05 第五册 三角形中的边角关系与命题证明《真题淬炼·题型通关》2026-2027学年沪科版八年级数学上册期中专项复习全案

沪科版八上期中专项复习 · 第五册 三角形中的边角关系与命题证明 安徽各地市期中真题精选 · 9 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 三角形三边关系（第三边范围） 三角形三边关系 2026亳州利辛联考期中 3 题 三角形的稳定性与应用 三角形的稳定性 · 三角形三边关系与稳定性应用 2026黄山地区期中 2 题 三角形内角和求角 三角形内角和 2026合肥五十中东校期中 3 题 三角形外角与外角定理 三角形外角 2026沪科版期中检测卷（二） 3 题 多边形内角和与外角和 三角形外角和 2026滁州定远育才学校期中 2 题 三角形的高、中线、角平分线（概念辨析） 三角形的高中线角平分线 · 三角形的高 · 三角形的中线与角平分线 2026合肥行知学校期中 3 题 与中线/高有关的面积问题（等积法） 三角形的面积（等积法） · 三角形中线与面积 2026蚌埠怀远新城实验期中 3 题 命题真假与举反例 命题真假与反例 · 命题与逆命题 2026沪科版期中检测卷（一） 3 题 角度计算综合（双角平分线、折叠、平行+三角形） 角度计算综合 · 角度计算综合（8字型） · 角度计算综合（角平分线递推） 2026合肥五十中东校期中 3 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 三角形：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所得图形；按边分不等边与等腰（含等边），按角分锐角、直角、钝角三角形。 2. 三条重要线段：高（三条高所在直线交于一点）、中线（连顶点与对边中点，交点为重心）、角平分线（三条交于一点）。锐角三角形的高都在形内，直角三角形两条高恰为直角边，钝角三角形有两条高在形外。 3. 外角：一边与另一边的延长线组成的角，与相邻内角互补。 4. 稳定性：三边确定则形状唯一，用于人字梯、钢架、手机支架。 5. 命题：判断性语句，由条件与结论组成；定理是经过证明的真命题，基本事实是公认的真命题；条件结论互换得逆命题，两者真假互不影响；否定假命题只需一个反例。 ▍二、法则与公式 1. 三边关系：。 2. 内角和：；直角三角形两锐角互余。 3. 外角定理：外角等于不相邻两内角之和，，且大于任一不相邻内角。 4. 外角和：三角形及任意多边形外角和均为；边形内角和，正边形每个外角。 5. 常用角模型：双内角平分线；内、外角平分线夹角；"8字型"；高与角平分线夹角。 6. 中线等积与等积法：；。 ▍三、方法技巧 1. 第三边先写"差 < 边 < 和"，再按整数、偶数等条件筛选；含三边的绝对值先用三边关系定号再去括号。 2. 角的倍数、比例条件设一份为，用内角和列方程。 3. 求角找转化链：平行线转移角、角平分线折半、外角拆和；整体求常快于逐角计算。 4. 折叠即全等：对应角、对应边相等，把折叠角放回原图再算。 5. 面积问题用等积法；见中点连中线，面积逐层减半。 6. 综合题设参数角表示目标角，最后解方程或分类讨论（三倍角、直角顶点位置等）。 ▍四、易错警示（附反例） 1. 三边关系误带等号：2、3、5因不能构成三角形。 2. 反例不当：否定"若则"应取；取条件结论都成立，不是反例。 3. 逆命题真假与原命题无关："对顶角相等"真，逆命题"相等的角是对顶角"假（反例：两直角相等而非对顶角）。 4. 高的辨认：钝角三角形边上的高在形外，垂足在延长线上。 5. 中线平分面积但不平分周长。 6. 外角和恒为，勿与内角和混淆；"外角之比"题先求外角再转内角。 7. 分类不全：等腰、直角位置、三倍角等须分情况，漏解最易失分。 　题型一 三角形三边关系（第三边范围） 方法要领　两边之差＜第三边＜两边之和，含字母/偶数/应用情境先定范围再筛选。 【例】（2026亳州利辛联考期中 16）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026黄山屯溪四中期中 3）三角形三边长分别为6、、10，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026沪科版期中检测卷（一） 6）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型二 三角形的稳定性与应用 方法要领　三边确定⇒形状唯一，识别人字梯、支架中的稳定性原理。 【例】（2026黄山地区期中 13）如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026宿州部分学校期中 2）如图，人字梯的支架，的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（　　） A．3m B．4.2m C．5m D．6m ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型三 三角形内角和求角 方法要领　内角和 180° 列方程，设一份角 处理倍数与比例，再按角分类判形。 【例】（2026合肥五十中东校期中 2）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉了一个角，则撕掉的角的度数是（　　） A．50° B．60° C．80° D．100° ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026合肥五十五中天鹅湖校区期中 5）在中，，，则是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026合肥庐江柯坦中学期中 16）在中，，． (1)求，，的度数； (2)按边分类，属于______三角形，按角分类，属于______三角形． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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17）如图，在中，，，都是的高，且，求的长． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026宣城六中期中 17）如图，是的中线，是上的一点，，分别是，的中点，若的面积是24，则阴影部分的面积为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026合肥庐江部分学校期中 6）如图，在中，已知点为上一点，点分别为的中点，且cm²，则图中的面积是（　　） A．4cm² B．2cm² C．6cm² D．1cm² ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型八 命题真假与举反例 方法要领　反例须“条件成立而结论不成立”；逆命题真假与原命题无关。 【例】（2026沪科版期中检测卷（一） 4）为说明命题"若，则"是假命题，下列反例正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026阜阳界首期中 3）能说明命题"三角形三条高线的交点一定在三角形的内部"是假命题的反例是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026马鞍山二十中期中 14）写出"如果，那么"的逆命题：______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型九 角度计算综合（双角平分线、折叠、平行+三角形） 方法要领　双角平分线 型、折叠即全等、平行转角，设参数角＋分类讨论。 【例】（2026合肥五十中东校期中 22）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，______°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026沪科版期中检测卷（二） 14）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为"8字型"，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为______； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026合肥行知学校期中 14）如图，在中，，延长到点，与的平分线相交于点． （1）的大小是______； （2）若与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的大小是______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　专题过关检测（限时20分钟 · 满分50分） 一、选择题（每小题3分） 1．（3分）（2026阜阳十五中期中 2）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A．7cm，4cm，2cm B．5cm，5cm，6cm C．3cm，4cm，8cm D．2cm，3cm，5cm ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（3分）（2026马鞍山二十中期中 8）在中，，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（3分）（2026蚌埠蚌山区期中 6）给出下列四个命题： ①如果是等边三角形，那么； ②如果是等腰三角形，那么； ③若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线垂直； ④若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行． 其中是真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（3分）（2026马鞍山雨山实验学校期中 10）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、填空题（每小题3分） 5．（3分）（2026亳州利辛联考期中 14）如图，在中，，，是高，是角平分线，______度． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（3分）（2026淮南凤台部分学校联考期中 13）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（3分）（2026蚌埠怀远新城实验期中 13）已知，，是的三条边长，化简：______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（3分）（2026黄山地区期中 14）如图，Rt中，，，将其折叠，使点落在边上点处，折痕为，则的度数为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题（8分+8分+10分） 9．（8分）（2026长丰下塘实验学校期中 18）如图，，的顶点，分别落在直线，上，交于点，平分，若，，求的度数． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（8分）（2026淮南凤台部分学校联考期中 21）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，，其中． (1)求和的度数； (2)若与的周长差为3，，求的长． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（10分）（2026阜阳界首期中 23）在中，点，分别是，上一点，和的角平分线交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点，直接写出和之间的数量关系． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 期中专项复习 · 八年级学生版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版八上期中专项复习 · 第五册 三角形中的边角关系与命题证明 安徽各地市期中真题精选 · 9 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 三角形三边关系（第三边范围） 三角形三边关系 2026亳州利辛联考期中 3 题 三角形的稳定性与应用 三角形的稳定性 · 三角形三边关系与稳定性应用 2026黄山地区期中 2 题 三角形内角和求角 三角形内角和 2026合肥五十中东校期中 3 题 三角形外角与外角定理 三角形外角 2026沪科版期中检测卷（二） 3 题 多边形内角和与外角和 三角形外角和 2026滁州定远育才学校期中 2 题 三角形的高、中线、角平分线（概念辨析） 三角形的高中线角平分线 · 三角形的高 · 三角形的中线与角平分线 2026合肥行知学校期中 3 题 与中线/高有关的面积问题（等积法） 三角形的面积（等积法） · 三角形中线与面积 2026蚌埠怀远新城实验期中 3 题 命题真假与举反例 命题真假与反例 · 命题与逆命题 2026沪科版期中检测卷（一） 3 题 角度计算综合（双角平分线、折叠、平行+三角形） 角度计算综合 · 角度计算综合（8字型） · 角度计算综合（角平分线递推） 2026合肥五十中东校期中 3 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 三角形：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所得图形；按边分不等边与等腰（含等边），按角分锐角、直角、钝角三角形。 2. 三条重要线段：高（三条高所在直线交于一点）、中线（连顶点与对边中点，交点为重心）、角平分线（三条交于一点）。锐角三角形的高都在形内，直角三角形两条高恰为直角边，钝角三角形有两条高在形外。 3. 外角：一边与另一边的延长线组成的角，与相邻内角互补。 4. 稳定性：三边确定则形状唯一，用于人字梯、钢架、手机支架。 5. 命题：判断性语句，由条件与结论组成；定理是经过证明的真命题，基本事实是公认的真命题；条件结论互换得逆命题，两者真假互不影响；否定假命题只需一个反例。 ▍二、法则与公式 1. 三边关系：。 2. 内角和：；直角三角形两锐角互余。 3. 外角定理：外角等于不相邻两内角之和，，且大于任一不相邻内角。 4. 外角和：三角形及任意多边形外角和均为；边形内角和，正边形每个外角。 5. 常用角模型：双内角平分线；内、外角平分线夹角；"8字型"；高与角平分线夹角。 6. 中线等积与等积法：；。 ▍三、方法技巧 1. 第三边先写"差 < 边 < 和"，再按整数、偶数等条件筛选；含三边的绝对值先用三边关系定号再去括号。 2. 角的倍数、比例条件设一份为，用内角和列方程。 3. 求角找转化链：平行线转移角、角平分线折半、外角拆和；整体求常快于逐角计算。 4. 折叠即全等：对应角、对应边相等，把折叠角放回原图再算。 5. 面积问题用等积法；见中点连中线，面积逐层减半。 6. 综合题设参数角表示目标角，最后解方程或分类讨论（三倍角、直角顶点位置等）。 ▍四、易错警示（附反例） 1. 三边关系误带等号：2、3、5因不能构成三角形。 2. 反例不当：否定"若则"应取；取条件结论都成立，不是反例。 3. 逆命题真假与原命题无关："对顶角相等"真，逆命题"相等的角是对顶角"假（反例：两直角相等而非对顶角）。 4. 高的辨认：钝角三角形边上的高在形外，垂足在延长线上。 5. 中线平分面积但不平分周长。 6. 外角和恒为，勿与内角和混淆；"外角之比"题先求外角再转内角。 7. 分类不全：等腰、直角位置、三倍角等须分情况，漏解最易失分。 　题型一 三角形三边关系（第三边范围） 方法要领　两边之差＜第三边＜两边之和，含字母/偶数/应用情境先定范围再筛选。 【例】（2026亳州利辛联考期中 16）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即． （2）解：∵的三边长为， ∴， ∴， ∴， ∴原式 ． 【练1】（2026黄山屯溪四中期中 3）三角形三边长分别为6、、10，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系并据此列出不等式组是解题的关键．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出关于的不等式组求解． 【详解】解：根据三角形三边关系可得且， 解不等式得， 解不等式得， 所以． 故选：C． 【练2】（2026沪科版期中检测卷（一） 6）为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围一块三角形空地，现已连接好三段篱笆，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆可分别绕轴和转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为（　　） A．1m B．2m C．3m D．4m 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，利用三边关系确定第三边的取值范围．设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：m，m，m， ∵，即， ∴， ∴在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为4m， 故选：D． 　题型二 三角形的稳定性与应用 方法要领　三边确定⇒形状唯一，识别人字梯、支架中的稳定性原理。 【例】（2026黄山地区期中 13）如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的______． 【答案】稳定性 【分析】本题考查了三角形的性质，掌握三角形的稳定性并应用于实际是解题的关键．根据三角形的稳定性解答． 【详解】解：由于三角形具有稳定性， 故能支撑住手机， 故答案为：稳定性． 【练1】（2026宿州部分学校期中 2）如图，人字梯的支架，的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则、两点之间的距离可能是（　　） A．3m B．4.2m C．5m D．6m 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即． 故选：A． 　题型三 三角形内角和求角 方法要领　内角和 180° 列方程，设一份角 处理倍数与比例，再按角分类判形。 【例】（2026合肥五十中东校期中 2）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉了一个角，则撕掉的角的度数是（　　） A．50° B．60° C．80° D．100° 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据三角形的内角和定理可得，撕掉的角的度数为． 故选：A． 【练1】（2026合肥五十五中天鹅湖校区期中 5）在中，，，则是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．根据三角形内角和为求解出，再根据三角形的分类即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴是锐角三角形． 故选：A． 【练2】（2026合肥庐江柯坦中学期中 16）在中，，． (1)求，，的度数； (2)按边分类，属于______三角形，按角分类，属于______三角形． 【答案】(1)；； 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求解即可； （2）按照三角形的分类标准分类即可． 【详解】（1）解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴按边分类，属于等腰三角形； ∵， ∴按角分类，属于直角三角形． 　题型四 三角形外角与外角定理 方法要领　外角＝不相邻两内角之和，配合角平分线、高作“外角拆和”转化链。 【例】（2026沪科版期中检测卷（二） 20）如图，在中，分别平分，且交于点，为外角的平分线，交的延长线于点．记，，已知．求与的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 由角平分线的定义和外角的性质，可得，，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的平分线，平分， ∴，． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴． 【练1】（2026黄山屯溪四中期中 14）如图，在中，，外角，若是和的平分线的交点，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和为是解题的关键．先根据角平分线定义得出，求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【练2】（2026合肥庐江柯坦中学期中 18）如图，在中，是边上的高，，若平分交于点，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等内容；根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用三角形外角的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵是的一个外角，，是边上的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为． 　题型五 多边形内角和与外角和 方法要领　外角和恒 360°，内角和 ，比值条件设 列方程。 【例】（2026滁州定远育才学校期中 3）已知三角形的三个外角的度数比为2：3：4，则它的最大内角的度数为（　　） A．90° B．110° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角和等于列方程求三个外角的度数，确定最大的内角的度数即可． 【详解】解：设三个外角的度数分别为，，， 根据三角形外角和定理，可知， 得， 所以最小的外角为， 故最大的内角为． 故选：C． 【练1】（2026合肥庐江部分学校期中 11）如图，______°． 【答案】360 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是利用外角等于不相邻的两个内角的和，将三个外角转化为三角形内角和的2倍来计算． 利用三角形外角性质，将、、分别表示为三角形内角的和，再合并这三个外角的表达式，转化为三角形内角和的2倍，结合三角形内角和为180°，计算得结果． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：360． 　题型六 三角形的高、中线、角平分线（概念辨析） 方法要领　紧抓三线定义（垂足可在延长线上、中线平分边、角平分线平分角）逐项辨析。 【例】（2026合肥行知学校期中 7）如图，在Rt中，，为边上的高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角的余角相等可以判断；根据三角形中线的定义可以判断；根据角平分线的性质得出，根据，即可得出答案；根据和中，，但、边上的高相等，即可得出答案． 【详解】解：A．∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵是中线， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵是角平分线， ∴， ∵， ∴ ， 故C正确，不符合题意； D．∵和中，，但、边上的高相等， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 【练1】（2026宿州部分学校期中 11）如图，，交的延长线于点，交的延长线于点，则中边上的高是______． 【答案】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点， ∴中边上的高是． 故答案为：． 【练2】（2026滁州定远育才学校期中 14）如图，在中，是角平分线，是中线，若cm，则______cm，若，则______度． 【答案】12；36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键．根据三角形中线将线段分成相等的两部分，可求出的长，根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是中线，cm， ∴cm， ∴cm， ∵是角平分线，， ∴， ∴． 答案：12，36． 　题型七 与中线/高有关的面积问题（等积法） 方法要领　中线平分面积逐层减半；等积法 求另一条高。 【例】（2026蚌埠怀远新城实验期中 17）如图，在中，，，都是的高，且，求的长． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形面积公式的应用，熟练掌握三角形面积公式是解决本题的关键． 根据三角形面积公式，当是高，是底时，，当是高，是底时，，由此可求解． 【详解】解：当是高，是底时，的面积为， 当是高，是底时，也可表示为， ∴． 把，，代入上式， 可得，解得． ∴的长为12． 【练1】（2026宣城六中期中 17）如图，是的中线，是上的一点，，分别是，的中点，若的面积是24，则阴影部分的面积为______． 【答案】6 【分析】此题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据三角形的中线平分三角形的面积逐步求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的面积是24，是的中线， ∴的面积为12． ∵点是的中点， ∴是的中线， ∴的面积=的面积． ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴． ∵是的中点， ∴，， ∴阴影部分的面积． 故答案为：6． 【练2】（2026合肥庐江部分学校期中 6）如图，在中，已知点为上一点，点分别为的中点，且cm²，则图中的面积是（　　） A．4cm² B．2cm² C．6cm² D．1cm² 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的性质，由是的中点可得，，即得cm²，进而由是的中点即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点， ∴，， ∴cm²， ∵是的中点， ∴cm²， 故选：B． 　题型八 命题真假与举反例 方法要领　反例须“条件成立而结论不成立”；逆命题真假与原命题无关。 【例】（2026沪科版期中检测卷（一） 4）为说明命题"若，则"是假命题，下列反例正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了举反例说明命题为假命题，理解举反例的方法是解题的关键． 举例符合已知条件，但得出的结论与已知的结论矛盾，可说明原命题是假命题，据此逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．当，时，可得出，是反例，符合题意； B．当，时，可得出，不符合题意； C．当，时，可得出，不是反例，不符合题意； D．当，时，可得出，不符合题意； 故选：A． 【练1】（2026阜阳界首期中 3）能说明命题"三角形三条高线的交点一定在三角形的内部"是假命题的反例是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高，熟知锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高线的交点的位置是解题的关键．根据锐角三角形三条高线的交点一定在三角形的内部，直角三角形三条高线的交点是直角的顶点，钝角三角形三条高线所在直线的交点一定在三角形的外部；即可解答． 【详解】解：锐角三角形三条高线的交点一定在三角形的内部，直角三角形三条高线的交点是直角的顶点，不在三角形的内部，钝角三角形三条高线所在直线的交点一定在三角形的外部； ∴能说明命题"三角形三条高线的交点一定在三角形的内部"是假命题的反例是直角三角形或钝角三角形； 故选：C． 【练2】（2026马鞍山二十中期中 14）写出"如果，那么"的逆命题：______． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查写出逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可． 【详解】解：原命题的题设是""，结论是""，互换后得到逆命题"如果，那么"． 故答案为：如果，那么． 　题型九 角度计算综合（双角平分线、折叠、平行+三角形） 方法要领　双角平分线 型、折叠即全等、平行转角，设参数角＋分类讨论。 【例】（2026合肥五十中东校期中 22）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，______°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）设，根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 答：，． （2）证明：设，则． ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． （3）解：设，则，． ∵， ∴可分类讨论： ①当时，，解得，即； ②当时，，解得，即； ③当时，，解得，即； ④当时，，解得，即． 综上可知或或或． 【练1】（2026沪科版期中检测卷（二） 14）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把这种图形称之为"8字型"，试解答下列问题： （1），，，之间的等量关系为______； （2）如图2，和的平分线和相交于点，并与，分别交于点，．若，，则的度数为______． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，解题的关键是利用"8字型"图形中对顶角相等，结合三角形内角和推导角度关系． （1）利用三角形内角和定理，结合对顶角相等，推导、、、的等量关系； （2）设角平分线分成的角为相等的两部分，结合"8字型"角度关系，联立方程求解． 【详解】（1）解：在和中， ∵（对顶角相等），，， ∴， 故答案为：． （2）解：设，， 由（1）得：，， 两式相加得：，代入，，得， 解得， 故答案为：． 【练2】（2026合肥行知学校期中 14）如图，在中，，延长到点，与的平分线相交于点． （1）的大小是______； （2）若与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的大小是______． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义和外角的性质，解决此题的关键是正确地运用外角的性质； （1）先根据角平分线的定义得到，，再运用两次外角的性质即可得到答案； （2）重复多次（1）中的思路，可知，，进而即可解决问题． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由（1）可知，，，以此类推，， 故答案为：． 　专题过关检测（限时20分钟 · 满分50分） 一、选择题（每小题3分） 1．（3分）（2026阜阳十五中期中 2）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　） A．7cm，4cm，2cm B．5cm，5cm，6cm C．3cm，4cm，8cm D．2cm，3cm，5cm 【答案】B 【分析】三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一分析各项即可． 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，故A选项错误； B．∵，∴能构成三角形，故B选项正确； C．∵，∴不能构成三角形，故C选项错误； D．∵，∴不能构成三角形，故D选项错误； 故选：B． 2．（3分）（2026马鞍山二十中期中 8）在中，，则是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理及判定三角形的形状，求出最大角是解决本题的关键．根据三角形内角和定理，即可求得的度数，即可求得最大内角的度数，据此即可判定． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是钝角三角形， 故选：C． 3．（3分）（2026蚌埠蚌山区期中 6）给出下列四个命题： ①如果是等边三角形，那么； ②如果是等腰三角形，那么； ③若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线垂直； ④若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行． 其中是真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题真假判断、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、平行公理等知识点，理解相关性质定理是解题的关键．根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质、平行公理逐个判断即可解答． 【详解】解：①由等边三角形的三边都相等，即，故命题①正确； ②等腰三角形只需有两边相等，但不一定，也可能是或，故命题②错误； ③两条直线都垂直于第三条直线时，这两条直线平行（而非垂直），故命题③错误； ④两条直线都平行于第三条直线时，这两条直线平行（平行公理推论），故命题④正确． 综上，真命题为①和④，共2个． 故选：C． 4．（3分）（2026马鞍山雨山实验学校期中 10）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及外角的性质，翻折变换（折叠问题），解题的关键是得出折叠前后不变的角．根据折叠的性质可得，再由三角形内角和定理以及外角的性质，即可求解． 【详解】解：结论：，理由如下： 如图，补全折叠前的图形， ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 二、填空题（每小题3分） 5．（3分）（2026亳州利辛联考期中 14）如图，在中，，，是高，是角平分线，______度． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， 故答案为：10． 6．（3分）（2026淮南凤台部分学校联考期中 13）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，则的度数为______． 【答案】20°或60° 【分析】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分情况讨论：①当时，②当时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可． 【详解】解：当时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴Rt中，； 当时， 同理可得， ∵是的高，， ∴， ∴， 综上所述：的度数为20°或60°． 故答案为：20°或60°． 7．（3分）（2026蚌埠怀远新城实验期中 13）已知，，是的三条边长，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，判断各绝对值内式子的正负，从而化简绝对值即可． 【详解】解：∵是的三条边长， ∴，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 8．（3分）（2026黄山地区期中 14）如图，Rt中，，，将其折叠，使点落在边上点处，折痕为，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知，最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（8分+8分+10分） 9．（8分）（2026长丰下塘实验学校期中 18）如图，，的顶点，分别落在直线，上，交于点，平分，若，，求的度数． 【答案】20° 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 依据三角形内角和定理可得，再根据平分，，即可得到，再根据是的外角，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵是的外角， ∴． 10．（8分）（2026淮南凤台部分学校联考期中 21）如图，是的高，是的角平分线，是中点，，，其中． (1)求和的度数； (2)若与的周长差为3，，求的长． 【答案】(1)， 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理及三角形外角的性质． （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质即可求出；由三角形内角和定理即可求出； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）解：∵是中点， ∴， ∵与的周长差为3，， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（10分）（2026阜阳界首期中 23）在中，点，分别是，上一点，和的角平分线交于点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，和的角平分线交于点，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． (1)根据三角形内角和求出，再根据角平分线的定义得到，，继而利用三角形内角和代入计算即可； (2)根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和得出，结合，代入求解即可； (3)根据角平分线的定义得到，，，，继而推出，再利用四边形内角和计算即可得出关系． 【详解】(1)解：∵， ∴， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴； (2)解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； (3)解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∴． 故答案为：． 期中专项复习 · 八年级教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $