第一章 集合与常用逻辑用语 复习讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图和对比表格系统梳理集合与常用逻辑用语知识体系，涵盖集合的概念、关系、运算及常用逻辑用语的充分必要条件、量词命题，用表格归纳数集符号、子集关系，思维导图呈现知识内在联系，突出元素特性、集合运算等重难点。 讲义亮点在于分层典例设计，如集合相等求参数（典例1-1）、子集关系求参数（典例2-3），培养数学思维中的推理能力，通过“集合法判定充分必要条件”指导方法，提升用数学语言表达逻辑关系的能力。练习题覆盖各类题型，基础题巩固概念，综合题挑战思维，助力不同层次学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第一章 集合与常用逻辑用语 知识归纳与题型总结 题型01 集合的概念 一、元素与集合的概念及表示： 1. 元素：在数学研究中，我们将所有被研究的单个对象统一称作元素，通常采用小写英文字母a、b、c……来指代元素。 2. 集合：由若干个确定的元素汇聚构成的整体，即为集合（日常简称集），集合的通用标识为大写英文字母A、B、C……。 3. 集合相等：若两个不同的集合，其所包含的全部元素完全一致，没有差异，则认定这两个集合相等。 二、元素的特性 1. 确定性：任意一个既定集合，其包含的元素范围是固定、明确的。对于任意一个对象，都能清晰判定该对象是否属于这个集合，不存在模糊不清的情况，这就是元素的确定性特征。 2. 互异性：同一个集合内部，所有元素彼此独立、互不重复，任意两个元素都是不同的个体，集合中不会出现重复元素。 3. 无序性：集合内的元素没有固定的排列次序，元素的摆放先后顺序不会改变集合本身，顺序调换后集合仍为原集合。 补充说明：判断一组对象能否构成集合，核心依据就是元素的三大特征。其中确定性的考察多出现于文字描述类题型，需规避“很高”“知名”“很多”等模糊、无统一标准的描述；互异性的考察多见于数值类题目，需注意同一数值的不同书写形式，避免出现元素重复的误区。 3、 元素与集合的关系 1. 基本从属关系 （1）属于：若对象a是集合A中的其中一个元素，就称a从属于集合A，记作a∈A。 （2）不属于：若对象a不在集合A的元素范围内，就称a不从属于集合A，记作a∉A。 补充说明：∈和∉两个专属符号，仅可用于元素与集合之间的关系判定，具备严格的方向性，符号左侧必须为单个元素，右侧必须为集合，二者位置不可颠倒互换。 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 4、 集合的表示法 1. 列举法 将集合包含的所有元素逐一罗列出来，再用大括号“{}”整体包裹，以此表示集合的方式叫做列举法，是最直观的集合表示方法。 注意要点：① 各个元素之间必须用逗号隔开，标点规范统一；② 罗列的所有元素都必须精准明确，无模糊对象；③ 严格遵循元素互异性，不得出现重复元素；④ 集合的元素范围广泛，可包含任意类型的研究对象。 2. 描述法 （1）核心定义：假设某一研究对象集合为A，我们可以选取集合中具备统一特征的全部元素x，用{x∈A|P(x)}的形式表示该集合，这种依托元素共同属性定义集合的方法就是描述法，部分场景中可使用冒号、分号替代中间的竖线。 （2）书写规范：在大括号内先标注元素的通用符号与取值、变化范围，再用竖线分隔，竖线后方精准写明该集合所有元素共同满足的特征、限定条件。 3. 图示法 图示法也常被称作韦恩图法，是一种可视化的集合表示方式。主要依托二维平面图形（常用圆形、矩形）来代表集合，通过图形直观展现集合的范围、集合与集合之间的关联，简洁易懂、立体感强。 【典例1-1】由三个数，，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值． 【典例1-2】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-3】已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 题型02 集合间的基本关系 一、子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 二、真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 注：(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。 三、集合相等的概念 1．概念说明：对于两个集合A、B，倘若集合A中的所有元素都隶属于集合B，同时集合B中的全部元素也都属于集合A，那么可以判定集合A与集合B完全等同，记作A＝B。换而言之，当满足A包含于B、且B包含于A的双向包含关系时，即可推出A、B两个集合相等。 四、空集的概念 1. 空集定义：没有包含任何元素的集合，被称作空集，专属记法为∅。 2. 核心性质规定：空集拥有通用性质，它是任意一个集合的子集。 补充备注：空集的从属关系需要重点区分，它是所有集合的子集，同时是一切非空集合的真子集，做题时需格外注意该特殊性质。 五、Venn图的优点及表示 1. 主要优势：韦恩图最大的特点是直观形象，能够将抽象的集合关系转化为图形，便于理解和分析集合间的包含、并列等关系。 2. 绘制表示方法：日常解题与学习中，一般利用平面封闭曲线的内部区域来代表一个完整的集合。 【典例2-1】已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【典例2-3】已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 考点03 集合的基本运算 一、并集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 二、交集 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 注：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 三、补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 注：∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 四、Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【典例3-1】设全集，集合，，则实数的值为（   ） A．0 B． C．2 D．0或3 【典例3-2】已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【典例3-3】已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 考点04 充分条件与必要条件 1、 命题 1. 命题的核心定义与分类 （1）定义：凡是能够借助文字语言、数学符号或公式式子进行表述，且可以明确判别真伪的陈述语句，统称为命题。疑问句、感叹句、无法判定对错的语句均不属于命题范畴。 （2）命题分类 ① 真命题：经过推理验证，结论成立、判定为正确的陈述语句； ② 假命题：能够举出反例、结论不成立、判定为错误的陈述语句。 （3）标准结构：命题的通用标准形式为“若p，则q”。其中p代表命题的已知条件，q代表由条件推导得出的命题结论。 备注：数学体系中的公理、定义、公式及定理都属于命题，但命题并不等同于定理。核心区别在于命题存在真假之分，而定理是经过严格证明、绝对成立的真命题。 2、 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 3、 充要条件 1. 充要条件的定义 当原命题“若p，则q”与逆命题“若q，则p”同时成立，也就是既能通过p推出q（p⇒q），又能通过q推出p（q⇒p）时，可简写为p⇔q。此时p同时满足q的充分条件与必要条件，因此称p是q的充分必要条件，简称充要条件。 该逻辑关系具备双向性，若p是q的充要条件，那么q也等价为p的充要条件，即p与q互为充要条件。 备注：等价符号的传递性 若p与q互为充要条件、q与s互为充要条件（p⇔q、q⇔s），可递推得出p⇔s，即p与s同样互为充要条件。 4、 充分条件与必要条件的判定 1. 四类条件的精准判定规则 （1）双向推导均成立（p⇒q且q⇒p），则p是q的充要条件； （2）p无法推出q、q也无法推出p，则p是q的既不充分也不必要条件； （3）p可以推出q，但q无法推出p，则p是q的充分不必要条件； （4）p无法推出q，但q可以推出p，则p是q的必要不充分条件； （5）集合判定规则：设命题p对应的元素集合为A={x|p(x)}，命题q对应的元素集合为B={x|q(x)}。若A包含于B，可判定p是q的充分条件、q是p的必要条件；若集合A与集合B完全相等，则p与q互为充要条件。 2. 两种核心判定方法 （1）定义法：直接依据p、q之间的推导关系（p⇒q、q⇒p）进行判定，多用于定义、定理类基础题型； （2）集合法：依托两个命题对应集合的包含、相等关系判断逻辑条件，更适用于含参数范围的推理题型。 3. 条件关系的实际应用要点 充分、必要、充要条件的考点多集中在参数求解问题，解题核心思路与注意事项如下： （1）将题干中的各类条件关系，转化为两个集合之间的包含或相等关系，再据此列出参数对应的不等式或不等式组，进而求解参数范围； （2）求解完成后，必须对区间端点数值进行验证，避免出现取值范围疏漏或错解。 【典例4-1】已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4-2】已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4-3】设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点05 全称量词与存在量词 一、全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2、 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1. 全称量词命题真伪判定 若想证实一条全称量词命题为真，需要验证指定集合 M 内全部元素 x，均能满足命题给出的关系式；若要证明该命题为假，只需在集合 M 内找出一个特殊元素x0，令命题关系式无法成立即可，该特殊例子称作反例。 2. 存在量词命题真伪判定 想要判定存在量词命题是真命题，只需在限定集合 M 中找到至少一个元素x0满足命题条件；如果集合内不存在任何符合条件的元素，则该存在量词命题为假。 补充说明： 常见全称类修饰词：全部、任意、任一、每一个、一切、所有、任取，用来描述整体范围内全部对象； 常见存在类修饰词：有一个、存在、某个、部分、有些、有的，用来指代范围内部分或单个对象。 3、 全称量词命题与存在量词命题的否定 1. 两类量词命题的否定规则 （1） 全称量词命题：p：∀x∈M，p(x)它的否定形式：∃x∈M，¬p(x)规律：全称量词命题经过否定后，会转变为存在量词命题。 （2） 存在量词命题：p：∃x∈M，p(x)它的否定形式：∀x∈M，¬p(x)规律：存在量词命题经过否定后，会转变为全称量词命题。 2. 改写全称量词命题否定的两步流程 1 替换量词：将代表全部的全称符号(∀)，替换为代表个别存在符号(∃)； ② 改写结论：把原语句中 “成立”“是” 这类肯定表述，调整为 “不成立”“不是” 等否定表述。 3. 改写存在量词命题否定的两步流程 1 替换量词：将代表个别存在符号(∃)，替换为代表全部的全称符号(∀)； 2 改写结论：把原语句里 “存在”“有”，改成 “不存在”“没有”。 备注：单一量词命题的否定核心口诀：更换量词，再对后半句结论进行否定。 4、 命题的否定与原命题的真假 1. 真假对应关系 任意一个命题的否定依旧是完整命题，二者真假状态永远相反，不可能同时为真或同时为假。 2. 真假快速判断技巧 （1） 区分命题属于全称类型还是存在类型，是正确写出否定式的基础； （2）若直接判断否定命题的正误难度较大，可转而判断原命题真假：原命题成立，则它的否定必然错误；原命题不成立，则它的否定一定正确。 补充要点：命题p和它的否定真假必然互斥。 【典例5-1】（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（　 ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 【典例5-2】若下列三个关于的方程，，中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围． 【典例5-3】已知下列两个命题： 的解集是或； 的解集是． 分别判断“或”“且”“非”形式的复合命题的真假． 一、单选题 1．已知集合，集合，则集合C的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．下面关于集合的表示正确的个数是（    ） ①；②； ③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 4．设，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．设集合，则（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（   ） A．为单元集 B．为有限集，但不是单元素集 C．为无限集，且有下界 D．为无限集，且无下界 8．已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 二、多选题 9．（多选）已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（    ） A． B．0 C．2 D．4 10．（多选）已知集合，则（  ） A．满足的有个 B．集合中有个元素 C．当时， D．“”是“”的必要不充分条件 11．（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．已知集合有三个元素，则实数的取值范围是______． 13．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 14．设，则集合中的元素个数为______． 四、解答题 15．已知集合，，全集. (1)求，； (2)求. 16．已知集合，，且B，求实数的取值范围. 17．已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 18．已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 19．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第一章 集合与常用逻辑用语 知识归纳与题型总结 题型01 集合的概念 一、元素与集合的概念及表示： 1. 元素：在数学研究中，我们将所有被研究的单个对象统一称作元素，通常采用小写英文字母a、b、c……来指代元素。 2. 集合：由若干个确定的元素汇聚构成的整体，即为集合（日常简称集），集合的通用标识为大写英文字母A、B、C……。 3. 集合相等：若两个不同的集合，其所包含的全部元素完全一致，没有差异，则认定这两个集合相等。 二、元素的特性 1. 确定性：任意一个既定集合，其包含的元素范围是固定、明确的。对于任意一个对象，都能清晰判定该对象是否属于这个集合，不存在模糊不清的情况，这就是元素的确定性特征。 2. 互异性：同一个集合内部，所有元素彼此独立、互不重复，任意两个元素都是不同的个体，集合中不会出现重复元素。 3. 无序性：集合内的元素没有固定的排列次序，元素的摆放先后顺序不会改变集合本身，顺序调换后集合仍为原集合。 补充说明：判断一组对象能否构成集合，核心依据就是元素的三大特征。其中确定性的考察多出现于文字描述类题型，需规避“很高”“知名”“很多”等模糊、无统一标准的描述；互异性的考察多见于数值类题目，需注意同一数值的不同书写形式，避免出现元素重复的误区。 3、 元素与集合的关系 1. 基本从属关系 （1）属于：若对象a是集合A中的其中一个元素，就称a从属于集合A，记作a∈A。 （2）不属于：若对象a不在集合A的元素范围内，就称a不从属于集合A，记作a∉A。 补充说明：∈和∉两个专属符号，仅可用于元素与集合之间的关系判定，具备严格的方向性，符号左侧必须为单个元素，右侧必须为集合，二者位置不可颠倒互换。 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 4、 集合的表示法 1. 列举法 将集合包含的所有元素逐一罗列出来，再用大括号“{}”整体包裹，以此表示集合的方式叫做列举法，是最直观的集合表示方法。 注意要点：① 各个元素之间必须用逗号隔开，标点规范统一；② 罗列的所有元素都必须精准明确，无模糊对象；③ 严格遵循元素互异性，不得出现重复元素；④ 集合的元素范围广泛，可包含任意类型的研究对象。 2. 描述法 （1）核心定义：假设某一研究对象集合为A，我们可以选取集合中具备统一特征的全部元素x，用{x∈A|P(x)}的形式表示该集合，这种依托元素共同属性定义集合的方法就是描述法，部分场景中可使用冒号、分号替代中间的竖线。 （2）书写规范：在大括号内先标注元素的通用符号与取值、变化范围，再用竖线分隔，竖线后方精准写明该集合所有元素共同满足的特征、限定条件。 3. 图示法 图示法也常被称作韦恩图法，是一种可视化的集合表示方式。主要依托二维平面图形（常用圆形、矩形）来代表集合，通过图形直观展现集合的范围、集合与集合之间的关联，简洁易懂、立体感强。 【典例1-1】由三个数，，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值． 【答案】 【分析】由集合相等及分式有意义得，分与两种情形，利用集合元素的互异性逐一验证. 【详解】由有意义可知. 若，则两集合分别为与， 由集合相等得，即. 当时右集合为，不满足互异性，舍去； 当时两集合均为，满足条件. 若，则，左集合不含，而右集合含，两集合不可能相等，舍去. 综上，，所以. 【典例1-2】已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 【典例1-3】已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 题型02 集合间的基本关系 一、子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 二、真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 注：(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。 三、集合相等的概念 1．概念说明：对于两个集合A、B，倘若集合A中的所有元素都隶属于集合B，同时集合B中的全部元素也都属于集合A，那么可以判定集合A与集合B完全等同，记作A＝B。换而言之，当满足A包含于B、且B包含于A的双向包含关系时，即可推出A、B两个集合相等。 四、空集的概念 1. 空集定义：没有包含任何元素的集合，被称作空集，专属记法为∅。 2. 核心性质规定：空集拥有通用性质，它是任意一个集合的子集。 补充备注：空集的从属关系需要重点区分，它是所有集合的子集，同时是一切非空集合的真子集，做题时需格外注意该特殊性质。 五、Venn图的优点及表示 1. 主要优势：韦恩图最大的特点是直观形象，能够将抽象的集合关系转化为图形，便于理解和分析集合间的包含、并列等关系。 2. 绘制表示方法：日常解题与学习中，一般利用平面封闭曲线的内部区域来代表一个完整的集合。 【典例2-1】已知集合，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从中任取一个元素，一定是偶数，所以； 从中任取一个元素，所以. 所以. 【典例2-2】当集合是的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚度”.集合 的全部非空子集的厚度之和为（    ） A．3200 B．1600 C．1550 D．800 【答案】B 【分析】对于集合中每个元素，计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值，最后求和即可. 【详解】根据题意,任意一个元素在非空子集中的出现次数为:. 集合的元素之和为. 所以集合的全部非空子集的厚度之和为:. 【典例2-3】已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 考点03 集合的基本运算 一、并集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 二、交集 1．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 注：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 2．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 三、补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 性质 (1) (2) 注：∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 四、Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【典例3-1】设全集，集合，，则实数的值为（   ） A．0 B． C．2 D．0或3 【答案】A 【详解】由集合知，，即，而，全集， 所以，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0． 【典例3-2】已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】C 【详解】由题意可得，且（）为非负偶数， 又，故⫋. 【典例3-3】已知全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合补集的定义与运算，即可求解. 【详解】由全集，集合， 根据集合补集的定义与运算，可得. 考点04 充分条件与必要条件 1、 命题 1. 命题的核心定义与分类 （1）定义：凡是能够借助文字语言、数学符号或公式式子进行表述，且可以明确判别真伪的陈述语句，统称为命题。疑问句、感叹句、无法判定对错的语句均不属于命题范畴。 （2）命题分类 ① 真命题：经过推理验证，结论成立、判定为正确的陈述语句； ② 假命题：能够举出反例、结论不成立、判定为错误的陈述语句。 （3）标准结构：命题的通用标准形式为“若p，则q”。其中p代表命题的已知条件，q代表由条件推导得出的命题结论。 备注：数学体系中的公理、定义、公式及定理都属于命题，但命题并不等同于定理。核心区别在于命题存在真假之分，而定理是经过严格证明、绝对成立的真命题。 2、 充分条件与必要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 3、 充要条件 1. 充要条件的定义 当原命题“若p，则q”与逆命题“若q，则p”同时成立，也就是既能通过p推出q（p⇒q），又能通过q推出p（q⇒p）时，可简写为p⇔q。此时p同时满足q的充分条件与必要条件，因此称p是q的充分必要条件，简称充要条件。 该逻辑关系具备双向性，若p是q的充要条件，那么q也等价为p的充要条件，即p与q互为充要条件。 备注：等价符号的传递性 若p与q互为充要条件、q与s互为充要条件（p⇔q、q⇔s），可递推得出p⇔s，即p与s同样互为充要条件。 4、 充分条件与必要条件的判定 1. 四类条件的精准判定规则 （1）双向推导均成立（p⇒q且q⇒p），则p是q的充要条件； （2）p无法推出q、q也无法推出p，则p是q的既不充分也不必要条件； （3）p可以推出q，但q无法推出p，则p是q的充分不必要条件； （4）p无法推出q，但q可以推出p，则p是q的必要不充分条件； （5）集合判定规则：设命题p对应的元素集合为A={x|p(x)}，命题q对应的元素集合为B={x|q(x)}。若A包含于B，可判定p是q的充分条件、q是p的必要条件；若集合A与集合B完全相等，则p与q互为充要条件。 2. 两种核心判定方法 （1）定义法：直接依据p、q之间的推导关系（p⇒q、q⇒p）进行判定，多用于定义、定理类基础题型； （2）集合法：依托两个命题对应集合的包含、相等关系判断逻辑条件，更适用于含参数范围的推理题型。 3. 条件关系的实际应用要点 充分、必要、充要条件的考点多集中在参数求解问题，解题核心思路与注意事项如下： （1）将题干中的各类条件关系，转化为两个集合之间的包含或相等关系，再据此列出参数对应的不等式或不等式组，进而求解参数范围； （2）求解完成后，必须对区间端点数值进行验证，避免出现取值范围疏漏或错解。 【典例4-1】已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对通分，得，即， ，当且仅当时等号成立， ，，故必要性成立； 令，满足题意， 得，但不成立，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 【典例4-2】已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 【典例4-3】设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 考点05 全称量词与存在量词 一、全称量词与存在量词 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 2．存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2、 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1. 全称量词命题真伪判定 若想证实一条全称量词命题为真，需要验证指定集合 M 内全部元素 x，均能满足命题给出的关系式；若要证明该命题为假，只需在集合 M 内找出一个特殊元素x0，令命题关系式无法成立即可，该特殊例子称作反例。 2. 存在量词命题真伪判定 想要判定存在量词命题是真命题，只需在限定集合 M 中找到至少一个元素x0满足命题条件；如果集合内不存在任何符合条件的元素，则该存在量词命题为假。 补充说明： 常见全称类修饰词：全部、任意、任一、每一个、一切、所有、任取，用来描述整体范围内全部对象； 常见存在类修饰词：有一个、存在、某个、部分、有些、有的，用来指代范围内部分或单个对象。 3、 全称量词命题与存在量词命题的否定 1. 两类量词命题的否定规则 （1） 全称量词命题：p：∀x∈M，p(x)它的否定形式：∃x∈M，¬p(x)规律：全称量词命题经过否定后，会转变为存在量词命题。 （2） 存在量词命题：p：∃x∈M，p(x)它的否定形式：∀x∈M，¬p(x)规律：存在量词命题经过否定后，会转变为全称量词命题。 2. 改写全称量词命题否定的两步流程 1 替换量词：将代表全部的全称符号(∀)，替换为代表个别存在符号(∃)； ② 改写结论：把原语句中 “成立”“是” 这类肯定表述，调整为 “不成立”“不是” 等否定表述。 3. 改写存在量词命题否定的两步流程 1 替换量词：将代表个别存在符号(∃)，替换为代表全部的全称符号(∀)； 2 改写结论：把原语句里 “存在”“有”，改成 “不存在”“没有”。 备注：单一量词命题的否定核心口诀：更换量词，再对后半句结论进行否定。 4、 命题的否定与原命题的真假 1. 真假对应关系 任意一个命题的否定依旧是完整命题，二者真假状态永远相反，不可能同时为真或同时为假。 2. 真假快速判断技巧 （1） 区分命题属于全称类型还是存在类型，是正确写出否定式的基础； （2）若直接判断否定命题的正误难度较大，可转而判断原命题真假：原命题成立，则它的否定必然错误；原命题不成立，则它的否定一定正确。 补充要点：命题p和它的否定真假必然互斥。 【典例5-1】（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（　 ） A．， B．所有的正方形都是矩形 C．， D．至少有一个实数，使 【答案】AC 【分析】利用命题的否定知识，对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，其命题的否定为，， 因为显然成立，故A正确； 对于选项B，命题的否定为存在一个正方形，它不是矩形. 该命题含有存在性量词，不符合题意，所以不正确. 对于选项C，命题的否定为，， 因为，故该命题正确； 对于选项D，命题的否定为，，显然当时，， 故该命题是假命题，所以D不正确. 【典例5-2】若下列三个关于的方程，，中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】从“三个方程中至少有一个方程有实根”的否定“三个方程都无实根”考虑，根据三个方程的判别式均小于零可得出关于的不等式组，解出此时的范围，结合补集思想即可得出答案. 【详解】从“三个方程中至少有一个方程有实根”的否定“三个方程都无实根”考虑． 若三个方程都无实根，结合判别式可得， 解得， 所以，当三个方程中至少有一个方程有实根时，的取值范围是或. 【典例5-3】已知下列两个命题： 的解集是或； 的解集是． 分别判断“或”“且”“非”形式的复合命题的真假． 【答案】“或”是真命题、“且”是假命题，“非”为假． 【详解】对于命题：已知，根据绝对值不等式的解法， 的解集为或，因此是真命题； 对于命题：中， 当时，无解，解集为空集，不是，因此是假命题， 根据“真假”： 或：只要一个命题为真，结果为真，因此或是真命题； 且：需要两个命题都为真才为真，因此且是假命题； 非：对真命题的否定为假，因此非是假命题. 一、单选题 1．已知集合，集合，则集合C的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】集合， 所以， 所以集合C的子集个数为. 2．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，又，所以. 3．下面关于集合的表示正确的个数是（    ） ①；②； ③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合的概念，逐项验证即可求解. 【详解】根据元素的无序性可知①正确，表示点集，表示数集，故②错误， 表示大于等于的整数，也表示大于等于2的整数，故③正确， ，所以，故④错误 4．设，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】若，则，即,所以． 若，当时，，即； 当时，由及，得， 从而，即，所以． 因此，故，其元素个数为0． 5．设集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，集合是点集，元素是点，集合是数集，元素是实数，故． 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求得集合和，结合集合交集的定义和运算法则，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得，即， 又由方程，解得或或，即，所以. 7．已知实数，满足，设的所有可能值构成的集合为，则（   ） A．为单元集 B．为有限集，但不是单元素集 C．为无限集，且有下界 D．为无限集，且无下界 【答案】D 【分析】利用立方和因式分解公式拆分条件，分两类讨论，得到可取全体实数，判断集合的性质. 【详解】因为，， 所以令，原式：，所以或， 当，则，因为，所以； 当，得，得，所以，所以，则， 综上，． 8．已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】C 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 二、多选题 9．（多选）已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】ABC 【分析】根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】由题意得：， 当时，，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，，故A正确； 当时，，故D错误. 10．（多选）已知集合，则（  ） A．满足的有个 B．集合中有个元素 C．当时， D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】BCD 【分析】对于A，易知或；对于B，由题可得该集合中的元素有共5个，对于C，可求得，再根据交集计算即可；对于D，根据交集的结果可得，然后判断条件即可． 【详解】或有2个，故A错误； 该集合中的元素有共5个，故B正确; 因为，即， 所以，故C正确； 当时， 或或或或， 解得， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 11．（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．已知集合有三个元素，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】集合有三个元素,根据集合元素的互异性, 有,即, ,即, ,即. 综上,x的取值范围是. 13．关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案． 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 14．设，则集合中的元素个数为______． 【答案】31 【分析】以集合为基础，通过线性组合构造集合，分析该组合的取值范围与连续性，即可最终确定集合的元素个数. 【详解】当时，得； 当时，得， 因为变量的系数为1，当固定时，取1，2，3，4可使连续取4个整数； 变量的系数分别为2，3，4，其组合可覆盖从10到40的所有整数，无间隔， 即10到40之间的所有整数都可以表示为的形式， 所以集合中的元素为从10到40的所有整数，共有个. 四、解答题 15．已知集合，，全集. (1)求，； (2)求. 【答案】(1)，. (2)或 【分析】（1）利用集合的交并运算即可求解； （2）利用集合的交并补运算即可求解； 【详解】（1）易知，又， 所以，. （2）已知全集，易知或，， 因此或. 16．已知集合，，且B，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据真子集关系，分类讨论集合B是否为空集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】因为集合，，B， 当时，则，解得，满足条件； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 17．已知命题 ： ， 为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用特称命题为假，分 和 ，结合一元二次方程无实根的判别式条件求解即可. （2）先求出集合，再根据必要条件对应集合包含关系，分为空集和非空两类讨论求解即可. 【详解】（1）命题 ： ， 为假命题， 当 时，方程为 ，解得，此时命题 为真命题，不符合题意； 当 时， ， 为假命题等价于一元二次方程 无实根， 所以 ，解得 . 故实数的取值集合. （2）由 ，得 ，即. 因为“ ”是“ ”的必要条件，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，，解得 . 综上所述，实数的取值集合为或. 18．已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 19．设，集合含有个元素，若存在三个元正整数集合，，满足如下两个条件，则称为三分集合.①；②，，元素可分别排列为有序数组，及，使得对，均有，特别地，当为三分集合时，称为完美三分数.如：因为为三分集合，所以为最小完美三分数. (1)请判断下列两个集合是否为三分集合（直接写出结论）：，； (2)求出大于的最小完美三分数. 【答案】(1)不是；是 (2) 【分析】（1）根据三分集合的定义直接判断. （2）根据三分集合及完美三分数的概念举例说明. 【详解】（1）（i）不是三分集合，下面用反证法证明. 证明：假设是三分集合， 设，，，不妨设， 由，得， 则， 则，这与矛盾， 故假设错误，故不是三分集合； （ii）是三分集合. 理由如下：令，，， 则，满足条件①； 且由；；可知，满足条件②. 故是三分集合. （2）由（1）可知，当时，不是三分集合； 当时，， 假设是三分集合， 同理由， 得到，可推出与矛盾， 故假设也错误，故不是三分集合； 当时，， 存在三个元集合，，， 满足为三分集合的两个条件. 故大于的最小完美三分数为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $