度仪器高度高度差。
影长、绳长、水平距离不是同一个量；先分清直角边与斜边。计算中尽量保留精确值，最后按要求取近似值并写单位。
典例2 如图，旗杆BC竖直立在水平地面上。测角仪位于点D， m， m，。过D作水平线DE交BC于E，测得。求旗杆BC的高度。
解：，，所以 m， m。
在中， 。
。答：旗杆高 m。
变式 2.1 如图，竖直树干BC在水平地面上的影长AB为 m，太阳光线AC与地面成30°角。求树高BC。
解： 。答：树高9 m。
变式 2.2 如图，一根拉直的绳AC长40 m，绳端A固定在离水平地面 m处，另一端C系住气球。绳AC与过A的水平线AB成60°角，。求气球C离地面的高度。（结果保留根号）
解： 。
气球离地面高度为。
题型三 两个测点共用一个高度
知识要点：同一竖直物体、同一水平地面上的两个测点，可以建立两个直角三角形。设共同高度或共同的水平距离为未知数，由两个三角形中的关系联立求解。
两测点在物体同侧时，水平距离相减；在物体两侧时，水平距离相加。仪器高度相同时，共用的是物体顶端与仪器的高度差。
典例3 如图，塔AD竖直立于水平地面上，A、B、C在同一直线上，B位于A、C之间， m。在B、C两点分别测得塔顶D的仰角为60°、30°，不计测量者身高。求塔高AD。
解：设 m。在中，。
在中，。
由，得，解得。
答：塔高 m。
变式 3.1 如图，A、B、C在同一条水平直线上，塔脚B位于A、C之间， m，塔顶为D，。测得，。求塔高BD。
解：设 m，则 m， m。
，解得。答：塔高。
变式 3.2 如图，塔AD与水平地面垂直。B、C在塔的同侧，B在A、C之间， m。在B、C处使用高度均为 m的测角仪，仪器位置分别为E、F；过E、F的水平线交AD于G。测得，。求塔高AD。
解：设 m，则 m， m。
，故，。
。答：塔高。
题型四 仰角与俯角的组合
知识要点：不同位置的水平线互相平行，同一条视线与这些水平线形成的相应锐角相等。俯角不能误标成视线与竖直线的夹角。
一个观测点同时看见建筑物的顶部与底部，先求共同的水平距离，再求两个高度差。目标在水平线上、下两侧时，高度差相加；同侧时相减。
典例4 如图，无人机位于点C，距水平地面的高度CD为72 m。建筑物AB竖直，B、D在同一水平地面上。过C作水平射线CE指向建筑物一侧，测得顶部A、底部B的俯角分别为30°、60°（即，。求建筑物AB的高度。
解：由水平线平行可得，所以。
过A作于F，则 m，。
，。答：建筑物高48 m。
变式 4.1 如图，观测点A位于离海面24 m的崖顶，AB垂直于水平海面BC。过A的水平线AD与观察船只C的视线AC所成的俯角为30°。求船只C到崖脚B的水平距离。
解：，。答：水平距离为 m。
变式 4.2 如图，在高12 m的楼顶A测得另一建筑物顶部C的仰角为45°、底部D的俯角为30°，B、D在同一水平地面上，AB、CD均竖直。过A的水平线交CD于E。求CD的高度。
解：在中， m，。
在中， 。
。
题型五 方位角与航行距离
知识要点：北偏东α表示从正北方向向东转α。方位角以观测点为顶点，先画正北方向，再画目标方向。各点的南北线互相平行，东西方向与南北方向垂直。
已知斜向距离时，可用三角比求南北距离、东西距离；已知两个地点看到同一目标的方向时，要结合两地连线的方向求出三角形的内角。
典例5 如图，A、B两地在东西方向的直线上，B在A的正东方向， km。C地位于A地北偏东60°方向，同时位于B地北偏西30°方向。求A、C两地的距离。
解：，，所以。
。答：A、C两地相距 km。
变式 5.1 如图，一艘船从A地沿北偏东60°方向航行20 km到B地，过B作BC垂直于A处的正北方向线于C。求B地在A地正东方向和正北方向上的距离。
解： ， 。
答：向东距离为 km，向北距离为10 km。
变式 5.2 如图，一艘船从A地向正东方向航行8 km到B地。在A地测得灯塔C位于北偏东45°方向，在B地测得C位于北偏西30°方向。过C作于D，且D在线段AB上。求灯塔C到航线AB的距离。
解：设 km。，。
km， km，所以。
解得。答：灯塔到航线的距离为。
题型六 坡度与坡面长度
知识要点：坡度是坡面两端的竖直高度差h与水平距离l的比，即，其中α为坡角。坡度1∶2表示每上升1个单位，对应水平前进2个单位，不是沿坡面前进2个单位。
坡面长度是直角三角形的斜边。已知坡长s时，高度差 sinα，水平距离 cosα。百分数形式的坡度同样表示高度差与水平距离的比。
典例6 如图，斜坡AB的坡度为1∶2，B比A高3 m，过B作于C，AC为水平线。（1）求AC；（2）求坡面AB的长度。
解：由、 m，得 m。
。答：水平距离为6 m，坡面长 m。
变式 6.1 如图，斜坡AB长8 m，坡角，，AC水平。求坡度及高度差BC。
解：坡度，即。
。
变式 6.2 一段直线公路的坡度为6%，其两端的水平距离为500 m。求这段公路两端的高度差。
解：坡度6%表示高度差与水平距离之比为，所以高度差。答：高度差为30 m。
题型七 构造直角三角形测距与求面积
知识要点：求不可直接测量的距离，可在能到达的一侧选取测点，作垂线，把所求距离放入直角三角形。图中必须明确垂直关系和测得的角。
非直角三角形常通过作高分成两个直角三角形；用共同高度把两段底边联系起来。梯形截面中的斜坡可分别作垂线，先求上下底的差，再求面积。
典例7 如图，河岸上的A、B两点相距40 m，对岸标志C与A的连线垂直于AB，测得。求河宽AC。（结果保留根号）
解：在中， 。
答：河宽为 m。
变式 7.1 如图，一块三角形草坪ABC， m，，，于D。求草坪的面积。
解：设 m，则 m， m。
，解得。
。
变式 7.2 如图，堤坝的横截面是梯形ABCD，，上底 m，高为8 m。两侧坡面AB、DC的坡度分别为1∶1.5、1∶0.75。过A、D作、，垂足分别为E、F，B、E、F、C依次在同一直线上。求该横截面的面积。
解：，， m。
。
梯形ABCD的面积。
题型八 安装尺寸与安全判断
知识要点：门扇、支架、梯子等长度固定时，转动后可用正弦或余弦求竖直、水平距离。作判断时，比较的必须是同一方向上的距离。
接触边界也属于碰到；判断“能否通过”“是否符合要求”时，应把等号情形算清。先完成几何计算，再回到实际要求作出结论。
典例8 如图是车门开启的俯视示意图。铰链位于O，关闭时门扇沿OB方向，OB与墙MN平行，O到墙的距离为 m。门扇OA长 m，开启角，门扇向墙一侧开启。不计门扇厚度，此时门扇是否碰墙？若没有碰墙，求门扇端点A到墙的距离。
解：过A作于H，则 。
门扇上各点到OB的最大距离为 m，小于墙与OB的距离 m，因此没有碰墙。
A到墙的距离为。答：没有碰墙，端点到墙的距离为 m。
变式 8.1 如图，长5 m的梯子AB靠在竖直墙面上，顶端B距水平地面4 m，梯脚为A，墙脚为O。将梯脚沿地面向远离墙的方向移动1 m到C，梯子顶端沿墙滑至D。求顶端下降的距离BD。
解：，。
，。答：下降1 m。
变式 8.2 如图，太阳能板AB长2 m，与过A的水平线AC成30°角，。点A离水平地面1 m，板的厚度忽略不计。（1）求板的最高点B离地面的高度；（2）求板在水平方向所占的长度AC。
解： ，最高点离地面。
。
二 综合训练
【A组·基础达标】
A1 如图，固定电线杆的钢索AC长10 m，钢索与水平地面AB的夹角为α，，。求固定点C离地面的高度BC。
解：，。答：高度为6 m。
A2 如图，坡面AB的坡度为，AC水平，。坡角等于（ ）。
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
解：，所以，故选B。
A3 如图，一棵树在距地面6 m的B处折断，树梢C落在水平地面上，树根为A，，。折断部分仍与B相连且保持笔直。求树折断前的高度。
解：。
原树高为。
A4 B地在A地北偏西30°方向， km。求B地在A地正西方向和正北方向上的距离。
解：向西距离为10 ，向北距离为10 。
【B组·综合进阶】
B1 如图，两根竖直立柱AB、CD的高度分别为7 m、3 m，底端B、D在同一水平地面上， m，用拉直的钢索AC连接两柱顶端。求钢索长度及钢索与水平线的夹角。
解：过C作于E，则 m， m。
。
设夹角为α，则，故。答：钢索长8 m，夹角为30°。
B2 如图，从离水平地面40 m的观测点D，测得同一直线上先后两个位置C、B的汽车的俯角分别为30°、45°。A为D在地面的垂足，B在A、C之间。求汽车从C行驶到B的距离。
解：，。
，。
。
B3 如图，一座人字形屋顶的截面为，水平跨度 m，，。求屋面AC、BC的长度及该截面的面积。
解：， ， 。
。
B4 如图，某通道需修建直线坡道AB，入口B比地面A高 m，坡度不得大于1∶12。场地最多能提供13 m的水平长度。（1）判断能否按要求修建该直线坡道；（2）若扩大场地，坡度恰为1∶12，求所需的水平长度和坡道长度。（坡道长度精确到 m）
解：（1）坡度不得大于，要求水平长度至少为。，故不能。
（2）水平长度为 m，坡道长度为≈14.45（m）。
【C组·挑战突破】
C1 如图，一根长8 m的直杆，一端由铰链A固定在距水平地面2 m处，另一端在同一竖直平面内由C转至B。直杆与过A的水平线的夹角由30°增大到60°。（1）求杆端上升的高度；（2）若场地上方的水平限高线距地面9 m，杆转动到60°时是否触及限高线？（结果保留根号）
解：（1）初始杆端高为 ；转动后高为 。
上升高度为。
，因为两数均为正，且；故。杆端是杆上最高点，所以此时未触及限高线。
C2 如图，塔AB竖直立在水平地面上，C、B在同一水平面内。从C测得塔顶A的仰角为30°，沿朝向塔的直线坡道行至D，D比C高4 m，且C、D的水平距离为12 m。在D测得塔顶A的仰角为60°。D在塔的同侧且尚未到塔脚正上方。求塔高AB。
解：过D作于E，设 m，则 m，。
过D作于F，则， m。
由 tan60°得，解得。
此时，，符合题意。答：塔高。
C3 如图，拟将长10 m的直梯AB按图示位置放置，A在水平地面上，B在竖直墙面上，墙脚为C，。地面上有一处竖直障碍物DE，D在线段AC上且 m， m。判断直线AB在D正上方的高度是否高于障碍物顶端E。
解： ， 。
设梯子所在直线与过D的竖直线交于F，则 m， 。
，因为，所以梯子所在直线在D正上方的高度低于障碍物顶端。答：不高于。
C4 如图，一艘船从A出发以4 km/h的速度向正东方向沿直线航行，测得灯塔C在A的北偏东60°方向， km。以灯塔为中心、10 km为半径的圆内（不含圆周）为警戒区域。过C作CD垂直于航线于D。（1）求船与灯塔之间的最短距离；（2）求船在警戒区域内航行的时间。
解：， ， 。
船向东航行会经过D，所以最短距离为6 km。
（2）设航线与警戒区域边界交于E、F，E在D的西侧，F在D的东侧，则 km。
。因，出发点A在E的西侧，船会依次经过E、D、F。
km，区域内航行时间为。不含边界的两个瞬间不改变这段持续时间。
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$解直角三角形
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解直角三角形的实际应用
2026一2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版）
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内容
起始页
题型一
选择合适的三角比
2
题型二
单点测高与仪器高度
4
题型三
两个测点共用一个高度
6
题型四
仰角与俯角的组合
8
题型五
方位角与航行距离
10
题型六
坡度与坡面长度
12
题型七
构造直角三角形测距与求面积
14
题型八
安装尺寸与安全判断
16
A组
基础达标
18
B组
综合进阶
20
C组
挑战突破
22
第1页共24页
解直角三角形
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题型精讲
题型一选择合适的三角比
知识要点：在REAABC，中∠C=90,对锐角A,sinA-胎。c0sA-6
ΓAB,
口mA-形。正孩是对边与斜边的比，余弦是解边与斜边的比，正切是对边与解边
的比。斜边总是直角的对边。
B
A
30°、45°、60°的三角比是常用的特殊角三角比，数值见下表。三角比是两条边长的
比，没有长度单位。
解直角三角形是根据已知的边、角求出其余的边、角。两锐角互余，两直角边的平
方和等于斜边的平方。已知量与所求量涉及哪两条边，就选用相应的三角比。
锐角
30°
459
60°
正弦sin
2
竖
2
余弦cos
V3
2
12
正切tan
V3
3
第2页共24页
解直角三角形
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典例1如图，一架长13m的梯子AC斜靠在竖直墙面BC上，梯脚A到墙脚B的距
离为5，地面AB水平。(1)求梯子顶端C离地面的高度；(2）求梯子与地面夹
角∠CAB的正弦值和余弦值。
B
解：在Rt△ABC中，BC=V132-52=12(m)。
sn∠cAB-%-.cos∠CA8A2
AC=13·
12
5
答：顶端离地面12m,夹角的正弦值为长，余弦值为3。
变式1.1如图，缆绳AC长10m,与水平地面AB的夹角为30°，BC垂直于AB。缆
绳固定点C离地面的高度BC为（)。
A.5/3m
B.5m
C.10v3 m
D.20m
C
B
第3页共24页
解直角三角形
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解：BC=AC sin30°=10×2-5m,故选B。
变式1.2如图，屋面AB与水平线AC的夹角为30°，BC垂直于AC,AC=6m。求
屋面AB的长度和屋脊B高出A的高度。
B
A
C
解：40-o60e-43m
V3
BC=AC ten30-6x号-23m。
题型二单点测高与仪器高度
知识要点：仰角是视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角；俯角是视线在水
平线下方时，视线与水平线所成的角。角的顶点在观测点，不在被测物上。
测角仪在地面以上时，由三角比求得的通常是被测物顶端与仪器的高度差。被测物
底部与仪器脚在同一水平面上，且顶端高于仪器时，总高度=高度差+仪器高度；顶
端低于仪器时，总高度=仪器高度一高度差。
影长、绳长、水平距离不是同一个量；先分清直角边与斜边。计算中尽量保留精确
值，最后按要求取近似值并写单位。
第4页共24页
解直角三角形
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典例2如图，旗杆BC竖直立在水平地面上。测角仪位于点D,DA=1.6m,
AB=18m,AD LAB。过D作水平线DE交BC于E,测得∠CDE=45°。求旗
杆BC的高度。
B
解：AD∥BE,DE∥AB,所以BE=AD=1.6m,DE=AB=18m。
在Rt△DEC中，CE=DE tan45°=18(m)。
BC=BE+CE-1.6+18=19.6(m)。答：旗杆高19.6m。
变式2.1如图，竖直树干BC在水平地面上的影长AB为9V3m,太阳光线AC与地
面成30°角。求树高BC。
C
A
B
解：BC=4Ban30=93x号-9m。答：树高9m。
第5页共24页
解直角三角形
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变式2.2如图，一根拉直的绳AC长40m,绳端A固定在离水平地面1.5m处，另
一端C系住气球。绳AC与过A的水平线AB成60°角，CB⊥AB。求气球C离地面
的高度。（结果保留根号）
64
B
解：CB=ACs血60=40x号-203m0
气球离地面高度为(203+1.5)m。
题型三两个测点共用一个高度
知识要点：同一竖直物体、同一水平地面上的两个测点，可以建立两个直角三角形。
设共同高度或共同的水平距离为未知数，由两个三角形中的关系联立求解。
两测点在物体同侧时，水平距离相减；在物体两侧时，水平距离相加。仪器高度相
同时，共用的是物体顶端与仪器的高度差。
第6页共24页
解直角三角形
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典例3如图，塔AD竖直立于水平地面上，A、B、C在同一直线上，B位于A、C之
间，BC=20m。在B、C两点分别测得塔顶D的仰角为60°、30°，不计测量者身高。
求塔高AD。
A
B
C
解：设AD=hm。在REAABD中，AB=tan60a,3
在AACD中AC=a品03五，
由4C-AB=20,籍3五-名-20，解得五-103。
答：塔高10√3m。
变式3.1如图，A、B、C在同一条水平直线上，塔脚B位于A、C之间，AC=40
m,塔顶为D,BD⊥AC。测得∠DAB=45°，∠DCB=30°。求塔高BD。
解：设BD=hm,则AB=hm,BC=V3hm。
h+V3h=40,解得h=20(V3-1)。答：塔高20(V3-1)m。
第7页共24页
解直角三角形
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变式3.2如图，塔AD与水平地面垂直。B、C在塔的同侧，B在A、C之间，
BC=12m。在B、C处使用高度均为1.5m的测角仪，仪器位置分别为E、F；过
E、F的水平线交AD于G。测得∠DEG=45°，∠DFG=30°。求塔高AD。
解：设DG=hm,则GE=hm,GF=V3hm。
GF-GE=EF=BC=12,故W3-1)h=12,h=6(V3+1)。
AD=DG+AG=6V3+7.5(m)。答：塔高(6V3+7.5)m。
题型四仰角与俯角的组合
知识要点：不同位置的水平线互相平行，同一条视线与这些水平线形成的相应锐角
相等。俯角不能误标成视线与竖直线的夹角。
一个观测点同时看见建筑物的顶部与底部，先求共同的水平距离，再求两个高度差。
目标在水平线上、下两侧时，高度差相加；同侧时相减。
第8页共24页
解直角三角形
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典例4如图，无人机位于点C,距水平地面的高度CD为72m。建筑物AB竖直，B、
D在同一水平地面上。过C作水平射线CE指向建筑物一侧，测得顶部A、底部B的
俯角分别为30、60°（即∠ECA=30°，∠ECB=60)。求建筑物AB的高度。
C
E
B
D
解：由水平线平行可得<CBD=60,所以8D-a0-243m。
CD
过A作AF LCD于F,则AF=BD=24V3m,∠CAF=30°。
CF=AF tan30°=24(m),AB=DF=CD-CF=48(m)。答：建筑物高48m。
变式4.1如图，观测点A位于离海面24m的崖顶，AB垂直于水平海面BC。过A的
水平线AD与观察船只C的视线AC所成的俯角为30°。求船只C到崖脚B的水平距
离。
---D
B
C
解：∠ACB-30.BC=n品0。-243m。答：水平距离为243m
第9页共24页
解直角三角形
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变式4.2如图，在高12m的楼顶A测得另一建筑物顶部C的仰角为45°、底部D的
俯角为30°，B、D在同一水平地面上，AB、CD均竖直。过A的水平线交CD于E。
求CD的高度。
解：在AABD中，ED=AB=12m,AB-a0-123a
在Rt△AEC中，CE=AF tan45°-12V3(m)。
CD=CE+ED=12V3+12(m)。
题型五方位角与航行距离
知识要点：北偏东α表示从正北方向向东转a。方位角以观测点为顶点，先画正北方
向，再画目标方向。各点的南北线互相平行，东西方向与南北方向垂直。
已知斜向距离时，可用三角比求南北距离、东西距离；已知两个地点看到同一目标
的方向时，要结合两地连线的方向求出三角形的内角。
第10页共24页
解直角三角形
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典例5如图，A、B两地在东西方向的直线上，B在A的正东方向，AB=12k。C
地位于A地北偏东60°方向，同时位于B地北偏西30°方向。求A、C两地的距离。
C
北
北
A
B
解：∠CAB=90°-60°=30°，∠CBA=90°-30°=60°，所以
∠ACB=90°。
AC=o30=12x受-63km。答：A、C两地相距63km,
变式5.1如图，一艘船从A地沿北偏东60°方向航行20km到B地，过B作BC垂直
于A处的正北方向线于C。求B地在A地正东方向和正北方向上的距离。
B
北
解：AC=AB cos60°=10(km),BC=AB sin60°=10V3(m)。
答：向东距离为10V3km,向北距离为10km。
第11页共24页
解直角三角形
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变式5.2如图，一艘船从A地向正东方向航行8km到B地。在A地测得灯塔C位
于北偏东45°方向，在B地测得C位于北偏西30°方向。过C作CD⊥AB于D,且D
在线段AB上。求灯塔C到航线AB的距离。
北
北
B
解：设CD=hkm。∠CAD=45°，∠CBD=60°。
AD=h km,
km,所以b+名=8
BD=五
√3。
解得h=12-4V3。答：灯塔到航线的距离为(12-4V3)m。
题型六坡度与坡面长度
知识要点：坡度是坡面两端的竖直高度差h与水平距离l的比，即i-乡=tana,其
中α为坡角。坡度1：2表示每上升1个单位，对应水平前进2个单位，不是沿坡面
前进2个单位。
坡面长度是直角三角形的斜边。已知坡长s时，高度差h=s sina,水平距离l=S
cosa。百分数形式的坡度同样表示高度差与水平距离的比。
第12页共24页
解直角三角形
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典例6如图，斜坡AB的坡度为1：2，B比A高3m,过B作BC LAC于C,AC为
水平线。(1)求AC；(2)求坡面AB的长度。
B
A
C
解：6-是BC=3m,得4C=6m
AB=VAC2+BC2=V62+32=3W5(m)。答：水平距离为6m,坡面长3V5m。
变式6.1如图，斜坡AB长8m,坡角∠BAC=30°，BC⊥AC,AC水平。求坡
度及高度差BC。
B
A
C
解：坡度i=tan30。=3
即1v3。
BC=AB sin30-8x-4(m)
第13页共24页
解直角三角形
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变式6.2一段直线公路的坡度为6%，其两端的水平距离为500m。求这段公路两端
的高度差。
B
A
解：坡度6%表示高度差与水平距离之比为0.06，所以高度差=500×6%=30(m)。
答：高度差为30m。
题型七构造直角三角形测距与求面积
知识要点：求不可直接测量的距离，可在能到达的一侧选取测点，作垂线，把所求
距离放入直角三角形。图中必须明确垂直关系和测得的角。
非直角三角形常通过作高分成两个直角三角形；用共同高度把两段底边联系起来。
梯形截面中的斜坡可分别作垂线，先求上下底的差，再求面积。
典例7如图，河岸上的A、B两点相距40m,对岸标志C与A的连线垂直于AB,
测得∠ABC=30°。求河宽AC。(结果保留根号)
B
,3_403(m。
解：在RLAABC中，AC=AB tan30=40x3-3
答：河宽为403
3
m.
第14页共24页
解直角三角形
教师详解版
变式7.1如图，一块三角形草坪ABC,AB=24m,∠CAB=30°，
∠CBA=45°，CD⊥AB于D。求草坪的面积。
B
解：设CD=hm,则AD=V3hm,BD=hmo
(V3+1)h=24,解得h=12(3-1)。
S4ac=7×24x123-1)=144V3-1)(m2)。
变式7.2如图，堤坝的横截面是梯形ABCD,AD∥BC,上底AD=10m,高为8
m。两侧坡面AB、DC的坡度分别为1：1.5、1：0.75。过A、D作AE⊥BC、
DF⊥BC,垂足分别为E、F,B、E、F、C依次在同一直线上。求该横截面的面积。
A
B
C
解：BE=8x1.5=12(m),FC=8×0.75=6(m),EF=AD=10m。
BC=12+10+6=28(m)。
梯形ABCD的面积=2×10+28x8=152m2。
第15页共24页
解直角三角形
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题型八安装尺寸与安全判断
知识要点：门扇、支架、梯子等长度固定时，转动后可用正弦或余弦求竖直、水平
距离。作判断时，比较的必须是同一方向上的距离。
接触边界也属于碰到；判断“能否通过”“是否符合要求”时，应把等号情形算清。先完
成几何计算，再回到实际要求作出结论。
典例8如图是车门开启的俯视示意图。铰链位于O,关闭时门扇沿OB方向，OB与
墙MN平行，0到墙的距离为0.55m。门扇OA长1.0m,开启角∠AOB=30°，
门扇向墙一侧开启。不计门扇厚度，此时门扇是否碰墙？若没有碰墙，求门扇端点
A到墙的距离。
M
A
N
B
解：过A作AH10B于H,则AH=0Asin30°=1.0x号-0.50(m。
门扇上各点到0B的最大距离为AH=0.50m,小于墙与OB的距离0.55m,因此
没有碰墙。
A到墙的距离为0.55-0.50=0.05(m)。答：没有碰墙，端点到墙的距离为0.05m。
第16页共24页
解直角三角形
教师详解版
变式8.1如图，长5m的梯子AB靠在竖直墙面上，顶端B距水平地面4m,梯脚为
A,墙脚为O。将梯脚沿地面向远离墙的方向移动1到C,梯子顶端沿墙滑至D。
求顶端下降的距离BD。
B
解：OA=V52-42=3(m),0C=3+1=4(m)。
0D=V52-42=3(m,BD=OB-0D=4-3=1(m)。答：下降1m。
变式8.2如图，太阳能板AB长2m,与过A的水平线AC成30°角，BC⊥AC。点
A离水平地面1m,板的厚度忽略不计。(1)求板的最高点B离地面的高度；(2)
求板在水平方向所占的长度AC。
B
E
解：(1)BC=2sin30°-1(m),最高点离地面1+1=2(m)。
(2)AC=2cos30°=V3(m)。
第17页共24页
解直角三角形
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二综合训练
【A组基础达标】
A1如图，固定电线杆的钢索AC长10m,钢索与水平地面AB的夹角为a,
c0Sa=0.8,BC⊥AB。求固定点C离地面的高度BC。
C
B
解：AB=10x0.8=8(m),BC=V102-82=6(m)。答：高度为6m。
A2如图，坡面AB的坡度为1：V3,AC水平，BC⊥AC。坡角∠BAC等于
()。
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
B
◇
C
第18页共24页
解直角三角形
教师详解版
解：tan∠BAC=1-3
33,所以∠BAC=30。,故选B。
A3如图，一棵树在距地面6的B处折断，树梢C落在水平地面上，树根为A,
AB⊥AC,∠BCA=30°。折断部分仍与B相连且保持笔直。求树折断前的高度。
A
AB
解：BC-sin30=6x2=12(m。
原树高为AB+BC=6+12=18(m)。
A4B地在A地北偏西30°方向，AB=10km。求B地在A地正西方向和正北方向上
的距离。
B
C
北
解：向西距离为10sin30°=5(km,向北距离为10cos30°=5V3(am)0
第19页共24页
解直角三角形
教师详解版
B组·综合进阶】
B1如图，两根竖直立柱AB、CD的高度分别为7m、3m,底端B、D在同一水平
地面上，BD=4V3,用拉直的钢索AC连接两柱顶端。求钢索长度及钢索与水平
线的夹角。
E--
B
解：过C作CE LAB于E,则CE=BD=4V3m,AE=7-3=4m。
AC=V(4V32+42=8(m)
设夹角为a,则ana=
433,故a=30°。答：钢索长8m,夹角为30。
4V3
B2如图，从离水平地面40m的观测点D,测得同一直线上先后两个位置C、B的汽
车的俯角分别为30°、45°。A为D在地面的垂足，B在A、C之间。求汽车从C行驶
到B的距离。
A
解：∠DCA=30°，∠DBA=45°。
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解直角三角形
教师详解版
AC=
40
40
tan30 -403(m),AB-tand5 40(m).
BC=AC-AB=40(V3-1)(m)。
B3如图，一座人字形屋顶的截面为△ABC,水平跨度AB=12m,∠CAB=30,
∠CBA=60°。求屋面AC、BC的长度及该截面的面积。
B
解：∠ACB=90°，AC=12cos30°=6W3(m),BC=12sin30°=6(m)0
SAARc-xACxBC-x6/3x6-1813(m
B4如图，某通道需修建直线坡道AB,入口B比地面A高1.2m,坡度不得大于
1：12。场地最多能提供13m的水平长度。(1)判断能否按要求修建该直线坡道；
(2）若扩大场地，坡度恰为1：12，求所需的水平长度和坡道长度。（坡道长度精
确到0.01m)
B
A
1
解：(1)坡度不得大于之，要求水平长度至少为1.2×12=14.4(m)。13<14.4,
故不能。
(2）水平长度为14.4m,坡道长度为V14.42+1.22=208.8≈14.45(m)。
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解直角三角形
教师详解版
【C组挑战突破)
C1如图，一根长8m的直杆，一端由铰链A固定在距水平地面2m处，另一端在同
一竖直平面内由C转至B。直杆与过A的水平线的夹角由30°增大到60°。(1)求杆
端上升的高度；(2）若场地上方的水平限高线距地面9m,杆转动到60°时是否触
及限高线？（结果保留根号）
B
H
局部放大
C
B
E
解：(1)初始杆端高为2+8sin30°=6(m)；转动后高为2+8
sin60°=2+4V3(m)o
上升高度为2+4V3)-6=4V3-4(m)。
(2)4V3<7,因为两数均为正，且48<49；故2+4V3<9。杆端是杆上最高点，所
以此时未触及限高线。
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解直角三角形
教师详解版
C2如图，塔AB竖直立在水平地面上，C、B在同一水平面内。从C测得塔顶A的
仰角为30°，沿朝向塔的直线坡道行至D,D比C高4m,且C、D的水平距离为12
m。在D测得塔顶A的仰角为60°。D在塔的同侧且尚未到塔脚正上方。求塔高AB。
B
C
解：过D作DE LBC于E,设AB=hm,则BC=V3hm,
BE=BC-CE=V3h-12(m)。
过D作DF⊥AB于F,则DF=BE,BF=DE=4m。
由AF=DF tan60°得h-4=(V3h-12)V3,解得h=6V3-2。
此时BE=6-2V3>0,AF=6V3-6>0,符合题意。答：塔高(6V3-2)m。
C3如图，拟将长10的直梯AB按图示位置放置，A在水平地面上，B在竖直墙面
上，墙脚为C,∠BAC=60°。地面上有一处竖直障碍物DE,D在线段AC上且
DC=3m,DE=4m。判断直线AB在D正上方的高度是否高于障碍物顶端E。
B
解：AC=10cos60°=5(m),BC=10sin60°=5V3(m).
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解直角三角形
教师详解版
设梯子所在直线与过D的竖直线交于F,则AD=AC-DC=2m,DF=AD
tan60°-2√3(m)o
2V3<4,因为12<16，所以梯子所在直线在D正上方的高度低于障碍物顶端。答：
不高于。
C4如图，一艘船从A出发以4km/h的速度向正东方向沿直线航行，测得灯塔C在
A的北偏东60°方向，AC=12km。以灯塔为中心、10km为半径的圆内（不含圆
周)为警戒区域。过C作CD垂直于航线于D。(1)求船与灯塔之间的最短距离；
(2）求船在警戒区域内航行的时间。
解：（1)∠CAD=30°，CD=12sin30°=6(am,AD=12
c0s30°=6V3(m)。
船向东航行会经过D,所以最短距离为6km。
(2）设航线与警戒区域边界交于E、F,E在D的西侧，F在D的东侧，则
CE=CF=10km。
DE=DF=V102-62=8(m)。因AD=6V3>8,出发点A在E的西侧，船会依次
经过E、D、F。
EF=16km,区域内航行时间为-4五。不含边界的两个瞬间不改变这段持续
时间。
第24页共24页解直角三角形 学生版
解直角三角形的实际应用
2026—2027学年九年级下册数学专题讲义（苏科版）
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起始页
题型一
选择合适的三角比
2
题型二
单点测高与仪器高度
4
题型三
两个测点共用一个高度
6
题型四
仰角与俯角的组合
8
题型五
方位角与航行距离
10
题型六
坡度与坡面长度
12
题型七
构造直角三角形测距与求面积
13
题型八
安装尺寸与安全判断
15
A组
基础达标
17
B组
综合进阶
19
C组
挑战突破
21
姓名： ________ 班级： ________
一 题型精讲
题型一 选择合适的三角比
知识要点：在中，。对锐角A，sin ，cos ，tan 。正弦是对边与斜边的比，余弦是邻边与斜边的比，正切是对边与邻边的比。斜边总是直角的对边。
30°、45°、60°的三角比是常用的特殊角三角比，数值见下表。三角比是两条边长的比，没有长度单位。
解直角三角形是根据已知的边、角求出其余的边、角。两锐角互余，两直角边的平方和等于斜边的平方。已知量与所求量涉及哪两条边，就选用相应的三角比。
锐角
30°
45°
60°
正弦sin
余弦cos
正切tan
1
典例1 如图，一架长13 m的梯子AC斜靠在竖直墙面BC上，梯脚A到墙脚B的距离为5 m，地面AB水平。（1）求梯子顶端C离地面的高度；（2）求梯子与地面夹角的正弦值和余弦值。
解：在中，。
，。
答：顶端离地面12 m，夹角的正弦值为，余弦值为。
变式 1.1 如图，缆绳AC长10 m，与水平地面AB的夹角为30°，BC垂直于AB。缆绳固定点C离地面的高度BC为（ ）。
A． m B．5 m C． m D．20 m
变式 1.2 如图，屋面AB与水平线AC的夹角为30°，BC垂直于AC， m。求屋面AB的长度和屋脊B高出A的高度。
题型二 单点测高与仪器高度
知识要点：仰角是视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角；俯角是视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角。角的顶点在观测点，不在被测物上。
测角仪在地面以上时，由三角比求得的通常是被测物顶端与仪器的高度差。被测物底部与仪器脚在同一水平面上，且顶端高于仪器时，总高度高度差仪器高度；顶端低于仪器时，总高度仪器高度高度差。
影长、绳长、水平距离不是同一个量；先分清直角边与斜边。计算中尽量保留精确值，最后按要求取近似值并写单位。
典例2 如图，旗杆BC竖直立在水平地面上。测角仪位于点D， m， m，。过D作水平线DE交BC于E，测得。求旗杆BC的高度。
解：，，所以 m， m。
在中， 。
。答：旗杆高 m。
变式 2.1 如图，竖直树干BC在水平地面上的影长AB为 m，太阳光线AC与地面成30°角。求树高BC。
变式 2.2 如图，一根拉直的绳AC长40 m，绳端A固定在离水平地面 m处，另一端C系住气球。绳AC与过A的水平线AB成60°角，。求气球C离地面的高度。（结果保留根号）
题型三 两个测点共用一个高度
知识要点：同一竖直物体、同一水平地面上的两个测点，可以建立两个直角三角形。设共同高度或共同的水平距离为未知数，由两个三角形中的关系联立求解。
两测点在物体同侧时，水平距离相减；在物体两侧时，水平距离相加。仪器高度相同时，共用的是物体顶端与仪器的高度差。
典例3 如图，塔AD竖直立于水平地面上，A、B、C在同一直线上，B位于A、C之间， m。在B、C两点分别测得塔顶D的仰角为60°、30°，不计测量者身高。求塔高AD。
解：设 m。在中，。
在中，。
由，得，解得。
答：塔高 m。
变式 3.1 如图，A、B、C在同一条水平直线上，塔脚B位于A、C之间， m，塔顶为D，。测得，。求塔高BD。
变式 3.2 如图，塔AD与水平地面垂直。B、C在塔的同侧，B在A、C之间， m。在B、C处使用高度均为 m的测角仪，仪器位置分别为E、F；过E、F的水平线交AD于G。测得，。求塔高AD。
题型四 仰角与俯角的组合
知识要点：不同位置的水平线互相平行，同一条视线与这些水平线形成的相应锐角相等。俯角不能误标成视线与竖直线的夹角。
一个观测点同时看见建筑物的顶部与底部，先求共同的水平距离，再求两个高度差。目标在水平线上、下两侧时，高度差相加；同侧时相减。
典例4 如图，无人机位于点C，距水平地面的高度CD为72 m。建筑物AB竖直，B、D在同一水平地面上。过C作水平射线CE指向建筑物一侧，测得顶部A、底部B的俯角分别为30°、60°（即，。求建筑物AB的高度。
解：由水平线平行可得，所以。
过A作于F，则 m，。
，。答：建筑物高48 m。
变式 4.1 如图，观测点A位于离海面24 m的崖顶，AB垂直于水平海面BC。过A的水平线AD与观察船只C的视线AC所成的俯角为30°。求船只C到崖脚B的水平距离。
变式 4.2 如图，在高12 m的楼顶A测得另一建筑物顶部C的仰角为45°、底部D的俯角为30°，B、D在同一水平地面上，AB、CD均竖直。过A的水平线交CD于E。求CD的高度。
题型五 方位角与航行距离
知识要点：北偏东α表示从正北方向向东转α。方位角以观测点为顶点，先画正北方向，再画目标方向。各点的南北线互相平行，东西方向与南北方向垂直。
已知斜向距离时，可用三角比求南北距离、东西距离；已知两个地点看到同一目标的方向时，要结合两地连线的方向求出三角形的内角。
典例5 如图，A、B两地在东西方向的直线上，B在A的正东方向， km。C地位于A地北偏东60°方向，同时位于B地北偏西30°方向。求A、C两地的距离。
解：，，所以。
。答：A、C两地相距 km。
变式 5.1 如图，一艘船从A地沿北偏东60°方向航行20 km到B地，过B作BC垂直于A处的正北方向线于C。求B地在A地正东方向和正北方向上的距离。
变式 5.2 如图，一艘船从A地向正东方向航行8 km到B地。在A地测得灯塔C位于北偏东45°方向，在B地测得C位于北偏西30°方向。过C作于D，且D在线段AB上。求灯塔C到航线AB的距离。
题型六 坡度与坡面长度
知识要点：坡度是坡面两端的竖直高度差h与水平距离l的比，即，其中α为坡角。坡度1∶2表示每上升1个单位，对应水平前进2个单位，不是沿坡面前进2个单位。
坡面长度是直角三角形的斜边。已知坡长s时，高度差 sinα，水平距离 cosα。百分数形式的坡度同样表示高度差与水平距离的比。
典例6 如图，斜坡AB的坡度为1∶2，B比A高3 m，过B作于C，AC为水平线。（1）求AC；（2）求坡面AB的长度。
解：由、 m，得 m。
。答：水平距离为6 m，坡面长 m。
变式 6.1 如图，斜坡AB长8 m，坡角，，AC水平。求坡度及高度差BC。
变式 6.2 一段直线公路的坡度为6%，其两端的水平距离为500 m。求这段公路两端的高度差。
题型七 构造直角三角形测距与求面积
知识要点：求不可直接测量的距离，可在能到达的一侧选取测点，作垂线，把所求距离放入直角三角形。图中必须明确垂直关系和测得的角。
非直角三角形常通过作高分成两个直角三角形；用共同高度把两段底边联系起来。梯形截面中的斜坡可分别作垂线，先求上下底的差，再求面积。
典例7 如图，河岸上的A、B两点相距40 m，对岸标志C与A的连线垂直于AB，测得。求河宽AC。（结果保留根号）
解：在中， 。
答：河宽为 m。
变式 7.1 如图，一块三角形草坪ABC， m，，，于D。求草坪的面积。
变式 7.2 如图，堤坝的横截面是梯形ABCD，，上底 m，高为8 m。两侧坡面AB、DC的坡度分别为1∶1.5、1∶0.75。过A、D作、，垂足分别为E、F，B、E、F、C依次在同一直线上。求该横截面的面积。
题型八 安装尺寸与安全判断
知识要点：门扇、支架、梯子等长度固定时，转动后可用正弦或余弦求竖直、水平距离。作判断时，比较的必须是同一方向上的距离。
接触边界也属于碰到；判断“能否通过”“是否符合要求”时，应把等号情形算清。先完成几何计算，再回到实际要求作出结论。
典例8 如图是车门开启的俯视示意图。铰链位于O，关闭时门扇沿OB方向，OB与墙MN平行，O到墙的距离为 m。门扇OA长 m，开启角，门扇向墙一侧开启。不计门扇厚度，此时门扇是否碰墙？若没有碰墙，求门扇端点A到墙的距离。
解：过A作于H，则 。
门扇上各点到OB的最大距离为 m，小于墙与OB的距离 m，因此没有碰墙。
A到墙的距离为。答：没有碰墙，端点到墙的距离为 m。
变式 8.1 如图，长5 m的梯子AB靠在竖直墙面上，顶端B距水平地面4 m，梯脚为A，墙脚为O。将梯脚沿地面向远离墙的方向移动1 m到C，梯子顶端沿墙滑至D。求顶端下降的距离BD。
变式 8.2 如图，太阳能板AB长2 m，与过A的水平线AC成30°角，。点A离水平地面1 m，板的厚度忽略不计。（1）求板的最高点B离地面的高度；（2）求板在水平方向所占的长度AC。
二 综合训练
【A组·基础达标】
A1 如图，固定电线杆的钢索AC长10 m，钢索与水平地面AB的夹角为α，，。求固定点C离地面的高度BC。
A2 如图，坡面AB的坡度为，AC水平，。坡角等于（ ）。
A．15° B．30° C．45° D．60°
A3 如图，一棵树在距地面6 m的B处折断，树梢C落在水平地面上，树根为A，，。折断部分仍与B相连且保持笔直。求树折断前的高度。
A4 B地在A地北偏西30°方向， km。求B地在A地正西方向和正北方向上的距离。
【B组·综合进阶】
B1 如图，两根竖直立柱AB、CD的高度分别为7 m、3 m，底端B、D在同一水平地面上， m，用拉直的钢索AC连接两柱顶端。求钢索长度及钢索与水平线的夹角。
B2 如图，从离水平地面40 m的观测点D，测得同一直线上先后两个位置C、B的汽车的俯角分别为30°、45°。A为D在地面的垂足，B在A、C之间。求汽车从C行驶到B的距离。
B3 如图，一座人字形屋顶的截面为，水平跨度 m，，。求屋面AC、BC的长度及该截面的面积。
B4 如图，某通道需修建直线坡道AB，入口B比地面A高 m，坡度不得大于1∶12。场地最多能提供13 m的水平长度。（1）判断能否按要求修建该直线坡道；（2）若扩大场地，坡度恰为1∶12，求所需的水平长度和坡道长度。（坡道长度精确到 m）
【C组·挑战突破】
C1 如图，一根长8 m的直杆，一端由铰链A固定在距水平地面2 m处，另一端在同一竖直平面内由C转至B。直杆与过A的水平线的夹角由30°增大到60°。（1）求杆端上升的高度；（2）若场地上方的水平限高线距地面9 m，杆转动到60°时是否触及限高线？（结果保留根号）
C2 如图，塔AB竖直立在水平地面上，C、B在同一水平面内。从C测得塔顶A的仰角为30°，沿朝向塔的直线坡道行至D，D比C高4 m，且C、D的水平距离为12 m。在D测得塔顶A的仰角为60°。D在塔的同侧且尚未到塔脚正上方。求塔高AB。
C3 如图，拟将长10 m的直梯AB按图示位置放置，A在水平地面上，B在竖直墙面上，墙脚为C，。地面上有一处竖直障碍物DE，D在线段AC上且 m， m。判断直线AB在D正上方的高度是否高于障碍物顶端E。
C4 如图，一艘船从A出发以4 km/h的速度向正东方向沿直线航行，测得灯塔C在A的北偏东60°方向， km。以灯塔为中心、10 km为半径的圆内（不含圆周）为警戒区域。过C作CD垂直于航线于D。（1）求船与灯塔之间的最短距离；（2）求船在警戒区域内航行的时间。
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