第62课时　定点、定值问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

第62课时   　定点、定值问题

 

1．(2024·九省联考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．证明：直线MN过定点．

 

 

 

 

 

 

 

2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－2，0)，其中一条渐近线方程为y＝x.

(1)求C的标准方程；

(2)过C的右焦点F2作x轴的垂线与C在第一象限内交于点P，过点P作斜率为k1，k2的直线分别交C于M，N两点，则当k1＋k2＝0时，判断直线MN的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3．已知双曲线E是关于x轴和y轴均对称的等轴双曲线，且经过点(4，2)．

(1)求E的方程；

(2)若A(m，n)是E上一动点，直线mx－ny＝8与E交于B，C两点，证明：△ABC的面积为定值．

 

 

 

 

 

 

 

4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝2.

(1)求Γ的方程；

(2)直线l与Γ的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为k1，k2，且＋＝－1.求证：直线l过定点．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义A，B的“倒影距离”为[A，B]＝|x1－y2|＋|x2－y1|，我们把到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的“倒影距离”之和为6的点M的轨迹C叫做“倒影椭圆”．

(1)求“倒影椭圆”C的方程；

(2)求“倒影椭圆”C的面积；

(3)设O为坐标原点，若“倒影椭圆”C的外接椭圆为E，D为外接椭圆E的下顶点，过点(0，2)的直线与椭圆E交于P，Q两点(均异于点D)，且△DPQ的外接圆的圆心为H(异于点O)，证明：直线OH与PQ的斜率之积为定值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 6.（2025·上饶一模）已知点A（－2，0），B（2，0），动点P满足直线PA与PB的斜率之积为－，记动点P的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）过点F（1，0）与曲线E相交的两条线段AB和CD相互垂直（斜率存在，且A，B，C，D在曲线E上），M、N分别是AB和CD的中点.求证：直线MN过定点.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.（2025·宿州灵璧中学开学考试）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与x2＋y2＝5交于A，B两点，其中点A在第一象限，且｜AB｜＝4，抛物线C的准线l与x轴交于点P.

（1）求以线段PA为直径的圆的方程；

（2）若M，N在抛物线C上，且MB⊥BN，探究直线MN是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

8.平面直角坐标系xOy中，点F1（－，0），F2（，0），点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝±2，点M的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.