专题01 期中复习压轴28类题型归纳（考试范围：第11章 平面直角坐标系～第13章 三角形中的边角关系、命题与证明）（举一反三讲义）数学新教材沪科版八年级上册

专题01 期中复习压轴28类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第11章 平面直角坐标系~第13章 三角形中的边角关系、命题与证明） 【新教材沪科版】 题型归纳 【选填压轴】 2 【题型1 坐标系内图形面积计算】 2 【题型2 坐标系内规律探究】 5 【题型3 坐标轴对称变换求对应坐标】 9 【题型4 利用一次函数的性质求参数取值范围】 11 【题型5 一次函数系数符号范围判断】 13 【题型6 一次函数中的图形面积】 16 【题型7 一次函数的平移】 21 【题型8 一次函数与方程、不等式解集图像】 24 【题型9 动点形成分段函数图像判断分析】 26 【题型10 一次函数新定义与点坐标规律】 31 【题型11 三角形三边关系求参数取值范围】 35 【题型12 与三角形高有关的分类求角度】 38 【题型13 内外角平分线组合模型角度计算】 42 【题型14 三角形中线分割面积比例求值】 47 【题型15 三角形折叠求角度与线段长度】 52 【解答压轴】 56 【题型16 坐标系动点求线段、面积】 56 【题型17 坐标与图形变化】 66 【题型18 一次函数图像性质综合】 75 【题型19 两直线交点与面积存在性综合】 80 【题型20 一次函数行程相遇追及】 88 【题型21 一次函数多方案比较最优选择】 98 【题型22 一次函数分段计费实际应用】 104 【题型23 一次函数与方程、不等式综合】 110 【题型24 一次函数新定义点坐标探究】 117 【题型25 一次函数图像平移与性质综合】 121 【题型26 三角形内角、外角角度探究题】 128 【题型27 动点产生三角形角度变化探究】 138 【题型28 中线分割三角形面积综合问题】 147 【选填压轴】 【题型1 坐标系内图形面积计算】 【例1】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先确定的长度，再设C的坐标，根据三角形面积公式列方程求解，即可得到C的坐标. 【详解】解：设点C的坐标为， ∵点，点，两点都在x轴上， ∴， ∵的面积为8，的高为点C到x轴的距离，即， ∴， 将代入得， 化简得，即， ∴或， ∴点C的坐标为或. 【变式1-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【详解】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 【变式1-2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）某机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一个三角形区域．已知该三角形的三个顶点坐标分别为，那么这个三角形探测区域的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了根据点的坐标求面积． 通过观察坐标，点A和点B的纵坐标相同，因此线段是水平线段，可作为三角形的底边；点C到的垂直距离即为高，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：由点的纵坐标均为4， 得底边的长度为． 点到直线即的垂直距离为， 因此三角形面积为． 故答案为：6． 【变式1-3】（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段分别与轴、轴交于、两点，将线段向左平移5个单位得到线段（，分别为，平移后的对应点），点恰好落在轴上，若点的纵坐标为，图中阴影部分面积是18，则点的坐标为__________．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】由平移的性质可得，，由题意可得，，则，设，则，连接，最后根据，计算即可得出结果． 【详解】解：连接， 由平移的性质可得，， ∵点恰好落在轴上，若点的纵坐标为， ∴，， ∴， 设，则， ∵图中阴影部分面积是18， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【题型2 坐标系内规律探究】 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 【答案】 【分析】根据图形可知为第个等腰直角三角形的直角顶点，其横坐标的绝对值等于，符号由的奇偶性决定；纵坐标在和之间循环，由的奇偶性决定，确定对应的值即可求解． 【详解】解：观察图形可知，，，，……，分别为第，，，……，个等腰直角三角形的直角顶点， 第个等腰直角三角形的斜边长为， 该三角形斜边上的高为，即点的横坐标的绝对值为； 观察图形可知，当为奇数时，点在轴左边，横坐标为负；当为偶数时，点在轴右边，横坐标为正， ， 点是第个等腰直角三角形的直角顶点； 是奇数， 点的横坐标为； 点的纵坐标规律：第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； 第个三角形斜边为，，，中点纵坐标为，即纵坐标为； …… 由此可知，当为奇数时，点的纵坐标为；当为偶数时，点的纵坐标为； 是奇数， 点的纵坐标为； 综上所述，点的坐标为． 【变式2-1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【答案】 【分析】由题意知，每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加，求得的横坐标为，纵坐标为． 【详解】解：，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） ，，，，，（第个周期，完成次，横坐标到） 规律总结： 每步一个周期，每个周期结束时横坐标增加， 余数的余数： ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ：横坐标为，纵坐标为， ∵， ：横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 【变式2-2】（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，， ，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为，纵坐标为右下角横坐标的偶数减的点结束，根据此规律解答即可． 【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， ， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ，是奇数， 第个点是， 故选：B． 【变式2-3】（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算长方形的周长及两点初始距离，利用相遇问题公式求出第次相遇时点运动的总路程，结合周期性确定最终坐标． 【详解】解：由点，，，可知，， ∴四边形的周长为； ∵ 点从出发逆时针运动，点从出发顺时针运动， ∴两点初始沿运动方向的路程和为， ∴第一次相遇用时秒； ∵第一次相遇后每次相遇需合走一圈，用时秒， ∴第次相遇时，点运动的总时间为秒， ∴点运动的总路程为； ∵， ∴点回到起点后又逆时针运动了个单位长度.， ∵起点逆时针运动个单位长度到达点， ∴第次相遇时的点的坐标是 ． 【题型3 坐标轴对称变换求对应坐标】 【例3】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，中顶点是坐标原点，顶点，的坐标分别为，．点是坐标平面内一点，若以点，，为顶点的三角形，与关于所在直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、坐标与图形等知识点，正确作图是解题的关键． 由点，的坐标可得直线为，再根据题意画出图形，设，然后根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，， ∴直线为 如图：与关于所在直线对称， 设 ∴点O和点C关于直线对称， ∴，解得：， 即． 故选C． 【变式3-1】（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系中点的平移与关于轴对称点的坐标规律，灵活运用平移和对称的坐标变化规律是解题的关键．根据点的平移规律，向右平移横坐标加、纵坐标不变，可求出点的坐标；再根据关于轴对称的点的坐标规律，横坐标不变、纵坐标互为相反数，进而求出点关于轴的对称点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，根据点的平移规律：向右平移横坐标加，纵坐标不变，可得平移后点的坐标为 已知的坐标为，因此可得，， 解得，，即点的坐标为， 根据关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，直线是经过点，且平行于轴的直线，点与点关于直线对称，则的值为（　）． A．2 B．6 C．-2 D．-6 【答案】D 【分析】结合题意，根据坐标、轴对称的性质列方程并计算，即可得到答案． 【详解】∵点与点关于直线对称 ∴， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了直角坐标系、坐标、轴对称、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握坐标、轴对称的性质，从而完成求解． 【变式3-3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，则点关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称点的坐标是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知直线m上各点的横坐标都是-2，得出其解析式，再利用对称点的性质得出答案． 【详解】∵a2+2>0， ∴点在第一象限， ∵直线m上各点的横坐标都是-2， ∴直线为：x=-2， ∴a2+2到-2的距离为： a2+4， ∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：-a2-6， 故P点对称的点的坐标是：（-a2-6，5）． 故选B． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意得出对称点的横坐标是解题关键． 【题型4 利用一次函数的性质求参数取值范围】 【例4】（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可． 【详解】解：一次函数，， ∴随的增大而减小， 对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于k， ， 解得． 【变式4-1】（25-26八年级下·上海·期末）若一次函数的图像不经过第二象限，那么的取值范围___________． 【答案】 【分析】根据一次函数的图像不经过第二象限列出关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：一次函数的图像不经过第二象限， ， 解得：． 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数图像的性质等知识点，灵活运用一次函数的性质是解题的关键． 由函数过点易得，由直线经过第一、二、三象限可得且，即，解得：；再说明，最后根据一次函数的增减性即可求得的范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，即 又∵直线经过第一、二、三象限， ∴且，即，解得： ∴， ∵， ∴n随k的增大而增大， ∵当时，，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）已知函数，当自变量的取值范围是时，既能取到大于5的值，又能取到小于2的值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况：若时，，不满足题意；若，根据函数值y随自变量x的增大而增大确定k的范围；若，根据函数值y随自变量x的增大而减小确定k的范围即可． 【详解】解：函数， 若时，，不满足既能取到大于5的值，又能取到小于2的值，故不合题意； 若，即时，函数值y随自变量x的增大而增大， 由题意可知，时，即， 解得； 当时，即， 此时k无论为何实数不等式恒成立； 故； 若，即时，函数值y随自变量x的增大而减小， 由题意可知，时，即， 此不等式不成立，故这种情况不存在． 故． 【题型5 一次函数系数符号范围判断】 【例5】（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出经过，再根据每个选项的函数图像进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴令可得，，令可得，， ∴在中，其函数必定经过， A、由图可得，， ∴分别位于x轴的负半轴和y轴的正半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项符合题意； B、由图可得，， ∴分别位于x轴的正半轴和y轴的负半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意； C、由图可得，， ∴分别位于x轴的负半轴和y轴的正半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意； D、由图可得，， ∴分别位于x轴的正半轴和y轴的负半轴， ∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意． 【变式5-1】（25-26八年级下·福建福州·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正比例函数图象过原点得到各选项中的正比例函数图象，进而由图象性质得出的符号，再由的符号验证一次函数图象是否正确即可． 【详解】解：A、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象符合要求； B、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； C、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； D、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象不符合要求． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·期末）已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】由函数的图象，可得，， 对于一次函数， 一次项系数， 图象经过第一、三象限 ， 常数项， 图象与轴交于负半轴 一次函数的图象经过一、三、四象限， 只有选项C图象符合题意． 【变式5-3】（25-26八年级下·北京朝阳·期末）若关于x的一元一次不等式的解集为，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解集确定的符号以及直线与轴的交点坐标，进而判断函数图象． 【详解】解：关于的一元一次不等式的解集为， ，且当时，， 一次函数的图象经过点，且随的增大而增大， 观察选项，只有A选项图象经过点且呈上升趋势． 【题型6 一次函数中的图形面积】 【例6】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形面积、求函数解析式等知识点，确定点的坐标是解题的关键．先求得，，设点的坐标为 ，则，再根据的面积等于4求得，即；然后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当，则，当，则， ∴，， 设点的坐标为 ，则， 的面积等于4， ， 解得：或（不合题意，舍弃）， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的表达式为． 故答案为：． 【变式6-1】如图，在直角坐标系中，点B的坐标为，若直线与长方形的边，有交点，且恰好将长方形分为面积相等的两部分，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，表示出点E、F的坐标是解题的关键． 计算出所围矩形的面积，直线恰好将矩形分为面积相等的两部分，所以直线把矩形分为两边均为，根据梯形面积求解m的值． 【详解】解：点B的坐标为， 长方形的面积为. 如图，设直线与的交点为，与y轴交点为. 直线恰好将长方形分为面积相等的两部分， 四边形的面积为60， ， ， . 【变式6-2】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用．先求出，再根据的面积被y轴平分，得出点P与点A的横坐标互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得， 则， 作点A关于y轴的对称点，则 ∵的面积被y轴平分， ∴点P的横坐标为，如图，Q为与y轴的交点，则Q为的中点， ∵点P在直线上， ∴点P的坐标为． 故选：D． 【变式6-3】（2025·内蒙古包头·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点A的坐标为，点B的坐标为，根据平行四边形性质得出点的坐标为，求出直线的解析式为，得出点D的坐标为，求出直线的解析式为：，的解析式为，求出点E的坐标为，得出，求出，，即可求出结果． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 把代入得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴的解析式为， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标． 【题型7 一次函数的平移】 【例7】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象平移问题，求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识．先求得直线的解析式，再分别求出点，，的坐标，从而可求得的面积． 【详解】解：∵将直线向右平移个单位后得到直线， ∴直线的解析式为， 即直线的解析式为， ，解得：， ∵直线与直线：交于点， ∴， ， 当时，，解得：， ， 当时，，解得：， ∵直线，分别交轴于点，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 【变式7-1】（2025·陕西西安·模拟预测）若直线平移后过点，则平移后的直线与y轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数平移的性质，平移后直线的k值不变，先设出平移后的直线解析式，代入已知点求出解析式，再计算直线与y轴的交点坐标． 【详解】解：设平移后直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴平移后直线的解析式为， 当时，得， ∴平移后的直线与轴的交点坐标是． 【变式7-2】（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】先分别求出点和点的坐标，得到的长度，根据题意线段扫过的图形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】已知直线为，且交轴于点， 令，解得，所以点的坐标为， 已知直线为，且交轴于点， 令，解得，所以点的坐标为， 所以． 联立直线和直线的方程组。 ， 由，得，解得， 将代入中，可得， ∴交点的坐标为， 将线段沿方向平移，当与重合时，点动到点处，如图所示： ∵线段在轴上，且平移方向为， ∴线段扫过的图形是平行四边形， ∵点的坐标为，所以点到轴的距离为， ∴线段扫过的面积为． 【变式7-3】（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知点关于原点的对称点为，且在直线上，把直线的图象向下平移2个单位后得到的直线解析式为_______． 【答案】/ 【详解】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．先求出点的坐标，再求出k的值，最后根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 解：由题知， 点和点P关于原点对称，且点P的坐标为， 点的坐标为． 将点代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 将直线的图象向下平移2个单位后，所得直线的解析式为． 故答案为：． 【题型8 一次函数与方程、不等式解集图像】 【例8】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案． 【详解】解：由方程，移项得， ∵一次函数与的图像相交于点， ∴当时，成立， ∴关于𝑥的方程的解是． 【变式8-1】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，正比例函数与一次函数（）的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为__________． 【答案】 【分析】先求出点，再观察图象即可求解． 【详解】解：将点代入正比例函数中，得， ∴点， ∴观察图象可知，则关于，的二元一次方程组的解为． 【变式8-2】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图，一次函数和的图象分别与轴交于点，，则关于的不等式的解集是_____________． 【答案】或 【分析】不等式意味着两个一次函数值异号或至少有一个为0．结合图象确定和大于等于0和小于等于0时的取值范围，分类讨论求解即可． 【详解】解：由图象可知，直线与轴交于点，且随的增大而增大． 当时，；当时，， 由图象可知，直线与轴交于点，且随的增大而减小． 当时，；当时，， ， 需满足或， 对于， ∴，即， 对于， ∴，即， 综上所述，不等式的解集是或． 【变式8-3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数与的图象如图所示， 则下列结论： ①；②；③x的值每增加1，的值增加；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①根据函数图象直接得到，进一步即可得到；②根据当时，，即可求得；③求得，即可判断③；④当时，代入两个函数解析式，借助图象即可判断． 【详解】解：①由图象可得：， ∴， ∴，故①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ．∴， ．∴，即，故②正确； ∵， ∴ 当的值每增加，，故③错误， 当时，， 由图象可得：当时，，即，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 【题型9 动点形成分段函数图像判断分析】 【例9】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）2026年央视春晚节目《武》中，人形机器人与少年同台竞技，完成了一系列高难度动作．某台机器人在“打醉拳”环节（如图）的运动过程可简化为：①匀速跑位，从舞台一侧起点以恒定速度直线移动至表演区；②原地表演，在表演区完成表演；③快速回撤，为配合后续其他表演，以更快的恒定速度沿原路线返回起点．若设机器人与起点的距离为y，运动时间为x，则y与x之间关系的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据机器人的运动过程，将函数图象分为三个阶段进行分析：第一阶段距离随时间增加而增加，第二阶段距离不变，第三阶段距离随时间增加而减小，且第三阶段速度更快，图象更陡峭． 【详解】解：阶段①，∵机器人从起点匀速跑位至表演区， ∴距离随时间的增大而增大，图象为过原点的上升线段； 阶段②，∵机器人在表演区原地表演， ∴距离不随时间的变化而变化，图象为平行于轴的水平线段； 阶段③，∵机器人以更快的恒定速度返回起点， ∴距离随时间的增大而减小，直至为，图象为下降线段． 又∵回撤速度大于跑位速度， ∴回撤所用时间少于跑位所用时间，即下降线段比上升线段更陡峭． 观察各选项，只有A选项符合上述特征． 【变式9-1】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，把一个长方体铁块嵌在透明圆柱形容器内，向容器内均匀注水，注满为止，那么容器内水面的高度h（单位：）与注水时间t（单位：s）之间的关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，按一定的速度向容器内均匀注水， 所以函数图象均为匀速上升， 由此可排除B，D选项， 刚开始时由于实心长方体在水槽里，注水部分的底面积为圆柱体容器的底面积减去长方体的底面积，水面上升的速度较快，水淹没实心长方体后一直到水注满，底面积是圆柱体的底面积，水面上升的速度较慢，故排除A选项，选项C符合题意． 【变式9-2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 【变式9-3】（25-26七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 【题型10 一次函数新定义与点坐标规律】 【例10】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）我们定义：在平面直角坐标系中，点，，若，，且，则称点是点的“阶变换点”．例如，点是点的“3阶变换点” （1）若点，则点的“2阶变换点”为______； （2）已知点，点的“阶变换点”记为，点的“3阶变换点”记为，若直线经过点和点，则直线在轴上的截距为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，求一次函数的解析式以及一次函数图象与坐标轴的交点问题； （1）根据“阶变换点”的定义直接计算坐标； （2）先求两点坐标，待定系数法求得解析式，进而令，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，点的2阶变换点： ，， 故点为； 故答案为：． （2）解：点的阶变换点： ，， 即； 的3阶变换点： ，， 即； 将，代入 ， 解得： ∴ 当时， 故答案为：． 【变式10-1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）新定义：关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“m变函数”（其中m为常数）． 例如：关于x的一次函数的“3变函数”为． 关于x的一次函数的“1变函数”为，关于x的一次函数的“m变函数”为，若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用、两直线平行或相交等知识．利用方程组求出交点坐标即可解决问题； 【详解】解：由题意：，， 解得两个函数的交点为，或，， 观察图象可知：时，函数和函数有且仅有两个交点． 故答案为：． 【变式10-2】（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）直线与轴交于点，与轴交于点，把正方形、和按如图所示方式放置，点、在直线上，点、、在轴上，按照这样的规律，则正方形中的点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质以及正方形的性质，解题的关键在于结合平面直角坐标系，进行逻辑推理和计算． 先求出直线与坐标轴的交点，确定第一个正方形的边长，再通过分析点的坐标规律进行求解即可． 【详解】解：对于直线， 令，则， ，那么． 当时，有，即， ， ， 是等腰直角三角形，， 同理也是等腰直角三角形，且， 同理， 以此类推，第个正方形的边长为． 由上可知： ，其横坐标，纵坐标； ，其横坐标，纵坐标； ，其横坐标，纵坐标； 则点的横坐标为，纵坐标为． 当时，横坐标为，纵坐标为 故答案为： 【变式10-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，点在直线上，过点作轴交x轴于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和x轴于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则点的坐标为_________；点的坐标为_________（结果用含正整数n的代数式表示）． 【答案】 【分析】先根据点的坐标以及轴，求得的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得到的坐标，即可求得的坐标，从而求得的坐标，进而得到的坐标，求得的坐标，从而求得的坐标，最后根据根据变换规律，求得的坐标． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，解得：， ∴直线为， ∵过点作轴交x轴于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角， ∴轴， ∴，， 当时，，即， ∴， ∴， ∴以此类推， （，）， … ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出变换规律，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 【题型11 三角形三边关系求参数取值范围】 【例11】（26-27八年级上·甘肃·期中）在中，中线将的周长分为和，则三角形底边长___． 【答案】或 【分析】利用中线得，利用周长得，，分、两种情况列方程组求解，得到底边长． 【详解】如图，∵，是边上的中线， 即， ∴，， 若， 可得， 解得， 则，， 、、三边能够组成三角形； 若， 可得， 解得， 则，， 、、三边能够组成三角形， 综上，三角形底边长为或． 【变式11-1】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 【变式11-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】本题分情况讨论，分别为底边长为或腰长为两种情况，再结合三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：∵等腰三角形周长为，其中一边长为， ∴分两种情况讨论： 当底边长为时， 腰长为， 此时三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时， 底边长为， 此时三边长为，，， 由于，不满足三角形三边关系，故舍去； 综上，该等腰三角形的底边长为． 【变式11-3】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 【题型12 与三角形高有关的分类求角度】 【例12】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，为边的高，的面积为，则的长为______． 【答案】3或5 【分析】分高在的内部和外部，两种情况求解即可． 【详解】解：如图，当高在的内部时， 根据题意，得， 的面积为， ， ， ； 当高在的外部时， 如图，当高在的外部时， 根据题意，得， 的面积为， ， ， ； 综上所述，的长为3或5． 【变式12-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【变式12-2】（25-26七年级下·上海·阶段检测）中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【答案】 或 【分析】本题需要分为锐角和钝角两种情况讨论，结合直角三角形两锐角互余的性质，四边形的内角和，求解角度． 【详解】解：①当为锐角时，设边上的高为，边上的高为，与交于点， 由题意得，两条高所在直线的夹角， ，， ， ． ②当为钝角时，设边上的高与边上的高交于点， 由题意得， ，， ， ， ． 综上，的度数为或． 【变式12-3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）在钝角中，是边上的高，是边上的高，这两条高所在的直线相交于点O，若，，，则的长为________． 【答案】或或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的高，可以证明，得到，然后再分别根据不同点为钝角顶点画出图形，结合图形求出的值即可． 【详解】解：当为钝角顶点时，图形如下： ∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 当为钝角顶点时， 同理可得， ∴， ∵，， ∴； 当为钝角顶点时， 同理可得， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：或或． 【题型13 内外角平分线组合模型角度计算】 【例13】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P． 法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可． 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°， ∵∠AFB＝∠PFC， ∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D， ∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线 ∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE， ∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°， 整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD， 即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°． 故选A. 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 【变式13-1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 【变式13-2】（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1， ∴∠A1=∠A， ∵∠A=α． ∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α， 根据规律推导， ∴ ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键． 【变式13-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________． 【答案】36 【分析】首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果； 【详解】由图知：， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵的两条高、交于点， ∴，， ∴， ∴在四边形中有：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键． 【题型14 三角形中线分割面积比例求值】 【例14】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，证明，，得出，再由为的中线及，根据列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 为的中线，， ，， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ，即， ，，， ， 为的中线，， ， 又， ， 解得：． 【变式14-1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 【答案】A 【分析】连接并延长，交于点，得到三角形的三条中线，利用中线的性质得到，求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点， 三角形三条中线必交于一点，为三角形的重心， 也是的中线， 由中线的性质得， 由是的中线，是的中线， ， 同理， ， ． 【变式14-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【答案】A 【分析】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得的值，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 【变式14-3】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 【答案】 【分析】根据，利用等底同高三角形面积相等，可得，再由等高三角形面积比等于底之比，得到，设，，用、表示图中各个小三角形面积，利用面积比例关系推导出y与x的数量关系，利用的面积为列方程求出x的值，接着利用面积关系得到，求出，最后将与相加即可得到四边形的面积． 【详解】解：， ，， ，即， ， ， 设，，则，， ，， ，， ，即，化简得， ， ，把代入得，解得， ， ，， ，即， ， ， ， 四边形的面积． 【题型15 三角形折叠求角度与线段长度】 【例15】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿翻折，使点落在点处，当时，的度数为______． 【答案】或 【分析】根据题意画出满足条件的图形，由折叠可得，，，根据，易求，再根据三角形内角和，计算即可求解． 【详解】解：，， ，则， 由折叠可得，，， 如图1， ， ， ，即， ， ； 如图2， ， ， ， ， ， ； 综上可得，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和，垂直的定义等知识，根据题意画出折叠后的图形是解题的关键． 【变式15-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在边上，将沿翻折得到，使点落在边上的点，延长，于，平分，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线、垂直、三角形内角和定理，解题的关键是掌握角与角之间的基本关系，先根基垂直求出，结合角平分线解折叠的性质得出，把问题转化为求解，再根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：于， ， ， 平分， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式15-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题、垂线段最短，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据将边沿翻折，点B落在点F处，可得，即知当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案． 【详解】解：如图：    ∵将边沿翻折，点B落在点F处， ∴， ∴， 当最小时，最大，此时， ∵ ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式15-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知为等腰三角形，，，将沿翻折至，E为的中点，F为的中点，线段交于点G，若（），则＝（　　） A．m B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据，设，则，表示出其他三角形的面积，然后根据即可求出． 【详解】解：连接， ∵（）， ∴设，则， ∵F为的中点， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与图形的翻折，三角形的中线平分三角形的面积等知识，熟练运用等腰三角形的性质是解题关键． 【解答压轴】 【题型16 坐标系动点求线段、面积】 【例16】（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右移个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），且四边形的面积为．       (1)直接写出的值及点，的坐标； (2)连接与轴交于点． ①________； ②求的长度． (3)如图，若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动．若射线交轴于点．设与的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为，点的坐标为 (2)①4；② (3)S的值是定值，定值为， 【分析】（1）先根据点的平移规则，结合四边形面积为8的条件，求解m的值和B、C的坐标． （2）①求的面积时，可利用平行四边形与三角形的面积关系，或直接用坐标法计算面积．②求长度时，根据，与有公共的底边，高与为已知，用面积法求三角形的高即可． （3）处理动点问题时，先设运动时间为t，用含t的式子表示的长，可得， 当点在线段上时，当点在上时，分两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵点向右平移个单位得到点， ∴点的坐标为，   ∵，， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴点的坐标为； （2）解：①； ②∵， ， 即， 解得． （3）解：S的值是定值，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接， 设运动时间为秒， 由题意得，， ，， ， ， ； ②如图，当点在上时，连接， 由①可得， ； 综上所述，的值是定值． 【变式16-1】（25-26七年级下·湖南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；或 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求出a的值即可得到答案； （2）过点作于点，根据等面积法求出的长，再根据可    得答案； （3）根据（2）可求出的面积，则可求出的长，根据点C的坐标得到点B的坐标和的长，则可求出的面积，进而求出和的面积，根据（2）所求可得t的值，再根据三角形的面积公式求出点M的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ，，， ，； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ∵，，， ， 解得， 由题意得， ∴， ； （3）解：如图所示， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵轴于点B，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（2）可知， ∴， 解得； ∵， ∴， ∴或， ∵点M的横、纵坐标相等， ∴点M的坐标为或． 【变式16-2】（25-26七年级下·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，当点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动（点P不与点A重合），同时点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)和的位置关系是 ； (2)如图，当点在线段上运动，点在线段上运动时，连接，，使的面积是面积的3倍，求出点的坐标； (3)在点，的运动过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)P点的坐标为 (3)当P在线段上，Q在线段上时，；当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时，，理由如下： ①当P在线段上，Q在线段上时，如图，过Q点作的平行线， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时，如图，过Q点作的平行线， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据点B与点C的纵坐标相同即可判断； （2）设当P运动t秒时，得出求解即可； （3）分①当P在线段上，Q在线段上时和②当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴点B与点C的纵坐标相同， ∴； （2）解：设当P运动t秒时， 由题可得， ， ∴ ， 解得， ∴， ∴P点的坐标为； （3）解：略 【变式16-3】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为或 (3)的值不会变化，，理由见解析 【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【详解】（1）解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． （2）解：存在， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得，则； 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得，则； 综上，点的坐标为或； （3）解：的值不会变化，，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， ∴的值不会变化，． 【题型17 坐标与图形变化】 【例17】（25-26七年级下·广东湛江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，是轴上一动点． (1)点的坐标是_______，点的坐标是_______；与的位置关系是_______． (2)当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标； (3)若，，，判断，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)；；平行 (2)P点坐标为或 (3)当点在线段上时，；当点在线段延长线上时，；当点在线段反向延长线上时，； 证明：当点在线段上时，； 如图，过点作， 则； ，， ， ； ， ； 当点在线段延长线上时，； 如图，过点作， 则； ，， ， ； ， ； 当点在线段反向延长线上时，； 如图，过点作， 则； ，， ， ； ， ． 【分析】（1）由点，可得，，，即可得出点的坐标，由平移的性质可以得出点的坐标和与的位置关系； （2）由可得，是等高三角形，由的面积是的面积的3倍，得到，设，列方程求解即可； （3）分三种情况：当点在线段上时；当点在的延长线上时；当点在的延长线上时，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由平移的性质可得：，， ∴， ∵点可以看成点向右平移4个单位长度得到的，点可以看成点向右平移4个单位长度得到的， ∴可以看成向右平移4个单位长度， ∴． （2）解：设， 若与以轴上的边为底，则这两个三角形等高， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， ，即或， 解得或， ∴点坐标为或． （3）略 【变式17-1】（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，原点恰为线段的中点，将点向右移动4个单位长度得到点，点沿轴翻折后得到点． (1)求a，b的值； (2)在图中标出点A，D，B，C的位置，顺次连接点A，D，B，C形成一个封闭图形，并直接写出所得图形的面积． 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）根据中点坐标公式，得，解方程组即可； （2）根据平移，轴对称先确定各点的坐标，再利用梯形的面积求解即可． 【详解】（1）解：根据中点坐标公式，得， 整理，得， 解得； （2）解：根据，， 故，， 又点向右移动4个单位长度得到点， 故， 又点沿轴翻折后得到点， 故，描点如下： 故，且，平行线间的距离为， 故图形的面积为． 【变式17-2】（25-26七年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为 (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为_____ (2)已知，，为线段的中点，则点坐标为_____ (3)已知三点，，，第四个点与点、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个点构成线段的中点重合，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意，即可得到中点的坐标： （2）设点的坐标，根据中点坐标的定义建立方程求解； （3）利用（2）中的方法进行分类讨论即可答题． 【详解】（1）解： ，， 线段的中点的坐标是，即； （2）解：设点的坐标，由题意得，， 解得，， 点的坐标为； （3）解：分类讨论： ①与中点重合时，则，， ，， 此时； ②与中点重合时，则， ，， 此时； ③与中点重合时，则， ，， 此时， 点的坐标为或或． 【变式17-3】（25-26七年级下·湖北·阶段检测）平面直角坐标系中，，且． (1)求点、坐标； (2)若是直线上一点，且，求点坐标； (3)如图，当时有．若射线以每秒9度的速度顺时针绕点旋转，射线以每秒6度的速度逆时针绕点旋转，两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动，求多少秒时，与互相垂直． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或秒时，与互相垂直 【分析】本题考查算术平方根的非负性，直角坐标系与面积综合，角度旋转综合； （1）根据算术平方根的非负性得到推出，即可得到，，，即可求出坐标； （2）由，得到，根据可以得到为底的高的关系，据此求解即可； （3）设旋转时间为秒，先根据两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动，得到，再根据与的位置分情况讨论，分别画出图形，最后根据与垂直列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， 若是直线上一点，且，， 如图，分两种情况： 当点D在第三象限，过作轴于点E，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在第一象限，过作轴于点F，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点坐标为或； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设旋转时间为秒，射线以每秒9度的速度顺时针绕点旋转得到射线，射线以每秒6度的速度逆时针绕点旋转得到，直线和交于点， ∵两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动， ∴， 解得， 当第一次与轴重合时，解得； 当第二次与轴重合时，解得； 当与线段共线时，解得； 当与轴重合时，解得； 当时，如图，此时与不可能垂直，即与不可能垂直； 当时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 当时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 当时，如图，此时与不可能垂直，即与不可能垂直； 当时，如图， 此时，，， ∴， 解得； 综上所述，或或秒时，与互相垂直． 【题型18 一次函数图像性质综合】 【例18】（26-27八年级上·安徽·阶段检测）已知关于的一次函数（为常数）． (1)若函数图象平行于直线，求该函数图象与轴的交点坐标； (2)若函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围； (3)不论为何值，该函数的图象都经过一个固定的点，则点的坐标是_________． 【答案】(1)该函数图象与轴的交点坐标为； (2)； (3)点的坐标为 【分析】根据函数图象平行于直线得，求出，求出函数表达式，然后求出轴的交点坐标即可． （2）根据函数图象经过第二、三、四象限，确定，解不等式组即可． （3）将函数表达式化简成，根据不论为何值，该函数的图象都经过定点进行计算即可． 【详解】（1）解：∵函数图象平行于直线， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴该函数图象与轴的交点坐标为． （2）解：∵函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得， ∴的取值范围是． （3）解：， ， ， ∵不论为何值，该函数的图象都经过定点， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标是． 【变式18-1】（25-26八年级下·云南德宏·期末）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设这个一次函数的解析式为，将，两点代入求解即可； （2）分别求出当时和当时的y值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过，两点． ∴ 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：由（1）可知 ∵ ∴当时，； 当时，， ∵ ∴随的增大而减小 ∴当时，函数值的取值范围为． 【变式18-2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，则的值是____________． (2)当时，若函数有最大值8，求的函数表达式； (3)对于一次函数，其中，若对一切实数，都成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1)0 (2)或 (3)且 【分析】（1）把代入解析式列方程求解即可； （2）根据或分情况讨论，再结合一次函数的性质求最大值，最后根据函数有最大值8列方程求解即可； （3）对一切实数，都成立，说明两条直线平行，且一直在下方，即且，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ， 解得； 故答案为：． （2）解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，若，有最大值， 把代入得， 解得， 此时一次函数解析式为； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，若时，有最大值， 把代入得， 解得， 此时一次函数解析式为 综上，的函数表达式为或． （3）解：， ∵对一切实数，都成立， ∴两条直线平行，且一直在下方， 且， ， 解得且． 【变式18-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)为轴上位于点右侧的一点，当时，求点的坐标； (3)若是射线上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对一次函数求坐标轴交点，得到、坐标，依据线段中点性质求出点坐标，使用待定系数法求解直线解析式即可； （2）由内错角相等判定，两平行线斜率一致，借助直线平移规律写出的函数解析式，令纵坐标，解出的值，得到轴上点的坐标； （3）依托中点性质，先算出、的面积，结合直线解析式，设出动点坐标，由面积倍数关系判断点位置，拆分三角形面积列方程，求解横坐标，得到点坐标． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，即，解得， ，， 是的中点， ， 设直线的函数解析式为， 把，代入，得， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：当点在点右侧时，如图： ， ，   将直线沿着轴向上平移个单位长度，得到直线：， 当时，即，解得， ； （3）解：为中点， 是的中线， ， 是射线上一点， 设， ， ， 在上方，即， ， ， ，解得，   此时点的坐标为． 【题型19 两直线交点与面积存在性综合】 【例19】（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求该一次函数和正比例函数的表达式； (2)有一动点在线段和射线上运动．问是否存在点，使的面积是的面积的?若存在，求此时点的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为；正比例函数的表达式为 (2)存在，的坐标为或或 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得的面积为，根据题意可得的面积为，进而分类讨论，①当在线段上时，设，②当在射线上时，设，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， 一次函数的表达式为； 把代入得：， 解得， 正比例函数的表达式为. （2）存在点，使的面积是的面积的，理由如下： 中，令，得， . 又，， 的面积为：. 的面积是的面积的， 的面积为：. ①当在线段上时，设，则， ， . ②当在射线上时，设，则， 或， 或， 综上，的坐标为或或. 【变式19-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)直线的解析式是： (2) (3)存在，的坐标是：或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，待定系数法求解析式，三角形的面积； （1）根据点，的坐标，利用待定系数法即可得； （2）令，求出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分①点在线段上，②点在射线上两种情况，分别根据三角形的面积关系建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式是，代入， 根据题意得： 解得： 则直线的解析式是：； （2）在中，令，解得：， ∴，则， ； （3）设的解析式是，则， 解得：， 则直线的解析式是：， ∵当的面积是的面积的时， ∴当的横坐标是， 在中，当时，，则的坐标是； 在中，，则，则的坐标是． 则的坐标是：或， 当的横坐标是：，则在上， 当时，，则的坐标是； 综上所述：的坐标是：或或． 【变式19-2】（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数的图象与交于点 (1)的值为______，的解析式为______； (2)直线上是否存在一点，使得的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)存在，点或 (3)或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，可得，设，则，即得，解方程求出的值即可求解； （）由题意可得或或直线经过点，再分三种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，一次函数的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 设正比例函数的图象的解析式为，把代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 故答案为：，； （2）解：存在． 由（）可得，的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵的面积是面积的倍， ∴， 即， 解得或， ∴存在点或，使得的面积是面积的倍； （3）解：∵直线，，不能围成三角形， ∴或或直线经过点， 当时，； 当时，； 当直线经过点时，把代入，得， ∴； 综上，当直线，，不能围成三角形时，的值为或或． 【变式19-3】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）如图，点在直线上，直线上有一点； (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q坐标用含k的代数式表示）； (2)过点P作轴，过点Q作轴，垂足分别是A、B．如果的面积是面积的，请求出k的值； (3)在（2）的条件下，线段与直线相交于点G，直线上是否存在点D，使？如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，， 【分析】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，解分式方程等知识．熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形，解分式方程是解题的关键． （1）由点在直线上，可得，即；由直线上有一点，可得，可求，进而可得； （2）由题意知，，，则，，由的面积是面积的，可得，计算求出满足要求的解即可； （3）由题意知，设，当在第一象限时，如图，由，可得，可求D；当在第三象限时，如图，，由题意知，，则． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴，即； ∵直线上有一点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， 解得，， 经检验，是原分式方程的解且符合要求； （3）解：设， 当在第一象限时，如图， ∵， ∴， ∴D； 当在第三象限时，如图，， 由题意知，， ∴， 综上所述，存在，D的坐标，． 【题型20 一次函数行程相遇追及】 【例20】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在一条笔直的公路上的甲、乙两地相距，汽车和电动自行车两车同时出发，汽车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地；电动自行车从乙地驶向甲地，中途因故停车后，继续按原路原速驶向甲地．在两车行驶过程中，两车距甲地的距离（单位：）与两车出发时间（单位：）之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： (1)汽车速度为________，电动自行车速度为________； (2)求出电动自行车停车之后再次行驶时，距甲地的距离与出发时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)出发________，两车第二次相遇； (4)电动自行车行驶________，两车相距． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据图象，找出对应的时间与路程求出答案即可； （2）由题意得，结合电动自行车的速度就可以得出，设直线的解析式为，然后代入得到关于，的二元一次方程组，求解即可； （3）由待定系数法求出直线的解析式，建立方程组即可得出结论； （4）由待定系数法求出直线的解析式，根据两车相距分别列方程解答即可． 【详解】（1）解：∵汽车从甲地驶向乙地，到达乙地之后，立即按原速度返回甲地， ∴汽车小时行驶， ∴汽车速度为， ∵电动自行车从乙地驶向甲地，中途因故停车后继续按原速驶向甲地共用小时， ∴电动自行车小时行驶， ∴电动自行车的速度为； （2）解：电动自行车从乙地驶向甲地，中途因故停车时距甲地， ∴， ∴行驶时间为， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴电动自行车停车之后再次行驶时，距甲地的距离与出发时间之间的关系式为； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴两车出发第二次相遇； （4）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得， ∴两车出发第一次相遇； 当时，依题意得：， 解得； 当时，依题意得：， 解得； 当时，依题意得：， 解得； 对于直线，当时，， 当时，依题意得：， 解得（不合题意，故舍去）； 综上所述，两车出发时间为或或，两车相距． 【变式20-1】（25-26七年级下·四川成都·期末）已知成都与若尔盖相距约千米．小张乘车从成都出发，先以行驶小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息小时后按原速原路返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离随行驶时间变化的图象，请回答下列问题： (1)改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米时；小李的速度为________千米时； (2)小张出发后多久，第一次与小李相遇？ (3)已知小张和小李的汽车均装载智能通讯设备，设备最大通讯距离为千米．试求小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】先求出小时行驶路程为，再通过“速度路程时间”即可求解； 根据题意得当时，小张第一次与小李相遇，分别求出解析式，然后列方程、解方程即可； 分当，时，当时，当时，当时，当时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵小张乘车从成都出发，先以行驶小时， ∴小时行驶路程为， ∴改变速度后，小张所乘汽车的速度为（千米时）； 小李的速度为（千米时）； （2）解：如图，当时，小张第一次与小李相遇， 设解析式为，把，代入得，， 解得， ∴解析式为， 设解析式为，把，代入得，， 解得， ∴解析式为， ∴小张第一次与小李相遇时， 解得， 答：小张出发小时后，第一次与小李相遇； （3）解：如图， 当时，设小李行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， 解得， ∴当时，小李行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， 当时，设小张行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴，解得， ∴小张行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， ∵设备最大通讯距离为千米， ∴， ∴当，时， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∴通讯时间为（小时）； 当时， ， ， 或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∴通讯时间为（小时）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∵， ∴舍去， ∴通讯时间为（小时）； ∴通讯总时间为（小时）； 答：小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间为小时． 【变式20-2】（25-26八年级下·广东中山·期末）综合与应用 某生态保护区内，A点为保护区入口，B点为区内一处观测站，A，B两点直线距离为50公里．甲是一名护林员，于某日下午1点驾驶低速电动巡逻车从A点出发前往B点，沿区内主路行驶，该主路为A点和B点间一条直线道路．乙是另一名护林员，同日下午2点驾驶高性能越野摩托车从A点出发，沿相同路线前往B点．如图，图中的折线和线段分别表示甲、乙离A点的距离s（单位：千米）与该日下午时间t（单位：时）之间的关系．请根据图象回答下列问题： (1)求图中线段所在直线的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)求甲出发几小时后两人在途中相遇； (3)两人均佩戴应急通讯设备，最大通讯距离为10千米．乙到达B点后停留半小时（处理观测站事务），然后立即按原路以原速度返回A点．求乙从A点出发到最终回到A点的整个过程中，两人能够保持通讯的总时长． 【答案】(1) (2)小时 (3)小时 【分析】（1）待定系数法求解析式，结合函数图象和题意求得的范围； （2）求得直线的解析式，联立直线的解析式求得的值，结合题意，即可求解． （3）求得乙返回时的函数解析式，根据两人距离为，分别列出方程，解方程，得出的值，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：根据图可知， 设直线的解析式为，将代入得 解得． 直线的解析式为． （2）根据图可知， 设直线的解析式为， 将代入得解得 直线的解析式为． 由两人在途中相遇可得 ，解得， 答：甲出发小时后两人在途中相遇． （3）根据题意，补充乙的函数图象如图： 其中 设直线的解析式为，将代入得 解得 直线的解析式为． 当时，即，解得． 当时，即，解得． ． 两人能够保持通讯的总时长为小时． 【变式20-3】（2026·江苏淮安·一模）一条公路上依次有三地，一辆私家车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆客车从地出发，送人到达地后立即原路原速返回地（上下车时间忽略不计）．两车均按各自速度匀速行驶，客车提前半小时出发，却比私家车迟6分钟到达终点，如图是私家车距地的距离（单位：）与私家车的行驶时间（单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中的值是______，客车行驶______小时到达地； (2)在客车从地返回地的过程中，求客车距地的距离与之间的函数表达式； (3)直接写出客车整个行驶过程中与私家车相距时客车行驶的时间． 【答案】(1)； (2) (3)客车行驶的时间为和 【分析】（1）由图可得私家车速度为，进而可得私家车从地到地行驶用的时间为，即，结合题意即可得客车行驶到达地的时间为． （2）由上可得客车从地到地用的时间为，结合题意可得客车刚到地时：，；客车返回地时： ，再利用待定系数法即可求得与之间的函数表达式． （3）利用待定系数法分别求出四段路程的解析式，及的取值范围，根据客车整个行驶过程中与私家车相距，求解即可． 【详解】（1）解：由图可得两地之间的距离为，两地之间的距离为， ∵私家车从开始行驶，到地， ∴私家车速度为， ∴私家车从地到地行驶用的时间为， ∴， ∵私家车到地，客车提前半小时出发，客车比私家车迟6分钟到达终点， ∴客车行驶到达地的时间为； （2）解：由上可得客车从地到地，再从地返回地行驶的路程为，时间为小时， ∴客车的速度为，客车从地到地用的时间为， ∵客车提前半小时出发， ∴客车刚到地时：，；客车返回地时：，， 设与之间的函数表达式为，的取值范围是， 将，代入上式，则， 解得：， ∴与之间的函数表达式为． （3）解：由上可得客车提前半小时从地出发时：，；行驶到达地时：，， 故可设客车从地出发到达地的与之间的函数表达式为， 将，代入上式，则， 解得：， ∴客车从地出发到达地的与之间的函数表达式为 ． 由上可得私家车从地出发时：，；行驶到达地时：，， 故可设私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为， 将，代入上式，则， 解得：， ∴私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为 ． 当的取值范围是，相向运动，客车与私家车相距时，则 ， 即 ， 解得：（不合题意，舍去）； 当的取值范围是，客车与私家车相距时， ， 即 ， 解得：，（不符合题意，故舍去）； 由上可得私家车行驶从地开始出发时：，；到地出发时：，； 故可设私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为， 将， 代入上式，则， 解得：， ∴私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为 ． ∵客车从地返回地的过程中，与之间的函数表达式为 ． 故当的取值范围是，客车与私家车相距时，， 即 ， 解得：，（均不符合题意，都舍去）； 故当的取值范围是，客车与私家车相距时，， 即 ， 解得：，（不符合题意，故舍去）； 综上可得，客车整个行驶过程中与私家车相距时，的值为和，则客车行驶的时间为和． 【题型21 一次函数多方案比较最优选择】 【例21】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）某风景区有A、B、C三种型号的观光车供游客租赁，其收费标准如下表： 车型 A型 B型 C型 价格（元辆） 20 40 60 某单位组织员工到该景区游玩，共租赁辆观光车，其中B型观光车数量是A型的2倍． (1)①若A型观光车租用4辆时，共需花费元，则该单位一共租了_________辆观光车． ②若租车总辆数与①中的相同，请你设计一个租金总额最少的方案，并求出租金总额． (2)为了让更多员工享受福利，该单位负责人打算用元租赁这三种观光车，则最多能租多少辆？ 【答案】(1)①20；②租用A型车6辆，则租用B型车12辆，租用C型车2辆；720元 (2)60辆 【分析】（1）①根据车辆数和价格列出方程并解方程即可；②设租用A型车x辆，则租用B型车辆，租用C型车辆，设总费用为y元．根据租金总额列出一次函数解析式，根据一次函数的性质进行解答即可； （2）根据题意列出二元一次方程，求出符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：①若A型观光车租用4辆，则B型观光车租用辆，C型观光车租用辆， 由题意可得， 解得， 即该单位一共租了辆观光车． ②解：设租用A型车x辆，则租用B型车辆，租用C型车辆，设总费用为y元． 可得 ， 随x的增大而减小 当时，； 此时租用A型车6辆，则租用B型车12辆，租用C型车2辆； （2）由题意得， ， ，即， ， 又为4的倍数． 最大为． 【变式21-1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本1700元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本1500元． (1)求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ (2)据市场调研，1株甲种樱花售价为160元，1株乙种樱花售价为840元．该花农决定在成本不超过29000元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于5000元，花农有哪几种具体的培育方案？ (3)在（2）的条件下，求出选择何种方案成本最少？最少成本为多少元？ 【答案】(1)甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元 (2)共有三种培育方案，分别是：培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株 (3)选择培育甲种樱花株，乙种樱花株时成本最少，最少成本为元 【分析】（1）设甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元，根据题意列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株，根据题意列出关于的一元一次不等式组，求解即可； （3）设成本为，得出关于的一次函数，结合一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元， 由题意得， 解得， ∴甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元； （2）解：设培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株， 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴的取值为，，， ∴共有三种培育方案，分别是：培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株； （3）解：在（2）的前提下，设成本为， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最小为， 故选择培育甲种樱花株，乙种樱花株时成本最少，最少成本为元． 【变式21-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如下表： 购买批次 甲型号（台） 乙型号（台） 总费用（万元） 第一次 4 2 42 第二次 3 5 49 已知甲型号服务器每台每月可产生数据处理收益10万元，乙型号每台每月可产生收益6万元． (1)求甲、乙两种型号的服务器每台采购价格各为多少万元？ (2)为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过152万元，购买两种服务器共20台（两种型号均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于180万元．请为该公司设计合理的采购方案（写出所有可能的方案）． (3)如果公司决定投入130万元，恰好全部用于购买甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现最大收益的购买方案及最大收益金额． 【答案】(1)甲型号服务器每台采购价格为8万元，乙型号服务器每台采购价格为5万元． (2)共有三种采购方案：方案一：购进甲15台，乙5台；方案二：购进甲16台，乙4台；方案三：购进甲17台，乙3台． (3)最大收益的购买方案为购进甲15台，乙2台，最大收益为162万元． 【分析】（1）设甲型号服务器每台采购价格为x万元，乙型号服务器每台采购价格为y万元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设购买甲型号服务器a台，则购买乙型号服务器台，根据题意列出一元一次不等式组求解； （3）设购买甲型号服务器m台，乙型号n台，m，n为正整数，根据题意得，，表示出，求出，设总收益为w，表示出w，然后根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设甲型号服务器每台采购价格为x万元，乙型号服务器每台采购价格为y万元， 根据题意得， 解得 答：甲型号服务器每台采购价格为8万元，乙型号服务器每台采购价格为5万元； （2）解：设购买甲型号服务器a台，则购买乙型号服务器台， 根据题意得， 解得 ∵a为正整数， ∴，16，17 ∴共有三种采购方案：方案一：购进甲15台，乙5台；方案二：购进甲16台，乙4台；方案三：购进甲17台，乙3台； （3）解：设购买甲型号服务器m台，乙型号n台，m，n为正整数， 根据题意得，， ∴ 解得， 设总收益为w， 根据题意得， ∵ ∴w随m的增大而增大， ∵m，为正整数， ∴当时，w取得最大值，最大值为 ∴， 答：最大收益的购买方案为购进甲15台，乙2台，最大收益为162万元． 【变式21-3】（2025·浙江温州·二模）“一村一品，绽放致富梦”，泰顺县恩代洋村因猕猴桃被入选全国“一村一品”示范村镇．为更新果树品种，恩代洋村某果农计划购进、、三种果树苗木栽植培育．已知种果苗每捆比种果苗每捆多10元，种果苗每捆30元，购买50捆种果苗所花钱比购买60捆种果苗的钱多100元．（每种果苗按整捆购买，且每捆果苗数相同） （1）、种果苗每捆分别需要多少钱； （2）现批发商推出限时赠送优惠活动：购买一捆种果苗赠送一捆种果苗．（最多赠送10捆种果苗） ①若购买种果苗7捆、种果苗5捆和种果苗10捆，共需多少钱； ②若需购买种果苗10捆，预算资金为600元，在不超额的前提下，最多可以买多少捆果苗．求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购买费用最少．（每种至少各1捆） 【答案】（1）50元；40元；（2）①640元；②见解析 【分析】（1）根据题意设中果苗每捆元，则中果苗每捆元，列出方程，解方程即可得到答案； （2）①由题意，列出等式，然后进行计算，即可得到答案； ②根据题意，可分为和两种情况进行分析，分别求出满足条件的方案，然后计算费用即可． 【详解】解：（1）设中果苗每捆元，则中果苗每捆元 解得： 种果苗每捆：元 答：种果苗每捆50元，种果苗每捆40元． （2）①∵7捆种果苗可免费赠送7捆种果苗， ∴所需总费用为：（元） ②可设购买种果苗捆，种果苗捆 当时， （I）当时，， ∴ ∴，此时，费用为580元 （II）当时，， ∴ ∴，此时，费用为590元 （III）当时，， ∴，不合题意，舍去 当时， （I）当时，， ∴ ∴，此时，费用为600元 （II）当时，， ∴ ∴，此时，不合题意，舍去 （III）当时，，不合题意，舍去. 综上所述，最多可购买种果苗和种果苗共12捆，有三种方案：可买种果苗9捆，种果苗3捆；种果苗10捆，种果苗2捆；种果苗11捆，种果苗1捆；其中当种果苗10捆，种果苗2捆时，所花费用最少，为580元. 【点睛】此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏． 【题型22 一次函数分段计费实际应用】 【例22】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)， (2)当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱；当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱；当时，选套餐最省钱 (3) 【分析】（1）根据B种年卡套餐的收费方式列函数关系式即可； （2）利用A、B、C种年卡套餐的收费方式得出解析式，再分类讨论即可． （3）当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个，可得两个函数图象有两个交点，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ． （2）解：当时， A种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式为： 当时，， ， ∵B种年卡套餐的费用为， C种年卡套餐的费用为， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当，解得：， ∴当时，此时A种年卡套餐的费用最低， 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当，解得：， ∴当时，选套餐最省钱； 当时，选套餐和套餐费用相同，一样省钱； 当时，选套餐最省钱． （3）解：∵A种年卡套餐的费用（单位：元）为： 当时，， ， B种年卡套餐的费用为， 当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同， 的值存在两个， ∴两个函数图象有两个交点， ∴当函数的图象与函数中的图象平行时只有一个交点， 此时， 当函数的图象过时，两函数图象只有一个交点， 此时， 解得：， ∴游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，的值存在两个，的取值范围为：． 【变式22-1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 【答案】(1) (2)小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． (3)元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系是解题的关键． （1）当时成一次函数关系，实付金额等于200度内的用电付出金额与超出200度的用电付出金额的和，据此列出y与x的函数关系式即可； （2）先计算出用电量200度和400度支付金额，即可确定用电量处于那一档；然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可解答． （3）根据题意列式，然后运用有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：当时，则， 答：当时，y与x之间的函数关系式为． （2）解：∵200度电费为：，400度电费为：， ， ∴小强家该月的用电量处于第二档， 令，则，解得：． 答：小强家该月的用电量处于第二档，该月的实际用电量为250度． （3）解：∵， ∴小强家本月用电量属于第三档， ∴ 元． 答：小强家这一个月实付金额元． 【变式22-2】（25-26八年级上·江西九江·期中）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地电费采取如下表所示的计费方式．已知嘉淇家7月份用电量为280千瓦时，缴纳电费164元． 第一档 月用电量180千瓦时以下（含180千瓦时），每千瓦时价格0.55元 第二档 月用电量180千瓦时至300千瓦时的部分（含300千瓦时），每千瓦时比第一档提价元 第三档 月用电量300千瓦时以上的部分，每千瓦时比第一档提价0.3元 (1)求的值． (2)设某户每月用电量为千瓦时，应缴纳电费元，求与的函数关系式． (3)某户8月份的电费为194元，求该户8月份的用电量． 【答案】(1)0.1 (2)与的函数关系式为 (3)该户8月份的用电量为320千瓦时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和一次函数的应用，解决此题的关键是读懂题意列出相关的式子； （1）先判断所在的电费档位，根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可； （2）根据题意列出函数关系式即可得到答案； （3）先判断电费所在的档位，再代入相对应的函数关系式即可求解； 【详解】（1）解：由题可列方程为：， 解得： ， 故的值为0.1； （2）解：当时，， 当时，， 当时，故与的函数关系式为 ； （3）解：当 时，代入得：（元） ∵， ∴该用户的用电量超过了300千瓦时， 把代入得：， ∴， 答：该户8月份的用电量为320千瓦时． 【变式22-3】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）某加工为赶制一批零件，通过提高加工费标准的方式调动工人积极性．工人每人加工零件获得的加工费y（元）与加工个数x（个）之间的函数图像为折线，如图所示． (1)求工人一天加工零件不超过20个时，每个零件的加工费； (2)求加工费y和加工个数x的函数表达式； (3)小王两天一共加工了60个零件，共得加工费220元．在这两天中，小王第一天加工的零件不足20个，求小王第一天加工零件的个数． 【答案】(1)3元 (2) (3)10个 【分析】此题考查一次函数的应用．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，函数图象和性质，分类讨论，是解题的关键． （1）当时，由图象可知加工20个零件，加工费是60元，由此得出每个零件的加工费； （2）用待定系数法求当时，；当时，；当时，； （3）设小王第一天加工零件a个，则第二天加工零件个，由可知，其中加工费为3元的20个，加工费4元的20个，加工费5元的个，根据每一段中，加工一个零件的费用，列方程求解. 【详解】（1）解：（1）由图象可知， 当时， 每个零件的加工费为元． 即工人一天加工零件不超过20个时，每个零件的加工费为3元． （2）解：当时， 由（1）知，． 当时， 设， 将，代入， 得． 解得． ∴． 当时， 设y与x的函数关系式为（）， 将代入， 得． 解得． ∴y与x的函数关系式为． ∴． （3）解：设小王第一天加工零件a个， 则第二天加工零件个， 依题意，得， 解得， 答：小王第一天加工零件的个数为10个. 【题型23 一次函数与方程、不等式综合】 【例23】（25-26八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点，直线，直线与交于点P． (1)求k的值； (2)已知当时，的最大值是其最小值的4倍，求t的值？ (3)若直线（m，n常数，）经过点P．试探究：是否存在一组常数m，n，使得无论t取何值，直线都经过x轴上的某一个定点？若存在，请求出m，n的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，该定点坐标为 【分析】（1）将点代入解析式即可求解； （2）将代入解析式得到，根据函数的增减性即可得到最大值和最小值，根据条件列方程求解； （3）根据条件得到点的坐标，代入得到的关系，令得到关于的恒等式即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线， 整理得：， 则， 解得： （2）解：将代入直线，， 得直线， 直线， 则 ∵， ∴随着的增大而减小， 当时， 当时，取得最大值：， 当时，取得最小值：， 根据题意得：， 解得： （3）解：联立和的解析式得：， 解得， 则点， 根据题意直线， 将点代入可得： ∴ ∴， ∴， ∵直线都经过x轴上的某一个定点， 将代入得 则， 对任意成立，因此， 将代入得， 解得：， 则， 将代入， 解得， 满足， 则存在常数，，定点为． 【变式23-1】（25-26八年级下·北京房山·期中）小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 【答案】(1) (2) 如图所示： (3)或 【分析】本题考查绝对值函数的列表、图像绘制，以及利用函数图像解方程，解题关键是掌握绝对值的计算方法、函数图像的画法，以及利用函数交点求解方程的思想． （1）利用函数表达式，将代入计算对应的值，得到； （2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象； （3）解绝对值方程，需分和两种情况讨论，分别求解后检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解． 【详解】（1）解：已知函数为，当时，将代入函数表达式： ，因此； 故答案为：； （2）略； （3）解绝对值方程需分情况讨论： 情况一：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：，   检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 情况二：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：， 检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 综上，方程的解为或． 故答案为：或． 【变式23-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与一次函数交于点． (1)观察图象，直接写出的解集为______； (2)若的值为，求不等式的解集； (3)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数与轴、轴分别交于点，，即可得到不等式的解集； （2）当时，可得不等式：，解不等式即可求出解集； （3）利用待定系数法求出一次函数的解析式为，根据不等式的解集是，即可求出点的横坐标为，把代入解析式即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴、轴分别交于点，， 不等式的解集为； （2）解：当时， 可得不等式：， 解得：； （3）解：由函数图象可知：在点的右侧， 不等式的解集是， 点的横坐标是， 一次函数与轴、轴分别交于点，， ∴， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时， 可得：， 点的坐标是． 【变式23-3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 (1)直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 (2)图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； (3)已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 【答案】(1)上方，下方 (2) (3)①；② 【分析】（1）理解题意并结合图象即可解答； （2）根据图象即可得阴影部分在直线的上方，直线的下方，即可得对应的不等式组； （3）①在平面直角坐标系中，画出和的图象，再求出两直线的交点，结合图象，根据三角形的面积公式即可求解； ②由图可知，当过点时，b取最小值；当过点时，b取最大值；分别求出对应的b值，即可得b的取值范围． 【详解】（1）解：不等式可以表示为直线及其上方的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其下方的所有点组成的平面区域； 故答案为：上方，下方； （2）解：由图象可知，阴影部分在直线的上方，直线的下方， ∴图2阴影部分（含边界）是（填写不等式组）表示的平面区域； （3）解：①不等式组， 在平面直角坐标系中，画出和的图象，如图， 由图得，即为不等式组的解集所在的区域G， 区域G的面积， 解，得， ∴， ∴区域G的面积； ②由图可知，当过点时，b取最小值，； 当过点时，b取最大值， 将代入得，， 解得． ∴与区域G有交点时b的取值范围为． 【题型24 一次函数新定义点坐标探究】 【例24】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程组：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为　 　 ． (2)一次函数的“亮点”为，求，的值． (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“亮点”，点在轴上，使，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由“亮点”直接求解即可； （2）由“亮点”定义得到是方程组的解，从而得到关于，的方程组求解即可； （3）由题意先求出直线的表达式，作出图形，再由及三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：联立方程组：，解得， 则的“亮点”为； （2）解：一次函数的“亮点”为， 是方程组的解， 则，解得； （3）解：当时，；当时，； 直线与轴交点，与轴交点， 直线上没有“亮点”， 一次函数与正比例函数没有交点， 即一次函数图象与正比例函数图象平行， ，即直线的表达式为， 直线与轴交点，与轴交点， 设，如图所示： ，， ， ，即， 则或， 解得或， 满足条件的点的坐标为或． 【变式24-1】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的“友好点”Q的坐标定义如下：当时，Q点坐标为；当时，Q点坐标为． (1)点的“友好点”坐标是________， 点的“友好点”坐标是________． (2)已知点P在直线上，且点P的“友好点”为点Q．当时，设点P的横坐标为n，当时，求点Q纵坐标的最大值与最小值． 【答案】(1)， (2)点Q纵坐标的最大值为1，最小值为． 【分析】本题主要考查了新定义运算，一次函数的图象和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据友好点的坐标定义进行求解即可； （2）根据点P的横坐标为n，求出点P的坐标为：，分两种情况：当时，当时，分别求出点Q纵坐标的取值范围，然后找出最大值和最小值即可． 【详解】（1）解∶点的“友好点”坐标是， 点的“友好点”坐标是． 故答案为：，； （2）解：当时，一次函数解析式为， ∵点P的横坐标为：n， ∴点P的坐标为：， ∵点P的“友好点”为点Q， ∴当时，点Q的坐标为， 此时点Q纵坐标的取值范围是； 当时，点Q的坐标为， 此时点Q纵坐标的取值范围是； 综上分析可知：点Q纵坐标的最大值为1，最小值为． 【变式24-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）我们定义：把一次函数（）与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）的“亮点”，例如求一次函数的“亮点”，联立，得方程组，解得，则一次函数的“亮点”为． (1)求一次函数的“亮点”； (2)若一次函数（）的“亮点”为，求k，b的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查一次函数与正比例函数交点问题，准确计算是解题的关键． （1）通过联立一次函数和，解方程组求交点； （2）利用 “亮点”在上和在一次函数上建立方程求解； 【详解】（1）联立方程组， ， 解得：， ， 亮点为； （2）亮点在上， ， 亮点在上， ， 由得：， ， 将代入中得：， ， ，． 【变式24-3】（25-26八年级上·河南郑州·开学考试）定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①分别令，求出的值，得到的坐标，求出时的值，求出点坐标；②根据，得到，进而得到，进行求解即可； （2）求出点坐标，进而求出点恰好在直线上时的的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，；当时，， 当时，； ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，当时，， ∴或或； （2）∵， ∴当时，把代入，得：， ∴点， 当直线过点时，直线与关于m的对称函数有两个交点， 将点C的坐标代入得：，解得； ∴当时，直线与关于m的对称函数有两个交点． 【题型25 一次函数图像平移与性质综合】 【例25】（25-26八年级下·江西南昌·期末）一次函数的图象，如图所示． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象完全相同，求、之间的等式关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，将和分别代入，得到方程组，再解方程组即可； （2）根据平移规律，得到关于、的等式，化简即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，直线经过点和点， 将和分别代入， 得， 解得，， 这个一次函数的解析式为． （2）解：根据题意可得，， 化简得，． ∴、之间的等式关系为． 【变式25-1】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B．直线经过点，且与直线交于点． (1)求直线解析式； (2)求的面积； (3)小明发现：将直线上任一点向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度得到点，当时，一定落在直线上，请你说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)理由：∵在直线上， ∴满足， 点向右平移个单位、向上平移个单位后，得到， ∵， ∴， 将的横坐标代入的解析式，得：， 而的纵坐标为：， ∴的纵坐标满足直线的解析式， 故一定落在直线上． 【分析】（1）将代入求出，再根据待定系数法求解； （2）先求出，，再根据求解即可． （3）根据在直线上，得出，根据平移得到，根据，得到，将的横坐标代入的解析式，得，而的纵坐标为，即可得一定落在直线上． 【详解】（1）解：∵点在直线上， 将代入得：，解得，即， 设直线的解析式为， ∵过和， 代入得：，解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：直线与轴交于点， 令，代入得，即， 直线与轴交于点，令，代入得，即， ∴， ∴． （3）略 【变式25-2】（25-26八年级下·广西南宁·期末）【研究对象】函数中的镜像关系 定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“镜像关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“镜像值”，线段的长称为函数和的“镜像距”． 【定义感知】 (1)已知函数和具有“镜像关系”，函数的图象上有点，点关于轴对称的点在函数的图象上，可以列方程组：，解得．即点为，为，函数和的“镜像值”为1，函数和的“镜像距”为______； 【定义应用】 (2)若函数与具有“镜像关系”，求函数和的“镜像值”； 【定义迁移】 (3)将函数的图象向下平移个单位长度得到函数的图象．若函数与的“镜像值”为，求与m满足的关系式； 【综合探究】 (4)在（3）的条件下，若函数与的“镜像距”小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据“镜像距”的定义，求出的长即可； （2）设点在上，可得点关于轴的对称点的坐标为，把、代入可得，解方程组求出，即可得出答案； （3）根据一次函数的“平移规律”求出，根据“镜像值”的定义，设在图象上，则在图象上，可得，化简即可得出； （4）利用（3）中结论可得，，根据函数与的“镜像距”小于列不等式，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵点为，为， ∴， ∴函数和的“镜像距”为． （2）解：设点在图象上，则点关于轴的对称点的坐标为， ∵函数与具有“镜像关系”， ∴点在图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴函数和的“镜像值”为． （3）解：∵将函数的图象向下平移个单位长度得到函数的图象， ∴， ∵函数与的“镜像值”为， ∴设在图象上， ∴在图象上， ∴， ∴， ∴与m满足的关系式为． （4）解：由（3）可知， ∴，， ∵函数与的“镜像距”小于， ∴， 解得：． 【变式25-3】（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过，两点，直线：（且）与x轴、y轴分别交于C、D两点，点在直线上．    (1)求直线的表达式； (2)若点B，O关于点D对称，求此时n的值； (3)淇淇说：“直线与的交点始终是．”你同意她的说法吗？说明理由； (4)在（2）的条件下，设直线与的交点为点E．若将沿x轴方向向右平移m（）个单位长度，使内部（不含边界）有且只有点B，D两个顶点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)同意淇淇的说法，见解析 (4) 【分析】（1）利用待定系数法求表达式即可； （2）利用对称得到，再代入得到，进而可知得解析式，直接代入求即可； （3）根据题意，联立求交点即可判断； （4）先得到直线的解析式，然后根据平移求出临界值，结合题意判断的取值范围即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线经过，两点， 解得， 直线的表达式为； （2）解：点，关于点对称， 点为线段的中点，即， 将代入，得：，解得， 直线的解析式为， 将代入得：； （3）解：同意淇淇的说法，理由如下： 联立与的解析式： ，消去得：， 整理得：， ， ， ， 将代入，得， 直线与的交点始终是； （4）解：由（2）知直线的解析式为， 则， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 当向右平移个单位后在直线上时， ，解得， 当向右平移个单位后在直线上时， ，解得， 当向右平移个单位后在直线上时， ，解得， 又内部（不含边界）有且只有点B，D两个顶点， ． 【题型26 三角形内角、外角角度探究题】 【例26】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 【问题情境】 在七年级几何学习中，平行线的判定与性质是核心内容．现有直线，点在直线上，点在直线上，点是直线外一点，连接．请结合图形完成下列探究． 【初步探究】 (1)如图1，若点在直线的下方且在直线的上方，且满足，请判断直线与的位置关系，并写出完整的证明过程． 【深入思考】 (2)如图2，在（1）的条件下，平分交的延长线于点平分，交的反向延长线于点．当时，请求出的度数． 【拓展延伸】 (3)在（1）的条件下，若点在直线的上方且不在直线上，分别连接，平分平分，两条角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)． 证明如下：过点P作， （两直线平行，内错角相等）， ，且 ， （内错角相等，两直线平行）， 又， ． (2) (3)或 【分析】（1）过点P作，则，进而可得，则，再由平行的传递性即可； （2）由可得，进而可得，然后得到，再由求解． （3）分在线段上和在的延长线上两种情况进行讨论，结合角平分线的定义及平行线的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：设交于， ， （两直线平行，同位角相等）， 又平分， ，， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 又平分， ， ； （3）解：当在线段上时， 又（2）知，， ， 又，，， ， 又，， , 即； 当在的延长线上时， 由知， 又，， ， 即 整理得； 综上，或． 【变式26-1】（25-26七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在中，点E是边AC上一点，． (1)特例分析： 如图1所示，作的平分线分别交，于D，F两点．若，，则，； (2)类比猜想： 奋斗小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与的大小是相等的，请说明理由； (3)拓展探究： 如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点D，延长，交于点F，探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说明理由． 【答案】(1)110；110 (2)．理由如下： 平分， ． 点在上， 是在顶点处的外角， 由三角形外角定理，．① 在中，，， ． 点在线段上，与互为邻补角， ．② 由①②及，， ． 又由①知， ． (3)解;．理由如下： 平分， ． 在中，是在顶点处的外角， 由三角形外角定理，，． 与是对顶角， ． ． 又， ． 又， ∴． 即结论仍然成立． 【分析】（1）由三角形内角和求，再由角平分线得，利用外角定理求；在中求各角后，利用邻补角关系求． （2）利用外角定理分别表示和，结合和进行等量代换． （3）利用外角定理和等量代换，结合对顶角相等，证明结论仍然成立． 【详解】（1）解：在中，，， ． 平分， ． 在中，是在顶点处的外角， 由三角形外角定理，． 在中，，， ． ． 在中，，， ． 点在线段上，与互为邻补角， ． ，． （2）略 （3）略 【变式26-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】（1）根据四边形的内角和为360度，三角形的外角的性质，进行作答即可； （2）根据折叠的性质，得到，根据（1）中结论，即可得出结果； （3）根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据（1）中结论，即可得出结果； （4）根据三角形的内角和定理，求出与的关系，再根据（1）中结论，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴. 【变式26-3】（25-26七年级下·山西太原·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们利用所学的三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知：如图1，中，，，点是线段上的一个动点，点关于直线的对称点为点．射线分别交直线于点，交射线于点，连接交射线于点． (1)特例分析：如图2，当点落在射线上时，请直接写出的度数； (2)拓展探究：如图3，若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)当是直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)．理由如下： ， ， 中，， ， ， 中，，， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ． (3)或 【分析】（1）根据轴对称及等腰三角形性质求解即可； （2）根据轴对称及等腰三角形性质证明，可得到； （3）分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：关于对称， ， 为等腰三角形，， 又， 为等腰三角形，， 当点在直线上时，三点共线， ， ． （2）略 （3）解：①若，如图， ， ， 中，， ，， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ； ②若，如图， ， ， 中，， ， ， ∵点与点关于直线对称， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， 综上，的度数为或． 【题型27 动点产生三角形角度变化探究】 【例27】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）45，75（2）或（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，垂直的性质，三角形的内角和，平角等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）当时，有则， 当时，，即可解答； （2）分类讨论： ①当时，②当时，③当时， 逐一分析，即可解答； （3）令与的交点为M， 与的交点为N，推导出，，继而推导出，即可解答． 【详解】解：（1）当时，如图，有 ∴． 当时，如图，有 ∴． 故答案为：45，75． （2）①当时，如图，有 ， ∵，， ∴， 解得， ∴． ②当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 即， 解得． ③当时，如图，有 ，， ∴，， ∴ 解得（不符合题意，舍去）． 综上所述，的值为或． （3）不变化，理由如下： 令与的交点为M， 与的交点为N，如图 ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式27-1】（山西运城市盐湖区2025-2026学年度第一学期期末初二数学练习试卷）综合与实践 在数学社团活动中，小晋将一副含角的直角三角板（） 与两行平行的横格线（直线）结合，探究角度之间的关系． (1)如图1，当三角板的直角顶点C落在线段上，且斜边与直线平行时，求的度数． (2)如图2，在（1）的条件下将三角板绕点C顺时针旋转，使两直角边分别与直线交于点D，E．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，小晋作的平分线，作的平分线．若交于点H，则是否发生变化，若不变求出度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 理由如下： ，， ； (3)不变， 【分析】（1）根据“两直线平行内错角相等”可得答案； （2）根据三角形内角和定理得出答案； （3）先根据三角形的外角的性质得和，再根据角平分线的定义得，进而得出，则此题可解． 【详解】（1）解：如图所示，， ∴， ； （2）略 （3）解：不变， ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式27-2】（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不变，． 【分析】本题主要考查三角板中角度的计算，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，理解图示，掌握角的和差计算是关键． （1）根据三角板的特点，三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由此即可求解； （2）①根据题意得到，，由此即可求解； ②设，则，，，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； ②不变：理由如下： 设， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【变式27-3】（25-26七年级下·天津南开·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 【答案】(1)不变，135° (2)不变，67.5° (3)60°或72° 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的意义求解； （2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论； （3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由两个角度数的比是3：2分四种情况进行分类讨论． 【详解】（1）∠AEB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO， ∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°， ∴∠AEB＝135°； （2）∠CED的大小不变． 如图，延长AD、BC交于点F． ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠PAB+∠MBA＝270°， ∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线， ∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°， ∴∠F＝45°， ∴∠FDC+∠FCD＝135°， ∴∠CDA+∠DCB＝225°， ∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线， ∴∠CDE+∠DCE＝112.5°， ∴∠CED＝67.5°； （3）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ， ∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF＝90°． 在△AEF中， ∵有两个角度数的比是3：2，故有： ∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）； ∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°； ∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°； ∠E：∠F=3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）． ∴∠ABO为60°或72°． 故答案为：60°或72°． 【点睛】本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键． 【题型28 中线分割三角形面积综合问题】 【例28】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在和中，，，与相交于点，连接． (1)求的度数； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，当，且时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据等边对等角可得，进而可得； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，由（2）可得，则,，根据已知可得，则得出，根据三角形的面积关系求得，进而分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（2）可得， ∴， ∴,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在直线上运动， 当在的延长线上时， ∴， 当在的延长线上时， ∴． 【变式28-1】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图1，在中，a、b、c分别是、、的对边，点P从点A出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点Q的运动时间为t秒． (1)若，． ①________，________； ②当时，若，求t的值． (2)如图2，当点P运动到线段上，与交于点D，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②的值为 (2)2 【分析】（1）①根据平方和绝对值的非负性求解即可；②当时，点在上，则，根据三角形面积可得，，即可建立方程求解； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴ 解得； ②由①得，， 点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当时，点在上，则 ∵， ∴ ∴ 解得 ∴的值为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2． 【变式28-2】（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）阅读下面材料，回答问题． 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心． 三角形的中线有一个重要的性质：三角形的任意一条中线都将三角形分成两个面积相等的三角形． (1)如图，在中，是边上的中线．求证：． (2)利用上述结论，解决下面的问题：如图，在中，D为的中点，E为的中点，连接并延长交于点F．已知，求． 【答案】(1)证明：过点A作，垂足为E，如图： 由图可得，，． ∵是边上的中线， ∴． ∴； (2) 【分析】（1）过点A作，垂足为E，分别表示出，，再利用中线的性质求解即可； （2）利用已知结论可以先后求出，． 【详解】（1）略 （2）解：∵D为的中点， ∴． ∵E为的中点， ∴． 【变式28-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图1，在中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，的面积记为，四边形的面积记为，则与之间的数量关系是____________； (2)如图2，在四边形中，，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，取的中点，连接．平分四边形的面积吗？请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某商场计划在一块三角形空地中举办户外促销活动，点在空地的边上，点，，在空地的边上，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形是甲品牌的活动场地，是乙品牌的活动场地，且两个品牌活动场地的面积相等．已知处加装了围栏，，，分别是甲、乙品牌的货物存储区，点，是存储区入口，且，．求围栏端点与存储区入口之间的距离． 【答案】(1) (2)平分四边形的面积，理由如下： 点是的中点， ， ． 点是的中点， ． 在和中， ． ． ． 平分四边形的面积． (3) 【分析】（1）根据是边上的中线，得出，结合图形，即可得出； （2）先证明得出，则，即可得出结论； （3）证明得出，同理可得平分四边形的面积，进而可得的长． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）略 （3）解：， ，． ， ． ，， ． ，， ． ，，，． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 由题意得，平分四边形的面积， ． ． 即围栏端点与入口之间的距离为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中复习压轴28类题型归纳（举一反三讲义） （考试范围：第11章 平面直角坐标系~第13章 三角形中的边角关系、命题与证明） 【新教材沪科版】 题型归纳 【选填压轴】 2 【题型1 坐标系内图形面积计算】 2 【题型2 坐标系内规律探究】 2 【题型3 坐标轴对称变换求对应坐标】 4 【题型4 利用一次函数的性质求参数取值范围】 5 【题型5 一次函数系数符号范围判断】 5 【题型6 一次函数中的图形面积】 6 【题型7 一次函数的平移】 7 【题型8 一次函数与方程、不等式解集图像】 8 【题型9 动点形成分段函数图像判断分析】 9 【题型10 一次函数新定义与点坐标规律】 11 【题型11 三角形三边关系求参数取值范围】 12 【题型12 与三角形高有关的分类求角度】 13 【题型13 内外角平分线组合模型角度计算】 13 【题型14 三角形中线分割面积比例求值】 14 【题型15 三角形折叠求角度与线段长度】 15 【解答压轴】 16 【题型16 坐标系动点求线段、面积】 16 【题型17 坐标与图形变化】 18 【题型18 一次函数图像性质综合】 20 【题型19 两直线交点与面积存在性综合】 21 【题型20 一次函数行程相遇追及】 22 【题型21 一次函数多方案比较最优选择】 24 【题型22 一次函数分段计费实际应用】 26 【题型23 一次函数与方程、不等式综合】 28 【题型24 一次函数新定义点坐标探究】 30 【题型25 一次函数图像平移与性质综合】 31 【题型26 三角形内角、外角角度探究题】 33 【题型27 动点产生三角形角度变化探究】 35 【题型28 中线分割三角形面积综合问题】 38 【选填压轴】 【题型1 坐标系内图形面积计算】 【例1】（25-26七年级下·福建福州·期中）已知点，，点C在y轴上，且的面积是8，点C的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1-1】（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【变式1-2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）某机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一个三角形区域．已知该三角形的三个顶点坐标分别为，那么这个三角形探测区域的面积是_______． 【变式1-3】（25-26七年级下·重庆九龙坡·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段分别与轴、轴交于、两点，将线段向左平移5个单位得到线段（，分别为，平移后的对应点），点恰好落在轴上，若点的纵坐标为，图中阴影部分面积是18，则点的坐标为__________．（用含的式子表示） 【题型2 坐标系内规律探究】 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，三角形，三角形，三角形…，都是斜边在轴上，斜边长分别为，，，…的等腰直角三角形，且三角形的部分顶点坐标为，，则依图中所示规律，的坐标为______________． 【变式2-1】（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，点的坐标是________． 【变式2-2】（25-26七年级下·四川德阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，， ，根据这个规律，第个点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点坐标分别是，，，，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动，同时动点从出发，以每秒4个单位长度的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则动点，第次相遇时的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【题型3 坐标轴对称变换求对应坐标】 【例3】（25-26八年级上·山西吕梁·期中）如图，在平面直角坐标系中，中顶点是坐标原点，顶点，的坐标分别为，．点是坐标平面内一点，若以点，，为顶点的三角形，与关于所在直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·山东聊城·二模）在平面直角坐标系中有点，将它向右平移个单位长度后，对应点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为______． 【变式3-2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，直线是经过点，且平行于轴的直线，点与点关于直线对称，则的值为（　）． A．2 B．6 C．-2 D．-6 【变式3-3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，则点关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称点的坐标是（　　　　） A． B． C． D． 【题型4 利用一次函数的性质求参数取值范围】 【例4】（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是________． 【变式4-1】（25-26八年级下·上海·期末）若一次函数的图像不经过第二象限，那么的取值范围___________． 【变式4-2】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是________． 【变式4-3】（25-26九年级上·浙江绍兴·自主招生）已知函数，当自变量的取值范围是时，既能取到大于5的值，又能取到小于2的值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型5 一次函数系数符号范围判断】 【例5】（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级下·福建福州·期中）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26八年级上·全国·期末）已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26八年级下·北京朝阳·期末）若关于x的一元一次不等式的解集为，则一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【题型6 一次函数中的图形面积】 【例6】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）已知直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接．当的面积等于4时，直线的表达式为 ___________． 【变式6-1】如图，在直角坐标系中，点B的坐标为，若直线与长方形的边，有交点，且恰好将长方形分为面积相等的两部分，则m的值为________． 【变式6-2】（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，与直线交于点C，点P在直线上，且的面积被y轴平分，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·内蒙古包头·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【题型7 一次函数的平移】 【例7】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将直线向右平移个单位后得到直线，直线与直线：交于点，直线，分别交轴于点，，则的面积为（    ） A． B．5 C． D．7 【变式7-1】（2025·陕西西安·模拟预测）若直线平移后过点，则平移后的直线与y轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级下·四川乐山·期末）如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 【变式7-3】（25-26九年级上·四川泸州·期中）已知点关于原点的对称点为，且在直线上，把直线的图象向下平移2个单位后得到的直线解析式为_______． 【题型8 一次函数与方程、不等式解集图像】 【例8】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______． 【变式8-1】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，正比例函数与一次函数（）的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为__________． 【变式8-2】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图，一次函数和的图象分别与轴交于点，，则关于的不等式的解集是_____________． 【变式8-3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）一次函数与的图象如图所示， 则下列结论： ①；②；③x的值每增加1，的值增加；④．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【题型9 动点形成分段函数图像判断分析】 【例9】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）2026年央视春晚节目《武》中，人形机器人与少年同台竞技，完成了一系列高难度动作．某台机器人在“打醉拳”环节（如图）的运动过程可简化为：①匀速跑位，从舞台一侧起点以恒定速度直线移动至表演区；②原地表演，在表演区完成表演；③快速回撤，为配合后续其他表演，以更快的恒定速度沿原路线返回起点．若设机器人与起点的距离为y，运动时间为x，则y与x之间关系的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，把一个长方体铁块嵌在透明圆柱形容器内，向容器内均匀注水，注满为止，那么容器内水面的高度h（单位：）与注水时间t（单位：s）之间的关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是__________． 【变式9-3】（25-26七年级下·山东青岛·期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【题型10 一次函数新定义与点坐标规律】 【例10】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）我们定义：在平面直角坐标系中，点，，若，，且，则称点是点的“阶变换点”．例如，点是点的“3阶变换点” （1）若点，则点的“2阶变换点”为______； （2）已知点，点的“阶变换点”记为，点的“3阶变换点”记为，若直线经过点和点，则直线在轴上的截距为______． 【变式10-1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）新定义：关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“m变函数”（其中m为常数）． 例如：关于x的一次函数的“3变函数”为． 关于x的一次函数的“1变函数”为，关于x的一次函数的“m变函数”为，若函数和函数有且仅有两个交点，则m的取值范围是_______． 【变式10-2】（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）直线与轴交于点，与轴交于点，把正方形、和按如图所示方式放置，点、在直线上，点、、在轴上，按照这样的规律，则正方形中的点的坐标为______． 【变式10-3】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，点在直线上，过点作轴交x轴于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和x轴于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则点的坐标为_________；点的坐标为_________（结果用含正整数n的代数式表示）． 【题型11 三角形三边关系求参数取值范围】 【例11】（26-27八年级上·甘肃·期中）在中，中线将的周长分为和，则三角形底边长___． 【变式11-1】（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【变式11-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【变式11-3】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【题型12 与三角形高有关的分类求角度】 【例12】（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，为边的高，的面积为，则的长为______． 【变式12-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【变式12-2】（25-26七年级下·上海·阶段检测）中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【变式12-3】（24-25七年级上·山东淄博·期中）在钝角中，是边上的高，是边上的高，这两条高所在的直线相交于点O，若，，，则的长为________． 【题型13 内外角平分线组合模型角度计算】 【例13】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【变式13-2】（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______． 【变式13-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则________． 【题型14 三角形中线分割面积比例求值】 【例14】（26-27八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的中线，点在的延长线上，连接，且，过点作于点，连接，若，，则的长为_____． 【变式14-1】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）如图，的两条中线，交于点F，若四边形的面积为18，则的面积是（   ） A．54 B．51 C．42 D．41 【变式14-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段的中点．若的面积为3，则的面积为（     ） A．42 B．36 C．28 D．30 【变式14-3】（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，的面积为，D、E分别是，上的点，且，，连接，交于点F，连接并延长交于点H，则四边形的面积为_______________． 【题型15 三角形折叠求角度与线段长度】 【例15】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在三角形纸片中，，，点是边上的动点，将三角形纸片沿翻折，使点落在点处，当时，的度数为______． 【变式15-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，点在边上，将沿翻折得到，使点落在边上的点，延长，于，平分，若，则的度数为________． 【变式15-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知为等腰三角形，，，将沿翻折至，E为的中点，F为的中点，线段交于点G，若（），则＝（　　） A．m B． C． D． 【解答压轴】 【题型16 坐标系动点求线段、面积】 【例16】（25-26七年级下·广东惠州·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右移个单位得到线段（点与点对应，点与点对应），且四边形的面积为．       (1)直接写出的值及点，的坐标； (2)连接与轴交于点． ①________； ②求的长度． (3)如图，若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动．若射线交轴于点．设与的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【变式16-1】（25-26七年级下·湖南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 【变式16-2】（25-26七年级下·云南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，当点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动（点P不与点A重合），同时点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动． (1)和的位置关系是 ； (2)如图，当点在线段上运动，点在线段上运动时，连接，，使的面积是面积的3倍，求出点的坐标； (3)在点，的运动过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【变式16-3】（25-26七年级下·广东广州·期中）如图①，平面直角坐标系中，，，直线轴交轴于点，点在直线，之间（不在直线，上）． (1)连接，，，，求的度数． (2)若，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图②，点在射线上运动，为轴上点右侧的一点，连接，，，，若始终平分，且，，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化；请说明理由． 【题型17 坐标与图形变化】 【例17】（25-26七年级下·广东湛江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在轴正半轴上，且，将线段平移至线段，点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，是轴上一动点． (1)点的坐标是_______，点的坐标是_______；与的位置关系是_______． (2)当的面积是的面积的3倍时，求点的坐标； (3)若，，，判断，，之间的数量关系，并证明． 【变式17-1】（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系内，点的坐标为，点的坐标为，原点恰为线段的中点，将点向右移动4个单位长度得到点，点沿轴翻折后得到点． (1)求a，b的值； (2)在图中标出点A，D，B，C的位置，顺次连接点A，D，B，C形成一个封闭图形，并直接写出所得图形的面积． 【变式17-2】（25-26七年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为 (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为_____ (2)已知，，为线段的中点，则点坐标为_____ (3)已知三点，，，第四个点与点、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个点构成线段的中点重合，求点D的坐标． 【变式17-3】（25-26七年级下·湖北·阶段检测）平面直角坐标系中，，且． (1)求点、坐标； (2)若是直线上一点，且，求点坐标； (3)如图，当时有．若射线以每秒9度的速度顺时针绕点旋转，射线以每秒6度的速度逆时针绕点旋转，两条射线同时开始旋转，并且各自转动一周后停止运动，求多少秒时，与互相垂直． 【题型18 一次函数图像性质综合】 【例18】（26-27八年级上·安徽·阶段检测）已知关于的一次函数（为常数）． (1)若函数图象平行于直线，求该函数图象与轴的交点坐标； (2)若函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围； (3)不论为何值，该函数的图象都经过一个固定的点，则点的坐标是_________． 【变式18-1】（25-26八年级下·云南德宏·期末）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【变式18-2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）已知一次函数，其中． (1)若点在的图象上，则的值是____________． (2)当时，若函数有最大值8，求的函数表达式； (3)对于一次函数，其中，若对一切实数，都成立，直接写出的取值范围． 【变式18-3】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且为线段的中点． (1)求直线的函数解析式； (2)为轴上位于点右侧的一点，当时，求点的坐标； (3)若是射线上一点，且，求点的坐标． 【题型19 两直线交点与面积存在性综合】 【例19】（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求该一次函数和正比例函数的表达式； (2)有一动点在线段和射线上运动．问是否存在点，使的面积是的面积的?若存在，求此时点的坐标；若不存在．请说明理由． 【变式19-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点在线段和射线上运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点，使的面积是的面积的？若存在求出此时点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式19-2】（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数的图象与交于点 (1)的值为______，的解析式为______； (2)直线上是否存在一点，使得的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值． 【变式19-3】（24-25八年级上·上海黄浦·期中）如图，点在直线上，直线上有一点； (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q坐标用含k的代数式表示）； (2)过点P作轴，过点Q作轴，垂足分别是A、B．如果的面积是面积的，请求出k的值； (3)在（2）的条件下，线段与直线相交于点G，直线上是否存在点D，使？如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型20 一次函数行程相遇追及】 【例20】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在一条笔直的公路上的甲、乙两地相距，汽车和电动自行车两车同时出发，汽车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地；电动自行车从乙地驶向甲地，中途因故停车后，继续按原路原速驶向甲地．在两车行驶过程中，两车距甲地的距离（单位：）与两车出发时间（单位：）之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： (1)汽车速度为________，电动自行车速度为________； (2)求出电动自行车停车之后再次行驶时，距甲地的距离与出发时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)出发________，两车第二次相遇； (4)电动自行车行驶________，两车相距． 【变式20-1】（25-26七年级下·四川成都·期末）已知成都与若尔盖相距约千米．小张乘车从成都出发，先以行驶小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息小时后按原速原路返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离随行驶时间变化的图象，请回答下列问题： (1)改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米时；小李的速度为________千米时； (2)小张出发后多久，第一次与小李相遇？ (3)已知小张和小李的汽车均装载智能通讯设备，设备最大通讯距离为千米．试求小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间． 【变式20-2】（25-26八年级下·广东中山·期末）综合与应用 某生态保护区内，A点为保护区入口，B点为区内一处观测站，A，B两点直线距离为50公里．甲是一名护林员，于某日下午1点驾驶低速电动巡逻车从A点出发前往B点，沿区内主路行驶，该主路为A点和B点间一条直线道路．乙是另一名护林员，同日下午2点驾驶高性能越野摩托车从A点出发，沿相同路线前往B点．如图，图中的折线和线段分别表示甲、乙离A点的距离s（单位：千米）与该日下午时间t（单位：时）之间的关系．请根据图象回答下列问题： (1)求图中线段所在直线的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)求甲出发几小时后两人在途中相遇； (3)两人均佩戴应急通讯设备，最大通讯距离为10千米．乙到达B点后停留半小时（处理观测站事务），然后立即按原路以原速度返回A点．求乙从A点出发到最终回到A点的整个过程中，两人能够保持通讯的总时长． 【变式20-3】（2026·江苏淮安·一模）一条公路上依次有三地，一辆私家车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆客车从地出发，送人到达地后立即原路原速返回地（上下车时间忽略不计）．两车均按各自速度匀速行驶，客车提前半小时出发，却比私家车迟6分钟到达终点，如图是私家车距地的距离（单位：）与私家车的行驶时间（单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中的值是______，客车行驶______小时到达地； (2)在客车从地返回地的过程中，求客车距地的距离与之间的函数表达式； (3)直接写出客车整个行驶过程中与私家车相距时客车行驶的时间． 【题型21 一次函数多方案比较最优选择】 【例21】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）某风景区有A、B、C三种型号的观光车供游客租赁，其收费标准如下表： 车型 A型 B型 C型 价格（元辆） 20 40 60 某单位组织员工到该景区游玩，共租赁辆观光车，其中B型观光车数量是A型的2倍． (1)①若A型观光车租用4辆时，共需花费元，则该单位一共租了_________辆观光车． ②若租车总辆数与①中的相同，请你设计一个租金总额最少的方案，并求出租金总额． (2)为了让更多员工享受福利，该单位负责人打算用元租赁这三种观光车，则最多能租多少辆？ 【变式21-1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本1700元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本1500元． (1)求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？ (2)据市场调研，1株甲种樱花售价为160元，1株乙种樱花售价为840元．该花农决定在成本不超过29000元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于5000元，花农有哪几种具体的培育方案？ (3)在（2）的条件下，求出选择何种方案成本最少？最少成本为多少元？ 【变式21-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）某科技公司为升级数据中心，分两次购进了甲、乙两种型号的服务器，具体采购数据如下表： 购买批次 甲型号（台） 乙型号（台） 总费用（万元） 第一次 4 2 42 第二次 3 5 49 已知甲型号服务器每台每月可产生数据处理收益10万元，乙型号每台每月可产生收益6万元． (1)求甲、乙两种型号的服务器每台采购价格各为多少万元？ (2)为满足新增数据处理需求，公司决定再投入总资金不超过152万元，购买两种服务器共20台（两种型号均需购买），且要求这批服务器每月数据处理总收益不低于180万元．请为该公司设计合理的采购方案（写出所有可能的方案）． (3)如果公司决定投入130万元，恰好全部用于购买甲、乙两种型号的服务器（两种型号均需购买），请求出可以实现最大收益的购买方案及最大收益金额． 【变式21-3】（2025·浙江温州·二模）“一村一品，绽放致富梦”，泰顺县恩代洋村因猕猴桃被入选全国“一村一品”示范村镇．为更新果树品种，恩代洋村某果农计划购进、、三种果树苗木栽植培育．已知种果苗每捆比种果苗每捆多10元，种果苗每捆30元，购买50捆种果苗所花钱比购买60捆种果苗的钱多100元．（每种果苗按整捆购买，且每捆果苗数相同） （1）、种果苗每捆分别需要多少钱； （2）现批发商推出限时赠送优惠活动：购买一捆种果苗赠送一捆种果苗．（最多赠送10捆种果苗） ①若购买种果苗7捆、种果苗5捆和种果苗10捆，共需多少钱； ②若需购买种果苗10捆，预算资金为600元，在不超额的前提下，最多可以买多少捆果苗．求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购买费用最少．（每种至少各1捆） 【题型22 一次函数分段计费实际应用】 【例22】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）游泳是不少同学喜欢的运动，游得快游泳馆推出了A，B，C三种年卡套餐的收费标准（如下表）． 套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元 A B C 不限次 设年游泳次数为（单位：次），，根据表格回答： (1)请写出B种年卡套餐的费用（单位：元）关于游泳次数（单位：次）的函数解析式； (2)若，请给出游泳费用最省方案； (3)当游泳次数为时，A种年卡套餐和B种年卡套餐的费用相同，若的值存在两个，请直接写出的取值范围_______． 【变式22-1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）为鼓励市民节约用电，深圳市电力公司对居民用电实行阶梯电价收费．现提供小强家某月电费发票的部分信息如下表所示： 深圳市居民电费专用发票 计费期限：一个月 用电量（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实用金额：167.5（元） （大写）壹佰陆拾柒元伍角 根据以上提供信息解答下列问题： (1)如果月用电量用度来表示，实付金额用元来表示，当时，求出实付额元与月用电量度之间的函数关系式； (2)请通过计算判断小强家该月的用电量处于哪个计费档，并求出该月的实际用电量； (3)若小强家8月的实际用电量为420度，则他家8月实付电费为多少元？ 【变式22-2】（25-26八年级上·江西九江·期中）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地电费采取如下表所示的计费方式．已知嘉淇家7月份用电量为280千瓦时，缴纳电费164元． 第一档 月用电量180千瓦时以下（含180千瓦时），每千瓦时价格0.55元 第二档 月用电量180千瓦时至300千瓦时的部分（含300千瓦时），每千瓦时比第一档提价元 第三档 月用电量300千瓦时以上的部分，每千瓦时比第一档提价0.3元 (1)求的值． (2)设某户每月用电量为千瓦时，应缴纳电费元，求与的函数关系式． (3)某户8月份的电费为194元，求该户8月份的用电量． 【变式22-3】（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）某加工为赶制一批零件，通过提高加工费标准的方式调动工人积极性．工人每人加工零件获得的加工费y（元）与加工个数x（个）之间的函数图像为折线，如图所示． (1)求工人一天加工零件不超过20个时，每个零件的加工费； (2)求加工费y和加工个数x的函数表达式； (3)小王两天一共加工了60个零件，共得加工费220元．在这两天中，小王第一天加工的零件不足20个，求小王第一天加工零件的个数． 【题型23 一次函数与方程、不等式综合】 【例23】（25-26八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点，直线，直线与交于点P． (1)求k的值； (2)已知当时，的最大值是其最小值的4倍，求t的值？ (3)若直线（m，n常数，）经过点P．试探究：是否存在一组常数m，n，使得无论t取何值，直线都经过x轴上的某一个定点？若存在，请求出m，n的值及该定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式23-1】（25-26八年级下·北京房山·期中）小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 【变式23-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与一次函数交于点． (1)观察图象，直接写出的解集为______； (2)若的值为，求不等式的解集； (3)若不等式的解集是，求点的坐标． 【变式23-3】（25-26八年级下·广东深圳·期中）在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 (1)直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 (2)图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； (3)已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 【题型24 一次函数新定义点坐标探究】 【例24】（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程组：，解得，则的“亮点”为． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为　 　 ． (2)一次函数的“亮点”为，求，的值． (3)若直线与轴交于点，与轴交于点，且直线上没有“亮点”，点在轴上，使，求满足条件的点的坐标． 【变式24-1】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的“友好点”Q的坐标定义如下：当时，Q点坐标为；当时，Q点坐标为． (1)点的“友好点”坐标是________， 点的“友好点”坐标是________． (2)已知点P在直线上，且点P的“友好点”为点Q．当时，设点P的横坐标为n，当时，求点Q纵坐标的最大值与最小值． 【变式24-2】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）我们定义：把一次函数（）与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）的“亮点”，例如求一次函数的“亮点”，联立，得方程组，解得，则一次函数的“亮点”为． (1)求一次函数的“亮点”； (2)若一次函数（）的“亮点”为，求k，b的值． 【变式24-3】（25-26八年级上·河南郑州·开学考试）定义：图象与x轴有两个交点的函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于l的对称函数与直线交于点C，如图． ①直接写出点的坐标：A（ ，0）；B（ ，0）；C（1， ）； ②P为关于m的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点，求m的取值范围． 【题型25 一次函数图像平移与性质综合】 【例25】（25-26八年级下·江西南昌·期末）一次函数的图象，如图所示． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象完全相同，求、之间的等式关系． 【变式25-1】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）已知直线与x轴、y轴分别交于点A、B．直线经过点，且与直线交于点． (1)求直线解析式； (2)求的面积； (3)小明发现：将直线上任一点向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度得到点，当时，一定落在直线上，请你说明理由． 【变式25-2】（25-26八年级下·广西南宁·期末）【研究对象】函数中的镜像关系 定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“镜像关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“镜像值”，线段的长称为函数和的“镜像距”． 【定义感知】 (1)已知函数和具有“镜像关系”，函数的图象上有点，点关于轴对称的点在函数的图象上，可以列方程组：，解得．即点为，为，函数和的“镜像值”为1，函数和的“镜像距”为______； 【定义应用】 (2)若函数与具有“镜像关系”，求函数和的“镜像值”； 【定义迁移】 (3)将函数的图象向下平移个单位长度得到函数的图象．若函数与的“镜像值”为，求与m满足的关系式； 【综合探究】 (4)在（3）的条件下，若函数与的“镜像距”小于，求的取值范围． 【变式25-3】（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过，两点，直线：（且）与x轴、y轴分别交于C、D两点，点在直线上．    (1)求直线的表达式； (2)若点B，O关于点D对称，求此时n的值； (3)淇淇说：“直线与的交点始终是．”你同意她的说法吗？说明理由； (4)在（2）的条件下，设直线与的交点为点E．若将沿x轴方向向右平移m（）个单位长度，使内部（不含边界）有且只有点B，D两个顶点，直接写出m的取值范围． 【题型26 三角形内角、外角角度探究题】 【例26】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 【问题情境】 在七年级几何学习中，平行线的判定与性质是核心内容．现有直线，点在直线上，点在直线上，点是直线外一点，连接．请结合图形完成下列探究． 【初步探究】 (1)如图1，若点在直线的下方且在直线的上方，且满足，请判断直线与的位置关系，并写出完整的证明过程． 【深入思考】 (2)如图2，在（1）的条件下，平分交的延长线于点平分，交的反向延长线于点．当时，请求出的度数． 【拓展延伸】 (3)在（1）的条件下，若点在直线的上方且不在直线上，分别连接，平分平分，两条角平分线所在直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【变式26-1】（25-26七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们探索三角形中角之间的关系．如图，在中，点E是边AC上一点，． (1)特例分析： 如图1所示，作的平分线分别交，于D，F两点．若，，则，； (2)类比猜想： 奋斗小组在（1）的基础上，改变的大小，经过探究，他们发现与的大小是相等的，请说明理由； (3)拓展探究： 如图2，作的外角的平分线，交的延长线于点D，延长，交于点F，探究（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出结论并说明理由． 【变式26-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 【变式26-3】（25-26七年级下·山西太原·期末）综合与探究 问题情境：数学课上，同学们利用所学的三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知：如图1，中，，，点是线段上的一个动点，点关于直线的对称点为点．射线分别交直线于点，交射线于点，连接交射线于点． (1)特例分析：如图2，当点落在射线上时，请直接写出的度数； (2)拓展探究：如图3，若，判断与的数量关系，并说明理由； (3)当是直角三角形时，请直接写出的度数． 【题型27 动点产生三角形角度变化探究】 【例27】（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 问题情境 以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．如图1，将一副三角板和叠放在一起，其中，，，点C与点D重合，点B，E，C三点在一条水平线上．如图2，将绕点C按顺时针方向旋转，旋转角度记为． 操作计算 （1）当 °时，；当 °时，． （2）在旋转过程中，是否存在？若存在，求出旋转角度；若不存在，请说明理由． 拓展探究 （3）当旋转角度满足时，如图3，连接，的度数是否发生变化，若不变，请直接写出该度数；若变化，请说明理由． 【变式27-1】（山西运城市盐湖区2025-2026学年度第一学期期末初二数学练习试卷）综合与实践 在数学社团活动中，小晋将一副含角的直角三角板（） 与两行平行的横格线（直线）结合，探究角度之间的关系． (1)如图1，当三角板的直角顶点C落在线段上，且斜边与直线平行时，求的度数． (2)如图2，在（1）的条件下将三角板绕点C顺时针旋转，使两直角边分别与直线交于点D，E．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在图2的基础上，小晋作的平分线，作的平分线．若交于点H，则是否发生变化，若不变求出度数；若变化，请说明理由． 【变式27-2】（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）综合与实践 某数学活动小组在研究角度变化时，利用一副三角板尝试完成探究 (1)将一副三角板按如图1的方式摆放，边与重合，，，，射线分别是，的角平分线，求的度数； (2)如图2，保持不动，将绕点A逆时针转动一定角度得到边在的内部，射线分别是，的角平分线． ①若，求的度数； ②在绕点A逆时针转动的过程中，的度数是否发生变化？若变化，求出的度数；若不变化，请说明理由． 【变式27-3】（25-26七年级下·天津南开·期中）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动． (1)如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小． (2)如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值． (3)如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ． 【题型28 中线分割三角形面积综合问题】 【例28】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在和中，，，与相交于点，连接． (1)求的度数； (2)当时，求证：； (3)在（2）的条件下，点在直线上运动，当，且时，直接写出的长度． 【变式28-1】（26-27九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图1，在中，a、b、c分别是、、的对边，点P从点A出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向终点B运动．设点Q的运动时间为t秒． (1)若，． ①________，________； ②当时，若，求t的值． (2)如图2，当点P运动到线段上，与交于点D，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【变式28-2】（26-27八年级上·云南临沧·阶段检测）阅读下面材料，回答问题． 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心． 三角形的中线有一个重要的性质：三角形的任意一条中线都将三角形分成两个面积相等的三角形． (1)如图，在中，是边上的中线．求证：． (2)利用上述结论，解决下面的问题：如图，在中，D为的中点，E为的中点，连接并延长交于点F．已知，求． 【变式28-3】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】 (1)如图1，在中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，的面积记为，四边形的面积记为，则与之间的数量关系是____________； (2)如图2，在四边形中，，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，取的中点，连接．平分四边形的面积吗？请说明理由； 【问题解决】 (3)如图3，某商场计划在一块三角形空地中举办户外促销活动，点在空地的边上，点，，在空地的边上，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形是甲品牌的活动场地，是乙品牌的活动场地，且两个品牌活动场地的面积相等．已知处加装了围栏，，，分别是甲、乙品牌的货物存储区，点，是存储区入口，且，．求围栏端点与存储区入口之间的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $