专题7 动点最值之瓜豆模型 讲义 2026年中考数学二轮复习
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摘要：
该初中数学中考复习讲义聚焦“动点最值之瓜豆模型”专题，覆盖中考高频考点，梳理直线型、圆弧型两大轨迹类型及6大核心题型，通过“知识梳理-模型解析-题型精讲-变式训练”四环节，帮助学生构建从原理到应用的完整知识体系，突破动点轨迹与最值求解难点。
亮点在于“原理具象化+题型分层化”教学策略，如通过构造中位线（题型1）、轨迹旋转（题型3）等实例，培养学生几何直观与模型观念，结合例题精讲与变式拓展，强化推理意识。分层设计基础题与综合题，配合即时反馈机制，助力学生高效掌握解题通法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生中考应考能力。
内容正文：
2026年中考数学二轮复习
专题7 动点最值之瓜豆模型（2个知识点+6大题型）
一、知识梳理
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。
只要满足：
则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。
1、两“动”，一“定”
2、两动点与定点的连线夹角是定角
3、两动点到定点的距离比值是定值
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
1、直线型模型
模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
2、曲线型模型
模型2-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是什么？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型2-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型2-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是什么？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型2-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。
分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
二、题型精讲
题型1 构造中位线
例1.如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上，
当C，Q，G三点共线时，最大，，
∵，，，∴，∴，
∴，即的最大值为．故选A
【变式1-1】如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小值，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案．
【详解】解：如图，连接交于，连接，
∵，，∴，，∴，
，
∵点是的中点，∴，∴是的中位线，∴，
∴当最小值，最小，∴当运动到时，最小，此时也为最小，
∵，∴的最小值为，故选：A．
【变式1-2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
【分析】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
【答案】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME＝AD＝2．
∴在△CEM中，5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
题型2 直线型轨迹
例2.如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G．根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，AF的长最小．再证明△BEO∽△BAF，可得，再证明△AGE∽△ACB，，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G．
∵四边形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴点F在∠ABC的平分线上运动，
∴当AF⊥BF时，AF的长最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，
在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，
∴，∴，∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故选：A
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．
【变式2-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：
考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹．
CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．
根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．
过点E作EF⊥CH于点F，则HF==1，CF=，
所以CH=，因此CG的最小值为．
【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE的最小值为 .
【解答】
【解析】由题意可知C为定点，D点为主动点，路径为线段AB，点E为从动点，
∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45º，，
结合瓜豆原理内容可知从动点E的路径为一条线段，可以看成是由线段AB先绕着定点C逆时针旋转45º，再以定点C为位似中心，以为位似比缩小来的，
如图，将BE的最小距离转化为点到线的最小距离（点B到的最短距离），
由旋转相似可得，，
，在中，有，则，
∴线段BE的最小值为.
题型3 圆弧型轨迹
例3.如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【分析】把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， 点B是上一点，则点是上一点，当点三点共线，即点在上时，最小．
【详解】解：如图，把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2，
，，
，，，，
过作于点，，
在中，，
点B是上一点，则点是上一点，，
当点三点共线，即点在上时，最小，
，故线段的最小值为．故选：A．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法．
【变式3-1】如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____．
【答案】
【详解】解：如图，在上方以为一边作等边，连接，
和都是等边三角形，，
，即，
在和中，，，，
点在以点为圆心，长为半径的圆上，如图，设与交于点，过点作于点，则，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
，，是等边三角形，，
，，
在中，，则，
即的最小值为，故答案为：．
【变式3-2】如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．
【解析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，
故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．
考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．
直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．答案为
【变式3-3】如图，在矩形中，，，点为矩形对角线上一动点，连接，以为边向上作正方形，对角线交于点，连接，则线段的最小值为
【答案】
【分析】作于点则由正方形的性质得所以 取的中点连接以点为圆心为半径作则点、点都在上, 所以可知点在过点且与直线所交成的锐角为的直线上运动，则当时，线段的值最小，此时由矩形的性质得，则由得所以于是得到问题的答案．
【详解】如图，作于点，则∵四边形是正方形，
∴且
取的中点连接以点为圆心为半径作，
∴点、 点都在上，
∴点在过点且与直线所交成的锐角为的直线上运动，
∴当时，线段的值最小，如图，则
∵点、点都在以为直径的圆上，，，
∵四边形是矩形，，
，
∴的最小值为故答案为：．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
题型4 路径长度类问题
例4.如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，
∵O为AB的中点，
∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，
∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在Rt△AOP和△COQ中
，
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，
∴PE=AP=CQ，QF=BQ，
∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，
∵M点为PQ的中点，
∴MH为梯形PEFQ的中位线，
∴MH=（PE+QF）=，
即点M到AB的距离为，
而CO=1，
∴点M的运动路线为△ABC的中位线，
∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，
故选C．
【变式4-1】如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是 ，当从点运动到点时，点的运动总路径长是 ．
【答案】
【分析】由，可得在以为圆心，为半径的圆上运动从运动到，当、、共线时，最小；连接，，可证明∽，从而得出，故点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点从点运动到点时，点运动，进一步求得结果．
【详解】解：如图，连接，而，，
∴，由折叠得：，
点在以为圆心，为半径的圆上运动从运动到，
当、、共线时，最小，，连接，
，，，同理：，
，，，
，∽，，，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，
当点从点运动到点时，点运动，
，点运动的路径长为：，故答案为：，．
【点睛】本题考查了轴对称性质，等腰直角三角形性质，相似三角形判定和性质，确定圆的条件，圆的周长公式等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
【变式4-2】【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，
证明过程缺失
2°当点在直线上时，易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接．
（1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________．
（2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________．
【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2）
【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案：（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解．
【详解】问题解决：证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，
在和中，，∴，∴；
2°当点在直线上时，则．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆；
结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，
∴点的运动路径长为；
（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，
如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小，由题意得：，，，，
， ，
∴由勾股定理得：，∴线段长度的最小值为；
如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大，由题意得：，，
∵，∴，∴，，
∵，∴、、在同一直线上，∴，
∴，∴线段长度的最大值为，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键．
题型5 加权线段和
例5.如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上中点，点F为直线BD上一点．当点M为BE中点，点N在边AC上，且 DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NPMP最小时，直接写出△DPN 的面积．
解：以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于点G，过点P作PH⊥ML于点H，设MP交BD于点K，如图，
Rt△PMH中，HP，∴NP最小即NP+HP最小，此时N、P、H共线，
∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，
∴F在射线QF上运动，则点P在MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，
∴∠BKM＝60°，
∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，
∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四边形GHND为矩形，∴DN＝GH，
∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，
又∵DN＝2NC，∴等边△ABC中，AB＝6，点E为AB的中点，点M为BE中点，
∴BM，BD＝AB•sinA＝6×sin60°，
Rt△BGM中，MG，BG＝BM•cos30°，
∴MH＝MG+GH，GD＝BD﹣BG，Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°，
∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP，∴S△DPN．
【变式5-1】【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：
【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．
【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3）
【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立；（2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故；（3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，，
∵四边形是正方形，∴，，∴，
则，那么，，故答案为：；
（2）判断：，理由如下：∵四边形是矩形，四边形是矩形，
∴，，∴，
∵，，∴
∴，∴，∴；故答案为：；
（3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，
则，∵四边形是矩形，∴，，，
∵，∴，∵，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴点G的运动轨迹是直线，
作点D关于直线的对称点，则，
∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为，由（2）得 ，∴，
∴，∴的最小值为的最小值，即，
∵，，∴，
∴∴，∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解．
题型6 取到最值时求其它量
例6.如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度．
【答案】75
【分析】将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，得到，再由当时，有最小值，可得与均为30°、60°、90°直角三角形，再证明为等腰直角三角形，是等边三角形，进而得到，最后当于H时，有最小值，由此可以求出．
【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，设交于G点，如下图所示：在矩形中，，，根据折叠可知，，，
∴，，∴，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴点在上，
∵垂线段最短，∴当时，有最小值，∴与均为、、直角三角形，
设，，则，，，
∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，
∵，，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．
【变式6-1】如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．
（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；
（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
解：（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，
由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠A=60°，
∴点E的运动轨迹是直线BE，
根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，
此时CD=CE=CF，
∵∠ACB=∠CBE=60°，
∴AC∥EF，
∵AF⊥BE，
∴AF⊥AC，
在Rt△ACF中，
∴CF===，
∴CD=CF=.
【变式6-2】如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ．
解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，
∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，
∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，
∴，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，
∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，
即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，
∴当CG⊥PG时，CG最小，
设此时AE＝x，∵，∴PG，
∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，
代入PG，解得CP＝x，
∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC，
∴x，∴AE．∴CE，故答案为：．
1
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$2026年中考数学二轮复习
专题7 动点最值之瓜豆模型（2个知识点+6大题型）
一、知识梳理
瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。
只要满足：
则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。
1、两“动”，一“定”
2、两动点与定点的连线夹角是定角
3、两动点到定点的距离比值是定值
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
1、直线型模型
模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。
2、曲线型模型
模型2-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是什么？
分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型2-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是什么？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型2-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是什么？
分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型2-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。
此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。
分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
二、题型精讲
题型1 构造中位线
例1.如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【变式1-1】如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【变式1-2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
题型2 直线型轨迹
例2.如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．
【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90º，连接BE，则线段BE的最小值为 .
题型3 圆弧型轨迹
例3.如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【变式3-1】如图，，点O在线段上，，的半径为1，点P是上一动点，以为一边作等边，则的最小值为_____．
【变式3-2】如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．
【变式3-3】如图，在矩形中，，，点为矩形对角线上一动点，连接，以为边向上作正方形，对角线交于点，连接，则线段的最小值为
题型4 路径长度类问题
例4.如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式4-1】如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是 ，当从点运动到点时，点的运动总路径长是 ．
【变式4-2】【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接．
1°当点在直线外时，
证明过程缺失
2°当点在直线上时，易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接．
（1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________．
（2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________．
题型5 加权线段和
例5.如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上中点，点F为直线BD上一点．当点M为BE中点，点N在边AC上，且 DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NPMP最小时，直接写出△DPN 的面积．
【变式5-1】【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______．
【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由：
【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．
题型6 取到最值时求其它量
例6.如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度．
【变式6-1】如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．
（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；
（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．
【变式6-2】如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ．
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