期中复习50题针对基础差2026-2027学年北师大版八年级上册数学

八上期中练习卷 一、勾股定理 1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则 AB 的长为（　　） A. 6　　　B. 8　　　C. 10　　　D. 14 2. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则 AC 的长为（　　） A. 9　　　B. 15　　　C. 17　　　D. 25 3. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 都在格点上， 且 AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，则 AB 的长为（　　） A. 5　　　B. 6　　　C. 7　　　D. 25 4. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则△ABC 的面积为（　　） A. 30　　　B. 60　　　C. 32.5　　　D. 65 5. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 2，4，5　　　B. 7，8，9　　　C. 5，12，13　　　D. 4，6，8 6. 一根旗杆竖直立在操场上，高 12 m。小明把一根绳子的一端固定在旗杆顶端， 另一端拉直后固定在地面上，固定点离旗杆底端 5 m。这根绳子长（　　） A. 7 m　　　B. 13 m　　　C. 17 m　　　D. 169 m 7. 一块长方形草坪的长为 8 m，宽为 6 m。小明从草坪的一个顶点 A 出发， 原来沿边 A→B→C 走，现在直接沿对角线从 A 走到 C。他一共少走了（　　） A. 2 m　　　B. 4 m　　　C. 6 m　　　D. 10 m 8. 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，CD⊥AB 于点 D。 （1）求 AB 的长； （2）求 CD 的长。 9. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝13，AD＝12，AC＝15。 （1）求 BD 与 CD 的长； （2）求 BC 的长； （3）求△ABC 的面积。 10. 港口 O 处同时开出两艘船：甲船以每小时 9 km 的速度向正东方向航行， 乙船以每小时 12 km 的速度向正北方向航行。2 h 后两船相距（　　） A. 21 km　　　B. 30 km　　　C. 42 km　　　D. 45 km 11. 一棵大树在离地面 6 m 处被风吹断，折断的树尖恰好落在地面上，落地点离树根 8 m。 （1）求折断处到树尖的长度； （2）求这棵大树原来的高度。 12. 如图，一个圆柱形水杯的高为 16 cm，底面圆的周长为 24 cm。 蚂蚁在水杯外壁下底面边缘的点 A 处，它想吃到上底面边缘上、与 A 隔着半圈相对的点 B 处的食物。 它沿杯子侧面爬行的最短路程是多少？（选做） 二、实数 13. 求下列各式的值：（1）＝＿＿＿；（2）＝＿＿＿。 14. 求下列各数的平方根：（1）144；（2）0.01。 15. 求下列各式的值：（1）＝＿＿＿；（2）＝＿＿＿。 16. 下列关于平方根、立方根的说法中，正确的是（　　） A. 25 的平方根是 5 B. −8 没有立方根 C. −27 的立方根是 −3 D. 4 的算术平方根是 ±2 17. 一个正方形的面积是 144 cm²，它的边长是（　　） A. 12 cm　　　B. 14 cm　　　C. 24 cm　　　D. 72 cm 18. 如图，数轴上的点 A 在表示 2 和 3 的两个点之间，则点 A 表示的数可能是（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 19. 比较大小（在横线上填"＞"或"＜"）： （1）＿＿＿3；（2）＿＿＿4。 20. 计算：−8 的立方根与 16 的算术平方根的和。 21. 化简：（1）；（2）。 22. 计算：（1）÷；（2）÷。 23. 已知式子。 （1）若它有意义，求 x 的取值范围； （2）当 x＝7 时，求这个式子的值。 24. 一个正数 x 的两个平方根分别是 a＋3 和 2a−15。 （1）求 a 的值； （2）求 x 的值。 25. 已知＋|b＋3|＝0，求 (a＋b)²⁰²⁶ 的值。（选做） 三、位置与坐标 26. 学校图书馆的书架用有序数对表示位置，规定"先写层数、后写格数"，例如"2 层 5 格"记作 (2，5)。 那么"4 层 3 格"应记作　　　　，"6 层 1 格"应记作　　　　。 27. 在平面直角坐标系中，点 A(−3，5) 在（　　） A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限 28. 点 P(−6，8) 到 x 轴的距离是　　　　，到 y 轴的距离是　　　　，到原点的距离是　　　　。 29. 已知点 P(−4，3)。 （1） 点 P 关于 x 轴对称的点 P₁ 的坐标是　　　　； （2） 点 P 关于 y 轴对称的点 P₂ 的坐标是　　　　。 30. 已知点 A(3，5)，且 AB∥x 轴，AB＝4，点 B 在点 A 的右侧，则点 B 的坐标是　　　　。 31. 如图，在平面直角坐标系中，长方形 ABCD 的顶点 A 在原点，边 AB 在 x 轴正半轴上，边 AD 在 y 轴正半轴上，AB＝4，AD＝3。 （1） 直接写出 B、C、D 三个顶点的坐标； （2） 点 C 到 x 轴的距离是多少？到 y 轴的距离是多少？ 32. 下列描述中，能确定具体位置的是（　　） A. 沿文化路向东走　　　B. 北偏东 40°　　　C. 东经 108°，北纬 34°　　　D. 万达影城 6 号厅 33. 已知点 P(2m＋4，m−1)，且点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到 y 轴的距离。 （1） 求 m 的值； （2） 写出点 P 的坐标。 34. 如图，在平面直角坐标系中，A(−2，0)，B(4，0)，C(1，3)。 （1） 求△ABC 的面积； （2） 点 C 到 x 轴的距离是多少？ 35. 已知点 A 在第二象限，且点 A 到原点的距离为 5，到 y 轴的距离为 4，则点 A 的坐标是　　　　。 36. 一只小虫从原点 O 出发，第 1 次向右爬 1 格到 (1，0)，第 2 次向上爬 1 格到 (1，1)， 第 3 次向左爬 1 格到 (0，1)，第 4 次向上爬 1 格到 (0，2)，第 5 次向右爬 1 格到 (1，2)…… 按这样的规律一直爬下去，第 2026 次爬行后小虫所在位置的坐标是　　　　。（选做） 四、一次函数 37. 下列函数中，y 是 x 的一次函数的是（　　） A. y＝x²＋1　　　B. y＝−3x＋1　　　C. y＝x(x−1)　　　D. y＝2x² 38. 已知一次函数 y＝−2x＋5。 （1） 当 x＝3 时，求 y 的值； （2） 当 x＝−1 时，求 y 的值。 39. 一次函数 y＝−2x＋3 的图象不经过（　　） A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限 40. 已知一次函数 y＝4x＋b 的图象与 y 轴交于点 (0，−5)，则 b＝　　　　。 41. 已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 (−2，1) 和点 (2，5)。 （1） 求 k、b 的值； （2） 写出这个一次函数的表达式。 42. 将直线 y＝−3x＋4 向下平移 5 个单位长度，所得直线的表达式是　　　　。 43. 已知一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴交于点 (−4，0)，则关于 x 的方程 kx＋b＝0 的解是 x＝　　　　。 44. 下列正比例函数中，y 的值随着 x 值的增大而减小的是（　　） A. y＝4x　　　B. y＝0.8x　　　C. y＝−3x　　　D. y＝2x 45. 某市出租车的计价规则是：行程不超过 2 千米时收起步价 9 元；超过 2 千米的部分，每千米收 3 元。 设行程为 x 千米（x＞2），应付车费为 y 元。 （1） 写出 y 与 x 之间的关系式； （2） 小明乘车 6 千米，应付车费多少元？ 46. 如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象经过第一、三、四象限，则（　　） A. k＞0，b＞0　　　B. k＞0，b＜0　　　C. k＜0，b＞0　　　D. k＜0，b＜0 47. 声音在空气中的传播速度 v（单位：米每秒）与气温 T（单位：℃）之间满足一次函数关系，测得的数据如下： 气温 T（℃）：0，5，10；对应的传播速度 v：330，333，336。 （1） 求 v 与 T 之间的关系式； （2） 当气温为 15 ℃ 时，声音的传播速度是多少？ 48. 如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 A(−1，4) 和点 B(2，−2)。 （1） 求 k、b 的值，并写出这个一次函数的表达式； （2） 求这个函数的图象与 x 轴交点的坐标。 49. 已知关于 x 的一次函数 y＝(m＋4)x＋m−1。 （1） 若 y 的值随 x 值的增大而减小，求 m 的取值范围； （2） 若图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，求 m 的取值范围； （3） 若同时满足上面两个条件，求 m 的取值范围。（选做） 50. 如图，直线 y＝−x＋8 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，点 A 的坐标为 (6，0)， 点 P 是线段 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合），设点 P 的横坐标为 t。 （1） 求△OPA 的面积 S 与 t 之间的关系式，并写出 t 的取值范围； （2） 当△OPA 的面积 S＝12 时，求点 P 的坐标。（选做） 学科网（北京）股份有限公司 $ 八上期中练习卷（50 题）（答案版） 范围：北师大版八年级上册 第一～四章（勾股定理／实数／位置与坐标／一次函数）　｜　林诗润 本件为答案版：每题先给结论，再给推导过程。 一、勾股定理 1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则 AB 的长为（　　） A. 6　　　B. 8　　　C. 10　　　D. 14 【答案】C。 【解析】∠C＝90°，所以 AB 是斜边，AC、BC 是两条直角边。 由勾股定理：AB²＝AC²＋BC²＝6²＋8²＝36＋64＝100。 所以 AB＝√100＝10。 2. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝17，BC＝8，则 AC 的长为（　　） A. 9　　　B. 15　　　C. 17　　　D. 25 【答案】B。 【解析】∠C＝90°，AB 是斜边，所以 AC²＝AB²−BC²。 AC²＝17²−8²＝289−64＝225，所以 AC＝√225＝15。 3. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 都在格点上， 且 AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，则 AB 的长为（　　） A. 5　　　B. 6　　　C. 7　　　D. 25 【答案】A。 【解析】先看图数格子：AC 竖直占 3 格，BC 水平占 4 格，直角在点 C。 △ABC 是直角三角形，AB 是斜边：AB²＝3²＋4²＝9＋16＝25。 所以 AB＝√25＝5。 4. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则△ABC 的面积为（　　） A. 30　　　B. 60　　　C. 32.5　　　D. 65 【答案】A。 【解析】先求另一条直角边：BC²＝AB²−AC²＝13²−5²＝169−25＝144，所以 BC＝12。 直角三角形的面积＝两条直角边乘积的一半＝5×12÷2＝30。 注意：面积不用斜边 AB，用的是两条直角边 AC 和 BC。 5. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 2，4，5　　　B. 7，8，9　　　C. 5，12，13　　　D. 4，6，8 【答案】C。 【解析】判断方法：算出较小的两数的平方和，再看它是否等于最大数的平方。 A：2²＋4²＝4＋16＝20，5²＝25，不等；B：7²＋8²＝49＋64＝113，9²＝81，不等； D：4²＋6²＝16＋36＝52，8²＝64，不等。 C：5²＋12²＝25＋144＝169，13²＝169，相等，所以选 C。 6. 一根旗杆竖直立在操场上，高 12 m。小明把一根绳子的一端固定在旗杆顶端， 另一端拉直后固定在地面上，固定点离旗杆底端 5 m。这根绳子长（　　） A. 7 m　　　B. 13 m　　　C. 17 m　　　D. 169 m 【答案】B。 【解析】旗杆、地面、绳子围成一个直角三角形：旗杆 12 m 和地面上的 5 m 是两条直角边，绳子是斜边。 绳长²＝12²＋5²＝144＋25＝169，所以绳长＝√169＝13（m）。 7. 一块长方形草坪的长为 8 m，宽为 6 m。小明从草坪的一个顶点 A 出发， 原来沿边 A→B→C 走，现在直接沿对角线从 A 走到 C。他一共少走了（　　） A. 2 m　　　B. 4 m　　　C. 6 m　　　D. 10 m 【答案】B。 【解析】沿边走：AB＋BC＝8＋6＝14（m）。 沿对角线走：AC²＝8²＋6²＝64＋36＝100，所以 AC＝10（m）。 少走的＝14−10＝4（m）。 8. 在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，CD⊥AB 于点 D。 （1）求 AB 的长； （2）求 CD 的长。 【答案】（1）AB＝15； （2）CD＝7.2。 【解析】（1）AB²＝AC²＋BC²＝9²＋12²＝81＋144＝225，所以 AB＝15。 （2）同一个三角形，用两种方式算面积，结果必须相同： 以两条直角边作底和高：面积＝9×12÷2＝54； 以 AB 作底、CD 作高：面积＝15×CD÷2。 所以 15×CD÷2＝54，CD＝108÷15＝7.2。 9. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝13，AD＝12，AC＝15。 （1）求 BD 与 CD 的长； （2）求 BC 的长； （3）求△ABC 的面积。 【答案】（1）BD＝5，CD＝9； （2）BC＝14； （3）面积＝84。 【解析】（1）AD⊥BC，所以△ABD 和△ACD 都是直角三角形。 在 Rt△ABD 中：BD²＝AB²−AD²＝13²−12²＝169−144＝25，BD＝5。 在 Rt△ACD 中：CD²＝AC²−AD²＝15²−12²＝225−144＝81，CD＝9。 （2）BC＝BD＋DC＝5＋9＝14。 （3）以 BC 作底，高就是 AD＝12：面积＝14×12÷2＝84。 10. 港口 O 处同时开出两艘船：甲船以每小时 9 km 的速度向正东方向航行， 乙船以每小时 12 km 的速度向正北方向航行。2 h 后两船相距（　　） A. 21 km　　　B. 30 km　　　C. 42 km　　　D. 45 km 【答案】B。 【解析】2 h 后甲船走了 9×2＝18（km），乙船走了 12×2＝24（km）。 正东与正北互相垂直，所以两船位置与港口 O 组成直角三角形，18 km 与 24 km 是两条直角边。 两船距离²＝18²＋24²＝324＋576＝900，所以两船距离＝√900＝30（km）。 11. 一棵大树在离地面 6 m 处被风吹断，折断的树尖恰好落在地面上，落地点离树根 8 m。 （1）求折断处到树尖的长度； （2）求这棵大树原来的高度。 【答案】（1）10 m； （2）16 m。 【解析】（1）剩下的树干、地面、断下来的部分围成一个直角三角形，6 m 与 8 m 是两条直角边。 折断部分²＝6²＋8²＝36＋64＝100，所以折断部分＝√100＝10（m）。 （2）原来的高度＝剩下的 6 m＋折断的 10 m＝16（m）。 12. 如图，一个圆柱形水杯的高为 16 cm，底面圆的周长为 24 cm。 蚂蚁在水杯外壁下底面边缘的点 A 处，它想吃到上底面边缘上、与 A 隔着半圈相对的点 B 处的食物。 它沿杯子侧面爬行的最短路程是多少？（选做） 【答案】最短路程是 20 cm。 【解析】把圆柱的侧面沿一条母线剪开展平，侧面就变成一个长方形： 长方形的长＝底面周长 24 cm，宽＝圆柱的高 16 cm。 A、B 隔着半圈，在展开图上水平方向相差 24÷2＝12（cm），竖直方向相差 16 cm。 两点之间线段最短，所以最短路程²＝12²＋16²＝144＋256＝400，最短路程＝√400＝20（cm）。 二、实数 13. 求下列各式的值：（1）＝＿＿＿；（2）＝＿＿＿。 【答案】（1）8；（2）0.7。 【解析】求算术平方根，就是问"哪个非负数的平方等于被开方数"。 8²＝64，所以 √64＝8；0.7²＝0.49，所以 √0.49＝0.7。 14. 求下列各数的平方根：（1）144；（2）0.01。 【答案】（1）±12；（2）±0.1。 【解析】正数有两个平方根，它们互为相反数，合起来记作 ±√a；这一点和算术平方根只取非负数不同。 12²＝144，(−12)²＝144，所以 144 的平方根是 ±12。 0.1²＝0.01，(−0.1)²＝0.01，所以 0.01 的平方根是 ±0.1。 15. 求下列各式的值：（1）＝＿＿＿；（2）＝＿＿＿。 【答案】（1）4；（2）−5。 【解析】求立方根，就是问"哪个数的立方等于被开方数"。每个数都只有一个立方根，正负号跟着被开方数走。 4³＝64，所以 ∛64＝4；(−5)³＝−125，所以 ∛(−125)＝−5。 16. 下列关于平方根、立方根的说法中，正确的是（　　） A. 25 的平方根是 5 B. −8 没有立方根 C. −27 的立方根是 −3 D. 4 的算术平方根是 ±2 【答案】C。 【解析】A 错：正数有两个平方根，25 的平方根是 ±5，5 只是 25 的算术平方根。 B 错：负数有立方根，−8 的立方根是 −2。 C 对：(−3)³＝−27，所以 −27 的立方根是 −3。 D 错：算术平方根只取非负数，4 的算术平方根是 2，不是 ±2。 17. 一个正方形的面积是 144 cm²，它的边长是（　　） A. 12 cm　　　B. 14 cm　　　C. 24 cm　　　D. 72 cm 【答案】A。 【解析】设边长为 a，则 a²＝144，求 a 就是求 144 的算术平方根。 边长是正数，a＝√144＝12（cm）。 18. 如图，数轴上的点 A 在表示 2 和 3 的两个点之间，则点 A 表示的数可能是（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 【答案】B。 【解析】估算的办法：看被开方数夹在哪两个完全平方数之间。 2²＝4＜5＜9＝3²，所以 2＜√5＜3，点 A 可以是 √5。 另外三个都不在 2 与 3 之间：√2 在 1 与 2 之间；13 在 9 与 16 之间，√13 在 3 与 4 之间；√17 在 4 与 5 之间。 19. 比较大小（在横线上填"＞"或"＜"）： （1）＿＿＿3；（2）＿＿＿4。 【答案】（1）＜；（2）＞。 【解析】办法：把另一个数也变成平方（或立方）再比。 （1）3²＝9，而 7＜9，所以 √7＜3。 （2）4³＝64，而 70＞64，所以 ∛70＞4。 20. 计算：−8 的立方根与 16 的算术平方根的和。 【答案】（−2）＋4＝2。 【解析】先分开求：−8 的立方根是 −2，因为 (−2)³＝−8。 16 的算术平方根是 4，因为 4²＝16，且算术平方根取非负数。 再相加：−2＋4＝2。 21. 化简：（1）；（2）。 【答案】（1）6√2；（2）4√3。 【解析】化简的思路：把被开方数拆出一个"能开得尽方的因数"，把它开到根号外面。 （1）72＝36×2，所以 √72＝√36×√2＝6√2。 （2）48＝16×3，所以 √48＝√16×√3＝4√3。 22. 计算：（1）÷；（2）÷。 【答案】（1）3；（2）2。 【解析】除法法则：√a÷√b＝√(a÷b)（其中 a≥0，b＞0）。 （1）√18÷√2＝√(18÷2)＝√9＝3。 （2）√24÷√6＝√(24÷6)＝√4＝2。 23. 已知式子。 （1）若它有意义，求 x 的取值范围； （2）当 x＝7 时，求这个式子的值。 【答案】（1）x≥3； （2）2。 【解析】（1）二次根式有意义，要求被开方数是非负数：x−3≥0，解得 x≥3。 （2）把 x＝7 代入：x−3＝4，所以 √(x−3)＝√4＝2。 24. 一个正数 x 的两个平方根分别是 a＋3 和 2a−15。 （1）求 a 的值； （2）求 x 的值。 【答案】（1）a＝4； （2）x＝49。 【解析】正数有两个平方根，它们互为相反数，所以两个平方根的和是 0： (a＋3)＋(2a−15)＝0，3a−12＝0，a＝4。 把 a＝4 代回去：a＋3＝7，2a−15＝−7，正好互为相反数。 所以 x＝7²＝49。 25. 已知＋|b＋3|＝0，求 (a＋b)²⁰²⁶ 的值。（选做） 【答案】a＝2，b＝−3，所以 (a＋b)²⁰²⁶＝(−1)²⁰²⁶＝1。 【解析】算术平方根、绝对值都是非负数，两个非负数的和等于 0，只能各自等于 0。 所以 a−2＝0，a＝2；b＋3＝0，b＝−3。 a＋b＝2＋(−3)＝−1，所以 (a＋b)²⁰²⁶＝(−1)²⁰²⁶＝1（2026 是偶数，负数的偶次方是正数）。 三、位置与坐标 26. 学校图书馆的书架用有序数对表示位置，规定"先写层数、后写格数"，例如"2 层 5 格"记作 (2，5)。 那么"4 层 3 格"应记作　　　　，"6 层 1 格"应记作　　　　。 【答案】(4，3)；(6，1)。 【解析】规定是先写层数、后写格数，两层信息之间用逗号隔开，外面加括号。 "4 层 3 格"的层数是 4、格数是 3，所以记作 (4，3)。 "6 层 1 格"的层数是 6、格数是 1，所以记作 (6，1)。 两个数的顺序不能颠倒：(4，3) 与 (3，4) 表示的是两个不同的位置。 27. 在平面直角坐标系中，点 A(−3，5) 在（　　） A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限 【答案】B。 【解析】四个象限里点的坐标符号：第一象限 (＋，＋)，第二象限 (−，＋)，第三象限 (−，−)，第四象限 (＋，−)。 点 A 的横坐标 −3 是负数，纵坐标 5 是正数，属于 (−，＋)。 所以点 A(−3，5) 在第二象限，选 B。 28. 点 P(−6，8) 到 x 轴的距离是　　　　，到 y 轴的距离是　　　　，到原点的距离是　　　　。 【答案】点 P 到 x 轴的距离是 8，到 y 轴的距离是 6，到原点的距离是 10。 【解析】到 x 轴的距离＝纵坐标的绝对值，所以是 8。 到 y 轴的距离＝横坐标的绝对值，所以是 6。 到原点的距离用勾股定理：√(6²＋8²)＝√(36＋64)＝√100＝10。 一句话记：要求到哪条轴的距离，就看另一个坐标的绝对值。 29. 已知点 P(−4，3)。 （1） 点 P 关于 x 轴对称的点 P₁ 的坐标是　　　　； （2） 点 P 关于 y 轴对称的点 P₂ 的坐标是　　　　。 【答案】（1） P₁(−4，−3)； （2） P₂(4，3)。 【解析】关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标变成相反数。P(−4，3) 变成 P₁(−4，−3)。 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标变成相反数。P(−4，3) 变成 P₂(4，3)。 记法：关于哪条轴对称，哪个坐标就不动，另一个坐标变号。 30. 已知点 A(3，5)，且 AB∥x 轴，AB＝4，点 B 在点 A 的右侧，则点 B 的坐标是　　　　。 【答案】B(7，5)。 【解析】AB∥x 轴，说明 A、B 两点的纵坐标相同，都是 5。 又 B 在 A 的右侧，所以横坐标比 3 大 4：3＋4＝7。 所以点 B 的坐标是 (7，5)。 提醒：如果题目只说 AB＝4、不说 B 在 A 的哪一侧，就要分两种情况（右边 7、左边 −1），两个都写才算对。 31. 如图，在平面直角坐标系中，长方形 ABCD 的顶点 A 在原点，边 AB 在 x 轴正半轴上，边 AD 在 y 轴正半轴上，AB＝4，AD＝3。 （1） 直接写出 B、C、D 三个顶点的坐标； （2） 点 C 到 x 轴的距离是多少？到 y 轴的距离是多少？ 【答案】（1） B(4，0)，C(4，3)，D(0，3)； （2） 到 x 轴的距离是 3，到 y 轴的距离是 4。 【解析】A 在原点，AB 沿 x 轴正半轴走 4 个单位，所以 B 的横坐标是 4、纵坐标是 0，即 B(4，0)。 AD 沿 y 轴正半轴走 3 个单位，所以 D 的横坐标是 0、纵坐标是 3，即 D(0，3)。 C 与 B 在同一条竖直线上（横坐标相同），与 D 在同一条水平线上（纵坐标相同），所以 C(4，3)。 C(4，3) 到 x 轴的距离＝纵坐标的绝对值＝3；到 y 轴的距离＝横坐标的绝对值＝4。 32. 下列描述中，能确定具体位置的是（　　） A. 沿文化路向东走　　　B. 北偏东 40°　　　C. 东经 108°，北纬 34°　　　D. 万达影城 6 号厅 【答案】C。 【解析】要确定平面内一个点的位置，需要两个独立的数据，而且参照物要明确。 A 只给了方向、没给走多远，走过的位置有无数个；B 只给了方向、没给距离，也确定不了。 D 只说了厅号，既没说这家影城在哪里，也没有两个数据。 C 用经度、纬度两个数据，可以唯一确定地球上的一个位置，选 C。 33. 已知点 P(2m＋4，m−1)，且点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到 y 轴的距离。 （1） 求 m 的值； （2） 写出点 P 的坐标。 【答案】（1） m＝−5 或 m＝−1； （2） P(−6，−6) 或 P(2，−2)。 【解析】到 x 轴的距离＝|m−1|，到 y 轴的距离＝|2m＋4|，两者相等：|2m＋4|＝|m−1|。 绝对值相等有两种情况，要分开算： ① 两个数相等：2m＋4＝m−1，解得 m＝−5； ② 两个数互为相反数：2m＋4＝−(m−1)，即 2m＋4＝−m＋1，解得 m＝−1。 m＝−5 时，横坐标 2×(−5)＋4＝−6，纵坐标 −5−1＝−6，得 P(−6，−6)； m＝−1 时，横坐标 2×(−1)＋4＝2，纵坐标 −1−1＝−2，得 P(2，−2)。 34. 如图，在平面直角坐标系中，A(−2，0)，B(4，0)，C(1，3)。 （1） 求△ABC 的面积； （2） 点 C 到 x 轴的距离是多少？ 【答案】（1） AB＝6，△ABC 的面积是 9； （2） 点 C 到 x 轴的距离是 3。 【解析】AB 在 x 轴上，可以把它当底：AB＝4−(−2)＝6。 △ABC 的高就是点 C 到 x 轴的距离，C 的纵坐标是 3，所以高 h＝3。 面积＝底×高÷2＝6×3÷2＝9。 一边在坐标轴上的三角形，最省力的做法就是把这条边当底。 35. 已知点 A 在第二象限，且点 A 到原点的距离为 5，到 y 轴的距离为 4，则点 A 的坐标是　　　　。 【答案】A(−4，3)。 【解析】到 y 轴的距离＝横坐标的绝对值，所以 |x|＝4，x 取 4 或 −4。 到原点的距离是 5，由勾股定理得 x²＋y²＝5²＝25。 x²＝16，于是 y²＝25−16＝9，y 取 3 或 −3。 点 A 在第二象限：横坐标为负、纵坐标为正，取 x＝−4、y＝3，即 A(−4，3)。 36. 一只小虫从原点 O 出发，第 1 次向右爬 1 格到 (1，0)，第 2 次向上爬 1 格到 (1，1)， 第 3 次向左爬 1 格到 (0，1)，第 4 次向上爬 1 格到 (0，2)，第 5 次向右爬 1 格到 (1，2)…… 按这样的规律一直爬下去，第 2026 次爬行后小虫所在位置的坐标是　　　　。（选做） 【答案】(1，1013)。 【解析】先把前几次的位置排出来：(1，0)、(1，1)、(0，1)、(0，2)、(1，2)、(1，3)、(0，3)、(0，4)…… 可以看出每 4 次一循环：第 4k＋1 次在 (1，2k)，第 4k＋2 次在 (1，2k＋1)，第 4k＋3 次在 (0，2k＋1)，第 4k＋4 次在 (0，2k＋2)。 506×4＝2024，2026−2024＝2，所以第 2026 次是第 507 个循环里的第 2 次，就是 k＝506 时 4k＋2 的情形。 横坐标是 1；纵坐标是 2×506＋1＝1013。所以坐标是 (1，1013)。 四、一次函数 37. 下列函数中，y 是 x 的一次函数的是（　　） A. y＝x²＋1　　　B. y＝−3x＋1　　　C. y＝x(x−1)　　　D. y＝2x² 【答案】B（k＝−3，b＝1）。 【解析】一次函数的形式是 y＝kx＋b（k≠0）：自变量 x 的次数是 1，且 x 不在分母里。 A、D 里出现了 x²，是二次的，不是一次函数。 C：y＝x(x−1) 要先展开（用乘法分配律，像 5×(6−1)＝5×6−5×1 那样逐项乘），得 y＝x²−x。 含 x² 项，不是一次函数（一次函数里 x 只能是一次方）。 B 中 k＝−3、b＝1，符合 y＝kx＋b 的形式，是一次函数，选 B。 38. 已知一次函数 y＝−2x＋5。 （1） 当 x＝3 时，求 y 的值； （2） 当 x＝−1 时，求 y 的值。 【答案】（1） y＝−1； （2） y＝7。 【解析】求函数值，就是把自变量的值代进表达式算出来。 （1） 把 x＝3 代入：y＝−2×3＋5＝−6＋5＝−1。 （2） 把 x＝−1 代入：y＝−2×(−1)＋5＝2＋5＝7。 39. 一次函数 y＝−2x＋3 的图象不经过（　　） A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限 【答案】C。 【解析】k＝−2＜0，图象从左上向右下倾斜；b＝3＞0，图象与 y 轴交于 (0，3)，在 y 轴正半轴。 与 x 轴的交点：令 y＝0，得 −2x＋3＝0，x＝1.5，交点是 (1.5，0)。 连出这两个点画草图：图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，选 C。 40. 已知一次函数 y＝4x＋b 的图象与 y 轴交于点 (0，−5)，则 b＝　　　　。 【答案】b＝−5。 【解析】图象与 y 轴的交点，就是 x＝0 时图象上的那个点。 把 x＝0、y＝−5 代入 y＝4x＋b：−5＝0＋b，所以 b＝−5。 记住：一次函数 y＝kx＋b 的图象与 y 轴的交点一定是 (0，b)。 41. 已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 (−2，1) 和点 (2，5)。 （1） 求 k、b 的值； （2） 写出这个一次函数的表达式。 【答案】（1） k＝1，b＝3； （2） y＝x＋3。 【解析】把两个点的坐标分别代进 y＝kx＋b，得到两个方程：−2k＋b＝1 ①，2k＋b＝5 ②。 把两个式子相减（②−①，b 就消掉了）：4k＝4，所以 k＝1。 把 k＝1 代回 ②：2＋b＝5，所以 b＝3。 所以这个一次函数的表达式是 y＝x＋3。 42. 将直线 y＝−3x＋4 向下平移 5 个单位长度，所得直线的表达式是　　　　。 【答案】y＝−3x−1。 【解析】上下平移不改变 k，只改变 b：向上平移几个单位，b 就加几；向下平移几个单位，b 就减几。 原来的 b＝4，向下平移 5 个单位后 b＝4−5＝−1，k 仍是 −3。 所以所得直线的表达式是 y＝−3x−1。 顺带记：向下平移就减，左右平移才会动括号里的 x。 43. 已知一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴交于点 (−4，0)，则关于 x 的方程 kx＋b＝0 的解是 x＝　　　　。 【答案】x＝−4。 【解析】方程 kx＋b＝0 的解，就是函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴交点的横坐标。 交点是 (−4，0)，横坐标是 −4，所以方程的解是 x＝−4。 反过来也成立：图象与 x 轴的交点坐标就是 (方程的解，0)。 44. 下列正比例函数中，y 的值随着 x 值的增大而减小的是（　　） A. y＝4x　　　B. y＝0.8x　　　C. y＝−3x　　　D. y＝2x 【答案】C（k＝−3）。 【解析】正比例函数 y＝kx 中：k＞0 时 y 随 x 的增大而增大；k＜0 时 y 随 x 的增大而减小。 A、B、D 的 k 分别是 4、0.8、2，都是正数，y 随 x 的增大而增大。 C 的 k＝−3＜0，y 随 x 的增大而减小，选 C。 45. 某市出租车的计价规则是：行程不超过 2 千米时收起步价 9 元；超过 2 千米的部分，每千米收 3 元。 设行程为 x 千米（x＞2），应付车费为 y 元。 （1） 写出 y 与 x 之间的关系式； （2） 小明乘车 6 千米，应付车费多少元？ 【答案】（1） y＝3x＋3（x＞2）； （2） 应付 21 元。 【解析】车费分两段：前 2 千米一共 9 元，超过的 (x−2) 千米每千米 3 元。 y＝9＋3(x−2)＝9＋3x−6＝3x＋3。 把 x＝6 代入：y＝3×6＋3＝21（元）。 这个式子只对超过 2 千米的情况成立，所以后面要注明 x＞2。 46. 如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象经过第一、三、四象限，则（　　） A. k＞0，b＞0　　　B. k＞0，b＜0　　　C. k＜0，b＞0　　　D. k＜0，b＜0 【答案】B（k＞0，b＜0）。 【解析】图象从左下向右上倾斜，说明 y 随 x 的增大而增大，所以 k＞0。 图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，说明 b＜0。 所以 k＞0，b＜0，选 B。 对照记：k＞0、b＞0 时经过第一、二、三象限；k＜0、b＜0 时经过第二、三、四象限。 47. 声音在空气中的传播速度 v（单位：米每秒）与气温 T（单位：℃）之间满足一次函数关系，测得的数据如下： 气温 T（℃）：0，5，10；对应的传播速度 v：330，333，336。 （1） 求 v 与 T 之间的关系式； （2） 当气温为 15 ℃ 时，声音的传播速度是多少？ 【答案】（1） v＝0.6T＋330； （2） 339 米每秒。 【解析】气温每升高 5 ℃，速度增加 333−330＝3（米每秒），所以每升高 1 ℃ 就增加 3÷5＝0.6（米每秒），即 k＝0.6。 T＝0 时 v＝330，这就是常数项 b＝330。 所以 v＝0.6T＋330。 把 T＝15 代入：v＝0.6×15＋330＝9＋330＝339（米每秒）。 48. 如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 A(−1，4) 和点 B(2，−2)。 （1） 求 k、b 的值，并写出这个一次函数的表达式； （2） 求这个函数的图象与 x 轴交点的坐标。 【答案】（1） k＝−2，b＝2，y＝−2x＋2； （2） 与 x 轴交于点 (1，0)。 【解析】从图上读出两个点 A(−1，4)、B(2，−2)，分别代进 y＝kx＋b：−k＋b＝4 ①，2k＋b＝−2 ②。 把两个式子相减（②−①，b 就消掉了）：3k＝−6，所以 k＝−2。 把 k＝−2 代回 ①：2＋b＝4，所以 b＝2，表达式是 y＝−2x＋2。 与 x 轴交点令 y＝0：−2x＋2＝0，x＝1，交点是 (1，0)。 49. 已知关于 x 的一次函数 y＝(m＋4)x＋m−1。 （1） 若 y 的值随 x 值的增大而减小，求 m 的取值范围； （2） 若图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，求 m 的取值范围； （3） 若同时满足上面两个条件，求 m 的取值范围。（选做） 【答案】（1） m＜−4； （2） m＜1 且 m≠−4； （3） m＜−4。 【解析】（1） y 随 x 的增大而减小，说明一次项系数小于 0：m＋4＜0，解得 m＜−4。 （2） 图象与 y 轴交于 (0，m−1)，交点在 x 轴下方就是纵坐标为负：m−1＜0，解得 m＜1。 又题目说它是一次函数，所以一次项系数 m＋4≠0，即 m≠−4；两条合起来：m＜1 且 m≠−4。 （3） 两个条件要同时成立，取公共部分：m＜−4 且 m＜1，合起来还是 m＜−4。 小心：题目说它是一次函数，所以 m＋4≠0，m＝−4 不能取。第（2）问的 m＜1 里含着 m＝−4，必须显式排掉；第（3）问的 m＜−4 本身就不含 −4，所以答案只能写成 m＜−4。 50. 如图，直线 y＝−x＋8 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，点 A 的坐标为 (6，0)， 点 P 是线段 BC 上的一个动点（不与 B、C 重合），设点 P 的横坐标为 t。 （1） 求△OPA 的面积 S 与 t 之间的关系式，并写出 t 的取值范围； （2） 当△OPA 的面积 S＝12 时，求点 P 的坐标。（选做） 【答案】（1） B(8，0)，C(0，8)，S＝−3t＋24（0＜t＜8）； （2） P(4，4)。 【解析】直线与 x 轴交点：令 y＝0，得 x＝8，B(8，0)；与 y 轴交点：令 x＝0，得 y＝8，C(0，8)。 点 P 在直线上，横坐标是 t，所以纵坐标是 −t＋8。 △OPA 以 OA 为底：OA＝6−0＝6；高是 P 到 x 轴的距离，即 −t＋8。 S＝6×(−t＋8)÷2＝−3t＋24。P 在线段 BC 上且不与端点重合，所以 0＜t＜8。 S＝12 时：−3t＋24＝12，3t＝12，t＝4；纵坐标 −4＋8＝4，所以 P(4，4)。 附表：题号—板块—档次—考法 合计：50 题；一、勾股定理｜基础 7 题；一、勾股定理｜中档 4 题；一、勾股定理｜提优 1 题；二、实数｜基础 8 题；二、实数｜中档 4 题；二、实数｜提优 1 题；三、位置与坐标｜基础 7 题；三、位置与坐标｜中档 3 题；三、位置与坐标｜提优 1 题；四、一次函数｜基础 8 题；四、一次函数｜中档 4 题；四、一次函数｜提优 2 题 1．勾股定理｜基础｜勾股定理求斜边 2．勾股定理｜基础｜勾股定理求直角边 3．勾股定理｜基础｜网格中求线段长 4．勾股定理｜基础｜勾股定理求直角边后求面积 5．勾股定理｜基础｜逆定理判别三边 6．勾股定理｜基础｜勾股定理实际情境求斜边（旗杆） 7．勾股定理｜基础｜长方形走对角线少走多少 8．勾股定理｜中档｜等面积法求斜边上的高 9．勾股定理｜中档｜作高分割三边求面积 10．勾股定理｜中档｜方位角情境两船距离 11．勾股定理｜中档｜折断情境求树高 12．勾股定理｜提优｜圆柱侧面展开最短路径 13．实数｜基础｜算术平方根求值 14．实数｜基础｜平方根（两解）求值 15．实数｜基础｜立方根求值 16．实数｜基础｜平方根与立方根概念辨析 17．实数｜基础｜算术平方根实际应用（正方形边长） 18．实数｜基础｜数轴上无理数的位置 19．实数｜基础｜无理数大小比较 20．实数｜基础｜立方根与算术平方根综合求值 21．实数｜中档｜二次根式化最简 22．实数｜中档｜二次根式除法求值 23．实数｜中档｜二次根式有意义的条件 24．实数｜中档｜正数两个平方根互为相反数（含参） 25．实数｜提优｜非负数之和为零 26．位置与坐标｜基础｜有序数对（行列）定位 27．位置与坐标｜基础｜点所在象限的判定 28．位置与坐标｜基础｜点到坐标轴的距离 29．位置与坐标｜基础｜关于坐标轴对称的点 30．位置与坐标｜基础｜平行于 x 轴的直线上的点 31．位置与坐标｜基础｜建立坐标系写图形顶点坐标 32．位置与坐标｜基础｜确定位置的方法判别 33．位置与坐标｜中档｜含参点：到两轴距离相等 34．位置与坐标｜中档｜三角形面积（一边在 x 轴上） 35．位置与坐标｜中档｜距离＋象限逆推坐标 36．位置与坐标｜提优｜坐标规律（四次一循环） 37．一次函数｜基础｜一次函数与正比例函数的识别 38．一次函数｜基础｜求函数值 39．一次函数｜基础｜一次函数图象经过的象限 40．一次函数｜基础｜由 y 轴交点求常数项 41．一次函数｜基础｜待定系数法（两点求表达式） 42．一次函数｜基础｜图象平移求表达式 43．一次函数｜基础｜一次函数与一元一次方程的关系 44．一次函数｜基础｜正比例函数的增减性判别 45．一次函数｜中档｜由实际情境写关系式（起步价） 46．一次函数｜中档｜由图象判断 k、b 的符号 47．一次函数｜中档｜由表格数据写关系式 48．一次函数｜中档｜由图象读两点求表达式 49．一次函数｜提优｜含参：增减性＋交点位置 50．一次函数｜提优｜一次函数与三角形面积（动点） 学科网（北京）股份有限公司 $