精品解析：河南省青桐鸣2026-2027学年高二上学期10月过程性作业评价数学试题（人教版）

河南省青桐鸣2026-2027学年高二上学期10月过程性作业评价 数学试题（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的夹角公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以. 2. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率公式求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 则，所以直线的倾斜角为. 3. 在三棱柱中，，分别为，的中点，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 4. 平面内有，，三点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平面内两个向量，，再求出平面的法向量，最后利用点到平面的距离公式计算点到平面的距离. 【详解】因为，，，所以，. 设平面的法向量为， 令，解得，，所以. 因为， 所以点到平面的距离为. 5. 已知直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的判定即可求解． 【详解】由，则， 即，解得，或． 6. 在三棱锥中，，，，，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用基底表示，由求解. 【详解】取中点，则为上靠近的三等分点， 则 , 所以 ， 所以. 7. 已知直线过点，且分别交轴的正半轴、轴的正半轴于点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由截距式方程可得，再结合基本不等式中“1”的代换，求最值即可. 【详解】由题可设直线方程为，直线过点，所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 8. 已知圆：，圆：，若圆上存在点，过可作圆的两条切线，且两条切线互相垂直，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，得到以为圆心，为半径的圆与圆有公共点，从而得到不等式，求出答案 【详解】过作圆的两条切线，设切点分别为，则， 故四边形为正方形，， 故以为圆心，为半径的圆与圆有公共点， 又，所以， 解得，所以的取值范围为. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在长方体中，，，，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，平面 D. 当时，直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A：利用空间向量加法法则判断；B：写出、，向量垂直则点积为0，解方程求；C：代入，求平面的法向量，验证与法向量垂直，判定线面平行；D：代入，求平面的法向量，用线面角公式计算正弦值. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 由，，： ，，，，，，. ，得. 选项A：，A正确； 选项B：，，， ，不是，B错误； ， ，，. 选项C：设平面法向量， ，令，则，，. ，. ，又平面，平面，C正确； 选项D：，，， 平面，点，，，, 取平面内两向量，，设法向量. ，取，，，， 线面角满足：，， ，， 则，故D错误. 10. 已知圆：，圆：，则（ ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公共弦长为 D. 直线是两圆的一条公切线 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，根据圆心坐标和两点距离公式求解判断；对B，两圆方程作差求解判断；对C，结合公共弦所在直线方程，用弦长的几何求法求解判断；对D，由直线与圆相切列式验证判断. 【详解】对于A：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则两圆的圆心距，A错误； 对于B：圆即①，圆即②， ①②化简得，B正确； 对于C：圆心到直线的距离， 所以公共弦长为，C正确； 对于D：圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离 所以直线与圆相切，与圆不相切，D错误. 11. 已知直线：，圆：，，，是上的动点，则（ ） A. 若，则平分圆 B. 若，则与圆相切 C. 若，则与圆相交 D. 若上存在唯一的点可向圆引长度为的切线段，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出圆心到直线：的距离为，圆的半径为，再由直线与圆的位置关系依次判断即可． 【详解】圆心到直线：的距离为，圆的半径为， 对于A项，若，则，则圆心在直线上，因此平分圆，A项正确； 对于B项，若，则，则与圆相切，故B项正确； 对于C项，若，则， 若与圆相交，则， 得， 得， 得，这与相矛盾，故C项错误； 对于D项，设切线长为，由切线长公式得， 得，得， 若上存在唯一的点可向圆引长度为的切线段，则圆心到直线的距离等于，即， 得， 令，得，得， 得， 得或，故或，故D项正确． 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线：与：的交点在第一象限，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出点的坐标，根据横、纵坐标都大于零求解即可. 【详解】由，得， 显然，所以， 所以， 即， 由题意可得，解得， 所以实数的取值范围为. 13. 在空间直角坐标系中，点，，，且，若，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【详解】， ， 因为，所以， 即，又，所以. 14. 若直线：交圆：于，两点，且为的中点，为坐标原点，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线过定点，再由题意求得点的轨迹是以为直径的圆，求出其圆心及半径，由求解即可. 【详解】因为直线：， 即直线：， 令，得， 即直线过定点,且此点在圆内部. 又因为，且圆的半径为， ， 因为为的中点， 所以，, 所以点的轨迹是以为直径的圆， 其圆心为，半径， 所以 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）写出边上的中线所在的直线的方程； （2）从点射出的光线经反射后过坐标原点，求反射光线所在直线的斜截式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线的点斜式方程求解； （2）由点关于直线对称求解． 【小问1详解】 易知的中点的坐标为， 又，则， 故的方程为，即． 【小问2详解】 设点与点关于对称，则，且的中点在上， 直线的斜率为，， 故，解得，则． 所以反射光线所在直线的斜截式方程为． 16. 在三棱台中，，，平面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：取的中点为， 因为，所以. 以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，， ，， 因为， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用即可证明. （2）利用空间向量法即可求直线与平面所成的角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，所以. 设直线与平面所成的角为 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知为坐标原点，直线：，圆：. （1），直线与圆都有公共点，求的取值范围； （2）若，直线交圆于，两点，点在以为直径的圆上，当最大时，求直线的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将含参直线整理为直线系形式求出定点，利用 “直线恒过圆内 / 圆上定点则必与圆有交点” 的性质，列不等式求解半径范围； （2）利用圆的几何性质将的最大值转化为弦心距与半弦长的和，结合勾股定理与均值不等式确定最值成立条件，再通过点到直线距离公式求解斜率得到直线方程. 【小问1详解】 直线化为， 令，解得， 故直线恒过定点． 当且仅当点不在圆外时，符合题意，故，又，解得． 故的取值范围是． 【小问2详解】 设的中点为，如图所示， 则的最大值为，而， 故，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为． 由，解得． 故直线的一般式方程为． 18. 在四棱锥中，，，，，平面. （1）证明：平面. （2）若直线与平面所成的角为. （Ⅰ）求的长度； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，， 则，，， 因为，， 所以，， 又，且，平面， 故平面． （2）（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）建系，证明垂直平面PAD内两条相交向量，，证线面垂直； （2）（Ⅰ）设，求平面法向量；利用线面角公式列方程求解；（Ⅱ）求平面的法向量，两平面夹角余弦等于两法向量夹角余弦的绝对值，代入公式计算. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （Ⅰ），故，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 由题意，得，即，即， 解得，故的长度为． （Ⅱ）由（2）第（Ⅰ）问知，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 故平面与平面夹角的余弦值为 . 19. 已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若点是直线：上的动点，过可作曲线的两条切线，，切点分别为，， （Ⅰ）证明直线恒过定点，并求出此定点的坐标； （Ⅱ）设（2）（Ⅰ）中的定点为，是否存在与点相异的点，使得恒为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）设，，，为坐标原点， 则，即， 整理，得，其中，故， 同理，， 故，都在直线上， 又，故，即， 令，解得， 故直线恒过定点． （Ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）设，从而得到，，再根据向量数量积的计算，进而整理即可得到曲线的方程； （2）（Ⅰ）设，再根据圆的性质得到直线的方程，进而即可证明直线恒过定点，并得到此定点的坐标； （Ⅱ）先根据对称性确定点在直线上，设，再利用圆上的特殊点列方程求出，并求出定值，进而再证明对圆上任意一点，都有恒为定值即可． 【小问1详解】 设，则，， 由，得，整理得． 所以曲线的方程为． 【小问2详解】 （Ⅰ）略 （Ⅱ）由（2）（Ⅰ），知， 显然直线：交圆：于，两点， 又显然圆关于直线对称， 设圆上任意一点沿直线对称得到点，则， 假设对圆上任意一点，都恒为定值，即，所以， 所以点在直线上，设． 由，都在圆上，则，即，解得，或（不符合题意，舍去）． 当时，， 以下证明：对圆：上任意一点，都有， ． 综上所述，存在与点相异的点，使得恒为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省青桐鸣2026-2027学年高二上学期10月过程性作业评价 数学试题（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在三棱柱中，，分别为，的中点，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 平面内有，，三点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 在三棱锥中，，，，，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线过点，且分别交轴的正半轴、轴的正半轴于点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：，圆：，若圆上存在点，过可作圆的两条切线，且两条切线互相垂直，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在长方体中，，，，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，平面 D. 当时，直线与平面所成角的正弦值为 10. 已知圆：，圆：，则（ ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公共弦长为 D. 直线是两圆的一条公切线 11. 已知直线：，圆：，，，是上的动点，则（ ） A. 若，则平分圆 B. 若，则与圆相切 C. 若，则与圆相交 D. 若上存在唯一的点可向圆引长度为的切线段，则或 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线：与：的交点在第一象限，则实数的取值范围为________. 13. 在空间直角坐标系中，点，，，且，若，则实数的值为________. 14. 若直线：交圆：于，两点，且为的中点，为坐标原点，则的最大值为________. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，. （1）写出边上的中线所在的直线的方程； （2）从点射出的光线经反射后过坐标原点，求反射光线所在直线的斜截式方程. 16. 在三棱台中，，，平面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知为坐标原点，直线：，圆：. （1），直线与圆都有公共点，求的取值范围； （2）若，直线交圆于，两点，点在以为直径的圆上，当最大时，求直线的一般式方程. 18. 在四棱锥中，，，，，平面. （1）证明：平面. （2）若直线与平面所成的角为. （Ⅰ）求的长度； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）若点是直线：上的动点，过可作曲线的两条切线，，切点分别为，， （Ⅰ）证明直线恒过定点，并求出此定点的坐标； （Ⅱ）设（2）（Ⅰ）中的定点为，是否存在与点相异的点，使得恒为定值．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $