内蒙古包头市第九十五中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

包头市第九十五中学2026-2027学年度第一学期月考高一年级 数学试卷 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．若：，；：关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 6．满足，且是的真子集的集合的个数为（　　） A． B． C． D． 7．若不等式对恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知正实数满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．设正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 11．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解集为______． 13．若，，则的最大值是______． 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，则关于的不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16题、第17题15分，第18题、第19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知集合，，。 （1）求，； （2）记全集，求。 16．（15分）已知集合，。 （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围。 17．（15分）已知，命题：关于的方程有实数根；命题：，使得成立。 （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和恰有一个为真命题，求的取值范围。 18．（17分）（1）已知，，分别求，的取值范围。 （2）已知，，求证：。 （3）已知，证明：“”是“”的充要条件。 19．（17分）已知二次函数（）。 （1）当时， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，函数的最小值为，求实数的值； （2）若对任意实数，当时，恒有函数的最大值与最小值之差不小于，求实数的取值范围。 高一数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头市第九十五中学2026-2027学年度第一学期月考高一年级 数学试卷 参考答案与解析 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．设集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简，再取并集。 【解答】，，所以，选C。 2．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，条件不变，结论否定。 【解答】将“”改为“”，条件不变，把“”改为“”，得，，选D。 3．下列集合中表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】集合相等要求元素完全相同，注意点集与数集的区别。 【解答】A中两个集合元素相同，正确；B中元素是有序数对，不同；C中一个是点集、一个是数集，不同；D中为空集，含一个元素，不同。选A。 4．若：，；：关于的二次方程的一个根大于零，另一个根小于零，则是的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】两根异号等价于两根之积小于零。 【解答】等价于，即。：，所以，但（如），故是的充分不必要条件，选A。 5．设全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按整数除以3的余数分类。 【解答】整数按模3余数分为三类，是余1的整数，是余2的整数，所以，选A。 6．满足，且是的真子集的集合的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定必选元素，再排除全集本身。 【解答】必含，可在中任选，共有个；其中不是真子集，故有个，选C。 7．若不等式对恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，求在区间上的最小值。 【解答】不等式即。当时，的最小值为，所以，选B。 8．已知正实数满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件变形为，再换元。 【解答】由得。令，，则，，当时取等号，选D。 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．设，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐项用不等式性质判断，必要时举反例。 【解答】A中取，左边，右边，不成立；B中，，相加得，成立；C中取，，不成立；D中，成立。选BD。 10．设正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】用基本不等式与柯西不等式求最值，注意等号条件。 【解答】A中，正确；B中，最小值为，错误；C中，当时取最小值，正确；D中无最大值（时趋于无穷），错误。选AC。 11．已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由解集为区间知二次项系数，再用根与系数关系。 【解答】不等式对应二次方程，两根和为，故A正确。又，，且抛物线开口向下，所以，B错误，C正确。，故，又，所以，D正确。选ACD。 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】移项通分，注意分母不为零。 【解答】原不等式化为，即，也就是。解得，解集为。 13．若，，则的最大值是______． 【答案】 【分析】把用与表示。 【解答】。当，时取最大值。 14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先换元，解关于的二次不等式。 【解答】令，则，即，所以，。由，得。 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15．（13分）已知集合，，。 （1）求，； （2）记全集，求。 【答案】（1），；（2）。 【分析】（1）先化简各集合；（2）求补集后取并集。 【解答】（1），，。所以，。 （2），，故。 16．（15分）已知集合，。 （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）要覆盖的补集；（2）按是否为空集讨论。 【解答】（1）的补集为。要使，必须覆盖，所以，即。 （2）当，即，时，成立。当时，。因，要使，只能，即。综上。 17．（15分）已知，命题：关于的方程有实数根；命题：，使得成立。 （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若和恰有一个为真命题，求的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）分与讨论；（2）先求为真的范围，再按“恰有一个真”分类。 【解答】（1）当时，有实根，成立；当时，判别式，得。综上。 （2）为真等价于。真、假：且，得；假、真：且，得。故。 18．（17分）（1）已知，，分别求，的取值范围。 （2）已知，，求证：。 （3）已知，证明：“”是“”的充要条件。 【答案】（1），；（2）（3）证明见解析。 【分析】（1）利用不等式性质；（2）换元后作差；（3）利用的展开式。 【解答】（1）由，得，所以。又，所以，即。 （2）令，，则。 因为，所以原不等式成立。 （3）因为，所以。因此当且仅当，即前者是后者的充要条件。 19．（17分）已知二次函数（）。 （1）当时， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，函数的最小值为，求实数的值； （2）若对任意实数，当时，恒有函数的最大值与最小值之差不小于，求实数的取值范围。 【答案】（1）（i）；（ii）或；（2）。 【分析】（1）（i）用判别式；（ii）按对称轴位置讨论；（2）区间长度为4，分析顶点在区间中的位置。 【解答】（1）（i）时，，恒大于0需，解得。 （ii）。当时，最小值在处为，由得；当时，最小值为，由得或（舍去）；当时，最小值为，由得，不满足。故或。 （2）。区间的长度为4，令，则问题化为在区间上的最大值与最小值之差。当时，最小值为0，最大值为，差的最小值为4（时）；当时，差为。因此对任意，差值的最小可能值为4，故，即。 高一数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $