第12章· 函数与一次函数·期中复习·满分压轴讲义 ·2026--2027学年沪科版八年级数学上册
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内容正文：
第12章·函数与一次函数·期中复习·满分压轴讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解函数的概念，能判断函数关系并确定自变量的取值范围
· 掌握一次函数与正比例函数的定义，会由定义求参数
· 会画一次函数的图象，掌握k、b对图象位置与增减性的影响
· 会用待定系数法求解析式，会求图象与坐标轴的交点坐标
· 能用一次函数解决行程、利润等实际问题，体会数形结合思想
🍗 知识梳理
✅️ 1.函数的概念
在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，x是自变量
自变量x的取值范围：使解析式有意义的取值（分母不为0、被开方数非负），以及符合实际问题意义的取值
函数值：当自变量取确定的值时，与之对应的因变量的值；求函数值即代入求值
概念辨析例题：下列关系式：y=2x，y=x2，y=，x2+y2=1，y2=x，其中表示y是x的函数的是（ ）
答案：y=2x，y=x2，y=
解析：函数要求对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应；x2+y2=1与y2=x中，一个x对应两个y值，故不是函数
✅️ 2.一次函数与正比例函数
一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数
当b=0时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊形式
判断一次函数：解析式须是含自变量x的一次整式，且一次项系数k≠0
概念辨析例题：若关于x的函数y=(m-2)x+m2-4是正比例函数，则m的值为（ ）
答案：m=-2
解析：正比例函数须满足一次项系数m-2≠0且常数项m2-4=0，得m=±2，又m≠2，故m=-2
✅️ 3.一次函数的图象与性质
一次函数y=kx+b的图象是一条直线；k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小
k、b决定图象位置：k>0、b>0过一、二、三象限；k>0、b<0过一、三、四象限；k<0、b>0过一、二、四象限；k<0、b<0过二、三、四象限
图象与y轴交于点(0,b)，与x轴交于点(-,0)
平移规律：上加下减（常数项±h）、左加右减（自变量替换为x±h）
概念辨析例题：一次函数y=-2x+3的图象不经过第 象限，y随x的增大而 。
答案：第三象限；减小
解析：k=-2<0，图象过二、四象限；b=3>0，交y轴正半轴，故图象过一、二、四象限，不过第三象限；k<0，y随x的增大而减小
✅️ 4.一次函数与方程、不等式
一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，就是方程kx+b=0的解
两条直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解
图象法解不等式：y=kx+b>0（<0）对应图象在x轴上方（下方）部分的自变量取值范围
概念辨析例题：如图，直线y=kx+b与x轴交于点(2,0)，且k>0，则方程kx+b=0的解是x= ，不等式kx+b>0的解集为x 。
答案：x=2；x>2
解析：直线与x轴交点的横坐标即方程kx+b=0的解，故x=2；k>0时图象从左向右上升，x>2的部分位于x轴上方，故不等式kx+b>0的解集为x>2
🧀 知识总结表
核心概念
定义/公式
注意事项
一次函数
y=kx+b（k、b为常数，k≠0）
k≠0；b=0时为正比例函数
正比例函数
y=kx（k≠0），图象过原点
正比例函数是一次函数的特殊形式
增减性
k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小
由k的符号决定，与b无关
与坐标轴交点
与x轴交于(-,0)，与y轴交于(0,b)
求交点即令y=0或x=0
📩 核心考点
【考点1】一次函数的概念、图象与性质（第1-5题）
· 由一次函数定义求参数：列k≠0及次数条件，注意排除使k=0的值
· 由k、b符号判断图象位置、增减性：k定增减，b定与y轴交点
· 会求与坐标轴交点、平移后的解析式：上加下减、左加右减
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或
2．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为_____．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，且图象不经过第四象限，则点A的坐标为________________．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点．
(1)求的值；
(2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式．
【考点2】一次函数与方程、不等式（第6-11题）
· 交点横坐标既是方程的解又是方程组的解，注意代入验证
· 图象法解不等式：看图象在x轴上方（下方）对应的x范围
· 含参数问题先由已知条件确定k、b或图象位置，再转化求解
6．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ）
A． B．5 C． D．7
9．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线 直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（ ）
方程组的解为； ； ；当的值最小时，点P的坐标为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法：
①当时，一次函数的图象与线段有公共点；
②x轴上存在一点C使得；
③当时，一次函数的图象与线段有公共点；
④当，时，一次函数的图象与线段有公共点．
上述说法中正确的是______（填序号）．
11．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为，其中“分移值”为1．
(1)已知点在的“分移函数”的图象上，求的值；
(2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值；
(3)点，．已知函数的“分移函数”中的“分移值”为5，且此“分移函数”的图象与线段有两个交点，请直接写出的取值范围．
【考点3】一次函数的实际应用（第12-29题）
· 从图象获取信息：抓住起点、交点、拐点、终点的实际意义
· 行程问题：画s-t图，分清相向、同向、相遇、追及关系
· 利润、分配问题：先建立一次函数模型，再结合不等式求最值或方案
12．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2023·河南平顶山·二模）如图①，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（ ）
A．6 B．9 C． D．
14．（2025·江西宜春·一模）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是（ ）
温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：（）
B．电压表显示的读数为6伏时，可变电阻电阻是10欧
C．电压表显示的读数为3伏时，对应测重人的质量为90千克
D．对应测重人的质量为105千克，电压表显示的读数为4伏
15．（26-27八年级上·全国·课后作业）在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（ ）
A．该车进入隧道时的速度为
B．
C．
D．到时间段内该车的平均速度为
16．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；
C．小天出发分钟两人相遇；
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟．
17．（24-25八年级下·北京丰台·期末）某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元．
（1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________；
（2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元．
18．（2023·辽宁阜新·一模）某游船在水流速度为的航段内，先顺流从A地到B地，再逆流从B地到C地（C在A，B之间），游船与C地的距离和游船航行的时间之间的函数关系如图所示，则A，B两地的距离为________km．
19．（24-25七年级下·重庆·自主招生）北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是______元．
终点
起点
深圳
广州
北京
500元
900元
上海
700元
1000元
20．（25-26八年级下·全国·课后作业），两地相距，甲车在地，乙车在地，两车同时出发，相向而行，在地相遇．为节约费用（两车相遇并换货后，均需按原路返回出发地），两车换货后，乙车因故障原地检修，甲车按原路返回地．设两车在行驶过程中速度保持不变，两车间的距离（单位：）与时间（单位：h）的函数关系如图所示．根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)求甲、乙两车的速度．
(2)描述一下从开始出发到5h这段时间内乙车的运动状态．
21．（25-26八年级下·全国·周测）某校乒乓球队为激励球员努力训练，特购买若干个乒乓球拍和乒乓球以示奖励．已知购买20个乒乓球和2个乒乓球拍共花费180元，购买30个乒乓球和1个乒乓球拍共花费150元．
(1)求乒乓球和乒乓球拍的单价．
(2)该球队计划购买乒乓球和乒乓球拍共100个，且乒乓球的数量不超过乒乓球拍的4倍，则如何购买才能使总费用最少？
22．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图①，在长方形中，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点和点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点和点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后三角形的面积与时间（秒）的函数关系图象．
(1)参照图②，求及图②中的值；
(2)设点离开点的路程为，点到点还需要走的路程为，请分别写出改变速度后，与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点和点相遇时值．
23．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米；
(2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米．
24．（25-26八年级下·全国·课后作业）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买，两种型号的芯片．已知购买1颗型芯片需要350元，购买1颗型芯片需要200元．
(1)若该公司计划购买，两种型号的芯片共8000颗，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？
(2)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，（km），（km）分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间（h）之间的函数关系．请
根据图象信息回答下列问题：
①甲车的速度是______km/h；
②当甲、乙两车相距30km时，的值为______
25．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象．
(1)正方形的边长是__________；
(2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式；
(3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t．
26．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500t，每生产1t甲产品可获得利润0.3万元，每生产1t乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品xt，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y万元．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若每生产1t甲产品需要A原料0.25t，每生产1t乙产品需要A原料0.5t．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000t，其他原料充足．该工厂生产甲、乙两种产品各多少吨时，能获得最大利润？求出最大利润．
27．（24-25八年级下·重庆大足·期末）某公司为了提高工作效率购买了A，B两种型号的机器人，A型机器人单价比B型机器人单价多2000元．用700000元购买A型机器人和用600000元购买B型机器人的数量相同．
(1)求A型、B型机器人的单价分别是多少元？
(2)公司准备购买A型和B型机器人共40台．购买B型机器人的数量不超过A型机器人的数量3倍，且商家给出了两种型号机器人均打八折的优惠，问购买A型和B型机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
28．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，以一定的速度往水槽内注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度（单位：）与注水时间（单位：s）之间的函数图象如图所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过多少秒恰好将水槽注满？
29．（25-26七年级下·全国·课后作业）在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地休息后继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行匀速从地至地．甲、乙两人距地的距离（单位：m）与出发时间（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲的骑行速度为____________，乙的步行速度为____________，，两地的距离为____________m；
(2)求甲返回时距地的距离与出发时间之间的关系式；
(3)两人出发后，在甲返回到地之前，直接写出两人距地的距离相等时的出发时间．
【考点4】一次函数与几何综合、规律探究（第30-45题）
· 数形结合：把几何条件（面积、距离、对称）坐标化后列式
· 动点问题：按位置分情况讨论，建立分段函数关系
· 规律探究：取n=1,2,3找规律，写出一般式并验证
30．（25-26八年级下·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B是x轴上的动点，且，点C的坐标为，点D的坐标为，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
31．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（ ）
A． B． C． D．
32．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（ ）
A．2 B．2或 C．2或 D．或
33．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（ ）
A．有最大值，最大值为6 B．有最小值，最小值为6
C．有最大值，最大值为 D．有最小值，最小值为
34．（2022九年级上·浙江台州·竞赛）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
35．（24-25八年级下·河北衡水·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．点A按上述规则连续平移3次的过程如图所示，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列判断甲：点的坐标为；乙：点A，，，，在同一条直线上，函数表达式为；丙：若直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等，则正确的是（ ）
A．三人都对 B．只有乙对 C．只有甲、丙对 D．只有丙不对
36．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
37．（24-25九年级下·全国·二轮复习）学科融合 图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，则点是整点的个数为_________．
38．（25-26八年级下·全国·周测）已知点在直线（a，b为常数，且）上，则的值为__________．
39．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于x的一次函数的图象不过第二象限，那么符合条件的所有整数a的和为________．
40．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为__________．
41．（25-26六年级上·山东青岛·期末）如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，y的值为___________．
42．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“调和点”．例如：如图中的是一个“调和点”．若一次函数的图象上存在“调和点”，求的取值范围为____________
43．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接．
(1)求的解析式；
(2)求的面积；
(3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
44．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．现将点向右平移个单位得到点，，且，连接交轴于点．
(1)如图，点，的坐标分别为______，______；
(2)如图，与的角平分线相交于点，，垂足为点，求证：；
(3)如图，点是线段上一动点，设其横坐标为，将点向下平移个单位到点，连接、、，当的面积是的面积的倍时，求的值．
45．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于原点对称的图形；
(2)点是轴上的一个动点，使得取得最小值，请画出点并写出它的坐标；
(3)点、是轴负半轴上的两个动点且（点在点的左边），使得四边形周长最小，请画出点．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 厘清函数、一次函数、正比例函数的定义与区别，勿忽略k≠0
· 熟记k、b符号与图象位置、增减性的对应关系，能快速画出草图
· 掌握待定系数法求解析式的步骤：设、代、解、回
· 用好数形结合：交点、截距、上下方是解方程与不等式问题的钥匙
· 应用问题先列表梳理变量关系，再建函数模型，结合不等式求最优方案
【作业1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A．1或 B．1或 C．或 D．1或或
【作业2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【作业3】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴交于，则下列说法中：①随的增大而减小，②，③关于x的方程的解为，其中正确的有_______ ．（填序号）
【作业4】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）．
【作业5】（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为______．
【作业6】（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的正比例函数，若随的增大而减小，则的值为____________．
【作业7】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知时，代数式的值恒大于，则的取值范围为_____．
【作业8】（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为__________．
【作业9】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是_________________．
【作业10】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______．
【作业11】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，当m为何值时：
(1)此直线与直线平行．
(2)此直线与直线交于点．
(3)此直线不经过第三象限．
(4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方．
【作业12】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题：
【初步感知】
________
________
（1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像；
【探究性质】
（2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题：
当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形．
其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号）
（3）当时，求的取值范围；
【类比应用】
（4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________；
在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围．
【作业13】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数的图象经过和两点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)将该一次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个“V”字形的新图象．求新图象与直线的交点坐标；
(3)设点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，直线与（2）中新图象交于点，，与直线交于点，如果，请结合图象直接写出的取值范围．
【作业14】（2026八年级下·全国·专题练习）甲、乙两地间的直线公路长为400km，一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行．货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1h后轿车故障排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地．已知两车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车所用的时间x（单位：h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)货车的速度是________km/h；轿车的速度是________km/h；t的值为________．
(2)求轿车距其出发地的距离y关于所用时间x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90km．
【作业15】（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学购进甲、乙两类图书若干套．已知1套甲类图书比1套乙类图书的进价高30元，买3套甲类图书和2套乙类图书一共需要540元．
(1)甲、乙两类图书每套的进价分别是多少元？
(2)根据实际需要，学校决定购买甲、乙两类图书共100套，其中甲类图书的数量不少于乙类图书的，且甲类图书购买的数量不超过45套．共有几种购买方案？
(3)若购买甲类图书套，学校购买这批图书的总费用为元，在（2）的条件下，哪种方案的最小？求出的最小值．
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第12章·函数与一次函数·期中复习·满分压轴讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册
参考答案与试题解析
🍔 思维导图
🍟 课程目标
· 理解函数的概念，能判断函数关系并确定自变量的取值范围
· 掌握一次函数与正比例函数的定义，会由定义求参数
· 会画一次函数的图象，掌握k、b对图象位置与增减性的影响
· 会用待定系数法求解析式，会求图象与坐标轴的交点坐标
· 能用一次函数解决行程、利润等实际问题，体会数形结合思想
🍗 知识梳理
✅️ 1.函数的概念
在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，x是自变量
自变量x的取值范围：使解析式有意义的取值（分母不为0、被开方数非负），以及符合实际问题意义的取值
函数值：当自变量取确定的值时，与之对应的因变量的值；求函数值即代入求值
概念辨析例题：下列关系式：y=2x，y=x2，y=，x2+y2=1，y2=x，其中表示y是x的函数的是（ ）
答案：y=2x，y=x2，y=
解析：函数要求对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应；x2+y2=1与y2=x中，一个x对应两个y值，故不是函数
✅️ 2.一次函数与正比例函数
一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数
当b=0时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊形式
判断一次函数：解析式须是含自变量x的一次整式，且一次项系数k≠0
概念辨析例题：若关于x的函数y=(m-2)x+m2-4是正比例函数，则m的值为（ ）
答案：m=-2
解析：正比例函数须满足一次项系数m-2≠0且常数项m2-4=0，得m=±2，又m≠2，故m=-2
✅️ 3.一次函数的图象与性质
一次函数y=kx+b的图象是一条直线；k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小
k、b决定图象位置：k>0、b>0过一、二、三象限；k>0、b<0过一、三、四象限；k<0、b>0过一、二、四象限；k<0、b<0过二、三、四象限
图象与y轴交于点(0,b)，与x轴交于点(-,0)
平移规律：上加下减（常数项±h）、左加右减（自变量替换为x±h）
概念辨析例题：一次函数y=-2x+3的图象不经过第 象限，y随x的增大而 。
答案：第三象限；减小
解析：k=-2<0，图象过二、四象限；b=3>0，交y轴正半轴，故图象过一、二、四象限，不过第三象限；k<0，y随x的增大而减小
✅️ 4.一次函数与方程、不等式
一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，就是方程kx+b=0的解
两条直线的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解
图象法解不等式：y=kx+b>0（<0）对应图象在x轴上方（下方）部分的自变量取值范围
概念辨析例题：如图，直线y=kx+b与x轴交于点(2,0)，且k>0，则方程kx+b=0的解是x= ，不等式kx+b>0的解集为x 。
答案：x=2；x>2
解析：直线与x轴交点的横坐标即方程kx+b=0的解，故x=2；k>0时图象从左向右上升，x>2的部分位于x轴上方，故不等式kx+b>0的解集为x>2
🧀 知识总结表
核心概念
定义/公式
注意事项
一次函数
y=kx+b（k、b为常数，k≠0）
k≠0；b=0时为正比例函数
正比例函数
y=kx（k≠0），图象过原点
正比例函数是一次函数的特殊形式
增减性
k>0，y随x增大而增大；k<0，y随x增大而减小
由k的符号决定，与b无关
与坐标轴交点
与x轴交于(-,0)，与y轴交于(0,b)
求交点即令y=0或x=0
📩 核心考点
【考点1】一次函数的概念、图象与性质（第1-5题）
· 由一次函数定义求参数：列k≠0及次数条件，注意排除使k=0的值
· 由k、b符号判断图象位置、增减性：k定增减，b定与y轴交点
· 会求与坐标轴交点、平移后的解析式：上加下减、左加右减
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0或
【答案】A
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值．
【详解】解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论：
①当时：
函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处．
代入得：．
由最大值为，得，解得．
②当时：
函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处．
代入得：．
由最大值为，得，解得，但不满足，舍去．
③当时：
函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去．
综上所述，．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值．
2．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键．
首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可．
【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误；
对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确；
对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误；
对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误；
故选：B．
3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为_____．
【答案】
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】当时，直线解析式为，当时，直线解析式为，
根据与直线的图象交点的横坐标x均满足，解答即可．
本题考查了一次函数的图象，交点问题，图象翻折问题，熟练掌握翻折问题是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得当时，直线解析式为，
当时，直线解析式为，
根据与直线的图象交点的横坐标x均满足，
故当时，，此时交点坐标为，
把代入，解得；
当时，，此时交点坐标为，
把代入，解得；
当时，，此时交点坐标为，
把代入，解得；
综上所述，当时，，
故答案为：．
4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点，且图象不经过第四象限，则点A的坐标为________________．
【答案】
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
由点在轴上，代入函数解析式求得的值，再根据图象不经过第四象限的条件确定的值，最后求轴交点坐标．
【详解】解：∵函数图象与轴交于点，
∴当时，，
解得或．
当时，，一次函数过第一、二、三象限，图象不经过第四象限，符合题意；
当时，，一次函数过第一、二、四象限，图象经过第四象限，不符合题意；
故，一次函数解析式为，
令，得，
解得．
∴点坐标为．
故答案为：．
5．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点．
(1)求的值；
(2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”，平移后的k值不变，是解题的关键．
（1）一次函数的图象向上平移k个单位后，解析式为，将点代入可求k的值；
（2）依题意设所求直线解析式为，则图象与坐标轴两交点坐标为，由面积公式求b即可．
【详解】（1）解：根据平移规律可知，平移后解析式为，
将点代入，
得，
解得；
（2）解：设所求直线解析式为，
则图象与坐标轴两交点坐标为．
由三角形面积公式得，
解得，
∴或（不合题意，舍去），
故所求直线的函数关系式为．
【考点2】一次函数与方程、不等式（第6-11题）
· 交点横坐标既是方程的解又是方程组的解，注意代入验证
· 图象法解不等式：看图象在x轴上方（下方）对应的x范围
· 含参数问题先由已知条件确定k、b或图象位置，再转化求解
6．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】根据一次函数与不等式解答即可．
【详解】解：函数和的图象交于点，
且不等式恰好有3个非负整数解，
可得：,且，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式，关键是根据一次函数与不等式的关系解答．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则b的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查函数与方程的关系，通过联立方程组求参数是解题的关键．
由题意联立方程组，通过代入消元法求解的值．
【详解】解：∵ 点满足方程且都在直线上，
∴ 联立方程：
将②代入①得：
化简得：
∴的值为，
故选：B．
8．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】A
【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象平移问题、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积．
【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线，
∴直线的解析式为，
即直线的解析式为，
，解得：，
∵直线与直线：交于点，
∴，
，
当时，，解得：，
，
当时，，解得：，
∵直线，分别交轴于点，，
∴，，
∴，
∴的面积为．
故选：A．
9．（25-26八年级上·安徽滁州·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交x轴于点A，交y轴于点，直线交y轴于点C，交x轴于点，直线 直线且经过原点，且与直线交于点，点P为x轴上任意一点，连接，，对于以下结论，正确的个数有（ ）
方程组的解为； ； ；当的值最小时，点P的坐标为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】①方程组的解为的解为；②求出三条直线的解析式，得到， 得到，根据三角形的面积公式得到；③直接根据坐标点求出面积；④作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P， 此时，的值最小，得出直线的解析式为， 当时，，得到，符合题意．
【详解】解：①直线：与直线：都经过点，
方程组的解为，故①正确；
②把，点代入得，
，
直线：，
直线 直线且经过原点，
直线的解析式为，
把代入得，，
，
直线：，
解得，
，
在中，令，则，
解得，
，
，故②正确；
③令，解得：，
，
，，
，故③错误；；
④直线交y轴于点C，
，
作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于P，
此时，的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，故④正确；；
结论中正确的个数有3个，
故选：C．
10．（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法：
①当时，一次函数的图象与线段有公共点；
②x轴上存在一点C使得；
③当时，一次函数的图象与线段有公共点；
④当，时，一次函数的图象与线段有公共点．
上述说法中正确的是______（填序号）．
【答案】①③/③①
【知识点】求直线围成的图形面积、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断．
【详解】解：①当代入，得到，
一次函数的图象交轴于点，
，
当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为；
当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为；
那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，），
如图所示：
故①说法正确；
②设点在轴上，即，
∵水平，长度，
点到直线（）的距离为，
∴，
∴面积恒为，不可能为，故②错误；
③当时，一次函数
当时，；当时，；
那么一次函数一定过，，
，
那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点，
当时，，代入，得到，此时交线段于点，
画出图象，如下图所示：
可知当时，一次函数的图象与线段有公共点；故③正确；
④当时，
不妨设，那么一次函数．
当时，； 当时，，如图所示：
那么一次函数的图象与线段没有公共点．故④错误；
故答案为：①③
11．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）定义：形如的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为，其中“分移值”为1．
(1)已知点在的“分移函数”的图象上，求的值；
(2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值；
(3)点，．已知函数的“分移函数”中的“分移值”为5，且此“分移函数”的图象与线段有两个交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】（1）由，故将点代入解析式即可；
（2）将点，代入函数的“分移函数”的解析式，可得关于m和b的二元一次方程组，求解即可；
（3）根据函数的“分移函数”图像，通过计算函数图像分别过点A和过点B时k的值，即可确定图像与线段有两个交点时k的取值范围．
【详解】（1）解：∵当时，，
∴将点代入，
得
解得，
（2）根据题意，将点代入，
得 ①
将点代入，
得 ②
①+②得，
∴；
（3）∵函数的“分移函数”的“分移值”为5，
∴，
当时，函数图象与线段没有交点，
当时，当函数图象经过点时，将点的坐标代入，解得，此时该“分移函数”的图象也经过点．即当时，此“分移函数”的图象与线段有两个交点．再结合该“分移函数”的图象易得，当此“分移函数”的图象与线段有两个交点时，的取值范围为
故的取值范围为：
【点睛】本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图像和性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键．
【考点3】一次函数的实际应用（第12-29题）
· 从图象获取信息：抓住起点、交点、拐点、终点的实际意义
· 行程问题：画s-t图，分清相向、同向、相遇、追及关系
· 利润、分配问题：先建立一次函数模型，再结合不等式求最值或方案
12．（24-25八年级下·内蒙古兴安·期末）A，B两地相距，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则以下结论：①乙比甲提前出发；②甲行驶的速度为；③时，甲、乙两人相距；④或时，乙比甲多行驶．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】根据图象获得信息后，利用待定系数法，路程，速度，时间的关系等处理信息解答即可．
本题考查了一次函数的图象，待定系数法，根据解析式计算，熟练掌握一次函数的性质，待定系数法是解题的关键．
【详解】解：根据可得，时间过了甲的路程为0，即乙比甲提前出发，
故①正确；
甲个小时行驶了，
故甲的速度为，
故②正确；
设甲的解析式为，
根据题意，得，
解得，
所以，
设乙的解析式为，
根据题意，得，
解得，
故乙的解析式为，
当时，，，
故，
时，甲、乙两人相距，
故③错误；
当甲运动前，乙比甲多行驶时，根据题意，得，
解得；
当甲运动后，乙比甲多行驶时，根据题意，得，
解得；
故或时，乙比甲多行驶．
故④正确，
故选：C．
13．（2023·河南平顶山·二模）如图①，正方形在直角坐标系中，其中边在y轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为m，平移的时间为t（秒），m与t的函数图象如图②所示，则图②中b的值为（ ）
A．6 B．9 C． D．
【答案】C
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】本题考查了动点问题的函数问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图，解决问题的关键是掌握正方形的性质以及平移的性质．由直线解析式可知直线与直线平行，即直线沿轴的负方向平移时，同时经过两点，再根据的长即可得到的值．
【详解】解：如图1，
直线中，
令，则；令，则，
∴直线与坐标轴围成的为等腰直角三角形，
∴直线与直线平行，即直线沿轴的正方向平移时，同时经过两点，
由图2可得，当时，直线经过点，
∴，
∴，
当时，直线经过点，
∴当时，直线经过两点，
∴，
∴等腰中，，
即当时，，
故选：C．
14．（2025·江西宜春·一模）电子体重秤读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为，该读数可以换算为人的质量．下面说法不正确的是（ ）
温馨提示：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
A．与踏板上人的质量之间的函数关系式为：（）
B．电压表显示的读数为6伏时，可变电阻电阻是10欧
C．电压表显示的读数为3伏时，对应测重人的质量为90千克
D．对应测重人的质量为105千克，电压表显示的读数为4伏
【答案】C
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
利用待定系数法即可求出与踏板上人的质量之间的函数关系式；根据，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，得到，求出欧；根据题意得到，求出，代入，求出千克；当时，，解得，设电压表显示的读数为伏，则可变电阻两端的电压为伏，得到，解得；即可得到答案．
【详解】解：将代入得，
解得，
，
故A选项不符合题意；
由题意可得，可变电阻两端的电压（伏），
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
（欧），
故B选项说法正确，不符合题意；
由题意可得，可变电阻两端的电压（伏），
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
（欧），
当时，，
解得（千克），
故C选项说法不正确，符合题意；
当时，，
解得，
设电压表显示的读数为伏，则可变电阻两端的电压为伏，
，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
，
解得，
故D选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
15．（26-27八年级上·全国·课后作业）在物体运动的速度v关于时间t的函数图象中，阴影部分的面积等于物体从到这个时间段的运动路程．某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，从开始减速到车头进入隧道用了20s，其速度v关于时间t的函数图象如图所示，和是两次雷达测速的时刻，已知第一次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，第二次雷达测速仪闪光时，车速已经降到了，则下列说法不正确的是（ ）
A．该车进入隧道时的速度为
B．
C．
D．到时间段内该车的平均速度为
【答案】B
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】根据到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，判断出图中梯形的面积为500，进而根据梯形的面积判断出当时对应的速度，即可判断出选项是否正确；然后求出与之间的函数关系式，取和22求得对应的时间，即可判断和是否正确；根据所给提示算出平均速度即可判断选项是否正确．
【详解】解：∵函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到这个时间段的运动路程，某车以的速度驶向隧道，到达限速标志位置（隧道前500m）时开始减速，
图中函数图象与横轴、纵轴、直线围成的梯形的面积为500．
设时对应的车速为，
． 解得：．
∴该车进入隧道时的速度为. 故A选项正确，不符合题意；
设v与t的函数关系式为：．
解得： ．
．
当时，． 解得：． 即． 故B错误，符合题意；
当时，． 解得： 即． 故C正确，不符合题意；
到时间段内该车的平均速度为：. 故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象．解决本题的关键是理解并应用函数图象与横轴以及直线所围成的图形（阴影部分）面积等于物体从到时间段的运动路程．
16．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；
C．小天出发分钟两人相遇；
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟．
【答案】D
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形结合的思想．
由图象可知前5分钟，两人共行驶了米，故两人速度和为米/分钟，再根据小东提速返回的路程，小天用4分钟的时间，可知小天的速度是小东的倍，即可算出两人开始的速度；然后根据总路程和小东继续去乙地的速度，分别求出小天和小东用的相遇时间即可；小东在加上开始5分钟和返回4分钟即总时间，逐一判断即可．
【详解】A．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，此时由图轴可知，小东和小天相距的路程不变，
所以小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同，
此选项不符合题意
B．小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变
小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，
小天速度是小东提速前的速度的倍
设小东原速度为v米/分钟,则提速后为米/分钟，小天的速度为米/分钟，则
小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟，
故此选项不符合题意；
C．两人同时发出，当行驶5分钟到达B点 ，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，
此时两人相距2200米，
拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，
小东提速后速度为200米/分钟，两人继续行驶分钟相遇，
小天一共行驶了分钟
故此选项不符合题意；
D．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地分钟，
小冬最终达到乙地的时间是29分钟，
故此选项不符合题意．
故选：D
17．（24-25八年级下·北京丰台·期末）某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元．
（1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________；
（2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元．
【答案】 74 5 56300
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，
（1）当时，人，
此时B零件总数，符合条件，
∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人；
（2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为；
当时，A零件利润为：；
设利润为P，则
当时，，
∵，
∴为增函数，最大值在时取得，；
当时，
，
∵，
∴为减函数，最大值在时取得，元；
综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元．
故答案为：74；5；56300．
18．（2023·辽宁阜新·一模）某游船在水流速度为的航段内，先顺流从A地到B地，再逆流从B地到C地（C在A，B之间），游船与C地的距离和游船航行的时间之间的函数关系如图所示，则A，B两地的距离为________km．
【答案】18
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了函数及其图象的应用，一元一次方程的应用，根据图象信息理解相关量的数量关系是解题的关键．首先由图中的信息可得游船在顺水中的速度为，即知游船在静水中的速度为，设A，B两地的距离为，根据游船从B地到C地和从C地到B地航行的时间之和为列方程，解方程得B，C两地的距离为，由此即得答案．
【详解】由图可知，游船顺流从A地到C地行驶，用时，所以游船在顺水中的速度为，
则游船在静水中的速度为，
设B，C两地的距离为，
则，
解得，
即B，C两地的距离为，
所以A，B两地的距离为．
19．（24-25七年级下·重庆·自主招生）北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是______元．
终点
起点
深圳
广州
北京
500元
900元
上海
700元
1000元
【答案】10400
【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题主要考查一次函数的应用和不等式组的解法，先根据题意列出不等式组，求出解集，再设总费用为列出一次函数，根据函数的性质得到最小值即可求解；
【详解】解:设从北京运往深圳台，北京运往广州为台，上海运往深圳为台，上海运往广州为台，运费为元，则
解得：，
，
，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当取最大值时，有最小值，
∴当时，（元）
故答案为：10400
20．（25-26八年级下·全国·课后作业），两地相距，甲车在地，乙车在地，两车同时出发，相向而行，在地相遇．为节约费用（两车相遇并换货后，均需按原路返回出发地），两车换货后，乙车因故障原地检修，甲车按原路返回地．设两车在行驶过程中速度保持不变，两车间的距离（单位：）与时间（单位：h）的函数关系如图所示．根据题中提供的信息，解答下列问题：
(1)求甲、乙两车的速度．
(2)描述一下从开始出发到5h这段时间内乙车的运动状态．
【答案】(1)甲、乙两车的速度分别为和．
(2)乙车以的速度从地出发后到达地，在地与甲车交换货物用了后，又在地停留2h．
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）第一段函数图象表示：小时后，两车共走完千米，相遇．可求得甲乙速度和，第二段函数图象表示，甲小时走了千米．可得甲速度，用甲乙速度和减去甲速度即为乙速度；
（2）乙车只在前小时以每小时千米的速度运动．
【详解】（1）由题意知，甲、乙两车的速度之和为．
换货后只有甲车运动，甲车的速度为，
乙车的速度为．
故甲、乙两车的速度分别为和．
（2）略
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂函数图象，弄清轴、轴表示的量之间的关系．
21．（25-26八年级下·全国·周测）某校乒乓球队为激励球员努力训练，特购买若干个乒乓球拍和乒乓球以示奖励．已知购买20个乒乓球和2个乒乓球拍共花费180元，购买30个乒乓球和1个乒乓球拍共花费150元．
(1)求乒乓球和乒乓球拍的单价．
(2)该球队计划购买乒乓球和乒乓球拍共100个，且乒乓球的数量不超过乒乓球拍的4倍，则如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)乒乓球3元，乒乓球拍60元
(2)购买80个乒乓球和20个乒乓球拍
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)
【分析】（1）设乒乓球的单价为元，乒乓球拍的单价为元，根据两次购买的花费列二元一次方程组求解；
（2）设该球队计划购买乒乓球个和乒乓球拍个，总费用为元，建立总费用的一次函数，结合数量限制的不等式，利用一次函数增减性求最小值．
【详解】（1）解：设乒乓球的单价为元，乒乓球拍的单价为元．
依题意，得
解得
答：乒乓球的单价为元，乒乓球拍的单价为元．
（2）解：设该球队计划购买乒乓球个和乒乓球拍个，总费用为元，
则，
由题知，
即．
因为，
所以随着的增大而减小，
所以当时，总费用最小，
则：，
所以该球队计划购买个乒乓球和个乒乓球拍能使总费用最少．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用与一次函数的最值问题，掌握用方程组求单价，结合不等式与一次函数增减性求最值是解题的关键．
22．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图①，在长方形中，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点和点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点和点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后三角形的面积与时间（秒）的函数关系图象．
(1)参照图②，求及图②中的值；
(2)设点离开点的路程为，点到点还需要走的路程为，请分别写出改变速度后，与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点和点相遇时值．
【答案】(1)
(2)，相遇时
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用。看懂函数图象是解题的关键．
（）由图象②可得，当时，，求出的值，进而可求出和的值；
（2）根据题意求出、与出发后的运动时间（秒）的关系式，进而可知点、点相遇时，解方程即可求解；
【详解】（1）解：由图象②可得，当时，，
解得，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，，，
即，，
当点、点相遇时，，
解得．
23．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）一条笔直公路上依次有A、B、C三地，甲车从B地匀速行驶到A地，到达A地因故停留1小时，然后按原路原速返回到C地（调头时间忽略不计）：乙车在甲车出发1小时后，从A地匀速行驶到C地，到达C地后停止行驶，在行驶的过程中．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与乙车行驶时间（小时）函数图象如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度为___________千米/时，B、C两地相距的路程是___________千米；
(2)求甲车从A地驶向B地的过程中，y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)请直接写出甲车出发多少小时，两车相距40千米．
【答案】(1)120，120
(2)；
(3)甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米．
【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据图象知点表示当乙出发时，甲已经出发距B地120千米，据此可求得甲车行驶的速度；再求得各路段的距离；
（2）先求得点，，利用待定系数法求解即可；
（3）分四种情况讨论，根据题意结合图形列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
先明确折线N-P-R-E-F是甲车的对应图象，线段是乙车的对应图象，
其中，x(小时)表示乙车的行驶时间，y(千米)表示甲车距各自出发地的路程；
点表示当乙出发时，甲已经出发距B地120千米；
又∵乙车在甲车出发1小时后出发，则甲车行驶1小时的路程为120千米，
∴(千米/小时)，
故甲车行驶的速度为120千米/小时；
段表示甲车在A地滞留1个小时，
点P表示甲车到达乙地，
此时，则甲车的行驶时间为小时；
∴B、A两地的距离为(千米)；
点M表示乙车达终点C地，则A、C两地的距离为480千米，
∴B、C两地的距离为 (千米)；
故答案为：120，120；
（2）解：点P表示甲车到达A地，B、A两地相距360千米，
则点，
段表示甲车在A地滞留1小时，则点；
点E表示甲车由A地返回B地，用时(小时)，
∴点，
则甲车从A地返回B地对应线段为，
设的解析式为，
将点，代入得，，
解得，
∴的解析式为；
（3）解：由图象可知，
∴点，
∴乙车的速度为(千米/小时)，
设甲车出发t小时，两车相距40千米，则乙车行驶小时；
由（1）知，B、A两地距离360千米，B、C两地相距120千米，A、C两地相距480千米，甲车的速度为120千米/小时，
①在甲车由B→A过程中(此时两车相向而行），
当时，甲车列达A地，（），
由题意得或，
解得或；
②在甲车在A地滞留1小时时，此时，
当时，甲到达A地，
此时乙与A地的距离也就是它的路程为，
∴此段甲、乙两车不可能相距40千米，舍去；
③在甲车由A→C且乙车到达终点之前(两车同向而行)，乙车到达终点C时，即点M处，，
故此时，此段时，乙车先到达终点C，
由题意得，
解得，此段不符合题意舍去；
④乙车到达终点之后()，
此时乙车停在C地，
当甲，乙两车相距40千米时，
由题意得，
解得；
综上，甲车出发2小时或2.4小时或小时，两车相距40千米．
24．（25-26八年级下·全国·课后作业）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买，两种型号的芯片．已知购买1颗型芯片需要350元，购买1颗型芯片需要200元．
(1)若该公司计划购买，两种型号的芯片共8000颗，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？
(2)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，（km），（km）分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间（h）之间的函数关系．请
根据图象信息回答下列问题：
①甲车的速度是______km/h；
②当甲、乙两车相距30km时，的值为______
【答案】(1)当该公司购买型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元
(2)①80 ②1.5或4.5或6.5
【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）设该公司计划购买种型号的芯片颗，则购买种型号的芯片颗，令所需资金为，可列一次函数，根据题意，解得，根据函数的增减性即可解答；
（2）①设的解析式为，代入点，，得到的解析式为，求得交点处时，，即可解决；②先求出的解析式为，再分情况讨论，函数的图象在函数上方；函数的图象在函数下方；当甲车到达地，乙离目的地，分别列出方程，即可解决．
【详解】（1）解：设该公司计划购买种型号的芯片颗，则购买种型号的芯片颗，令所需资金为，
由题意得，，
∵，
解得，，
∴当时，所需资金最少，，
答：当该公司购买型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元；
（2）解：①设的解析式为，
将点，代入中，
得，解得，
∴的解析式为，
当时，，
∴甲车的速度为；
②设的解析式为，
将点代入中，
得，解得，
∴的解析式为，
当函数的图象在函数上方时，，解得；
当函数的图象在函数下方时，，解得；
当甲车到达地，乙离目的地时，，解得；
综上可知，的值为1.5或4.5或6.5．
25．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象．
(1)正方形的边长是__________；
(2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式；
(3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t．
【答案】(1)4
(2)
(3)或
【知识点】动点问题的函数图象、从函数的图象获取信息
【分析】本题考查的是动点图象问题、图象面积的计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
（1）由图象知，8秒时，相遇，此时扫过的面积图象中间变化1次，而的没有变化，故、在点相遇，由图2知，，即可求解；
（2）分类讨论，根据三角形面积是底乘高乘，梯形面积是高乘上底加上下底的和再乘，进行列式计算，注意时间范围，即可作答．
（3）与（2）过程类同，再令面积为在正方形中所夹图形面积S为5，即可列式代入数值作答．
【详解】（1）解：由图象知，8秒时，相遇，
此时扫过的面积图象中间变化1次，而扫过的面积图象没有变化，故、在点相遇，
设正方形的边长为，则
由图2知，，解得：，
故答案为4；
（2）由图2知，相遇后点秒走了的长度即4个单位，则，
图3：，解得：
∵Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动
∴
同理，
当点在段时，
当点Q在段时，
则
，
当点在段时，
；
综上，
（3）解：由题意得：，
相遇前：
当Q在上，点P在上时，此时
当，则（舍去）；
当Q在上，点P在上时，此时
当，则
相遇后：当点在段时，如图，
设的面积为，梯形的面积为，
则正方形的面积为，
，
当点在段时，
；
当时，
令，，；
当时，
令，，（舍去）；
综上：或
26．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500t，每生产1t甲产品可获得利润0.3万元，每生产1t乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品xt，生产甲、乙两种产品获得的总利润为y万元．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若每生产1t甲产品需要A原料0.25t，每生产1t乙产品需要A原料0.5t．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000t，其他原料充足．该工厂生产甲、乙两种产品各多少吨时，能获得最大利润？求出最大利润．
【答案】(1)
(2)生产甲产品1000t，乙产品1500t，最大利润是900万元
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）根据总利润等于甲、乙产品利润之和建立函数表达式；
（2）根据原料限制列出不等式确定的取值范围，再结合一次函数的增减性求最大利润．
【详解】（1）解：已知生产甲产品吨，则生产乙产品吨
甲产品每吨利润0.3万元，乙产品每吨利润0.4万元
所以总利润
化简得．
（2）解：根据原料限制，
解不等式：
则的范围是：
在中，，随的增大而减小
所以当时，有最大值， （万元）
此时乙产品生产．
【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，掌握根据实际问题建立一次函数表达式，利用一次函数的增减性结合不等式确定的取值范围求最大利润是解题的关键．
27．（24-25八年级下·重庆大足·期末）某公司为了提高工作效率购买了A，B两种型号的机器人，A型机器人单价比B型机器人单价多2000元．用700000元购买A型机器人和用600000元购买B型机器人的数量相同．
(1)求A型、B型机器人的单价分别是多少元？
(2)公司准备购买A型和B型机器人共40台．购买B型机器人的数量不超过A型机器人的数量3倍，且商家给出了两种型号机器人均打八折的优惠，问购买A型和B型机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】(1)14000；12000
(2)10；30；400000
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、求一元一次不等式的解集
【分析】（1）设A型机器人模型单价是元，B型机器人模型单价是元，根据：用700000元购买A型机器人模型和用600000元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解；
（2）设购买A型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和w关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值
【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是元，B型机器人模型单价是 元．
根据题意， ，解这个方程，
解得，
经检验是原方程的根．
（元）
答：A型机器人模型单价是14000元，B型机器人模型单价是12000元．
（2）设购买A型机器人模型 台，购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费 元，
由题意得： ，解得 ．
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大．
∴当 时，取得最小值，此时 （台）；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是400000元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键．
28．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，以一定的速度往水槽内注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度（单位：）与注水时间（单位：s）之间的函数图象如图所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过多少秒恰好将水槽注满？
【答案】
【知识点】从函数的图象获取信息
【分析】由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为，根据12秒后水槽内高度变化趋势改变，求出时间.
【详解】解：由图可知，圆柱形水槽的高是，正方体铁块的高是，圆柱形水槽的一半注满水需要，
如果将正方体铁块取出，那么再经过恰好将水槽注满．
答：再经过4秒恰好将水槽注满．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确利用函数图象获取正确信息．
29．（25-26七年级下·全国·课后作业）在一条笔直的公路上依次有，，三地，甲、乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途经地休息后继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行匀速从地至地．甲、乙两人距地的距离（单位：m）与出发时间（单位：）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲的骑行速度为____________，乙的步行速度为____________，，两地的距离为____________m；
(2)求甲返回时距地的距离与出发时间之间的关系式；
(3)两人出发后，在甲返回到地之前，直接写出两人距地的距离相等时的出发时间．
【答案】(1)240，60，1200；
(2)；
(3)或或．
【知识点】函数解析式、从函数的图象获取信息、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用、行程问题中的分段讨论知识点，掌握从函数图像中提取关键信息、根据行程位置关系分类讨论的方法是解题的关键．
（1）从图像中提取甲、乙的行程信息，利用速度 = 路程÷时间计算速度，再根据甲到地的距离确定两地距离；
（2）确定甲返回的起始时间，用待定系数法求返回时的函数关系式；
（3）分四种情况讨论两人距地的距离相等，根据位置关系列方程求解，筛选符合条件的解．
【详解】（1）解：∵甲从地到地用时，路程为，
∴甲的骑行速度为
∵甲从地到地再返回地，总用时，其中休息，
∴甲的总骑行时间为min
∴两地的距离为(m)
∵乙从地到地用时，路程为，
∴乙的步行速度为 ；
（2）解：，因为甲的速度为，从地到地距离为，
所以甲从地返回地时距地的距离与出发时间的关系式为；
（3）解：两人距地的距离相等时的出发时间为或或；
由图象可知，，两地的距离为．
由（1）可知，甲的骑行速度为，乙的步行速度为，，两地的距离为，所以，两地的距离为．
由题意可分以下四种情况讨论：
①当时，甲在，两地之间，乙在，两地之间，所以，解得，此种情况不符合题意；
②当时，甲、乙都在，两地之间，所以，解得；
③当时，甲在，两地之间，乙在，两地之间，
所以，
解得；
④当时，甲在返回途中，乙在，两地之间．
a．当甲在，之间时，，
解得，
此种情况不符合题意；
b．当甲在，之间时，，解得．
综上所述，在甲返回到地之前，两人距地的距离相等时的出发时间为或或．
【考点4】一次函数与几何综合、规律探究（第30-45题）
· 数形结合：把几何条件（面积、距离、对称）坐标化后列式
· 动点问题：按位置分情况讨论，建立分段函数关系
· 规律探究：取n=1,2,3找规律，写出一般式并验证
30．（25-26八年级下·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B是x轴上的动点，且，点C的坐标为，点D的坐标为，当取最小值时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与几何综合、由平移方式确定点的坐标
【分析】利用平移将 转化为 ，将问题转化为求 轴上一点 到异侧两点 距离之和最小，利用两点之间线段最短求解．
【详解】解：，
将点 向左平移 个单位得到点 ，此时 ，
，
点 与点 分别在 轴两侧，
当 三点共线时， 最小，即 最小，
设直线 的解析式为 ，
把 代入得，
解得 ，
，
当 时，，
点 的坐标为 ．
31．（25-26八年级上·陕西西安·期中）《庄子天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数字类规律探索、一次函数与几何综合、一次函数的规律探究问题
【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，观察分析所得数据并找出数据之间的规律是解题的关键．
根据题意求出点坐标，得长即值，求出点、坐标，得长即得出，进而得出，把代入求值即可判断．
【详解】解：把代入：得，
∴，
∴，即，
∵过点A作x轴的平行线交直线于点，把代入得，
∴，
∵过点作轴的平行线交直线于点，把代入得，
∴，
∴，即，
同理可得，，
∴，即，
∴，
∴，
∴当时得到：，
故选：．
32．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有三点，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（ ）
A．2 B．2或 C．2或 D．或
【答案】D
【知识点】一次函数与几何综合、求直线围成的图形面积、求一次函数解析式
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求直线围成的图形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
直线恒过点，与x轴交于点D，将分成两个小三角形，点D一定在线段上，分、两种情况求解，分别求出k的值．
【详解】解：设过点C的直线与x轴交于点D，
∵，，
∴，
当点为原点时，如图，
∵，，
∴，，
∴，符合要求，
此时直线过原点，
∴，
解得：；
当点在时，如图，
此时，，
∴，符合要求，
此时直线过和，
∴，
∴，
综上，k的值是或，
故选：D．
33．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知过点的直线不经过第四象限．设，则（ ）
A．有最大值，最大值为6 B．有最小值，最小值为6
C．有最大值，最大值为 D．有最小值，最小值为
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线过点且不经过第四象限，可得，且．将用m表示，根据m的取值范围确定S的最值．
【详解】∵ 直线过点，
∴，即．
∵ 直线不经过第四象限，
∴，
∴，解得，
∴．
．
∵，
∴ S随m增大而减小．
∴ 当时，S取最小值，；
当时，，但无法取到6，故S无最大值．
∴ S有最小值，最小值为．
故选：D．
34．（2022九年级上·浙江台州·竞赛）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【知识点】加减消元法、求自变量的值或函数值、提公因式法分解因式、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．
先根据题意求出a、b值，再代值求解函数值即可．
【详解】解：∵当时，，
∴，整理，得；
∵当时，．
∴，整理，得；
得，解得，
将代入①中，得，
∴，
∴当时，
∴
．
故选：C．
35．（24-25八年级下·河北衡水·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．点A按上述规则连续平移3次的过程如图所示，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙、丙三位同学的说法，下列判断甲：点的坐标为；乙：点A，，，，在同一条直线上，函数表达式为；丙：若直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等，则正确的是（ ）
A．三人都对 B．只有乙对 C．只有甲、丙对 D．只有丙不对
【答案】D
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了坐标的平移变化、一次函数表达式的求解以及正比例函数比例系数的求解，其中找出符合规律的所有点并且理解直线两侧点个数相等的意义是解题的关键．
甲：根据题中信息，把横纵相加再除以3，所得的余数如果是为1时，向上平移；如果余数为2时，向左平移，先从坐标开始算，依次计算即可；
乙：由前面计算得出A，，，，的坐标，取其中两个点用待定系数法求出函数表达式，最后把剩下的点代入表达式验证即可判断是否在同一条直线上；
丙：根据规则满足条件的总共有13个坐标，由此得出直线两侧点个数相等经过的坐标，再把坐标代入即可求出k，从而得出k的范围．
【详解】解：甲：点横纵坐标之后为5，
，
第一次向左平移1个单位，即，
横纵坐标之和为4，
，即第二次向上平移1个单位，
，而的横纵坐标之后为5，
，即第三次向左平移1个单位，即，
的横纵坐标之后为4，
第四次向上平移1个单位，即，
横纵坐标之后为5，
第五次向左平移1个单位，即，
的横纵坐标之后为4，
第六次向上平移1个单位，即，
的横纵坐标之和为5，
第七次向左平移1个单位，即，
的横纵坐标之后为4，
第八次向上平移1个单位，即，
甲同学说法正确，符合题意；
乙：由前面计算得出，，，，，
设直线表达式为，把，代入得，
解得：，
直线表达式为，
经检验，，坐标都在直线上，
乙同学说法正确，符合题意；
丙：按照平移规则依次计算可得点A，，，，共有13个点，
当直线两侧点的个数相等时，直线过点和之间，
设直线过点时，即，解得，
设直线过点时，即，解得，
当时，直线两侧点点A，，，⋯，的个数相等，
丙同学说法错误，不符合题意，
故选：D．
36．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的规律探究问题、点坐标规律探索
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标．
【详解】点的坐标为，点在直线上，
点的坐标是，
轴，
点的纵坐标是，
又点在上，
解方程，
解得：，
点的坐标是，
轴，
点的横坐标是，
又点在直线上，
点的坐标是，
轴，
点的纵坐标是，
又点在直线上，
可得方程，
解得：，
点的坐标是，
根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，
，
的横坐标为，
，
的横坐标为，
又点在上，
可得：，
点的坐标为
故答案选： A．
37．（24-25九年级下·全国·二轮复习）学科融合 图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，则点是整点的个数为_________．
【答案】7
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象及性质，作出点C关于对称点，可知的坐标，作直线，，分别求出这两条直线与y轴交点，则点E坐标即在范围内，即可得到整数点的个数，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，则，
作直线分别交轴于，设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为，
点纵坐标的取值范围为，
点是整点的有，共7个，
故答案为：．
38．（25-26八年级下·全国·周测）已知点在直线（a，b为常数，且）上，则的值为__________．
【答案】1
【知识点】求一次函数解析式、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和求代数式的值，能求出是解此题的关键．
将点坐标代入直线方程得到与的关系式，然后代入所求表达式进行化简计算．
【详解】解：∵点在直线 上，
，即．
代入得：
．
故答案为：．
39．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）若整数a使得关于x的分式方程有正整数解，且使得关于x的一次函数的图象不过第二象限，那么符合条件的所有整数a的和为________．
【答案】9
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、求不等式组的解集、根据分式方程解的情况求值
【分析】求出分式方程的解，根据解的情况，确定满足题意的整数的值，再根据一次函数不经过第二象限，求出的取值范围，进而确定出符合条件的所有整数a，求和即可．
【详解】解：解，得，
∵关于x的分式方程有正整数解，
∴且能被整除，且即，
∴，
∴，
∵关于x的一次函数的图象不过第二象限，
∴，
∴，
∴，．
40．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为__________．
【答案】
【知识点】一次函数的规律探究问题、点坐标规律探索
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键．
依据题意，观察横坐标变化规律，即偶数下标点的横坐标为，根据规律求解即可．
【详解】解：，点在直线上，轴，
，
轴，
点的纵坐标为1，
点在直线，
．
，
，即点的横坐标为，
同理可得：
点的横坐标为，点的横坐标为，
点的横坐标为，点的横坐标为，
点的横坐标为，点的横坐标为，
点的横坐标为，
，
偶数下标点的横坐标为，
，
点的横坐标为，
故答案为：．
41．（25-26六年级上·山东青岛·期末）如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，y的值为___________．
【答案】
【知识点】图形类规律探索、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查图形类规律探究，函数关系式．根据题意写出相应的函数关系式，然后代入数值计算即可．
【详解】解：当时，；
当时，；
当时，；
，
∴，
当时，，
故答案为：．
42．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点是平面内任意一点．过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，若四边形的周长为，则点叫做“调和点”．例如：如图中的是一个“调和点”．若一次函数的图象上存在“调和点”，求的取值范围为____________
【答案】或
【知识点】一次函数与几何综合、求一次函数解析式
【分析】先根据调和点的定义和矩形周长公式推导出调和点的坐标满足且、，通过分类讨论，得到调和点在正方形的边(正方形的顶点除外)上，；再对一次函数解析式变形，确定其恒过的定点；接着分别求出直线经过正方形的关键顶点和时的临界值，结合一次函数倾斜度的变化规律分类讨论，判断不同斜率区间内直线与轨迹是否有符合条件的交点，排除无交点的区间和不符合的临界值，最终确定的取值范围．
【详解】解：∵过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点，
∴四边形为矩形，
∵四边形的周长为，，，
∴，即，且，，
在第一象限内，，原方程可化为，在平面直角坐标系中表现为不含端点的线段；
同理，平面直角坐标系中满足的点在正方形上且不与点、、、重合，
问题转化为直线与正方形的边相交(正方形的顶点除外)，
将一次函数变形为，
∴当时，，即一次函数的图象必经过定点．
①当直线经过点时，将，代入解析式得：
，解得，
此时直线解析式为，线段在该直线上，故符合条件．
当时，直线与线段有交点，故符合条件．
综上，时满足条件．
②当直线经过点时，将，代入解析式得：
，解得，
此时直线解析式为，
当时，直线与线段有交点，故符合条件．
当时，直线与正方形的边相交(正方形的顶点除外)无交点，不满足要求．
综上所述，的取值范围为或．
43．（24-25八年级上·重庆奉节·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，点在轴上，，一次函数的图象经过点，且与的图象交于点，连接．
(1)求的解析式；
(2)求的面积；
(3)如图2，直线交轴于点，作直线，点为直线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)6
(3)点或
【知识点】一次函数与几何综合、根据平行线判定与性质求角度、求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）先根据已知条件求得，，再利用待定系数法求解的函数解析式即可；
（2）设直线交轴于点，先求得，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可；
（3）根据题意，分两种情况：当点P在点E的左侧时和当点P在点E的右侧时，分别画出对应图形，利用数形结合思想，结合等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法分别求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点和点，
∴当时，，当时，由得，
∴，,，
∵，
∴，则，
∵点在函数的图象上，
∴，解得，
∴，
∵函数的图象经过点C、D，
∴，解得，
∴；
（2）解：解：设直线交轴于点，
当时，，则，
∴，
∴，
∴的面积；
（3）解：根据题意，分两种情况：
当点P在点E的左侧时，如图，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
则点P为直线和直线的交点，
设直线的函数解析式为，
将、代入，得，解得，
∴直线的函数解析式为；
设直线的函数解析式为，
将、代入，得，解得，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得，
∴；
当点P在点E的右侧时，如图，
∵，，，
∴，
过点E作交于F，则，
∴，
∴，
设，
由得，
解得，
∴，
设直线的函数解析式为，
将、代入，得，解得，
∴直线的函数解析式为；
由可设直线的函数解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的函数解析式为，
联立方程组，解得，
∴，
综上，满足条件的点P坐标为或．
【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合，考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、两点坐标距离公式、两直线的交点问题等知识，涉及知识点多，综合性强，熟练掌握待定系数法，添加平行线构造等腰三角形以及分类讨论是解答的关键．
44．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．现将点向右平移个单位得到点，，且，连接交轴于点．
(1)如图，点，的坐标分别为______，______；
(2)如图，与的角平分线相交于点，，垂足为点，求证：；
(3)如图，点是线段上一动点，设其横坐标为，将点向下平移个单位到点，连接、、，当的面积是的面积的倍时，求的值．
【答案】(1)，
(2)
证明：，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
；
(3)或
【知识点】由平移方式确定点的坐标、求一次函数解析式、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明
【分析】（1）根据题意得，，进而可得，即可解答；
（2）根据题意得，平分，平分，所以可求得，即，再结合可得，进而证得；
（3）求出直线的解析式为，设，则，根据的面积是的面积的倍列出关于的等式，解出即可．
【详解】（1）解：现将点 向右平移个单位得到点，
，，
，且，
，
故答案为：，；
（2）略
（3）解：设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设，
将点向下平移个单位到点，
，
的面积是的面积的倍，
，
解得：或．
【点睛】本题考查了平移的规律、角平分线的定义、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
45．（25-26八年级上·广东佛山·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于原点对称的图形；
(2)点是轴上的一个动点，使得取得最小值，请画出点并写出它的坐标；
(3)点、是轴负半轴上的两个动点且（点在点的左边），使得四边形周长最小，请画出点．
【答案】(1)
解：即为所求如图所示：
(2)
点即为所求，坐标为
(3)
点即为所求
【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、坐标系中的对称、求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查图形的变换，轴对称和中心对称，最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图即可；
（2）根据轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于一点，即为点，再利用待定系数法，求出直线的解析式即可解答；
（3）根据最短路径问题，构造平行四边形，故把点向左平移个单位长度得到，作关于轴的对称点，连接，与轴相交于一点，即为点．
【详解】（1）略
（2）解：作点关于轴的对称点，连接，与轴相交于一点，即为点．
设直线的解析式为，，
，
，
将，代入，得，
，解得，，
即．
当时，，
点的坐标为．
（3）解：四边形周长，其中，为定值，所以只需使最小，即如图构造平行四边形，
把点向左平移个单位长度得到，作关于轴的对称点，连接，与轴相交于一点，即为点．
📊 课后巩固
🍬 复习建议
· 厘清函数、一次函数、正比例函数的定义与区别，勿忽略k≠0
· 熟记k、b符号与图象位置、增减性的对应关系，能快速画出草图
· 掌握待定系数法求解析式的步骤：设、代、解、回
· 用好数形结合：交点、截距、上下方是解方程与不等式问题的钥匙
· 应用问题先列表梳理变量关系，再建函数模型，结合不等式求最优方案
【作业1】（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（ ）
A．1或 B．1或 C．或 D．1或或
【答案】D
【知识点】根据一次函数的定义求参数
【分析】根据一次函数的定义，函数中的最高次数必须为，且一次项系数不为．因此，需使含的项的系数为或指数为或，并确保整体函数为一次函数．
本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解决本题的关键．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴需考虑的情况：
情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数；
情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数；
情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数；
其他情况均不满足一次函数定义；
故选：D．
【作业2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题主要考查了一次函数图像，理解一次函数图像、正比例函数图像与参数的关系是解题的关键．
根据，且，可知，或；由可判断A、B选项，再分和两种情况可判定B、D选项．
【详解】解：∵，且，
∴，或，
∵，
∴函数的图像过二、四象限，故A、B选项不符合题意；
当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的负半轴，即B、D选项都不符合题意；
当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的正半轴，即D选项都符合题意．
故选：D．
【作业3】（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴交于，则下列说法中：①随的增大而减小，②，③关于x的方程的解为，其中正确的有_______ ．（填序号）
【答案】①②③
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性
【分析】根据一次函数图象的性质可判断①②的正误； 根据图象，由一次函数与一元一次方程的关系，可判断③的正误．
本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与一元一次方程的关系，掌握基本概念是解题关键．
【详解】解：①∵一次函数的图象经过二、四象限，
∴,
∴随的增大而减小，故本小题正确；
②∵函数图象与轴的交点在轴的正半轴，
∴，故本小题正确；
③∵函数经过点，则当时，，
∴关于的方程的解为．
故答案为：①②③．
【作业4】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列是关于变量与的八个解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中不是关于的函数的是________________（填序号）．
【答案】②④⑦
【知识点】函数的概念
【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐一分析每个解析式．
【详解】解：①：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数；
②：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数；
③，即：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数；
④，即：当取正数时，有两个值与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数；
⑤：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数；
⑥：对于每一个的值，都有唯一的值对应，是的函数；
⑦：当 取一个正数时，有两个值（正、负）与之对应，不满足“唯一确定”，不是的函数；
⑧，即：对于每一个不为的值，都有唯一的值对应，是的函数．
∴，不是的函数的是②④⑦．
故答案为：②④⑦．
【点睛】本题考查了函数的定义，解题关键是紧扣“对于的每一个确定值，有唯一确定的值对应”这一核心条件，判断每个解析式是否满足该要求．
【作业5】（25-26八年级上·全国·课后作业）方程组所对应的一次函数图象如图所示，则的值为______．
【答案】
【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，得出与的值是解题关键．
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到方程组的解为，然后把代入方程组求出和的值，再计算即可．
【详解】解：根据题意得方程组的解为，
∴解得
∴，
故答案为：．
【作业6】（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的正比例函数，若随的增大而减小，则的值为____________．
【答案】
【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质
【分析】先根据正比例函数的定义确定的取值范围，再结合函数的增减性确定的具体值．
【详解】解：正比例函数的定义对于：
指数需满足，解得，即或；
系数需满足，即．
∵随的增大而减小，
∴正比例函数的系数．
当时，，不符合；
当时，，符合条件．
因此，的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义及性质，解题关键是结合正比例函数的定义（指数、系数的要求）和增减性（系数的符号）来确定参数的值．
【作业7】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知时，代数式的值恒大于，则的取值范围为_____．
【答案】
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．将代数式视为关于的一次函数 ，根据一次函数的单调性，结合的取值范围，分情况讨论 的符号，求出自变量的取值范围．
【详解】解：代数式可化为．
当，即 时，随增大而增大，需，即，解得，所以．
当，即 时，随增大而减小，需，即，解得，所以．
当，即 时，，恒成立．
综上所述，的取值范围为 ．
故答案为：．
【作业8】（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为__________．
【答案】0
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
根据一次函数的单调性，分、两种情况讨论，最大值出现在区间端点，代入求值并验证条件是否满足即可．
【详解】解：一次函数 中
当 时，即 时，在时，随着的增大而增大，
最大值在处，代入得 ，
令 ，
解得 ，满足 ，符合题意；
当 时，即，在时，随着的增大而减小，
最大值在处，代入得 ，
令，解得，
但，不满足 ，故舍去；
综上所述，实数的值为．
故答案为：．
【作业9】（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知，是直线上的两点，且，则的取值范围是_________________．
【答案】
【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一元一次不等式的解集
【分析】先比较点、的横坐标大小，再结合的条件，利用一次函数的增减性确定系数的符号，进而求出k的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴．
已知、在直线上，且，说明当增大时，减小．
∴．
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的增减性，解题关键是通过横坐标与函数值的变化关系，确定一次函数斜率的符号，进而求解参数的范围．
【作业10】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______．
【答案】且
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论．
【详解】解：，
直线经过点，
如图，
当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得；
当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
则，解得；
当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，
则，解得；
直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
因此，当 且 时，区域中只有四个整点．
故答案为 且 ．
【作业11】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，当m为何值时：
(1)此直线与直线平行．
(2)此直线与直线交于点．
(3)此直线不经过第三象限．
(4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、求一次函数自变量或函数值、一次函数图象平移问题、根据一次函数增减性求参数
【分析】（1）两直线平行，比例系数相等，即，求出方程的解即可；
（2）先将点代入直线求出，然后再将该点代入，即可求出的值；
（3）①当时，直线不经过第三象限，那么直线经过第二、四象限或第一、二、四象限，即满足，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可；②当时，直线不经过第三象限，即满足，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可；
（4）根据函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方，可得，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得．
（2）解：将点代入直线，得，
解得，即交点坐标为．
将点代入，得，
解得．
（3）解：直线不经过第三象限，则其斜率且在轴上的截距
因此有
解得
（4）解：依题意，得
解得．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两条直线平行的条件，解题的关键是掌握一次函数的性质．
【作业12】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题：
【初步感知】
________
________
（1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像；
【探究性质】
（2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题：
当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形．
其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号）
（3）当时，求的取值范围；
【类比应用】
（4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________；
在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围．
【答案】（）1；，
如图：
（）；
（）的取值范围为；（） 或；
的取值范围为或．
【知识点】一次函数与几何综合、画一次函数图象、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性
【分析】本题考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图像，一次函数的性质，一次函数与几何图形综合等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（）当时，，当时，，然后填表，再根据画函数图像步骤画出图像即可；
（）根据函数图像即可求解；
（）当时，有最小值：，当时，有最大值，从而求出的取值范围；
（）由一次函数（为常数，）的图像过点，则，又关于，的方程组无解，即一次函数与图像无交点，然后分当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时，
联立，解得，即当时，关于，的方程组无解；当图像与平行时，一次函数与图像无交点，此时，即当时，关于，的方程组无解；
先求出解析式为，解析式为，解析式为，解析式为，然后找出临界点即可求出的取值范围．
【详解】解：（）当时，，当时，，
∴如表，
（）根据图像可得当时，的值随的值增大而减小，原说法正确；
当时，，解得或，原说法错误；
该函数存在最大值，最大值为，原说法错误；
该函数图像是轴对称图形，原说法正确；
故选：；
（）∵，
∴当时，有最小值：，当时，有最大值，
∴当时，的取值范围为；
（）由一次函数（为常数，）的图像过点，
∴，
∵关于，的方程组无解，
∴一次函数与图像无交点，
∴如图，当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时，
联立，解得：，
∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解，
如图，当图像与平行时，一次函数与图像无交点，
∴此时，
∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解，
综上可得：关于，的方程组无解，则的取值范围是或，
故答案为：或；
设解析式为，
∴，解得：，
∴解析式为，
同理解析式为，
如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则，
如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则，
由函数当时，，即解析式为，
时，，即解析式为，
如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点，
∴，解得：；
如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点，
∴，解得：，
∴综上可得：的取值范围为或．
【作业13】（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数的图象经过和两点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)将该一次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个“V”字形的新图象．求新图象与直线的交点坐标；
(3)设点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，直线与（2）中新图象交于点，，与直线交于点，如果，请结合图象直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)和
(3)
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式、两直线的交点与二元一次方程组的解
【分析】（1）利用待定系数法，即可得到一次函数的表达式；
（2）首先求出翻折后点右边的图象的表达式为，然后分两种情况，分别和直线联立求解；
（3）根据题意画出图象，然后结合图象求解即可．
【详解】（1）解：将，代入得，
由题意得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵
∴当时，
解得
∴与x轴的交点坐标为
点关于x轴对称的点的坐标为
设翻折后点右边的图象的表达式为
将，代入得，
解得
∴
如图，
∴当时，联立和得，
解得；
当时，联立和得，
解得；
∴新图象与的交点坐标为和；
（3）解：如图，由（2）可得新图象与的交点坐标为和，
∵，，
∴由图象可得，当直线l和线段有交点时，
∴．
【作业14】（2026八年级下·全国·专题练习）甲、乙两地间的直线公路长为400km，一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行．货车比轿车早出发1h，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶，1h后轿车故障排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地．已知两车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车所用的时间x（单位：h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)货车的速度是________km/h；轿车的速度是________km/h；t的值为________．
(2)求轿车距其出发地的距离y关于所用时间x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
(3)请直接写出货车出发多长时间两车相距90km．
【答案】(1)50；80；3
(2)
(3)距货车出发3h或5h两车相距90km
【知识点】求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】（1）由函数的图象，结合速度、时间和路程的关系，可得所求；
（2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可；
（3）根据题意列方程解答即可，注意分为相遇前和相遇后两种情况．
【详解】（1）解：，，．
由函数图象可知，货车的速度是，
轿车的速度是：，
轿车从出发到出现故障用时．
（2）解：由（1）得，，．
设直线的表达式为．
∵过点，
∴，解得，
；
当时，．
设直线的表达式为．
∵过点，，
∴
解得：
，
（3）解：距货车出发或两车相距．
设货车出发小时后两车相距千米，
根据题意得：或,
解得：或．
答：距货车出发或两车相距．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式．
【作业15】（25-26八年级下·全国·课后作业）某中学购进甲、乙两类图书若干套．已知1套甲类图书比1套乙类图书的进价高30元，买3套甲类图书和2套乙类图书一共需要540元．
(1)甲、乙两类图书每套的进价分别是多少元？
(2)根据实际需要，学校决定购买甲、乙两类图书共100套，其中甲类图书的数量不少于乙类图书的，且甲类图书购买的数量不超过45套．共有几种购买方案？
(3)若购买甲类图书套，学校购买这批图书的总费用为元，在（2）的条件下，哪种方案的最小？求出的最小值．
【答案】(1)甲、乙两类图书每套的进价分别是120元、90元．
(2)共有6种购买方案
(3)购买甲类图书套，乙类图书套时，最小，最小值为元．
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】（1）设甲类图书元每套，由“套甲类图书比套乙类图书的进价高元”可知乙类图书为元每套，再根据“买套甲类图书和套乙类图书一共需要元”列出方程，即可解答
（2）设甲类图书购买了套，则乙类图书购买了套，根据甲类图书购买的数量不少于乙类图书数量的，且甲类图书购买的数量不超过套，列出不等式，求出的取值范围，由为正整数，即可解答；
（3）由（2）表示出总费用，利用一次函数的性质，即可确定的取值，即可确定最小值．
【详解】（1）解：设甲类图书每套进价为元，则乙类图书每套进价为元．
依题意，得，
解得，
则（元）．
故甲、乙两类图书每套的进价分别是120元、90元．
（2）解：设甲类图书购买了套，则乙类图书购买了套．
由题意，得，
解得，
∵
，
可取40，41，42，43，44，45，
共有6种购买方案．
（3）解：由（2）可知，
化简，得．
，
随的增大而增大，
当时，取最小值，最小值为．
即购买甲类图书套，乙类图书套时，最小，最小值为元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解决本题的关键是根据已知条件，列出一元一次方程和一元一次不等式，应用一次函数的性质解决问题．
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