专题08 平面直角坐标系重难点十大题型突破-2026-2027学年苏科版八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题08 平面直角坐标系重难点十大题型突破 【题型 1】确定物体位置(有序数对、方位 +距离) 【题型 2】平面直角坐标系概念辨析，象限、坐标轴上点的坐标特征 【题型 3】已知点到坐标轴距离，求点的坐标(多解问题） 【题型 4】坐标符号判断，根据点的位置求字母参数 【题型 5】点关于 x轴、y轴、原点对称的坐标变换 【题型 6】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 【题型 7】坐标平面内求几何图形面积 【题型 8】坐标与图形轴对称综合作图 【题型 9】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 【题型 10】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 【题型 1】确定物体位置(有序数对、方位 +距离) 1．根据下列表述，能确定准确位置的是（     ） A．西安市高新区 B．北偏东 C．科技路沿线 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】确定准确位置需要两个独立的定位条件，据此判断各选项． 【详解】解：A、西安市高新区是区域范围，无法确定准确位置，该选项不符合题意； B、仅给出方向，缺少距离，无法确定准确位置，该选项不符合题意； C、科技路沿线为直线，包含无数个点，无法确定准确位置，该选项不符合题意； D、东经与北纬可确定唯一准确位置，该选项符合题意． 2．小明从点出发（如图，每个小方格的边长表示）往正东方向走，再往正北方向走到达点．若点所在的位置用数对表示为，则点所在的位置用数对表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点所在的位置用数对表示为， ∴正东走，相当于向右走2个小方格，列数从3变为， 再往正北走，相当于向上走2个小方格，行数从2变为， 则点所在的位置用数对表示为． 3．晓晓坐在教室的第列第行，用表示；点点坐在晓晓正后方且与晓晓相邻的位置，则点点的位置可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由“晓晓坐在教室的第列第行，用表示”可知，数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行．点点坐在晓晓正后方且与晓晓相邻的位置，即点点坐在第列，第行，据此即可用数对表示点点的位置． 【详解】解：晓晓在第列第行，位置记为， 又点点在晓晓正后方相邻位置，列数不变，行数加， 点点的位置为． 4．如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【分析】本题考查了根据方位描述确定物体的位置，熟练掌握坐标的应用是解题关键．先求出学校相对于淇淇家的所在位置的方向角，再根据图形确定距离，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 则学校相对于淇淇家的位置：北偏东方向上的1200米处， 故选：C． 【题型 2】平面直角坐标系概念辨析，象限、坐标轴上点的坐标特征 5．下列平面直角坐标系的画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面直角坐标系的定义，需要满足两条数轴互相垂直，横轴x轴向右为正方向，纵轴y轴向上为正方向，标注原点与单位长度，逐一检验四个选项，选出符合全部条件的图形． 【详解】解：A项：两条坐标轴不互相垂直，画法错误． B项：x轴正方向标注错误，原点右侧应为正数，画法错误． C项：缺少x轴的正方向箭头，画法错误． D项：坐标轴互相垂直，x轴向右为正，y轴向上为正，原点、单位长度标注正确，画法正确． 6．如图，若无人机某次投送的中心位置在图中阴影部分内，则中心位置的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图中阴影部分的位置得出中心位置在第四象限，根据坐标系中各象限的点的坐标特征，即可得出答案． 【详解】解：∵图中阴影部分在第四象限， ∴中心位置的横坐标为正，纵坐标为负， ∵在第四象限，在第一象限，在第三象限，在第二象限， ∴在四个选项中，只有A选项符合题意． 7．在平面直角坐标系中，点落在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴点在第二象限． 8．已知点在轴上，那么点的坐标为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】轴上的点纵坐标为0，由此求出的值，再代回求横坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴它的纵坐标为0，即， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【题型 3】已知点到坐标轴距离，求点的坐标(多解问题） 9．若点在第四象限，点到轴的距离为4，到轴的距离为6，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到坐标轴的距离确定横纵坐标的绝对值，结合第四象限内点的坐标符号特征求解． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴，， ∴，， ∵点在第四象限， ∴，， ∴点的坐标为． 10．点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：点在第二象限， 点的横坐标为负，纵坐标为正， 又点距离轴个单位长度， 点的纵坐标为， 又点距离轴个单位长度， 点的横坐标为， 综上所述，点的坐标为． 11．已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A．B．或C．或D．或 【答案】C 【分析】平行于轴的直线上的点的横坐标相等，以及点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，据此即可求解点的坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于y轴的直线上， ∴， ∵点B到x轴的距离为3， ∴点B的纵坐标的绝对值为3， ∴点B的纵坐标为或3， ∴点B的坐标为或 【题型 4】坐标符号判断，根据点的位置求字母参数 12．在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则a的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵第三象限内点的横坐标与纵坐标均为负数，点位于第三象限， ∴， 观察选项，只有满足． 13．若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】平行于轴的直线上所有点的横坐标相等，根据该性质列方程即可求解． 【详解】解：轴， 点和点的横坐标相等， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， 解得． 14．点在y轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用y轴上点的横坐标为0，求出m的值，再计算点P的纵坐标，得到点P坐标. 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的横坐标为 ∴ 解得 将代入纵坐标得 ∴点的坐标为 15．若点在坐标轴上，则横坐标与纵坐标满足（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点在坐标轴上，则或， 即． 16．在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上；则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∵点在轴上， ∴， 解得， ∴． 【题型 5】点关于 x轴、y轴、原点对称的坐标变换 17．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可直接求解． 【详解】解：∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 18．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标规律，理解题意是解决本题的关键． 关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于y轴对称， ∴横坐标取相反数，纵坐标不变， ∴对称点为． 故选A． 19．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 20．已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 【答案】D 【分析】利用关于原点对称的点的坐标性质，先求出和的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 【题型 6】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 21．将点向右平移个单位长度，得到的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标为，纵坐标为，即． 22．点向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”计算即可． 【详解】解：∵点坐标为， ∴根据平移规律向左平移1个单位，横坐标变为； 再向上平移3个单位，纵坐标变为， ∴平移后得到的点的坐标为． 23．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合点A和点C的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：线段平移得到线段，且点的对应点是， 由坐标可知，线段向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到线段， 点的对应点D的坐标是． 24．在平面直角坐标系中，，，将线段平移后，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点及其对应点的坐标确定平移的横、纵坐标变化量，再按规律计算点的坐标. 【详解】解：∵点平移后得到对应点， ∴横坐标变化量为，纵坐标变化量为， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为. 25．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点和对应点的坐标确定平移规律，再利用中点坐标公式求出原端点的坐标，最后根据平移规律计算的坐标即可. 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为横坐标减，纵坐标加，即向左平移个单位，向上平移个单位， 设点的坐标为， 中点为， 由中点坐标性质得， 解得：， 点的坐标为， 根据平移规律，点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：B． 【题型 7】坐标平面内求几何图形面积 26．如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 27．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质，先根据点A，B，C的坐标求出和的面积，再结合四边形的面积是的面积的得出的面积，据此求出a的值即可． 【详解】解：由题知， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，． 又∵四边形的面积是的面积的， ∴四边形的面积为， ∴， 则， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据点，，得，，又的面积为，求出的长，再根据平移规律即可求解． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ∴， ∵将线段平移后得到线段，点在轴上， ∴，，， ∴四边形的面积是． 29．如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，， (1)求这个四边形的面积． (2)在x轴上有一点P使得的面积与四边形的面积相等，求点P坐标． 【答案】(1)94 (2)或 【分析】（1）分别过B、C作x轴的垂线，利用分割法求面积和即可； （2）设，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点B作轴，过点C作轴， ∴这个四边形的面积 ； ． （2）解：设 ∵的面积与四边形的面积相等， ∴， ∴， ∴解得或， ∴或． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，． (1)点的坐标 ，点的坐标 ，四边形的面积 (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的3倍？若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；18 (2)存在，或 【分析】（1）利用平移方式求出点、的坐标，根据平移的性质可得四边形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）设点，则，利用三角形面积公式求出和，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据平移方式可得，点的坐标为，点的坐标为， ， 点，的坐标分别是，， ， 由平移的性质知，四边形是平行四边形， 四边形的面积为； （2）解：存在，理由如下： 设点，则， 由（1）知，、， ， 、， 三角形的面积是三角形面积的3倍， ， 整理得：， 或， 解得或， 即或． 【题型 8】坐标与图形轴对称综合作图 31．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)将向右平移8个单位，画出平移后的， (3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，则画出对称轴（直线），若不是，请说明理由． 【答案】(1) 解：如图所示：即为所求；的坐标是； (2) 解：如图所示：即为所求； (3) 解：是，如图所示：直线即为所求． 【分析】本题考查了作轴对称图形，作平移图形，找对称轴． （1）先找出关于轴对称的点的坐标，再连线，根据坐标系作答即可； （2）先找出向右平移8个单位对应的点，再连线即可； （3）由图形可知和是关于某条直线对称，作一组对应点连线的垂直平分线即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 32．如图，在平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线． (1)画出向下平移3个单位长度的图形； (2)将关于直线对称得到，则各顶点的坐标为__________； (3)已知点为内一点，经过上述两次变换后对应点的坐标为__________； 【答案】(1)如图，即为所求作的三角形； (2) 如图，即为所求作的三角形，； (3) 【分析】本题主要考查作图—轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换和平移变换的定义与性质及平面直角坐标系中点的坐标的平移、关于坐标轴对称的特点． （1）将的三个顶点分别向下平移3个单位长度，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接，然后写出各顶点的坐标即可； （3）第一次变换根据“右加左减、上加下减”求解，第二次变换根据“关于直线的对称时，对称点是中点”求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）经过第一次变换后的坐标为：， ∵第二次变换的对称轴是直线, ∴纵坐标不变，横坐标变为，即． 故答案为：． 33．如图，在平面直角坐标系中． (1)分别做出关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的和关于直线n（直线n上各点的纵坐标都是-1）对称的． (2)若上有一点，则关于直线m对称后的对应点的坐标为______，关于直线n对称后的对应点的坐标为______． (3)的面积等于______． 【答案】(1)图见解析 (2)； (3)4 【分析】（1）先找到对称轴，然后根据要求作图即可； （2）找出三角形上到直线m和n的距离，再利用对称性找到对称点的坐标即可； （3）运用割补法即可求出三角形面积． 【详解】（1）解：如图 （2）∵直线m上各点的横坐标都是1， ∴直线m为直线， ∵ P坐标为，在第二象限， ∴P到直线m的距离为， P对称点到直线m的距离也为， ∴横坐标为， 纵坐标不变为y ∴坐标为； ∵直线n上各点的纵坐标都是-1， ∴直线n为直线， ∵ P坐标为，在第二象限， ∴P到直线n的距离为， P对称点到直线n的距离也为，且在第三象限， ∴纵坐标为， 横坐标不变为x ∴坐标为 （3） ∴ 【点睛】本题考查了网格作图、对称点的坐标及网格中三角形求面积，解题关键是用好割补法． 34．如图，在平面直角坐标系中．    (1)分别画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的和关于直线（直线上各点的纵坐标都是）对称的； (2)若上有一点，则关于直线对称后的对应点的坐标为___________，则关于直线对称后的对应点的坐标为___________． 【答案】(1) 作图如下：    (2)， 【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可作出； （2）根据关于对称轴对称的点与对称轴的距离相等即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：若上有一点， 点到直线的距离为，到直线n的距离为， ，， 则关于直线对称后的对应点的坐标为，则关于直线对称后的对应点的坐标为 ． 【点睛】本题考查了网格作图、对称点的坐标，关于对称轴对称的点与对称轴的距离相等． 【题型 9】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 35．如图，在平面直角坐标系上有一个质点，质点第一次跳动至点，第二次跳动至点，第三次跳动至点，第四次跳动至点，依此规律跳动下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】仔细观察角码为偶数时，横坐标，纵坐标的变化规律，解答即可； 【详解】解：根据题意，得 ，右下角的角码为偶数0，横坐标为，纵坐标为， ，右下角的角码为偶数2，横坐标为，纵坐标为， ，右下角的角码为偶数4，横坐标为，纵坐标为， ………… 由此得到，右下角的角码为偶数，横坐标为，纵坐标为， 故，右下角的角码为偶数，横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为； 36．如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出四边形的周长为10，根据，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，， ∴，，且四边形为矩形， ∴矩形的周长． ∵，， ∴细线的另一端落在点． 37．如图，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得（n为正整数）的横坐标为，纵坐标为，根据可得答案 【详解】解：……， 以此类推，可知，（n为正整数）的横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴的坐标为 38．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了规律探索，找出坐标的变化规律是解答的关键．观察图形点所在的位置可以得到，，，每4个为一组，据此可以得到在轴正半轴上，纵坐标为0，根据，，坐标规律可得到． 【详解】解：观察图形中点所在的位置可以看出，，，每4个为一组， ， 在轴正半轴上，纵坐标为0， ∵，，， ∴，． 故选：． 39．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律，第2025个点的横坐标为（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，难度较大．根据题意得到规律第n个正方形，连同前边所有正方形共有个点，当n为奇数时，正方形且终点为，当n为偶数时，且终点为．根据，求出，即可得到第2025个点的横坐标为45． 【详解】解：由图可知：第一个正方形共有个点，且终点为； 第二个正方形连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形连同前三个正方形共有个点，且终点为； … ∴第n个正方形，连同前边所有正方形共有个点，当n为奇数时，正方形终点为，当n为偶数时，且终点为． ∵， ∴， 解得：． ∴第2025个点的横坐标为45． 故选：D 40．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，…，按这样的运动规律，经过2025次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，找出规律是解题的关键． 分析前几次的点的坐标，可得次一循环，进而得出次后点的坐标，即可求解． 【详解】解：第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，…… 每次后纵坐标为，横坐标加 ∴经过次运动横坐标为， 经过次运动纵坐标为， ∴经过第次运动后，动点的坐标是， 故选：C． 41．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，再向正北方向走18米到达点，按如此规律走下去，则的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据题意求出到的坐标，可发现（n为正整数）的纵坐标为，横坐标为，再根据可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，（n为正整数）的纵坐标为，横坐标为， ∵， ∴的纵坐标为，横坐标为， ∴的坐标为． 42．横、纵坐标均为整数的点称为整点．一列有规律的整点如图排列，从第一个点开始，它们的坐标依次为，，，，，，根据这个规律，第2026个整点的坐标为______． 【答案】 【分析】观察图中点的坐标可知，当n为奇数时，第个整点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【详解】解：∵第个整点的坐标为， 第个整点的坐标为， 第个整点的坐标为， …… ∵， ∴第个整点的坐标为， ∴第2026个整点的坐标为． 【题型 10】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 43．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当________时，点的横坐标与纵坐标相等； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． ④当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) ； ； ，理由： 当时，点在上运动，则过作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 或． 【分析】（1）由非负数的性质得出，； （2）由点在上运动，，则的纵坐标为，根据点的横坐标与纵坐标相等，得出，求出的值即可； 当点在上运动，则点的横坐标为，由（1）得，，进而可得，，最后列代数式即可； 当时，点在上运动，则过作，则有，然后根据平行线的性质即可求解； 由（1）得，，进而求得四边形的面积为，直线将四边形的面积分成两部分，然后分当在上时和当在上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵点在上运动，， ∴点的纵坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴，解得： ； 由平移性质可知，， ∵点在上运动， ∴点的横坐标为， ∵，， ∴，，， 由平移性质可知，，， ∴，即点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 略 ∵，， ∴，， 由平移性质可知，，，，， ∴四边形的面积 ， ∵直线将四边形的面积分成两部分 ∴当在上时，， ∴，解得：； ∴当在上时，， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴当直线将四边形的面积分成两部分时，的值为或． 44．在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据长方形的性质，结合坐标系，即可求解； （2）①先求出，再用三角形的面积公式得出，，即可得出结论； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合，连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则，根据①得出，则，设，则，得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知长方形，其中点，点． ∴ ∴，； （2）①，理由如下： 如图1，过点作于， 由平移知，轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，即：； ②如图，∵四边形是长方形， ∴当将四边形分成面积相等的两部分时，经过点，则重合， 连接并延长交轴于点，连接，延长交轴于点，则， ∵ 设 ∴ 由①可得 ∴ ∴即 解得： ∴ 45．综合与实践：已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧过点作，且． (1)【操作填空】如图，当点在线段上时，过点作于：找出始终与相等的角是________，与相等的线段是________，与相等的线段是________； (2)【探索延伸】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点（点不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形． ①如图，当点的坐标为时，求点的坐标． ②如图，当点在上移动时，连接，交轴于点．求证：． ③点在射线上运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的面积是________． 【答案】(1)与相等的角是，与相等的线段是，与相等的线段是 (2)① ②证明：如图，作轴于点，则， 由（1）得， ， 在和中， ， ， ． ③当是等腰三角形时，直接写出的面积是或 【分析】（1）由与得，用证，把转移为，再由把转化为； （2）①过作轴的垂线构造直角三角形，用证，由、定出点的坐标； ②沿用同一对全等得，再证即可得证； ③设，把、分别放进以坐标轴为直角边的直角三角形，按三种等腰情形分别求出，再求面积． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵点在上， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∵， ∴． 即与相等的角是，与相等的线段是，与相等的线段是； （2）①解：，， ， ∵点的坐标为， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，作轴于，则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ③解：设（），则，． 由（2）②的证明得，． 当时，，此时在的下方，； 当时，，此时在的上方，． ∴恒有，点的坐标为． 过点作轴于点，则，，，． 在中，； 在中，． ∵，， ∴的面积为． 当时，，无解，该情形不存在； 当时，由解得， 此时的面积为； 当时，由解得， 此时的面积为． ∴的面积为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面直角坐标系重难点十大题型突破 【题型 1】确定物体位置(有序数对、方位 +距离) 【题型 2】平面直角坐标系概念辨析，象限、坐标轴上点的坐标特征 【题型 3】已知点到坐标轴距离，求点的坐标(多解问题） 【题型 4】坐标符号判断，根据点的位置求字母参数 【题型 5】点关于 x轴、y轴、原点对称的坐标变换 【题型 6】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 【题型 7】坐标平面内求几何图形面积 【题型 8】坐标与图形轴对称综合作图 【题型 9】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 【题型 10】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 【题型 1】确定物体位置(有序数对、方位 +距离) 1．根据下列表述，能确定准确位置的是（     ） A．西安市高新区 B．北偏东 C．科技路沿线 D．东经，北纬 2．小明从点出发（如图，每个小方格的边长表示）往正东方向走，再往正北方向走到达点．若点所在的位置用数对表示为，则点所在的位置用数对表示为（     ）． A． B． C． D． 3．晓晓坐在教室的第列第行，用表示；点点坐在晓晓正后方且与晓晓相邻的位置，则点点的位置可表示为（     ） A． B． C． D． 4．如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【题型 2】平面直角坐标系概念辨析，象限、坐标轴上点的坐标特征 5．下列平面直角坐标系的画法正确的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，若无人机某次投送的中心位置在图中阴影部分内，则中心位置的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点落在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．已知点在轴上，那么点的坐标为（        ） A． B． C． D． 【题型 3】已知点到坐标轴距离，求点的坐标(多解问题） 9．若点在第四象限，点到轴的距离为4，到轴的距离为6，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 10．点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 11．已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离为3，则点B的坐标为（     ） A．B．或C．或D．或 【题型 4】坐标符号判断，根据点的位置求字母参数 12．在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则a的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D．3 13．若点M的坐标为，点N的坐标为，轴，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 14．点在y轴上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 15．若点在坐标轴上，则横坐标与纵坐标满足（     ） A． B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上；则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型 5】点关于 x轴、y轴、原点对称的坐标变换 17．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 18．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（       ） A． B． C． D． 19．已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 20．已知点与点关于原点对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D．9 【题型 6】坐标系内点的平移，平移前后坐标变化规律 21．将点向右平移个单位长度，得到的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 22．点向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 23．如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（     ） A． B． C． D． 24．在平面直角坐标系中，，，将线段平移后，点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 25．已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型 7】坐标平面内求几何图形面积 26．如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 27．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别为，，．若在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的，则点P的坐标为________． 28．如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移后得到线段，点在轴上，连接，．若的面积为，则四边形的面积是______． 29．如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，， (1)求这个四边形的面积． (2)在x轴上有一点P使得的面积与四边形的面积相等，求点P坐标． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，． (1)点的坐标 ，点的坐标 ，四边形的面积 (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的3倍？若存在请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型 8】坐标与图形轴对称综合作图 31．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)将向右平移8个单位，画出平移后的， (3)观察和，它们是否关于某条直线对称？若是，则画出对称轴（直线），若不是，请说明理由． 32．如图，在平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线． (1)画出向下平移3个单位长度的图形； (2)将关于直线对称得到，则各顶点的坐标为__________； (3)已知点为内一点，经过上述两次变换后对应点的坐标为__________； 33．如图，在平面直角坐标系中． (1)分别做出关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的和关于直线n（直线n上各点的纵坐标都是-1）对称的． (2)若上有一点，则关于直线m对称后的对应点的坐标为______，关于直线n对称后的对应点的坐标为______． (3)的面积等于______． 34．如图，在平面直角坐标系中．    (1)分别画出关于直线（直线上各点的横坐标都是1）对称的和关于直线（直线上各点的纵坐标都是）对称的； (2)若上有一点，则关于直线对称后的对应点的坐标为___________，则关于直线对称后的对应点的坐标为___________． 【题型 9】坐标系中点运动规律探究（坐标递推、循环规律） 35．如图，在平面直角坐标系上有一个质点，质点第一次跳动至点，第二次跳动至点，第三次跳动至点，第四次跳动至点，依此规律跳动下去，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 36．如图，在平面直角坐标系中，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按……的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 37．如图，点，…，按照这样的规律下去，点的坐标为（    ） A． B． C．D． 38．如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，且点，，，，坐标分别是，，，，，依据图形所反映的规律，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 39．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律，第2025个点的横坐标为（   ） A．42 B．43 C．44 D．45 40．如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发按图中箭头所示方向运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，第6次运动到点，…，按这样的运动规律，经过2025次运动后，动点的坐标是（    ） A． B． C． D． 41．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，再向正北方向走18米到达点，按如此规律走下去，则的坐标为_________． 42．横、纵坐标均为整数的点称为整点．一列有规律的整点如图排列，从第一个点开始，它们的坐标依次为，，，，，，根据这个规律，第2026个整点的坐标为______． 【题型 10】坐标背景下的几何简单计算、分类讨论题 43．如图①，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，点的坐标为，且． (1)________，________； (2)如图②，点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒，回答下列问题： ①当________时，点的横坐标与纵坐标相等； ②当点在上运动时，点的坐标为________；（用含的式子表示） ③当时，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． ④当直线将四边形的面积分成两部分时，直接写出的值． 44．在平面直角坐标系中，已知长方形，其中点，点． (1)填空：点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若点是轴上的动点，连接． ①如图1，当点在轴正半轴时，线段与线段相交于点，用等式表示三角形的面积与三角形的面积之间的关系，并说明理由； ②当将四边形分成面积相等的两部分时，求点的坐标． 45．综合与实践：已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧过点作，且． (1)【操作填空】如图，当点在线段上时，过点作于：找出始终与相等的角是________，与相等的线段是________，与相等的线段是________； (2)【探索延伸】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为射线上一动点（点不与点重合），以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角三角形． ①如图，当点的坐标为时，求点的坐标． ②如图，当点在上移动时，连接，交轴于点．求证：． ③点在射线上运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的面积是________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $