精品解析：江苏省海州高级中学、清江中学、徐州市第三中学、盐城市第一中学、扬州大学附属中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试题

2026-2027学年度高二年级第一学期第一次学情调研 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若圆的一条直径的端点坐标分别是和，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的焦距为2，则实数的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 已知直线和互相平行，则实数的值（ ） A. 或 B. C. D. 或 5. ，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积（ ） A. 25 B. 48 C. 24 D. 12 6. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为曲线：上一点，点为圆：上一点，若点与点的最大距离为7，则正数的取值不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆：和直线：，则（ ） A. 直线过定点 B. 圆关于直线对称的圆的方程为 C. 若点是圆上的动点，则的取值范围是 D. 圆的点到直线的最大距离为 10. 已知曲线：，则（ ） A. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 B. 当时，曲线上的点到直线：的距离的最大值为 C. 若曲线是双曲线，且焦点到一条渐近线的距离为，则实数 D. 若，曲线的离心率的取值范围是 11. 椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案如图所示，基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点）．在平面直角坐标系中，将标准椭圆（焦点在坐标轴上，对称中心为原点）绕着对称中心逆时针旋转角，，即得“斜椭圆”：．已知椭圆的面积公式为（其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴的长）．则（ ） A. 若每个“斜椭圆”的面积为，则 B. 若每个小正方形的面积为，则 C. 记每个“斜椭圆”与轴正半轴，轴正半轴围成的面积为，则 D. 若“斜椭圆”的两个焦点分别为，，为上一点，且的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 13. 双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线的方程为，则双曲线的离心率________． 14. 已知，是圆：上的动点，且满足，点M满足，点P在椭圆：上运动，则的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 16. 已知圆：，直线过点． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 17. 已知双曲线：，过点，焦距为，点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）是否存在过点的直线l，与双曲线C交于P，Q两点，使得是以为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆：过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆交于，两点（异于点），且直线，斜率均存在． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，，求直线的方程； （3）设直线，的斜率分别为，，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 19. 已知椭圆：的焦距为，短轴两端点分别为，，点为椭圆上一点，直线与直线的斜率都存在，且乘积为． （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二年级第一学期第一次学情调研 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线方程化成斜截式，求出其斜率，再求直线的倾斜角. 【详解】由，可得，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，因，故. 故选：D. 2. 若圆的一条直径的端点坐标分别是和，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得圆心坐标为，半径. 所以圆的方程为. 3. 椭圆的焦距为2，则实数的值为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由椭圆，得且，即或. 由椭圆的焦距为2，得，即. 当时，，，，则，得； 当时，，，，则； 综上所述，实数的值为或. 4. 已知直线和互相平行，则实数的值（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值. 【详解】根据题意，两直线互相平行，则，解得. 5. ，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积（ ） A. 25 B. 48 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先求出双曲线的，再利用中三边关系求出，再由直角三角形面积公式即得结果. 方法二：利用公式求结论. 【详解】方法一：设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则，，， 故， 在中， 所以， 所以. 方法二：设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则， 因为点在双曲线上，且， 所以的面积. 6. 已知，，若圆上存在点满足，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由向量数量积求出动点的轨迹圆，将“圆上存在满足条件的点”转化为两圆有公共点，利用两圆位置关系，通过圆心距的范围建立不等式求解参数. 【详解】设点，因，，则，. 于是. 化简得 ，即点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆. 又由已知动圆方程，可得其圆心为，半径. 依题意，可知两个圆有公共点，即两圆圆心距满足.即（*）， 因. 代入（*）后两边取平方得. 由，解得或；由，解得. 故实数的取值范围是. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若对椭圆上的所有的点均满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，将不等式转化为仅含的不等式；根据椭圆上点到焦点的取值范围为，将原不等式转化为，根据，，转化为的不等式，结合解不等式即可. 【详解】由点在椭圆上，得，即. ，，得恒成立. ，，即. 由，，得. ，得，即. 当，即时，不等式恒成立， 当，即时，，则，得，解得，； ，，即椭圆的离心率的取值范围为. 8. 已知点为曲线：上一点，点为圆：上一点，若点与点的最大距离为7，则正数的取值不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，由点与点的最大距离为7，求得，由两点间的距离求得，令，分，和，分别求出，检验即可得出答案. 【详解】由圆：，得圆心，半径， 设，所以， 因为为曲线：上一点，所以， 所以，， 所以 ，， 因为点与点的最大距离为7，得，所以， ①当，，即时，， 则时，，符合题意； ②当，，即时， 设，函数开口向上，对称轴为， 所以，符合题意； ③当，，即时， 设，函数开口向下，对称轴为， 若，即时，所以，符合题意； 若，即时， 所以， 化简可得：， 令，所以，化简可得：， 解得：，这与矛盾，不符合题意. 综上所述：正数的取值范围为：，故A，B，C正确，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆：和直线：，则（ ） A. 直线过定点 B. 圆关于直线对称的圆的方程为 C. 若点是圆上的动点，则的取值范围是 D. 圆的点到直线的最大距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，将直线方程整理为关于参数的等式，令的系数和常数项分别为，求解得到定点坐标；对于选项B，先求圆的圆心坐标和半径；再求圆心关于直线的对称点，半径不变，即可得到对称圆的方程；对于选项C，由圆方程先计算的范围，再求得取值范围；对于选项D，先计算圆心到直线的距离，结合圆的性质求距离最大值. 【详解】对于选项A，对直线的方程整理得， ，得，故直线恒过定点，A选项错误； 对于选项B，圆的圆心的坐标为，半径， 点关于的对称点为，又关于直线对称的圆半径不变. 则圆关于直线对称的圆的方程为，故B正确； 对于选项C，由方程可得， 又，得， 所以的取值范围是，故C正确； 对于选项D，直线恒过定点， 圆心到直线的最大距离为线段， 故圆上的点到直线的最大距离为，D错误. 10. 已知曲线：，则（ ） A. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 B. 当时，曲线上的点到直线：的距离的最大值为 C. 若曲线是双曲线，且焦点到一条渐近线的距离为，则实数 D. 若，曲线的离心率的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，由条件结合焦点在轴上的椭圆的标准方程的特征列不等式组，求解对应参数的取值范围，对于选项B，设椭圆上任意一点的坐标为，利用点到直线距离公式将距离转化为三角函数的最值问题求解，对于选项C，先根据双曲线标准方程的特征确定参数范围，求出焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程求解，对于选项D，先将离心率表示为关于参数的函数，再结合参数的取值范围，通过函数单调性分析离心率的取值范围. 【详解】对于选项A：若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，解得， 此时的取值范围是，A正确， 对于选项B：当时，曲线的方程为， 设椭圆上任意一点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，取最大值，此时点的坐标为，B正确； 对于选项C：若曲线为双曲线，需满足，即或， 当时，双曲线方程为，焦点到渐近线的距离为虚半轴长，解得； 当时，双曲线方程为，焦点到渐近线的距离为虚半轴长，得， 因此或，C错误； 对于选项D：当时，曲线为焦点在轴上的双曲线， 则，，离心率， 由得，故，因此，正确. 11. 椭圆与正方形是常见的几何图形，具有对称美感，受到设计师的青睐．现有一工艺品，其图案如图所示，基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点）．在平面直角坐标系中，将标准椭圆（焦点在坐标轴上，对称中心为原点）绕着对称中心逆时针旋转角，，即得“斜椭圆”：．已知椭圆的面积公式为（其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴的长）．则（ ） A. 若每个“斜椭圆”的面积为，则 B. 若每个小正方形的面积为，则 C. 记每个“斜椭圆”与轴正半轴，轴正半轴围成的面积为，则 D. 若“斜椭圆”的两个焦点分别为，，为上一点，且的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由基本不等式，可得，列出不等式，求得的最值，求得椭圆的长半轴和短半轴，可判定A正确；求得正方形所在边的直线方程，求得正方形的面积，可判定B不正确；求得，和，得到围成的区域包含一个正方形和两个小三角形和，结合的面积，可判定C正确；求得椭圆的标准方程，结合椭圆的几何性质和点到直线的距离公式，以及向量数量积的运算公式，可判定D正确 【详解】对于A，设“斜椭圆”的中心为坐标原点， 根据椭圆的对称性知：椭圆的长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值， 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值， 由基本不等式，可得，所以， 因为，可得， 所以，解得， 当且仅当时，成立，当且仅当时，成立， 所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以“斜椭圆”的面积为，所以A正确； 对于B，因为正方形的中心在原点，且正方形的各边与坐标轴平行， 设正方形所在边的直线方程分别为，其中， 联立方程组，整理得， 由，解得， 所以正方形的边长为，其面积为，所以B不正确； 对于C，由方程，令，可得，解得， 令，可得，解得， 所以曲线与轴和轴的正半轴的交点分别为和，且在曲线上， 又由曲线的切线方程分别为， 联立方程组，可得，所以， 所以围成的区域包含一个正方形和两个小三角形和， 其中，， 所以内接图形的面积为， 所以， 又因为正方形的面积为，则， 综上可得，，所以C正确； 对于D，由选项A知：，椭圆的标准方程为， 可得，所以，即， 设椭圆的焦点分别为和，则， 设，且的面积为，可得点到的距离为， 可得，则，即 又由 ，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆：与圆：相交于A、B两点，则公共弦的长________． 【答案】 【解析】 【详解】由圆：与圆：， 两圆相减得公共弦所在直线方程为：， 由圆：，可得，所以圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以. 13. 双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线的方程为，则双曲线的离心率________． 【答案】或 【解析】 【分析】分焦点在轴、轴两种情况讨论，利用渐近线得到比值，结合计算离心率. 【详解】双曲线焦点在坐标轴上，需分两种情况讨论： ①焦点在轴上：设双曲线标准方程为，其渐近线方程为. 由题知渐近线为，因此. 根据双曲线关系，代入得，因此离心率. ②焦点在轴上：设双曲线标准方程为，其渐近线方程为. 由题得，即. 代入得，因此离心率. 综上，双曲线的离心率为或. 14. 已知，是圆：上的动点，且满足，点M满足，点P在椭圆：上运动，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由的坐标及已知等式，可得到，结合求出点的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心的圆，进而求出的最大值，根据（r为轨迹圆的半径）即可求出答案. 【详解】因为圆，所以圆心，半径为， 由是圆上的动点知， 由，得， 由，得， 所以， 将等式两边同时平方，得， 所以，所以动点的轨迹方程为， 由椭圆的方程可设点的坐标为， 由动点的轨迹方程可得该圆的圆心为，半径为，如图， 则 ， 当时，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线经过点． （1）若在两坐标轴上的截距之和为，求直线的方程； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【答案】（1）或 （2）． 【解析】 【分析】（1）当直线经过原点时，满足条件，当直线不经过原点时，设截距式方程求解. （2）设直线在两坐标轴上的截距分别为，利用基本不等式求解最小值. 【小问1详解】 当直线经过原点时，在两坐标轴上的截距都为，满足条件，此时直线的方程为，即； 当直线不经过原点时，设直线的方程为， 则，解得 所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或 【小问2详解】 由题意可设，，，则直线的方程为， 因直线经过点，则，又因，， 则，当且仅当，时取等号， 可得，则， 所以的最小值为． 16. 已知圆：，直线过点． （1）若直线与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）考虑直线的斜率是否存在，结合直线和圆相切时的性质求解，即得答案； （2）设直线的方程，利用直线和圆相交时的弦长公式，即可求得答案. 【小问1详解】 圆的标准方程为，其圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 所以圆心到直线的距离，解得. 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 则，解得. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆是相切的，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 所以，解得或. 所以直线的方程为或， 即或. 17. 已知双曲线：，过点，焦距为，点． （1）求双曲线C的标准方程； （2）是否存在过点的直线l，与双曲线C交于P，Q两点，使得是以为顶角的等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在直线，或． 【解析】 【分析】（1）利用焦距和双曲线上的点联立方程求出，即得其标准方程； （2）先假设存在直线，可得线段的中点满足，设直线的方程与双曲线方程联立，写出韦达定理，求出点的坐标，分和两种情形，结合图形及计算求出直线的斜率即得直线方程. 【小问1详解】 ∵焦距为，，①， 在双曲线上，②． 联立①②，解得，． 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，假设存在直线，使是以为顶角的等腰三角形． 设线段的中点为，则． 当直线斜率不存在时，：与双曲线相离，不合题意，舍去； 当直线斜率存在时，设斜率为，则：． 联立消去，整理得． 由且得，且． 设，则， 所以，则， 即. ①当，即时，，代入双曲线的方程得，此时，符合题意． ②当，即时，直线的斜率． 由得，解之得或（舍去）， 此时直线的方程为，即． 综上所述：存在直线，其方程为或． 18. 已知椭圆：过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆交于，两点（异于点），且直线，斜率均存在． （1）求椭圆的标准方程； （2）若，，求直线的方程； （3）设直线，的斜率分别为，，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1） （2）或． （3）方法1： 联立消去，整理得． 显然，且①，② ，，即， 整理得， 将①、②代入上式，整理得， ，或， 当时，直线过点，与已知“,异于点”矛盾，舍去； 当即时，直线恒过定点， 即，∴当点为中点时，， 即存在定点，使得为定长． 方法2： 设直线方程为：，， 由椭圆的方程变形得， 又， ， ， 等式两边同时除以得：， 则， 又已知，所以，整理得， 代入直线的方程得：， 由，得，即直线恒过定点， 即，∴当点为中点时，， 即存在定点，使得为定长． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距和椭圆上的点列方程求出的值，即得椭圆方程； （2）由直线方程与椭圆方程联立，消元后写出韦达定理，利用弦长公式求出的值，即得直线方程； （3）法1：设直线斜截式方程并与椭圆方程联立，写出韦达定理，由斜率公式与推出，分析得到直线经过定点，借助于直角三角形斜边的性质即可求出定点；法2：设直线方程为：，与椭圆方程联立推得，利用，代入化简得，将其代入直线方程，即得直线经过定点，与法1 同法求出定点. 【小问1详解】 ∵焦距为，即． ，． 在椭圆上，，解得． 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 因，则可设直线的方程为， 联立消去，整理得． 由，解得． 设，，则，（*） ，，即， 将（*）代入上式，得，解之得或， 则直线的方程为或 即或． 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆：的焦距为，短轴两端点分别为，，点为椭圆上一点，直线与直线的斜率都存在，且乘积为． （1）求椭圆的方程； （2）过坐标原点向圆：作两条切线分别与椭圆交于，两点，若直线，的斜率都存在，且分别记为，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质结合解出即可求出椭圆的方程. （2）（ⅰ）先由直线与圆相切得出之间的关系，然后由韦达定理得出， 再构造出即可求出. （ⅱ）设，结合（ⅰ）中可以求出为定值，再利用基本不等式及“1的妙用”即可求出的最小值. 【小问1详解】 不妨设在的上方，则，， 由可得① 又为椭圆上一点，且，则② 由①，②消去，可得③ 由椭圆：的焦距为，得④ 由③、④可得，， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 如图所示； （ⅰ）由题知圆的半径为，设过原点作圆的切线方程为， 则圆心到直线的距离等于半径，即， 整理得：， 若，则有圆与轴相切，此时、至少有一个不存在，故， 又直线均与圆相切， 则，是方程的两个不相等的实数根， 故且， 由点在椭圆上，可得，即， 所以． （ⅱ）设，由（ⅰ）中得，则⑤ 因为、在椭圆上， 故有，，代入⑤得：，化简得， 故， 则有， 当且仅当时等号成立，此时直线与关于轴对称， 因此，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $