精品解析：四川省达州市开江县第二中学2026-2027学年高三上学期入学练习数学试题

开江二中2026年秋高三数学入学练习 考试时间：120分钟；试卷满分：150 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线的焦距为20，且过点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（ ） A. B. C. 100 D. 140 6. 甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，，则（ ） A. 时，和外离 B. 时，和有三条公切线 C. 若和相交且公共弦所在直线方程为，则 D. 若和相交且公共弦长为，则 11. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为3 C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：____________. 13. 如果当时，恒成立，则实数的取值范围是________． 14. A，B，C，D是球的球面上四点，，球心是的中点，四面体的体积为，则球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程. 15. 某书包品牌代理对，两款书包的受欢迎情况进行调研，现从目标客户群中随机抽取100人，针对他们更喜欢款书包还是款书包做了调查，结果显示：，两款书包的受欢迎的程度相同，且更喜欢款书包的男生与女生人数相等，其中更喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的. （1）根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断更喜欢款书包与性别是否有关联； 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 女生 总计 （2）在样本中，从更喜欢款书包的目标客户中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 16. 已知等差数列的前n项和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，在正方体中，为中点，与平面交于点. （1）求证：为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开江二中2026年秋高三数学入学练习 考试时间：120分钟；试卷满分：150 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算法则进行计算. 【详解】 故选：B 2. 已知集合 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 3. 已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式求解. 【详解】由向量均为单位向量，且 ， 得，整理得， 即，所以. 故选：D 4. 若双曲线的焦距为20，且过点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距为20，可求得，由过点，列方程组可求得，进而可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的焦距为20，即，解得. 又双曲线过点，所以，解得，即， 所以渐近线方程为. 故选：C. 5. 《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（ ） A. B. C. 100 D. 140 【答案】B 【解析】 【分析】由棱台体积公式可得答案. 【详解】由题可得上底面积为，下底面积为，高为， 则棱台体积为：. 故选：B 6. 甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况，求出每种情况下的方案数相加可得结果. 【详解】甲老师的队伍有3位学生，乙老师的队伍有3位学生的情况有种， 甲老师的队伍有2位学生，乙老师的队伍有4位学生的情况有种情况， 故不同的参会方案的种数为. 故选：C 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦和余弦的二倍角公式进行化简计算. 【详解】因为，所以，故，， 又因为， 所以. 故选：A. 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数的周期性、代入法进行求解即可. 【详解】因为为奇函数，所以有， 因为为偶函数，所以有， ， 所以函数的周期为， 由， 由， 由， ， ， 故选：A 【点睛】关键点睛：根据函数的奇偶性求出函数的周期，利用赋值法是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正项的等比数列中，，设其公比为，前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由，根据等比数列的通项公式的计算，求得，进而求得通项公式和的值，再由，，结合选项，即可求解. 【详解】因为，可得，即，解得或， 又由正项的等比数列，可得，所以，所以A正确； 数列的通项公式为，所以B正确； 则，所以C不正确； 由，则，，所以，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知圆，，则（ ） A. 时，和外离 B. 时，和有三条公切线 C. 若和相交且公共弦所在直线方程为，则 D. 若和相交且公共弦长为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆心间距离及与半径和及半径差的关系判断圆与圆的位置关系及圆与圆的公切线判断A，B，根据两圆的相交关系，结合圆的方程求相交弦方程判断C，由相交弦与圆的半径及弦心距的几何关系求弦长判断D. 【详解】A：圆的圆心为，半径为. 圆，的圆心为，半径为. ，， 所以两个圆外离，A选项正确， B：圆的圆心为，半径为. 圆，的圆心为，半径为. ，， 所以两个圆外切，和有三条公切线，B选项正确， C：由两圆方程相减可得，即为公共弦所在直线方程， 若和相交且公共弦所在直线方程为，则，所以，C正确； D：由知：到的距离为， 而圆的半径，所以，则，D错误； 故选：ABC. 11. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为3 C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.结合等角条件证明三角形相似；B.由三角形相似得到线段比例，求解离心率；C.借助余弦定理求解；D.由三角形的面积公式求解. 【详解】对于 A，因为，且 （公共角）， 所以，A 正确； 对于B，双曲线 ，， 因为 ，联立得：，， 由，得， 则，，所以， 又，即，得，故 ，B 错误； 对于 C，在中， ，，， 由余弦定理得，C 正确； 对于 D， ， 因为，所以, 又因为，， 所以 的面积 ，D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：____________. 【答案】1 【解析】 【详解】 13. 如果当时，恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】，， 令，解得，所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即可. 14. A，B，C，D是球的球面上四点，，球心是的中点，四面体的体积为，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用棱锥的体积公式结合球的表面积公式计算即可. 【详解】由题意可知为球的直径，设到面的距离为， 易知等边的面积为， 所以，则球心到面的距离为1， 设面，易知为等边的外心， 所以， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程. 15. 某书包品牌代理对，两款书包的受欢迎情况进行调研，现从目标客户群中随机抽取100人，针对他们更喜欢款书包还是款书包做了调查，结果显示：，两款书包的受欢迎的程度相同，且更喜欢款书包的男生与女生人数相等，其中更喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的. （1）根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断更喜欢款书包与性别是否有关联； 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 女生 总计 （2）在样本中，从更喜欢款书包的目标客户中按性别用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，在这5人中任选2人，其中女生的人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.1 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 【答案】（1） 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 10 25 35 女生 40 25 65 总计 50 50 100 有关联 （2） 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出喜欢，两款书包的男生、女生人数即可完善列联表，再计算卡方值，将其与小概率值对应的临界值比较即可判断； （2）根据分层随机抽样确定所抽取的5人中，男生1人，女生4人，则从中任选2人，则的可能值有1，2，利用古典概型概率公式和组合数公式求出对应的概率，列出分布列，求得数学期望即可. 【小问1详解】 根据题意，，两款书包的受欢迎的程度相同，即在随机抽取的100人中，喜欢，两款书包的人各50人， 又因喜欢款书包的男生与女生人数相等，即喜欢款书包的男生25人，女生25人； 因喜欢款书包的女生占喜欢款书包的总人数的，故喜欢款书包的女生有人，男生有人. 则可补全列联表如下： 更喜欢款书包 更喜欢款书包 总计 男生 10 25 35 女生 40 25 65 总计 50 50 100 由， 因此依据小概率值的独立性检验，可认为更喜欢款书包与性别有关联. 【小问2详解】 因喜欢款书包的目标客户中，男生10人，女生40人，男女生比例为， 故分层抽取5人中，男生1人，女生4人，则从这5人中任选2人，其中女生的人数的可能值有1，2. 则，， 于是的分布列为： 1 2 故数学期望为. 16. 已知等差数列的前n项和为，且， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为，由条件利用等差数列的基本关系式列出关于的方程组，解得后利用等差数列的通项公式求解即可； （2）求出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得. 【小问1详解】 设数列的公差为，因 则解得 故； 【小问2详解】 由（1）得，，， ， ∴， ， 两式相减，得 ． ∴ 17. 如图，在正方体中，为中点，与平面交于点. （1）求证：为的中点； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 依题意连接，如下图所示： 由正方体性质可得，又平面，平面， 可得平面， 因为与平面交于点，即平面平面， 可得， 因此，又为中点， 可得为的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方体性质以及线面平行判定定理可证明平面，再由线面平行性质定理以及中位线性质可得结论； （2）建立空间直角坐标系求得两平面的法向量即可求得它们夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 不妨设正方体的棱长为2， 可得，即； 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即； 显然平面的一个法向量可以为， 因此平面与平面夹角的余弦值为； 可得平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆右顶点和离心率，结合直接求出椭圆标准方程； （2）设直线方程，联立椭圆用韦达定理，表达三角形面积，解方程求出参数t即可. 【小问1详解】 由题知，，而离心率为，故， 因为，故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，且过点， 故设直线，， 由，得， 故，即， 且， 故， 解得， 所以直线或 19. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求导后判断单调性，确定极小值点，代入求最小值； （2）对参数 分类讨论，根据导数符号确定单调区间； （3）先由对数有意义得 ，化简不等式为含参数的分式函数恒正，分情况讨论参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. 【小问2详解】 对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $