第十三章·三角形·期中复习·满分压轴训练（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十三章·三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握三角形内角和定理与外角性质，能进行角的计算与推理 · 理解三角形三边关系，会判断能否构成三角形并求边的取值范围 · 掌握三角形中线、高、角平分线的性质及其应用 · 能结合平行线性质进行三角形角的综合计算与证明 · 会利用三角形知识解决折叠、规律探究等综合问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.三角形的边与三边关系 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 判断三条线段能否构成三角形：取较短两边之和与最长边比较，大于则能构成 已知两边a、b（a>b），第三边c的范围：a-b<c<a+b 三角形按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形） 概念辨析例题：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A．2，3，6　B．3，4，7　C．5，6，10　D．1，1，3 答案：C 解析：较短两边之和大于最长边才能构成三角形；A中2+3<6，B中3+4=7（等于不构成），D中1+1<3，只有C中5+6>10，故选C ✅️ 2.三角形的高、中线与角平分线 高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；三条中线交于一点（重心），中线把三角形分成面积相等的两部分 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 锐角三角形三条高在三角形内，直角三角形有两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部 概念辨析例题：如图，AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为4，则△ABC的面积为____。 答案：8 解析：AD是中线，则BD=CD，△ABD与△ACD等底等高、面积相等，故△ABC的面积为4×2=8 ✅️ 3.三角形的内角和与外角 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；大于任何一个与它不相邻的内角 三角形的外角和等于360° 概念辨析例题：如图，∠A=40°，∠B=60°，则外角∠ACD的度数为____。 答案：100° 解析：由外角性质，∠ACD=∠A+∠B=40°+60°=100° ✅️ 4.平行线与三角形角的综合 平行线的性质：两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补 解题思路：通过平行线把角转移到三角形中，再利用内角和定理或外角性质求角 折叠问题：折叠前后对应角相等，结合内角和与外角列方程求解 角平分线与平行线组合：常用方程思想设未知数建立等量关系 概念辨析例题：如图，AB∥CD，∠A=30°，∠C=50°，则∠1的度数为____。 答案：80° 解析：过交点作平行线（或利用三角形外角），∠1等于∠A与∠C之和，即∠1=30°+50°=80° 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 判断时可取较短两边之和与最长边比较 中线 连接顶点与对边中点的线段 三条中线交于重心，中线平分三角形面积 内角和定理 三角形内角和等于180° 求角常用：∠C=180°-∠A-∠B 外角性质 外角=不相邻两内角之和 外角和等于360°，外角大于任一不相邻内角 📩 核心考点 【考点1】三角形内角和与外角性质（第1-16题） · 用内角和定理与外角性质快速求角：外角等于不相邻两内角之和 · 折叠问题抓住折叠前后对应角相等，再结合内角和列方程 · 角平分线与内角和组合：设未知数表示角，建立等量关系求解 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，的两条内角平分线相交于点，两条外角平分线交于点．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，在中，，点在右侧，连接、，设，过作于点，点在内部，且平分，延长至点，使，则可表示为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，的度数是_______． 7．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 8．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，点在边上，连接，，点、点在线段上，．若，则_______________． 9．（25-26七年级下·河南郑州·期末）定义：我们把等腰三角形的角平分线与一腰的夹角称为“二分角”，若等腰是锐角三角形，且其中一个“二分角”的度数为，则等腰顶角的度数为________． 10．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 11．（25-26七年级下·河南南阳·期末）探究题：已知在中，．的平分线与的外角的平分线相交于点D，与边相交于点E，直线与直线相交于点F． (1)，如图1． ①当∠时，求和的大小； ②当∠时，直接写出和的大小； ③根据以上结论，发现当的大小改变时，和之间的数量关系保持不变．和之间的数量关系可用等式表示为 ． (2)，如图2，和之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由． 12．（2026八年级上·全国·专题练习）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则___________ ； (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求___________ （用表示）； (4)如图4，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为___________ ． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 （1）若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为______． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为______． 【应用】 （3）如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 14．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 15．（25-26七年级下·全国·期末）如图，，点，分别在，上运动（不与点重合）． (1)如图①，若，分别是和的平分线，则的度数是____________； (2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． ①若，则的度数是____________； ②随着点，的运动，的大小会变吗？请说明理由． ③如图③，延长至点，延长至点，已知，的平分线与的平分线及其反向延长线相交于点，．在中，如果有一个角是另一个角的3倍，求的度数． 16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）数学探究 在中，已知． (1)如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 【考点2】三角形三边关系与中线、高（第17-29题） · 判断构成三角形：较短两边之和与最长边比较 · 已知两边求第三边范围：两边之差<第三边<两边之和 · 中线平分面积、高与面积互求，注意钝角三角形高的位置 17．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 20．（23-24九年级下·北京·阶段检测）如图，点B,C,D在同一条线上，点D在点B，C之间，点A在直线上方，连接,，，，，设，，，，给出下面三个结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．② C．①③ D．①②③ 21．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 22．（2026·河南周口·二模）如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 23．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 24．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在四边形中，E，F是边的三等分点，G，H是边的三等分点．若，则 __________________ ． 25．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知在中，，是边上的高，，则_______． ∵， ∴； ②如图，当顶角为钝角三角形时： ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 26．（25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 27．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，在中，点D在边上，连接，点E在线段上，连接并延长，交于F，连接．若的面积为，，，设，，则根据题意可得______． 28．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则____． 29．（2024·山东东营·模拟预测）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 问题发现 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……． 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点B时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 拓展延伸： 小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【考点3】平行线与三角形角计算（第30-45题） · 用平行线性质转移角：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 · 把平行线转移的角纳入三角形内角和或外角关系求解 · 角平分线与平行线组合问题，用方程思想求角 30．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 31．（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④；正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 32．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图，点在延长线上，，交于点，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中是正确结论的有（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 33．（2025九年级·江西·专题练习）如图所示的“箭头”图形中，，，，，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 34．（25-26七年级下·四川广元·期中）在平面内有A，B，C，D，E五个点，满足，给出以下三个结论：①可能与平行；②可能与平行；③A，C，E三点可能在同一条直线上．所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 35．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，，，延长至点，连接，和的角平分线交于点，下列三个结论：①；②；③若，，则．其中结论正确的个数有________． 36．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，点在上，点在和之间，点在下方，；点在上，点在的延长线上，．设，则的度数用含的式子表示为________． 37．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点A、B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b的下方，连接交直线b于点D． （1）如图1，若，，_______（填度数）； （2）如图2，的邻补角的角平分线与的角平分线所在的直线交于点M，设，则_______（用含有的代数式表示） 38．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知点，分别在和上，且． (1)如图，若，，则的度数为______； (2)如图，平分，延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)点为平面内直线与中间一点，平分，平分，作，在图3中画出图形，则与之间的关系是否改变，若不变，请求值；若改变，请说明理由． 39．（25-26七年级下·重庆·期中）如图1，点，点分别在边、上，，的平分线交于点． (1)求的度数． (2)如图2，如果的平分线交于点，，求的度数． (3)如图3，如果点是线段上的一个动点（不与点、重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，直接写出其值． 40．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图1，已知直线，且和之间的距离为1，在直角三角形硬纸板和中．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点A在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点F在上时，如图2，求的度数； ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形EDF如图3放置，若点E在直线上，点F在和之间（不含上），边和与直线分别交于Q、K．在绕着点E旋转的过程中，设，求m的取值范围． 41．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）将一副三角板如图放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为） (1)若三角板如图1摆放时，则______°，______°； (2)现固定三角板的位置不变，将三角板沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点G，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为，当与直线首次重合时停止旋转，运动时间为，当线段与三角板的一条边平行时，请直接写出旋转的时间t的值______． 42．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段检测）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 如图1，直角三角板（）的直角边所在直线与直线重合．将该三角板绕点A逆时针旋转一定角度后，如图2所示．记，过B作直线．P为射线上异于点A的一点，从点P出发且位于直线上方的射线交直线于点Q，记． （1）小敏在操作过程中发现：如图2，若保持不变，且，则的度数也不变，请帮助小敏求出答案； （2）小涵在操作过程中发现：若点Q在线段上移动时（不含端点），则与，会满足一定的数量关系不变，请帮助小涵同学证明出它们之间的数量关系； 【深入探索】 （3）好奇的小唐同学认为，若点Q在线段延长线上移动时（不含端点），上述关系依然成立．请你帮助小唐同学解答一下．若成立，请说明理由；若不成立，请重新给出三者应满足的关系并说明理由； 【综合应用】 （4）数学老师觉得同学们很有自己的想法，于是提出了自己的一个问题：若，且射线不经过点B，设直线分别交直线、于点R、S，问：当时，探究，满足的条件并说明理由． 43．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知 ，E为直线上一点． (1)如图1，点G在直线上，若，，则的度数是___________； (2)如图2，Q为上一点，连接．若、分别平分、，的延长线交于点P，且，，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，N为射线上一点，连接，在直线的下方作，交的延长线于点M．直接写出与之间的数量关系． 44．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）已知：在平面直角坐标系中点，点 ，且满足． (1)求点，点的坐标； (2)已知点，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度/s的速度移动，同 时，点从点出发，沿轴负方向以1.5个单位长度/s的速度移动．如图1， 求点移动的 时间； (3)在（3）的条件和结论下，如图2所示，设交轴于点，作，的角平分线交于点，求此时的值． 45．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连接，平分，平分． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若，求的度数； (3)如图，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的的值． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 熟记三边关系与内角和定理，这是三角形计算与判断的基础 · 掌握中线、高、角平分线的性质，特别是中线平分面积这一常用工具 · 外角性质「等于不相邻两内角之和」是求角捷径，注意与内角和结合使用 · 平行线转移角后纳入三角形模型，体会转化与方程的思想 · 折叠、规律探究等综合题先画图标注意，再列方程求解 【作业1】（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【作业2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点．下列结论①；②；③平分．其中正确的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业3】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【作业4】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【作业5】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【作业6】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【作业7】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为6，则的面积为______． 【作业8】（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在中，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得，，按此做法进行下去，的度数为______． 【作业9】（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作于点．    （1）若，则________． （2）若的度数为，则当点在的内部时，的取值范围为________． 【作业10】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知，为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为___________． 【作业11】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积______． 【作业12】（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点，，均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点在上． 【作业13】（25-26七年级下·福建福州·期末）学习“三角形”这章时，数学兴趣小组开展以下探究活动．如图1，在中，的大小保持不变，记作．点E，D，F分别在边上，且． (1)当时，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点M，和的平分线交于点N．该小组发现：无论点E，D，F怎么运动，始终为定值．请你写出这个定值，并说明理由； (3)该小组类比（2）的研究，又找到和为定值的两个角，这两个角分别以M、N为顶点．你知道该小组的这个研究结果吗？请直接写出结果，无需证明．（要求：写出具体哪两个角及具体的定值，并以等式形式呈现） 【作业14】（23-24八年级下·重庆江北·期末）在和中，，，． (1)如图1，点D在边上，连接并延长交于点F，若，，求的长； (2)如图2，点D在内部，连接交于点G，连接，若，求证； (3)在第（2）问的条件下，若E点刚好落到边上，直接写出的值． 【作业15】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章·三角形·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握三角形内角和定理与外角性质，能进行角的计算与推理 · 理解三角形三边关系，会判断能否构成三角形并求边的取值范围 · 掌握三角形中线、高、角平分线的性质及其应用 · 能结合平行线性质进行三角形角的综合计算与证明 · 会利用三角形知识解决折叠、规律探究等综合问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.三角形的边与三边关系 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 判断三条线段能否构成三角形：取较短两边之和与最长边比较，大于则能构成 已知两边a、b（a>b），第三边c的范围：a-b<c<a+b 三角形按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形） 概念辨析例题：下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）A．2，3，6　B．3，4，7　C．5，6，10　D．1，1，3 答案：C 解析：较短两边之和大于最长边才能构成三角形；A中2+3<6，B中3+4=7（等于不构成），D中1+1<3，只有C中5+6>10，故选C ✅️ 2.三角形的高、中线与角平分线 高：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高 中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；三条中线交于一点（重心），中线把三角形分成面积相等的两部分 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 锐角三角形三条高在三角形内，直角三角形有两条高是直角边，钝角三角形有两条高在三角形外部 概念辨析例题：如图，AD是△ABC的中线，若△ABD的面积为4，则△ABC的面积为____。 答案：8 解析：AD是中线，则BD=CD，△ABD与△ACD等底等高、面积相等，故△ABC的面积为4×2=8 ✅️ 3.三角形的内角和与外角 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；大于任何一个与它不相邻的内角 三角形的外角和等于360° 概念辨析例题：如图，∠A=40°，∠B=60°，则外角∠ACD的度数为____。 答案：100° 解析：由外角性质，∠ACD=∠A+∠B=40°+60°=100° ✅️ 4.平行线与三角形角的综合 平行线的性质：两直线平行，同位角相等；内错角相等；同旁内角互补 解题思路：通过平行线把角转移到三角形中，再利用内角和定理或外角性质求角 折叠问题：折叠前后对应角相等，结合内角和与外角列方程求解 角平分线与平行线组合：常用方程思想设未知数建立等量关系 概念辨析例题：如图，AB∥CD，∠A=30°，∠C=50°，则∠1的度数为____。 答案：80° 解析：过交点作平行线（或利用三角形外角），∠1等于∠A与∠C之和，即∠1=30°+50°=80° 🧀 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 三边关系 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 判断时可取较短两边之和与最长边比较 中线 连接顶点与对边中点的线段 三条中线交于重心，中线平分三角形面积 内角和定理 三角形内角和等于180° 求角常用：∠C=180°-∠A-∠B 外角性质 外角=不相邻两内角之和 外角和等于360°，外角大于任一不相邻内角 📩 核心考点 【考点1】三角形内角和与外角性质（第1-16题） · 用内角和定理与外角性质快速求角：外角等于不相邻两内角之和 · 折叠问题抓住折叠前后对应角相等，再结合内角和列方程 · 角平分线与内角和组合：设未知数表示角，建立等量关系求解 1．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象． 根据题意可得，①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质 【分析】本题重点考查了三角形的外角的定义及性质和全等三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，全等三角形对应角相等，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用三角形外角的性质可以得到是，，，四个角的和，另外根据已知条件，可以得到，，进行等量替换，可以得到为、之和，代入已知数，即可得到答案． 【详解】解：延长至，如下图所示， 由图可知为的外角，为的外角， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，的两条内角平分线相交于点，两条外角平分线交于点．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查有关角平分线的计算，三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． 根据得到，结合角平分线得到，从而得到，最后结合角平分线求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的两条内角平分线相交于点， ∴， ∴， ∵两条外角平分线交于点， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，在中，，点在右侧，连接、，设，过作于点，点在内部，且平分，延长至点，使，则可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】设 ，利用“8字模型”表示出 ，进而表示出 和 ，最后利用三角形内角和及对顶角相等建立与的关系即可. 【详解】解：设， 平分， ， 设与交于点，在和中，， ， ， ， ， ， ， 共线， ， 设交于点 ， 在中，， 又， 在中，， ， . 5．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 【答案】或或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，然后分三种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ①如图所示，过点作，交于点，交于点， ∴， ∴； ②如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴； ③如图所示，过点作，交直线于点， ∴， ∴， ， ∴； 综上，的度数为或或． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，的度数是_______． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理，对顶角相等，平角的定义，解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，平角，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且， 由， 故 ； 故答案为：． 7．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则_________． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则_________． 【答案】 /35度 /45度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1） 平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2） 平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 8．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，点在边上，连接，，点、点在线段上，．若，则_______________． 【答案】2 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 设，，则，，由等边对等角得出，由三角形外角的定义及性质得出，由三角形内角和定理得出，，延长至，是，连接，从而得出，，计算出，得出，结合，，得出，即可得解． 【详解】解：设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 如图，延长至，是，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 9．（25-26七年级下·河南郑州·期末）定义：我们把等腰三角形的角平分线与一腰的夹角称为“二分角”，若等腰是锐角三角形，且其中一个“二分角”的度数为，则等腰顶角的度数为________． 【答案】或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题根据新定义，结合等腰三角形性质分类讨论，再利用三角形内角和定理计算，结合锐角三角形的条件舍去不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：设等腰中，，顶角为，底角．根据新定义，分情况讨论如下： 情况1：二分角是顶角的角平分线与一腰的夹角，由定义得， 解得， 此时，三个内角均为锐角，符合题意． 情况2：二分角是底角的角平分线与一腰的夹角． 子情况2.1：二分角是底角的角平分线与该底角所在腰的夹角，可得， 解得， 顶角， 此时，三个内角均为锐角，符合题意． 子情况2.2：二分角是底角的角平分线与另一腰的夹角，即夹角为 设，则，底角平分线分得的角为， 由三角形内角和定理，得， 代入整理得，无符合题意的正解； 若该夹角的邻补角为， 解得，为钝角三角形，不符合题意，舍去． 综上，等腰顶角的度数为或． 10．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． （1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可； （2）利用（1）的相关结论即可解答； （3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，即 故答案为； （3）解：如图3，延长交于F， ∵， ∴， ∵平分，平分, ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴． 故答案为． 11．（25-26七年级下·河南南阳·期末）探究题：已知在中，．的平分线与的外角的平分线相交于点D，与边相交于点E，直线与直线相交于点F． (1)，如图1． ①当∠时，求和的大小； ②当∠时，直接写出和的大小； ③根据以上结论，发现当的大小改变时，和之间的数量关系保持不变．和之间的数量关系可用等式表示为 ． (2)，如图2，和之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)①，；② ， ；③ (2)． 理由如下： 设 因为， 所以， ； 因为， 所以， 因为 所以． 所以． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据角平分线的意义和三角形内角和定理求解即可； （2）设，求出；再求出 ，故可得出． 【详解】（1）解：①当 时， 因为 所以， 因为 是 的一个外角， 所以； 因为， 所以， 因为 所以， ②当 时， 因为 所以， 因为 是 的一个外角， 所以； 因为， 所以， 因为 所以， ③由上可得：； （2）略 12．（2026八年级上·全国·专题练习）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在中，与的平分线交于点，，则___________ ； (2)如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点，其中，求的度数； (3)如图3，、为的外角，、的平分线交于点，其中．求___________ （用表示）； (4)如图4，外角、的平分线交于点，、的平分线交于点，则延长至点，的平分线与的延长线相交于点，则与的数量关系为___________ ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得，再根据角平分线的定义，可得，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形外角的性质，可得，再根据角平分线的定义结合三角形外角的性质，可得，即可求解； （3）根据三角形外角性质和三角形内角和定理，易得，再根据角平分线的定义和三角形内角和定理，即可得到，即可求解； （4）根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵的内角的平分线与的外角的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴． （3）解：∵、为的外角，、的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． （4）解：∵点在的延长线上， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在中，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【理解】 （1）若为“开心三角形”，，则这个三角形中最小的内角度数为______． （2）若为“开心三角形”， ，则这个三角形中最小的内角度数为______． 【应用】 （3）如下图，平分的内角，交于点E，平分的外角，分别延长和，交于点P．已知，若在“开心三角形”中，与另一个角互为“开心角”，设，求的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据“开心三角形”的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案. （2）根据“开心三角形”的概念分两种情况求解即可. （3）分与互为“开心角”和与互为“开心角”两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：设最小的角为，为“开心三角形”， 故答案为： （2）当是“开心角”，则最小的角是， 当不是“开心角”，设最小的角为，， 故答案为： （3）分两种情况讨论：①当与互为“开心角”时，或． 平分，平分， ． ， ，即或， 解得（第一个方程无解，即不成立）； ②当与互为“开心角”时，或， 即或， 同①可得，或， 解得或． 综上所述，的值为或或． 14．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)判断与的数量关系，并加以证明； (2)如图与的平分线交于点，得与的平分线相交于点，得与的平分线相交于点，得，直接写出与的关系____________ (3)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系，结合角平分线的性质进行角度推导． （1）利用三角形外角的性质，结合角平分线的定义，推导与的数量关系； （2）根据（1）的结论，以及证明，找出规律，推导与的关系； （3）利用（2）中得出的角的关系，结合三角形内角和定理，求出的度数． 【详解】（1）（1）； 证明：在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， 即， ∴； （2）在中，， 在中，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 即， 又 ， 同理，，…… （3）解：由（2）知道，， ， 在， ， ， 答：的度数是． 15．（25-26七年级下·全国·期末）如图，，点，分别在，上运动（不与点重合）． (1)如图①，若，分别是和的平分线，则的度数是____________； (2)如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点． ①若，则的度数是____________； ②随着点，的运动，的大小会变吗？请说明理由． ③如图③，延长至点，延长至点，已知，的平分线与的平分线及其反向延长线相交于点，．在中，如果有一个角是另一个角的3倍，求的度数． 【答案】(1) (2)①； ②解：的大小不会随着点，的运动而发生变化． 理由如下： 设． 平分， ． ， ． 平分， ． 又， ． ③的度数为或 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论，③分四种情况分类讨论：当时，当时，当时，当时，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵直线与直线垂直相交于O， ， 分别是和角的平分线， ， ， ； 故答案为： （2）①解：如图所示，设与交于点． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 故答案为： ② 略 ③解：是的平分线，， ， ． ，分别是和的平分线， ． 在中，若有一个角是另一个角的3倍，则分4种情况讨论： 当时，，此时； 当时，，此时，舍去； 当时，，此时； 当时，，此时，舍去． 综上所述，的度数为或． 【点睛】 16．（25-26七年级下·福建泉州·期末）数学探究 在中，已知． (1)如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)①；② (2) (3)； 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）解：① 平分，平分， ，， ， 当时，； ②由①可知，． （2）解：，，    ．     点是的外角，的角平分线的交点， ，， ，     ． （3）解：， ．     ，， ，     ．     由（2）可知，． ，， ，     ． 【考点2】三角形三边关系与中线、高（第17-29题） · 判断构成三角形：较短两边之和与最长边比较 · 已知两边求第三边范围：两边之差<第三边<两边之和 · 中线平分面积、高与面积互求，注意钝角三角形高的位置 17．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出． 由题意求得 ，根据点分别是的中点，得，，从而得出，同理可得：，，，…， 归纳出，代入n值即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， ∵点分别是的中点， ，， ， 同理可得：， ， ， …， ． ． 故选：D． 18．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据垂直的定义可得，然后根据同角的余角相等即可判定A；根据角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形外角的性质可得，再结合可判定C；先说明，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故A正确；    ∵、分别是高和角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 由A得：， ∴，故C错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确． 故选：C． 19．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】利用余角性质可得，即可判定①；由角平分线的定义得，由三角形外角性质得，，进而可得，即可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，进而可得，即可判定③，综上即可求解． 【详解】解：①∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，结论正确的有个． 20．（23-24九年级下·北京·阶段检测）如图，点B,C,D在同一条线上，点D在点B，C之间，点A在直线上方，连接,，，，，设，，，，给出下面三个结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理构造图形解决问题、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查了三角形的三边关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等知识， 添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 对于①，利用三角形三边关系，即可判断答案； 对于②，以为直径画圆，交于点E，连结，，则，根据勾股定理，可得，再根据，，即可判断答案； 对于③，过点A作于点H，在，和中，根据勾股定理，可得，，，将前两式相加得，再，代入，即可化简为，由此即可判断答案． 【详解】在和中，，， ， ； 所以①正确； 如图1，以为直径画圆，交于点E，连结，， 则， ， 即， ， ，， ； 所以②正确； 如图2，过点A作于点H， ，，， ， ，，，， ； 所以③错误． 故选A． 21．（22-23八年级上·福建莆田·期中）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 22．（2026·河南周口·二模）如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】连接，设的面积是，的面积是，根据，为的中点，得的面积是，的面积是，进而得到的面积是，再根据的面积与的面积相等，得，解得，再根据的面积是30即可求得、的值，从而求解． 【详解】解：连接，如图， 设的面积是，的面积是． ，为的中点， 的面积是，的面积是， ∴的面积是， 又， 的面积是， 的面积是， ∵为的中点， 解得， 又的面积为， 解得， ∴， ∴四边形的面积为． 23．（25-26八年级上·安徽·期末）如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用三角形中线将三角形面积进行转化是解题的关键． 由点F是的中点可得，由点E是的中点可得，，从而得到，再由，进而求得的面积． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ， ∵， ． 故选：D． 24．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在四边形中，E，F是边的三等分点，G，H是边的三等分点．若，则 __________________ ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，根据得，进而得，设，根据得，进而得，设，由此得，再根据得，进而得，由此得，则，继而得，据此即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是边的三等分点， ， ， ， ∴设， ∵是边的三等分点， ， ， ， ∴设， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ． 25．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知在中，，是边上的高，，则_______． 【答案】 或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解本题的关键． ①如图，当顶角为锐角三角形时：，②如图，当顶角为钝角三角形时：，再结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：①如图，当顶角为锐角三角形时：， ∵， ∴； ②如图，当顶角为钝角三角形时： ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 26．（25-26七年级下·河北衡水·期中）如图，的面积为1．第一次操作：分别延长至点，使，顺次连接，得到．第二次操作：分别延长，至点，使，顺次连接，得到，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 【答案】4 【知识点】图形类规律探索、根据三角形中线求面积 【分析】首先分析第一次操作后新三角形与原三角形的面积关系，利用等底同高的三角形面积相等，计算每次延长后新增的3个小三角形的面积，结合原三角形面积得到第一次操作后的总面积．同样得到第二次操作后的总面积．因为每次操作的延长规则相同，所以相邻两次操作后的三角形面积是固定的倍数关系，据此推导n次操作后三角形面积的公式．令规律表达式的结果大于2026，解指数不等式得到最小的正整数n． 【详解】解：连接，过点C作于点D，过点作于点E， ∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 同理可得，， ∴第一次操作后，​的面积． 连接，同理，， ∴， 同理， ∴第二次操作后，​的面积． 按操作规律，每次操作后新三角形面积都是上一次的倍， ∴次操作后三角形面积为． ∵，，，， ∴最少经过次操作． 27．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，在中，点D在边上，连接，点E在线段上，连接并延长，交于F，连接．若的面积为，，，设，，则根据题意可得______． 【答案】8 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、根据三角形中线求面积 【分析】根据，求出，，根据，得出，根据，得出，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵的面积为，， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 联立， 解得：， ∴． 28．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则____． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 29．（2024·山东东营·模拟预测）综合与实践 问题情境： 数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，． 问题发现 奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． 如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明． 如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……． 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答． 问题1：如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题： ①如图2，当直线经过点B时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 拓展延伸： 小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答． 问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】问题1：（1）； （2），证明如下； 如图，连接， ∵将绕点D顺时针方向旋转得到， ∴，， 在和中，， ∴， ∴． 问题2：①；②； 问题3：． 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】问题1：（1）由折叠的性质可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由旋转知，，再证即可得出结论； 问题2：①由旋转的性质和等腰三角形的性质得，，然后在中根据勾股定理求出，即可解答； ②过点作于，交于．则四边形是矩形，得出，由三角形面积求出，然后证，得出，即可得出结论； 问题3：连接、，则，当、、三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形斜边中线的性质得，证明，由相似三角形的性质得出的长，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：问题1：（1）∵折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴． 故答案为： （2）略 问题2：①∵将绕点D顺时针方向旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴． 故答案为： ②过点作于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵ ∴， ∴，， 解得：． 问题3：如图，连接、， ∵， ∴、、三点共线时，，此时的值最小，最小， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 【考点3】平行线与三角形角计算（第30-45题） · 用平行线性质转移角：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 · 把平行线转移的角纳入三角形内角和或外角关系求解 · 角平分线与平行线组合问题，用方程思想求角 30．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 31．（25-26七年级下·湖北鄂州·期末）如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④；正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】根据角平分线的定义和平角的定义即可判断①；三角形的内角和定理判断②，平行线的性质，角的和差关系求出的度数，进而判断③和④． 【详解】解：∵平分，平分，点、、共线， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④错误． 32．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图，点在延长线上，，交于点，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中是正确结论的有（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】①由可得出，结论①正确；②由进而可得出，结合可得出，根据“同位角相等，两直线平行”可得出，结论②正确；③由可得出，结合可得出，即平分，结论③正确；④由可得出，结合比的余角小，可求出的度数，再由结合三角形内角和定理可求出，结论④正确；⑤根据角平分线的定义可得出以及，将两个等式相减得到，结合结论④，可求出的角度为定值20°，结论⑤正确．综上即可得出结论． 【详解】解：①， ， ， 结论①正确； ②， ， ， ， ，结论②正确； ③， ， ，即平分， 结论③正确； ④， ， ， ， 比的余角小， ， ， ， ， ， ， ， 结论④正确； ⑤ 为的平分线， ，即， 平分， ，即， ， ，即， 由结论④知， ，即， 结论⑤正确． 综上所述：正确的结论有①②③④⑤． 33．（2025九年级·江西·专题练习）如图所示的“箭头”图形中，，，，，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】延长分别交于点 P，Q，过点G作，利用平行线的判定和性质，三角形的外角性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长分别交于点 P，Q，过点G作， 则， ∴． ∵， ∴， ， ∴． 故选：D． 34．（25-26七年级下·四川广元·期中）在平面内有A，B，C，D，E五个点，满足，给出以下三个结论：①可能与平行；②可能与平行；③A，C，E三点可能在同一条直线上．所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】利用平行线判定、三点共线判定方法，找出符合题意的图形，分别验证三个结论均可成立即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∴可能与平行，故①正确； 如图，， 过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴可能与平行，故②正确； 如图，, 在中，， ， 在中，， ， 若、， 则， ∴，，三点可能在同一条直线上，故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 35．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，，，延长至点，连接，和的角平分线交于点，下列三个结论：①；②；③若，，则．其中结论正确的个数有________． 【答案】①③/③① 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和，外角和定理的运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据平行线的性质可得，根据平行线的判定即可判定结论①；根据平行线的性质，角平分的性质，三角形的内角和外角和定理可得，由此可判定结论②；根据三角形的外角和定理可得，结合角平分线性质可得，根据平行的性质，，由此即可判定结论③． 【详解】解：结论①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论①正确； 结论②， 如图所示，设交于点， 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论②错误； 结论③若，，则， ∵，且， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，故结论③正确； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③ ． 36．（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，点在上，点在和之间，点在下方，；点在上，点在的延长线上，．设，则的度数用含的式子表示为________． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】过点作，利用平行线的性质与角之间的等量关系，利用等量代换求解即可． 【详解】解：过点作，设与的交点为， ， ∵， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴，化简得， ∴， 即． 37．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点A、B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b的下方，连接交直线b于点D． （1）如图1，若，，_______（填度数）； （2）如图2，的邻补角的角平分线与的角平分线所在的直线交于点M，设，则_______（用含有的代数式表示） 【答案】 /度 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）先根据两直线平行内错角相等，得到的度数，再利用邻补角性质求出，最后结合三角形内角和定理，用减去与，即可算出的度数． （2）设，借助平行线性质表示出，在中利用内角和用、表示，再依据角平分线定义分别写出与的代数式，最后在中运用三角形内角和列式化简，消去参数，推导出与的关系式． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）设． ， ， ， 在中，， 平分， ， 平分的邻补角， ， 在中， ， ． 38．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）已知点，分别在和上，且． (1)如图，若，，则的度数为______； (2)如图，平分，延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数． (3)点为平面内直线与中间一点，平分，平分，作，在图3中画出图形，则与之间的关系是否改变，若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)如图：        不变． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）过点作，则，利用平行线的性质，进行求解即可； （2）延长交于点，设交于点，设，利用平行线的性质，外角的性质推出，，求出，即可得出结果； （3）分点在点左侧和右侧两种情况分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）延长交于点，设交于点， ∵平分，平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当点在点左侧时：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点在点右侧时：如图，过点作， 设：，， 同法可得：， ， ∴， ∴； 综上：与之间的关系不发生改变． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角等知识点，解题的关键是过拐点构造平行线，利用数形结合和分类讨论的思想求解． 39．（25-26七年级下·重庆·期中）如图1，点，点分别在边、上，，的平分线交于点． (1)求的度数． (2)如图2，如果的平分线交于点，，求的度数． (3)如图3，如果点是线段上的一个动点（不与点、重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，直接写出其值． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，角的和差关系等知识点． （1）根据平行线的性质得到，根据角的和差关系以及角平分线的定义得到，继而得到． （2）设交于点，根据三角形外角的性质得到，根据平分，平分，得到，继而得到． （3）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，通过角的和差关系计算得到，继而得到． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，设交于点， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， ， ； （3）解：不变， 分别平分， ， ， ， ，， ， ，， ． 40．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）如图1，已知直线，且和之间的距离为1，在直角三角形硬纸板和中．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点A在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点F在上时，如图2，求的度数； ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以A、D、F为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形EDF如图3放置，若点E在直线上，点F在和之间（不含上），边和与直线分别交于Q、K．在绕着点E旋转的过程中，设，求m的取值范围． 【答案】(1)；的度数为或 (2) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查直角三角形、平行线、一元一次方程的知识，解题的关键是掌握直角三角形的性质，平行线的性质，一元一次方程的运用，即可． （1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角，即可；根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论，即可； （2）求出点在直线上和点在直线上时的度数，进行求解即可． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，和之间的距离为1， 当点在直线上时，如图，； ∴，解得：； 当点在直线上时，点，，重合则； ∴，解得：； ∵点在直线和之间（不含，上）， ∴， ∴的取值范围为：． 41．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）将一副三角板如图放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为） (1)若三角板如图1摆放时，则______°，______°； (2)现固定三角板的位置不变，将三角板沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点G，作和的角平分线交于点H，求的度数； (3)将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为，当与直线首次重合时停止旋转，运动时间为，当线段与三角板的一条边平行时，请直接写出旋转的时间t的值______． 【答案】(1)， (2) (3)或或或． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（）如图，延长交于点，由平角的定义可得和，根据平行线的性质可，进而根据三内角和可求出； （）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和和平角定义可得，，即得，再根据角平分线的定义及三角形内角和即可求解； （）分、、三种情况，分别画出图形，利用平行线的性质及三角形内角和，三角形外角性质进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为， ∴，， 当时，如图，延长，分别交直线于点， 则， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得 当时，如图，延长交于点，则， 连接交于一点，如图所示， 将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为， ∴，， ∵， ∴， 则， ∵， ∴ ∴ 则， 当时，如图，延长分别交于点，设与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由题意得， ∵， ∴，解得：； 如图，当时，如图，设与交于点，与交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上，当线段与三角板的一条边平行时，旋转的时间t的值为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，角平分线的定义，三角形外角性质，综合性较强，难度较大，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键． 42．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段检测）综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】 如图1，直角三角板（）的直角边所在直线与直线重合．将该三角板绕点A逆时针旋转一定角度后，如图2所示．记，过B作直线．P为射线上异于点A的一点，从点P出发且位于直线上方的射线交直线于点Q，记． （1）小敏在操作过程中发现：如图2，若保持不变，且，则的度数也不变，请帮助小敏求出答案； （2）小涵在操作过程中发现：若点Q在线段上移动时（不含端点），则与，会满足一定的数量关系不变，请帮助小涵同学证明出它们之间的数量关系； 【深入探索】 （3）好奇的小唐同学认为，若点Q在线段延长线上移动时（不含端点），上述关系依然成立．请你帮助小唐同学解答一下．若成立，请说明理由；若不成立，请重新给出三者应满足的关系并说明理由； 【综合应用】 （4）数学老师觉得同学们很有自己的想法，于是提出了自己的一个问题：若，且射线不经过点B，设直线分别交直线、于点R、S，问：当时，探究，满足的条件并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由： ，， ， ， ，， 与，满足的数量关系为：； （3）若点Q在线段延长线上（不含端点），上述关系不成立，三者满足的关系是：， 理由如下： 过点Q作，如图3所示： ∵， ，，， 即； （4）， 依题意有以下四种情况： ①当与线段交于R，与的延长线于S时，如图4所示： ， ， ， ，， ∵， ∴， 整理得：， ∴当时，有； ②当与线段交于S，与的延长线交于R时，如图5所示： 同理得：，，， ∵， ∴， 整理得：， ∴当时，有； ③当与线段交于R，与的延长线交于S时，如图6所示： 同理得：， ， ， ， ∵， ∴， 整理得：， ∴当，有； ④当与的延长线交于Q，与的延长线交于R，与的延长线交于S时，如图7所示： 同理得：，，， ∵， ∴， 整理得：， ∴当，有， 综上所述：当时，有． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理和外角定理，熟练掌握以上知识，注意分情况讨论是解题的关键． （1）过点C作，则，则，，求得．由可得； （2）由，可得，则可得，由三角形外角定理可得； （3）过点Q作，则，则可得，，进而可得． （4）依题意有以下四种情况：①当与线段交于R，与的延长线于S时，根据推导可得当时，有；②当与线段交于S，与的延长线交于R时，可得当时，有；③当与线段交于R，与的延长线交于S时，可得当，有；④当与的延长线交于Q，与的延长线交于R，与的延长线交于S时，可得当，有．综上所述：当时，有． 【详解】解：（1）过点C作，如图2所示： ， ， ，，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）略 （4）略 43．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知 ，E为直线上一点． (1)如图1，点G在直线上，若，，则的度数是___________； (2)如图2，Q为上一点，连接．若、分别平分、，的延长线交于点P，且，，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，N为射线上一点，连接，在直线的下方作，交的延长线于点M．直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）过F点作直线，则．由平行线的性质可得，，进而可求出的度数． （2）设，则，．由平行线的性质和三角形外角定理可得， ，由此可得，即可求出x的值，进而可得的度数，由平行线的性质可得的度数，由分别平分即可求出的度数． （3）延长交于H ．然后分两种情况讨论：①当N点在H点左侧时， ②当N点在H点右侧时．设，根据平行线的性质和三角形外角的性质将和用含有x的代数式表示出来，即可得到与之间的数量关系． 【详解】（1）解：过F点作直线， ， ， ，， ， ， ． 故答案为： （2）解：， ∴设，则，， ， ， ∵分别平分， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， ∵分别平分， ． （3）解：延长交于H ． ①如图，当N点在H点左侧时，过F点作直线． ， ， ，， 设， 则， ， 又， ， ． ②如图，当N点在H点右侧时，过F点作直线． ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 综上，与之间的数量关系为：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 44．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）已知：在平面直角坐标系中点，点 ，且满足． (1)求点，点的坐标； (2)已知点，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度/s的速度移动，同 时，点从点出发，沿轴负方向以1.5个单位长度/s的速度移动．如图1， 求点移动的 时间； (3)在（3）的条件和结论下，如图2所示，设交轴于点，作，的角平分线交于点，求此时的值． 【答案】(1) (2)P点运动时间为 (3)的值为 【知识点】绝对值非负性、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）设点P的运动时间为t秒．则，，，，根据，构建方程即可解决问题； （3）由（2）可知，，推出为等腰直角三角形，推出，由平分，平分，推出，，推出，过点N作，则，可得，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴ （2）解：由（1）可知， 即， 则，， 如图，过点Q作于H． 设点P的运动时间为t秒．则，，，， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 过点N作，则 ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题为四边形综合题，考查非负数的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义以及平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 45．（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连接，平分，平分． (1)如图，若，，求的度数； (2)如图，若，求的度数； (3)如图，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（）根据平角和角平分线的定义解答即可求解； （）延长交于点，设与相交于点，，由角平分线的定义得，由平行线的性质得，由三角形外角性质得，即得，再根据三角形内角和定理得，解之即可求解； （）由已知得，即得，由（）知，可得，即得到，，又由题意得，，则，， 设与的交点为，再分六种情况分别画出图形解答即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角性质等，熟练掌握知识点并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：如图，延长交于点，设与相交于点，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（）知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得，，，则，， 设与的交点为，则， 如图①，当时， 则， 即， 解得； 如图②，当时， 则， ∵， ∴， 解得； 如图③，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 如图④，当时， 则， 即， 解得； 如图⑤，当时， ， 解得（不合，舍去）； 如图⑥，当时， ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，满足条件的的值为或或或或． 📊 课后巩固 🍬 复习建议 · 熟记三边关系与内角和定理，这是三角形计算与判断的基础 · 掌握中线、高、角平分线的性质，特别是中线平分面积这一常用工具 · 外角性质「等于不相邻两内角之和」是求角捷径，注意与内角和结合使用 · 平行线转移角后纳入三角形模型，体会转化与方程的思想 · 折叠、规律探究等综合题先画图标注意，再列方程求解 【作业1】（25-26七年级下·重庆北碚·期末）已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、构成三角形的条件 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 【作业2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）在直角三角形中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，过点作，过点作交于点．下列结论①；②；③平分．其中正确的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可判断①错误；由平行线的性质及角平分线的定义即可判断②正确；根据已知条件无法判断③，所以错误，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在直角三角形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵的度数不确定， ∴根据已知条件无法证明平分，故③不正确； 综上，正确的结论为②，共1个． 【作业3】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据三角形中线求面积 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 【作业4】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、判断命题真假 【分析】根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断①；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断②；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定③；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质得到，，进而得到，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①是真命题； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由无法证明，故②是假命题； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∴，故③是真命题； 如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故④是真命题； ∴真命题的个数是3． 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【作业5】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【知识点】三角形的个数问题 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 【作业6】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是________________． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、等腰三角形的定义 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【作业7】（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为6，则的面积为______． 【答案】18 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．连接，利用D、E是中点的性质，得出多组等面积三角形，通过面积的等量代换，结合四边形的面积，推导出的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别是的中点， ， ，， ，， ， ∵四边形的面积为6， ， ， ， ， 故答案为：18． 【作业8】（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，在中，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得，，按此做法进行下去，的度数为______． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，图形类规律变化问题，由三角形内角和定理及外角性质可得，，，进而可得，据此即可求解，找到角度的变化规律是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴， 同理得，，， ∴， 故答案为：． 【作业9】（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，在中，平分，交于点，过点作于点．    （1）若，则________． （2）若的度数为，则当点在的内部时，的取值范围为________． 【答案】 30 【知识点】求不等式组的解集、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、解不等式等知识点，画出图形发现当为锐角时，点D在的内部成为解题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，最后根据角的和差即可解答； （2）先画图发现当为锐角时，点D在的内部；然后根据三角形内角和定理、角平分线的定义得到，再根据为锐角列不等式并结合实际意义即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：30． （2）如图：当为锐角时，点D在的内部，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵为锐角， ∴，解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【作业10】（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知，为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为___________． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】先过E作，根据平行线的性质可得，，即可得出，设，则，列出方程，求出，最后根据三角形外角的性质，求出结果即可． 【详解】解：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【作业11】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积______． 【答案】16 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查三角形的面积公式求解，设，．可可得出，由已知条件得出结合等高的三角形面积比为底边边长之比得出，进而得出，联立方程组解出x，y的值，再由已知条件得出，最后代入求值即可求得答案． 【详解】解：设， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点A，B到的高为：，， ， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∴ ∴ 解得：， ， 故答案为：16． 【作业12】（25-26七年级下·江西南昌·期末）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点，，均在格点上．请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留画图痕迹） (1)在图1中，作，使得； (2)在图2中，作，使得，其中点在上． 【答案】(1)解：如图，即为所求. (2)解：如图，即为所求. 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用、格点作图题 【分析】（1）根据网格特点取格点，使，可得； （2）根据网格特点在上取格点，结合小正方形的特点可得，可得. 【详解】（1）略 （2）略 【作业13】（25-26七年级下·福建福州·期末）学习“三角形”这章时，数学兴趣小组开展以下探究活动．如图1，在中，的大小保持不变，记作．点E，D，F分别在边上，且． (1)当时，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点M，和的平分线交于点N．该小组发现：无论点E，D，F怎么运动，始终为定值．请你写出这个定值，并说明理由； (3)该小组类比（2）的研究，又找到和为定值的两个角，这两个角分别以M、N为顶点．你知道该小组的这个研究结果吗？请直接写出结果，无需证明．（要求：写出具体哪两个角及具体的定值，并以等式形式呈现） 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： ∵， ∴； ∵和的平分线交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴； (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）由平行线的性质得到，则可证明，据此可证明； （2）由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，则可求出，进而得到，同理可得，据此可得答案； （3）连接，则平分，平分，可求出，同理可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，连接， ∵和的平分线交于点M，和的平分线交于点N， ∴平分，平分， 同理可得， ∵， ∴， ∴ ． 【作业14】（23-24八年级下·重庆江北·期末）在和中，，，． (1)如图1，点D在边上，连接并延长交于点F，若，，求的长； (2)如图2，点D在内部，连接交于点G，连接，若，求证； (3)在第（2）问的条件下，若E点刚好落到边上，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 证明：∵，，， ∴， 如图2，延长交于，设， ∵，， ∴， 设，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 如图2，作的延长线于， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由勾股定理得，，可求，由勾股定理得，，则，证明，则，即，可求，根据，计算求解即可； （2）由三角形内角和定理可得，如图2，延长交于，设，由，，可得，设，，，则，，，由，可知，则，如图2，作的延长线于，证明，则，证明，进而可证； （3）如图3，由（2）可知，，由，可得，设，，，则，，，，由勾股定理得，，由，，可知垂直平分，则，，证明，则，即，可求，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，，， 由勾股定理得，， 解得，， 由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴的长为； （2）略 （3）解：如图3， 由（2）可知，， ∵， ∴， 设，，， ∴，，，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 【作业15】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于、的方程组． (1)求方程组的解（用含的代数式表示）； (2)若方程组的解满足条件，求的取值范围； (3)若、是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、三角形三边关系的应用 【分析】（1）运用加减消元法解答即可； （2）根据不等式的性质解不等式即可； （3）先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系列式即可求得a的值； 【详解】（1）解： 得：，解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴该方程组的解为； （2）解：∵， ∴，化简为：， 解得：， 解得：， 解得：； （3）解：∵x、y是等腰三角形的两条边，且等腰三角形的周长为9， 若腰长为x，底边长为y，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为2，2，5，不能组成三角形，舍去； 若腰长为y，底边长为x，则，解得：， ∴， 此时三角形三边长为1，4，4，能组成三角形； ∴； 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $