专题09 期中复习压轴十五大 题型突破 -2026-2027学年苏科版八年级数学上册
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内容正文：
专题09 期中复习压轴十五大题型突破
选择题
【题型 1】全等 +等腰多结论判断
【题型 2】勾股定理分类讨论、直角三角形存在性
【题型 3】无理数估算、整数部分小数部分
【题型 4】最短路径、将军饮马判断最值
填空题
【题型 5】等腰三角形多解问题
【题型 6】折叠压轴(勾股定理 + 折叠全等)
【题型 7】勾股定理逆定理 +面积、赵爽弦图
【题型 8】实数综合:小数部分、平方根双解
解答题
【题型 9】全等三角形手拉手综合压轴
【题型 10】折叠 +勾股方程综合大题
【题型 11】将军饮马 + 最短路径综合
【题型 12】动点几何压轴(三角形动点，等腰/直角存在性)
【题型 13】倍长中线法综合
【题型 14】半角模型综合
【题型 15】截长补短综合
【题型 1】全等 +等腰多结论判断
1．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由 求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，故③正确；
∵在中，，
∴，故④错误，
综上，正确的是①②③．
2．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使．
给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有（ ）
A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④．
【详解】解：在中，为中线，
，
，，
，
，
，
，，，故①正确；
，，，
，
，即，，
，，故③正确；
，
，故②正确；
，，
，，
，
，故④正确；
综上，正确结论的序号有①②③④，
3．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍；
②当两点同时到达点时，；
③若时，与垂直；
④若运动过程中存在与全等，则或．
以上说法正确的选项为（ ）
A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④．
【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒，
点运动路程为．
若，则点运动路程为，
点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意；
对于②，当点到达点时，秒，
，故②符合题意；
对于③，如图所示，
当，时，
点运动的路程为，点运动的路程为．
，，
，．
，
，
，
和不全等，
．
，
，
，
与不垂直，故③不符合题意；
对于④，当时，则，．
，
，
，
，
，
；
当时，则，．
，
，
．
，
，
，
若与全等，则或，故④不符合题意．
综上所述，符合题意的结论为①②．
【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏．
4．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误．
【详解】解：，
∴，即，
在和中，
，
，则①正确；
，，，则②正确；
由三角形的外角性质得：，
，则③正确；
如图，作于，于，则，
在和中，
，
，
，，
平分，即，
，
∴，
假设，
，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，即，与矛盾，
则假设不成立，则④错误；
综上，正确的结论有①②③．
5．已知如图等腰于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形，④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】连接，利用线段垂直平分线性质及等边对等角推导角度关系；通过三角形内角和及角度代换证明为等边三角形；利用截长补短法构造全等三角形证明线段和差关系．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则，故①正确；
∵点是线段上一点，
∴与不一定相等，
∴与不一定相等，故②不正确；
在中，，
∴，即，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故③正确；
在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，，，
∵是等边三角形，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论是①③④．
6．如图，，，，，垂足分别为、．
①；
②；
③；
④若，则；
⑤取中点，连接，，则为等腰直角三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据题意可得，则即可判断①；根据“”证明即可判断②；由全等可得，进而可得即可判断③；由，进而可得即可判断④；连接，根据“”证明即可判断⑤．
【详解】解：∵，，
∴，
（内错角相等，两直线平行），故①正确；
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故②正确；
∴，
∴，即，故③正确；
，
，
又，，
，
，故④错误；
如图，连接，、相交于点，
∵，点是中点，
∴，
在和中，，
∴，
由（1），可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，则为等腰直角三角形，故⑤正确．
综上，正确的有①②③⑤共4个．
【题型 2】勾股定理分类讨论、直角三角形存在性
7．在中，，，则（ ）
A．28 B．28或10 C．28或100 D．10
【答案】C
【详解】解：在中，，，
①若为斜边，则；
②若为斜边，则；
∴或．
【点睛】运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角是直角，再分别确定哪条边是直角边，哪条边是斜边．
8．若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（ ）．
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】本题已知直角三角形的两边长，未明确是直角边还是斜边，因此需要分类讨论，利用勾股定理计算的值．
【详解】解：分两种情况讨论：
情况一：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得，
∵三角形边长为正数，
∴；
情况二：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得，
∵三角形边长为正数，
∴；
综上，的值为或．
9．一个直角三角形的三边长分别为6，，，则的值是（ ）
A．100 B．10 C．10或 D．10或7
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理．本题需要分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理求解，注意边长为正数且斜边是最长边．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当为斜边时，
直角三角形的两直角边为和，
由勾股定理得，
是三角形边长，取正值，
；
②当为直角边时，此时斜边为（，符合斜边为最长边的要求），
由勾股定理得，
，
是三角形边长，取正值，
；
综上，的值为或，
故选：C．
10．如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．2或
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，过点作，利用勾股定理先求出，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：过点作，
点到的距离为，
，
，
根据勾股定理，得，
当时，如图所示：
此时点与点重合，则
根据题意，得，
解得；
当时，如图所示：
，，，，
，
根据勾股定理，得，，
，
解得；
综上所述，当为直角三角形时，t的值为或，
故选：D．
11．如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点、重合），点沿以的速度从点开始向点运动，当是直角三角形时，运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，当时，是直角三角形，勾股定理求得，进而等面积法求出的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
当时，是直角三角形，
此时，
在中，，
∵点沿以的速度从点开始向点运动，
∴运动的时间为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为．动点P从点B出发沿射线以的逃速度运动．设运动的时间为t秒，当t为（ ）秒时，为直角三角形．
A． B． C．2或 D．2或
【答案】D
【分析】根据勾股定理，先求出的长，再分情况讨论：当时，当时分别求解即可．
【详解】解：过点作，
点到的距离为，
，
，
根据勾股定理，得，
当时，如图所示：
此时点与点重合，
根据题意，得，
解得；
当时，如图所示：
， ，，，
，
根据勾股定理，得，，
，
解得，
或，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
【题型 3】无理数估算、整数部分小数部分
13．估计的值（ ）
A．在3和4之间 B．在5和6之间
C．在4和之间 D．在和4之间
【答案】C
【分析】计算与17接近的平方数，通过比较被开方数的大小确定的取值范围．
【详解】解：，．
∵，
∴，
即．
14．估计的值在（ ）
A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间
【答案】D
【分析】先估算，再得出的取值范围，进而求出的取值范围即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴估计的值在到之间．
15．已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ）
A．−3 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了无理数的估算，通过估算的值，确定的整数部分a 和小数部分b，然后代入表达式计算即可．
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ，
∴整数部分，小数部分 ，
∴ ．
故选：C．
16．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）式子中的“”，“”依次相间
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论．
【详解】解：，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，，
与之间共有个数，
，
，，
与之间共有个数，
．
故选B．
【题型 4】最短路径、将军饮马判断最值
17．如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.8 C．6 D．8
【答案】B
【分析】先过点作交于点，交于点，过点作于点，再利用角的平分线的性质得出，此时有最小值，即的长度，再利用等面积法即可解答．
【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点，
∵是的平分线，
∴，
此时有最小值．
又 ，
的最小值为的长度．
∵，，，，
，
∴，
即的最小值是．
18．如图，等腰的底边长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】连接，如图所示，由垂直平分线性质将化为，结合两点之间线段最短得出当三点共线时，有最小值，为线段长，由等腰三角形三线合一性质及三角形面积公式列方程求出即可．
【详解】解：连接，如图所示：
垂直平分，
，则，
点为线段上一动点，为定点，
由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段长，
连接，交于点，如图所示：
点为等腰底边的中点，
，
等腰的底边长为6，面积是27，
由可得，解得，
即的最小值为．
19．如图，等边与关于直线对称，，且的边长为，为线段上一动点，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当三点共线时，最小，即可求解．
【详解】如图，连接，
∵等边与关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
20．如图1，将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识成功地解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索，如图2在中，，，，点、、分别在、、上，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据将军饮马模型的提示，分别作点关于，的对称点，，连接，，，，，对称点之间的线段的长度是周长的最小值，再利用含30度角直角三角形的性质和勾股定理求解．
【详解】解：如图，作点关于，的对称点，，连接，，，，，
由对称得，，，
∴周长
∴当点G，E，F，H四点共线时，周长取得最小值，即的长度
由对称得，，，
∴
∴
∵点在上
∴当时，取得最小值，即此时取得最小值，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴的最小值为
∴此时，即的最小值为
∴周长的最小值为．
21．如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】在上取点，使，连接，作于点，由垂线段最短知的最小值为的长，根据勾股定理结合等积法即可求解．
【详解】解：在上取点，使，连接，作于点，
平分，
，
，
，
，
根据垂线段最短的性质知，当点与点H重合时，的最小值为的长，
，
，
，
，
，
，
则的最小值为．
填空题
【题型 5】等腰三角形多解问题
22．已知等腰三角形的两边长为5和2，则它的周长为________．
【答案】
【分析】等腰三角形未明确腰长与底边长的对应关系，需分两种情况讨论，结合三角形三边关系验证各情况能否构成三角形，再计算有效情况的周长．
【详解】解：分两种情况讨论：当腰长为时，三角形三边长为，，．
∵ ，满足三角形三边关系，
∴可构成三角形 ．
∴此时周长为．
当腰长为时，三角形三边长为，， ．
∵ ，不满足三角形三边关系，
∴无法构成三角形，该情况舍去 ．
∴ 该等腰三角形的周长为．
23．若一个等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为_____________．
【答案】或
【分析】分腰长为和底边长为进行讨论即可求出答案．
【详解】解：当等腰三角形的腰长为时，则底边长为，此时三角形三边长分别为，
∵
∴等腰三角形的腰长为符合题意；
当等腰三角形的底边长为时，则腰长为，此时三角形三边长分别为，
∵
∴等腰三角形的腰长为符合题意；
综上可知，腰长为或．
24．把一根长的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少，则该三角形的底边长为________．
【答案】或
【分析】分两种情况：当腰长比底边长的2倍少时，当底边比腰长的2倍少时，分别建立方程求出底边长，进而求出腰长，再根据三角形三边的关系验证即可．
【详解】解：设该三角形的底边长为，
当腰长比底边长的2倍少时，则，
解得，
∴，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意；
当底边比腰长的2倍少时，则，
解得，
∴，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意；
综上所述，该三角形的底边长为或．
25．如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_____时，是等腰三角形．
【答案】或
【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解．
【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时，
，
即，
解得；
②当点在的延长线上，是等腰三角形时，
，
是等边三角形，
，
即，
解得，
综上所述，t的值为或．
【题型 6】折叠压轴(勾股定理 + 折叠全等)
26．如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落到斜边上，与点重合，为折痕，则的长为_________．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质得到，，，从而求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵，，，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得：
即，
解得．
，
在中，．
27．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________．
【答案】
【分析】由折叠的性质得出，，，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，由全等三角形的性质得出，， 由线段的和差关系得出，，设，则，
由勾股定理得出，代入求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
即．
28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________．
【答案】
【分析】先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解．
【详解】解：由折叠可知，，；
∵点 ，点 ，
∴，
则；
∵点 ，则，
∴；
设，则，
在中，，
即
解方程得：，即．
【题型 7】勾股定理逆定理 +面积、赵爽弦图
29．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，连接，若已知三个正方形的面积依次为，，，则第四个正方形的面积为______．
【答案】
【分析】在和中分别利用勾股定理表示出，建立等量关系，结合正方形面积公式求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
正方形的面积等于边长的平方，
，，，
，
，，，
，
．
30．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______．
【答案】
【分析】根据，得出，证明，得出，,勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵四边形、、均为正方形，
∴，，，
∴，
∴，,
在中，
∴．
31．如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____．
【答案】
【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解．
【详解】解：在 中，，，
∴，
∴ ．
∵，
∴．
32．如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________．
【答案】
【分析】证明，得到，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，得到，同理得到，， ，再计算即可．
【详解】解：如图，
图中的四边形为正方形，
，，
，
，
，
又∵，
，
，
，
，
，，，
，
同理可得，，...，，
．
【题型 8】实数综合:小数部分、平方根双解
33．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______．
【答案】
【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，得到的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为，
∴的小数部分为．
34．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______．
【答案】8
【分析】设长方形A的长为，长方形B的长为，可得，，再进一步求解即可．
【详解】解：设长方形A的长为，长方形B的长为，
∴，，两个长方形的宽为，
∵，
∴，，
∴长方形A与长方形B的宽为，
∴长方形B的面积为．
35．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________．
【答案】
5
【分析】先估算出的取值范围，再分别求出和的整数部分和，最后代入计算的值即可．
【详解】解：，，
，
∴，，
的整数部分，的整数部分，
则．
36．若与互为相反数，则的平方根是______．
【答案】
【分析】根据相反数的定义得到两个非负数的和为，利用非负数的性质求出与的值，代入代数式计算后，根据平方根的定义求解即可．
【详解】解： 与互为相反数，
，
，，
，，
解得，，
，
的平方根是，
故答案为：．
解答题
【题型 9】全等三角形手拉手综合压轴
37．如图，在和中，，，，和交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若平分，判断和的数量关系，并证明．
【答案】(1)证明：∵，
∴， 即，
在和中，
，
．
(2)证明：如图，作于，作于．
∵，
∴，，
∴ ，
∴，
∵，，
∴平分．
(3)，证明如下：
如图，设与交于点，
设，
∵平分，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∴，
∴，
∴．
∴．
【分析】（1）先证明，再根据证明结论即可；
（2）作于，作于，由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可证明；
（3）设与交于点，，由角平分线的定义、全等三角形的性质、等边对等角可得，，，由（2）可得，证明，即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
38．综合与实践
【情境】在学习“三角形”相关知识过程中，爱动脑筋的小鹏发现在如图1所示的图形中，两个等边三角形有一个公共顶点，此时产生了很多有趣的问题．
【模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形中，若把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．
【操作】
(1)如图1，和都是等边三角形，连接和，试说明：．
【探究】
(2)如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则和的数量关系是____________，和的位置关系是____________．
【拓展】
(3)如图3，是一个锐角三角形，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，求的度数．
【答案】(1)证明：已知和都是等边三角形，
根据等边三角形的性质可得：，，，
因此，
即，
在和中：
，
得，
由全等三角形对应边相等，因此．
(2)；
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，，推导出，证明即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质，，推导出，证明，设交于点，由全等推出，即可得到结论；
（3）根据等边三角形的性质，，推导出，证明，根据对顶角性质即可求出的度数．
【详解】（1）略
（2）解：已知和都是等腰直角三角形，，
因此，，
由角的和差关系可得：
，
即，
在和中：
，
得，
因此，
设交于点，
由可得，
在中，，因此，
即，
将代入得：
，
因此在中，，
即，
故结论为：，．
（3）解：已知和都是等边三角形，因此：
，
由角的和差关系可得
，
即，
在和中：
，
得，因此，
设交于点，
在和中：
，
因此，
由对顶角的性质，，
因此的度数为．
39．【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．
【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，证明：．
【深入研究】（2）与都是等腰三角形，，，且，证明：；
【深化模型】（3）如图3，，，，求的长．
【答案】
（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明： ∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）9
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等知识，综合性强，难度较大．
（1）证明，进而证明，即可得到；
（2）证明，进而证明，得到，根据得到，问题得证；
（3）在上截取，连接，则．先证明，都是等腰三角形，得到，进而证明，即可求出．
【详解】解：（1）略
（2）略
（3）如图，在上截取，连接，则．
∵，，，
∴，都是等腰三角形，
∴，
∴，
即．
在和中，
∴，
∴．
40．【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
(1)【模型探究】如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________；
(2)【探究证明】如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由；
(3)【模型应用】如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，求的面积．
【答案】(1)，，
(2)
解：，，理由如下：
如图，设交于点，
∵和是等腰直角三角形，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，．
(3)
【分析】（1）由和均为等边三角形，可得，，，可得，即可得，则，，可得；
（2）同理证明，，根据全等三角形的性质解答即可；
（3）过点作交于E点，连接，根据旋转的性质和等腰直角三角形性质，可得，从而证明出，，最后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）略
（3）解：如图，过点作交于E点，连接，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【题型 10】折叠 +勾股方程综合大题
41．爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点，
是的角平分线，且，
_________．
，
．
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：；
(3)【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出．
(4)【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
证明：如图所示，过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
(3)
(4)
【分析】（1）根据三角形面积公式分别得到，，再根据角平分线的性质得到，由此列式即可求解；
（2）过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ，，，由此列式求解即可；
（3）根据题意得到，结合题意得到，，设，在中，根据勾股定理列式求解即可；
（4）根据题意，运用勾股定理得到，且，结合（1）的计算得到，，，，则，分别算出，，，得到，代入计算即可．
【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，
是的角平分线，且，
∴，，
，
．
（2）略
（3）解：在中，平分交于点，
∴，
∵，，则，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴；
（4）解：在中，，平分，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∵折叠，点刚好落在边上的点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴．
42．在中，是上的动点，点在的三边上移动．
(1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长．
(2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长．
(3)如图3，当点在上，时，若，，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，运用勾股定理得，再结合等面积法列式计算，即可作答．
（2）先根据勾股定理得，又因为将沿折叠，点恰好落在边上的点处，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答．
（3）先过点作，且，根据，，证明，整理得，再运用证明，得出，在中，运用勾股定理列式分析，即可作答．
【详解】（1）解：如图1，连接．
是的中点，
．
由勾股定理，得，
，
．
（2）解：
由题意，知 ，
．
设，则．
在中，，
，
解得，
．
（3）证明：如图2，过点作，且，
连接，．
，，
．
又 ，
，
，
．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
．
在中，，
．
43．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理
(1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程．
(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ．
(3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长．
【答案】(1)
证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，
∴，
∴，
∴．
(2)28
(3)
【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解；
（2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解；
（3）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，
∵，，
∴空白部分的面积；
（3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
即．
44．（1）如图1，折叠等边纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．①求的度数．②求证：为等边三角形．
（2）如图2，等腰纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，求的长度．
（3）如图3，折叠锐角纸片，使点落在的右方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，请写出线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①；
②证明：，
，
，
为等边三角形；
（2）；（3）
【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
（1）①根据等边三角形的性质即可解答；
②根据等边三角形的判定即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可；
（3）作，，，分别交于，，．证明，得出，，同理可得：，则可得出结论．
【详解】（1）①解：等边三角形，点为的中点，
，
折叠等边纸片，使点与边中点重合，
∴，
，
；
② 略
（2）解：，
，
折叠等腰三角形纸片，
，
，
，
，
，
∵，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
．
（3）．
证明：如图，作，，，分别交于，，．
∵点、点到的距离相等，
∴，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
同理可得：，
．
45．综合与探究
如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上．
(1)求边的长．
(2)如图，若为的中点．求证：．
(3)如图，若为的中点．
试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由．
直接写出线段的长．
【答案】(1)
(2)
证明：如图，连接交于点，
沿折叠得，
，，垂直平分，
，
为中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
；
(3)①，理由如下：
如图，过点作交延长线于点，连接，
，即，
，
，，
为的中点．
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
在中，，
；
【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可；
（2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证；
（3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解．
【详解】（1）解：，满足，，，
，，
，，
在中，，
；
（2）略
（3）解：①略
如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接，
为中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
∵，
∴，
∴，
，
，
，，
，，
，，
，，
设，则，
在中，，
即，解得，
，
，
设，则，
由知，，
又，
，
即，解得，
．
【点睛】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键．
【题型 11】将军饮马 + 最短路径综合
46．【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．”
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1中的面积是______；
(2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积；
(3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________．
(4)拓展应用：求代数式的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）通过网格构图，用大长方形面积减去周围直角三角形面积计算的面积；
（2）将含参数的边长转化为直角三角形斜边，构造大长方形后用面积差法求解的面积；
（3）将代数式转化为直角三角形斜边之和，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形计算最短路径长度；
（4）将代数式转化为平面直角坐标系中点的距离之和，通过对称点转化为两点间线段长度，用勾股定理求解最小值．
【详解】（1）解：网格中每个小正方形的边长为1，包围的大长方形长为3、宽为3，其面积为．
周围三个直角三角形的面积分别为：，，．
∴的面积；
（2）解：将看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，
包围的大长方形长为、宽为，其面积为．
周围三个直角三角形的面积分别为：，，．
∴的面积；
（3）解：如图，，，，，
在中，，
在中，，
，
要使的值最小，则的值最小，
∴当A，C，B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作，交延长线于点O，得矩形，
，，
，
，
∴代数式的最小值为；
（4）解：将代数式转化为平面直角坐标系中，点()到点的距离与到点的距离之和，即．
作点关于轴的对称点，连接，根据对称性质可知，
∴，根据“两点之间线段最短”，当为与轴的交点时，取得最小值，即的长度，
，
∴代数式的最小值为．
47．已知为等边三角形．
(1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：．
(2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点F．求证：．
(3)如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值．
【答案】(1)
证明：∵和是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴．
(2)
证明：如图，在上截取，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∵是以为腰作等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
(3)
【分析】（1）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据全等三角形的判定即可得证；
（2）在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得证；
（3）将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点是点，点的对应点是点，先证出点共线，则可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，则可得点的运动轨迹是在的角平分线上，再作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质可得，，，然后得出点共线，则可得，由此即可得．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点是点，点的对应点是点，
由旋转的性质得：，，，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点共线，
又∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是在的角平分线上，
如图，作点关于直线的对称点，连接，
∴，，，
∴，
∴点共线，
∵，
∴，当且仅当点与点重合时，等号成立，
∴的最小值是．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质、轴对称的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键．
48．综合与实践
【问题提出】
如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
【解决问题】
如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短．
证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小．
【学以致用】
(1)如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值；
(2)如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值．
【答案】(1)周长的最小值为
(2)的最小值为7
【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值．
（1）根据给出示例，连接，，利用轴对称的性质确定点位置，然后利用等腰三角形的性质求解即可；
（2）根据给出示例，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小，利用等边三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接，，
，为边中点，
，，
，
，
．
是的垂直平分线，
．
，
当点在线段上时，，此时的值最小，即的最小值为4．
为中点，
．
．
周长的最小值为；
（2）解：如图，在上截取，连接交于，连接，此时的值最小．
是等边三角形，是边上的高，
，
是的垂直平分线，
，
，
．
是等边三角形，边长为10，
．
，
，
，
，
．
又，
，
．
是等边三角形，
，
∴是等边三角形．
，
的最小值为7．
【题型 12】动点几何压轴(三角形动点，等腰/直角存在性)
49．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
(1) _____；（用含t的式子表示）
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系为______，并说明理由；
(3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
解：，理由如下：
∵，，，，
∴，当时，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(3)存在或，使得与全等
【分析】（1）由题意得，则；
（2）证明，，，证明，推出，据此可得结论；
（3）分两种情况讨论：①若，则，②若，则，再建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
∵，
∴；
（2）略
（3）解：①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得；
综上所述，存在或，使得与全等．
50．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒．
(1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示）
(2)当运动时间为4秒时，求的面积；
(3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，的值为或
【分析】本题考查了列代数式、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，数形结合是解决问题的关键．
（1 ）根据即可列代数式；
（ 2）先求出，再由三角形面积公式求解；
（3 ）当以为底时，根据等腰三角形的判定与性质得到，则；当以为底时，则，则．
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：当时，，此时点在上，如图所示：
∴的面积；
（3）解：存在，
理由如下：
当以为底时，如图所示：
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当以为底时，如图所示：
则，
∴，
综上所述：存在，的值为或．
51．如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts．
(1)求的长度；
(2)当 为直角三角形时，求t的值；
(3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）分为两种情况：当为直角时；当为直角时，分别求解即可；
（3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，求解可求得t值．
【详解】（1）解：∵， ，，
；
（2）①当为直角时，点P与点C重合，
此时，
∴．
②当为直角时，
， ， ，
在中，
在中，
，
解得 ，
综上， 当或 时，为直角三角形．
（3）如图∶
①当时， ；
②当时， ， ；
③当时， ， ，，
在中，
所以
解得：，
综上所述：当为等腰三角形 时，或或
【题型 13】倍长中线法综合
52．发现问题
小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
初步探索
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到，使得；
②连接，易证，于是我们把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
总结方法
在利用中线解决几何问题时，当题中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
问题解决
(1)如图1，与的位置关系是 ；的取值范围是 ；
问题应用
(2)如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系；
拓展延伸
(3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长．
【答案】(1)；
(2)
(3)8
【分析】（1）证明，得到，则可得到；由三角形的三边关系可得，则，即；
（2）延长到点，使得，连接．证明，得到，．再证明，可得；
（3）延长到点H，使得，连接．同理可证明，得到．证明，推出，，设，则，，则可得到，据此可得答案．
【详解】（1）解：延长到，使得，连接，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
在中，由三角形的三边关系可得，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长到点，使得，连接．
∵是边上的中线，
∴，
又∵，，
∴，
∴，．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长到点H，使得，连接．
同理可证明，
∴，．
∵，平分，
∴，
∴，，
∴，
设，则，，
∴．
∵，
∴，
∴．
53．综合与实践；
【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长到，使得；
连接，易证，于是我们把，，转化在中；
利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
(1)【问题解决】如图，和的位置关系是______；的取值范围是______．
(2)【类比应用】如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点，若，求证：．
(3)【问题拓展】如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，请直接写出__________．
【答案】(1)；
(2)证明：延长至点，使，连接，如图：
点为边的中点，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
．
(3)4
【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）延长至点，使，连接，证明，得，又，有，故，从而，即得；
（3）延长至点，使，连接，证明，得，由，平分，得，而，有，可得，故，因，故，可得，又，根据三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】（1）解：延长至点，使，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
，
，
，
∵在中，，即，
，
．
（2）略
（3）解：延长至点，使，连接，
点为边的中点，
，
又，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积，
．
54．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围．
我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程；
(2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：；
(3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长．
【答案】(1)
解：如图，延长到点，使，连接，
是的中线，
，
解得：
即AD的取值范围为：；
(2)
证明：如图2，延长至，使，连接，则，
为的中点，
，
，
，
在和中，
(3)
【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得
即可解答；
（2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出 证明得到，即可解答；
（3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，
是的中点，
，
在和中，
又∵
即．
【题型 14】半角模型综合
55．解答下列问题：
(1)【观察猜想】如图1，在四边形中，，，，，小王同学想探究线段，，之间的数量关系．
他的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，请你帮小王同学写出得到的结论：________．
(2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，四边形面积的最大值，并说明理由．
(3)【实际应用】如图3，延安红色旅游景区的步道规划过程中，在游客中心点处观测到：红色文化广场在点的北偏西方向，革命旧址在点的南偏东方向，且两处景点到游客中心的距离均为，红色旅游专线开通后，1号观光车从点出发向正东方向以/分的速度行驶，同时2号观光车从点出发沿北偏东的方向以/分的速度行驶，15分钟后分别到达、处（观光车停车点），按景区规划要求，请你尝试求出观光车从游客中心出发，沿绕景区一圈的总路线长度．
【答案】(1)
，理由如下：
延长到点，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
；
(2)，理由如下：
延长，作延长线于点，于点，连接，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
在中，，
当与重合时，最大为长为，
此时；
(3)
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到结论即可；
（2）延长，作延长线于点，于点，连接，证明和，得到，得出当与重合时，最大为长为，计算即可；
（3）延长到点，使得，连接，证明和，得到，得出总路线长度计算即可；
【详解】（1）解：略；
（2）解：略；
（3）解：由题意得：
，
，
，
延长到点，使得，连接，
由方位角可知：，,
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
总路线长为，
长度为
，
总长度为．
56．【问题背景】如图，是等边三角形，是等腰三角形，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边于点，连接．
【探索求证】
(1)当与垂直时（如图1），求证：是等边三角形；
(2)当与垂直时（如图1），求证：；
(3)当与不垂直时（如图2），请判断与是否仍相等？并说明理由．
【答案】(1)
证明：是等边三角形，是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
是等边三角形；
(2)
证明：由（1）可得，
，
在中，，
，
，
是等边三角形，
；
(3)
．
证明：如图，延长至，使得，连接．
为等边三角形，
，
又，且，
，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
，
．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，
对于（1），结合等边三角形和等腰三角形的性质得，，再根据角边角证明，可得，则结论可证；
对于（2），由（1）可得，可得，根据含直角三角形的性质得，即可得，再结合等边三角形的性质得出答案；
对于（3），根据角边角证明，再根据角边角证明，则答案可证.
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
57．问题背景：
（1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系．
小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______；
探究延伸：
（2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由；
探究延伸：
（3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：
（4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离．
【答案】（1）；
（2）解：上述结论仍然成立，即，理由如下：
如图，延长到，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：上述结论仍然成立，即，理由如下：
如图，延长到，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
；
（4） 米
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用．
（1）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：；
（2）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：；
（3）延长到，使，连接，根据 ，，得到， 先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：；
（4）连接，延长交的延长线于， 将题干信息转换到几何图形上，可判断得到其符合第（3）问中的条件，由第（3）问中的结论可得：，根据距离速度时间求得、的长，代入计算即可得到两舰艇之间的距离的长．
【详解】解：（1）如图，延长到，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）略
（3）略
（4） 如图，连接，延长交的延长线于，
同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，
，，
指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，
，
．
两同学到指挥中心的距离相等，同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，
，，
，
符合第（3）问中的条件，
由第（3）问中的结论可得：，
根据题意得，（米），
（米），
（米）．
答：此时两同学之间的距离为米．
【题型 15】截长补短综合
58．阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
(1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系．
(4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值．
【答案】(1)解：选择方法1，证明如下：
如图所示，在上截取，连接，
∵对角线平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
选择方法2，证明如下：
如图所示，延长到点N，使得，连接，
∵对角线平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)解：，理由如下：
如图所示，在上截取，连接，
由（1）得，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵对角线平分，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
(3)
(4)4或18
【分析】（1）方法1：证明，得到，再证明，得到，即可证明；方法2：证明，得到，再证明，得到，即可证明；
（2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到；可求出，得到，则可证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得；
（3）过点D作交的延长线于点F，连接，证明，得到，；再证明，得到，据此可得；
（4）求出，得到；根据全等三角形的性质得到，，则可求出，进而得到；可求出，再分两种情况：点P从B向点C运动和点P从点C向点B运动，讨论求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图所示，过点D作交的延长线于点F，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，；
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
（4）解：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴；
由（3）可得，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴当点P从B向点C运动时，则，
当点P从点C向点B运动时，则，
综上所述，t的值为4或18．
59．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
【答案】
（1）方法1：在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
方法2：延长到，使，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：
如图，在上截取，连接，
由（1）知，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
方法：理由：延长到，使，连接，
由（1）知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；
（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证
（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证；
（3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
（3）线段、、之间的数量关系为．
连接，过点作于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
60．（1）【阅读理解】
如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明；
（2）【问题解决】
如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】
（1）延长到点，得，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2）．理由如下：
延长到点，使得，连接，
由（1）知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论；
（2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论．
【详解】解：（1）略
（2）略
61．阅读材料：
“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．
依据上述材料，解答下列问题：
如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF．
(1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．）
(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)FC＝CD+CE
【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论；
（2）过D作DGAB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【详解】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECG＝60°，
∴△CEG是等边三角形，
∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°，
∴∠DEG＝∠FEC，
在△DEG和△FEC中，
，
∴△DEG≌△FEC（SAS），
∴DG＝CF，
∴CD＝CG+DG＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GDAB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF为等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．
【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
1
学科网（北京）股份有限公司
$
专题09 期中复习压轴十五大题型突破
选择题
【题型 1】全等 +等腰多结论判断
【题型 2】勾股定理分类讨论、直角三角形存在性
【题型 3】无理数估算、整数部分小数部分
【题型 4】最短路径、将军饮马判断最值
填空题
【题型 5】等腰三角形多解问题
【题型 6】折叠压轴(勾股定理 + 折叠全等)
【题型 7】勾股定理逆定理 +面积、赵爽弦图
【题型 8】实数综合:小数部分、平方根双解
解答题
【题型 9】全等三角形手拉手综合压轴
【题型 10】折叠 +勾股方程综合大题
【题型 11】将军饮马 + 最短路径综合
【题型 12】动点几何压轴(三角形动点，等腰/直角存在性)
【题型 13】倍长中线法综合
【题型 14】半角模型综合
【题型 15】截长补短综合
【题型 1】全等 +等腰多结论判断
1．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
2．如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使．
给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有（ ）
A．③④ B．①②③ C．①③④D．①②③④
3．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍；
②当两点同时到达点时，；
③若时，与垂直；
④若运动过程中存在与全等，则或．
以上说法正确的选项为（ ）
A．①③ B．①② C．①②④D．①②③④
4．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．已知如图等腰于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形，④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．如图，，，，，垂足分别为、．
①；
②；
③；
④若，则；
⑤取中点，连接，，则为等腰直角三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型 2】勾股定理分类讨论、直角三角形存在性
7．在中，，，则（ ）
A．28 B．28或10 C．28或100 D．10
8．若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（ ）．
A． B．或 C． D．或
9．一个直角三角形的三边长分别为6，，，则的值是（ ）
A．100 B．10 C．10或 D．10或7
10．如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．2或
11．如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点、重合），点沿以的速度从点开始向点运动，当是直角三角形时，运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为．动点P从点B出发沿射线以的逃速度运动．设运动的时间为t秒，当t为（ ）秒时，为直角三角形．
A． B． C．2或 D．2或
【题型 3】无理数估算、整数部分小数部分
13．估计的值（ ）
A．在3和4之间 B．在5和6之间
C．在4和之间 D．在和4之间
14．估计的值在（ ）
A．到之间 B．到之间 C．到之间D．到之间
15．已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ）
A．−3 B． C．3 D．
16．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（ ）式子中的“”，“”依次相间
A． B． C． D．
【题型 4】最短路径、将军饮马判断最值
17．如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.8 C．6 D．8
18．如图，等腰的底边长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
19．如图，等边与关于直线对称，，且的边长为，为线段上一动点，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
20．如图1，将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识成功地解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索，如图2在中，，，，点、、分别在、、上，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
21．如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
填空题
【题型 5】等腰三角形多解问题
22．已知等腰三角形的两边长为5和2，则它的周长为________．
23．若一个等腰三角形的周长为，一边为，则腰长为_____________．
24．把一根长的铁丝围成一个等腰三角形，使其中一边的长比另一边的2倍少，则该三角形的底边长为________．
25．如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_____时，是等腰三角形．
【题型 6】折叠压轴(勾股定理 + 折叠全等)
26．如图，在中，，，，将折叠，使点B恰好落到斜边上，与点重合，为折痕，则的长为_________．
27．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________．
28．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则的长为___________．
【题型 7】勾股定理逆定理 +面积、赵爽弦图
29．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，连接，若已知三个正方形的面积依次为，，，则第四个正方形的面积为______．
30．“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”其中四边形、、均为正方形．若，，则______．
31．如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____．
32．如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________．
【题型 8】实数综合:小数部分、平方根双解
33．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分，类似的，的小数部分可以表示为______．
34．如图1，已知长方形A与长方形B的宽相等，将它们如图2的方式无重叠摆放时组成一个大正方形；将它们如图3的方式重叠摆放时组成一个大长方形．若图2中大正方形的面积为36，图3中大长方形的面积为24，则长方形B的面积为______．
35．若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________．
36．若与互为相反数，则的平方根是______．
解答题
【题型 9】全等三角形手拉手综合压轴
37．如图，在和中，，，，和交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分；
(3)若平分，判断和的数量关系，并证明．
38． 综合与实践
【情境】在学习“三角形”相关知识过程中，爱动脑筋的小鹏发现在如图1所示的图形中，两个等边三角形有一个公共顶点，此时产生了很多有趣的问题．
【模型】由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形中，若把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．
【操作】
(1)如图1，和都是等边三角形，连接和，试说明：．
【探究】
(2)如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则和的数量关系是____________，和的位置关系是____________．
【拓展】
(3)如图3，是一个锐角三角形，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，交于点，求的度数．
39．【阅读材料】小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．
【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，证明：．
【深入研究】（2）与都是等腰三角形，，，且，证明：；
【深化模型】（3）如图3，，，，求的长．
40．【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
(1)【模型探究】如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________；
(2)【探究证明】如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由；
(3)【模型应用】如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，求的面积．
【题型 10】折叠 +勾股方程综合大题
41．爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点，
是的角平分线，且，
_________．
，
．
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：；
(3)【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出．
(4)【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由．
42．在中，是上的动点，点在的三边上移动．
(1)如图1，当是的中点，点在上，时．若，求的长．
(2)如图2，当点在上，将沿折叠，点恰好落在边上的点处时．若，求的长．
(3)如图3，当点在上，时，若，，求证：．
43．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理
(1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程．
(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ．
(3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长．
44．（1）如图1，折叠等边纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点．①求的度数．②求证：为等边三角形．
（2）如图2，等腰纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，求的长度．
（3）如图3，折叠锐角纸片，使点落在的右方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，请写出线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
45．综合与探究
如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上．
(1)求边的长．
(2)如图，若为的中点．求证：．
(3)如图，若为的中点．
试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由．
直接写出线段的长．
【题型 11】将军饮马 + 最短路径综合
46．【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．”
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1中的面积是______；
(2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积；
(3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________．
(4)拓展应用：求代数式的最小值．
47．已知为等边三角形．
(1)如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：．
(2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点F．求证：．
(3)如图3，若，点P是边上一定点且，若点D为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接、，直接写出的最小值．
48．综合与实践
【问题提出】
如图1，牧民从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
【解决问题】
如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，牧民到河边的点处饮马可使所走的路径最短．
证明：如图3，在直线上另取任一点，连接，，，因为点与点关于直线成轴对称，所以直线是线段的垂直平分线，因为点，在直线上，所以，．所以．同理，，因为在中，，所以，即最小．
【学以致用】
(1)如图4，在中，，，，为边的中点，的垂直平分线分别交边，于点，．点为线段上一动点，求周长的最小值；
(2)如图5，是等边三角形，边长为10，是边上的高，点，分别在，边上，且，点在上，求的最小值．
【题型 12】动点几何压轴(三角形动点，等腰/直角存在性)
49．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
(1) _____；（用含t的式子表示）
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系为______，并说明理由；
(3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
50．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒．
(1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示）
(2)当运动时间为4秒时，求的面积；
(3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
51．如图，在中，， ，，动点P从点B出发沿射线方向以的速度运动．设运动时间为 ts．
(1)求的长度；
(2)当 为直角三角形时，求t的值；
(3)是否存在这样的t，使 为等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由
【题型 13】倍长中线法综合
52．发现问题
小明遇到这样一个问题，如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
初步探索
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长到，使得；
②连接，易证，于是我们把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
总结方法
在利用中线解决几何问题时，当题中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．
问题解决
(1)如图1，与的位置关系是 ；的取值范围是 ；
问题应用
(2)如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系；
拓展延伸
(3)如图3，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，求的长．
53．综合与实践；
【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长到，使得；
连接，易证，于是我们把，，转化在中；
利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
(1)【问题解决】如图，和的位置关系是______；的取值范围是______．
(2)【类比应用】如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点，若，求证：．
(3)【问题拓展】如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，请直接写出__________．
54．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围．
我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程；
(2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：；
(3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点
【题型 14】半角模型综合
55．解答下列问题：
(1)【观察猜想】如图1，在四边形中，，，，，小王同学想探究线段，，之间的数量关系．
他的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，请你帮小王同学写出得到的结论：________．
(2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，，四边形面积的最大值，并说明理由．
(3)【实际应用】如图3，延安红色旅游景区的步道规划过程中，在游客中心点处观测到：红色文化广场在点的北偏西方向，革命旧址在点的南偏东方向，且两处景点到游客中心的距离均为，红色旅游专线开通后，1号观光车从点出发向正东方向以/分的速度行驶，同时2号观光车从点出发沿北偏东的方向以/分的速度行驶，15分钟后分别到达、处（观光车停车点），按景区规划要求，请你尝试求出观光车从游客中心出发，沿绕景区一圈的总路线长度．
56．【问题背景】如图，是等边三角形，是等腰三角形，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边于点，连接．
【探索求证】
(1)当与垂直时（如图1），求证：是等边三角形；
(2)当与垂直时（如图1），求证：；
(3)当与不垂直时（如图2），请判断与是否仍相等？并说明理由．
57．问题背景：
（1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系．
小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______；
探究延伸：
（2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由；
探究延伸：
（3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由；
实际应用：
（4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离．
【题型 15】截长补短综合
58．阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
(1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系．
(4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值．
59．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系．
60．（1）【阅读理解】
如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明；
（2）【问题解决】
如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
61．阅读材料：
“截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段．
依据上述材料，解答下列问题：
如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF．
(1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．）
(2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由．
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