专题03 幂、指数与对数（知识&考点&公式&7高频&2易错&2重难，期中知识清单）高一数学上学期沪教版

专题03 幂、指数与对数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(2类)考点清单(7类) 公式清单(15类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(7类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(2类) 答题类 答题技巧清单 知识点1 幂与指数 1.正整数指数幂 正整数指数幂定义：，。 正整数指数幂运算法则： （1） （2） （3） （4） （5） 2.零指数幂与负整数指数幂 （1）零指数幂：； （2）负整数指数幂：。 3.n次方根与根式 （1）n次方根定义 如果，那么叫作的次方根，。 若为奇数：正数的次方根为正，负数的次方根为负，记作； 若为偶数：正数有两个互为相反数的次方根，写为；负数没有偶次方根； 的任何次方根为。 （2）根式 式子称为根式，为根指数，为被开方数。 若为奇数：，均有意义； 若为偶数：只有，才有意义。 （3）与的区别 若为奇数：，，； 若为偶数：要求；，可取全体实数。 4.分数指数幂 规定：。 （1）正数正分数指数幂：； （2）正数负分数指数幂：； （3）的正分数指数幂等于；的负分数指数幂无意义。 5.实数指数幂运算性质 （1）有理数指数幂 当时： ①；②；③。 （2）无理数指数幂 当，为无理数时，同样满足： ①；②；③。 知识点2 对数 1.对数的概念 如果（且），那么。其中是对数的底数，是真数。 对底数限制的原因： （1）：部分的对数不存在； （2）：对数要么不存在，要么不唯一； （3）：对数要么不存在，要么不唯一。 2.常用对数与自然对数 （1）常用对数：，简写为； （2）自然对数：以为底（），简写为。 3.指数式与对数式互化 当时： 4.对数的性质 （1）负数和零没有对数，即真数； （2）；（）； （3）对数恒等式：。 5.对数的运算性质 前提：，。 （1） （2） （3） （4） （5） 所有对数运算性质，必须保证真数大于，等式才成立。 6.对数换底公式 换底公式： 重要推论：（1）倒数关系：；（2）乘方关系：。 考点01整数指数幂、零与负整数指数幂 考点内容：正整数指数幂定义；整数指数幂五条运算法则；零指数幂；负整数指数幂。 常见考法： （1）直接套用整数指数幂法则做化简计算； （2）识别零指数幂、负整数指数幂有意义的条件； （3）混合运算，把负指数转化为分式再计算。 考点02n次方根与根式 考点内容：n次方根定义；根式概念；奇偶次根式的区别；区分与；根式有意义的条件。 常见考法： （1）判断根式什么时候有意义，求被开方数取值范围； （2）区分奇偶根，化简形式的根式； （3）辨析与的不同，避免化简出错。 考点03分数指数幂与实数指数幂运算 考点内容：正、负分数指数幂定义；0的分数指数幂规定；有理数指数幂运算性质；无理数指数幂运算；底数的前提限制。 常见考法： （1）根式与分数指数幂互相转化； （2）实数指数幂混合化简求值； （3）判断式子是否有意义，负数不能随便写成分数指数幂。 考点04对数的概念与指数对数互化 考点内容：对数定义；底数、真数的限制；指数式与对数式互化；常用对数、自然对数。 常见考法： （1）指数式、对数式两者之间互相改写； （2）根据对数有意义条件求参数/自变量范围； （3）识别、，转换写成标准对数形式。 考点05对数基本性质与对数恒等式 考点内容：负数、0无对数；，；对数恒等式。 常见考法： （1）直接利用恒等式进行化简计算； （2）利用、快速求值； （3）判断对数式有无意义。 考点06对数运算性质 考点内容：对数乘法、除法、幂运算的五条运算性质；前提条件：底数，真数大于0。 常见考法： （1）对数的拆分、合并化简； （2）对数代数式求值计算； （3）做题检查真数大于0，防止直接套用公式忽略条件。 考点07对数换底公式及其推论 考点内容：换底公式；倒数推论；。 常见考法： （1）不同底数对数化简，用换底统一底数； （2）对数连乘化简，用倒数推论进行约分； （3）套用推论，处理底数、真数带乘方的对数。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 正整数指数幂 2 同底数幂相乘 3 同底数幂相除 ， 4 幂的乘方 5 积的乘方 6 分式乘方 ， 7 零指数幂 ；0的0次幂无意义 8 负整数指数幂 9 正（负）分数指数幂 ， 10 指对互化 11 对数性质 ， 12 对数恒等式 13 对数乘除法运算 14 对数幂运算 ， ， 15 换底公式 辨析01 与区分 为奇数，两式都等于，可取全体实数；为偶数，要求才有意义；而，可以取全体实数。做题经常忽略偶数次根要加绝对值，直接写等于，造成化简错误。 辨析02 分数指数幂底数不能取负数 公式成立前提是；若，当为偶数时根式无意义，不能直接套用分数指数幂。 例如没有意义，不可以直接转化为。 辨析03 0的指数幂的特殊情况 的正指数幂等于；0的零次幂、0的负整数指数幂、0的负分数指数幂全部没有意义。遇到底数等于0，不能直接套指数幂公式，要单独检验。 辨析04 对数的底数与真数双重限制 对数，必须同时满足：底数且；真数。负数和零不能作为真数；底数不能为负数、0、1。很多题目只看真数大于0，忽略底数范围，产生错误结果。 辨析05 对数运算只处理乘除幂，不能处理加减 对数运算法则可以拆分乘积、商、乘方；不存在，不能把对数内部加法拆开，这是高频易错。 辨析06 有理数指数幂和无理数指数幂使用条件 不管是有理数指数幂还是无理数指数幂，公式都要求底数。负数的无理数次幂没有意义，不可套用指数运算公式。 【题型一】根式的化简求值 例1．已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 变式1-1．______．（用分数指数幂表示） 变式1-2．满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知，那么化简代数式的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【题型二】根式与分数指数幂的互化 例2．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 变式2-3．______. 【题型三】指数化简运算 例3．计算： 变式3-1．_____. 变式3-2．计算：___________． 变式3-3．求值与化简． (1)； (2)． 【题型四】指数的求值问题 例4．已知，，则的值为________． 变式4-1．已知，则___________． 变式4-2．已知，，则的值为________． 变式4-3．已知实数满足，则______ 【题型五】指对数方程 例5．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 变式5-2．化简根式______. 变式5-3．_____． 【题型六】对数的四则运算与换底公式 例6．_____________． 变式6-1．（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知，则______． 变式6-3．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型七】用字母表示对数 例7．已知，用的代数式表示________． 变式7-1．已知，，则a，b表示______． 变式7-2．已知，则______（用含和的式子表示）． 变式7-3．已知，，用含a、b的式子表示____________． 【题型一】根式化简混淆与 化简根式时要区分两个根式，为偶数时，不能直接等于；要求才有意义。做题忽略根指数奇偶差异，去掉绝对值直接写原式，会在负数代入时得到错误化简结果。 例1．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1-1．已知，关于方程的解_________. 变式1-2．方程的解为__________． 变式1-3．设，是方程的两根，则______． 【题型二】对数运算中错误拆分对数的加减运算 对数运算性质只适用于真数的乘、除、乘方，不存在。做题容易主观臆造公式，直接把真数加法拆开为对数相加。该错误属于概念误区，化简求值时要严格对照运算法则，不能随意自创公式。 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 变式2-1．设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 变式2-2．若，则的最小值为__________． 变式2-3．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型一】指对数模型 例1．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 变式1-1．《淮南子·天文训》记载“三分损益法”，是我国古代制定音律的生律制度：某律管的长度与对应的音高频率满足关系式，为定值，其中为生律常数.已知某律管频率时，管长cm，若频率，则对应的律管长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 变式1-2．自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数时，一年后本利和约为（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 变式1-3．碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），经过年后，碳14的含量占比（其中为常数，为初始值），从3万年到4万年，碳14的含量占比由变为，则（     ） A． B． C． D． 【题型二】换底公式的综合 例2．计算：________． 变式2-1．___________． 变式2-2．设，，则（     ） A． B． C． D． 变式2-3．若，则______. 技巧 一句话要点 根式、指数幂互化化简 根式改写成分数指数幂，负指数转化为倒数形式，统一底数后再运算 n次根式化简 分清根指数奇偶；偶次根式化简记得带上绝对值，奇次直接去根号 判断指数式有无意义 看见底数为0或者负数，先检验；负数不随便写成分数指数幂形式 指数对数互化题型 看到，立刻还原成；看到，可以改写对数形式 求对数式中参数范围 同时检查两点：底数大于0不等于1；真数必须大于0，两个条件缺一不可 同底对数化简求值 乘积拆成对数相加，商拆成对数相减；内部加减不可以拆分对数 含幂次的对数化简 直接用推论提取系数，减少分步计算 不同底数对数运算 优先用换底公式统一底数；连乘形式优先用倒数推论约分消元 对数恒等式计算 遇到，直接等于，注意前提条件全部满足才可以使用 指数、对数混合计算 优先统一形式，要么全部转指数，要么全部转对数，减少来回转换失误 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 幂、指数与对数 目 录 识记类 思维导图 知识清单(2类) 考点清单(7类) 公式清单(15类) 辨析清单(6类) 题型类 高频题型清单(7类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(2类) 答题类 答题技巧清单 知识点1 幂与指数 1.正整数指数幂 正整数指数幂定义：，。 正整数指数幂运算法则： （1） （2） （3） （4） （5） 2.零指数幂与负整数指数幂 （1）零指数幂：； （2）负整数指数幂：。 3.n次方根与根式 （1）n次方根定义 如果，那么叫作的次方根，。 若为奇数：正数的次方根为正，负数的次方根为负，记作； 若为偶数：正数有两个互为相反数的次方根，写为；负数没有偶次方根； 的任何次方根为。 （2）根式 式子称为根式，为根指数，为被开方数。 若为奇数：，均有意义； 若为偶数：只有，才有意义。 （3）与的区别 若为奇数：，，； 若为偶数：要求；，可取全体实数。 4.分数指数幂 规定：。 （1）正数正分数指数幂：； （2）正数负分数指数幂：； （3）的正分数指数幂等于；的负分数指数幂无意义。 5.实数指数幂运算性质 （1）有理数指数幂 当时： ①；②；③。 （2）无理数指数幂 当，为无理数时，同样满足： ①；②；③。 知识点2 对数 1.对数的概念 如果（且），那么。其中是对数的底数，是真数。 对底数限制的原因： （1）：部分的对数不存在； （2）：对数要么不存在，要么不唯一； （3）：对数要么不存在，要么不唯一。 2.常用对数与自然对数 （1）常用对数：，简写为； （2）自然对数：以为底（），简写为。 3.指数式与对数式互化 当时： 4.对数的性质 （1）负数和零没有对数，即真数； （2）；（）； （3）对数恒等式：。 5.对数的运算性质 前提：，。 （1） （2） （3） （4） （5） 所有对数运算性质，必须保证真数大于，等式才成立。 6.对数换底公式 换底公式： 重要推论：（1）倒数关系：；（2）乘方关系：。 考点01整数指数幂、零与负整数指数幂 考点内容：正整数指数幂定义；整数指数幂五条运算法则；零指数幂；负整数指数幂。 常见考法： （1）直接套用整数指数幂法则做化简计算； （2）识别零指数幂、负整数指数幂有意义的条件； （3）混合运算，把负指数转化为分式再计算。 考点02n次方根与根式 考点内容：n次方根定义；根式概念；奇偶次根式的区别；区分与；根式有意义的条件。 常见考法： （1）判断根式什么时候有意义，求被开方数取值范围； （2）区分奇偶根，化简形式的根式； （3）辨析与的不同，避免化简出错。 考点03分数指数幂与实数指数幂运算 考点内容：正、负分数指数幂定义；0的分数指数幂规定；有理数指数幂运算性质；无理数指数幂运算；底数的前提限制。 常见考法： （1）根式与分数指数幂互相转化； （2）实数指数幂混合化简求值； （3）判断式子是否有意义，负数不能随便写成分数指数幂。 考点04对数的概念与指数对数互化 考点内容：对数定义；底数、真数的限制；指数式与对数式互化；常用对数、自然对数。 常见考法： （1）指数式、对数式两者之间互相改写； （2）根据对数有意义条件求参数/自变量范围； （3）识别、，转换写成标准对数形式。 考点05对数基本性质与对数恒等式 考点内容：负数、0无对数；，；对数恒等式。 常见考法： （1）直接利用恒等式进行化简计算； （2）利用、快速求值； （3）判断对数式有无意义。 考点06对数运算性质 考点内容：对数乘法、除法、幂运算的五条运算性质；前提条件：底数，真数大于0。 常见考法： （1）对数的拆分、合并化简； （2）对数代数式求值计算； （3）做题检查真数大于0，防止直接套用公式忽略条件。 考点07对数换底公式及其推论 考点内容：换底公式；倒数推论；。 常见考法： （1）不同底数对数化简，用换底统一底数； （2）对数连乘化简，用倒数推论进行约分； （3）套用推论，处理底数、真数带乘方的对数。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 正整数指数幂 2 同底数幂相乘 3 同底数幂相除 ， 4 幂的乘方 5 积的乘方 6 分式乘方 ， 7 零指数幂 ；0的0次幂无意义 8 负整数指数幂 9 正（负）分数指数幂 ， 10 指对互化 11 对数性质 ， 12 对数恒等式 13 对数乘除法运算 14 对数幂运算 ， ， 15 换底公式 辨析01 与区分 为奇数，两式都等于，可取全体实数；为偶数，要求才有意义；而，可以取全体实数。做题经常忽略偶数次根要加绝对值，直接写等于，造成化简错误。 辨析02 分数指数幂底数不能取负数 公式成立前提是；若，当为偶数时根式无意义，不能直接套用分数指数幂。 例如没有意义，不可以直接转化为。 辨析03 0的指数幂的特殊情况 的正指数幂等于；0的零次幂、0的负整数指数幂、0的负分数指数幂全部没有意义。遇到底数等于0，不能直接套指数幂公式，要单独检验。 辨析04 对数的底数与真数双重限制 对数，必须同时满足：底数且；真数。负数和零不能作为真数；底数不能为负数、0、1。很多题目只看真数大于0，忽略底数范围，产生错误结果。 辨析05 对数运算只处理乘除幂，不能处理加减 对数运算法则可以拆分乘积、商、乘方；不存在，不能把对数内部加法拆开，这是高频易错。 辨析06 有理数指数幂和无理数指数幂使用条件 不管是有理数指数幂还是无理数指数幂，公式都要求底数。负数的无理数次幂没有意义，不可套用指数运算公式。 【题型一】根式的化简求值 例1．已知，那么化简代数式的结果是（     ） A． B．3 C．-3 D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 因为，所以，， 故. 变式1-1．______．（用分数指数幂表示） 【答案】 【分析】先把根式写成分数指数幂，再用同底数幂的乘法法则． 【详解】，， 则． 变式1-2．满足式子有意义的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即，解得，故实数的取值范围为. 变式1-3．已知，那么化简代数式的结果是（    ） A． B． C．－3 D．3 【答案】B 【详解】 ，， ∴， 即的化简结果为. 【题型二】根式与分数指数幂的互化 例2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式及分数指数幂的运算化简求解即可. 【详解】因为， 则． 故选：B. 变式2-1．设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 变式2-2．下列式子的互化正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】按根式与分数指数幂的互化规则逐项检验，注意偶次方根的结果非负，即可对四个选项作出判断． 【解答】对于A，，当时，，选项A错误； 对于B，，不是，选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，当时，无意义，选项D错误． 变式2-3．______. 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂的运算求得结果. 【详解】原式 ， 故答案为：. 【题型三】指数化简运算 例3．计算： 【答案】 【详解】. 变式3-1．_____. 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】因为，， ，， 所以原式 . 故答案为：. 变式3-2．计算：___________． 【答案】 【分析】根据实数指数幂运算法则进行计算即可. 【详解】原式． 故答案为： 变式3-3．求值与化简． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将小数化为分数，利用分数指数幂和负整数指数幂的运算法则逐项化简，再合并计算即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则化简，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 【题型四】指数的求值问题 例4．已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】由指数幂的运算性质及已知求值即可. 【详解】由. 故答案为： 变式4-1．已知，则___________． 【答案】 【分析】应用指数幂的运算性质得，即得. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为： 变式4-2．已知，，则的值为________． 【答案】/ 【详解】. 变式4-3．已知实数满足，则______ 【答案】 【详解】因为且，易得， 由，因，则得， 故． 【题型五】指对数方程 例5．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 变式5-1．下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与分数指数幂的互化运算即可求解. 【详解】，则A选项正确； ，则B选项正确； ，则C选项正确； ，则D选项错误. 变式5-2．化简根式______. 【答案】 【分析】先求的取值范围，然后根据根式计算得到答案. 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 变式5-3．_____． 【答案】 【分析】根据指数运算和对数运算化简求值即可. 【详解】． 故答案为： 【题型六】对数的四则运算与换底公式 例6．_____________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的运算公式及对数性质求解. 【详解】因为， ，， ，， 所以 变式6-1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式 . 变式6-2．已知，则______． 【答案】 【详解】由，可得，， ， ， 所以 . 变式6-3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可； （3）利用换底公式以及对数的运算性质求解即可； 【详解】（1）原式 （2）原式. （3）原式 . 【题型七】用字母表示对数 例7．已知，用的代数式表示________． 【答案】； 【分析】应用对数运算律计算化简即可. 【详解】因为，则 所以． 故答案为：. 变式7-1．已知，，则a，b表示______． 【答案】 【分析】先根据指数式与对数式的互化求出，再根据对数的运算性质计算即可. 【详解】由，得， 则. 故答案为：. 变式7-2．已知，则______（用含和的式子表示）． 【答案】 【分析】应用换底公式及对数运算律计算求解. 【详解】. 故答案为：. 变式7-3．已知，，用含a、b的式子表示____________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出和，然后再将进行分解，用求出的和来表示，最后转化为用、表示. 【详解】因为，. 由,可得，将其代入中， 得到. 对进行化简，所以.. 因为. 把代入可得： . 故答案为：. 【题型一】根式化简混淆与 易错警示 化简根式时要区分两个根式，为偶数时，不能直接等于；要求才有意义。做题忽略根指数奇偶差异，去掉绝对值直接写原式，会在负数代入时得到错误化简结果。 例1．方程的实数解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对数的定义即可求解. 【详解】依题意， 原方程等价于 即，显然只有一个正实根. 故选：B. 变式1-1．已知，关于方程的解_________. 【答案】或 【分析】根据结合指数对数运算，分段函数分类讨论解方程即可. 【详解】当时，方程即方程，解得； 当时，方程即方程，解得； 综上，方程的解或. 故答案为：或. 变式1-2．方程的解为__________． 【答案】/ 【分析】由对数运算性质可得答案. 【详解】由题，. 故答案为：. 变式1-3．设，是方程的两根，则______． 【答案】 【分析】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，. 则 . 故答案为：. 【题型二】对数运算中错误拆分对数的加减运算 易错警示 对数运算性质只适用于真数的乘、除、乘方，不存在。做题容易主观臆造公式，直接把真数加法拆开为对数相加。该错误属于概念误区，化简求值时要严格对照运算法则，不能随意自创公式。 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，，即. 则， 由得， 所以. 变式2-1．设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 【答案】 【详解】 变式2-2．若，则的最小值为__________． 【答案】9 【详解】，故， 由对数有意义可知，则， ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为9． 变式2-3．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用对数的运算性质化简已知等式，得到的关系，再结合基本不等式求解目标式的最值. 【详解】∵， ∴，且均为正数. ∴， 当且仅当即（）时等号成立，故原式最小值为6. 【题型一】指对数模型 例1．国际象棋棋盘有共64个格子，每局约80步，每步平均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为，而井字棋棋盘中有共9个位置，每个位置可能有、或空缺共3种状态，所以其状态空间的上限约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）． A．31 B．119 C． D． 【答案】D 【详解】设， 则， 所以， 即最接近. 变式1-1．《淮南子·天文训》记载“三分损益法”，是我国古代制定音律的生律制度：某律管的长度与对应的音高频率满足关系式，为定值，其中为生律常数.已知某律管频率时，管长cm，若频率，则对应的律管长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【详解】由题意得，，则， 故，则对应的律管长度为cm 变式1-2．自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数时，一年后本利和约为（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入本利和公式得，两边取自然对数，利用、化为已知数据，算得对数约为，从而确定选项. 【详解】当时，一年后本金与利息之和为. 对取自然对数得. 代入参考数据得， 所以. 变式1-3．碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），经过年后，碳14的含量占比（其中为常数，为初始值），从3万年到4万年，碳14的含量占比由变为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，， 则，，故， 即，即，故. 【题型二】换底公式的综合 例2．计算：________． 【答案】 【详解】原式 变式2-1．___________． 【答案】 【详解】. 变式2-2．设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数换底公式、对数运算性质及同底对数互倒关系，将所求对数用已知的a、b表示即可得到结果. 【详解】由则， 利用换底公式得到， 因为， ， 所以. 变式2-3．若，则______. 【答案】1 【详解】. 技巧 一句话要点 根式、指数幂互化化简 根式改写成分数指数幂，负指数转化为倒数形式，统一底数后再运算 n次根式化简 分清根指数奇偶；偶次根式化简记得带上绝对值，奇次直接去根号 判断指数式有无意义 看见底数为0或者负数，先检验；负数不随便写成分数指数幂形式 指数对数互化题型 看到，立刻还原成；看到，可以改写对数形式 求对数式中参数范围 同时检查两点：底数大于0不等于1；真数必须大于0，两个条件缺一不可 同底对数化简求值 乘积拆成对数相加，商拆成对数相减；内部加减不可以拆分对数 含幂次的对数化简 直接用推论提取系数，减少分步计算 不同底数对数运算 优先用换底公式统一底数；连乘形式优先用倒数推论约分消元 对数恒等式计算 遇到，直接等于，注意前提条件全部满足才可以使用 指数、对数混合计算 优先统一形式，要么全部转指数，要么全部转对数，减少来回转换失误 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $