精品解析：四川省成都市郫都区2026-2027学年高三上学期定时练习（一）数学试题

高三定时练习（一） 数 学 说明： 1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟． 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知，求阴影部分（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图可知，阴影部分为． 2. 命题“”的否定为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为命题“”的否定为. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 接种某种病毒疫苗后，有的可能不会感染这种病毒．若有人接种该疫苗，被感染的人数记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合二项分布定义可得，再由二项分布期望公式求结论. 【详解】每人被感染的概率为． 因此， 所以. 5. 从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．“进步”的是“落后”的10倍只需要大约经过（ ）天．（参考数据：， A. 110 B. 115 C. 120 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍， 依题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为， 因此，两边取常用对数，得， 则， 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. 6. 将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种 【答案】A 【解析】 【详解】先确定甲、乙所在的工作站，共有2种，确定甲、乙所在的工作站后，该工作站已经有2人， 另一个工作站至少有2人，需要从另外3人中选出至少2人到另一个工作站，不同的分配方案数为种， （注意：若另一个工作站只有2人，余下的1人就跟甲乙一组，若另一个工作站只有3人，则甲乙一组）， 所以不同的分配方案共有种. 7. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件推出函数的周期，再结合为偶函数，求出一个周期内的函数值，最后根据周期计算的值. 【详解】由题意，已知， 用代替，代入可得①， 再用代替，代入①可得②， 用②①，可得，即，所以函数的周期为4， 又，， 则当时，可得，解得， 当时，可得， 又函数的周期为4，所以， 又为偶函数，则，所以当时，， 所以， 所以函数一个周期内的和为， 所以 ， 又，， 所以. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】A选项，，所以A选项正确； B选项，，所以B选项正确； C选项，，所以C选项正确； D选项，，所以D选项错误. 10. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 恰有两个零点 C. 不等式的解集为 D. 若，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】函数的定义域为，关于原点对称，且函数为偶函数，对于函数求导可判断A项，由单调性及可判断B项，由偶函数及单调性可判断C，D项． 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 对于A项，当时，， 对其求导得，所以在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，因为在区间上单调递增，且， 根据偶函数的性质可知，，所以恰有两个零点，故B项正确； 对于C项，因为为偶函数，且在上单调递增， 所以等价于， 得，两边平方得， 而函数的定义域为，所以的解集为，故C项错误； 对于D项，因为，且为偶函数， 得，即， 因为， 所以， 又因为在区间上单调递增，所以，得， 则，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D项正确． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则__________. 【答案】41 【解析】 【详解】的展开式通项， 展开式各项依次为： ，，， ，，， 将含的项合并起来：， 将不含的项合并起来：， 所以，所以． 13. 已知函数有零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的最小值，再结合零点存在性定理列式求得的取值范围. 【详解】由得. 令，即，得. 当时，；当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 所以. 又当时，；当时， 因为函数有零点，则. 所以. 14. 对于函数，若存在，使得，则称点与是的一对“隐对称点”．已知的图象上恰有一对“隐对称点”，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据“隐对称点”的定义将问题转化为时的方程有唯一解问题，分离参数后构造新函数，通过导数分析新函数的单调性与值域，结合函数趋势确定参数的取值范围. 【详解】根据“隐对称点”的定义，存在使得，不妨设，则，代入分段函数解析式得： ，化简得， 题目要求恰有一对“隐对称点”，等价于方程在上恰有1个解. 当 时，得， 令， ， 令， ， 令 ， ∵ 时，∴ 在上单调递增， ∴ ， ∴在恒成立， ∴ 在上单调递增， ∴ ， ∵ 时，∴ ，即在上单调递增. 由洛必达法则，， 当时，指数函数增长速度远快于多项式函数，故， ∴ 的值域为， ∴ 要使在上恰有1个解，需. 即的取值范围是. 【点睛】方法归纳： 分离参数法求解方程零点个数问题步骤：①将方程中的参数与变量分离，转化为与构造的函数交点问题；②通过导数分析构造函数的单调性、极值与值域；③结合函数单调性与值域，确定参数的取值范围，可避免复杂的分类讨论. 四、解答题 15. 某动力电池企业研究低温预处理工艺对电芯循环寿命达标情况的影响，随机抽取400块同型号电芯开展对照检测试验，整理试验数据得到如下列联表： 循环达标 循环不达标 合计 经过低温预处理 100 100 200 未经过低温预处理 120 80 200 合计 220 180 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否推断电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关？ （2）实验室检测设备存在识别误差：一块实际循环达标的电芯，设备检测后判定为不达标的概率为0.2；一块实际循环不达标的电芯，设备检测后判定为达标的概率为0.2.现从全部400块试验电芯中随机抽取1块，求该电芯被设备判定为循环达标的概率； （3）按照分层随机抽样的方法从未经过低温预处理的电芯中选出5块，再从5块中选2块进行复检.设随机变量为抽到的循环不达标的电芯数量，求的分布列与数学期望. 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能 （2）0.53 （3） 0 1 2 期望为 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算出，再根据临界值分析判断即可; （2）利用全概率公式计算即可； （3）随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的公式求分布列，再利用期望定义求期望即可. 【小问1详解】 零假设为：电芯循环是否达标与是否进行低温预处理无关. 由列联表， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关. 【小问2详解】 设事件为“实际循环达标的电芯”，事件为“实际循环不达标的电芯”， 事件为“被判定循环达标”. 所以该电芯被设备判定为循环达标的概率为0.53. 【小问3详解】 由题意可知的所有可能取值0，1，2. 可得 所以的分布列为： 0 1 2 故. 16. 已知数列的前项和是，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，可得，并求得，从而得到数列是以为首项，为公比的等比数列，求得数列的通项公式； （2）先求得，再求得，根据裂项相消求和法求得. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，即． 又当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 即， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，且平面平面． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）取的中点，连接，因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又底面，底面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证得平面，再利用线面垂直的性质定理得，，进而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 又底面，所以，，两两垂直，如图， 以点为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 由（1）可知，为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 则有 令，得，则， 设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的概念及基本性质，即可求得椭圆的方程； （2）设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理及三角形的面积关系，即可求解. 【小问1详解】 由椭圆定义，可得，解得， 又椭圆的焦距为2，即，解得， 又在椭圆中，，即，解得， 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的斜率一定存在，设其斜率为，则直线的方程为， 设，，将直线与椭圆联立，即， 整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为直线与的另一个交点为，所以是关于原点的对称点， 所以, 又，所以，即，所以， 又，，所以， 代入韦达定理，可得，则，所以， 又，即，解得， 所以直线的方程为，即或. 19. 已知函数，，． （1）若，求在处的切线方程； （2）证明：仅有一个极值点； （3）记的极值点为，若，，对任意，恒成立，证明：． 【答案】（1） （2）已知 ，其定义域为 ，， 令 ，则 ，所以 在 上单调递减. 利用零点存在定理：则 ， 所以存在唯一的 ，使得 ，即 . 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. 所以 仅有一个极值点 . （3）因为，所以对任意恒成立， 即 对任意 恒成立. 令 ，则 ， 对求导：， 由复合函数单调性知 在 上单调递减， 且当 时， ， 当 时， ， 所以存在唯一的 ，使得 ， 即 ， ， （1） 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. ， 由（1）： ，代入： ，因此， 要证 ，只需证 ， （2） 由（1）变形： ， ， 令 ，代入（2），只需证明：，，， 记， ， 为研究 的单调性，设 ， 求导：， 当 时， ，故 ， 因此 在 上严格单调递增，即 在 严格单调递增. ， 由零点存在定理， ，使得 ， 单调递减， 单调递增， ， 在严格递增，由零点存在定理，存在唯一 ，满足 ， 单调递减，, 单调递增， ， 由 得 ， ，等式两边约去 ，得 ， （3） 由 变形： ， ， 即 ， 由 的极值点,满足导数，可得 ， 设 ，求导得 ， 在 严格递减， 方程 的根唯一，故 ， ， 即， 结合 ，得 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数， ，求出为，可求切线方程， （2）求 的导数，再讨论，有唯一实根，进而证明有唯一极值点， （3）根据分析法，结合隐零点进行化简得到最终证明结论. 【小问1详解】 当 时，，， ，， 所以切线方程为 ，即 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三定时练习（一） 数 学 说明： 1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟． 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知，求阴影部分（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（   ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 接种某种病毒疫苗后，有的可能不会感染这种病毒．若有人接种该疫苗，被感染的人数记为，则（ ） A. B. C. D. 5. 从现在开始，你每天都比前一天进步0.01，那么每天的“进步”率都是1%，一年后是；而每天退后0.01，那么每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．“进步”的是“落后”的10倍只需要大约经过（ ）天．（参考数据：， A. 110 B. 115 C. 120 D. 125 6. 将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种 7. 已知函数，若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 11. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递增 B. 恰有两个零点 C. 不等式的解集为 D. 若，则的最小值为2 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，则__________. 13. 已知函数有零点，则的取值范围是_________． 14. 对于函数，若存在，使得，则称点与是的一对“隐对称点”．已知的图象上恰有一对“隐对称点”，则的取值范围是__________． 四、解答题 15. 某动力电池企业研究低温预处理工艺对电芯循环寿命达标情况的影响，随机抽取400块同型号电芯开展对照检测试验，整理试验数据得到如下列联表： 循环达标 循环不达标 合计 经过低温预处理 100 100 200 未经过低温预处理 120 80 200 合计 220 180 400 （1）依据小概率值的独立性检验，能否推断电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关？ （2）实验室检测设备存在识别误差：一块实际循环达标的电芯，设备检测后判定为不达标的概率为0.2；一块实际循环不达标的电芯，设备检测后判定为达标的概率为0.2.现从全部400块试验电芯中随机抽取1块，求该电芯被设备判定为循环达标的概率； （3）按照分层随机抽样的方法从未经过低温预处理的电芯中选出5块，再从5块中选2块进行复检.设随机变量为抽到的循环不达标的电芯数量，求的分布列与数学期望. 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列的前项和是，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，且平面平面． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的焦距为2，椭圆上的点到两焦点距离之和为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，若的面积是的面积的4倍，求的方程． 19. 已知函数，，． （1）若，求在处的切线方程； （2）证明：仅有一个极值点； （3）记的极值点为，若，，对任意，恒成立，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $