专题04 幂函数（考点清单+10个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（沪教版2020必修第一册）

清单04 幂函数（10个考点梳理+提升训练） 【清单01】幂函数的图像与性质： 1.幂函数的概念 定义 当指数固定，等式确定了变量随着变化的规律，称为指数为的幂函数. 使得有意义的的取值范围，称为此幂函数的定义域. 注意：幂函数的底数是变量，系数是1，． 2.幂函数的图像与性质（1） （1）当时，的图像关于原点成中心对称； 当时，的图像关于轴对称； （2），当是偶数，是奇数时，的图像关于轴对称； 当是奇数，是奇数时，的图像原点成中心对称； 当是奇数，是偶数时，只在第一象限有图像. 3.幂函数的图像与性质（2） （1）当时，幂函数； 当时，幂函数； （2）当时，幂函数有下列性质： ①图象都通过点； ②在区间上严格递增； ③在第一象限内，时，图象是向下凹的上升曲线； （3）当时，图象是向上凸的上升曲线． （4）当时，幂函数有下列性质： ①图象都通过点； ②在区间上严格递减，图象是向下凹的下降曲线．（在第一象限内越大，图象下落的速度越快） 注意：无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限． 【清单02】图像的变换 1.函数的图像变换 （1）平移变换（左＋右-，上+下-） ①的图像，由的图像沿轴方向向左()或向右()平移个单位得到； ②的图像，由的图像沿y轴方向向上()或向下()平移个单位得到． 2.分式函数（）的图像 分离常数： 当时，，图像为挖去一个点的常值函数； 当时，分式函数的图像与性质如下： （1）定义域： ； （2）值域：； （3）单调性：当时，递减区间为和，无递增区间； 当时，递增区间为和，无递减区间； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线和，对称中心为点； （5）图像：如下图所示 【考点题型一】幂函数的概念 【例1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】已知函数，当取何值时： (1)该函数是正比例函数； (2)该函数是反比例函数； (3)该函数是幂函数． 【变式1-2】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型二】幂函数的解析式 【例2】（23-24高一上·上海·期中）幂函数的图像经过点，则 . 【变式2-1】（14-15高一上·广东深圳·期中）若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为 . 【变式2-2】（23-24高三上·上海嘉定·期中）若幂函数的图像经过点，则= . 【变式2-3】若一个函数既是幂函数又是反比例函数，则该函数的表达式为 ． 【考点题型三】根据解析式求参数 【例3】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为 ． 【变式3-1】（2022·上海黄浦·二模）已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则 ． 【变式3-2】函数是幂函数，则 ． 【变式3-3】（22-23高一上·上海长宁·期末）已知幂函数在区间是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的 ． 【考点题型四】幂函数的定义域与值域 【例4】（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 【变式4-1】下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． . 【考点题型五】函数的过定点 【例5】（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【变式5-1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【考点题型六】幂函数的图像 【例6】研究下列函数的定义域、值域、对称性，并作出其大致图象. (1)； (2)； (3)； (4). 【变式6-1】（23-24高一上·上海嘉定·期中）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（        ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 【变式6-2】函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】幂函数的性质 【例7】（23-24高一上·上海·期中）幂函数的图象关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值. 【变式7-1】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【变式7-2】“”是“幂函数在上是严格减函数”的 条件． 【变式7-3】已知幂函数的图像与、轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的草图. 【考点题型八】根据幂函数的性质解不等式 【例8】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 . 【变式8-1】（高一上·上海浦东新·期末）实数满足，则实数的取值集合为 . 【变式8-2】已知，求实数的取值范围. 【变式8-3】（21-22高一上·上海黄浦·期中）已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【考点题型九】比较大小 【例9】比较下列各题中两个幂的值的大小： （1），； （2），； （3），. 【变式9-1】比较下列各题中两个数的大小 (1)与 (2)与 【考点题型十】函数图像的平移变换 【例10】（22-23高一上·上海普陀·期中）函数的图象的对称中心为 . 【变式10-1】出函数的图象 【变式10-2】（23-24高一上·上海·期末）函数图象的对称中心坐标为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 幂函数（10个考点梳理+提升训练） 【清单01】幂函数的图像与性质： 1.幂函数的概念 定义 当指数固定，等式确定了变量随着变化的规律，称为指数为的幂函数. 使得有意义的的取值范围，称为此幂函数的定义域. 注意：幂函数的底数是变量，系数是1，． 2.幂函数的图像与性质（1） （1）当时，的图像关于原点成中心对称； 当时，的图像关于轴对称； （2），当是偶数，是奇数时，的图像关于轴对称； 当是奇数，是奇数时，的图像原点成中心对称； 当是奇数，是偶数时，只在第一象限有图像. 3.幂函数的图像与性质（2） （1）当时，幂函数； 当时，幂函数； （2）当时，幂函数有下列性质： ①图象都通过点； ②在区间上严格递增； ③在第一象限内，时，图象是向下凹的上升曲线； （3）当时，图象是向上凸的上升曲线． （4）当时，幂函数有下列性质： ①图象都通过点； ②在区间上严格递减，图象是向下凹的下降曲线．（在第一象限内越大，图象下落的速度越快） 注意：无论取任何实数，幂函数的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限． 【清单02】图像的变换 1.函数的图像变换 （1）平移变换（左＋右-，上+下-） ①的图像，由的图像沿轴方向向左()或向右()平移个单位得到； ②的图像，由的图像沿y轴方向向上()或向下()平移个单位得到． 2.分式函数（）的图像 分离常数： 当时，，图像为挖去一个点的常值函数； 当时，分式函数的图像与性质如下： （1）定义域： ； （2）值域：； （3）单调性：当时，递减区间为和，无递增区间； 当时，递增区间为和，无递减区间； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线和，对称中心为点； （5）图像：如下图所示 【考点题型一】幂函数的概念 【例1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 【变式1-1】已知函数，当取何值时： (1)该函数是正比例函数； (2)该函数是反比例函数； (3)该函数是幂函数． 【答案】(1)．(2)或2．(3) 【解析】（1）∵为正比例函数， ∴ ． （2）∵为反比例函数， ∴， ∴或． （3）∵为幂函数， ∴， ∴． 【变式1-2】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确 故选：D. 【考点题型二】幂函数的解析式 【例2】（23-24高一上·上海·期中）幂函数的图像经过点，则 . 【答案】 【解析】由幂函数的图像经过点， 得，则. 故答案为：. 【变式2-1】（14-15高一上·广东深圳·期中）若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为 . 【答案】 【解析】由题意得，所以，解得， 所以此幂函数的表达式为. 故答案为：. 【变式2-2】（23-24高三上·上海嘉定·期中）若幂函数的图像经过点，则= . 【答案】/ 【解析】设，则，所以， 则，所以 . 故答案为：. 【变式2-3】若一个函数既是幂函数又是反比例函数，则该函数的表达式为 ． 【答案】（） 【解析】幂函数的一般形式为，而反比例函数的一般形式为， 由已知得既是幂函数又是反比例函数，即且， 则该函数的表达式为（）. 故答案为：（）. 【考点题型三】根据解析式求参数 【例3】（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知函数是幂函数，且函数图象不经过第二象限，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由题意函数是幂函数， 故，即， 解得或， 当时，为反比例函数，函数图象不经过第二象限，符合题意； 当时，，其图象经过第二象限，不符合题意； 故， 故答案为：2 【变式3-1】（2022·上海黄浦·二模）已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则 ． 【答案】 【解析】因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，故 故答案为： 【变式3-2】函数是幂函数，则 ． 【答案】 【解析】因为函数是幂函数，所以且， 解得：或（舍） 故答案为：. 【变式3-3】（22-23高一上·上海长宁·期末）已知幂函数在区间是严格减函数，且图像关于轴对称，写出一个满足条件的 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：幂函数在区间上是严格减函数，， 又图像关于y轴对称，可以为偶数， 故满足条件a的值可以为． 故答案为：-2 【考点题型四】幂函数的定义域与值域 【例4】（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 【答案】 【解析】（1）的定义域为， 因为，所以，所以值域为． （2） 由，得，所以定义域为， 由，得，所以值域为． （3） 由，得，所以定义域为， 因为，所以，所以值域为． （4）， 由，得，所以定义域为， 因为，所以，则，所以值域为． 【变式4-1】下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于A中，函数的定义域为，符合题意. 故选：D. 【变式4-2】若幂函数（为整数）的定义域为，求的值． 【答案】0或1或2 【解析】若幂函数的定义域为， 则，得，且， 所以. 【考点题型五】函数的过定点 【例5】（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ． 【答案】 【解析】因为，故当，即时，， 即函数恒过定点. 故答案为：. 【变式5-1】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为 . 【答案】 【解析】因为对任意实数，当时，， 所以所有幂函数的图象都过点. 故答案为： 【考点题型六】幂函数的图像 【例6】研究下列函数的定义域、值域、对称性，并作出其大致图象. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析. 【解析】（1），设，定义域：； 因为，所以值域为，显然，为偶函数，图象关于轴对称； 在中，，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减. （2），设，定义域：； 由，所以值域：； 由，所以为奇函数，图象关于原点对称； 在中，，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减. （3），设，定义域：，值域：； 由，所以为奇函数，图象关于原点对称； 在中，，为奇函数，所以在上单调递增. （4），设，由得定义域：，值域：； 因为定义域：，所以非奇非偶函数，图象不具备对称性； 在中，，定义域为，所以在上单调递增. 【变式6-1】（23-24高一上·上海嘉定·期中）图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（        ） A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3 【答案】D 【解析】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点 则，又 则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上， 点C在幂函数图像上， 则曲线对应的指数分别为 故选：D 【变式6-2】函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数， 故选：A． 【考点题型七】幂函数的性质 【例7】（23-24高一上·上海·期中）幂函数的图象关于y轴成轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求m的值. 【答案】或或. 【解析】由幂函数的图像与x轴、y轴均无交点， 得，解得，又， 所以. 当或时，，定义域为， 即函数，其图象关于轴对称，满足题意； 当或时，，即， 设，由， 故其图象不关于轴对称，不满足题意； 当时，，即，定义域为， 设，则， 故是偶函数，则图象关于轴对称，满足题意. 综上所述，或或. 【变式7-1】（23-24高一上·上海·期末）已知幂函数在区间上是严格增函数，则 . 【答案】 【解析】因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得. 故答案为： 【变式7-2】“”是“幂函数在上是严格减函数”的 条件． 【答案】充分非必要 【解析】由题意可知，，即， 因为，所以“”是“幂函数在上是严格减函数”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 【变式7-3】已知幂函数的图像与、轴都无交点，且关于轴对称，求的值，并画出它的草图. 【答案】 ；草图见祥解 【解析】因为幂函数的图像与坐标轴无交点，所以，解得 ，又因为，所以， 因为图像关于对称，所以幂函数为偶函数， 当时，则为奇函数，不满足题意； 当时，则 为偶函数，满足题意； 当时，则为奇函数，不满足题意； 综上所述：       草图（如下） 【考点题型八】根据幂函数的性质解不等式 【例8】（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 . 【答案】 【解析】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，则为偶函数，所以在上单调递减， 则由不等式可得，平方后整理得， 即，解得，则不等式的解集为. 故答案为：. 【变式8-1】（高一上·上海浦东新·期末）实数满足，则实数的取值集合为 . 【答案】 【解析】，其定义域为，且在定义域上单调递减， 因为，所以，解得 故答案为： 【变式8-2】已知，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】由题意即， 故，即，解得. 【变式8-3】（21-22高一上·上海黄浦·期中）已知幂函数经过点． (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，定义域为；(2). 【解析】（1）解：设，则，可得，解得， 所以，， 由可得，所以，函数的定义域为. （2）解：由幂函数的性质可知，函数的定义域为，且在定义域上为减函数， 由可得，可得. 【考点题型九】比较大小 【例9】比较下列各题中两个幂的值的大小： （1），； （2），； （3），. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）为R上的增函数，又2.3<2.4，∴. （2）为(0，＋∞)上的减函数，又，∴, （3）为R上的偶函数，， 又函数为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴， 即. 【变式9-1】比较下列各题中两个数的大小 (1)与 (2)与 【答案】(1)>；(2)> 【解析】（1）法一：， 所以 ，即 . 法二：利用幂函数的性质．幂函数在上是减函数，而，所以 ． （2）利用幂函数的性质．幂函数在上是增函数，而，所以 【考点题型十】函数图像的平移变换 【例10】（22-23高一上·上海普陀·期中）函数的图象的对称中心为 . 【答案】 【解析】， 由函数的图象向左平移个单位，向上平移个单位可得函数的图象， 由函数的图象的对称中心为，则函数的图象的对称中心为. 故答案为：. 【变式10-1】出函数的图象 【答案】作图见解析 【解析】函数，则其图象可看作由反比例函数的图象， 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其图象如图示：    【变式10-2】（23-24高一上·上海·期末）函数图象的对称中心坐标为 . 【答案】 【解析】函数的图象可由函数向左平移1个单位得到， 因为函数的对称中心为， 所以函数的对称中心为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$