专题06反比例函数期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题06反比例函数期中复习讲义 1.理解反比例函数概念，识别反比例函数三种表达形式，牢记y=(k≠0)，会用待定系数法求反比例函数解析式，能判断点是否在函数图象上。 2.掌握反比例函数图象双曲线的特征，能根据k的正负判断图象所在象限、函数增减性，区分 “在每个象限内” 的增减规律，避免跨象限比较函数值的错误。 3.掌握k的几何意义，理解过双曲线上一点作坐标轴垂线，围成矩形面积等于(|k|)、直角三角形面积等于，熟练解决相关面积计算。 4.会求反比例函数与一次函数的交点坐标，结合函数图象，确定不等式的解集，掌握双曲线中心对称、轴对称性质。 5.能从工程、压强、行程等实际情境中提取数量关系，建立反比例函数模型，确定自变量取值范围，解决实际应用问题。 6.能解决反比例函数与几何图形综合题，结合坐标、线段、面积进行计算。 7.辨析易错点：注意(k≠0)；增减性必须强调 “同一象限内”；计算面积记得加绝对值；实际问题自变量取值要符合现实意义。 8.熟练实现解析式、函数图象、几何图形之间转化，提升数形结合、数学建模的解题素养。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数值求自变量 ★ 题型六 判断（画）反比例函数图象 ★★ 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★★ 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 ★★ 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★ 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★★ 题型十五 根据图形面积求比例系数 ★★★ 题型十六 求反比例函数解析式 ★★ 题型十七 反比例函数与几何综合 ★★★★ 题型十八 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★ 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★ 题型二十二 实际问题与反比例函数 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:反比例函数的概念 1.定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。 2.等价表达式: (1)y= (2) y=kx−1 (3) xy=k 3.取值范围自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数的应用 1. 核心思想 实际问题中，若两个量的积为定值，则它们成反比例关系，可用y= 建模解决。 2. 常见实际模型（必掌握） 行程问题：路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 成反比v=(s为定值) 工程问题：工作总量 W 一定时，效率 P 与时间 t 成反比P=(w为定值) 几何面积：矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比a= (S为定值) 物理关系（如压强、电学）： 压力 F 一定，压强 p 与受力面积 S 成反比：P= 电压 U 一定，电流 I 与电阻 R 成反比：I= 3. 解题一般步骤 1.审：找常量、变量，确认 “积为定值”； 2.设：设反比例函数y= 3.求：用已知条件求 k； 4.用：写出解析式，结合实际意义确定自变量取值范围，再求解问题。 题型一：用反比例函数描述数量关系 1．已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得． A、B、C选项中点的横纵坐标乘积均为6，在函数图象上． D选项：，不在函数图象上． 2．若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 【答案】-2 【分析】设方程的两个根分别为，根据题意得到＝，结合判别式，即可求解． 【详解】解：∵以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y的图象上， ∴设方程的两个根分别为， ∴＝，即， ∴ 解得： ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程 的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，也考查了反比例函数． 3．下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的个数有（ ） 当路程一定时，汽车行驶的平均速度与行驶时间之间的关系． 当电压一定时，电路中的电阻与通过的电流强度之间的函数关系． 当矩形面积一定时，矩形的长宽，之间的函数关系． 当钱数一定时，所买苹果的数量与苹果单价之间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题可先根据题意列出各个函数关系式，再根据反比例函数的定义进行判断． 【详解】（1）v＝是反比例函数； （2）I=是反比例函数； （3）a=是反比例函数； （4）x＝是反比例函数． 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，正确表示出各量之间的函数关系是解决本题的关键． 题型二：根据定义判断是否是反比例函数 4．下列函数是y关于x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项分母为，B选项中的次数为，均不符合反比例函数形式． C选项，是反比例函数． D选项是正比例函数，不符合要求． 5．在下列函数表达式中，表示y是x的反比例函数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义对每个选项一一判断即可． 【详解】是正比例函数，故A选项错误； 不是反比例函数，故B选项错误； 是反比例函数，故C选项正确； 是一次函数，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟记反比例函数的定义是解题关键． 6．在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，为常数且）是解题的关键． 根据反比例函数的定义（形式为或，其中为常数且，自变量单独在分母），逐一判断每个函数是否符合． 【详解】解：①符合形式，，是反比例函数； ②是正比例函数形式，不是反比例函数； ③符合形式，，是反比例函数； ④，即，符合形式，，是反比例函数 ⑤，分母是，不是单独的，不是反比例函数； ⑥，含有常数项，不符合形式，不是反比例函数； 故是反比例函数的有①、③、④，共3个， 故选：C． 题型三：根据反比例函数的定义求参数 7．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，据此列式求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 8．已知是关于的反比例函数，则______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 9．已知是第一象限内的点，且在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C．4 D．－4 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于y轴对称的点的坐标的特征，熟练掌握性质是解题的关键． 利用点在双曲线上得，然后求点关于轴的对称点，代入另一双曲线得，计算值即可． 【详解】解：∵点 在上， ∴ ∵点关于轴的对称点在双曲线上， ∴，代入得： ， ∴， ∴． 故选：D． 题型四：求反比例函数值 10．已知点在反比例函数的图象上，则_________ 【答案】/ 【分析】把点的坐标代入函数关系式即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ． 11．若反比例函数的图象经过，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．将代入即可得到答案． 【详解】解：将代入， 即， ， 故答案为：． 12．已知点，且，在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用点在反比例函数图象上时坐标满足函数解析式，分别求出和，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∴． 13．已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，把变形为，即可求解． 【详解】解：点是反比例函数图象上一点， ，， ， ， 当，时，有最小值为， 故选：A． 题型五：由反比例函数值求自变量 14．已知反比例函数的图像经过点，则m的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了由反比例函数值求自变量，根据题意，把代入，得，再解得m的值，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴把代入，得， ∴， 故答案为：3 15．反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据增减性求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得：， ∴该反比例函数表达式为， 当时，， 解得， ∵， ∴函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∴当时，或． 16．已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先将点代入反比例函数，求出，确定函数解析式．把点代入解析式，算出．根据在函数上，得，结合条件，列出不等式．然后分、两种情况解不等式即可解答． 【详解】解：∵点在上， ∴， ∴反比例函数为． ∵点在上， ∴， ∵点在上， ∴． ∵， ∴ 即， 当时：不等式两边同乘，不等号方向不变，得， ∴； 当时：不等式两边同乘，不等号方向改变，得， ∴，该不等式恒成立，即都满足条件． 综上，的取值范围是或． 题型六：判断（画）反比例函数图象 17．反比例函数的大致图象是（     ） A．B．C．D 【答案】B 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴只有B选项符合题意． 18．函数与的图象如图所示，当（   ）时，． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由函数图象可知，当或时，函数的图象在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，函数的图象在的图象的上方， ∴当或时，． 19．正弦函数在的图象如图所示，若点P在该函数图象上，且（k是常数，），则满足条件的点P的个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据点，，k是常数，，可知点P在函数的图象上，在同一坐标系中画出两者的函数图象，观察反比例函数图象和正弦函数在的图象最多能有几个交点即可求解． 【详解】解： ，k是常数，， 点P在函数（）的图象上，在同一坐标系中画出两者的函数图象如图所示， 根据图象可知，反比例函数（）图象和正弦函数在的图象交点最多为4个， 满足条件的点P的个数最多是4个． 故选：C． 题型七：已知反比例函数的图象，判断其解析式 20．如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值：_______________． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，先求出经过点的反比例函数的解析式分别为，结合已知两点分布在曲线的两侧，即可作答． 【详解】解：设经过点的反比例函数的解析式分别为 把两点分别代入，得出 ∴ 即经过点的反比例函数的解析式分别为 ∵已知两点分布在曲线的两侧，、 ∴ 则（答案不唯一） 故答案为： 21．反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形得出，根据的取值判断即可． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， 当时，， 即， ． 选项中只有4在此范围内， ∴的值可能为4． 22．一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键． 据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：，，， 二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴正半轴． 故选：B． 题型八：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 23．如图，过原点的一条直线与反比例函数的图像分别交于A，B两点．若A点的坐标为，则B点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形， 则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∵A点的坐标为， ∴B点的坐标为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数图象的对称性．反比例函数的图象关于原点对称． 24．点在反比例函数的图象上，其中，则的大小关系是(　　) A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】反比例函数的系数为-2＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 【详解】∵-2＜0， ∴图形位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大， 又∵， ∴y1＜y2， 故选C． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征．解题关键在于注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． 25．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将沿直线翻折后，设点的对应点为点，双曲线经过点，则的值为（  ）    A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】作轴于，轴于，设．依据直线的解析式即可得到点和点的坐标，进而得出，，再根据勾股定理即可得到，进而得出，即可得到的值． 【详解】解：作轴于，轴于，如图，设，    当时，，则， 当时，，解得，则， ∵沿直线翻折后，点的对应点为点， ∴，， 在中，，① 在中，，② ①-②得，把代入①得，解得， ∴， ∴， ∴．故选A． 【点睛】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即． 题型九：已知双曲线分布的象限，求参数范围 26．若双曲线分布在第一、三象限，则k的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质，图象位于第一、三象限，比例系数大于0，列不等式求解的范围． 【详解】解：∵双曲线的图象分布在第一、三象限， ∴， 解得． 27．若点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的范围是_______________． 【答案】 【分析】由的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】由反比例函数（是常数）可知图象位于一、三象限，每一象限内y随x的增大而减小． ∵点都在反比例函数（是常数）的图象上，且， ∴点不在同一象限， ∴点第一象限，点在第三象限． ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 28．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，由图象分布的位置可得，再由时，由图象可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二象限，反比例函数和的图象分布在第一象限， ， 当时，由图象可得， ， 故选：B． 题型十：判断反比例函数的增减性 29．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而增大． 根据反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小即可解答． 【详解】解：由图可知，图象在第三象限， ∴， ∴函数值随着自变量的增大而减小． 故选：A． 30．关于反比例函数，下列描述正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．时，y随x的增大而增大 D．时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了判断反比例函数的增减性等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据反比例函数的性质，结合象限分析函数的增减变化情况． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数在每个象限内，随的增大而减小． 选项A、B未限定象限，表述错误． 选项C中时，应随的增大而减小，表述错误． 选项D中时，函数图象在第三象限内，随的增大而减小，表述正确． 故选：D． 31．在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再结合自变量的取值范围，利用函数的增减性与象限特征比较函数值大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵， ∴点，在第二象限的图象上， ∴． ∵， ∴点在第四象限的图象上， ∴， ∴． 题型十一：判断反比例函数图象所在象限 32．反比例函数的图象在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限， 又， 反比例函数的图象在第四象限． 33．下列函数图像中，可能是反比例函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】直接根据反比例函数的图象性质进行判断． 【详解】解：由，可知反比例函数的图象在一、三象限． A. 反比例函数的图象在一、二象限．故选项A不符合题意； B. 反比例函数的图象与坐标轴相交，错误．故选项B不符合题意； C. 反比例函数的图象在一、三象限．正确，故选项C符合题意； D. 反比例函数的图象在二、四象限．错误，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 34．定义运算：，例如：，．则关于函数的下列说法中错误的是（    ） A．图象经过点 B．当时，随的增大而减小 C．图象位于第二、四象限 D．当时，函数值满足 【答案】C 【分析】先根据定义计算出的值，从而得到，再根据反比例函数图像的性质进行逐一判断即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ A、把点（1，3）代入函数解析式中，可以知道此点在函数图像上，故此说法正确； B、因为函数，即，所以在当时，随的增大而减小，故此说法正确； C、因为函数，即，所以此函数图像经过第一、三象限，故此说法错误； D、因为函数，即，所以在当时，随的增大而减小，即当，，当，，故当时，函数值满足，故此说法正确. 故选C. 【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解判断. 题型十二：已知反比例函数的增减性求参数 35．已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】首先判断出反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中 ∴反比例函数在第一象限中y随x的增大而减小 ∵， ∴ ∴． 36．已知点，均在反比例函数（为常数）的图像上，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】两个点的横坐标均为负数，已知两点纵坐标的大小关系，可通过代入解析式列不等式，结合反比例函数的增减性求解的范围． 【详解】解：点，都在的图像上， 将两点坐标代入解析式得，， ， ，不等式两边同乘得， 移项合并同类项得，解得． 37．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 题型十三：比较反比例函数值或自变量的大小 38．已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是______________． 【答案】 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 39．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是___________（写出一种可能的情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的增减性，分情况讨论两点所在象限，得到满足的的范围，任取符合范围的计算坐标即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象分布在第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 已知，分情况讨论： ① 当时，，两点都在第一象限，由函数增减性可得，满足条件， 取，代入得， 因此符合要求． 验证得，，满足条件． ②当即时，，两点都在第三象限，由函数增减性可得，满足条件， ∴取，得到的坐标也符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 40．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小． 点，，都在反比例函数的图象上，且， 点，位于第一象限，位于第三象限， ． 题型十四：已知比例系数求特殊图形的面积 41．如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，记与轴的交点为， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 42．如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 【答案】3 【分析】连接，由反比例函数的几何意义可得，由题意可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵点A在函数的图象上，过点A作轴于点H， ∴， ∵点P是x轴上一点， ∴， ∴， ∴的面积为． 43．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 题型十五：根据图形面积求比例系数 44．如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则的值为______． 【答案】 【分析】利用点P在第二象限及矩形面积等于的性质确定k值． 【详解】解：设点P的坐标为， 图中矩形面积是4， ， 图象在第二象限， ， ． 45．如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为10，则k的值为________． 【答案】 【分析】设，则，，再根据“的面积为10”列方程求解即可． 【详解】解：设， 则，， 的面积为10， ， ， 解得． 46．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数中心对称性及的几何意义，将四边形面积分割为三个三角形面积之和． 【详解】解：设，其中，， 点在反比例函数上， ， 直线过原点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， ． 题型十六：求反比例函数解析式 47．双曲线过点，则k的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵双曲线过点， ∴． 48．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则___________． 【答案】 【详解】解：由点的坐标为可得， 由点，在格点上可得， 解得， ． 49．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由矩形的性质得到，，即可得到，，，．根据的面积为，得到，根据点在反比例函数图像上，即可求出． 【详解】解：设， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴，，，， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴． 题型十七：反比例函数与几何综合 50．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作轴，若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．根据菱形性质利用勾股定理求出点A坐标，继而得到点B坐标，求出k值即可． 【详解】解：双曲线经过点A， ， ∵， 设，则， ，解得负值已舍去， ，， ， 由勾股定理可得：， 由于四边形是菱形，则， ， 点B在反比例函数的图象上， 故答案为： 51．如图，直线与双曲线交于第一象限的点，与轴交于点，过点作轴于点，连接．若的面积为2，则的值为________． 【答案】4 【分析】作轴于D，如图，则，然后根据k的几何意义确定k的值． 【详解】解：作轴于D，如图， ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 由图象位于第一象限得， ∴． 52．如图，平行四边形的顶点，在函数的图象上，边与轴交于点，轴于点．若，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质，得到，；根据三角形的面积公式，求出，根据点在函数图象上，求出，最后根据，求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 题型十八：反比例函数、二次函数图象综合判断 53．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质．根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； D、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，本选项符合题意； 故选：D． 54．反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，符合题意的是选项A； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，选项都不符合题意． 55．一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象性质，解题的关键是根据一次函数图象确定k的取值范围，再据此分析反比例函数与二次函数图象特征． 先由一次函数图象得出的取值范围，再分别根据反比例函数和二次函数性质，判断其图象所在象限和开口方向等特征，从而确定符合条件的选项． 【详解】解：对于一次函数，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数（为斜率，为截距）性质，斜率，即；截距， 当时，根据反比例函数为常数且性质，反比例函数的图象在一，三象限， ，二次函数图象开口向下；又因为截距，所以二次函数图象与轴正半轴相交． 综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与轴正半轴相交，对比选项，A正确， 故选：A． 题型十九：一次函数与反比例函数图象综合判断 56．当时，反比例函数和一次函数的图象大致是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 根据一次函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象在第一、三象限，同时一次函数经过第一、二、三象限，只有C选项的图象满足要求， 故选：C． 57．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】根据的符号确定反比例函数图象所在象限及一次函数图象经过的象限即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限，故A符合题意； 当时，反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限，此时均不符合题意． 58．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数的性质判断出取值，再根据反比例函数的性质判断出的取值，二者一致的即为正确答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、由函数的增减性可知，但从函数图象与轴的交点来看，相矛盾，故选项不符合题意； B、由函数的增减性可知，但从函数图象与轴的交点来看，相矛盾，故选项不符合题意； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故选项符合题意； D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，即，相互矛盾，故选项不符合题意． 题型二十：一次函数与反比例函数的交点问题 59．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 60．如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】解：∵直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5， ∴不等式的解集是． 61．函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据图象即可求解． 【详解】解：观察图像可知，当时，x的取值范围是或． 题型二十一：一次函数与反比例函数的实际应用 62．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 63．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 64．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 题型二十二：实际问题与反比例函数 65．老李计划寻找一片空地打造稻鱼共生基地，已知老李家离这片空地300米，则老李从家骑自行车匀速行驶到空地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解，结合，可得答案. 【详解】解：∵老李家距离空地米， ∴，即， ∴速度（米/分钟）关于骑车时间（分钟）的函数图象为反比例函数图像，即为双曲线， ∴A、C选项不符合题意， ∵，， ∴B选项符合题意，D选项不符合题意. 66．武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质，得到反比例函数的比例系数大于0，列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：对于反比例函数，当且时，随的增大而减小． 由题意得反比例函数的比例系数，因此可得不等式 移项得 系数化为得 任取一个满足条件的即可，例如． 67．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，根据反比例函数的性质逐项判断. 【详解】解：设函数表达式为 图象过点 ，故 A 说法正确； 当 时，，故 B 说法正确； 当 时，，解得 ，故 C 说法错误； 当 时， 随 的增大而减小，且 ，故 D 说法正确. 解答题 68．一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)该反比例函数的解析式为． (2)的取值范围是． 【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可． （2）当时，求出x的值，再结合反比例函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 则， 解得， 则该反比例函数的解析式为． （2）解：当时，则， 解得． ∵， ∴反比例函数在第二、四象限，且在各自的象限内y随着x的增大而增大． ∴当时，． 69．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为（4，﹣2），反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E． (1)求k的值； (2)若F是OC上一点，且△AFE的面积为3，求直线EF的函数表达式． 【答案】(1)-4 (2)yx+1 【分析】（1）求得线段AB的中点D的坐标，再利用待定系数法求k的值； （2）先求得点E坐标，然后根据题意求得点F坐标，利用待定系数法求直线EF的解析式． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为（4，﹣2），AB的中点为D， ∴D（2，﹣2）， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D， ∴k＝2×（﹣2）＝﹣4， 故k的值为﹣4； （2）解：由（1）可得， 把x＝4代入y得，y＝﹣1， ∴E（4，﹣1）， 连接AF，设F（m，0）， 则OF＝m，CF＝4﹣m， ∴S△AOFOF•OAm， S△CEF（4﹣m）×1＝2m， ∵S梯形OAEC（1+2）×4＝6，△AFE的面积为3， ∴S△AFE＝S梯形OAEC﹣S△AOF﹣S△CEF＝6﹣m﹣（2m）＝3， 解得m＝2， ∴F（2，0）， 设直线EF的解析式为y＝ax+b， 把E（4，﹣1），F（2，0）代入 得， 解得， ∴直线EF的函数表达式为yx+1． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，求得E、F的坐标是解题关键． 70．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： … … … … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 ． 【答案】动手操作： 描点、连线画出函数图象如图示： 探究发现：（1）左，；（2）B； 应用延伸：（1）右平移个单位长度；向下平移个单位长度；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质． 动手操作：列表，描点、连线画出函数的图象即可； 探究发现：结合图象填空即可； 应用延伸：根据发现的规律填空即可． 【详解】解：动手操作 列表： … … … … 描点、连线画出函数图象如图示： 探究发现 （1）将反比例函数的图象向左平移 个单位长度得到函数的图象． 故答案为：左，； （2）上述探究方法运用的数学思想是B． 故答案为：B； 应用延伸 （1）将反比例函数的图象先右平移个单位长度，再向下平移个得到函数的图象． 故答案为：右平移个单位长度；向下平移个单位长度； （2）函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为． 71．如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时，先画出的图象，通过对比与的位置，数出两图象之间的优点个数． （2）先列出矩形内部（不含边界）的所有整数点，根据个优点的条件，分情况讨论这些点在两函数之间的位置，结合反比例函数的性质，列出不等式求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，经过点，，， 如图，画出的图象， 由图可知：和之间（不含边界）有4个优点． （2）解：矩形内部（不含边界）的整数点为： ， ， ， ． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 情况一：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 情况二：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 综上，的取值范围为或． 72．如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的系数的几何意义及矩形的性质与判定，连接，由四边形为矩形，可得，则，同理，再根据四边形的面积为即可求解， 解题的关键是正确理解系数的几何意义，运用数形结合的思想方法． 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点, ∴， ∵在函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴． 73．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 【答案】(1) (2)当时，与之间的函数关系式为，当时， (3)消毒有效 【分析】（1）求出线段的解析式，代入，即可求出第6分钟时消毒效果． （2）代入点B、C的坐标，即可求出线段的解析式． （3）先求出深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，再求出降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，用降消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间减去深消毒阶段消毒效果达到4效力时的时间，与28分钟比较，比28分钟长则有效，反之无效．渐消毒阶段没有达到4效力，不做分析． 【详解】（1）解：根据图像知，线段过点B， 设线段的解析式为（）， 代入点B得到线段解析式： ，解得， ∴线段解析式： ， ∴当6分钟时，为（效力）． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和， 根据题意，得，解得，所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为，故， 解得，故， ∴当时，与之间的函数关系式为，当时，． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为， 故本次消毒有效． 74．【概念理解】已知是的函数，当时，函数值；当时，函数值，若（为正整数），则称为该函数的倍区间．如，函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间． (1)若是函数的倍区间，则__________； 【深入探究】 (2)已知是函数的倍区间（为正整数），点、是函数图象上的两点． ①试说明：； ②当，时，__________； 【拓展应用】 (3)已知是函数的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)2 (2)①根据题意，，，，， ∴， ∴，又i为正整数， ∴， 若，则，这与相矛盾， ∴； ②3； (3)， 【分析】（1）根据题中定义求解即可； （2）①根据题意得到，，，，，进而，根据i为正整数，进行分析可得结论； ②根据题意得到点A、B在第三象限的图象上，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F，由反比例函数的比例系数k的几何意义得到，结合坐标与图形性质求解即可； （3）根据题中定义，结合（2）中结论求得a值；分和两种情况，结合反比例函数的增减性求得函数的最大值和最小值，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∵， ∴； （2）解：①略； ②当，时，，，即， ∴，，又， ∴点A、B在第三象限的图象上，如图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵是函数的3倍区间， ∴由（2）知，解得， ∴， 当时，反比例函数在内，y随x的增大而减小， ∴函数的最大值为，最小值为， 由题意，得，解得； 当时，反比例函数在内，y随x的增大而增大， ∴函数的最小值为，最大值为， 由题意，得，解得； 综上，，． 75．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象： 列表：下表是与的几组对应值，其中______； … 1 2 3 … … 1 2 4 4 2 … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察函数图象，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； (3)根据函数图象直接写出的解集______； (4)①观察发现：若直线交函数的图象于，两点，其中点在轴左侧，点在轴右侧，连接，过点作交轴于，则______； ②类比猜想：若直线交函数的图象于，两点，其中点在轴左侧，点在轴右侧，连接，过点作交轴于，求出四边形的面积． 【答案】(1) ；把图象补充完整如图所示； (2)①在第一象限内，随的增大而减小；在第二象限内，随的增大而增大；②函数图象关于轴对称； (3)或 (4)①；② 【分析】（1）将代入求解，根据表格所给点作图． （2）观察图象即可得出函数的性质． （3）观察图象即可得出不等式的解集． （4）求出，两点的坐标，证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形面积=底×高作答． 【详解】（1）解：将代入得，即；把图象补充完整略； （2）略 （3）解：根据函数图象可得，的解集为或； （4）解：①如图， ∵直线交函数的图象于，两点，其中点在轴左侧，点在轴右侧， ∴，， ∴， ∵在直线上，在轴上， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； ②如图， ∵直线交函数的图象于，两点，其中点在轴左侧，点在轴右侧， ∴， ∴， ∴，， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06反比例函数期中复习讲义 1.理解反比例函数概念，识别反比例函数三种表达形式，牢记y=(k≠0)，会用待定系数法求反比例函数解析式，能判断点是否在函数图象上。 2.掌握反比例函数图象双曲线的特征，能根据k的正负判断图象所在象限、函数增减性，区分 “在每个象限内” 的增减规律，避免跨象限比较函数值的错误。 3.掌握k的几何意义，理解过双曲线上一点作坐标轴垂线，围成矩形面积等于(|k|)、直角三角形面积等于，熟练解决相关面积计算。 4.会求反比例函数与一次函数的交点坐标，结合函数图象，确定不等式的解集，掌握双曲线中心对称、轴对称性质。 5.能从工程、压强、行程等实际情境中提取数量关系，建立反比例函数模型，确定自变量取值范围，解决实际应用问题。 6.能解决反比例函数与几何图形综合题，结合坐标、线段、面积进行计算。 7.辨析易错点：注意(k≠0)；增减性必须强调 “同一象限内”；计算面积记得加绝对值；实际问题自变量取值要符合现实意义。 8.熟练实现解析式、函数图象、几何图形之间转化，提升数形结合、数学建模的解题素养。 题型 考察方向 难度 题型一 用反比例函数描述数量关系 ★ 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 ★ 题型三 根据反比例函数的定义求参数 ★★ 题型四 求反比例函数值 ★ 题型五 由反比例函数值求自变量 ★ 题型六 判断（画）反比例函数图象 ★★ 题型七 已知反比例函数的图象，判断其解析式 ★★ 题型八 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 ★★ 题型九 已知双曲线分布的象限，求参数范围 ★★ 题型十 判断反比例函数的增减性 ★★ 题型十一 判断反比例函数图象所在象限 ★★ 题型十二 已知反比例函数的增减性求参数 ★★ 题型十三 比较反比例函数值或自变量的大小 ★★ 题型十四 已知比例系数求特殊图形的面积 ★★★ 题型十五 根据图形面积求比例系数 ★★★ 题型十六 求反比例函数解析式 ★★ 题型十七 反比例函数与几何综合 ★★★★ 题型十八 反比例函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十九 一次函数与反比例函数图象综合判断 ★★★ 题型二十 一次函数与反比例函数的交点问题 ★★★ 题型二十一 一次函数与反比例函数的实际应用 ★★★ 题型二十二 实际问题与反比例函数 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:反比例函数的概念 1.定义 一般地，形如 y=（k 为常数，k0）的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数。 2.等价表达式: (1)y= (2) y=kx−1 (3) xy=k 3.取值范围自变量 x：x0（分母不能为 0） 函数值 y：y0 知识点02:反比例函数解析式的确定 1.方法：待定系数法（仅需 1 组 x,y 对应值） 2.步骤 知识点03:反比例函数的图象与画法 1.图象形状 反比例函数 y=(k0) 的图象是双曲线，由两个分支组成，关于原点成中心对称。 2.图象画法（三步法） 知识点04:反比例函数的性质（核心考点） 知识点05:比例系数 k 的几何意义 1.过 y=(k0) 图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于 ∣k∣。 2.连接 y=(k0) 图象上任意一点与原点，并从该点向 x 轴、y 轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于 。 3.若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到 ∣k∣ 的值，进而确定函数表达式。 知识点06:反比例函数的应用 1. 核心思想 实际问题中，若两个量的积为定值，则它们成反比例关系，可用y= 建模解决。 2. 常见实际模型（必掌握） 行程问题：路程 s 一定时，速度 v 与时间 t 成反比v=(s为定值) 工程问题：工作总量 W 一定时，效率 P 与时间 t 成反比P=(w为定值) 几何面积：矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比a= (S为定值) 物理关系（如压强、电学）： 压力 F 一定，压强 p 与受力面积 S 成反比：P= 电压 U 一定，电流 I 与电阻 R 成反比：I= 3. 解题一般步骤 1.审：找常量、变量，确认 “积为定值”； 2.设：设反比例函数y= 3.求：用已知条件求 k； 4.用：写出解析式，结合实际意义确定自变量取值范围，再求解问题。 题型一：用反比例函数描述数量关系 1．已知反比例函数则下列各点不在该函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 2．若以方程 的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，则满足条件的k值为_____． 3．下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的个数有（ ） 当路程一定时，汽车行驶的平均速度与行驶时间之间的关系． 当电压一定时，电路中的电阻与通过的电流强度之间的函数关系． 当矩形面积一定时，矩形的长宽，之间的函数关系． 当钱数一定时，所买苹果的数量与苹果单价之间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：根据定义判断是否是反比例函数 4．下列函数是y关于x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 5．在下列函数表达式中，表示y是x的反比例函数是（     ） A． B． C． D． 6．在下列函数的解析式中，均表示自变量：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的反比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三：根据反比例函数的定义求参数 7．若函数是反比例函数，则k的值为__________． 8．已知是关于的反比例函数，则______． 9．已知是第一象限内的点，且在双曲线上，点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为（   ） A． B． C．4 D．－4 题型四：求反比例函数值 10．已知点在反比例函数的图象上，则_________ 11．若反比例函数的图象经过，则的值是_______． 12．已知点，且，在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 13．已知点是反比例函数图像上一点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 题型五：由反比例函数值求自变量 14．已知反比例函数的图像经过点，则m的值为________． 15．反比例函数的图象经过点，当时，x的取值范围是________． 16．已知点，，三点均在反比例函数的图象上，若为正数，则t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 题型六：判断（画）反比例函数图象 17．反比例函数的大致图象是（     ） A．B．C．D 18．函数与的图象如图所示，当（   ）时，． A．或 B．或 C．或 D．或 19．正弦函数在的图象如图所示，若点P在该函数图象上，且（k是常数，），则满足条件的点P的个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型七：已知反比例函数的图象，判断其解析式 20．如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值：_______________． 21．反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 22．一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型八：由反比例函数图象的对称性求点的坐标 23．如图，过原点的一条直线与反比例函数的图像分别交于A，B两点．若A点的坐标为，则B点的坐标为________． 24．点在反比例函数的图象上，其中，则的大小关系是(　　) A． B． C． D．不能确定 25．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将沿直线翻折后，设点的对应点为点，双曲线经过点，则的值为（  ）    A．8 B．6 C． D． 题型九：已知双曲线分布的象限，求参数范围 26．若双曲线分布在第一、三象限，则k的取值范围是____________． 27．若点都在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的范围是_______________． 28．如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型十：判断反比例函数的增减性 29．反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 30．关于反比例函数，下列描述正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．时，y随x的增大而增大 D．时，y随x的增大而减小 31．在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十一：判断反比例函数图象所在象限 32．反比例函数的图象在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 33．下列函数图像中，可能是反比例函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   34．定义运算：，例如：，．则关于函数的下列说法中错误的是（    ） A．图象经过点 B．当时，随的增大而减小 C．图象位于第二、四象限 D．当时，函数值满足 题型十二：已知反比例函数的增减性求参数 35．已知和两点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是_____． 36．已知点，均在反比例函数（为常数）的图像上，且，则的取值范围是________． 37．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型十三：比较反比例函数值或自变量的大小 38．已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是______________． 39．已知点，在反比例函数的图象上．若，则点A的坐标可以是___________（写出一种可能的情况即可）． 40．已知点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 题型十四：已知比例系数求特殊图形的面积 41．如下图，点A，B分别是反比例函数和部分图象上的点，轴，点C是x轴上一点，则的面积为________． 42．如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 43．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 题型十五：根据图形面积求比例系数 44．如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积是4，则的值为______． 45．如图，点P在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为10，则k的值为________． 46．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为，则（     ）． A． B． C． D． 题型十六：求反比例函数解析式 47．双曲线过点，则k的值为_______． 48．如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则___________． 49．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，双曲线分别与边，相交于点，，且点，分别为，的中点，连接，若的面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型十七：反比例函数与几何综合 50．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作轴，若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则______． 51．如图，直线与双曲线交于第一象限的点，与轴交于点，过点作轴于点，连接．若的面积为2，则的值为________． 52．如图，平行四边形的顶点，在函数的图象上，边与轴交于点，轴于点．若，则平行四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 题型十八：反比例函数、二次函数图象综合判断 53．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 54．反比例函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 55．一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型十九：一次函数与反比例函数图象综合判断 56．当时，反比例函数和一次函数的图象大致是（    ） A． B． C．D． 57．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（） A． B．C．D． 58．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B．C．D． 题型二十：一次函数与反比例函数的交点问题 59．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 60．如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 61．函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 题型二十一：一次函数与反比例函数的实际应用 62．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是______分钟．    63．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 64．实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 题型二十二：实际问题与反比例函数 65．老李计划寻找一片空地打造稻鱼共生基地，已知老李家离这片空地300米，则老李从家骑自行车匀速行驶到空地的速度v（米/分钟）关于骑车时间t（分钟）的函数图象可能为（     ） A． B． C． D． 66．武汉光谷作为国家自主创新示范区，高新企业数量连年攀升．经统计，光谷某高新产业园的入驻企业年均产值（单位：亿元）与园区投入的研发资金x（单位：千万元）近似满足反比例函数关系．已知当时，入驻企业年均产值随研发资金的增大而减小，请写出一个满足条件的m的值：______． 67．将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度与粗细（横截面面积）之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（     ） A．该函数表达式为 B．当时， C．当面条的总长度不超过3200时， D．当时， 解答题 68．一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的解析式． (2)当时，求的取值范围． 69．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，点B的坐标为（4，﹣2），反比例函数y（x＞0）的图象经过AB的中点D，交BC于点E． (1)求k的值； (2)若F是OC上一点，且△AFE的面积为3，求直线EF的函数表达式． 70．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： … … … … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 ． 71．如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 72．如图，B为第一象限内一点，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A，C，E为的中点，函数的图象经过点E且交于点F，已知四边形的面积为2，求k的值． 73．某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图像，其中线段段为渐消毒阶段，线段段为深消毒阶段，曲线段是反比例函数图像的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第6分钟时消毒效果为 效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，可产生消毒作用，通过计算说明本次消毒是否有效． 74．【概念理解】已知是的函数，当时，函数值；当时，函数值，若（为正整数），则称为该函数的倍区间．如，函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间． (1)若是函数的倍区间，则__________； 【深入探究】 (2)已知是函数的倍区间（为正整数），点、是函数图象上的两点． ①试说明：； ②当，时，__________； 【拓展应用】 (3)已知是函数的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 75．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图象： 列表：下表是与的几组对应值，其中______； … 1 2 3 … … 1 2 4 4 2 … 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整； (2)通过观察函数图象，写出该函数的两条性质： ①______； ②______； (3)根据函数图象直接写出的解集______； (4)①观察发现：若直线交函数的图象于，两点，其中点在轴左侧，点在轴右侧，连接，过点作交轴于，则______； ②类比猜想：若直线交函数的图象于，两点，其中点在轴左侧，点在轴右侧，连接，过点作交轴于，求出四边形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $