专题01二次函数的图像和性质同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年苏科版九年级数学下册

专题01二次函数的图像和性质同步讲义 【题型01 y=ax2图象与性质】.............................................4 【题型02 y=ax2+k图象与性质】...........................................8 【题型03 y=a(x-h)2图象与性质】.........................................10 【题型04 y=a(x-h)2+k图象与性质】.......................................12 【题型05 一般式化顶点式】.............................................14 【题型06 化y=ax2+bx+c图象】..........................................16 【题型07 y=ax2+bx+c图象与性质】.......................................19 【题型08 二次函数系数符号判断】.......................................23 【题型09 一次函数与二次函数图象判断】.................................26 【题型10 反比例与二次函数图象判断】...................................29 【题型11 由对称点求对称轴】...........................................32 【题型12 利用对称性求函数值】.........................................35 【题型13 y=ax2+bx+c的最值】...........................................37 【题型14 对称性求最短路径】...........................................40 【题型15 二次函数图象的平移】.........................................45 【解答题5题】..........................................................48 ★知识梳理 知识点01:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 知识点02:一般形式：y=ax 2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=−​ 直线 x=− 顶点 最低点 最高点 增减性 x<−：y 随 x 增大而减小 x>−：y 随 x 增大而增大 x<−：y 随 x 增大而增大 x>−：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=−时，y最小=​ 当 x=− 时，y最大=​ 知识点03:参数 a、b、c、Δ 的几何意义 a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 . 知识点04:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 【题型1.y=ax2图象与性质】 【典例】若点，都在二次函数图象上，则_________（填“>”，“<”，或“=”）． 【答案】 < 【详解】解：二次函数中，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ， ． 【跟踪专练1】对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质判断开口方向，再根据对称轴分析增减性即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 故选：C． 【跟踪专练2】定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的最值．根据定义表示出曼哈顿距离，可证明的最小值在两点横坐标相等时取得，取得最小值1，求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 对于抛物线上任意一点，其到直线的曼哈顿距离在坐标相等的点处取得最小值， 因为的绝对值小于,因此，问题转化为求的最小值， 则． 当时，． 令， 该二次函数的最小值在顶点处取得，顶点横坐标， 此时， 故的最小值为， 即或， 解得或． 由于抛物线与直线没有交点，方程无实数根， 即的判别式， ， 解得． 因此不满足条件，满足条件． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：画出函数图象如图：    由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 【题型2.y=ax2+k图象与性质】 【典例】二次函数图象的顶点坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的顶点坐标为，即可得出结果． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是； 故答案为：． 【跟踪专练1】已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．抛物线有最低点需开口向上，即二次项系数大于零，据此得到，求解即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴抛物线开口向上， ∴， 解得． 故选：C． 【跟踪专练2】抛物线上有两点，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据题意，得到抛物线开口向下，进而得到抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点在抛物线上，且， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形性质证明，再利用全等三角形性质以及抛物线上点的坐标特征分析求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 顶点，在抛物线上，且，两点的横坐标分别为，， ， ， 整理得， ． 【题型3.y=a(x-h)2图象与性质】 【典例】在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则___________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，比较函数值的大小，把函数值求出来是解题的关键．通过将点的横坐标代入二次函数解析式，分别求出a和b的值，再比较大小． 【详解】解：对于点，代入，得； 对于点，代入得． 因为，所以． 故答案为：<． 【跟踪专练1】已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点式，当时，开口向上；当时，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为；当时，在对称轴左侧()，随的增大而减小；在对称轴右侧()，随的增大而增大，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，根据抛物线顶点式， ∴， ∴抛物线开口向上，选项A正确； 对称轴是直线，选项B错误； 顶点为，选项C正确； ∵，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，选项D正确； 故A、C、D均不符合题意，B符合题意． 【跟踪专练2】已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y��的值． 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 【题型4.y=a(x-h)2+k图象与性质】 【典例】抛物线的最大值为______． 【答案】2 【分析】根据二次函数顶点式的性质判断抛物线开口方向，顶点的纵坐标即为最值，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为顶点式， ∴对应二次函数的抛物线开口向下，其顶点的纵坐标为2，即最大值为2． 【跟踪专练1】对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】的基本特征：对称轴为直线，顶点坐标为；当时，抛物线开口向下，在顶点处取得最大值，且在对称轴右侧()，随的增大而减小．解题思路是根据这些性质逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：已知抛物线的解析式为， 对于选项A：根据顶点式性质，抛物线的对称轴为直线，该说法正确； 对于选项B：顶点式对应的顶点坐标为，该说法正确； 对于选项C：， 抛物线开口向下，在时取得最大值．该说法错误； 对于选项D：抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，该说法正确． 综上，说法错误的是选项C． 【跟踪专练2】若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 【跟踪专练3】已知实数满足，则下列判断正确的是（  ） A．的取值范围为 B．的最大整数值为1 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组，二次函数的图像和性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 由，得到，再由可得的，，可判断A、B；把代入和可转化为二次函数，根据二次函数的性质可判断C、D． 【详解】解：由得， ， ， 解得， ， 的最大整数值为， 故错误，错误； ， 由，函数的对称轴为，在上函数单调递增， ∴当时，， 故错误； ， ∵，二次函数图象开口向上，当时，取得最小值， 故正确； 故选：D． 【题型5.一般式化顶点式】 【典例】把二次函数变形为的形式为_____ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，通过配方法完成平方变形即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 【跟踪专练2】二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 【答案】或 【分析】先根据二次函数的顶点坐标公式求出该二次函数的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线，将已知点代入二次函数解析式，联立方程组求解即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点为， 又∵二次函数的图象经过点，且顶点在直线上， ∴， 整理得： 解得：或． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可． 【详解】解：， 该抛物线顶点坐标是，， 将其沿轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，， ， ， ， ， 点，在第四象限； 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键． 【题型6.画y=ax2+bx+c图象】 【典例】如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由抛物线的开口向下，可得：＜，解不等式可得答案． 【详解】解： 抛物线的开口向下， ＜， ＜ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是抛物线的开口方向，掌握＞，抛物线的开口向上，＜，抛物线的开口向下，是解题的关键． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 【跟踪专练2】如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_____． 【答案】-6或-6.25 【分析】由y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3，得：，进而画出函数的图象，即可得到答案. 【详解】∵y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3， ∴， 在平面直角坐标系中，画出图象，如图所示： ∵由图象可知：A(0，-6)，B(0.5，-6.25)，C(1，-6)，直线y=-6和直线y=-6.25与函数图象恰有三个交点， ∴b的可能值是：-6或-6.25. 故答案是：-6或-6.25. 【点睛】本题主要考查二次函数的图象，分类讨论，画出二次函数的图象，是解题的关键. 【跟踪专练3】已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据图表在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，根据图象进行判断即可． 【详解】解：由图表可知，该二次函数的图象如图， ∴抛物线的开口向下，故①正确； ∵与关于抛物线的对称轴对称 ∴对称轴为直线，故②错误； 由函数图像可知，当时，，故③正确； 二次函数与有两个交点， ∴方程有两个不相等的根，故④错误； 综上所述：①③正确，共2个． 故选B． 【题型7.y=ax2+bx+c图象与性质】 【典例】已知点，，都在函数的图像上，请将，，按从大到小的顺序排列___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像，熟练掌握二次函数图像是解题的关键． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：对于函数 ， 当 时，， 当 时，， 当 时，， 因为 ，所以 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】在抛物线（为常数）上有两个点，，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题先求出抛物线的对称轴和开口方向，再利用二次函数的增减性判断与的大小关系 【详解】解：抛物线 中 ， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为： ， 当时，随的增大而减小， 又， ． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A、B（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直线BC的表达式__________； （2）垂直于轴的直线与抛物线交于点，与直线BC交于点，若，设，则的取值范围__________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点．解答（2）题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了解题的难度． （1）利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线的表达式即可； （2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答． 【详解】解：（1）由得到：， 所以，， 当时，， 所以． 设直线的表达式为， 则， 解得， 所以直线的表达式为； （2）由得到， 所以抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． ∵， ∴． 令时，则由得到． ∵， ∴， ∴． ∴； 故答案为：；． 【跟踪专练3】已知抛物线（b，c为常数）经过点，且不经过第三象限．当时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为（ ） A．3 B．2 C．3或1 D．2或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，利用待定系数法可得到，求出对称轴为直线，当时，则抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上方，利用判别式可得，则，根据二次函数的性质确定对应的最大值和最小值，进而建立方程求解；．当时，此时函数图象一定经过第三象限，不符合题意；当时，则抛物线解析式为，求出此时的最大值与最小值即可得到结论． 【详解】解：∵抛物线（b，c为常数）经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 当时，，即此时抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∵抛物线不经过第三象限， ∴抛物线的顶点在x轴上或在x轴的上方， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴当，且当时，函数有最小值，最小值为， 当时，则，解得， 此时当时，函数有最大值，最大值为， ∴， 解得或（舍去）； 当时，则，解得， 此时当时，函数有最大值，最大值为， ∴， 解得或（舍去）； 当时，，即此时抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，且对称轴在y轴右侧，故此时函数图象一定经过第三象限，不符合题意； 当时，则抛物线解析式为， ∵， ∴当时，函数有最大值，最大值为，当时，函数有最小值，最小值为0， 此时不满足函数的最大值与最小值之差为16； 综上所述，b的值为1或3， 故选：C． 【题型8.二次函数系数符号判断】 【典例】二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有______．（填编号）． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线的对称轴位置确定b的范围，然后根据抛物线与x轴交点的个数及时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知，对称轴为直线， ∴， ∴， 故①错误，②正确， ②∵时，， ∴， 故③错误， ③∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴， 故④正确， ⑤∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确， 故答案为：②④⑤． 【跟踪专练1】植物研究者在研究某种植物年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示．现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在年内的生长规律．若选择，则______，______；若选择函数，则______，______．依次填入的不等号为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质即可得解． 【详解】解：若选择， 由函数图象可知，此抛物线的开口向下，对称轴为直线， ，； 若选择函数， 由函数图象可知，将反比例函数（）的图象从第四象限向上平移个单位即可得到函数的图象， ，； 则依次填入的不等号为，，，． 【跟踪专练2】已知抛物线的图象如图所示，则_____（选填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口向上，可知，根据抛物线的对称轴在轴的右侧，可知，所以可知． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数之间的关系，根据函数图象，利用二次函数的图象与性质对每个选项依次进行判断即可． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴，、异号，故，抛物线与轴交点在正半轴，故， ，故①正确； 当时，，故②正确； 抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为3，则与轴的另一个交点为， 当时，，故③错误； ， ， ，故④错误； ，， ， ， ，故⑤正确． 故选：B． 【题型9.一次函数与二次函数图象判断】 【典例】如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】抛物线与直线交于两点，，从图像上可知，在到之间直线在抛物线上方，由此即可求解． 【详解】解：变形得，，即抛物线的图像在直线的图像的下方， ∵抛物线与直线交于两点，， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图形与一次函数图像的特点，理解图像表示的意思，找出交点坐标，自变量的取值范围，从图像上看出大小关系是解题的关键． 【跟踪专练1】在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：A、直线中，，抛物线中，，故本选项符合题意； B、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意． 【跟踪专练2】一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，正确地识别图形是解题的关键；根据反比例函数的图象在一三象限，一次函数图象与轴的交点，二次函数的图象的对称轴位置，列不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】解：根据题意得， 解得， 的取值范围是 故答案为： 【跟踪专练3】已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数图象和性质，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同，分两种情况讨论： 和． 【详解】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同． （Ⅰ）当时 直线经过第一、第三象限，随的增大而增大． 抛物线开口向上，把抛物线函数向下平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，没有符合题意选项． （Ⅱ）当时 直线经过第二、第四象限，随的增大而减小． 抛物线开口向下，把抛物线函数向上平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，选项D符合题意． 故选：D． 【题型10.反比例与二次函数图象判断】 【典例】抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，根据k的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象的对称轴为直线在y轴右侧，并与y轴交于正半轴，则选项A、B、C、D均不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象的对称轴为直线在y轴左侧，并与y轴交于负半轴，则A、B、D选项都不符合题意；C选项符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据题意由二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决． 【详解】解：∵两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数， ∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上， 假设点A和点B在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上， ∴m=，得x3=， ∴=x1+x2+x3=0+x3=； 故答案为：. 【点睛】本题考查反比例函数的图象和图象上点的坐标特征、二次函数的图象和图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答． 【跟踪专练3】已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． 【题型11.由对称点求对称轴】 【典例】二次函数中与的部分对应值如下表所示，则该函数图像的对称轴是________． … 0 1 … … … 【答案】直线 【分析】本题主要考查了根据二次函数的对称性求对称轴，二次函数图象上纵坐标相同的两个不同点关于二次函数的对称轴对称，据此结合表格中的数据求解即可． 【详解】解：由表格可知，当时和当时的函数值都为， ∴该函数的对称轴为直线， 故答案为：直线． 【跟踪专练1】已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次函数的对称性，解题关键是根据二次函数的对称性推得． 先根据与轴的两点求出对称轴，再利用点与的对称性得到与的关系，最后结合的范围求出的范围． 【详解】解：二次函数的图象过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，即抛物线过点，且点不在坐标轴上， 点与点关于对称轴对称， ，即， ， ，即． 故选：． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题．根据题意得出抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与轴相交于点，轴，求得点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴相交于点， ， 轴，点在抛物线上， ， ， 故答案为：1． 【跟踪专练3】已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．先判断出抛物线开口方向下，求出对称轴范围即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ，即， 解得：， ，， ， ， ，， 抛物线的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， 点和也在此抛物线上， 若恒成立，则； 若恒成立，则； 故选：A． 【题型12.利用对称性求函数值】 【典例】已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于_________． x … 0 1 2 3 … y … … 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时y的值，进而求解． 【详解】解：由题可得抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线经过点， ∴时， 即． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．根据抛物线对称性及对称轴为直线求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，与轴交于点， 由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为， 故选：A． 【跟踪专练2】二次函数（a，b，c是已知数，且）的x与y的部分对应值如表，则当时，___ ． x … 0 1 2 3 … y … 7 6 7 … 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握关于对称轴对称的点的纵坐标相等是解题的关键．根据表格数据，二次函数对称轴为，利用二次函数的对称性及点，即可求出答案． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值均为7， 故对称轴为， ， 由点可得，当时，， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是的中点，则的值是（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，由抛物线的对称性可知，，从而可得，，再由点M是的中点，即可得到，即：，再根据，即可得到，进而可得，即可求解．解题的关键在于能够求出，． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴，即：， 将，代入，可知：，， 则， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型13.y=ax2+bx+c的最值】 【典例】二次函数的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 根据所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，由可知，顶点纵坐标为最大值． 【详解】解：分析二次函数， 该二次函数的， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴顶点坐标为， 所以，最大值为5， 故答案为：5． 【跟踪专练1】二次函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．−9 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握配方法将二次函数转化为顶点式是解题的关键． 将二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，利用二次函数开口向上时顶点纵坐标为最小值的性质求解． 【详解】解： ∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， 故选D． 【跟踪专练2】已知实数x，y满足，求的最大值为___． 【答案】2 【分析】由条件化为关于的表达式，代入式子，得到关于 的二次函数，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ∴当时，有最大值，为2， ∴的最大值为2． 【跟踪专练3】已知二次函数，该函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数m的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 先求出二次函数开口向上，对称轴为直线，判断出当顶点在范围内时最大值与最小值的差不可能为3，当顶点不在范围内时，分两种情况根据最大值与最小值的差3列方程求解即可． 【详解】解：二次函数开口向上，对称轴为直线， 当顶点在范围内时，， ∵， ∴与对称轴的距离，即， ∴， 最大值与最小值的差， 即当顶点在范围内时最大值与最小值的差不可能为3， 当顶点不在范围内时， 当即时，此时最大值在处取得，最小值在处取得， 当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为3， ∴， 即， 解得； 当时，此时最大值在处取得，最小值在处取得， 当时，， 当时，， ∵最大值与最小值的差为3， ∴， 即， 解得； 综上所述，或． 故选：A． 【题型14.对称性求最短路径】 【典例】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【答案】C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点P，当的周长最小时，P点坐标为________，此时的面积为________． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及轴对称-最短路线问题，熟知轴对称的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键．根据轴对称的性质，求出的周长最小时点P的位置，据此得出点P的坐标，进一步求出此时的面积即可． 【详解】解：由题知， 因为，是抛物线上的两点， 则，， 所以点A坐标为，点B坐标为， 如图所示， 因为抛物线的对称轴为y轴， 则点A关于y轴的对称点M的坐标为， 所以当点P在与y轴的交点处时，取得最小值，即的周长取得最小值． 因为点M坐标为，点B坐标为， 所以直线的函数解析式为． 当时，， 所以点P的坐标为． 因为， 所以． 故答案为：，6． 【跟踪专练3】如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 【题型15.二次函数图象的平移】 【典例】抛物线向下平移两个单位所得的抛物线函数表达式为___________． 【答案】 【分析】本题可根据二次函数图象平移的“左加右减. 上加下减”规则，对原抛物线解析式进行变换，即可得到平移后的结果. 【详解】解：原抛物线的函数表达式为.根据二次函数图象平移规律，图象向下平移个单位时，原函数解析式整体减.本题抛物线向下平移个单位，因此平移后抛物线的函数表达式为. 【跟踪专练1】将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位，所得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据二次函数图象的平移规律“左加右减（针对自变量），上加下减（针对常数项）”，按照题目给定的平移顺序分步计算即可求解． 【详解】∵原抛物线解析式为 ，平移规律为：上下平移改变常数项，上加下减；左右平移改变自变量，左加右减， ∴所得抛物线解析式为． 【跟踪专练2】将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【答案】 【分析】先将原一般式抛物线通过配方化为顶点式，再根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算得到新抛物线的顶点式表达式． 【详解】解： ， 抛物线的顶点坐标为， 根据抛物线平移规律，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为． 【跟踪专练3】我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线：与（m是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象的平移，运用数形结合思想是解题的关键． 先找出符合题意的整点共计10个，再依次以y轴上整点个数分类讨论，判断y轴右侧在区域内的整点个数即可． 【详解】解：∵， ∴顶点在x轴上，其余部分均在x轴上方， 而， ∴对称轴为直线， 则在x轴上方且与抛物线围成的整点有共10个， 当封闭区域在y轴上只有整点时，抛物线与y轴交于，如图：    此时， ∴， 则时，， ∴只有一个整点； 当封闭区域在y轴上只有整点，时，抛物线与y轴交于，如图：    此时， ∴， 则时，， ∴只有2个整点； 当封闭区域在y轴上只有整点，，时，抛物线与y轴交于，如图：    此时， ∴， 则时，， 就必定包括这个整点， ∴ 不能为3个， 故选：C． 【解答题】 1．在平面直角坐标系中，，两点均在抛物线上． (1)若为抛物线的顶点． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）若直线经过，两点，且．求的值； (2)已知抛物线经过点，若，，且，试比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）的最大值为，（ⅱ） (2)，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）将二次函数的解析式化为顶点式即可得出，再结合二次函数的性质即可得出结果；（ⅱ）求出也在抛物线上，代入二次函数求出的值，从而得出点的坐标，即可得出结果； （2）求出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可得出结果． 【详解】（1）解：（ⅰ）， ， 的最大值为； （ⅱ）由（ⅰ）可得：二次函数图象的顶点为， ∵直线经过，两点，且其表达式过原点， ∴点，，三点共线， ∵， ，关于点对称， 也在抛物线上， ， 解得， 点的坐标为或， ，且直线经过，两点， ； （2）解：，理由如下： ∵抛物线经过点， ， ， ， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， ， ， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且、的中点，又， ∴离对称轴的距离更远 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ． 2．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，再代入计算即可得出结果； （2）设抛物线的解析式为，再代入计算即可得出结果； （3）由题意可得所求抛物线，再结合顶点式的特征即可得出结果； （4）先将原抛物线解析式化为顶点式，再由旋转的性质得到旋转后的抛物线的解析式为，再由平移的性质即可得出结果； （5）由平移的性质得出平移后抛物线的解析式为，再由折叠的性质得出抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的顶点式为， ∵抛物线与轴的交点是， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵所求抛物线与抛物线形状相同，开口方向相反， ∴所求抛物线， ∵所求抛物线顶点坐标是， ∴； （4）解：∵， ∴将抛物线先绕原点旋转，得到的抛物线的解析式为， ∴再向下平移5个单位长度得到的新抛物线为； （5）解：将抛物线先向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线沿直线翻折后的顶点坐标为，开口方向相反， ∴翻折后的抛物线的解析式为． 3．如图，直线y＝kx＋3交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=－x2＋2x＋3经过A、B两点． (1)求k的值和抛物线的顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB的周长最小，并求出最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)k＝3；顶点坐标（1，4） (2)P（1，2）；3 (3)存在，Q的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0） 【分析】（1）配方可得，可得抛物线的顶点坐标，令y=0可得点A坐标，代入即可得k值； （2）如图连接BC，交对称轴于P，根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=1，点C坐标为（3，0），根据二次函数得对称性可得PA=PC，即可得出PA+PB=BC，可得△PAB得周长的最小值为BC+AB，利用勾股定理即可得△PAB周长的最小值，根据点B、C坐标，利用待定系数法可得直线BC解析式，令x=1即可得点P坐标； （3）设点Q坐标为（1，m），分QA=AB，QB=AB两种情况，根据两点间距离公式求出m的值即可得答案． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)， 当y=0时，， 解得：，， ∵点A在x轴负半轴， ∴A（-1，0），C（3，0）， 把A（-1，0）代入得：-k+3=0， 解得：k=3； （2）解：如图，连接BC，交对称轴于点P， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线x=， ∵抛物线与x轴交于点A、C， ∴A、C关于对称轴对称， ∴PA=PC， ∴PA+PB=PB+PC=BC， ∴△PAB的周长的最小值为AB+BC， ∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0）， ∴OA=1，OB=3，OC=3， ∴AB+BC==， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴， 解得：k=-1， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， 当x=1时，y=-1+3=2， ∴点P坐标为（1，2）． ∴△PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）． （3）解：设点Q坐标为（1，m）， ∵A（-1，0），B（0，3）， ∴AB==，QA==，QB==， ①当QA=AB时， ∴=， 解得：m=， ∴Q1（1，），Q2（1，）， ②当QB=AB时， ∴=， 解得：m=6或m=0， ∵直线AB的解析式为y=3x+3， ∴x=1时，y=6， ∴点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形， ∴Q3（1，0）， 综上所述：存在点Q，使△ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0）． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的对称性并灵活运用分类讨论得思想是解题关键． 4．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 【答案】(1)， (2)经过第二、三、四象限，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确根据二次函数图象判断出a、b的符号是解题的关键． （1）由抛物线开口向下可知，抛物线的对称轴在y轴右侧，即，得． （2）根据（1）中结论，，得直线中，，，它即可得答案． 【详解】（1）解：抛物线的开口方向向下， ． ， ． （2）解：， ， 由图可知，， ， ， 一次函数的图象经过第二、三、四象限． 5．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 【答案】(1)对称轴为直线； (2)5 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能根据函数表达式得出抛物线的对称轴和最值以及熟知平移的相关性质是解题的关键． （1）根据所给的函数表达式可得出抛物线的对称轴，再将代入解方程即可求出a的值． （2）根据顶点坐标的变化，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 把代入，得， 解得或． ∵点在抛物线的对称轴右侧， ∴． （2）解：∵抛物线是由抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位(或先向下平移4个单位，再向左平移3个单位)得到的， ∴根据勾股定理，得顶点移动的最短路程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次函数的图像和性质同步讲义 【题型01 y=ax2图象与性质】.............................................4 【题型02 y=ax2+k图象与性质】...........................................5 【题型03 y=a(x-h)2图象与性质】..........................................6 【题型04 y=a(x-h)2+k图象与性质】........................................6 【题型05 一般式化顶点式】..............................................6 【题型06 化y=ax2+bx+c图象】...........................................7 【题型07 y=ax2+bx+c图象与性质】........................................7 【题型08 二次函数系数符号判断】........................................8 【题型09 一次函数与二次函数图象判断】..................................9 【题型10 反比例与二次函数图象判断】...................................10 【题型11 由对称点求对称轴】...........................................11 【题型12 利用对称性求函数值】.........................................12 【题型13 y=ax2+bx+c的最值】...........................................13 【题型14 对称性求最短路径】...........................................14 【题型15 二次函数图象的平移】.........................................15 【解答题5题】..........................................................16 ★知识梳理 知识点01:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 知识点02:一般形式：y=ax 2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=−​ 直线 x=− 顶点 最低点 最高点 增减性 x<−：y 随 x 增大而减小 x>−：y 随 x 增大而增大 x<−：y 随 x 增大而增大 x>−：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=−时，y最小=​ 当 x=− 时，y最大=​ 知识点03:参数 a、b、c、Δ 的几何意义 a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 . 知识点04:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 【题型1.y=ax2图象与性质】 【典例】若点，都在二次函数图象上，则_________（填“>”，“<”，或“=”）． 【跟踪专练1】对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 【跟踪专练2】定义：平面内任意两点称为这两点之间的曼哈顿距离，例如，，．若点为抛物线上的动点，点为直线上的动点，且抛物线与直线没有交点，的最小值为1，则的值为___________． 【跟踪专练3】已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【题型2.y=ax2+k图象与性质】 【典例】二次函数图象的顶点坐标是______． 【跟踪专练1】已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是（） A． B． C． D． 【跟踪专练2】抛物线上有两点，则_____（填“”“”或“”）． 【跟踪专练3】如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.y=a(x-h)2图象与性质】 【典例】在平面直角坐标系中，若点和点在二次函数的图象上，则___________（填“”“”或“”）． 【跟踪专练1】已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【跟踪专练2】已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为________． 【跟踪专练3】已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型4.y=a(x-h)2+k图象与性质】 【典例】抛物线的最大值为______． 【跟踪专练1】对于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，的最大值为2 D．当时，随的增大而减小 【跟踪专练2】若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【跟踪专练3】已知实数满足，则下列判断正确的是（  ） A．的取值范围为 B．的最大整数值为1 C．的最大值为1 D．的最小值为 【题型5.一般式化顶点式】 【典例】把二次函数变形为的形式为_____ 【跟踪专练1】将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】二次函数的图像经过点，且顶点在直线上，则______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型6.画y=ax2+bx+c图象】 【典例】如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   【跟踪专练2】如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是_____． 【跟踪专练3】已知二次函数的y与x的部分对应值如表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，；④方程有两个相等的实数根．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7.y=ax2+bx+c图象与性质】 【典例】已知点，，都在函数的图像上，请将，，按从大到小的顺序排列___________． 【跟踪专练1】在抛物线（为常数）上有两个点，，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A、B（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直线BC的表达式__________； （2）垂直于轴的直线与抛物线交于点，与直线BC交于点，若，设，则的取值范围__________． 【跟踪专练3】已知抛物线（b，c为常数）经过点，且不经过第三象限．当时，函数的最大值与最小值之差为16，则b的值为（ ） A．3 B．2 C．3或1 D．2或6 【题型8.二次函数系数符号判断】 【典例】二次函数的图像如图所示，下列式子：①，②，③，④，⑤，其中正确的有______．（填编号）． 【跟踪专练1】植物研究者在研究某种植物年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示．现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在年内的生长规律．若选择，则______，______；若选择函数，则______，______．依次填入的不等号为（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【跟踪专练2】已知抛物线的图象如图所示，则_____（选填“”或“”）． 【跟踪专练3】已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【题型9.一次函数与二次函数图象判断】 【典例】如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是_____． 【跟踪专练1】在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ． 【跟踪专练3】已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【题型10.反比例与二次函数图象判断】 【典例】抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【跟踪专练1】反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为_________．（用含的代数式表示） 【跟踪专练3】已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． B． C． D． 【题型11.由对称点求对称轴】 【典例】二次函数中与的部分对应值如下表所示，则该函数图像的对称轴是________． … 0 1 … … … 【跟踪专练1】已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 【跟踪专练3】已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（    ） A．若恒成立，则 B．若恒成立，则 C．若恒成立，则 D．若恒成立，则 【题型12.利用对称性求函数值】 【典例】已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于_________． x … 0 1 2 3 … y … … 【跟踪专练1】如图，抛物线对称轴为直线，与轴交于点，则另一交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】二次函数（a，b，c是已知数，且）的x与y的部分对应值如表，则当时，___ ． x … 0 1 2 3 … y … 7 6 7 … 【跟踪专练3】如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N，若点M是的中点，则的值是（    ） A． B．2 C． D．3 【题型13.y=ax2+bx+c的最值】 【典例】二次函数的最大值为__________． 【跟踪专练1】二次函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．−9 【跟踪专练2】已知实数x，y满足，求的最大值为___． 【跟踪专练3】已知二次函数，该函数在上的最大值与最小值的差为3，则实数m的值为（   ） A．或 B．或 C． D． 【题型14.对称性求最短路径】 【典例】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．    【跟踪专练1】如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 【跟踪专练2】如图，已知，是抛物线上的两点，在抛物线对称轴上有一动点P，当的周长最小时，P点坐标为________，此时的面积为________． 【跟踪专练3】如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【题型15.二次函数图象的平移】 【典例】抛物线向下平移两个单位所得的抛物线函数表达式为___________． 【跟踪专练1】将抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位，所得到的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【跟踪专练3】我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线：与（m是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答题】 1．在平面直角坐标系中，，两点均在抛物线上． (1)若为抛物线的顶点． （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）若直线经过，两点，且．求的值； (2)已知抛物线经过点，若，，且，试比较，的大小，并说明理由． 2．按每小题的要求写出下列抛物线对应的解析式． (1)抛物线的顶点为，与轴的交点是；顶点式：___________； (2)抛物线与轴交于点，，且经过点；一般式：___________； (3)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是的抛物线；顶点式：___________； (4)将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位长度得到的新抛物线；顶点式：___________； (5)将抛物线先向下平移2个单位长度，再沿直线翻折后的抛物线．一般式：___________． 3．如图，直线y＝kx＋3交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=－x2＋2x＋3经过A、B两点． (1)求k的值和抛物线的顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB的周长最小，并求出最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知二次函数的图象如图所示，根据图象提供的信息解答问题． (1)请确定的正负． (2)请判断一次函数的图象所经过的象限，并说明理由． 5．如图，点在抛物线上，且在抛物线的对称轴右侧． (1)写出抛物线的对称轴，并求a的值． (2)平移此抛物线，使平移后的抛物线对应的函数表达式为，求顶点移动的最短路程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $