第一章集合与常用逻辑用语讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

集合与常用逻辑用语集合 集合部分解决三件事：把研究对象准确地装进集合（含义与表示）、说清两个集合谁包含谁（基本关系）、在交并补的运算中求出结果或参数（基本运算），以及在含参与新定义的情形下锁定参数的取值范围. 拿到集合题先问三句：代表元素是什么、要不要单独讨论空集、端点能不能取等. 1、集合的含义与元素的三个特性 1.1　定义与三要素 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合（简称集）. 集合通常用大写拉丁字母 表示，元素用小写拉丁字母 表示. 元素与集合的关系只有两种： 或 ，对任何 与 二者必居其一. 元素的三个特性如下表，其中互异性是解题时唯一起作用的一条. 特性 含义 在解题中的表现 确定性 给定集合后，任一对象是不是它的元素是确定的 用来判断某对象能否构成集合（「高个子同学」不行） 互异性 任意两个元素都不相同，相同对象只算一个 求出参数后必须回代，看是否出现重复元素 无序性 元素间没有先后顺序， 集合相等只看元素是否完全相同 互异性要单独讲透：它不是方程给出的约束，而是集合本身的性质. 也就是说凡是「由元素与集合的关系求参数」，解完方程只算完成一半，必须逐个代回检验. 1.2　集合相等 两个集合相等，指所含元素完全相同，记作 ；与元素顺序、呈现形式无关，如 . 判断两个用不同方式写出的集合是否相等，一律先化成同一种读法（都解出来，或都看代表元素的取值范围）. 1.3　做题方法（由属于关系求参数） 第一步，按「 等于集合中哪个元素」分类，逐类列方程；第二步，解出各候选值；第三步，把每个候选值代回原集合，算出全部元素，凡出现两个元素相同的，该值舍去. 第三步不能省，也不能只看方程有没有解——下面例 1 中三个候选值有两个都是这样被淘汰的. 1.4　易错点 漏掉检验：候选值不代回就写答案，是这类题增解的唯一来源. 只用于元素与集合之间， 只用于集合与集合之间：、 都对，写成 就错了. 集合中的元素是「对象」，对象本身也可以是集合，此时要用「属于」而不是「包含」来说（见例 4）. 1.5　例题 例 1、 已知集合 ，若 ，求实数 . 2、集合的表示方法与代表元素 2.1　三种表示法 方法 写法 适用 列举法 元素一一列出并用花括号括起，不重、不漏、不计次序 元素较少的有限集 描述法 ： 是代表元素， 是取值范围， 是共同特征 无限集或元素较多的集合 图示法 Venn 图（封闭曲线围成区域）与数轴 辅助判断关系与运算 2.2　描述法的四条纪律 ① 写清代表元素， 不能写成 ；② 条件语言简明准确，多层条件用「且」「或」连接；③ 不得出现未说明的字母，如 中 未说明，集合不明确；④ 所有限制都写进花括号内， 不能挂在花括号外. 2.3　数集与点集：同一个式子三种读法 这是「同一集合判断」类题的全部难点：式子的样子一样，代表元素不同，集合就完全不同. 集合 代表元素 含义 数 函数 的定义域，即 数 函数 的值域，即 有序数对 抛物线上所有点组成的点集 判断口诀：先看竖线左边写的是什么. 只写一个字母就是数集，写成 就是有序实数对，可能是点集，也可以是方程组的解组成的集合等等. 数集与点集之间永远不可能相等，因为元素根本不是一类东西. 2.4　常用数集 自然数集 （含 ），正整数集 （或 ），整数集 ，有理数集 ，实数集 . 它们之间是层层包含关系，如图 1. 图 1　常用数集的包含关系 2.5　例题 例 2、 下列各组中的 表示同一集合的是哪几组？ ① ，； ② ，； ③ ，； ④ ，. 3、元素与集合关系的判断 3.1　两种方法 直接法：集合中的元素已一一列出，看该元素在不在其中即可. 推理法：集合用描述法给出，判断该元素是否满足共同特征（是否满足那个方程、不等式或整除条件）. 3.2　判定的第一动作 先认出代表元素，再看特征. 集合 的元素是「能写成两个自然数平方和」的数，不是「」本身. 认错代表元素，后面的推理全部作废. 3.3　结论：判定「一定在」与「不一定在」的分工 要说明「对任意 都有某结论」成立，必须做推理证明（把 写成 的形式再变形）；要说明它不成立，只需举一个反例——一个反例就足以推翻全称性的断言. 选择题里「不一定正确」的问法，通常三个选项靠反例否定，一个选项靠推理肯定. 3.4　例题 例 3、 （多选）已知集合 ，且 ，，则下列结论中不一定正确的是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 4、集合间的基本关系 4.1　子集、真子集与相等 关系 文字语言 符号语言 子集 中任意一个元素都是 的元素 （或 ） 真子集 ，且 中至少有一个元素不属于 （或 ） 相等 且 子集的三条性质：① ；② 且 ；③ ， . 4.2　空集与三类记号辨析 不含任何元素的集合叫空集，记作 . 两条性质：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集. 对象 本质 关系 与 是集合， 是数 与 无元素， 有一个元素 与 有一个元素 且 4.3　结论：子集个数公式 元集合有 个子集、 个真子集、 个非空子集、 个非空真子集（）. 4.4　做题方法（判断两个集合的关系） ① 化简优先：把两个集合都解成最简形式（有限集列全元素，无限集写区间）； ② 有限集用列举或 Venn 图逐元素比； ③ 无限连续集画数轴比端点； ④ 也可用「特征互推」：由 能否推出 ，能则 . 4.5　易错点 空集情形永远先讨论： 一类问题不讨论 ，是最常见的整题失分点. 数轴端点开闭与能否取等要一一对应： 允许两端同时取等（此时 ）， 不允许. 元素本身是集合时，「属于」与「包含」不能混用，见例 4. 4.6　例题 例 4、 已知集合 ，，则 与 的关系是（　） A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 5、由集合关系求参数 5.1　三步法 第一步，空集优先：字母都在一次项上、区间端点含参数时，先解出使集合为空的参数范围，这部分必然满足任何包含关系. 第二步，非空时列端点不等式：用数轴把已知集合与含参集合画在一起，按「含参集合要落在已知集合内部」逐一对端点列不等式. 连续集比端点，离散集（如整数集）比较大小或逐个枚举. 第三步，端点回代检验：端点取等与不取等，决定参数能否取到边界值，必须单独验. 5.2　为什么端点检验不能省 与 的差别全部集中在「两端能否同时取等」上. 若题设是 ，允许 ，端点可以取等；若题设是 ，则 必须排除，那组使端点同时取等的参数值就要从答案里划掉. 只做题不验端点， 的题就会多带一个边界值. 5.3　易错点 忘记 ：这是本节的第一个坑，也是最容易整题丢分的一处. 端点不等号方向写反： 落在 内部，写的是「 的左端 的左端」且「 的右端 的右端」，方向反了会得到完全相反的范围. 两个不等式组解出的范围直接取并，却忘了第二步本来就要与「非空」的前提取交. 5.4　例题 例 5、 已知 ，，若 ，求 的取值范围. 例 6、 已知 ，，若 ，求实数 的取值范围. 6、集合的基本运算 6.1　交集、并集、补集 运算 文字语言 符号语言 交集 由所有既属于 又属于 的元素组成的集合 并集 由所有属于 或属于 的元素组成的集合 补集 由全集 中所有不属于 的元素组成的集合 并集定义中的「或」包含三种情况：只属于 、只属于 、同属于两者，公共元素在并集中只出现一次. 四种关系的几何形象如图 2. 图 2　并集、交集、补集与包含关系的 Venn 图 6.2　运算性质 性质 名称 ， 交换律 ， 结合律 ， 分配律 ，；， 幂等与单位元 交并不等式 ； 运算与包含的转化 ，， 补集性质 其中「运算与包含的转化」是解参数题的枢纽，第 7 节整节都建在它上面. 6.3　例题 例 7、 已知 ，，全集 ，求 、、. 7、由运算结果求参数 7.1　先翻译，再动笔 运算式本身不含参数，含参数的是集合. 所以第一步永远是把运算式翻译成包含关系或空集条件： 题设 翻译 两集合无公共元素（连续集用数轴分离，离散集逐个排除） （正难则反） 翻译之后一律回到第 5 节的三步法：空集优先、数轴列式、端点检验. 7.2　例题 例 8、 已知 ，. （1）若 ，求 的取值范围；（2）若 ，求 的取值范围. 8、有限集的元素个数与容斥原理 8.1　结论：两个集合 （其中表示集合A中的元素个数） 图 3　容斥原理：公共部分被算两次，需减掉一次 8.2　三个集合 8.3　例题 例 9、学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 9、含参方程与集合的元素个数 9.1　问题的实质 像 这样的集合，元素个数等于方程的实根个数. 而在数根之前必须先问一句：这到底是不是一元二次方程？ 时它是二次方程，根的情况由 决定； 时它退化成一次方程 ，只有一个根. 这一步分岔决定后面用哪套工具，漏掉 是本章最典型的整题失分. 9.2　分类骨架 设 ，按题设对元素个数的要求分类： 题设 时 时 恰有 个元素 一次方程有唯一解，算 个 恰有 个元素 不可能（一次方程至多 个根） 至多 个元素 一次方程有解（ 个）或无解（ 个），都算 至少 个元素 一次方程有解即可 看这张表的顺序很重要：先看 那一列，再看 那一列，最后取并集. 9.3　与子集个数的联动 子集个数反过来能告诉我们元素个数： 个子集对应 个元素. 于是 「 恰有 个子集」 恰有 个元素 回到 9.2 第一行； 「 恰有 个子集」 恰有 个元素 且 ； 「 恰有 个真子集」 恰有 个元素（真子集 ）. 这一步翻译常常是题目的隐含条件，不写出来就会漏掉分类. 9.4　例题 例 10、 已知集合 中只有一个元素，求实数 的值. 例 11、 已知集合 中至多有一个元素，求实数 的取值范围. 9.5　易错点 一上手就写 ，把 这一支整段漏掉. 时也可能出现 的矛盾式（如 ），此时 ，元素个数为 ——这仍然满足「至多一个」，别以为它不合题意而排除. 求出 之后要回去看一眼「此时集合里到底是什么」，确认元素个数与题设一致，而不是只对 的符号. 区间端点：用 还是 ，取决于题设说的是「至多一个」还是「没有根」. 10、新定义与创新题 10.1　三步破题 第一步，把定义抄成条件：题目给的「若……则称……」往往含两三条性质，逐条编号，一条都不能漏. 第二步，逐项验证：对每个选项，用定义里的某一条去套；符合的还要说明「为什么一定符合」，不符合的只需给出一个反例. 第三步，反例优先：判断「不是」永远比判断「是」容易，所以先找反例淘汰选项. 10.2　例题 例 12、 （多选）若集合 具有以下两条性质，则称 为一个「好集合」：（1） 且 ；（2）若 ，则 ，且当 时 . 据此判断，下列结论正确的是（　） A. 集合 是「好集合」 B. 是「好集合」 C. 是「好集合」 D. 设 是「好集合」，若 ，则 常用逻辑用语 常用逻辑用语解决两件事：把条件与结论之间的推出关系说准（充分条件与必要条件），把含「所有」「存在」的命题写准、否定写准（全称量词与存在量词）. 做题前先分清谁是条件、谁是结论，再看它俩能不能互推. 11、充分条件与必要条件 11.1　定义 若「若 ，则 」是真命题，即 ，就说 是 的充分条件， 是 的必要条件. 「充分」指有它必成立、足以保证；「必要」指没它必不成立、必不可少. 若 且 ，即 ，则 是 的充分必要条件，简称充要条件，也说成「 成立当且仅当 成立」. 充要条件具有传递性. 11.2　集合视角 设 ，，则推出关系与包含关系一一对应，如图 4. 图 4　充分必要条件与集合包含关系的对应 集合关系 结论 是 的充分不必要条件 是 的必要不充分条件 、 互为充要条件 互不包含 既不充分也不必要条件 口诀：小推大——范围小的那个是范围大的那个的充分不必要条件. 只要 说的是方程或不等式的解集，一律优先用集合视角，比背定义可靠. 11.3　判断方法 p是q的···条件 p的···条件是q 充分 必要 11.4　易错点 方向搞反：「 是 的充分条件」= ；「 的充分条件是 」= . 两句话方向相反，这是本节点错误率最高的一处. 「充分不必要」对应真子集：求参数时必须排除两端同时取等导致的 ，否则把「充要」误当成「充分不必要」. 特殊值法只能用来否定，不能用几个特殊值成立就断言「充分」. 11.5　例题 例 13、 ，判断是的什么条件. 例 14、 （多选）下列说法正确的是（　） A. 「」是「」的充分不必要条件 B. 「」是「」的既不充分也不必要条件 C. 「」是「」的必要不充分条件 D. 「」是「（，）」的充要条件 12、由充分必要条件求参数 12.1　三步 第一步，把 各自化成集合（解不等式或方程）；第二步，按题设的「充分/必要/充要」翻译成包含关系，得到含参数的包含式；第三步，按第 5 节三步法求参数，并单独检验端点，保证真子集而不是相等. 翻译表： 题设 集合关系 是 的充分不必要条件 是 的必要不充分条件 是 的充要条件 是 的充分条件 12.2　例题 例 15、 已知 ：，：（）. 若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围. 例 16、 使不等式 成立的一个充分不必要条件是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 13、全称量词与存在量词 13.1　两类命题及其真假 全称量词命题：，如「所有……都……」； 存在量词命题：，如「存在……使得……」. 命题 为真 为假 对 中每个 都证明 成立 举一个反例即可 在 中找到一个使 成立的 需证明 中每个 都不成立 13.2　命题的否定 原命题 否定 要点：换量词、否结论，范围 一字不动. 三条纪律缺一条就错. 13.3　易错点 「只换量词不否结论」或「把范围也一并否定」，是本节两大错法. 范围 永远不变，尤其是 否定后仍是 . 不等号的否定要带等号： 的否定是 ，不是 . 这一处漏等号在选择题里直接判错. 「一定是」的否定是「不一定是」，不是「一定不是」. 全称命题为假，只需一个反例；不要写成「所有都不成立」. 13.4　例题 例 17、 写出命题 ：， 的否定，并判断 的真假. 14、量词命题与恒成立、有解 14.1　转化：一律化成最值 命题 等价条件 14.2　双变量问题 设 在区间 上的最小、最大值为 ， 在区间 上的最小、最大值为 . 命题 等价条件 14.3　例题 例 18、 已知命题 ：， 是真命题，求 的最大值. 例 19、 已知 ，（），若对任意 ，存在 ，使 ，求 的取值范围. 15、本章易错点总表 下面这张表把全章踩过的坑集中列一次. 做题时若某一步犹豫，先来这里对一行. 位置 容易错在哪 正确做法 元素互异性 由属于关系解出参数就直接写答案 每个候选值代回，算出全部元素，重复的舍去 与 写成 、 连元素与集合， 连集合与集合 元素本身是集合 时仍用「包含」比较 此时 是 的元素，应写 数集与点集 与 当成同一集合 先看竖线左边的代表元素是字母还是有序数对 空集 解 时直接设 先讨论 ，它必然满足任何包含关系 端点取等 与  用同一套端点不等式  要额外排除两端同时取等（即 ）的情形 含参二次方程 直接写 先分 （退化为一次方程）与 （见第 9 节） 元素个数与子集数 「有 3 个真子集」当成「3 个元素」 真子集 ，是两个元素 数轴表示 端点实心、空心与不等号是否带等不一致 画实心， 画空心，逐项核对 求代数式范围 解出各变量范围再组合，把区间放大（集合部分不涉及，但同源） 用已知式线性组合，或改用待定系数法 命题的否定 只换量词不否结论，或把范围 一并否定 换量词、否结论、范围一字不动 不等号的否定 的否定写成 的否定是 （带等号） 「一定是」的否定 写成「一定不是」 应是「不一定是」 充分必要条件方向 把「 的充分条件是 」当成 该说法是 ，方向相反 充分不必要 求参数时只列包含不列真包含 要排除 ，端点单独验 量词命题求参数 把「 有解」当成「 恒成立」 看最紧的端点（最小值/最大值）， 看最松的端点 双变量问题 两个量词都按同一个最值处理 取最不利、 取最有利（见 14.2 表） 1 学科网（北京）股份有限公司 $集合与常用逻辑用语集合 集合部分解决三件事：把研究对象准确地装进集合（含义与表示）、说清两个集合谁包 含谁（基本关系）、在交并补的运算中求出结果或参数（基本运算），以及在含参与新定义 的情形下锁定参数的取值范围.拿到集合题先问三句：代表元素是什么、要不要单独讨论空 集、端点能不能取等 1、集合的含义与元素的三个特性 1.1定义与三要素 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合（简称集）.集合 通常用大写拉丁字母A,B,C表示，元素用小写拉丁字母α，b,c表示.元素与集合的关系只有两 种：a∈A或a度A,对任何a与A二者必居其一. 元素的三个特性如下表，其中互异性是解题时唯一起作用的一条」 特性 含义 在解题中的表现 确定性 给定集合后，任一对象是不是它的元素 用来判断某对象能否构成集合（「高个 是确定的 子同学」不行) 互异性 任意两个元素都不相同，相同对象只算 求出参数后必须回代，看是否出现重复 一个 元素 无序性 元素间没有先后顺序，{1,0}={0,1} 集合相等只看元素是否完全相同 互异性要单独讲透：它不是方程给出的约束，而是集合本身的性质.也就是说凡是「由元 素与集合的关系求参数」，解完方程只算完成一半，必须逐个代回检验 1.2集合相等 两个集合相等，指所含元素完全相同，记作A=B;与元素顺序、呈现形式无关，如 {xI4x-5<3}={xIx<2).判断两个用不同方式写出的集合是否相等，一律先化成同一种 读法（都解出来，或都看代表元素的取值范围）， 1.3做题方法（由属于关系求参数） 第一步，按「α等于集合中哪个元素」分类，逐类列方程；第二步，解出各候选值：第 三步，把每个候选值代回原集合，算出全部元素，凡出现两个元素相同的，该值舍去 第三步不能省，也不能只看方程有没有解一下面例1中三个候选值有两个都是这样被 淘汰的 1.4易错点 ●漏掉检验：候选值不代回就写答案，是这类题增解的唯一来源， ●E只用于元素与集合之间，∈只用于集合与集合之间：1EN、{1)∈N都对，写成1∈N 就错了 ·集合中的元素是「对象」，对象本身也可以是集合，此时要用「属于」而不是「包含」来 说（见例4）. 1.5例题 例1、已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},若1∈A,求实数a. 解：分三类，逐个让三个元素等于1， (1)若a+2=1,则a=-1,此时三个元素为1,0,1，出现重复，舍去 (2)若(a+1)2=1,则a=0或a=-2. a=0时三个元素为2,1,3，互不相同，符合题意： a=-2时三个元素为0,1,1，重复，舍去 (3)若a2+3a+3=1,即a2+3a+2=0,解得a=-1或a=-2,这两个值都已 在(1)(2)中被舍去 综上，a=0 注：三个方程一共给出四个候选值，最后只有一个存活—这正是1.3第三步存在的理 由 2、集合的表示方法与代表元素 2.1三种表示法 方法 写法 适用 一一 列举法 元素 列出并用花括号括起，不重、不 元素较少的有限集 漏、不计次序 描述法 {xEAIP(x)}:是代表元素，A是取值范 无限集或元素较多的集合 围，P(x)是共同特征 图示法 Ven图（封闭曲线围成区域）与数轴 辅助判断关系与运算 2 2.2描述法的四条纪律 ①写清代表元素，{xIx>1)不能写成{x>1；②条件语言简明准确，多层条件用 「且」「或」连接：③不得出现未说明的字母，如{x∈ZIx=2m}中m未说明，集合不明 确：（④所有限制都写进花括号内，mEN*不能挂在花括号外. 2.3数集与点集：同一个式子三种读法 这是「同一集合判断」类题的全部难点：式子的样子一样，代表元素不同，集合就完全 不同. 集合 代表元素 含义 {xly=x2+1} 数x 函数y=x2+1的定义域，即R yly=x2+1 数y 函数y=x2+1的值域，即[1，+o) (x,y)Iy=x2+1) 有序数对 抛物线上所有点组成的点集 判断口诀：先看竖线左边写的是什么.只写一个字母就是数集，写成(x,y)就是有序实数 对，可能是点集，也可以是方程组的解组成的集合等等.数集与点集之间永远不可能相等，因 为元素根本不是一类东西 2.4常用数集 自然数集N(含0)，正整数集N*(或N),整数集Z,有理数集Q,实数集R.它们 之间是层层包含关系，如图1. 华正都数集 N自然数集 2整数集 0有理数集 R实数集 图1常用数集的包含关系 2.5例题 例2、下列各组中的M,P表示同一集合的是哪几组？ ①M={3,-1,P={(3,-1)}: ②M={(3,1)},P={(1,3): 3M={yly=x2-1),P={tIt=x-13; 3 4M={yly=x2-13,P={(x,y)ly=x2-13. 解：①M是数集，P是点集，不同；②(3,1)与(1,3)是两个不同的点，不同；③ M={yIy≥-1}，P={tIt≥-1，代表元素换了字母但取值范围相同，是同一集合；④ 一为值域、一为图像上的点集，不同 故只有③表示同一集合 3、元素与集合关系的判断 3.1两种方法 直接法：集合中的元素已一一列出，看该元素在不在其中即可.推理法：集合用描述法给 出，判断该元素是否满足共同特征（是否满足那个方程、不等式或整除条件）· 3.2判定的第一动作 先认出代表元素，再看特征.集合{tIt=m2+n2,m,nEN}的元素是「能写成两个自 然数平方和」的数，不是「m,n」本身.认错代表元素，后面的推理全部作废 3.3结论：判定「一定在」与「不一定在」的分工 要说明「对任意x∈A都有某结论」成立，必须做推理证明（把x写成m2+n2的形式 再变形)：要说明它不成立，只需举一个反例一一个反例就足以推翻全称性的断言.选择题 里「不一定正确」的问法，通常三个选项靠反例否定，一个选项靠推理肯定 3.4例题 例3、（多选）已知集合A={tIt=m2+n2,m∈N,nEN,且x∈A,yEA,则下 列结论中不一定正确的是() A.x+y∈AB.x-y∈AC.xyEA I D.EA 解：取x=12+22=5,y=02+32=9,则x+y=14.而14不能写成两个自然数的 平方和(0+14,1+13,4+10,9+5都不是完全平方数)，故A不一定正确： x-y=一4EA(A中元素非负)，三=号A(不是整数)，故B、D不一定正确： 再看C:设x=m2+n2,y=a2+b2,则 xy=(m2+n2)(a2+b2)=(ma+nb)2+(mb-na)2 而ma+nb∈N,lmb-na∈N,故xy∈A,C一定正确. 答案：ABD 4、集合间的基本关系 4.1子集、真子集与相等 关系 文字语言 符号语言 子集 A中任意一个元素都是B的元素 A≤B(或B2A) 真子集 ACB,且B中至少有一个元素不属于A ASB(或B￥A) 相等 A∈B且BSA A=B 子集的三条性质：①A∈A;②A二B且B二A→A=B;③A∈B,B∈C→A二C. 4.2空集与三类记号辨析 不含任何元素的集合叫空集，记作 两条性质：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集 对象 本质 关系 0与0 0是集合，0是数 0度0 0与{0} 0无元素，{0}有一个元素0 {0} 0与{0例 0有一个元素0 0e{0]且0{0] 4.3结论：子集个数公式 n元集合有2m个子集、2m一1个真子集、2m一1个非空子集、2n一2个非空真子集 (nEN*). 4.4做题方法（判断两个集合的关系） ①化简优先：把两个集合都解成最简形式（有限集列全元素，无限集写区间）： ②有限集用列举或Ven图逐元素比； ③无限连续集画数轴比端点； ④也可用「特征互推」：由x∈A能否推出xEB,能则A∈B. 4.5易错点 ·空集情形永远先讨论：A二B一类问题不讨论A=O,是最常见的整题失分点。 ·数轴端点开闭与能否取等要一一对应：二允许两端同时取等（此时A=B),不允许 ·元素本身是集合时，「属于」与「包含」不能混用，见例4 5 4.6例题 例4、已知集合A={0,1,B={xIx≤A,则A与B的关系是() A.A∈B B.ASB C.BCA D.AE B 解：B的代表元素是x,条件是「x是A的子集」，故B的元素是A的全部子集： B={0,{0,{1},{0,1} 其中{0,1)就是A本身，说明A是B的一个元素，即AEB 再看包含：A的元素是数0,1，而B的元素都是集合，二者不是同一类对象，谈不上包 含 答案：D 注：这题的陷阱在于「B的元素也都是集合」—判断关系前必须先看清元素是数还是 集合 5、由集合关系求参数 5.1三步法 第一步，空集优先：字母都在一次项上、区间端点含参数时，先解出使集合为空的参数 范围，这部分必然满足任何包含关系 第二步，非空时列端点不等式：用数轴把已知集合与含参集合画在一起，按「含参集合 要落在已知集合内部」逐一对端点列不等式.连续集比端点，离散集（如整数集)比较大小或 逐个枚举 第三步，端点回代检验：端点取等与不取等，决定参数能否取到边界值，必须单独验， 5.2为什么端点检验不能省 ∈与的差别全部集中在「两端能否同时取等」上， 若题设是B∈A,允许B=A,端点可以取等；若题设是BSA,则B=A必须排除，那 组使端点同时取等的参数值就要从答案里划掉.只做题不验端点，的题就会多带一个边界 值 5.3易错点 ●忘记B=:这是本节的第一个坑，也是最容易整题丢分的一处. ·端点不等号方向写反：B落在A内部，写的是「B的左端≥A的左端」且「B的右端≤A 的右端」，方向反了会得到完全相反的范围 6 ●两个不等式组解出的范围直接取并，却忘了第二步本来就要与「非空」的前提取交， 5.4例题 例5、已知A={xI-1≤x≤1}，B={xIa-1≤x≤2a-1),若B∈A,求a的取 值范围， 解：先看B=0.当2a-1<a-1,即a<0时，B=0cA,满足题意 再看B≠0，即a≥0.此时B是区间[a-1,2a-1],要它落在[-1,1]内，需 a-1≥-1， 2a-1≤1， a-1≤2a-1 解得0≤a≤1. 综上，a≤1，即a的取值范围是(-o,1]. 注：若把条件改成BA,则a=0时B=A必须排除，答案改为a<0或0<a≤1， 即a≤1且a≠0. 例6、已知A={x∈RIx2-2x-8=0},B={x∈RIx2+ax+a2-12=0},若 B∈A,求实数a的取值范围 解：由x°-2x-8=0,解得x=-2或x=4,即A={-2,4 因为B三A,所以B=☑或B={-2}或B={4}或B={-2,4. 方程x2+x+a-12=0的判别式△=a-4(-12)=48-3a. ①若B=0,则△<0,48-3a<0,>16, 解得a<-4或a>4. ②若B为单元素集合，即△=0，得a=±4 当a=4时，方程为x2+4x+4=0,解得x=-2,此时B={-2}≤A,符合条件； 当a=-4时，方程为x°-4x+4=0,解得x=2,此时B={2}A,舍去 ③若B=(-2,4,由韦达定理得2+4=-a -2×4=a2-12, 解得a=-2. 检验：当a=-2时，方程为x2-2x-8=0,两根为-2,4，满足B={-2,4}三A. 综上，实数a的取值范围是{da<-4?òa=-2?òa=4} 注：B≤A,B为含参一元二次方程的解集时，优先考虑空集；单元素集合需要同时满 足判别式等于0且根属于集合A,不可直接代根求解 7 6、集合的基本运算 6.1交集、并集、补集 运算 文字语言 符号语言 交集 由所有既属于A又属于B的元素组成的集 合 AnB={xIx∈A,x∈B 并集 由所有属于A或属于B的元素组成的集合 AUB={xIx∈A或xEB) 补集 由全集U中所有不属于A的元素组成的集 合 CuA={xIx∈U,XEA} 并集定义中的「或」包含三种情况：只属于A、只属于B、同属于两者，公共元素在并 集中只出现一次.四种关系的几何形象如图2 AUB AnB CUA A二B 并集：至少属于一个 交集：同时属于两个 补集：属于U但不属于A 子集：A的元素全在B内 图2并集、交集、补集与包含关系的Venn图 6.2运算性质 性质 名称 A∩B=B∩A,AUB=BUA 交换律 (A∩B)nC=An(B∩C),(AUB)UC=AU(BUC) 结合律 A∩(BUC)=(A∩B)U(AnC), 分配律 AU(BnC)=(AUB)n(AUC) A∩A=A,AUA=A:A∩0=0，AU0=A 幂等与单位元 A∩B∈A∈AUB 交并不等式 A∩B=A台A∈B:AUB=A台B∈A 运算与包含的转化 AUCUA=U,AnCUA=0,Cu(CUA)=A 补集性质 其中「运算与包含的转化」是解参数题的枢纽，第7节整节都建在它上面 8 6.3例题 例7、已知A={xI-1<x≤5)，B={xIx≥3)，全集U=R,求A∩B、AUB、 (CuA)OB B 解：画数轴（如图4). A∩B取公共部分：{xI3≤x≤5}： -2101 AUB取全部覆盖：{xIx>-1: 图4 CuA={xIx≤-1或x>5),与B取公共部分，得{xIx>5}. 7、由运算结果求参数 7.1先翻译，再动笔 运算式本身不含参数，含参数的是集合.所以第一步永远是把运算式翻译成包含关系或空 集条件： 题设 翻译 A∩B=A ACB AUB-A BCA A∩B=0 两集合无公共元素（连续集用数轴分离，离散集逐个排除） AUB=U CuA∈B(正难则反) CuA∈B CuBA 翻译之后一律回到第5节的三步法：空集优先、数轴列式、端点检验， 7.2例题 例8、已知A={xIx2-3x-4≤0，B={xIa≤x≤a+2: (1)若A∩B=B,求a的取值范围；（2)若A∩B=D,求a的取值范围 解：先化简A:x2-3x-4≤0即(x-4)(x+1)≤0，故A={x|-1≤x≤4}.又B的 长度为2>0，B恒非空 (DAnB=B裤译为BcA,En+24 解得-1≤a≤2. (2)方法一（正面分类）：A∩B=①即B整体落在A的左侧或右侧： B在左侧：a+2<-1,即a<-3;B在右侧：a>4. 故a<-3或a>4. 方法二（补集思想验算）：A∩B≠0即两区间有公共点，需a≤4且a+2≥-1，即 -3≤a≤4：取补集得a<-3或a>4,与方法一一致. 8、有限集的元素个数与容斥原理 8.1结论：两个集合 cad(AUB)=cawd(A)+card(B)-card(A⌒B)（其中card(A)表示集合A中的元素个数) AnB A B 算了两次 图3容斥原理：公共部分被算两次，需减掉一次 8.2三个集合 card(ABUC)=card(A)+card(b)+card(c)-card(AB)-card(BC) -cawd(C⌒A)+cwd(A⌒BOC) 8.3例题 例9、学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比 赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3 人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加 田径比赛和球类比赛的人数为() A.0 B.1 C.2 D.3 解：设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为x,只参加田径的人数为y,只参加球类 比赛的人数为z, 则只参加游泳比赛的人数为15-3-3-1-8，画出Ven图，如图所示， 3+1+x+y=8 x=1 则3+1+x+==14,解得y=3, 游泳 田径 3 15+x+y+二=28 2=9 8 y 所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人 3 球类(z) o 9、含参方程与集合的元素个数 9.1问题的实质 像A={xIax2+x+1=0}这样的集合，元素个数等于方程的实根个数.而在数根之前 必须先问一句：这到底是不是一元二次方程？ a≠0时它是二次方程，根的情况由△决定；a=0时它退化成一次方程x+1=0,只 有一个根.这一步分岔决定后面用哪套工具，漏掉α=0是本章最典型的整题失分 9.2分类骨架 设A={xIax2+bx+c=0},按题设对元素个数的要求分类： 题设 a=0时 a≠0时 恰有1个元素 一次方程有唯一解，算1个 4=0 恰有2个元素 不可能（一次方程至多1个根） 4>0 至多1个元素 -次方程有解(1个)或无解(0个)，都算 4≤0 至少1个元素 一次方程有解即可 4≥0 看这张表的顺序很重要：先看a=0那一列，再看a≠0那一列，最后取并集 9.3与子集个数的联动 子集个数反过来能告诉我们元素个数：2n个子集对应n个元素.于是 。「A恰有2个子集」曰A恰有1个元素台回到9.2第一行： ·「A恰有4个子集」台A恰有2个元素台a≠0且△>0： ·「A恰有3个真子集」台A恰有2个元素（真子集=2n-1=3). 这一步翻译常常是题目的隐含条件，不写出来就会漏掉分类」 9.4例题 例10、已知集合A={xIax2+x+1=0}中只有一个元素，求实数a的值. 解：按a是否为0分两类 (1)a=0时，方程化为x+1=0,解得x=-1,此时A={-1,恰有1个元素，符 合题意」 (2)α≠0时，方程是二次方程，要恰有一个实根，需 11 4-1-4n=0→a-号 此时方程为x2+x+1=0,即(x+2)2=0,解得x=-2,A={-2},符合题意。 综上，a=0或a=4 注：Q=0这一支最容易丢丢了它，答案就只剩少一半 例11、已知集合A={xIax2+2x+1=0}中至多有一个元素，求实数a的取值范围， 解：(1)Q=0时，方程为2x+1=0,解得x=-2,A恰有1个元素，符合「至多一 个」 (2)a≠0时，要至多一个实根，需 4=4-4a≤0→a≥1 (△=0时是一个重根，也算「至多一个」，所以带等号.) 综上，a=0或a≥1. 注：这里△≤0的等号不能丢一「至多一个」包含「恰好一个」，△=0正是恰好一 个的情形.若题目改成「没有实数根」，才用△<0. 9.5易错点 ·一上手就写△，把a=0这一支整段漏掉 ●a=0时也可能出现0·x+c=0的矛盾式（如0·x+1=0),此时A=0,元素个数为 0一这仍然满足「至多一个」，别以为它不合题意而排除 ·求出α之后要回去看一眼「此时集合里到底是什么」，确认元素个数与题设一致，而不是 只对4的符号： ·区间端点：用△≤0还是4<0，取决于题设说的是「至多一个」还是「没有根」. 10、新定义与创新题 10.1三步破题 第一步，把定义抄成条件：题目给的「若..则称..」往往含两三条性质，逐条编 号，一条都不能漏 第二步，逐项验证：对每个选项，用定义里的某一条去套：符合的还要说明「为什么一 定符合」，不符合的只需给出一个反例 第三步，反例优先：判断「不是」永远比判断「是」容易，所以先找反例淘汰选项」 12 10.2例题 例12、（多选）若集合A具有以下两条性质，则称A为一个「好集合」：（1)0∈A 且1EA;(2)若x,y∈A,则x-yEA,且当x≠0时1EA.据此判断，下列结论正确的 是() A.集合P={-2,-1,0,1,2}是「好集合」 B.Z是「好集合」 C.Q是「好集合] D.设A是「好集合」，若x,yEA,则x+yEA 解：A:2∈P,-2EP,但2-(-2)=4度P,违反性质(2)，故A错 B:2EZ,但E2,违反性质(2)，故B错 C:0,1∈Q:有理数相减仍是有理数，非零有理数的倒数仍是非零有理数，两条性质都 满足，故C对」 D:由0∈A与yEA得0-y=-yEA;再由xEA、-yEA得x-(-y)=x+y∈ A,故D对 答案：CD 注：D的关键一步是「先由减法造出-y,再把x+y看成x-(-y)」一新定义题里的 加法往往要靠减法反推 常用逻辑用语 常用逻辑用语解决两件事：把条件与结论之间的推出关系说准（充分条件与必要条 件)，把含「所有」「存在」的命题写准、否定写准（全称量词与存在量词）.做题前先分清 谁是条件、谁是结论，再看它俩能不能互推」 11、充分条件与必要条件 11.1定义 若「若p,则q」是真命题，即p→q,就说p是q的充分条件，q是p的必要条件. 「充分」指有它必成立、足以保证：「必要」指没它必不成立、必不可少 若p→q且q→p,即p台q,则p是q的充分必要条件，简称充要条件，也说成「q 成立当且仅当p成立」.充要条件具有传递性」 13 11.2集合视角 设A={xIp(x)},B={xIq(x)},则推出关系与包含关系一一对应，如图4. A至B A=B B至A 互不包含 p是q的 p、q互为 p是q的 既不充分 充分不必要条件 充要条件 必要不充分条件 也不必要 图4充分必要条件与集合包含关系的对应 集合关系 结论 ASB p是q的充分不必要条件 BSA p是q的必要不充分条件 A=B p、q互为充要条件 互不包含 既不充分也不必要条件 口诀：小推大一范围小的那个是范围大的那个的充分不必要条件.只要P,?说的是方程 或不等式的解集，一律优先用集合视角，比背定义可靠 11.3判断方法 p是g的···条件 p的···条件是q 充分 p→q q→卫 必要 q→p p→q 11.4易错点 ●方向搞反：「p是q的充分条件」=p→q:「p的充分条件是q」=q→p.两句话方向相 反，这是本节点错误率最高的一处 ·「充分不必要」对应真子集：求参数时必须排除两端同时取等导致的A=B,否则把「充 要」误当成「充分不必要」· ·特殊值法只能用来否定，不能用几个特殊值成立就断言「充分」. 14 11.5例题 例13、x∈R,判断0<x<3是|2x-3引<2的什么条件 解：解2x-3引<2，得-2<2x-3<2,即<x< 记A=xI0<x<3,B=xI<x<引，则BA 由「小推大」，B对应的条件是A对应条件的充分不必要条件，即「2x-3引<2」是 「0<x<3」的充分不必要条件：反过来，「0<x<3」是「2x-3<2」的必要不充分条 件 例14、（多选)下列说法正确的是（) A.「a=b」是「ac=bc」的充分不必要条件 B.「>是「a<b」的既不充分也不必要条件 C.「a≠0」是「ab≠0」的必要不充分条件 D.「a>b>0」是「an>bm(n∈N,n≥2)」的充要条件 解：A:a=b→ac=bc;反之c=0时ac=bc推不出a=b,故为充分不必要条件， A对 B:日>台>0.当b>0时得a<b,当ab<0时得a>b,与a<b互不推出， B对 C:ab≠0→a≠0且b≠0：但a≠0时，若b=0仍有ab=0,推不出ab≠0.故 a≠0是ab≠0，的必要不充分条件，C对. D:取n=2,a=-2,b=1,则a2>b2但a<b,故推不出，D错 答案：ABC. 12、由充分必要条件求参数 12.1三步 第一步，把p,q各自化成集合（解不等式或方程）；第二步，按题设的「充分/必要充 要」翻译成包含关系，得到含参数的包含式：第三步，按第5节三步法求参数，并单独检验 端点，保证真子集而不是相等」 15 翻译表： 题设 集合关系 p是q的充分不必要条件 ASB p是q的必要不充分条件 BSA p是q的充要条件 A=B p是q的充分条件 A∈B 12.2例题 例15、已知p:x2-4x-5≤0，q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).若p是q的必 要不充分条件，求m的取值范围 解：p即(x-5)(x+1)≤0，故A={x-1≤x≤5} q即(x-1)2≤m2,由m>0得1-m≤x≤1+m,故B={x|1-m≤x≤1+m. p是q的必要不充分条件，即q→p且p羚q,翻译为BA, 先要Bc4即1+m三解得m≤2 再看B≠A能否自动满足：当m≤2时，B的右端1+m≤3<5，而A的右端为5， 两端不可能同时取等，故B≠A恒成立，无需额外排除 结合m>0,得0<m≤2. 所以m的取值范围是{m0<m≤2) 注：这一题之所以不必单独排端点，是因为使右端相等的m=4已被B二A的另一条不 等式淘汰.但换成其他形式，端点就可能成为有效解一每一题都要实际检查一遍，不能背结 论 例16、使不等式}<x+1<4成立的一个充分不必要条件是（) A-<x<3B.-<x<0C.-1<x<6D.-3<x< 解：原不等式即-}<x<3,记为集合P. P成立的充分不必要条件指的是某个集合Q满足QP. A:Q=P,是充要条件，不是充分不必要； B:Q=(-2,0)P,符合： C:PQ,是必要不充分条件： 6 D:与P互不包含 答案：B 13、全称量词与存在量词 13.1两类命题及其真假 全称量词命题：xEM,p(x),如「所有.都.」 存在量词命题：x∈M,p(x),如「存在.使得..」 命题 为真 为假 VxEM,p(x) 对M中每个x都证明p(x)成立 举一个反例即可 xEM,p(x) 在M中找到一个使p(x)成立的x 需证明M中每个x都不成立 13.2命题的否定 原命题 否定 Hx∈M,p(x) 3x∈M,p(x) x EM,p(x) Hx∈M,p(x) 要点：换量词、否结论，范围M一字不动.三条纪律缺一条就错， 13.3易错点 ·「只换量词不否结论」或「把范围也一并否定」，是本节两大错法.范围M永远不变，尤 其是x>0否定后仍是x>0. ·不等号的否定要带等号：<的否定是≥，不是>.这一处漏等号在选择题里直接判错 。·「一定是」的否定是「不一定是」，不是「一定不是」 ·全称命题为假，只需一个反例：不要写成「所有都不成立」 13.4例题 例17、写出命题p:彐x>0,x2-4x+3<0的否定，并判断p的真假. 解：换量词（→V)、否结论(<改成≥）、范围x>0不变： p:Vx>0,x2-4x+3≥0 判断真假：x2-4x+3=(x-1)(x-3),取x=2>0,得4-8+3=-1<0，说明 p是假命题（原命题p为真）. 17 注：也可以用「p与P真假相反」来检验一只要举出一个使p成立的x(如x= 2),就知道p必假 14、量词命题与恒成立、有解 14.1转化：一律化成最值 命题 等价条件 Hx∈M,f(x)≥a a≤f(x)min Hx∈M,f(x)≤a a≥f(x)max xE∈M,f(x)≥a a≤f(x)max ]xEM,f(x)≤a a≥f(x)min 14.2双变量问题 设f在区间A上的最小、最大值为mr,M,g在区间B上的最小、最大值为mg,Mg 命题 等价条件 Hx1∈A,Hx2∈B,f(x1)≤g(x2) MF≤mg Vx1 EA,3x2E B,f(x1)sg(x2) Mf≤Mg x1 EA,Vx2 E B,f(x1)<g(x2) mf≤mg 3x1 E A,3x2 EB,f(x1)<g(x2) mr≤Mg 14.3例题 例18、已知命题p:HxE{x11≤x≤2，a≤x2是真命题，求a的最大值. 解：p为真即a≤x2在[1,2]上恒成立，故a≤(x2)min x2在[1,2]上递增，最小值为1，故a≤1，a的最大值为1. 例19、已知f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0)，若对任意x1∈[-1,2]，存在 x2E[-1,2],使f(x1)=g(x2),求a的取值范围， 解：这是「Vx13x2+等号」，等价于「f在[-1,2]上的值域cg在[-1,2]上的值域」· f(x)=(x-1)2-1在[-1,2]上最小值为f(1)=-1,最大值为f(-1)=3,故值域为 [-1,3]. g(x)=ax+2在[-1,2]上递增(a>0),值域为[2-a,2+2a]. 由[-1,3]≤[2-a,2+2a]得 18 2-a≤-1， 2+2a≥3， 即a≥3且a≥2故a≥3. 所以a的取值范围是[3，+oo). 15、本章易错点总表 下面这张表把全章踩过的坑集中列一次.做题时若某一步犹豫，先来这里对一行. 位置 容易错在哪 正确做法 元素互异性 由属于关系解出参数就直接写答案 每个候选值代回，算出全部元素， 重复的舍去 e与c 写成1cW、1)eW E连元素与集合，二连集合与集合 元素本身是集合 B={xIx∈A)时仍用「包含」比 较 此时A是B的元素，应写A∈B 数集与点集 xIy=x2+1)与{(x,y)Iy= 先看竖线左边的代表元素是字母还 x2+1}当成同一集合 是有序数对 空集 解B∈A时直接设B≠ 先讨论B=D,它必然满足任何包 含关系 端点取等 c与三用同一套端点不等式 王要额外排除两端同时取等（即 B=A)的情形 含参二次方程 A={xIax2+bx+c=0}直接写 先分a=0(退化为一次方程)与 △ a≠0（见第9节) 元素个数与子集 「有3个真子集」当成「3个元 真子集2n-1=3→n=2,是两 数 素」 个元素 数轴表示 端点实心、空心与不等号是否带等 x≥3画实心，x>3画空心，逐 不一致 项核对 求代数式范围 解出各变量范围再组合，把区间放 用已知式线性组合，或改用待定系 大（集合部分不涉及，但同源） 数法 只换量词不否结论，或把范围M 命题的否定 换量词、否结论、范围一字不动 并否定 不等号的否定 <的否定写成> <的否定是≥（带等号） 19 位置 容易错在哪 正确做法 「一定是」的否 定 写成「一定不是」 应是「不一定是」 充分必要条件方 把「p的充分条件是q」当成p→ 向 该说法是q→p,方向相反 q 充分不必要 求参数时只列包含不列真包含 A=B要排除A=B,端点单独验 量词命题求参数 把「臼有解」当成「V恒成立」 H看最紧的端点（最小值/最大 值)，了看最松的端点 双变量问题 两个量词都按同一个最值处理 取最不利、彐取最有利（见14.2 表) 20 集合与常用逻辑用语集合 集合部分解决三件事：把研究对象准确地装进集合（含义与表示）、说清两个集合谁包含谁（基本关系）、在交并补的运算中求出结果或参数（基本运算），以及在含参与新定义的情形下锁定参数的取值范围. 拿到集合题先问三句：代表元素是什么、要不要单独讨论空集、端点能不能取等. 1、集合的含义与元素的三个特性 1.1　定义与三要素 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合（简称集）. 集合通常用大写拉丁字母 表示，元素用小写拉丁字母 表示. 元素与集合的关系只有两种： 或 ，对任何 与 二者必居其一. 元素的三个特性如下表，其中互异性是解题时唯一起作用的一条. 特性 含义 在解题中的表现 确定性 给定集合后，任一对象是不是它的元素是确定的 用来判断某对象能否构成集合（「高个子同学」不行） 互异性 任意两个元素都不相同，相同对象只算一个 求出参数后必须回代，看是否出现重复元素 无序性 元素间没有先后顺序， 集合相等只看元素是否完全相同 互异性要单独讲透：它不是方程给出的约束，而是集合本身的性质. 也就是说凡是「由元素与集合的关系求参数」，解完方程只算完成一半，必须逐个代回检验. 1.2　集合相等 两个集合相等，指所含元素完全相同，记作 ；与元素顺序、呈现形式无关，如 . 判断两个用不同方式写出的集合是否相等，一律先化成同一种读法（都解出来，或都看代表元素的取值范围）. 1.3　做题方法（由属于关系求参数） 第一步，按「 等于集合中哪个元素」分类，逐类列方程；第二步，解出各候选值；第三步，把每个候选值代回原集合，算出全部元素，凡出现两个元素相同的，该值舍去. 第三步不能省，也不能只看方程有没有解——下面例 1 中三个候选值有两个都是这样被淘汰的. 1.4　易错点 漏掉检验：候选值不代回就写答案，是这类题增解的唯一来源. 只用于元素与集合之间， 只用于集合与集合之间：、 都对，写成 就错了. 集合中的元素是「对象」，对象本身也可以是集合，此时要用「属于」而不是「包含」来说（见例 4）. 1.5　例题 例 1、 已知集合 ，若 ，求实数 . 解：分三类，逐个让三个元素等于 . （1）若 ，则 ，此时三个元素为 ，出现重复，舍去. （2）若 ，则 或 . 时三个元素为 ，互不相同，符合题意； 时三个元素为 ，重复，舍去. （3）若 ，即 ，解得 或 ，这两个值都已在（1）（2）中被舍去. 综上，. 注：三个方程一共给出四个候选值，最后只有一个存活——这正是 1.3 第三步存在的理由. 2、集合的表示方法与代表元素 2.1　三种表示法 方法 写法 适用 列举法 元素一一列出并用花括号括起，不重、不漏、不计次序 元素较少的有限集 描述法 ： 是代表元素， 是取值范围， 是共同特征 无限集或元素较多的集合 图示法 Venn 图（封闭曲线围成区域）与数轴 辅助判断关系与运算 2.2　描述法的四条纪律 ① 写清代表元素， 不能写成 ；② 条件语言简明准确，多层条件用「且」「或」连接；③ 不得出现未说明的字母，如 中 未说明，集合不明确；④ 所有限制都写进花括号内， 不能挂在花括号外. 2.3　数集与点集：同一个式子三种读法 这是「同一集合判断」类题的全部难点：式子的样子一样，代表元素不同，集合就完全不同. 集合 代表元素 含义 数 函数 的定义域，即 数 函数 的值域，即 有序数对 抛物线上所有点组成的点集 判断口诀：先看竖线左边写的是什么. 只写一个字母就是数集，写成 就是有序实数对，可能是点集，也可以是方程组的解组成的集合等等. 数集与点集之间永远不可能相等，因为元素根本不是一类东西. 2.4　常用数集 自然数集 （含 ），正整数集 （或 ），整数集 ，有理数集 ，实数集 . 它们之间是层层包含关系，如图 1. 图 1　常用数集的包含关系 2.5　例题 例 2、 下列各组中的 表示同一集合的是哪几组？ ① ，； ② ，； ③ ，； ④ ，. 解：① 是数集， 是点集，不同；② 与 是两个不同的点，不同；③ ，，代表元素换了字母但取值范围相同，是同一集合；④ 一为值域、一为图像上的点集，不同. 故只有③表示同一集合. 3、元素与集合关系的判断 3.1　两种方法 直接法：集合中的元素已一一列出，看该元素在不在其中即可. 推理法：集合用描述法给出，判断该元素是否满足共同特征（是否满足那个方程、不等式或整除条件）. 3.2　判定的第一动作 先认出代表元素，再看特征. 集合 的元素是「能写成两个自然数平方和」的数，不是「」本身. 认错代表元素，后面的推理全部作废. 3.3　结论：判定「一定在」与「不一定在」的分工 要说明「对任意 都有某结论」成立，必须做推理证明（把 写成 的形式再变形）；要说明它不成立，只需举一个反例——一个反例就足以推翻全称性的断言. 选择题里「不一定正确」的问法，通常三个选项靠反例否定，一个选项靠推理肯定. 3.4　例题 例 3、 （多选）已知集合 ，且 ，，则下列结论中不一定正确的是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解：取 ，，则 . 而 不能写成两个自然数的平方和（ 都不是完全平方数），故 A 不一定正确； （ 中元素非负），（不是整数），故 B、D 不一定正确； 再看 C：设 ，，则 而 ，，故 ，C 一定正确. 答案：ABD. 4、集合间的基本关系 4.1　子集、真子集与相等 关系 文字语言 符号语言 子集 中任意一个元素都是 的元素 （或 ） 真子集 ，且 中至少有一个元素不属于 （或 ） 相等 且 子集的三条性质：① ；② 且 ；③ ， . 4.2　空集与三类记号辨析 不含任何元素的集合叫空集，记作 . 两条性质：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集. 对象 本质 关系 与 是集合， 是数 与 无元素， 有一个元素 与 有一个元素 且 4.3　结论：子集个数公式 元集合有 个子集、 个真子集、 个非空子集、 个非空真子集（）. 4.4　做题方法（判断两个集合的关系） ① 化简优先：把两个集合都解成最简形式（有限集列全元素，无限集写区间）； ② 有限集用列举或 Venn 图逐元素比； ③ 无限连续集画数轴比端点； ④ 也可用「特征互推」：由 能否推出 ，能则 . 4.5　易错点 空集情形永远先讨论： 一类问题不讨论 ，是最常见的整题失分点. 数轴端点开闭与能否取等要一一对应： 允许两端同时取等（此时 ）， 不允许. 元素本身是集合时，「属于」与「包含」不能混用，见例 4. 4.6　例题 例 4、 已知集合 ，，则 与 的关系是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解： 的代表元素是 ，条件是「 是 的子集」，故 的元素是 的全部子集： 其中 就是 本身，说明 是 的一个元素，即 . 再看包含： 的元素是数 ，而 的元素都是集合，二者不是同一类对象，谈不上包含. 答案：D. 注：这题的陷阱在于「 的元素也都是集合」——判断关系前必须先看清元素是数还是集合. 5、由集合关系求参数 5.1　三步法 第一步，空集优先：字母都在一次项上、区间端点含参数时，先解出使集合为空的参数范围，这部分必然满足任何包含关系. 第二步，非空时列端点不等式：用数轴把已知集合与含参集合画在一起，按「含参集合要落在已知集合内部」逐一对端点列不等式. 连续集比端点，离散集（如整数集）比较大小或逐个枚举. 第三步，端点回代检验：端点取等与不取等，决定参数能否取到边界值，必须单独验. 5.2　为什么端点检验不能省 与 的差别全部集中在「两端能否同时取等」上. 若题设是 ，允许 ，端点可以取等；若题设是 ，则 必须排除，那组使端点同时取等的参数值就要从答案里划掉. 只做题不验端点， 的题就会多带一个边界值. 5.3　易错点 忘记 ：这是本节的第一个坑，也是最容易整题丢分的一处. 端点不等号方向写反： 落在 内部，写的是「 的左端 的左端」且「 的右端 的右端」，方向反了会得到完全相反的范围. 两个不等式组解出的范围直接取并，却忘了第二步本来就要与「非空」的前提取交. 5.4　例题 例 5、 已知 ，，若 ，求 的取值范围. 解：先看 . 当 ，即 时，，满足题意. 再看 ，即 . 此时 是区间 ，要它落在 内，需 解得 . 综上，，即 的取值范围是 . 注：若把条件改成 ，则 时 必须排除，答案改为 或 ，即 且 . 例 6、 已知 ，，若 ，求实数 的取值范围. 解：由 ，解得 或 ，即 . 因为 ，所以 或 或 或 . 方程 的判别式 ① 若 ，则 ， 解得 或 . ② 若 为单元素集合，即 ，得 . 当 时，方程为 ，解得 ，此时 ，符合条件； 当 时，方程为 ，解得 ，此时 ，舍去. ③ 若 ，由韦达定理得 解得 . 检验：当 时，方程为 ，两根为 ，满足 . 综上，实数 的取值范围是 a=4. 注：， 为含参一元二次方程的解集时，优先考虑空集；单元素集合需要同时满足判别式等于0且根属于集合，不可直接代根求解. 6、集合的基本运算 6.1　交集、并集、补集 运算 文字语言 符号语言 交集 由所有既属于 又属于 的元素组成的集合 并集 由所有属于 或属于 的元素组成的集合 补集 由全集 中所有不属于 的元素组成的集合 并集定义中的「或」包含三种情况：只属于 、只属于 、同属于两者，公共元素在并集中只出现一次. 四种关系的几何形象如图 2. 图 2　并集、交集、补集与包含关系的 Venn 图 6.2　运算性质 性质 名称 ， 交换律 ， 结合律 ， 分配律 ，；， 幂等与单位元 交并不等式 ； 运算与包含的转化 ，， 补集性质 其中「运算与包含的转化」是解参数题的枢纽，第 7 节整节都建在它上面. 6.3　例题 例 7、 已知 ，，全集 ，求 、、. 解：画数轴（如图 4）. 取公共部分：； 取全部覆盖：； ，与 取公共部分，得 . 7、由运算结果求参数 7.1　先翻译，再动笔 运算式本身不含参数，含参数的是集合. 所以第一步永远是把运算式翻译成包含关系或空集条件： 题设 翻译 两集合无公共元素（连续集用数轴分离，离散集逐个排除） （正难则反） 翻译之后一律回到第 5 节的三步法：空集优先、数轴列式、端点检验. 7.2　例题 例 8、 已知 ，. （1）若 ，求 的取值范围；（2）若 ，求 的取值范围. 解：先化简 ： 即 ，故 . 又 的长度为 ， 恒非空. （1） 翻译为 ，需 解得 . （2）方法一（正面分类）： 即 整体落在 的左侧或右侧： 在左侧：，即 ； 在右侧：. 故 或 . 方法二（补集思想验算）： 即两区间有公共点，需 且 ，即 ；取补集得 或 ，与方法一一致. 8、有限集的元素个数与容斥原理 8.1　结论：两个集合 （其中表示集合A中的元素个数） 图 3　容斥原理：公共部分被算两次，需减掉一次 8.2　三个集合 8.3　例题 例 9、学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 解：设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径的人数为y，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为15-3-3-1=8，画出Venn图，如图所示， 则，解得， 所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 9、含参方程与集合的元素个数 9.1　问题的实质 像 这样的集合，元素个数等于方程的实根个数. 而在数根之前必须先问一句：这到底是不是一元二次方程？ 时它是二次方程，根的情况由 决定； 时它退化成一次方程 ，只有一个根. 这一步分岔决定后面用哪套工具，漏掉 是本章最典型的整题失分. 9.2　分类骨架 设 ，按题设对元素个数的要求分类： 题设 时 时 恰有 个元素 一次方程有唯一解，算 个 恰有 个元素 不可能（一次方程至多 个根） 至多 个元素 一次方程有解（ 个）或无解（ 个），都算 至少 个元素 一次方程有解即可 看这张表的顺序很重要：先看 那一列，再看 那一列，最后取并集. 9.3　与子集个数的联动 子集个数反过来能告诉我们元素个数： 个子集对应 个元素. 于是 「 恰有 个子集」 恰有 个元素 回到 9.2 第一行； 「 恰有 个子集」 恰有 个元素 且 ； 「 恰有 个真子集」 恰有 个元素（真子集 ）. 这一步翻译常常是题目的隐含条件，不写出来就会漏掉分类. 9.4　例题 例 10、 已知集合 中只有一个元素，求实数 的值. 解：按 是否为 分两类. （1） 时，方程化为 ，解得 ，此时 ，恰有 个元素，符合题意. （2） 时，方程是二次方程，要恰有一个实根，需 此时方程为 ，即 ，解得 ，，符合题意. 综上， 或 . 注： 这一支最容易丢. 丢了它，答案就只剩 ，少一半. 例 11、 已知集合 中至多有一个元素，求实数 的取值范围. 解：（1） 时，方程为 ，解得 ， 恰有 个元素，符合「至多一个」. （2） 时，要至多一个实根，需 （ 时是一个重根，也算「至多一个」，所以带等号.） 综上， 或 . 注：这里 的等号不能丢——「至多一个」包含「恰好一个」， 正是恰好一个的情形. 若题目改成「没有实数根」，才用 . 9.5　易错点 一上手就写 ，把 这一支整段漏掉. 时也可能出现 的矛盾式（如 ），此时 ，元素个数为 ——这仍然满足「至多一个」，别以为它不合题意而排除. 求出 之后要回去看一眼「此时集合里到底是什么」，确认元素个数与题设一致，而不是只对 的符号. 区间端点：用 还是 ，取决于题设说的是「至多一个」还是「没有根」. 10、新定义与创新题 10.1　三步破题 第一步，把定义抄成条件：题目给的「若……则称……」往往含两三条性质，逐条编号，一条都不能漏. 第二步，逐项验证：对每个选项，用定义里的某一条去套；符合的还要说明「为什么一定符合」，不符合的只需给出一个反例. 第三步，反例优先：判断「不是」永远比判断「是」容易，所以先找反例淘汰选项. 10.2　例题 例 12、 （多选）若集合 具有以下两条性质，则称 为一个「好集合」：（1） 且 ；（2）若 ，则 ，且当 时 . 据此判断，下列结论正确的是（　） A. 集合 是「好集合」 B. 是「好集合」 C. 是「好集合」 D. 设 是「好集合」，若 ，则 解：A：，，但 ，违反性质（2），故 A 错. B：，但 ，违反性质（2），故 B 错. C：；有理数相减仍是有理数，非零有理数的倒数仍是非零有理数，两条性质都满足，故 C 对. D：由 与 得 ；再由 、 得 ，故 D 对. 答案：CD. 注：D 的关键一步是「先由减法造出 ，再把 看成 」——新定义题里的加法往往要靠减法反推. 常用逻辑用语 常用逻辑用语解决两件事：把条件与结论之间的推出关系说准（充分条件与必要条件），把含「所有」「存在」的命题写准、否定写准（全称量词与存在量词）. 做题前先分清谁是条件、谁是结论，再看它俩能不能互推. 11、充分条件与必要条件 11.1　定义 若「若 ，则 」是真命题，即 ，就说 是 的充分条件， 是 的必要条件. 「充分」指有它必成立、足以保证；「必要」指没它必不成立、必不可少. 若 且 ，即 ，则 是 的充分必要条件，简称充要条件，也说成「 成立当且仅当 成立」. 充要条件具有传递性. 11.2　集合视角 设 ，，则推出关系与包含关系一一对应，如图 4. 图 4　充分必要条件与集合包含关系的对应 集合关系 结论 是 的充分不必要条件 是 的必要不充分条件 、 互为充要条件 互不包含 既不充分也不必要条件 口诀：小推大——范围小的那个是范围大的那个的充分不必要条件. 只要 说的是方程或不等式的解集，一律优先用集合视角，比背定义可靠. 11.3　判断方法 p是q的···条件 p的···条件是q 充分 必要 11.4　易错点 方向搞反：「 是 的充分条件」= ；「 的充分条件是 」= . 两句话方向相反，这是本节点错误率最高的一处. 「充分不必要」对应真子集：求参数时必须排除两端同时取等导致的 ，否则把「充要」误当成「充分不必要」. 特殊值法只能用来否定，不能用几个特殊值成立就断言「充分」. 11.5　例题 例 13、 ，判断是的什么条件. 解：解 ，得 ，即 . 记 ，，则 . 由「小推大」， 对应的条件是 对应条件的充分不必要条件，即「」是「」的充分不必要条件；反过来，「」是「」的必要不充分条件. 例 14、 （多选）下列说法正确的是（　） A. 「」是「」的充分不必要条件 B. 「」是「」的既不充分也不必要条件 C. 「」是「」的必要不充分条件 D. 「」是「（，）」的充要条件 解：A：；反之 时 推不出 ，故为充分不必要条件，A 对. B：. 当 时得 ，当 时得 ，与 互不推出，B 对. C： ；但 时，若 仍有 ，推不出 . 故是,的必要不充分条件，C 对. D：取 ，，，则 但 ，故推不出，D 错. 答案：ABC. 12、由充分必要条件求参数 12.1　三步 第一步，把 各自化成集合（解不等式或方程）；第二步，按题设的「充分/必要/充要」翻译成包含关系，得到含参数的包含式；第三步，按第 5 节三步法求参数，并单独检验端点，保证真子集而不是相等. 翻译表： 题设 集合关系 是 的充分不必要条件 是 的必要不充分条件 是 的充要条件 是 的充分条件 12.2　例题 例 15、 已知 ：，：（）. 若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围. 解： 即 ，故 . 即 ，由 得 ，故 . 是 的必要不充分条件，即 且 ，翻译为 . 先要 ，即，解得 . 再看 能否自动满足：当 时， 的右端 ，而 的右端为 ，两端不可能同时取等，故 恒成立，无需额外排除. 结合 ，得 . 所以 的取值范围是 . 注：这一题之所以不必单独排端点，是因为使右端相等的 已被 的另一条不等式淘汰. 但换成其他形式，端点就可能成为有效解——每一题都要实际检查一遍，不能背结论. 例 16、 使不等式 成立的一个充分不必要条件是（　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解：原不等式即 ，记为集合 . 成立的充分不必要条件指的是某个集合 满足 . A：，是充要条件，不是充分不必要； B：，符合； C：，是必要不充分条件； D：与 互不包含. 答案：B. 13、全称量词与存在量词 13.1　两类命题及其真假 全称量词命题：，如「所有……都……」； 存在量词命题：，如「存在……使得……」. 命题 为真 为假 对 中每个 都证明 成立 举一个反例即可 在 中找到一个使 成立的 需证明 中每个 都不成立 13.2　命题的否定 原命题 否定 要点：换量词、否结论，范围 一字不动. 三条纪律缺一条就错. 13.3　易错点 「只换量词不否结论」或「把范围也一并否定」，是本节两大错法. 范围 永远不变，尤其是 否定后仍是 . 不等号的否定要带等号： 的否定是 ，不是 . 这一处漏等号在选择题里直接判错. 「一定是」的否定是「不一定是」，不是「一定不是」. 全称命题为假，只需一个反例；不要写成「所有都不成立」. 13.4　例题 例 17、 写出命题 ：， 的否定，并判断 的真假. 解：换量词（）、否结论（ 改成 ）、范围 不变： 判断真假：，取 ，得 ，说明 是假命题（原命题 为真）. 注：也可以用「 与 真假相反」来检验——只要举出一个使 成立的 （如 ），就知道 必假. 14、量词命题与恒成立、有解 14.1　转化：一律化成最值 命题 等价条件 14.2　双变量问题 设 在区间 上的最小、最大值为 ， 在区间 上的最小、最大值为 . 命题 等价条件 14.3　例题 例 18、 已知命题 ：， 是真命题，求 的最大值. 解： 为真即 在 上恒成立，故 . 在 上递增，最小值为 ，故 ， 的最大值为 . 例 19、 已知 ，（），若对任意 ，存在 ，使 ，求 的取值范围. 解：这是「 + 等号」，等价于「 在 上的值域 在 上的值域」. 在 上最小值为 ，最大值为 ，故值域为 . 在 上递增（），值域为 . 由 得 即 且 ，故 . 所以 的取值范围是 . 15、本章易错点总表 下面这张表把全章踩过的坑集中列一次. 做题时若某一步犹豫，先来这里对一行. 位置 容易错在哪 正确做法 元素互异性 由属于关系解出参数就直接写答案 每个候选值代回，算出全部元素，重复的舍去 与 写成 、 连元素与集合， 连集合与集合 元素本身是集合 时仍用「包含」比较 此时 是 的元素，应写 数集与点集 与 当成同一集合 先看竖线左边的代表元素是字母还是有序数对 空集 解 时直接设 先讨论 ，它必然满足任何包含关系 端点取等 与  用同一套端点不等式  要额外排除两端同时取等（即 ）的情形 含参二次方程 直接写 先分 （退化为一次方程）与 （见第 9 节） 元素个数与子集数 「有 3 个真子集」当成「3 个元素」 真子集 ，是两个元素 数轴表示 端点实心、空心与不等号是否带等不一致 画实心， 画空心，逐项核对 求代数式范围 解出各变量范围再组合，把区间放大（集合部分不涉及，但同源） 用已知式线性组合，或改用待定系数法 命题的否定 只换量词不否结论，或把范围 一并否定 换量词、否结论、范围一字不动 不等号的否定 的否定写成 的否定是 （带等号） 「一定是」的否定 写成「一定不是」 应是「不一定是」 充分必要条件方向 把「 的充分条件是 」当成 该说法是 ，方向相反 充分不必要 求参数时只列包含不列真包含 要排除 ，端点单独验 量词命题求参数 把「 有解」当成「 恒成立」 看最紧的端点（最小值/最大值）， 看最松的端点 双变量问题 两个量词都按同一个最值处理 取最不利、 取最有利（见 14.2 表） 1 学科网（北京）股份有限公司 $