圆锥曲线的弦长和面积 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题 圆锥曲线的弦长和面积（原卷）

【知识点归纳】

一、直线与圆锥曲线联立：

椭圆与直线（以斜截式为例）

设：，与椭圆交于M,N,与x、y轴交于P、Q

1．

2．

 

其判别式  （-

3．

其判别式（）

4．

5．弦长公式 

6．焦点在x轴上,

焦点在y轴上，

双曲线与直线（以斜截式为例）：

设：，与双曲线交于M,N,与x、y轴交于P、Q

 

1．

2．

其判别式（

3．

其判别式（）

4．

5．弦长公式

6．焦点在x轴上, ,焦点在y轴上独立推导.

二、有关面积公式汇总：

公式一：代表三角形的底，代表底边的高；

公式二：（为三角形的两条边长，为所形成的夹角）；

公式三：，，，；

公式四：

，为凸四边形的两条对角线的长度，为两条对角线所形成的夹角）；

公式五：面积公式（对角线互相垂直的凸四边形 即）； 

公式六：设直线方程为，，，如图1，

公式七：设直线方程为，，，如图2，

公式八：设直线方程为，，，如图2，

【拓展提高】非对称性韦达定

在一元二次方程中，遇到涉及的不同系数的代数式的运算，相对较难地转化到应用韦达定理来处理．特别在圆锥曲线问题中，联立直线和圆锥曲线方程，消去或，得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．

【典型例题】

题型一：  弦长与面积基础

【1】（单选题）两条渐近线为，且截直线所得弦长为的双曲线方程为（  ）

A． B． C．   D．

 

【2】（单选题）设为抛物线：的焦点，点在上，点，若，则（     ）

A．2 B． C． D．4

【3】（解答题）已知椭圆，且焦点在轴上，离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长.

【4】（解答题）（2025·全国II卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4．

(1)求C的方程；

(2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求．

【5】（解答题）（25-26高三上·广东·月考）已知双曲线的渐近线方程为，且过点.

(1)求的方程；

(2)过的上焦点且斜率为的直线与交于，两点，证明：.

题型二：面积与范围

【6】（解答题）已知椭圆的左焦点为，离心率为．

(1)求的方程；

(2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为．若的面积是的面积的 倍，求的方程；