6.5 二次函数与一元二次方程之间的关系（第1课时）（教学设计）数学新教材苏科版九年级下册

年级

九年级

学科

数学

课型

新授课

教材

苏科版九年级下册

教学目标

1.知道二次函数与一元二次方程的关系，理解如果二次函数 的图象与 轴有公共点，那么该公共点的横坐标是方程 的根。

2.知道二次函数 的图象与 轴的公共点情况有三种，对应一元二次方程 的根的三种情况，会应用一元二次方程根的判别式判断抛物线与 轴的位置关系，体会数形结合思想。

教学重点

二次函数图象与 轴公共点横坐标和一元二次方程根的关系；

用判别式判断抛物线与 轴的位置关系。

教学难点

二次函数与一元二次方程关系的抽象概括，以及含参问题中判别式符号讨论与数形结合、分类讨论的严谨表达。

教材分析

本节教学内容源于苏科版九年级下册第六章《二次函数》第五节《二次函数与一元二次方程之间的关系》（第1课时）。核心知识点：二次函数 的图象与 轴公共点的横坐标是一元二次方程 的根；抛物线与 轴公共点个数对应方程根的个数，可用判别式 判断。

本课从一次函数与一元一次方程的关系类比引入，借助具体二次函数图象与 轴的交点，引导学生归纳“形”的交点横坐标就是“数”的方程根；再通过三组图象与方程根的情况，以判别式统整交点个数，实现由数想形、由形想数。该内容建立函数与方程的联系，为后续用函数观点研究方程、不等式及实际问题奠定基础。教学重点为：理解二次函数与一元二次方程的关系，会用判别式判断抛物线与 轴的位置关系。

学情分析

学生已学习一次函数与一元一次方程的关系、一元二次方程及其根的判别式、二次函数图象与性质，具备由具体实例归纳关系和数形转化的基础。借助图象找交点、由 得方程较易；将交点个数与方程根的情况建立一般对应，并在含参问题中讨论 的符号、严谨表达结论较难。教学中应多用图象对照与变式训练，帮助学生突破数形结合和分类讨论的难点。

教学过程

教学内容

设计意图

课堂导入

【复习回顾】

【师生活动】

教师提问“一次函数 与一元一次方程 有怎样的关系？”

学生回答：当 时， 的值就是方程 的解；图象与 轴交点的横坐标也是方程的解，体现“数”与“形”的对应。

【生活情境，引发思考】

问题：某喷泉水流局部高度 （单位：m）与水平距离 （单位：m）可近似为二次函数 。水流落地时高度 ，怎样求落地点的水平距离？

【师生活动】

教师引导学生把“落地”抽象为“令 ”，

学生尝试说出需解方程 ，并思考方程根与抛物线 与 轴公共点的关系。

以一次函数与一元一次方程的关系为迁移起点，明确本课学习方向，降低认知坡度。由现实问题抽象为“令 ”，激发兴趣，引出“二次函数图象与 轴公共点”和“一元二次方程根”的核心问题。

探究点1：二次函数图象与 轴公共点横坐标与一元二次方程根的关系

【问题引入】

二次函数 的图象与 轴的公共点，与一元二次方程 的根有什么关系？

思考：1．抛物线与 x 轴有几个公共点？

2个

2．公共点的纵坐标有什么特点？

都等于0

3．公共点的坐标是什么？

由具体图象和方程根建立对应关系，再通过例1初步应用“交点问题转化为方程问题”，突破关系理解难点。

、

4．一元二次方程 x2－2x－3＝0的根是什么？

，

5．从中你能得到什么启示？

一元二次方程 x2－2x－3＝0的两个根就是二次函数 y＝x2－2x－3的图象与x轴交点的横坐标．

【师生活动】

教师展示图象，标注公共点 、；

学生解方程并观察坐标；

教师追问“公共点的纵坐标为什么都是0”，引导学生归纳关系。

【详细过程】

令 ，得 ，因式分解得 ，

所以 ，。

图象与 轴交于 、。

可见方程的两个根就是图象与 轴公共点的横坐标。

【知识归纳】

一般地，二次函数 中，当 时得到 ，所以图象与 轴公共点的横坐标就是方程 的根，交点问题可转化为方程问题。

【例题巩固】

【例1】不画图象，判断二次函数 的图象与 轴是否有公共点。

关键思路是“令 ，转化为方程，用判别式判断根的情况”。

解：令 ，得 。

其判别式 ，

所以方程 没有实数根。

答：二次函数 的图象与 轴没有公共点。