第13章·三角形的边角关系、命题与证明·期中复习·满分压轴讲义·2026-2027学年沪科版八年级数学上册

第13章·三角形的边角关系、命题与证明·期中复习·满分压轴讲义 2026年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三角形三边关系，会判断三条线段能否构成三角形，能解决等腰三角形分类讨论问题 · 理解三角形的高、中线、角平分线概念，会利用中线与高进行面积转化计算 · 理解命题、真命题、假命题的概念，能判断命题真假并进行简单的逻辑推理 · 熟练运用三角形内角和定理与外角性质进行角度计算，掌握与角平分线有关的角度模型 · 能综合平行线性质、折叠平移与三角板旋转解决三角形角度综合压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的边角关系与等腰三角形 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 判断三条线段能否构成三角形：最短两边之和大于最长边 等腰三角形求边长或周长时必须分类讨论腰与底边，并用三边关系检验 三角形具有稳定性 概念辨析例题：等腰三角形的周长为18，一腰上的中线把周长分成两部分，差为3，求底边长。 答案：底边长为4或8 解析：设腰长为x，底边为18-2x。中线将周长分为x+x与x+(18-2x)两部分，差为3列方程求解，再用三边关系检验取舍。 ☆ 2.三角形的高、中线、角平分线与面积 中线：顶点到对边中点的连线，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 高：顶点到对边（或对边延长线）的垂线段，钝角三角形有两条高在形外 角平分线：三角形内角平分线与对边交点到顶点的线段 面积问题常用等底等高转化：同高等底面积相等，底之比等于面积之比 概念辨析例题：△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABC面积为24，E是AD中点，求△ABE的面积。 答案：6 解析：中线等分面积，△ABD=△ABC=12；E为AD中点，△ABE=△ABD=6。 ☆ 3.命题与证明 判断一件事情的语句叫做命题，由题设和结论两部分组成 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；判断假命题只需举一个反例 经过推理证实的真命题叫做定理，推理过程叫做证明 证明角度或线段关系时，步步有据，常用平行线性质与三角形内角和定理 概念辨析例题：判断命题「相等的角是对顶角」是真命题还是假命题，并说明理由。 答案：假命题 解析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。例如两直线平行时的同位角相等，它们并不是对顶角，举此反例即可判断为假命题。 ☆ 4.三角形内角和、外角性质与角度综合 三角形三个内角的和等于180°，直角三角形的两个锐角互余 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角 两内角平分线夹角模型：∠BIC=90°+∠A 平行线间拐点问题常用过拐点作平行线，结合内角和与外角性质导角 概念辨析例题：△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，若∠A=70°，求∠BIC的度数。 答案：125° 解析：∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-70°)=55°，∠BIC=180°-55°=125°=90°+×70°。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 用最短两边之和与最长边比较 中线 顶点到对边中点的线段 中线等分三角形面积 高 顶点到对边所在直线的垂线段 钝角三角形两条高在形外 内角和 三角形内角和等于180° 直角三角形两锐角互余 外角 等于不相邻两内角之和 大于任一不相邻内角 命题 由题设和结论组成 举反例可判假命题 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的边角关系（三边关系、高中线与面积）（第1-8题） · 判断三边能否构成三角形，取最短两边之和与最长边比较 · 等腰三角形分类讨论腰与底边，求出后用三边关系检验 · 中线等分面积，高把三角形分成两个直角三角形，面积按底之比转化 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（   ） ①的面积与的面积相等；②；③． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 2．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．4 B． C． D．4或 3．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，垂直于，交于点G，交于点H．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为________． 6．（23-24八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序号是_____． 的面积等于的面积； ； ； ．         7．（25-26七年级下·四川达州·期末）某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改造，改造方案如下:分别延长的至点，使得分别为的中点，依次连接点得，已知的面积为，改造甲区域成本为元，扩建乙区域成本为元，则改造总费用为____元． 8．（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，在中，平分，是高线，，，则的度数为___________． 【考点2】命题与证明、真假命题与逻辑推理（第9-14题） · 判断假命题只需举出一个符合题设但不符合结论的反例 · 逻辑推理题按条件列表排除，逐步缩小范围 · 证明题书写时每一步都要有定理依据 9．（25-26六年级下·山东泰安·期末）由中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码有A、B、C、D四个同学分别进行了猜测，密码提供者作出了相应评判． A：，评判：号码都错误； B：，评判：两个号码正确，但位置都错误； C：，评判：三个号码正确，位置都错误； D：，评判：两个号码正确，位置都正确． 据此你推断正确的密码应为____________． 10．（2026·北京·模拟预测）某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． 11．（25-26七年级下·北京·期中）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 12．（25-26七年级下·北京·期末）关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 13．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）年月，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”附中今年“节”策划了五个活动，规则如下： “节”活动规则 活动前每人先发放两枚“币” 每参与一个活动消耗两枚“币” 没有“币”不能参与活动 每个活动至多参与一次 挑战成功，按右表发放奖励 挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量枚 数独 魔方 华容道 鲁班锁 汉诺塔 小达参与了所有活动． （1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为________； （2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为________ 14．（2025·北京平谷·一模）学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如下表所示： 节目名称 共同合作的人数 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要___________个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有___________种不同的情况． 【考点3】三角形内角和与外角性质（角平分线综合计算）（第15-27题） · 内角和180°是角度计算的核心，外角等于不相邻两内角和 · 两内角平分线夹角=90°+∠A，内外角平分线夹角=∠A · 多结论判断题逐一验证，角平分线设未知数导角 15．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）如图，的角平分线、相交于，，且于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 16．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③设，则；④，正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 17．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．③ D．② 19．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在与中，，，，若 ，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 21．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．①；②；③；④设，则其中正确的结论有（　　）个 A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 22．（25-26八年级上·天津西青·阶段检测）如图，是的高，交于点E．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，线段，相交于点，连接，，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，以上命题中是真命题的有（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 24．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 25．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论：①平分；②三角形与三角形的面积相等；③与互余的角有3个；④若，则．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（2026·江西上饶·一模）将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 27．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点分别在的边上，连接，把沿折叠，点恰好落在边上点的位置．若平分，则下列结论：①，②；③；④．其中正确结论的序号是___________． 【考点4】三角形折叠、平移与三角板中的角度问题（第28-31题） · 折叠前后对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线 · 三角板叠放牢记30°、45°、60°、90°特殊角，结合平行线导角 · 平移前后对应线段平行且相等，对应角相等 28．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 29．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______ 度． 30．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图②，且恰好平分，与相交于点，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？ 31．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，已知，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则 ． (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图所示，求的度数； (3)将（2）中的固定，如图所示，将绕点顺时针旋转，旋转角为，当的边与的一条边平行时，请直接写出旋转角的度数． 【考点5】平行线与三角形角度综合（第32-45题） · 拐点问题过拐点作平行线，把大角拆成两个内错角 · 角平分线+平行线模型用设未知数导角，列方程求解 · 旋转问题注意分类讨论旋转方向与位置，验证全部解 32．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： (1)根据（图1）的研究思路，请证明：， (2)如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点．探究与的数量关系． (3)如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，请说明理由． 33．（2026八年级上·全国·专题练习）已知：直线，A为直线上的一个定点，过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，直接写出的度数 ； (2)射线为的角平分线． ①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②当点D与点B不重合，且时，直接写出的度数． 34．（21-22七年级下·四川达州·期末）已知直线​，点​分别在直线​上，连接​平分​． (1)如图1，连接​，若​平分​．求​的度数； (2)如图2，连接​，若​，猜想​和​的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点​为线段​（端点除外）上的一个动点，过点​作​的垂线交​于​，连接​，若​平分​，问​的度数是否为定值？若是，求出​的度数；若不是，请说明理由． 35．（25-26七年级下·云南昆明·期末）平面直角坐标系中，点，点分别在x轴和y轴上，点在线段上，满足． (1)请直接写出________，________，________； (2)如图1，点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿x轴负方向运动，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度沿y轴正方向运动．两点同时出发，当点P到达原点时，两点同时停止运动．设两点的运动时间均为t秒，是否存在t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． (3)如图2，连接，点D为第二象限内一点，且．点E是y轴正半轴上的一个动点（不与点B重合），连接，交直线于点F．已知，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 36．（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图，平分，平分，若，求的度数． (2)如图，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则______． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数． (3)如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中， ①直接写出与之间的关系． ②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数． 37．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）【问题情境】 学完“平行线的判定与性质”后，老师让学生借助“平行线”与“含30°的直角板”开展数学活动，已知直角板顶点在直线上，直线，，，． 【操作初探】 (1)将直角板如图1放置，若，求的度数； (2)将直角板如图2放置，线段与直线交于点，线段与直线交于点，证明：； 【操作再探】 (3)将直角板如图3放置，延长至点，与直线交于点，作和的平分线交于点． ①若，则的度数为______°； ②已知，请直接写出与的数量关系． 38．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）【问题探究】 (1)如图1，，点在直线上方（）．试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 (2)如图2，，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方），试探究和之间的数量关系． 【问题迁移】 (3)如图3，，点在直线上方，、、、分别是、、、的三等分线，．直线与直线交于点，直线与直线交于点（点在直线的下方）．设，请直接写出与的数量关系：___________________． 39．（20-21七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）如图1，是直线，内部一点， ，连接，． (1)探究猜想： ①若，，则； ②若，，则； ③猜想图中，，的关系并证明你的结论． (2)拓展应用： 如图2，射线与矩形的边交于点，与边交于点，①②③④分别是被射线隔开的个区域不含边界，其中区域③、④位于直线上方，是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系（不要求证明）． 当点在区域①时，，，的关系为； 当点在区域②时，，，的关系为； 当点在区域③时，，，的关系为； 当点在区域④时，，，的关系为_____． 40．（23-24七年级下·北京西城·期末）如图，直线，直线与直线，分别交于点E，F，的平分线交于点P． (1)求证：； (2)点G是射线上一个动点（点G不与点P，F重合），的平分线交直线于点H，过点H作交直线于点N， ①当点G在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和之间的数量关系，并证明； ②当点G在线段的延长线上时，直接写出用等式表示的和之间的数量关系． 41．（24-25七年级下·广东深圳·期中）综合与实践：在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． (1)【问题感知】如图①，直线，点、在直线、上，点在两平行线之间，连接，．若，，则的度数为________°． (2)【问题初探】如图②，若点，在平行直线与之间，，，，则的度数为________°． (3)【问题深化】如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________． (4)【问题拓展】如图④，在图③的基础上，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，⋯，依次平分下去，则________°．（用含，的式子表示） (5)【应用迁移】在一次综合实践活动课上，小景同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 42．（24-25七年级下·重庆·期中）已知：直线，A为直线上的一个定点． (1)过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．若点D，E为直线上的两个动点，点D始终在点E的左侧，点P始终在点B的左侧，连接，，且满足． ①如图1，若，求的度数． ②若射线为的角平分线，当时，求所有情况中的度数． (2)如图3，将点B固定在如图位置，射线从开始，绕A点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕B点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于点I，若直线与直线相交所夹的锐角为，请直接写出运动时间t秒（）的值． 43．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，已知，，点为直线上一动点．    (1)求证：； (2)作射线交直线于点，交直线于点，且．当点运动到如图②所示的位置时，请直接在图中补全图形，并直接用等式写出与之间的数量关系． 44．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，． （1）的度数为______； （2）的度数为______． 45．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 💯 课后巩固 复习建议 · 三边关系先判断最短两边之和是否大于最长边 · 中线等分面积，面积问题按底之比转化 · 角度计算牢记内角和180°与外角等于不相邻两内角和 · 拐点问题过拐点作平行线，分类讨论不漏解 · 折叠问题抓住对应角相等，三角板问题记住特殊角 【作业1】．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是正方形的边上任意一点，且，则的面积是正方形面积的（    ）． A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（26-27八年级上·全国·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……若，则（     ） A． B． C． D． 【作业4】．（23-24九年级上·重庆·期中）在多项式中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第轮“加括号操作”．以下说法： 存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； 总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【作业5】．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）设一个三角形的边长分别为，且，，为正整数，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【作业6】．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【作业7】．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为___________． 【作业8】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的三边长分别为，，（，，均为有理数），且，则的取值范围是________． 【作业9】．（2026·北京朝阳·一模）某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分．该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分． （1）积分最低的球队负________场； （2）积分排名第三的球队最低积________分， 【作业10】．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在三角形纸板中，．将纸板沿射线方向平移得到，与交于点K．有下列结论：①；②；③若，则；④当，时，四边形的面积为64．其中正确的有______．（填序号） 【作业11】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中，则的值为_______． 【作业12】．（25-26七年级下·上海·期中）如图1，把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图1，______°，______°． (2)如图2，现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的2倍，求的值． (3)按图1所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线从开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转至与重合时立即停止，射线从开始绕点以每秒的速度顺时针方向旋转至与重合时立即回转，旋转至与重合时再回转，如此循环往复．若射线转动20秒后，射线才开始转动，那么在射线停止运动之前，射线转动______秒，可使得． 【作业13】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，于点D． (1)若，则的度数为________． (2)若，求的度数． 【作业14】．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图②，作的外角，的平分线交于点，试探索，，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点，若中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数． 【作业15】．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）【概念认识】 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则　； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）如图④，直线、交于点，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，，直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章·三角形的边角关系、命题与证明·期中复习·满分压轴讲义 2026年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三角形三边关系，会判断三条线段能否构成三角形，能解决等腰三角形分类讨论问题 · 理解三角形的高、中线、角平分线概念，会利用中线与高进行面积转化计算 · 理解命题、真命题、假命题的概念，能判断命题真假并进行简单的逻辑推理 · 熟练运用三角形内角和定理与外角性质进行角度计算，掌握与角平分线有关的角度模型 · 能综合平行线性质、折叠平移与三角板旋转解决三角形角度综合压轴问题 📚 知识梳理 ☆ 1.三角形的边角关系与等腰三角形 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 判断三条线段能否构成三角形：最短两边之和大于最长边 等腰三角形求边长或周长时必须分类讨论腰与底边，并用三边关系检验 三角形具有稳定性 概念辨析例题：等腰三角形的周长为18，一腰上的中线把周长分成两部分，差为3，求底边长。 答案：底边长为4或8 解析：设腰长为x，底边为18-2x。中线将周长分为x+x与x+(18-2x)两部分，差为3列方程求解，再用三边关系检验取舍。 ☆ 2.三角形的高、中线、角平分线与面积 中线：顶点到对边中点的连线，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 高：顶点到对边（或对边延长线）的垂线段，钝角三角形有两条高在形外 角平分线：三角形内角平分线与对边交点到顶点的线段 面积问题常用等底等高转化：同高等底面积相等，底之比等于面积之比 概念辨析例题：△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABC面积为24，E是AD中点，求△ABE的面积。 答案：6 解析：中线等分面积，△ABD=△ABC=12；E为AD中点，△ABE=△ABD=6。 ☆ 3.命题与证明 判断一件事情的语句叫做命题，由题设和结论两部分组成 正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；判断假命题只需举一个反例 经过推理证实的真命题叫做定理，推理过程叫做证明 证明角度或线段关系时，步步有据，常用平行线性质与三角形内角和定理 概念辨析例题：判断命题「相等的角是对顶角」是真命题还是假命题，并说明理由。 答案：假命题 解析：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。例如两直线平行时的同位角相等，它们并不是对顶角，举此反例即可判断为假命题。 ☆ 4.三角形内角和、外角性质与角度综合 三角形三个内角的和等于180°，直角三角形的两个锐角互余 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任何一个与它不相邻的内角 两内角平分线夹角模型：∠BIC=90°+∠A 平行线间拐点问题常用过拐点作平行线，结合内角和与外角性质导角 概念辨析例题：△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，若∠A=70°，求∠BIC的度数。 答案：125° 解析：∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-70°)=55°，∠BIC=180°-55°=125°=90°+×70°。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 用最短两边之和与最长边比较 中线 顶点到对边中点的线段 中线等分三角形面积 高 顶点到对边所在直线的垂线段 钝角三角形两条高在形外 内角和 三角形内角和等于180° 直角三角形两锐角互余 外角 等于不相邻两内角之和 大于任一不相邻内角 命题 由题设和结论组成 举反例可判假命题 ⚠️ 核心考点 【考点1】三角形的边角关系（三边关系、高中线与面积）（第1-8题） · 判断三边能否构成三角形，取最短两边之和与最长边比较 · 等腰三角形分类讨论腰与底边，求出后用三边关系检验 · 中线等分面积，高把三角形分成两个直角三角形，面积按底之比转化 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（   ） ①的面积与的面积相等；②；③． A．①② B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积与的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故③正确； 综上，①②③都是正确的． 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A．4 B． C． D．4或 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据等腰三角形的性质，结合周长比例分两种情况计算腰长与底边长，再利用三角形三边关系验证是否成立，从而确定底边长，然后即可求解； 【详解】解：∵等腰三角形周长为，一腰上的中线将周长分为的两部分， ∴两部分的长度分别为，， 设等腰三角形的腰长为，底边长为， 分两种情况讨论： ①若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为8、8、， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，故该情况不成立， ②若由一条腰和另一条腰的一半组成的周长部分长为，则， 解得， ∴底边长， 此时三角形三边为、、4， ∵，，满足三角形三边关系，故该情况成立， 综上，这个等腰三角形的底边长为4； 故选：A； 3．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点F在的延长线上，垂直于，交于点G，交于点H．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据垂直的定义、对顶角相等及直角三角形两锐角互余判断①；根据三角形外角的性质及角平分线的定义判断②；根据三角形内角和定理、角平分线及高线的性质推导角度关系判断即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ，， ，． ，． ， ，故①正确； 平分， ． 是的外角， ． ． 是的外角， ． ． ，故②正确； ，， ，故③正确； ， 在中，， ． ， ． ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个等腰三角形底边的长为，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为，则周长为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、中线分周长的差、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长，底边，根据中线分周长差为，可得，代入底边长，得到腰长为或，但腰不能构成三角形，据此即可解答． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴． 设腰长，底边． 则一部分周长为，另一部分为． 两部分的差为． 依题意，， ∴或，解得：或． 当时，三边为，由，不满足三角形三边关系，舍去． 当时，三边为，可以构成三角形． ∴周长． 故选B． 5．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形面积，掌握等长的长方形面积比等于宽的比是解题的关键． 设长方形面积为S，则阴影部分面积为，由Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6，可得 ，根据Ⅰ的面积为7，知 ，然后求解即可． 【详解】解：如图： 设长方形面积为S，则阴影部分面积为， ∵Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6， ∴ ， ∵Ⅰ的面积为7， ∴，解得：， ∴，即阴影部分面积为． 故答案为． 6．（23-24八年级上·湖北随州·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法中正确的序号是_____． 的面积等于的面积； ； ； ．         【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，根据等底等高的三角形的面积相等即可判断；根据三角形内角和定理求出 ，根据三角形的外角性质即可推出；根据三角形内角和定理求出 ，根据角平分线定义即可判断，根据等腰三角形的判定判断即可；能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴的面积的面积(等底等高的三角形的面积相等)，故正确； ∵是角平分线， ∴， ∵为高， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，故正确； ∵为高， ∴， ∵， ∴, ， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即，故正确； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故错误； 故答案为：． 7．（25-26七年级下·四川达州·期末）某种花卉供不应求，王伯伯打算将原有的一块种植地△ABC进行改造，改造方案如下:分别延长的至点，使得分别为的中点，依次连接点得，已知的面积为，改造甲区域成本为元，扩建乙区域成本为元，则改造总费用为____元． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，，，根据分别为的中点，得到，，，根据三角形的面积公式得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：连接，，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴乙部分的面积为， ∴改造总费用（元）． 8．（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，在中，平分，是高线，，，则的度数为___________． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】根据高的定义，结合三角形内角和定理，求得，根据角的平分线定义，得，利用三角形的外角性质解答即可． 本题考查了高，角的平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质和定理，基本定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分，是高线，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点2】命题与证明、真假命题与逻辑推理（第9-14题） · 判断假命题只需举出一个符合题设但不符合结论的反例 · 逻辑推理题按条件列表排除，逐步缩小范围 · 证明题书写时每一步都要有定理依据 9．（25-26六年级下·山东泰安·期末）由中的自然数组成的四位密码（没有重复数字），对这个密码有A、B、C、D四个同学分别进行了猜测，密码提供者作出了相应评判． A：，评判：号码都错误； B：，评判：两个号码正确，但位置都错误； C：，评判：三个号码正确，位置都错误； D：，评判：两个号码正确，位置都正确． 据此你推断正确的密码应为____________． 【答案】0148 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】先根据A的猜测结果排除错误数字，再结合C的评判确定密码包含的三个数字，接着结合B的评判排除剩余错误数字得到密码的全部四个数字，最后根据各猜测的位置要求推理得到正确位置，得到密码. 【详解】第一步，确定排除的数字： 因为A猜测，所有号码都错误，因此密码中不含； 第二步，确定密码中的三个数字： C猜测，三个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此密码包含； 第三步，确定密码的第四个数字： B猜测，两个号码正确，位置都错误，因为已排除，因此正确号码只能在中选两个，已知密码已经包含，因此正确号码为，因此密码不含； D猜测，两个号码正确，位置都正确，已知已排除，已经在密码中，因此另一个正确号码为，即密码含； 因此密码的四个数字为； 第四步，推理各数字位置： D中正确号码为和，位置都正确，D中在第三位，在第四位，因此密码第三位为，第四位为，剩余第一位和第二位分配和； B中正确号码为和，位置都错误，B中在第二位，因此不能在第二位，故在第一位，剩余在第二位； 因此密码为. 10．（2026·北京·模拟预测）某学校为丰富学生的课余生活，组织校园“班超”足球赛，初一年级6个班进行单循环比赛（即每班都与其他班比赛一场），每天同时在三个场地各进行一场比赛．已知：第一天（2）班与（6）班比赛，第二天（4）班与（5）班比赛，第三天（3）班与（5）班比赛，第四天（2）班与（4）班比赛，那么一共比赛_____天，第五天与（3）班比赛的是_____班． 【答案】 5 6 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】根据单循环比赛规则，每个班需与其余5个班各赛一场，每天进行3场比赛，先计算总天数，再根据已知比赛排除重复对阵，推理得到结果． 【详解】解：6个班进行单循环比赛，总比赛场次为，每天同时进行3场比赛，因此总天数为； 根据已知条件逐步推理排除重复对阵，得到每日对阵为： 第一天：， 第二天：， 第三天：， 第四天：， 剩余第五天未进行的比赛为： 因此第五天与（3）班比赛的是（6）班． 11．（25-26七年级下·北京·期中）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为______． 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 低强度 8 6 6 5 4 高强度 12 13 14 12 8 休息 0 0 0 0 0 【答案】 35 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】根据题意，按照“选择高强度要求前一天必须休息”的规则，枚举所有符合要求的徒步方案，计算每种方案的总徒步距离，比较后得到最远距离. 【详解】解：枚举所有符合规则的方案，计算总距离如下： 当安排2次高强度，第1天高强度、第3天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第4天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第1天高强度、第5天高强度时，总距离为： 当安排2次高强度，第2天高强度、第4天高强度时，总距离为： 其余方案的总距离均小于， 比较得最远距离为. 12．（25-26七年级下·北京·期末）关于x的不等式组，有下列四个命题： ①当时，该不等式组的解集为； ②当时，该不等式组有4个整数解； ③若该不等式组有解，则； ④若该不等式组恰有2026个整数解，则满足条件的整数a的最大值与最小值之差为1．其中真命题的序号是__________． 【答案】 ①④ 【知识点】无理数的大小估算、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解、判断命题真假 【分析】先解不等式组得到解集为 ，再逐个验证四个命题即可. 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为 ， ① 当时，代入得 ，解集为，故命题①正确； ② 当时，，， 则不等式解集为， ∴整数解为，共个，不是个，故命题②错误； ③ 不等式组有解，则，解得，不是，故命题③错误； ④  ∵不等式组恰有个整数解，为整数， ∴是整数， 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，解集为，整数解从到，共个，符合要求； 当时，，则整数解个数不足， 当时，，则整数解个数超过， ∴满足条件的整数最小值为，最大值为，差为，命题④正确， 综上，真命题的序号是①④. 13．（25-26八年级上·北京海淀·阶段检测）年月，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”附中今年“节”策划了五个活动，规则如下： “节”活动规则 活动前每人先发放两枚“币” 每参与一个活动消耗两枚“币” 没有“币”不能参与活动 每个活动至多参与一次 挑战成功，按右表发放奖励 挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量枚 数独 魔方 华容道 鲁班锁 汉诺塔 小达参与了所有活动． （1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为________； （2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为________ 【答案】 汉诺塔 或或 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，正确地理解题意做出合理的结论是解题的关键． （1）由于小达参与了所有活动，则小达一共消耗了枚“币”，据此可得小达通过成功参与活动获得了枚“币”，而小达只挑战成功一个，故挑战成功的活动名称为汉诺塔； （2）根据题意可得第一次活动小达必定挑战成功，根据他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了次，那么他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败，则第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于枚，则第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔；据此讨论第一次参加的活动，在此基础上再讨论第四次参与的活动，用总获得“币”数量加上初始“币”数量减去参与五个活动消耗的“币”数量即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意可知，小达用活动前发放的两枚“币”参与了汉诺塔，且挑战成功，赢得枚“币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功， 故答案为：汉诺塔； （2）∵活动前小达有两枚“币”，每参与一个活动消耗两枚“币”，且小达参与了所有活动， 第一次活动小达必定挑战成功， 他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了次， 他参与的第五个，第三个，第二个活动都失败， 第一次挑战成功获取的“币”数量能够支持他参与第二，第三，第四次活动， 第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于枚， 第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔； 当第一次参加的活动为华容道时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚； 当第一次参加的活动为鲁班锁时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚； 当第一次参加的活动为汉诺塔时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚； 综上所述，小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为或或， 故答案为：或或． 14．（2025·北京平谷·一模）学校的科技社团承担了该校科技节的展示任务，该任务共包含A，B，C，D，E五个节目，有些节目一个人就可以独立完成，有些节目需要几个人共同合作才能完成，考虑到展示人员的身体状况及展示器材的准备需要，每个人在展示完成后至少要休息一次，已知节目名称和需要合作的人数如下表所示： 节目名称 共同合作的人数 A 5 B 4 C 3 D 2 E 1 若该社团想圆满的完成此次展示任务，最少需要___________个人；如果用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，则符合条件的展示顺序共有___________种不同的情况． 【答案】 6 2 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查最优方案，根据题意，每个人在展示完成后至少要休息一次，得到将人数多的节目中间用人数少的隔开可以使总人数减小，根据节目所需人数最多，得到总人数一定要大于5，进而得到人数和最少为或，按照最小为6人，且进行展示，进行讨论即可． 【详解】解：∵每个人在展示完成后至少要休息一次， ∴将人数多的节目中间用人数少的隔开可以使总人数减小， ∴相邻两节目的人数之和越小，总人数越少， ∵节目所需人数最多为5人， ∴总人数一定要大于5， ∴人数和最少为或，即最少需要6人； 例如：让节目最先展示，然后接人数最少的节目，此时节目的人进行休息，然后再接节目，中的4个人可以上节目，此时节目中剩余1人，节目的人休息，再接节目，正好用到之前剩余的2人，此时节目的4人休息，再接节目，节目中上3人即可，此时用人最少，即组和组人数之和为6； ∵用最少的人数完成此次任务且A节目最先展示，故A节目后面必须接节目， ∴后续排列的可能性为：，相邻人数和分别为，满足题意；或，相邻和依次为6、4、5、6，符合要求； 其它情况均不符合要求； 故符合条件的展示顺序共有2种不同的情况； 故答案为：6，2． 【考点3】三角形内角和与外角性质（角平分线综合计算）（第15-27题） · 内角和180°是角度计算的核心，外角等于不相邻两内角和 · 两内角平分线夹角=90°+∠A，内外角平分线夹角=∠A · 多结论判断题逐一验证，角平分线设未知数导角 15．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）如图，的角平分线、相交于，，且于，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据平行线性质、角平分线定义、直角三角形性质、三角形内角和定理及外角性质，对四个结论逐一分析验证，判断其正确性，最终确定正确结论的组合． 【详解】解：， ． 平分， ， ，故①正确． ，， ， ， ． ， ． 平分， ， ，故②正确． 是的外角， ． ， ． ， ， ． ，故③错误． 、分别平分、， ，． ， ， ， ， ，故④正确． 综上，正确的结论是①②④， 16．（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长至点，平分，点在直线上，且平分，若．则下列结论：①；②；③设，则；④，正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】根据平分，得到，平行线的性质得到，进而得到平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故②正确； ， ， ∵， ， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； 设，则：， 由③可知：， ， ， ， ；故④错误； 综上，正确的有①②③． 17．（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理， 直角三角形的性质，设，根据角平分线的定义得，，由三角形的外角定理得，则，同时，由此得，则，进而得，，然后再根据可得的度数，熟练掌握三角形的外角定理和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴ ∵是的外角，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 18．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．③ D．② 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】①设与相交于点，与交于点，由得，再由三角形的外角定理得，由此出，据此可对结论①进行判断； ②由得，再由三角形的外角定理得，进而得，再证，则，据此可对结论②进行判断； ③先求出，，然后根据已知条件得，据此可求出，进而可求出的度数，于是可对结论③进行判断． 【详解】解：①设与相交于点，与交于点，如图所示： 与的角平分线交于点，平分，，， ，，， ， ， ， ， ， 结论①正确； ②， ， 又 ， ， 即：， ， ， 即：， ， ， 整理得：， 结论②正确； ③，， ， 由②可知：， ， 又， ， ， ， 结论③正确． 综上所述：正确的结论是①②③． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，三角形的内角和定理和三角形的外角定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；三角形的内角和等于；三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 19．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据垂直的定义可得，然后根据同角的余角相等即可判定A；根据角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形外角的性质可得，再结合可判定C；先说明，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故A正确；    ∵、分别是高和角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 由A得：， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：C． 20．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在与中，，，，若 ，则的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．设交于点，由，，求得，由，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图所示，设交于点，   在中，，， ， ，， ， ， ， 故选：B． 21．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，已知，、为上的两点，、为上的两点，延长于点，平分，直线平分，若．①；②；③；④设，则其中正确的结论有（　　）个 A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】①根据平分可对结论①进行判断； ②根据和①可对结论②进行判断； ③根据直线平分和对顶角相等，可对结论③进行判断； ④由①②得，再根据三角形内角和定理可求出对结论④进行判断； 本题主要考查了角平分线定义、平行线的判定与性质和三角形的内角和定理，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的判定与性质、三角形的内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解： ①∵平分， ∴， 则①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， 则②正确； ③∵直线平分， ∴， ∵， ∴， 则③正确； ④∵， ∴由①②得， ∵， 在中， ， ∵， ∴， ∴， 则④不正确； 故选：C． 22．（25-26八年级上·天津西青·阶段检测）如图，是的高，交于点E．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的外角定理，角的和差等，解题的关键是掌握以上性质． 根据高得出直角，根据直角三角形的两个锐角互余得出，利用三角形外角定理求出，最后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 23．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，线段，相交于点，连接，，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，以上命题中是真命题的有（     ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、判断命题真假 【分析】根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断①；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断④；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定②；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质得到，，进而得到，可判断③，即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①是真命题； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由无法证明，故④是假命题； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∴，故②是真命题； 如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故③是真命题； ∴真命题是①②③． 24．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，，平分交于点，点是射线上任一点，连结、，若，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】分两种情况讨论：①当点F在线段上时，由平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得，再结合即可求出的度数．②当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点，由平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，，再结合即可求出的度数． 本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图，当点F在线段上时， ， ， ∵平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得； ②如图，当点F在线段的延长线上时，延长线段交于G点， ， ， 又，， ， ∵平分， ， ， ， ， 中，， 中，， 又， 解得． 故选：C． 25．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，，的平分线交于点，是上一点，的平分线交于点，且，连接，则下列结论：①平分；②三角形与三角形的面积相等；③与互余的角有3个；④若，则．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形角平分线的定义 【分析】根据角平分线的定义得到，再根据垂直的定义证明，则①正确；根据同底等高证明三角形面积相等，②正确；证明，再根据，即可得到与互余的角有个，③错误；证明以及外角的定义证明④正确． 【详解】解： ， ， ， 平分， ， 平分；①正确； 过点作交的延长线为点，过点作， ， ， ， ，②正确； 平分， 平分， 故与互余的角有个，③错误； ， ， ， ， ， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ，④正确． 26．（2026·江西上饶·一模）将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 【答案】或或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据直角三角形的性质求出，，分三种情况分析：当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据平行线的判定和性质得出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意可得，，， 当直线与直线垂直时， 与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 27．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点分别在的边上，连接，把沿折叠，点恰好落在边上点的位置．若平分，则下列结论：①，②；③；④．其中正确结论的序号是___________． 【答案】 ①②④ 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形折叠中的角度问题 【分析】根据折叠的性质可得 ，从而得到对应角相等，据此判断①；根据四边形内角和定理及 判断②；根据角平分线的定义及三角形内角和定理推导 与 的关系，结合平角定义及折叠性质判断④；通过反证法或特定值法判断③是否恒成立. 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，，， ，故①正确； 在四边形 中，， ， ，即，故②正确； 平分， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ，故④正确.； 若，则， ， 由于的形状不确定，该等式不一定成立，故③错误.； 综上所述，正确的结论是①②④. 【考点4】三角形折叠、平移与三角板中的角度问题（第28-31题） · 折叠前后对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线 · 三角板叠放牢记30°、45°、60°、90°特殊角，结合平行线导角 · 平移前后对应线段平行且相等，对应角相等 28．（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【知识点】三角形折叠中的角度问题、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 29．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落到点F的位置．如果，，，那么______ 度． 【答案】50 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，再由求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵，， 由翻折而成， ，． ， 度， ． 30．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，． (1)将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图②，且恰好平分，与相交于点，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点按顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？ 【答案】(1) (2)当边旋转或时，边恰好与边平行 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）证明，利用平行线的性质即可解决问题； （2）分两种情形：①如图2-1中，当时，设交于E．②如图2-2中，当时，延长交于E，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图中，    ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图2-1中，当时，设交于E．    则有， ∵， ∴， ∴， 此时旋转角为； ②如图2-2中，当时，延长交于E．    同法可得，可得旋转角， 综上，当边旋转或时，边恰好与边平行． 31．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）将一副三角板中的两块直角三角板如图放置，已知，，，，． (1)若三角板如图1摆放时，则 ． (2)现固定位置不变，将沿方向平移至点正好落在上，如图所示，求的度数； (3)将（2）中的固定，如图所示，将绕点顺时针旋转，旋转角为，当的边与的一条边平行时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1) (2) (3)，， 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解； （3）分三种情况讨论，分别画出图形，根据平行线的性质以及三角形的外角的性质， 即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ （2）解：如图，设交于点 ， ， 又， ； （3）解：如图，当时，延长交于点，过点作 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即旋转角为 当时，如图， 同理可得 ∴ ∴ ∴，即旋转角为 当时，如图，延长交于点，设交于点， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即旋转角为． 综上所述，旋转角的度数为或或． 【考点5】平行线与三角形角度综合（第32-45题） · 拐点问题过拐点作平行线，把大角拆成两个内错角 · 角平分线+平行线模型用设未知数导角，列方程求解 · 旋转问题注意分类讨论旋转方向与位置，验证全部解 32．（25-26八年级上·重庆酉阳·期末）在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： (1)根据（图1）的研究思路，请证明：， (2)如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点．探究与的数量关系． (3)如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． ． ． ， (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 是的角平分线， ， 在中，， ，， ，即， ， ， ； (3)解：存在，理由如下： 旋转一周运动停止， 总时间（秒）， 与重合时再以原速返回， 重合时间为（秒），此时，延长交于点， ∵在前10秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至， 又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至， ∴在前10秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒；   同理，后10秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行，如图所示， 有， 解得， （秒）， 综上，的值为10秒或16秒时，存在． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的证明、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）由平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）在中，，由三角形的外角性质推出，得到，据此计算即可求解； （3）旋转一周运动停止，求得总时间为20秒，与重合时间为10秒，分在前10秒内和后10秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 33．（2026八年级上·全国·专题练习）已知：直线，A为直线上的一个定点，过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．D，E为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接，，满足．点M在上，且在点B的左侧． (1)如图1，若，，直接写出的度数 ； (2)射线为的角平分线． ①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明； ②当点D与点B不重合，且时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①，理由： ∵， ∴，， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 即； ②或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）由平行线的性质可得到：，，再利用角的等量代换换算即可； （2）①根据平行线的性质得出，，根据角平分线定义得出，求出，最后根据角度间数量关系，得出答案即可； ②分三种情况讨论：当点D在点B右侧时，当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，当D、E均在B点左侧时，运用角的等量代换推导即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵，， ∴． （2）①略 ②当点D在点B右侧时，如图所示， 此时有， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当D、E均在B点左侧时，如图所示： 此时，， ， 又∵， ∴， ∴． 综上所述：或． 34．（21-22七年级下·四川达州·期末）已知直线​，点​分别在直线​上，连接​平分​． (1)如图1，连接​，若​平分​．求​的度数； (2)如图2，连接​，若​，猜想​和​的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点​为线段​（端点除外）上的一个动点，过点​作​的垂线交​于​，连接​，若​平分​，问​的度数是否为定值？若是，求出​的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)是定值， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据分别平分和，得到，由得到，于是得到，即可得到结论： （2）过点G作，因为，所以．设，．由已知可得，，即可解答； （3）过点G作，因为，所以．所以设，．即．根据的平分线相交于G，得到．所以．再因为，所以．再根据平分，利用等量代换即可得到结论，所以．再根据条件平分，得到，即可得解． 【详解】（1）解：∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：过点G作， ∵， ∴， ∴设， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：是定值． 过点G作， ∵， ∴， ∴设， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的度数不发生变化． 35．（25-26七年级下·云南昆明·期末）平面直角坐标系中，点，点分别在x轴和y轴上，点在线段上，满足． (1)请直接写出________，________，________； (2)如图1，点P从点A出发，以每秒2个单位长度沿x轴负方向运动，点Q从原点出发，以每秒1个单位长度沿y轴正方向运动．两点同时出发，当点P到达原点时，两点同时停止运动．设两点的运动时间均为t秒，是否存在t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． (3)如图2，连接，点D为第二象限内一点，且．点E是y轴正半轴上的一个动点（不与点B重合），连接，交直线于点F．已知，探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)8，6，3 (2)存在，秒 (3)， 理由：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点F作，交x轴于点H， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴关系为：． 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的证明 【分析】（1）利用非负性即可求出a，b，c的值，即可得出结论； （2）先表示出，，利用面积相等，建立方程求解即可得出结论； （3）利用平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理及角度的等量代换即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，． （2）解：由（1）知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， ∴t的值为2秒． （3）略 36．（25-26七年级下·河北邢台·期末）如图，直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合． (1)如图，平分，平分，若，求的度数． (2)如图，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则______． ②点、在运动的过程中，的大小会发生变化吗？如果变，请说明理由；如果不变，求的度数． (3)如图，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点、，点、在运动的过程中， ①直接写出与之间的关系． ②在中，如果某一个角的度数是另一个角的度数的倍，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)①；②大小不变，度数恒为． (3)①；②的度数为或． 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）先由直线垂直得到直角，结合已知求出，再利用角平分线定义得到两个半角，最后依据三角形内角和定理计算． （2）①利用垂直定义与三角形的性质求出，结合角平分线得到两组半角，再计算；②设，用含的代数式表示相关半角，作差消去参数，证明为定值． （3）①由邻补角与角平分线推出，结合三角形的性质得到与的数量关系，再根据直角三角形两锐角互余，推导出与的关系式；②为直角三角形，分四种角度倍数情况分类讨论，舍去超出锐角范围的解，得到符合题意的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分，平分， ， ， ； （2）解：①， ， ，， ， 平分，平分， ，， ， ； ②大小不变，度数恒为， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 大小不变，度数恒为； （3）解：①平分，平分， ，， ， 平分，， ， ， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 整理得：． ②由①得：，，． 情况1：， ， ， ． 情况2：， ， ， ， ， 是直角三角形内锐角，，故此解舍去． 情况3：， ， ， ，， ，不符合题意，舍去． 情况4：， ， ， ， ． 综上，的度数为或． 37．（25-26七年级下·湖北咸宁·期末）【问题情境】 学完“平行线的判定与性质”后，老师让学生借助“平行线”与“含30°的直角板”开展数学活动，已知直角板顶点在直线上，直线，，，． 【操作初探】 (1)将直角板如图1放置，若，求的度数； (2)将直角板如图2放置，线段与直线交于点，线段与直线交于点，证明：； 【操作再探】 (3)将直角板如图3放置，延长至点，与直线交于点，作和的平分线交于点． ①若，则的度数为______°； ②已知，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)证明：过点作， ， ， ，， ； (3)①70；②． 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据平行线的性质可求，再利用平角定义即可求解题目； （2）过点作，则，根据平行线的性质可知，，则题目可解； （3）①根据角平分线和平行线的性质即可求解②，则，由角平分线的性质知，根据通过导角即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：略； （3）解：①∵，， ∴， ∴, ∵为的平分线， ∴； ②设，则， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且， ∴, ∵， ∴， , ∴ ． 38．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）【问题探究】 (1)如图1，，点在直线上方（）．试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题拓展】 (2)如图2，，点在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点（点在直线的下方），试探究和之间的数量关系． 【问题迁移】 (3)如图3，，点在直线上方，、、、分别是、、、的三等分线，．直线与直线交于点，直线与直线交于点（点在直线的下方）．设，请直接写出与的数量关系：___________________． 【答案】(1)，   理由如下：如图1，作直线为过点且平行于直线的直线： ，， ， ，， ， 即； (2)；理由如下：如图2， 设，， 平分，平分， ，， 由（1）得， 即， ， ， ，， ， ； 即； (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）①作直线为过点且平行于直线的直线，根据平行线的性质即可求解； （2）设，，证明即可得到结论； （3）设，，由（1），， ，根据已知条件求出，，根据三角形外角定理得到，，根据即可求出，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设，， 由（1）得， ∴，， ， ∵、、、分别是、、、的三等分线，且， ∴，， ，， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴． 39．（20-21七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）如图1，是直线，内部一点， ，连接，． (1)探究猜想： ①若，，则； ②若，，则； ③猜想图中，，的关系并证明你的结论． (2)拓展应用： 如图2，射线与矩形的边交于点，与边交于点，①②③④分别是被射线隔开的个区域不含边界，其中区域③、④位于直线上方，是位于以上四个区域上的点，猜想：，，的关系（不要求证明）． 当点在区域①时，，，的关系为； 当点在区域②时，，，的关系为； 当点在区域③时，，，的关系为； 当点在区域④时，，，的关系为_____． 【答案】(1)①；②；③，证明见解析 (2)点在区域①时，；点在区域②时，；点在区域③时，；点在区域④时， 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）①过点E作，根据平行线的性质及角的和即可得出答案； ②过点E作，根据平行线的性质及角的和即可得出答案； ③过点E作，根据平行线的性质及角的和即可得出答案； （2）按照四个区域，分别分情况讨论，画出图形，根据平行线的性质以及三角形外角的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：①如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ，， ， 故答案为：70； ②过点作， ∵， ∴， ∵，， ，， ， 故答案为：80； ③猜想：． 理由：过点作， ∵， ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， ，（两直线平行，内错角相等）， （等量代换）． （2）解：根据题意得： 点在区域①时，如图所示： 根据解析（1）中的结论可知：， ∵，， ∴； 点在区域②时，如图所示： 根据解析（1）中的结论可知：； 点在区域③时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ． 点在区域④时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ； 40．（23-24七年级下·北京西城·期末）如图，直线，直线与直线，分别交于点E，F，的平分线交于点P． (1)求证：； (2)点G是射线上一个动点（点G不与点P，F重合），的平分线交直线于点H，过点H作交直线于点N， ①当点G在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和之间的数量关系，并证明； ②当点G在线段的延长线上时，直接写出用等式表示的和之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵的平分线交于点P， ∴， ∴； (2)①② 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角性质： （1）根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的性质可得到结果； （2）先根据情况把图画出来，根据两直线平行内错角相等以及角平分线的性质可得到结果； 熟悉几何图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：①当点G在线段上时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点G在线段的延长线上时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 41．（24-25七年级下·广东深圳·期中）综合与实践：在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． (1)【问题感知】如图①，直线，点、在直线、上，点在两平行线之间，连接，．若，，则的度数为________°． (2)【问题初探】如图②，若点，在平行直线与之间，，，，则的度数为________°． (3)【问题深化】如图③，在图①基础上，作平分，平分，若设，，则________． (4)【问题拓展】如图④，在图③的基础上，若平分，平分，可得，平分，平分，可得，⋯，依次平分下去，则________°．（用含，的式子表示） (5)【应用迁移】在一次综合实践活动课上，小景同学制作了一个如图⑤所示的“回旋镖”，经测量发现，，他很想知道与的数量关系，你能告诉他吗？请你写出求解过程． 【答案】(1) (2)60 (3) (4) (5) 解：，理由如下： 如图：过点P作交于点G，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）如图，过P作，则，易证可得，然后根据角的和差即可解答； （2）如图：过P作，过Q作，则，同（1）中方法可得，即，易得，然后运用平行线的性质即可解答； （3）利用（1）中结论和角平分线的定义即可得解； （4）将．．．．．．列举几个找出规律即可得解； （5）如图：过点P作交于点G，则，利用平行线的性质结合三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：如图，过P作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：130°； （2）解：如图：过P作，过Q作，则， 由（1）方法可知∶， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． （3）解：如图③：∵平分，平分， ∴， 利用（1）的方法可得：． 故答案为． （4）解：如图③：由（3）知， ， ， ．．．．．． ． 故答案为：． （5）略 42．（24-25七年级下·重庆·期中）已知：直线，A为直线上的一个定点． (1)过点A的直线交于点B，点C在线段的延长线上．若点D，E为直线上的两个动点，点D始终在点E的左侧，点P始终在点B的左侧，连接，，且满足． ①如图1，若，求的度数． ②若射线为的角平分线，当时，求所有情况中的度数． (2)如图3，将点B固定在如图位置，射线从开始，绕A点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕B点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于点I，若直线与直线相交所夹的锐角为，请直接写出运动时间t秒（）的值． 【答案】(1)①；②或 (2)或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）①由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； ②由①得：，，则设，然后分当点D、E都在点B的右侧时，当点D在点B左侧时，进而分类求解即可； （2）由题意可分：①当时，则，，当时，则，，然后根据平行线的性质及三角形内角和及外角的性质可进行求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②由①得：， ∵为的角平分线， ∴， 由可设， 当点D、E都在点B的右侧时，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，即； 当点D在点B左侧时，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ， ∴， 解得：，即； 综上所述：或； （2）解：由题意可分：①当时，则，，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时，则，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图所示： 同理可得：， 解得：； 综上所述：当或或，直线与直线相交所夹的锐角为． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、一元一次方程的应用、三角形内角和及外角的性质，熟练掌握平行线的性质、一元一次方程的应用、三角形内角和及外角的性质是解题的关键． 43．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，已知，，点为直线上一动点．    (1)求证：； (2)作射线交直线于点，交直线于点，且．当点运动到如图②所示的位置时，请直接在图中补全图形，并直接用等式写出与之间的数量关系． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 依题意，如图，    【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形的外角性质，会利用三角形的外角性质和平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． （1）利用平行线的判定与性质证得结论即可； （2）先根据题干叙述画出图形，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质得到，进而整理可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 即， ∴． 44．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，． （1）的度数为______； （2）的度数为______． 【答案】 /80度 /40度 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解题的关键是利用角平分线将角进行等分，结合三角形内角和与外角关系推导未知角度． （1）先在中，由内角和求出与的和，再根据BD、CD是角平分线得出与的和，最后用内角和求出； （2）利用三角形外角性质，结合外角平分线与平分线的关系，推导与的数量关系，再代入的度数求出． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴； ∵BD平分，CD平分， ∴，， ∴； 在中，∵， ∴， 故答案为：； （2）设的外角为， ∵CE平分， ∴； 由三角形外角性质，，又BD平分， ∴； ∵是的外角， ∴， ∴，化简得； ∵， ∴， 故答案为： 45．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图1，，点在，之间，连接，．易证：．下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图2，过点P作． 小红：如图3，延长交于点M． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图4，点E，F分别是射线，上一点，点G是线段上一点，连接并延长，交直线于点P，连接、，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点H，若，，，求的度数． 【答案】(1)解：小刚的证明如下：如图2，过点P作， ∵， ∴， ∴ ∴ 即； (2)证明：∵∴ 又∵ ∴ ∴； (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）小刚的证明：过点P作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点M，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【详解】（1）小红的证明如下：     如图3，延长交于点M， ∵， ， ， ∴， ； （2）略； （3）解：∵平分，， ， 设，则，，     ， ∴， 解得， ； 设， ∵平分， ， ∵， ， ∵在(2)的条件下， 同理可得，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，三角形内角和定理和三角形外交的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 三边关系先判断最短两边之和是否大于最长边 · 中线等分面积，面积问题按底之比转化 · 角度计算牢记内角和180°与外角等于不相邻两内角和 · 拐点问题过拐点作平行线，分类讨论不漏解 · 折叠问题抓住对应角相等，三角板问题记住特殊角 【作业1】．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，是正方形的边上任意一点，且，则的面积是正方形面积的（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题主要考查了正方形的面积，三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 连接，过点作于点，根据得，由三角形面积的公式得，，由此得，再根据得，则，据此即可得出答案． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示： 四边形是正方形， ，正方形面积为， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的面积是正方形面积的． 故选：A． 【作业2】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四边形中，对角线平分，，，且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，以及三角形的全等和三角形的内角和定理，注意知识点的综合运用． 延长和，过点作于点，过点作于点，根据是的平分线可得出，故，过点作于点，可得出，从而，进而得出为的平分线，得出，再根据即可得出结论． 【详解】解：延长和，过点作于点，过点作于点， 是的平分线， 在与中， ， ， ， 又， ， ， 为的平分线， 过点作于点， ∵， ． ∴， 为的平分线， ∵， ， 在中，，， ， ， ， ． 故选：C． 【作业3】．（26-27八年级上·全国·期中）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据角平分线的定义和外角性质可以得到，根据三角形外角性质可得到，将其代入可以得到，同理得出，，…，，将代入即可． 【详解】解：平分，平分， ，． ， 即， ， ， ， ． 同理可得，，，…，， ， ． 【作业4】．（23-24九年级上·重庆·期中）在多项式中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第轮“加括号操作”．以下说法： 存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； 总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果．其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】去括号、添括号、整式的加减运算、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例跟反例． 【详解】解：题目中说存在着一个式子第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等， 举出正例：选择进行“加括号操作”得到， 与原多项式相等，故说法正确； 总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为， ∵无论选择哪两个字母，的正负是不发生改变的， ∴任何一轮“加括号操作”与原多项式相加是无法消去的， ∴存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为是错误的； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果， 举出反例：选择进行“加括号操作”，得到 ， 选择进行“加括号操作”，得到 ， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到 ， 选择进行“加括号操作”，得到 ， 结果大于四种，故说法错误； 故选：． 【作业5】．（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）设一个三角形的边长分别为，且，，为正整数，若，则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、三角形三边关系的应用 【分析】利用已知条件对式子变形，结合边长为正和三角形三边关系（两边之和大于第三边）得到的取值范围，逐一对比各选项用排除法选出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 整理得，， ∵、是正数， ∴，即， 对于选项A，，不符合，排除选项A； 由， 将，代入得， ，即， 对于选项D，，不符合，排除选项D； ∵， ∴， ∵，， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，，， 对于选项B，，不符合排除选项B； 综上，答案选C． 【作业6】．（25-26八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为___________． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【作业7】．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为___________． 【答案】54 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 【作业8】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）已知的三边长分别为，，（，，均为有理数），且，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了绝对值和偶次方的非负性、三角形的三边关系定理、解一元一次不等式组等知识点，根据三角形的三边关系得出不等式组是解题的关键． 根据绝对值和偶次方的非负性求出，，可得，然后根据三角形的三边关系求出，解不等式组可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 由得， 根据三角形的三边关系得，即， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴b的取值范围是． 故答案为． 【作业9】．（2026·北京朝阳·一模）某学校大力普及校园足球运动，在各年级分别举行了足球比赛，要求每两支参赛球队均要比赛一场，根据积分进行排名，比赛的积分规则为每胜一场得3分，每负一场得0分，每平一场各得1分．该校九年级共有5支球队参赛，最终各支球队的积分均不相同，积分最低的球队积1分． （1）积分最低的球队负________场； （2）积分排名第三的球队最低积________分， 【答案】 3 4 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】（1）先确定每支球队共比赛4场，结合积分规则分析最低积分1分的组成，即可得到负场数； （2）要使排名第三的球队积分最低，需让前两名积分尽可能高，再结合各队积分均不同的条件，构造验证得到第三的最低积分． 【详解】解：每两支参赛球队均要比赛一场，每支球队共比赛场． （1）已知积分最低的球队积1分，根据积分规则，1分只能是 ，即该队0胜1平3负，因此负场数为3． （2）设五支球队按积分从高到低为，其中积1分，要使积分最低，需让积分尽可能高． 安排四战全胜，积分；负于，战胜，积分，满足积分不同． 再安排比赛结果：负于，平，得1分，符合要求；负于，平，得分；负于，平，胜，得分． 此时积分排序为 ，所有积分均不同，符合题意． 若积3分，则第四位只能是2分，无论如何安排，都会出现积分重复或第三名为更高积分的球队，因此最低积4分． 【作业10】．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在三角形纸板中，．将纸板沿射线方向平移得到，与交于点K．有下列结论：①；②；③若，则；④当，时，四边形的面积为64．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、利用平移的性质求解 【分析】根据平移的性质，对应边平行且相等，对应点连线平行且相等，可判断①②；连接，由平移的性质得，，求出，可得，进而可判断③错误；说明，然后根据梯形面积公式求解可判断④正确． 【详解】解：沿射线平移得到， ，， 结论①正确； 点的对应点为，点的对应点为， 与都是平移距离， ， 结论②正确； 连接， 由平移的性质得，， ∴，即， ∴，即， ∴，即， ∵，即点是的中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 结论③错误； ∵， ∴， ∴， ，， ， ， ，， ， ∴， 结论④正确． 综上可知，正确的有①②④． 【作业11】．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三角形被分成7块面积相等的小三角形，其中，则的值为_______． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意易得：，从而可得，进而可得；然后根据同理可得：，从而可得，再根据同理可得：，同法求出的长，即可解答． 【详解】解：∵三角形被分成7块面积相等的小三角形， ∴， ∴， ∴； 同理可得：， ∴， 同理可得： ， ∴， 同法可得：，，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【作业12】．（25-26七年级下·上海·期中）如图1，把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图1，______°，______°． (2)如图2，现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的2倍，求的值． (3)按图1所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线从开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转至与重合时立即停止，射线从开始绕点以每秒的速度顺时针方向旋转至与重合时立即回转，旋转至与重合时再回转，如此循环往复．若射线转动20秒后，射线才开始转动，那么在射线停止运动之前，射线转动______秒，可使得． 【答案】(1)， (2) (3)或或140 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）根据两直线平行，内错角相等求出，继而表示出，再用三角形外角定理和邻补角可得，，最后根据恰好是的2倍列方程，计算可求解； （3）分三种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的2倍， ∴， 解得； （3）解：设射线转动秒，可使得， 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得． 如图： ∵， ∴， ∴， 解得． 综上所述，t的值为或或140． 【作业13】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，，，于点D． (1)若，则的度数为________． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合以及三角形外角性质可求出的度数；再在中，利用三角形内角和定理即可求出的度数； （2）在中，利用三角形内角和定理可用含的代数式表示出的度数，结合以及三角形外角性质可用含的代数式表示出的度数；再在中，利用三角形内角和定理即可用含的代数式表示出的度数． 【详解】（1）解：在中， ． ， ． ， ， ． （2）解：， ． ，， ， ． ， ， ． 【作业14】．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)如图②，作的外角，的平分线交于点，试探索，，之间的数量关系； (3)如图③，延长线段，交于点，若中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理表示出；根据与的平分线相交于点，以及三角形内角和定理表示出，再由两式相加即可得到，，之间的数量关系； （3）在中，根据，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴； （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴， ∴ ， ∴ ； ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， 即； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵， ∴如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，； ④，则， ． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 【作业15】．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）【概念认识】 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则　； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）如图④，直线、交于点，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，，直接写出的度数． 【答案】（1）或100；（2），（3）的度数为或或或． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）分为两种情况：当是“邻三分线”时，当是“邻三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可； （2）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可； （3）画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，③当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，④当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据三角形的内角和定理求出答案即可． 【详解】解：（1），，是的“三分线”， ， ， 或， 故答案为：或100； （2）如题图③，， ， ， 、分别是邻三分线和邻三分线， ，， ， ， ； （3）四种情况： ①如图1，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图2，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ，， 由①知：， 同理得：， ； ③如图3，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ，， 由①知：， 同理得：， ； ④如图4，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， ，， 由①知：， 同理得：， ； 综上，的度数为或或或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和新定义：三分线，“8字形”和分类讨论思想的运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $