第11章·平面直角坐标系·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年沪科版八年级数学上册

第11章·平面直角坐标系·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握平面直角坐标系的组成，能准确写出点的坐标 · 理解点的坐标与图形位置的关系，会判断点所在象限 · 掌握用坐标表示平移的规律，能解决平移类综合问题 · 学会用有序数对表示位置，理解坐标在实际问题中的应用 · 能综合运用坐标知识探索规律、解决压轴题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.平面直角坐标系的概念 平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系 水平的数轴称为x轴（横轴），竖直的称为y轴（纵轴），交点称为原点O 坐标平面被两条坐标轴分成四个象限，按逆时针依次为第一、二、三、四象限 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点（2，-3）在第____象限。 答案：四 解析：横坐标2>0，纵坐标-3<0，横正纵负的点在第四象限。 ✅️ 2.点的坐标 点P的坐标用（x，y）表示，x为横坐标，y为纵坐标，横前纵后 坐标轴上的点不属于任何象限：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0 原点O的坐标为（0，0）；到x轴的距离等于|y|，到y轴的距离等于|x| 概念辨析例题：若点M（a+1，3）在y轴上，则a=____。 答案：-1 解析：y轴上的点横坐标为0，故a+1=0，解得a=-1。 ✅️ 3.用坐标表示平移 点左右平移改变横坐标：向右平移加，向左平移减 点上下平移改变纵坐标：向上平移加，向下平移减 图形平移时，图形上各点作相同方向、相同距离的平移，对应点连线平行且相等 概念辨析例题：将点P（-2，3）先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的点坐标为____。 答案：（1，-1） 解析：向右平移3个单位，横坐标-2+3=1；向下平移4个单位，纵坐标3-4=-1，故为（1，-1）。 ✅️ 4.有序数对与坐标应用 有序数对（a，b）与（b，a）表示不同的位置，顺序不能颠倒 用有序数对可以表示平面内物体的位置，常用（列号，行号）或（排，号） 点P（x，y）到原点的距离为，到x轴距离|y|，到y轴距离|x| 概念辨析例题：点P（-3，4）到x轴的距离是____。 答案：4 解析：到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即|4|=4。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平面直角坐标系 两条互相垂直且原点重合的数轴组成 x轴向右为正，y轴向上为正 点的坐标 点P（x，y） 横坐标在前，纵坐标在后，不可颠倒 象限 四个象限按逆时针排列 坐标轴上的点不属于任何象限 点的平移 右加左减（x），上加下减（y） 平移方向与坐标变化一一对应 📩 核心考点 【考点1】点坐标规律探索（第1-16题） · 观察点的坐标变化周期，归纳坐标变化的规律 · 用含n的式子表示第n个点的坐标，先求周期再定位 · 结合图形运动路径，分段讨论各阶段坐标变化 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至…依照此规律跳动下去，点A第2021次跳动至的坐标（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026s时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点依次放在点，的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…依照此规律跳动下去，点第2025次跳动至点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，对于点，我们把叫作点P的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，是坐标原点，、、、、、…，按此规律进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一系列点按如下规律排列：已知点），将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点；将点向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到点；…；依此类推，下列各点在这一系列中的是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为，则根据如意点的定义，点的坐标为________． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如……根据这个规律，第个点的横坐标为______，第个点的坐标为______． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在点，，，…，中，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称……以此类推，如果点在第二象限，那么点在第________象限． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变化，若原来点坐标是，经过第1次变换后得到坐标是，则经过第次变换后所得的点坐标是______． 16．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是___________． 【考点2】象限与点坐标特征（第17-23题） · 根据象限确定坐标符号：一（+，+）二（-，+）三（-，-）四（+，-） · 坐标轴上的点特征：x轴上y=0，y轴上x=0 · 结合不等式组、方程组、绝对值非负性求参数范围 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）二元一次方程组的解为坐标的点在第________象限． 19．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围． (2)若该方程组的解满足，求m的取值范围． 20．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若点的坐标为，则称点N和点互为“对分点”．若图形W上存在一点T且点T的“对分点”恰好也在图形W上，则称图形W为“对分图形”．    已知点，，，，． (1)①点A的“对分点”的坐标是______； ②若点A的“对分点”是点B，则点的坐标是______． (2)点（其中b为非零整数）与线段组成的图形记为图形U，图形U是“对分图形”，则所有满足条件的点C坐标为______． (3)已知点，，将线段，，，首尾顺次连接，组成正方形，正方形与线段组成的图形记为图形V．若图形V是“对分图形”，则k的取值范围为______． 21．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于线段、线段和点，给出如下定义：记的面积为，的面积为，若满足，则称点为线段和线段的“－划分点”．已知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若，则 ①当时，在点，，中，是线段和线段的“－划分点”的是______； ②当时，在第二、四象限的角平分线上是否存在线段和线段的“－划分点”？若存在，请求出其坐标；若不存在，请说明理由； (2)已知四边形是以为中心的正方形，其中顶点的坐标为．若正方形的所有点均为线段和线段的“－划分点”，且满足，请你直接写出的取值范围． 22．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向右或向左平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“关联点”． (1)如图，点坐标为． ①当点坐标为时，则点的“关联点”的坐标为____________； ②若点为点的“关联点”，则的坐标为____________； (2)如图，点，，点与点关于轴对称，点在边上，点坐标为． ①画出点所有的“关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是____________； (3)如图，点，，，，，点在正方形边上，点，，若线段上存在点的“关联点”，直接写出的取值范围． 23．（23-24八年级上·北京海淀·期中）对于平面直角坐标系中的点与图形，我们给出如下定义：若，将图形关于直线对称，得到图形；若，将图形向上平移个单位长度，得到图形．并称为图形的“斗转星移图”． (1)点关于点的“斗转星移图”为______； (2)若点关于点的“斗转星移图”坐标为，求的值； (3)已知点，点，点，点，点，，若线段关于点的“斗转星移图”与线段关于点的“斗转星移图”无公共交点，则n的取值范围是______． 【考点3】有序数对与位置表示（第24-30题） · 有序数对（列，行）或（排，号）表示位置，顺序决定位置 · 注意数对顺序不同表示的位置不同，先定位再计算 · 结合图形排列规律，用数对与代数式相互转化 24．（25-26七年级下·陕西延安·期末）如图，某地有3棵古松树，，，为加强对古树的保护，园林部门将其中的2棵古松树的位置用坐标表示为，，则第3棵古松树的位置用坐标表示为（     ） A． B． C． D． 25．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）五子棋是人们喜爱的一种休闲小游戏，规则为：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流摆子，在任意方向（横向、竖向或斜向）上先连成五枚棋子者获胜，如图是小明和小亮的部分对弈图，若白棋子的坐标为，黑棋子的坐标为，则黑棋子的坐标为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，则： ①表示的数是______； ②若在，则的值为______． 27．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，是的网格，一只蚂蚁在网格左下角位置，每次能向上走一格或者向右走一格，要到达右上角的位置，则不同的走法共有____种． 28．（25-26九年级上·山东泰安·期末）将非零自然数依次按如图所示的规律排列下去，其中第一行排1个，第二行排2个，第三行排3个，…，若用有序实数对表示第m行从左到右第n个数．例如表示的数为9，那么2026这个数用有序实数对可表示为______． 29．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“条件距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“条件距离”为；若，则点与点的“条件距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“条件距离”为，也就是如图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“条件距离”为2，写出满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“条件距离”的最小值； (2)已知点、、、，在的边上存在点，使得点、的“条件距离”为2，用、表示符合条件的点的位置． 30．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图，小航设计了一个的“相反数”转换方阵，其工作程序是：点击任意一个方格， 它本身以及它上、下、左、右的方格中的数均会变为原来的相反数．其中第2行第1 列的方格记为， 如：点击方格， 那么方格、、、四个方格中的“”均会变为“”． （1）依次点击方格，后，第3行的3个数从左到右分别是_____； （2）若要将方格中的数“”变为“”，同时要求其它方格中的数均为“”， 则需要点击方格的最少次数是_____ 【考点4】坐标平移、距离与综合（第31-45题） · 平移规律：左右平移变横坐标，上下平移变纵坐标 · 到坐标轴距离：到x轴|y|，到y轴|x|，距离恒为非负数 · 综合题先建立坐标系，再结合图形性质与方程求解 31．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 32．（21-22七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，长方形中，为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为点的坐标为，点B在第三象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动8秒时，则点坐标为（即：沿着长方形移动一周）（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·天津和平·期中）在直角坐标系中， 已知，在直角坐标系内找一点D， 使得以四点构成一个平行四边形，则D的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级下·全国·课后作业）四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．若于点A，，且，，则点B的坐标为________． 35．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为__________． 36．（25-26八年级上·全国·期末）如图，平面直角坐标系的原点及的顶点均在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，过点作，垂足为，则点的坐标为________． 37．（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，三角形在平面直角坐标系中，轴，轴，且，．为三角形内一点，将三角形平移，当平移后得到的三角形的一顶点落在原点上时，点的对应点的坐标为，则点的坐标为________． 38．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，，求四边形ABCD的面积． 一题多解如图②，记AB交y轴于点E，连接CE， 41．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 42．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)说明是由经过怎样的平移得到的； (2)是内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 43．（24-25七年级下·广东广州·期中）【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知，则点_______（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为_______，由此你得出二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程的图象与x，y轴的交点分别是C、D． ①求点A和点D的坐标 ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，当点B在y轴正半轴上，且时，在线段上任取一点E，连接．点M为的角平分线上一点，且满足．请作出符合题意的图形，并直接写出和之间的数量关系． 44．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图2，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，，，在同一直线上，求的值； (3)如图3，点在线段上，将点向右平移4个单位长度至点，若的面积大于14，求点横坐标的取值范围． 45．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a、b满，． (1)求C点坐标； (2)D为x轴上一点，若，求D点坐标； (3)在直线上有一点P，使，求P点坐标． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 熟记坐标系四要素：原点、x轴、y轴、四个象限 · 区分有序数对与一般坐标，注意前后顺序不可颠倒 · 掌握平移规律：左右平移变x、上下平移变y，右加左减上加下减 · 到坐标轴的距离公式：到x轴|y|、到y轴|x|，记牢不要混淆 · 综合压轴题先画图分析，再结合运动规律与几何性质求解 【作业1】（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A．（1012，1012） B．（2011，2011） C．（2012，2012） D．（1011，1011） 【作业2】（24-25七年级上·山东日照·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【作业3】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【作业4】（25-26七年级上·北京通州·期中）在数轴上，点、在原点的两侧，分别表示数、2，将点向右平移3个单位长度，得到点．若，则的值为_____． 【作业5】（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）若点在第二象限，则m的取值范围是______． 【作业6】（23-24七年级下·河南漯河·阶段检测）已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 【作业7】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）若，则在第________象限． 【作业8】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点在第__________象限． 【作业9】（23-24七年级下·广东汕头·期中）点C在x轴上，距离y轴5个单位长度，则点C的坐标为___________________． 【作业10】（24-25七年级下·广东广州·期末）在如图所示的字母网格中，每个字母的位置由有序数对列号，行号确定．例如，字母“”对应有序数对．现有一个由三个字母组成的英文单词，其字母按顺序分别对应以下有序数对：、、．请根据坐标写出该英文单词：______． 【作业11】（24-25七年级下·广东韶关·阶段检测）综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 【作业12】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知点，且． (1)直接写出A，B两点坐标； (2)将线段平移至线段（点A与C对应，点B与D对应）， ①如图（1），若点D坐标为，点C在y轴上，求线段与y轴交点E的坐标； ②如图（2），若点D坐标为，点P在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出P点坐标． 【作业13】（24-25七年级下·吉林白山·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 【作业14】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为， (1)写出，，三个点坐标． (2)当秒时，求的面积． (3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间． 【作业15】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，， ． (1)求两点的坐标； (2)将平移到，点的对应点． ①若，求的值； ②若三点在同一直线上时，求点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章·平面直角坐标系·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握平面直角坐标系的组成，能准确写出点的坐标 · 理解点的坐标与图形位置的关系，会判断点所在象限 · 掌握用坐标表示平移的规律，能解决平移类综合问题 · 学会用有序数对表示位置，理解坐标在实际问题中的应用 · 能综合运用坐标知识探索规律、解决压轴题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.平面直角坐标系的概念 平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系 水平的数轴称为x轴（横轴），竖直的称为y轴（纵轴），交点称为原点O 坐标平面被两条坐标轴分成四个象限，按逆时针依次为第一、二、三、四象限 概念辨析例题：在平面直角坐标系中，点（2，-3）在第____象限。 答案：四 解析：横坐标2>0，纵坐标-3<0，横正纵负的点在第四象限。 ✅️ 2.点的坐标 点P的坐标用（x，y）表示，x为横坐标，y为纵坐标，横前纵后 坐标轴上的点不属于任何象限：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0 原点O的坐标为（0，0）；到x轴的距离等于|y|，到y轴的距离等于|x| 概念辨析例题：若点M（a+1，3）在y轴上，则a=____。 答案：-1 解析：y轴上的点横坐标为0，故a+1=0，解得a=-1。 ✅️ 3.用坐标表示平移 点左右平移改变横坐标：向右平移加，向左平移减 点上下平移改变纵坐标：向上平移加，向下平移减 图形平移时，图形上各点作相同方向、相同距离的平移，对应点连线平行且相等 概念辨析例题：将点P（-2，3）先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，得到的点坐标为____。 答案：（1，-1） 解析：向右平移3个单位，横坐标-2+3=1；向下平移4个单位，纵坐标3-4=-1，故为（1，-1）。 ✅️ 4.有序数对与坐标应用 有序数对（a，b）与（b，a）表示不同的位置，顺序不能颠倒 用有序数对可以表示平面内物体的位置，常用（列号，行号）或（排，号） 点P（x，y）到原点的距离为，到x轴距离|y|，到y轴距离|x| 概念辨析例题：点P（-3，4）到x轴的距离是____。 答案：4 解析：到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即|4|=4。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平面直角坐标系 两条互相垂直且原点重合的数轴组成 x轴向右为正，y轴向上为正 点的坐标 点P（x，y） 横坐标在前，纵坐标在后，不可颠倒 象限 四个象限按逆时针排列 坐标轴上的点不属于任何象限 点的平移 右加左减（x），上加下减（y） 平移方向与坐标变化一一对应 📩 核心考点 【考点1】点坐标规律探索（第1-16题） · 观察点的坐标变化周期，归纳坐标变化的规律 · 用含n的式子表示第n个点的坐标，先求周期再定位 · 结合图形运动路径，分段讨论各阶段坐标变化 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至…依照此规律跳动下去，点A第2021次跳动至的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据即，即， 即，即…依照此规律跳动下去，当n为奇数时，当n为偶数时，解答即可． 本题考查了坐标的规律问题，正确发现坐标与序号的规律是解题的关键． 【详解】解：根据即，即， 即，即… 依照此规律跳动下去，当n为奇数时，当n为偶数时， 2021是奇数， 故点A第2021次跳动至的坐标为即． 故选A． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为偶数的点在第一象限， ，，，， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026s时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律是解题的关键． 计算点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第秒点的坐标． 【详解】解：由题意可知，点运动一个半圆所用的时间为：， ，，，，，，…， ∴，，，． ∵， ∴第时，点P的坐标为． 故选：D． 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标规律型问题，解题关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题． 动点在平面直角坐标系中按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，只要求出前几个坐标，根据规律找坐标即可． 【详解】解：根据题意可知，，点的纵坐标每个点一个循环， ∵， ∴点在，，的位置上，纵坐标为，横坐标为序号的一半，即， ∴点的坐标，由条件可知坐标为，坐标为， 故选：B． 5．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点间距离的计算及周期规律问题．先求出四边形的周长，再用细线的长度除以周长得到绕的圈数和余数，最后根据余数确定细线另一端所在的位置坐标． 【详解】解：由题意知，，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线从点A出发，按的顺序缠绕，在绕了201圈后，细线回到起点A，剩余的长度为5，从A点开始继续缠绕， ∴从A到B的长度是2，从B到C的长度是3， ∵， ∴剩余的5个单位长度刚好是从A点经过B点到达C点， ∴细线另一端所在位置的点的坐标是C点的坐标，即． 故选：C． 6．（24-25七年级下·青海海东·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一个动点从点A出发沿的方向移动，移动了2025个单位后动点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索、坐标系中的平移 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意得出四边形是长方形及求出四边形的周长是解题的关键．根据题意可求出四边形的周长，再根据移动2025个单位，即可得出移动后的动点坐标． 【详解】解：因为，，，， 所以，，，，且四边形是长方形， 则长方形的周长为：． 因为， 则， 所以移动了2025个单位后动点在点C的右边3个单位处， 则， 所以移动了2025个单位后动点的坐标为． 故选：C． 7．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点依次放在点，的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标的规律，列举几次滚动后点的坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，据此即可求解，找到滚动次数与点坐标之间的规律是解题的关键． 【详解】解：滚动次后，， 滚动次后，， 滚动次后，， 滚动次后，， 滚动次后，， ， 每滚动次为个循环 ， ∴，，，， ∵， ∴，即， 故选：． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中有点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…依照此规律跳动下去，点第2025次跳动至点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题． 写出、、、、、、的坐标，探究规律即可解决问题． 【详解】解：由题意： ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴依照此规律跳动下去，点第次跳动到点的坐标为， 故选：C． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系xOy中，对于点，我们把叫作点P的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，……，这样依次得到各点．若点的坐标为，则点的“友好点”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，坐标的新定义计算问题，理解新定义，确定循环节是解题的关键． 根据友好点的定义，计算前几个点的坐标，发现序列每个点循环一次，再确定的坐标，并计算其友好点. 【详解】解：∵ ∴为的友好点：； 为 的友好点：； 为的友好点：； 为的友好点：相同； ∴ 观察可知，每四次循环一次， ∵ ， ∴ ∴的友好点为． 故选： D． 10．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，是坐标原点，、、、、、…，按此规律进行下去，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，根据题意得到当为奇数项时的坐标规律是解题的关键．根据题意可知当为奇数项时，其横坐标为，纵坐标依次为2，3，4，5，……，设奇数，则对应的纵坐标为，然后由，用表示出纵坐标，得到规律，即可解题． 【详解】解：2025为奇数，根据题意，、、、、…… 当为奇数项时，其横坐标为，纵坐标依次为2，3，4，5，…… 设奇数， 则对应的纵坐标为， 此时， 奇数项的纵坐标为， 当为奇数项时，其坐标为， ． 故选：A． 11．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一系列点按如下规律排列：已知点），将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点；将点向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到点；…；依此类推，下列各点在这一系列中的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法． 设点，根据点的坐标，得出满足的关系式，再逐项分析判定． 【详解】设点，根据点的坐标，可得 ，，， 由，可排除A，B； ， 令可得， 则，， ，故C符合题意； ， 令可得， 则，，故D不符合题意； 故选：C． 12．（2025·湖南·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为，则根据如意点的定义，点的坐标为________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了点坐标的规律、图形与坐标等知识点，发现点坐标的规律是解题的关键． 先分别算出，，，，，，，发现规律后，然后运用规律解答即可． 【详解】解：∵对于点，把点叫做点P的如意点，， ∴，，，，，，， 发现每4个点为一个循环组依次循环． ∵ ∴点的坐标与的坐标相同为． 故答案为． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如……根据这个规律，第个点的横坐标为______，第个点的坐标为______． 【答案】 1 【知识点】图形类规律探索、点坐标规律探索 【分析】本题考查了点的坐标的规律变化，寻找图形和数字的规律特点是解决问题的关键．以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在轴上，为偶数时，最后以点结束，因为，为偶数，则可得第个数的横坐标；求出与2017最接近的平方数为2025，然后写出第2017个点的坐标即可． 【详解】解：根据图形可知：以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，即， 右下角的点的横坐标为2时，共有4个，即， 右下角的点的横坐标为3时，共有9个，即， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ， 根据规律可知：当为奇数时，最后以点结束；当为偶数时，最后以点结束， 为偶数， ∴第个点的横坐标为1； ，， 根据规律可知：当为奇数时，最后以点结束；当为偶数时，最后以点结束； 为奇数， 该正方形每一边上有45个点，且最后一个点的坐标为，是第2025个点， 第2017个点是从第2025个点向上数第8个点， 第2017个点的坐标为； 故答案为：． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在点，，，…，中，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称，点与点关于x轴对称，点与点关于y轴对称……以此类推，如果点在第二象限，那么点在第________象限． 【答案】一 【知识点】点坐标规律探索、判断点所在的象限、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟练掌握点关于坐标轴对称的变化规律． 通过对称操作规律，发现点序列每个点重复一次，根据除以的余数确定对应象限即可． 【详解】解：点在第二象限，那么与关于轴对称，在第三象限； 与关于轴对称，在第四象限； 与关于轴对称，在第一象限； 与关于轴对称，在第二象限，与相同，周期为， ，故与象限相同，在第一象限． 故答案为：一． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变化，若原来点坐标是，经过第1次变换后得到坐标是，则经过第次变换后所得的点坐标是______． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称变换规律．熟练掌握平面直角坐标系中的轴对称变换规律是解题的关键． 可先找出点坐标变换的规律，再根据规律确定第次变换后点坐标即可． 【详解】点第一次关于轴对称后在第四象限，点第二次关于轴对称后在第三象限，点第三次关于轴对称后在第二象限，点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置， 每四次对称为一个循环组依次循环． ， 经过第2025次变换后所得的点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为． 故答案为． 16．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、坐标分别为和．若正方形第1次沿轴翻折，第2次把第1次翻折后的图形沿轴翻折，第3次把第2次翻折后的图形沿轴翻折，第4次把第3次翻折后的图形沿轴翻折，第5次把第4次翻折后的图形沿轴翻折，…，按此规律，则第2026次翻折后的图形点对应的坐标是___________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于坐标轴对称点的坐标规律，先确定初始点的坐标，再分析每次翻折后的坐标变化，找出翻折规律，最后计算第次翻折后的坐标即可． 【详解】解：∵正方形中，，， ∴， 又∵正方形边长相等， ∴， ∴点初始坐标为． 接下来分析翻折规律： 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为； 第次沿轴翻折，点坐标变为，即回到初始坐标． …… ∵…， ∴第次翻折点对应的点与进行第次翻折后的点相同，对应坐标为． 故答案为：． 【考点2】象限与点坐标特征（第17-23题） · 根据象限确定坐标符号：一（+，+）二（-，+）三（-，-）四（+，-） · 坐标轴上的点特征：x轴上y=0，y轴上x=0 · 结合不等式组、方程组、绝对值非负性求参数范围 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限 【详解】解：因为目标在第三象限， 所以其坐标的符号是， 各选项只有A符合题意． 18．（24-25七年级下·全国·单元测试）二元一次方程组的解为坐标的点在第________象限． 【答案】一 【知识点】判断点所在的象限、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程，平面直角坐标系的知识；先用加减消元法解二元一次方程组，然后根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征进行判断即可． 【详解】解： ，得：， 解得， 将代入②，得， 解得 ∴的解为， 在第一象限， 故答案为：一． 19．（24-25七年级下·全国·周测）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若以x，y为坐标的点在第一象限，求m的取值范围． (2)若该方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知点所在的象限求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，不等式组，掌握平面内点的坐标的特征，各象限内点的坐标的符号特点是解题的关键． （1）求出关于，的二元一次方程组的解，再令，确定的取值范围即可； （2）将（1）中求出的方程组的解代入不等式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：解方程组，得 ∵点在第一象限， ∴ 解得． （2）解：由（1）可知方程组的解为， 代入，得， 解得． 20．（24-25七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点和点，若点的坐标为，则称点N和点互为“对分点”．若图形W上存在一点T且点T的“对分点”恰好也在图形W上，则称图形W为“对分图形”．    已知点，，，，． (1)①点A的“对分点”的坐标是______； ②若点A的“对分点”是点B，则点的坐标是______． (2)点（其中b为非零整数）与线段组成的图形记为图形U，图形U是“对分图形”，则所有满足条件的点C坐标为______． (3)已知点，，将线段，，，首尾顺次连接，组成正方形，正方形与线段组成的图形记为图形V．若图形V是“对分图形”，则k的取值范围为______． 【答案】(1)①；② (2)或 (3)或 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了新定义、平面直角坐标系，理解“对分点”的定义是解题的关键． （1）①根据“对分点”的定义即可求解；②根据“对分点”的定义即可求解； （2）由题意得，点的“对分点”在线段上，得出点的坐标是，再对点的位置分情况讨论即可解答； （3）分别求出点、的“对分点”、，根据图形V是“对分图形”，得出正方形与线段有交点，再对点、的位置分情况讨论，结合图形即可解答． 【详解】（1）解：①， 点A的“对分点”的坐标是． 故答案为：； ②点A的“对分点”是点B，， 点B的坐标为， 又， ，， 解得：，， 点的坐标是 故答案为：． （2）解：图形U是“对分图形”，线段不是“对分图形”， 点的“对分点”在线段上， 点的坐标是， b为非零整数 是整数，且， 若点与点重合，则，解得， ； 若点与线段的中点重合，则，解得， ； 若点与点重合，则，不符合题意，舍去； 所有满足条件的点C坐标为或． 故答案为：或． （3）解：点，， 点的“对分点”坐标为，点的“对分点”坐标为， 图形V是“对分图形”，正方形和线段不是“对分图形”， 正方形与线段有交点， 当点在上，则；当点在上，则； 当点在上，则，解得；当点在上，则，解得； 结合图形可得，k的取值范围为或． 故答案为：或． 21．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于线段、线段和点，给出如下定义：记的面积为，的面积为，若满足，则称点为线段和线段的“－划分点”．已知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若，则 ①当时，在点，，中，是线段和线段的“－划分点”的是______； ②当时，在第二、四象限的角平分线上是否存在线段和线段的“－划分点”？若存在，请求出其坐标；若不存在，请说明理由； (2)已知四边形是以为中心的正方形，其中顶点的坐标为．若正方形的所有点均为线段和线段的“－划分点”，且满足，请你直接写出的取值范围． 【答案】(1) 和； 当时，在第二、四象限的角平分线上存在线段和线段的“－划分点”，其坐标为，； (2)的取值范围是或． 【知识点】坐标与图形综合、用一元一次不等式解决几何问题、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查平面直角坐标系，坐标与图形，一元一次不等式． （1）由，可得点的坐标，点的坐标，从而可得三角形的面积，根据题意可知，当时，，即可得线段和线段的“－划分点”；假设在第二、四象限的角平分线上存在点为线段和线段的“－划分点”，根据题意可知，当时，，按照点在第二象限的角平分线上和点在第四象限的角平分线上进行分类讨论，分别求出点的坐标即可； （2）点的坐标为，点的坐标为，由，可得，点和点重合，满足题意，按照，进行分类讨论，数形结合，可得关于的一元一次不等式，从而可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴当时，点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∵，，，，，， ∴，，，， ∴， ， ， ， ， ， ∴，，， ∴当时，在点，，中，是线段和线段的“－划分点”的是和． 故答案为：和． 假设在第二、四象限的角平分线上存在点为线段和线段的“－划分点”， 当时，， 当点在第二象限的角平分线上时， ， ， ∴， 解得， ∴， 当点在第四象限的角平分线上时， ， ， ∴， 解得， ∴， ∴当时，在第二、四象限的角平分线上存在线段和线段的“－划分点”，其坐标为，． （2）解：点的坐标为，点的坐标为， 当，即时，点和点重合，， 此时，点，正方形与没有交点，正方形的所有点均为线段和线段的“－划分点”， 当，即时，随着增大，减小，正方形向左运动， 此时，，不符合题意， 当时，取中点，， 当点在直线上时，始终有，此时， 取靠近的三等分点，此时， 当点在直线上运动时，始终有，此时， ∵正方形的所有点均为线段和线段的“－划分点”，且满足， ∴正方形在的内部， 当，即时，，， 此时，，，，，点在直线上， ∴满足题意， 当点在延长线上，且时，， 此时，，， ∵正方形的所有点均为线段和线段的“－划分点”，且满足， ∴正方形在直线左侧， ∴， 解得， ∴的取值范围是或． 22．（25-26八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向右或向左平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“关联点”． (1)如图，点坐标为． ①当点坐标为时，则点的“关联点”的坐标为____________； ②若点为点的“关联点”，则的坐标为____________； (2)如图，点，，点与点关于轴对称，点在边上，点坐标为． ①画出点所有的“关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是____________； (3)如图，点，，，，，点在正方形边上，点，，若线段上存在点的“关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①如图所示： ②等腰三角形 (3)或 【知识点】求不等式组的解集、坐标系中的对称、坐标系中的平移 【分析】（）①根据“关联点”的定义画出图形解答即可；②根据“关联点”的定义解得即可； （）①先求出点坐标，由“关联点”的定义可得，，当三点作为点时，设点的“关联点”分别为，进而求出点的坐标，再连接点，所得的三条边即为所求作图形；②根据所画图形即可判断； （）由，可得点关于四点作为“点”时的四个“关联点”坐标点为，，，，画图可知矩形四条边即点的“关联点”的轨迹，由线段上存在点的“关联点”可知线段需与矩形四条边有交点，再分四种情况列出不等式组解答即可求解； 本题考查了平面直角坐标系中的新定义问题，平移和轴对称，解一元一次不等式组，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点坐标为，点坐标为， ∴将点向右平移个单位长度，再作其关于直线的对称点，得到点，如图， ∴点的“关联点”的坐标为， 故答案为：； ②∵点坐标为，点为点的“关联点”， ∴点先向左平移个单位长度，再作其关于直线的对称点，得到点， ∴的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵点，点与点关于轴对称， ∴点， 由“关联点”的定义可得，， 当三点作为点时，设点的“关联点”分别为， ∵，，，点坐标为， ∴，，， 如图，连接点、、，则点所有的“关联点”形成的图形即为的三条边： ②由图可知，， ∴这些关联点组成的图形形状是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形； （3）解：由，可得点关于四点作为“点”时的四个“关联点”坐标点为，，，， 如图所示，矩形四条边即点的“关联点”的轨迹， ∵点，，并且线段上存在点的“关联点”， ∴线段需与矩形四条边有交点， 当线段与有交点时， 则， 解得； 当线段与有交点时， 则， 解得； 当线段与有交点时， 则或， 解得； ∵线段和线段分别在轴下方和上方， ∴线段和线段不可能有交点； 综上，的取值范围或． 23．（23-24八年级上·北京海淀·期中）对于平面直角坐标系中的点与图形，我们给出如下定义：若，将图形关于直线对称，得到图形；若，将图形向上平移个单位长度，得到图形．并称为图形的“斗转星移图”． (1)点关于点的“斗转星移图”为______； (2)若点关于点的“斗转星移图”坐标为，求的值； (3)已知点，点，点，点，点，，若线段关于点的“斗转星移图”与线段关于点的“斗转星移图”无公共交点，则n的取值范围是______． 【答案】(1) (2)的值为； (3)或 【知识点】求不等式组的解集、已知图形的平移，求点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据新定义结合平移的性质，即可求解； （2）根据新定义，得出对称轴为，即可求解； （3）根据，，得出线段，的对应点，根据线段有交点，得出不等式，解不等式，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴将向上平移个单位长度，得到， 即点关于点的“斗转星移图”为； 故答案为：． （2）解：∵关于点的“斗转星移图”坐标为， 又与关于对称， ∴，且向上平移个单位得到， ∴， 解得（舍去）或， ∴的值为； （3）解：∵， 又∵点，点， ， 则线段关于点的“斗转星移图”的横坐标为：,的横坐标为 ∴，，在上， ∵，点，点，， ∴线段关于点的“斗转星移图”， 依题意，与无交点， 当与有交点时， 解得：； ∴当与无交点时，n的取值范围是或． 【点睛】 本题考查了平移与轴对称变换，坐标与图象，理解新定义是解题的关键． 【考点3】有序数对与位置表示（第24-30题） · 有序数对（列，行）或（排，号）表示位置，顺序决定位置 · 注意数对顺序不同表示的位置不同，先定位再计算 · 结合图形排列规律，用数对与代数式相互转化 24．（25-26七年级下·陕西延安·期末）如图，某地有3棵古松树，，，为加强对古树的保护，园林部门将其中的2棵古松树的位置用坐标表示为，，则第3棵古松树的位置用坐标表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据，的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立平面直角坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则第3棵古松树的位置用坐标表示为． 25．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）五子棋是人们喜爱的一种休闲小游戏，规则为：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流摆子，在任意方向（横向、竖向或斜向）上先连成五枚棋子者获胜，如图是小明和小亮的部分对弈图，若白棋子的坐标为，黑棋子的坐标为，则黑棋子的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，从而可以得到点C的坐标． 【详解】解：如图，根据已知可建立平面直角坐标系， 所以点C的坐标是． 26．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）将、、、……按如图方式排列．若规定表示第x排从左向右第y个数，则： ①表示的数是______； ②若在，则的值为______． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、用有序数对表示位置、已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及代数式求值，推出第n排，有个数，且最大的数为，据此可解决问题． ①根据题中数的排列规律，依次找出第5排，第6排，第7排的第1个数和最后一个数，再根据奇数排从左往右根号下的数依次加1，据此解答即可； ②根据题中数的排列规律，推出第n排，有个数，且最大的数为，再由，确定第45排的第1个数和最后一个数，从而找出所在的位置，得出x，y的值，再计算． 【详解】①解：根据题意，第5排从左往右第1个数为，最后一个数为； 第6排从左往右第1个数为，最后一个数为； 第7排从左往右第1个数为，最后一个数为； 第7排从左往右第6个数为， 表示的数是； 故答案为：； ②解：根据题中数的排列方式，可知第n排，有个数，且最大的数为， 当n为奇数时，从左往右，根号下的数依次加1； 当n为偶数时，从左往右，根号下的数依次减1； 又， 第45排从左往右，最后一个数为， 第46排从左往右，第一个数为，最后一个数为， 在第46排的最后1个数，即第个数． ，，． 故答案为：137． 27．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，是的网格，一只蚂蚁在网格左下角位置，每次能向上走一格或者向右走一格，要到达右上角的位置，则不同的走法共有____种． 【答案】252 【知识点】有理数加法运算、用有序数对表示位置 【分析】采用格点法，每点的走法都一一标出，依题意经过和出发的只有1种走法，则经过到只有2种不同的走法，经过点到有种不同的走法，经过点到有种不同的走法，经过和到有种不同的走法，……，最后把所有不同的走法相加，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴从到，不同的走法共有种 故答案为：． 28．（25-26九年级上·山东泰安·期末）将非零自然数依次按如图所示的规律排列下去，其中第一行排1个，第二行排2个，第三行排3个，…，若用有序实数对表示第m行从左到右第n个数．例如表示的数为9，那么2026这个数用有序实数对可表示为______． 【答案】 【知识点】用有序数对表示位置、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，有序实数对表示位置；根据题意，得出前行数的总个数，得出数排在第行的左起第个位置，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为第一行排个，第二行排个，第三行排个，， 所以前行数的总个数可表示为：． 当时， ， 所以第行的最后一个数为． 因为， 所以数排在第行的左起第个位置， 即这个数用有序实数对可表示为． 故答案为：． 29．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“条件距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“条件距离”为；若，则点与点的“条件距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“条件距离”为，也就是如图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“条件距离”为2，写出满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“条件距离”的最小值； (2)已知点、、、，在的边上存在点，使得点、的“条件距离”为2，用、表示符合条件的点的位置． 【答案】(1)①； ②1； (2)当时，；当时，． 【知识点】用有序数对表示位置、绝对值方程 【分析】（1）①根据点位于轴上，可以设点的坐标为，由“条件距离”的定义可以确定，据此可以求得的值，可得点坐标；②设点的坐标为，根据，得出点与点的“条件距离”的最小值为1； （2）根据题意分类讨论，当，则点、的“条件距离”为；当，则点、的“条件距离”为，分别求出、所满足的范围，结合点在的边上，用、表示符合条件的点的位置． 【详解】（1）解：由题意得，设， ①则， 点与点的“条件距离”为2， ，即，解得： ，解得： 点坐标为 ②由题意得，， 点与点的“条件距离”的最小值为 点与点的“条件距离”的最小值为1． （2） 当，则 或 同时，， ，即 点满足：或，且 结合图像， 若，，满足条件的点在的边上，符合条件的坐标为， 若，，满足条件的点在的边上，符合条件的坐标为满足，的所有点坐标； 当，则 或 同时，，即 点满足：或，且； 结合图像， 若，，满足条件的点在的边上，没有满足条件的点； 若，，满足条件的点在的边上，没有满足条件的点； 综上所述，符合条件的点的位置为： 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查了有关平面直角坐标系点坐标的新定义题，对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件，理解题中“条件距离”的定义是正确解题的关键． 30．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）如图，小航设计了一个的“相反数”转换方阵，其工作程序是：点击任意一个方格， 它本身以及它上、下、左、右的方格中的数均会变为原来的相反数．其中第2行第1 列的方格记为， 如：点击方格， 那么方格、、、四个方格中的“”均会变为“”． （1）依次点击方格，后，第3行的3个数从左到右分别是_____； （2）若要将方格中的数“”变为“”，同时要求其它方格中的数均为“”， 则需要点击方格的最少次数是_____ 【答案】 、、 5次 【知识点】相反数的定义、用有序数对表示位置 【分析】本题考查了“相反数”转换方阵，熟练掌握相反数定义，“相反数”转换方阵的工作程序是解题的关键 （1）点击方格后，第3行的3个数从左到右分别是、、，点击方格后，第3行的3个数从左到右分别是、、； （2）要点击，，，，，至少5次． 【详解】解：（1）依次点击方格后，“相反数”转换方阵中的数如图所示，第3行的3个数从左到右分别是、、，点击方格后，第3行的3个数从左到右分别是、、，“相反数”转换方阵如下： （2）第一次点击，“相反数”转换方阵如下： 第二次点击，“相反数”转换方阵如下： 第三次点击，“相反数”转换方阵如下： 第四次点击，“相反数”转换方阵如下： 第五次点击，“相反数”转换方阵如下： 符合要求，需要点击方格的最少次数是5次． 故答案为：5次． 【考点4】坐标平移、距离与综合（第31-45题） · 平移规律：左右平移变横坐标，上下平移变纵坐标 · 到坐标轴距离：到x轴|y|，到y轴|x|，距离恒为非负数 · 综合题先建立坐标系，再结合图形性质与方程求解 31．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，已知，，顶点），规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2024次变换后，的对角线交点M的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中点坐标、点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查图形变换规律问题，解题的关键在于熟练掌握平移与关于坐标轴对称的点的坐标特征． 先求得M点坐标，再根据题意列出经过变换后M点的坐标，然后发现规律即可得解． 【详解】解：∵中，点是对角线交点，且，， ∴，即 经过1次变换后M点的坐标为， 经过2次变换后M点的坐标为， 经过3次变换后M点的坐标为， …， 经过n次变换后M点的坐标为， 则时，M点的坐标为，即． 故选：B． 32．（21-22七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，长方形中，为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为点的坐标为，点B在第三象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动8秒时，则点坐标为（即：沿着长方形移动一周）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据A点、C点的坐标计算长方形的各条边长，结合点P移动的时间和速度计算点P移动的路程，进而判断点P移动后的位置，从而得到点P的坐标． 【详解】解：长方形中，为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为点的坐标为， ， 点以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动8秒， 点移动的路程为：， ， 点恰好移动到点C处， 点的坐标为， 故选： A． 33．（24-25七年级下·天津和平·期中）在直角坐标系中， 已知，在直角坐标系内找一点D， 使得以四点构成一个平行四边形，则D的坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行四边形对边平行，那么对边可以看做是相互平行得到的，据此画出示意图，讨论构成平行四边形时，根据对边平行结合平移时点的坐标变化规律求解即可． 【详解】解：     当，时，A和D的纵坐标相等，之间的距离：． 当D在A左边时，如图（1），横坐标为，此时D点坐标为； 当D在A右边时，如图（2），横坐标为，此时D点坐标为． 当，时，如图（3），由点A平移到点C是横坐标加1，纵坐标减2， 那么由点B平移到点D也应如此移动：，， 故此时D点坐标为， ∴D点坐标为或或． 观察选项，只有选项D符合题意． 故选：D． 34．（25-26八年级下·全国·课后作业）四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示．若于点A，，且，，则点B的坐标为________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握计算点的坐标是解题的关键； 根据垂直、平行、长和点的坐标即可得到点的坐标． 【详解】解：∵， ∴点纵坐标与点相同 ∵， ∴点横坐标为 ∴ 故答案为： ． 35．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】4 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、垂线段最短 【分析】本题考查了坐标与几何图形，垂线段最短，解题的关键在于利用等面积法求解．根据N为线段上一动点，P为线段上一动点，过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接，根据求解，即可解题． 【详解】解：过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接， ，，， ， ， ， 即的最小值为4， 故答案为：4． 36．（25-26八年级上·全国·期末）如图，平面直角坐标系的原点及的顶点均在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，过点作，垂足为，则点的坐标为________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据，垂足为，可得点D与C的横坐标相同，点A与D的纵坐标相同. 【详解】解：由图可知： ,垂足为, 即. 故答案为：. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中坐标特点，解决问题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特点. 37．（24-25七年级下·江西南昌·期中）如图，三角形在平面直角坐标系中，轴，轴，且，．为三角形内一点，将三角形平移，当平移后得到的三角形的一顶点落在原点上时，点的对应点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】或或 【知识点】加减消元法、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与平移变换，注意分类讨论，掌握平移规律是正确解答此题的关键． 根据点的对应点的坐标为，可得出平移方式，结合轴，轴，且，分三种情况即可得解． 【详解】解：设点的坐标为． 由于轴且，点的坐标为； 同理，轴且，点的坐标为． ①平移后三角形的顶点位于原点， 说明向左平移个单位，向下平移个单位， 点平移后的对应点的坐标为． 根据题意，的坐标为，因此： ， 解得：， 因此，点的坐标为． ②平移后三角形的顶点位于原点， 由点的对应点的坐标为， 说明向左平移6个单位，向下平移4个单位， 根据题意，的坐标为，因此： ， 解得：，， 因此，点的坐标为． ③平移后三角形的顶点位于原点， 由点的对应点的坐标为， 说明向左平移6个单位，向下平移4个单位． 根据题意，的坐标为，因此： ， 解得：， 因此，点的坐标为． 综上所述，点位于原点，点的坐标为；点位于原点，点的坐标为；点位于原点，点的坐标为． 故答案为：或或． 38．（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【知识点】坐标与图形综合、利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两种情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 39．（24-25七年级下·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且a和b满足．将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合． (1)请直接写出点A、B、D的坐标：A______，B______，D______； (2)如图，若点P为直线上一点，将点P向右平移t个单位到点，当点在直线上时， ①求t的值． ②若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、平移综合题(几何变换)、由平移方式确定点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）根据平方的非负性与二次根式的非负性求出，的值，进而得到，的坐标，根据，的坐标平移变换规则，将进行相同的变换，即可得到的坐标， （2）①设直线与x轴的交点为E，则，证明三角形的面积三角形的面积，再利用面积公式建立方程求解即可； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，，设,而，，再利用中点坐标公式求解即可；当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则，再利用中点坐标公式求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵将线段平移，使得点A、B分别与点C、D重合，， ∴点为点向右平移4个单位，向下平移4个单位， 将点向右平移4个单位，向下平移4个单位，得到，即：， （2）解：①设直线与x轴的交点为E，则，连接，， ， 三角形的面积三角形的面积， , , 三角形的面积， ， ， 即； ②当点在线段的延长线时，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，， ∴， 设,而，， ∴，， ∴点， ∴点； 当点在线段上时，设，当三角形的面积是三角形的面积的2倍时，如图，连接，，取的中点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴，即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是平移的性质，坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，非负数的性质；清晰的分类讨论是解本题的关键. 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为，，，，求四边形ABCD的面积． 【答案】19 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查了平面直角坐标系中不规则图形的面积计算，掌握补形法和分割法是解题的关键，这两种方法也是坐标系中计算多边形面积的常用技巧． 用一个大矩形将四边形完全覆盖，先计算矩形面积，再减去矩形内三个直角三角形的面积，通过整体减部分得到四边形面积，或连接辅助线，将四边形分割为三个三角形，分别计算每个三角形的面积，再求和得到四边形面积． 【详解】解：如图①，作矩形， 则 ． 一题多解如图②，记AB交y轴于点E，连接CE， 则 ． 41．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C． (1)点C的坐标为__________； (2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？ (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标． 【答案】(1)； (2)或或； (3)． 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查平面直角坐标系点的坐标和线段长度间的关系，算术平方根的意义等知识，解决问题的关键是转化面积相等的条件． （1）根据平面直角坐标系的坐标特征，进而求得点坐标； （2）由三角形面积公式，求得的长，分为当点到O点之前和到O点之后进行分类讨论，进一步求得结果； （3）先由一次函数和求出M点坐标，由得出，进而求得点坐标． 【详解】（1）解： ，，且轴，轴， ； 故答案为：； （2）当点P 在线段BO上运动时， 由得， ， ， 当P、Q都未到达O点时 ∴ ∴或， 当P到达O点，Q点未达到O点时， 此时 综上所述：或或； （3）设点， ，，， 直线的解析式是：， ， ，且M在线段AB上 ∴ ∴ 解得∴ ， ， ， ∴， ． 42．（25-26八年级上·全国·随堂练习）在平面直角坐标系中，经过平移得到，位置如图所示． (1)说明是由经过怎样的平移得到的； (2)是内部一点，则平移后对应点的坐标为，求m和n的值． 【答案】(1)向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度 (2)， 【知识点】加减消元法、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】（1）根据所给平面直角坐标系，结合点A和点A′的坐标，得出平移的方式即可； （2）根据题意，建立关于m，n的等式，据此进行计算即可． 【详解】（1）解：点A坐标为，点A′的坐标为， 是由先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； （2）解：点是内部一点，且平移后对应点的坐标为， 解得， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图象变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 43．（24-25七年级下·广东广州·期中）【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知，则点_______（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为_______，由此你得出二元一次方程组的解是_______； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与x，y轴的交点分别是A、B，方程的图象与x，y轴的交点分别是C、D． ①求点A和点D的坐标 ②已知关于x，y的二元一次方程组无解，当点B在y轴正半轴上，且时，在线段上任取一点E，连接．点M为的角平分线上一点，且满足．请作出符合题意的图形，并直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）C； （2）如图所示函数图象即为所求； ；； （3）①； ②如图3-1所示， 当点M在点上方时， 如图3-2所示， 当点M在点下方时 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、已知二元一次方程组的解的情况求参数、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的解的定义，坐标与图形，平行线的性质与判定，角平分线的定义，画函数图象，正确理解二元一次方程的解与坐标系中直线的关系是解题的关键． （1）把对应点横纵坐标代入方程中，看方程的左右两边是否相等即可得到结论； （2）利用描点法画出函数图象，再根据函数图象找到交点坐标，进而得到方程组的解即可； （3）①在中，当时，，在中，当时，，据此可得答案；②根据题意可得直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行；再分点M在点上方和点M在点下方，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可 ． 【详解】解；（1）把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； ∴只有点C在方程的图象上； （2） 由函数图象可知，两条直线的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解是； （3）①在中，当时，， 在中，当时，， ∴； ②∵关于x，y的二元一次方程组无解， ∴直线和直线没有交点，即这两条直线互相平行； 如图3-1所示，当点M在点上方时，过点O作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵点M为的角平分线上一点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点M在点下方时，过点M作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同上可得， ∴； 综上所述，当点M在点上方时，当点M在点下方时． 44．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，，，，，． (1)求的面积； (2)如图2，点以每秒个单位的速度向下运动至，与此同时，点从原点出发，以每秒2个单位的速度沿轴向右运动至，秒后，，，在同一直线上，求的值； (3)如图3，点在线段上，将点向右平移4个单位长度至点，若的面积大于14，求点横坐标的取值范围． 【答案】(1)10 (2) (3) 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数）、绝对值非负性、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的综合应用，结合绝对值、二次根式非负性的性质求解，准确理解点的平移规律是解题的关键． （1）根据二次根式非负性和绝对值非负性，求出，，得到点，，的坐标，即可得到，的长，即可得解； （2）根据等量关系求解即可； （3）连接，，设，根据得到，根据点的平移得到，再根据代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， ， ，，， ，， ； （2）解：由题意知：，， ， ， ． （3）解：连接，，设， ， ， ， 点向右平移4个单位长度得到点， ， ， ， ， ， ． 45．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，C是第一象限的点，过C点作轴于点，点是y轴正半轴上的一点，且a、b满，． (1)求C点坐标； (2)D为x轴上一点，若，求D点坐标； (3)在直线上有一点P，使，求P点坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)或． 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，点的坐标，坐标与图形，熟练掌握利用坐标求图形的面积是银题的关键． （1）利用算术平方根的非负性、绝对值的非负性、非负数的性质求出a、b值，再根据图形面积与坐标关系求解即可； （2）设点D的坐标为，分三种情况：①当点D在上时，即，②当点D在x轴负半轴上时，即，③当点D在点A右边时， i)，ii) ，分别求解即可； （3）分两种情况：①当点P在点B、C之间时，②当点P在线段延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∵，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵轴于点， ∴设点C的坐标为， ∵ ∴ ∴点C的坐标为． （2）解：设点D的坐标为， 分三种情况：①当点D在上时，即，如图， ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； ②当点D在x轴负半轴上时，即，如图， ∵ ∴ 解得：不符合题意，舍去； ③当点D在点A右边时，i)，如图， ∵ ∴ 解得：，不符合题意，舍去； ii) ，如图 ∵ ∴ 解得： ∴点D的坐标为； 综上，若，点D的坐标为或． （3）解：∵ ∴ ∴点P在射线，分两种情况：①当点P在点B、C之间时，连接，，过点P作于M，于N，如图， ∴， ， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：， ∴； ②当点P在线段延长线上时，连接，，过点P作于M，于N，延长交于Q，如图， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得： ∵点P在第四象限， ∴． 综上，点P的坐标为或． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 熟记坐标系四要素：原点、x轴、y轴、四个象限 · 区分有序数对与一般坐标，注意前后顺序不可颠倒 · 掌握平移规律：左右平移变x、上下平移变y，右加左减上加下减 · 到坐标轴的距离公式：到x轴|y|、到y轴|x|，记牢不要混淆 · 综合压轴题先画图分析，再结合运动规律与几何性质求解 【作业1】（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（    ） A．（1012，1012） B．（2011，2011） C．（2012，2012） D．（1011，1011） 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标 【解答】解：由题意得，偶数点在第一象限， ∵P1（﹣1，﹣4）水平向右平移2个单位长度2， ∴P7（1，1）， 同理可得，P3（2，2），…， ∴P7n（n，n）， ∴P2024（1012，1012）， 故选：A． 【作业2】（24-25七年级上·山东日照·期中）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示2024的有序数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、用有序数对表示位置 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示2024的有序数对． 根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到2024在第多少排，然后即可写出表示2024的有序数对，本题得以解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有：个数， ∵当时，， 当时，， ∴2024在第64排， ∵， ∴表示2024的有序数对是． 故选：C． 【作业3】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【答案】C 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查坐标系中点的坐标、解一元一次方程，根据题意得，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：∵点M到两坐标轴的距离相等， ∴，即， 当时，， 当时，， 故选：C． 【作业4】（25-26七年级上·北京通州·期中）在数轴上，点、在原点的两侧，分别表示数、2，将点向右平移3个单位长度，得到点．若，则的值为_____． 【答案】 【知识点】绝对值方程、数轴上两点之间的距离、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了数轴两点间的距离，数轴上的平移计算，绝对值方程的求解，熟练掌握平移，解绝对值方程是解题的关键．根据题意，点C表示的数为，确定，根据，建立方程解答即可． 【详解】解：点、在原点的两侧，分别表示数、2， 故点A一定在原点的左侧， 故， 根据题意，点C表示的数为， 故， 由， 得， 解得，（舍去）， 故a的值为， 故答案为：． 【作业5】（25-26八年级上·山东潍坊·阶段检测）若点在第二象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，根据第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列出不等式组求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【作业6】（23-24七年级下·河南漯河·阶段检测）已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中的平移 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的直线上的点的横坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的下边与上边两种情况求出点的纵坐标，即可得解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为，， ∴点在点的下边时，纵坐标为， 点在点的上边时，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 【作业7】（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）若，则在第________象限． 【答案】二 【知识点】绝对值非负性、判断点所在的象限、加减消元法、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了算术平方根以及绝对值的非负性，判断点所在的象限，二元一次方程组的求解，根据非负性列出二元一次方程组求出x，y的值，再判断点所在的象限即可． 【详解】解：，且， ，， ， 解得：，， 则在第二象限， 故答案为：二． 【作业8】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点在第__________象限． 【答案】一 【知识点】判断点所在的象限、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，点的坐标，先根据算术平方根的定义得到，进而判断点的横、纵坐标的取值范围解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴，， ∴点在第一象限， 故答案为：一． 【作业9】（23-24七年级下·广东汕头·期中）点C在x轴上，距离y轴5个单位长度，则点C的坐标为___________________． 【答案】或 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离，根据“点C在x轴上，距离y轴5个单位长度”得到点C的横纵坐标，即可解题． 【详解】解：点C在x轴上，距离y轴5个单位长度， ，， 点C的坐标为或； 故答案为：或． 【作业10】（24-25七年级下·广东广州·期末）在如图所示的字母网格中，每个字母的位置由有序数对列号，行号确定．例如，字母“”对应有序数对．现有一个由三个字母组成的英文单词，其字母按顺序分别对应以下有序数对：、、．请根据坐标写出该英文单词：______． 【答案】 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查有序数对表示位置，根据题意和图形，可以写出对应的字母，然后即可写出这个英语单词． 【详解】解：对应的字母为，对应的字母为，对应的字母为， 这个英文单词为：， 故答案为： 【作业11】（24-25七年级下·广东韶关·阶段检测）综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 【解决问题】如图，设“帅”位于点，“相”位于点． (1)图中“马”所在的点的坐标为_________； (2)在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A．    B．　C．　    D． (3)“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)C (3)①能，②能，需要走1352步． 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查新定义，平面内点的坐标，实数的运算；能够准确理解题意，找到马移动的向量规律，利用实数的运算进行求解是解题的关键． （1）根据“帅”，“相”的位置确定“马”的位置； （2）由于马走“日”，因此马的平移向量左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移向量左或右平移2，则相应的上或下平移1，由此可判断所给平移量； （3）①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； ②设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次，则马沿着平移量移动；走到点时，向右移动2029，向上移动2027，可得，；求解即可． 【详解】（1）解：由“帅”位于点，“相”位于点， ∴“马”坐标为； 故答案为：． （2）解：由于马走“日”，因此马的平移量为左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移量向左或右平移2，则相应的上或下平移1， ∴A、B、D是“马”的一步“平移量”，C不是“马”的一步“平移量”， 故选：C． （3）解：①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； 故答案为：能； ②由题意可知“马”的走法只有两种平移量或， 设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次， 则马沿着平移量移动， 如图马的初始位置是， 走到点时，向右移动2029，马向上移动2027， ，， ，， ∴马沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次，走到点 马能走到； 马由点，沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次． ∴共移动（步）. 【作业12】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）已知点，且． (1)直接写出A，B两点坐标； (2)将线段平移至线段（点A与C对应，点B与D对应）， ①如图（1），若点D坐标为，点C在y轴上，求线段与y轴交点E的坐标； ②如图（2），若点D坐标为，点P在坐标轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出P点坐标． 【答案】(1)； (2)①   ②或或或 【知识点】绝对值方程、利用算术平方根的非负性解题、由平移方式确定点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由非负数的性质即可得解； （2）①连接，根据等面积建立关于的方程求解即可；②分类讨论，当点P在x轴上：直接可利用面积公式建立方程求解；当点P在y轴上时，需用割补法表示出三角形的面积，进而建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵，，且， ∴， ∴； （2）①由平移可得，， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由题可知线段向右平移6个单位，向下平移3个单位， ∴， 当点P在x轴上时，设， 此时与是等高的， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 当点P在y轴上时，设， i如图，当点P在直线上方时，连接， ， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； ii当如图，当点P在直线下方时，连接， ， m-9， ∵的面积是面积的2倍， ∴， 解得， ∴； 综上，点P的坐标为或或或． 【作业13】（24-25七年级下·吉林白山·期末）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点C的坐标为，且a，b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1) ________， ________，点B的坐标为__________； (2)当点P移动时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，求点P移动的时间． (4)在移动过程中，当三角形的面积等于6时，求点P移动的时间． 【答案】(1)，点B的坐标为 (2) (3)点P移动的时间为或 (4)点P移动的时间为或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）先利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，再得到，即可求解． （2）求出点P移动的路程，再除以时间即可求解． （3）确定出当点P到x轴的距离为5个单位长度时的坐标，再利用路程除以速度即可求解． （4）求出边上的高为2时即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）点P移动时，运动路程为个单位， ∵，， ∴点P在上，距离点C两个单位长度，且； （3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，则或， 当运动到时，时间为， 当运动到时，时间为， ∴点P移动的时间为或； （4）∵点B的坐标为， ∴， ∴当三角形的面积等于6时，边上的高为2， ∴或， ∴当时，P点运动路程为8，则点P移动的时间为， 当时，P点运动路程为18，则点P移动的时间为， ∴点P移动的时间为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内的动点问题，涉及到了算术平方根和绝对值的非负性、点到坐标轴的距离、三角形的面积公式和行程问题中的数量关系，解题关键是利用数形结合，正确得到动点运动的路程或位置并求解． 【作业14】（24-25七年级下·江西南昌·期中）已知，如图，在直角坐标系中，轴，轴，，，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动，运动时间为， (1)写出，，三个点坐标． (2)当秒时，求的面积． (3)当到轴距离等于到轴距离时，求时间． 【答案】(1)，， (2)12 (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标系点的坐标，坐标系点的动点问题，坐标系点坐标到坐标轴的距离，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． （1）根据题意，先求得和，再写出点的坐标即可； （2）先判断点和所在位置，写出两个点的坐标，然后求出三角形的面积即可； （3）分4种情况①时，点在线段时，②，点在线段时，③，点在线段时，④，点在线段时，依次讨论即可． 【详解】（1）解： 轴，轴，，， ，， ，，； （2）解：当秒时，有个点从运动，每秒钟1个单位，同时点从也以每秒1个单位运动， 点走了6个单位长度，点走了6个单位长度， 点在线段上，此时，点在线段上， 的纵坐标为，， ， ； （3）解：①时，点在线段时，到轴距离为6，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，但，不符合点在线段上的条件，舍去； ②，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，，符合条件； ③，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上， 当到轴距离等于到轴距离时，，即，不符合的条件，舍去； ④，点在线段时，到轴距离为，此时点在线段上，到轴距离为8，不符合题意； 综上，． 【作业15】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，， ． (1)求两点的坐标； (2)将平移到，点的对应点． ①若，求的值； ②若三点在同一直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；② 【知识点】利用平移的性质求解、绝对值非负性、与三角形的高有关的计算问题、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】（1）根据绝对值，平方数的非负性即可求解； （2）①根据图形平移的性质，点对应点，可得向下平移个单位，可得点在直线上，分类讨论的情况，当时；当时；当点共线时；当在直线右边时；根据，图形结合分析面积的关系即可求解； ②根据平移的性质，点共线可确定的位置，在确定点，图形结合分析面积，即可求解． 【详解】（1）解：已知， ∵， ∴， 解得，，， ∴； （2）解：①点，平移后对应点，可得向下平移个单位， 当时，即点在的位置，点，如图所示， ∴，不符合题意，舍去； 当时，即点在的位置，如图所示，过点分别作轴的平行线，分别交于点，得矩形， ∴，，，，，， ∴， ， 解得，，符合题意； 当时，即点在的位置，如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， ， 解得，，不符合题意； 如图所示，点在的位置，即共线时，不符合题意； 当在直线右边时，即点在的位置，点在右边，如图所示，过点作轴于点，则， ∴， ， 解得，； 综上所述，当的值为或； ②∵点平移后对应点，即点在的直线上，且点三点共线，作图如下，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴点向右平移个单位，向下平移个单位，且， ∴， ∴，， ∴ 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查绝对值、平方数的非负性，坐标于图形的变换，图形平移的性质，几何图形面积与坐标的位置关系的综合，理解题意，掌握坐标的性质，坐标与图形面积的计算方法是解题的关键，尤其注意点在直线的直线上是解题的突破口． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $