综合培优 期中压轴题汇总（ 第11-13章：129题 31个常考题+12大压轴题型）数学新教材沪科版八年级上册
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内容正文：
专题 期中压轴题汇总
选填常考题
题型23 三角形的分类
题型1 用有序数对表示位置
题型24 等腰三角形的定义
题型2 用方向角和距离确定物体的位置
题型25 三角形三边关系的应用
题型3 求点到坐标轴的距离
题型26 与角平分线有关的三角形内角和问题
题型4 已知点所在的象限求参数
题型27 三角形折叠中的角度问题
题型5 求平移后的坐标
题型28 与三角形的高有关的计算问题
题型6 已知图形的平移、求点的坐标
题型29 三角形角平分线的定义
题型7 点坐标规律探索
题型30根据三角形的中线求线的长度或面积
题型8 用关系表示变量的关系
题型31三角形的外角的定义及性质
题型9 函数的概念
解答压轴题
题型10 识别一次函数
题型32 坐标系中的动点问题
题型11 根据一次函数的定义求参数
题型33 坐标规律探索的综合
题型12 正比例函数的定义
题型34 一次函数围成图形面积问题
题型13 正比例函数的图象与性质
题型35 一次函数图象综合题
题型14 判断一次函数的图象
题型36 一次函数的实际应用分配方案问题
题型15 已知函数经过的象限求参数范围
题型37 一次函数的实际应用最大利润问题
题型16 一次函数图象与坐标轴的交点问题
题型38 一次函数的实际应用分段计费问题
题型17 一次函数图象的平移问题
题型39 一次函数与方程不等式综合
题型18 判断一次函数的增减性
题型40 一次函数的新定义问题
题型19 根据一次函数增减性求参数
题型41 三角形中的动点问题
题型20 由直线与坐标的交点求不等式的解集
题型42 三角形的内角外角综合问题
题型21 根据两条直线的交点求不等式的解集
题型43三角形中的探究问题
题型22 图像法解二元一次方程组
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题型1 用有序数对表示位置
1．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“士”的位置用坐标表示，那么“相”的位置用坐标表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根据已知点的坐标确定平面直角坐标系中其他点的坐标，解题的关键在于根据“帅”和“士”的坐标确定坐标系的方向和单位长度，进而得出“相”的坐标．
【详解】解：已知“帅”的位置用坐标表示，“士”的位置用坐标表示，
所以“相”的位置用坐标表示为．
故选：D．
2．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）如图中，点用数对表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用有序数对表示位置．
根据题干图像作答即可．
【详解】解：由点和点同行，和点同列，
所以点用数对表示是．
故选：C．
3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在电影院里，如果用表示排号，那么排号可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用有序实数对表示位置，理解题意，弄清排、号的顺序是解题的关键．根据用表示排号，可将排号用有序实数对表示出来．
【详解】解：∵用表示排号，
∴排号可以表示为，
故选：B．
题型2 用方向角和距离确定物体的位置
4．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）下列数据中不能确定位置的是（ ）
A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼
C．南偏西 D．东经，北纬的城市
【答案】C
【详解】解：A选项，位置明确，不符合题意；
B选项，位置明确，不符合题意；
C选项仅给出南偏西的方向，缺少距离数据，无法确定具体位置，符合题意；
D选项，位置明确，不符合题意．
5．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置，下列选项中正确的是（ ）
A．北偏东方向，距离小青家 B．北偏东方向，距离小青家
C．东偏北方向 D．东偏北方向，距离小青家
【答案】B
【分析】根据方位角的定义，结合图中位置可得答案．
【详解】解：由图知，
∴图书馆相对于小青家的位置是北偏东方向，距离小青家．
6．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）一艘轮船在港口的北偏西方向，距离港口处，若以港口O为观测点，用方位角和距离描述该船相对于港口的位置是（ ）
A．北偏东， B．北偏西，
C．北偏东， D．北偏西，
【答案】B
【分析】此题考查了方位角，根据方位角的概念以及确定位置的方法，可得答案．
【详解】∵轮船在港口的北偏西方向，距离，
∴若以港口O为观测点，位置描述为北偏西，，
故选：B．
题型3 求点到坐标轴的距离
7．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）点到x轴的距离是（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】A
【详解】解：∵点的纵坐标为，
∴点到轴的距离为．
8．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解．
【详解】解：点在第二象限，
点的横坐标为负，纵坐标为正，
又点距离轴个单位长度，
点的纵坐标为，
又点距离轴个单位长度，
点的横坐标为，
综上所述，点的坐标为．
9．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）若点在第三象限，且点到轴、轴的距离分别为3，2，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：点在第三象限，
点的横坐标为负，纵坐标为负，
点到轴的距离为3，到轴的距离为2，
点的纵坐标为，横坐标为，即坐标为．
题型4 已知点所在的象限求参数
10．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）若点在第三象限，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，得到b的取值范围，再结合选项判断即可．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
选项中只有满足．
11．（26-27八年级上·安徽六安·阶段检测）已知点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据点M在第二象限得出，，再根据点M到两坐标轴的距离相等得出，再化简绝对值即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，，
∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴，
解得．
12．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）若点在坐标轴上，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分点在轴和轴上两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵点在坐标轴上，
∴或，
解得或．
题型5 求平移后的坐标
13．（25-26八年级上·安徽池州·期末）点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的平移．根据平移的性质，向上平移改变纵坐标，向左平移改变横坐标，直接计算坐标变化即可．
【详解】解：点向上平移个单位，
纵坐标变为，此时点为；
又向左平移个单位，
横坐标变为，
此时点为.
故选：A．
14．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）将点先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿 y 轴向下平移2个单位长度后得到点 ，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了点坐标的平移，根据坐标平移规则，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减小．
【详解】解：∵点沿x轴向右平移3个单位，
∴横坐标变为，纵坐标不变，得点；
∵再沿y轴向下平移2个单位，
∴纵坐标变为，横坐标不变，得点．
∴点的坐标为．
故选：A．
15．（24-25九年级下·广东佛山·期中）把平面直角坐标系上一点向上平移个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查点坐标平移的规律，坐标轴上的点坐标特征．解题的关键是掌握：点坐标平移的规律：左减右加，上加下减；轴上的点的纵坐标为零．
【详解】解：∵将点向上平移个单位后的点的坐标为，
此时它恰好在轴的正半轴上，
∴，
∴．
故选：D．
题型6 已知图形的平移、求点的坐标
16．（26-27八年级上·安徽淮北·阶段检测）是由平移得到的，若点的对应点为，点的对应点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】∵点的对应点为，
∴向右平移了2个单位，向上平移了3个单位，
∴点的对应点E的坐标为，即．
17．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合点A和点C的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标．
【详解】解：∵线段平移得到线段，点A的对应点是，
由坐标可知，线段向右平移4个单位长度，向下平移个1单位长度得到线段，
点B的对应点D的坐标是，即．
18．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了图形平移的性质和点的坐标变化规律，解题关键点在于确定平移的方向和长度，混淆平移方向是本题的易错点；根据点平移前后的坐标，确定平移的方向和长度，再根据横纵坐标的变化求得的坐标即可．
【详解】∵平移后得，
∴横坐标，纵坐标；即向右平移个单位，再向上平移个单位，
∴平移后得．
故选A．
题型7 点坐标规律探索
19．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，对点定义变换，变换后的点为．例如变换得到；继续变换得到．连续重复该变换，则坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对点定义变换，依次求出到，找出坐标变换的规律，再根据规律求出的坐标．
【详解】解：由题中定义变换可知，，，，，，，……
找到坐标变换规律为：每四个点为一个循环组依次循环，故为，
故选：A．
20．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，可得，再根据规律可得点与的横坐标相同，纵坐标小2，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，，，，……，
∴，
∴，
∵点，，，，……，
∴点与的横坐标相同，纵坐标小2，
∴，
∴点的坐标为．
21．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题，但计算机已经证明了以下的每一个数字都符合这个规律．其内容为：对于任意正整数，若为奇数，则下一步计算；若为偶数，则下一步计算重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2026次运算，得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算前若干次运算结果，发现数值存在循环周期，利用周期规律简化次运算的求解．
【详解】解：先计算横坐标的运算结果．
∵初始横坐标为，
第次运算得，
第次运算得，
第次运算得，
第次运算得，
……，
∴运算结果以为一个周期，周期为．
∵，余数为，
∴横坐标经过次运算的结果为．
再计算纵坐标的运算结果．
∵初始纵坐标为，
第次运算得，
第次运算得，
第次运算得，
第次运算得，
第次运算得，
第次运算得，
第次运算得，
第次运算得，
∴从第次运算开始，结果以为一个周期，周期为．
∵前次运算未进入循环，
∴剩余循环内运算次数为．
∵，余数为，
∴纵坐标经过次运算的结果为．
∴最终点的坐标为．
题型8 用关系表示变量的关系
22．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以的速度匀速骑行，用时小时骑行千米．下列说法正确的是（ ）
A．10是常量，和是变量 B．10和是常量，是变量
C．10和是常量，是变量 D．以上说法均错误
【答案】A
【分析】本题考查了常量和变量的定义．
根据常量是固定不变的量，变量是变化的量即可得出答案．
【详解】解：∵的速度匀速骑行，用时小时骑行千米，
∴10是常量，和是变量．
故选：A．
23．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（ ）
A．时间为常量 B．冰的厚度为常量
C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量
【答案】D
【分析】本题考查变量与常量的概念．根据自变量、因变量及常量的定义求解即可．
【详解】解：“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，因此时间，冰的厚度是变量．
故选：D．
24．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）在高处让一物体由静止开始落下，它下落的时间t（单位：s）与下落的高度h（单位：m）之间的关系如下表：
下落的时间
1
2
3
4
…
下落的高度
…
请根据表格中的数据估计当物体下落的时间为时，下落的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用表格中的数据可得落下高度h是时间t平方的5倍，然后用t的代数式表示h，将代入中求解即可．
【详解】解：时，，
时，，
时，，
时，，
∴，
当时，．
题型9 函数的概念
25．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）下列图象中，表示是的函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】一般地，在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．
【详解】解：选项A中，由图象可得，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，故是的函数，符合题意；
选项B、C、D中，由图象可得，对于的每一个确定的值，不是有唯一确定的值与其对应，故不是的函数，不符合题意．
26．（26-27八年级上·安徽·阶段检测）下列曲线中，能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数定义逐一判断即可．
【详解】解：根据函数定义，是的函数当且仅当：对每一个值，有且仅有一个值与之对应．
选项，存在某些时 ，固定的值有多个相对应，不满足函数定义，不符合题意．
选项，固定的值只有一个相对应，满足函数定义，符合题意．
选项，对于时 ，固定的值有两个相对应，不满足函数定义，不符合题意．
选项，当时 ，有两个相对应，不满足函数定义，不符合题意．
27．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案．
【详解】解：A项：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意；
B项：对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，符合函数的定义，不符合题意；
C项：当x取正数时，y会有两个值与之对应，则y不是x的函数，符合题意；
D项：对于任意一个x，代入后都能得到唯一的y值，符合函数的定义，不符合题意．
题型10 识别一次函数
28．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．
根据一次函数的定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：选项A：，x的次数为2，不符合一次函数的定义；
选项B：，x的次数不为1，不符合一次函数的定义；
选项C：，符合一次函数的定义；
选项D：，x的次数不为1，不符合一次函数的定义；
故选：C．
29．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列函数∶ ①， ②， ③，④，其中是一次函数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的定义．
根据一次函数的定义（形如（）的函数）判断每个函数是否是一次函数即可．
【详解】解：①是形式，且，是一次函数；
②是常数函数，无项，不是一次函数；
③中的最高次数为2，不是一次函数；
④可化为，是形式，且，是一次函数；
一次函数有①和④，共2个．
故选：B．
30．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B．
C． D．（是常数）
【答案】A
【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数．利用一次函数定义进行解答即可．
【详解】解：A、是一次函数，故此选项符合题意；
B、不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、中自变量的次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意；
D、当时，（是常数）不是一次函数，故此选项不合题意；
故选：A．
题型11 根据一次函数的定义求参数
31．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义得出且，然后求解即可．
【详解】解：∵函数是一次函数，
∴，解得，
，
，
．
32．（22-23八年级上·安徽合肥·开学考试）已知函数为一次函数，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据形如，其中为常数，的函数是一次函数；可知：．
33．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）已知函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义得出且，即可求解．
【详解】解：函数是一次函数，
且，
解得．
故选：A．
题型12 正比例函数的定义
34．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数中，y是x的一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、B选项的函数均为正比例函数，不符合要求．
C．，是一次函数且不是正比例函数，符合要求．
D．不是一次函数，不符合要求．
35．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如果函数是的正比例函数，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或2 D．2
【答案】C
【详解】解：∵函数是的正比例函数，
∴，
解得或．
36．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）若是正比例函数，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握“正比例函数的表达式常数项为” 是解题的关键．
正比例函数的形式为，无常数项，故需使常数项为零即可．
【详解】解：是正比例函数，
常数项，
．
故选：C．
题型13 正比例函数的图象与性质
37．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）若点在第二象限，则正比例函数的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】B
【分析】根据第二象限内点的坐标特征判断的符号，结合正比例函数图象性质求解．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，，
∴，
∴正比例函数的图象经过第二、四象限．
38．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知正比例函数经过点和，则x的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数的解析式与待定系数法，解题的关键是利用函数图象上的点求出比例系数．
先将已知点代入正比例函数求出的值，再将另一点代入函数求解．
【详解】解：正比例函数经过点，
将代入得：，解得，
则函数解析式为，
又函数经过点，
将代入解析式得：，解得．
故选：D．
39．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且时，，则时，的值为（）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查正比例函数，由y与x成正比例，设，根据已知条件求出比例常数k，再代入计算y的值即可．
【详解】解：∵y与x成正比例，
∴设．
∵当时，，
∴，解得．
∴．
当时，．
∴y的值为．
故选：C．
题型14 判断一次函数的图象
40．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断出经过，再根据每个选项的函数图像进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴令可得，，令可得，，
∴在中，其函数必定经过，
A、由图可得，，
∴分别位于x轴的负半轴和y轴的正半轴，
∴观察函数图像中的点可知该选项符合题意；
B、由图可得，，
∴分别位于x轴的正半轴和y轴的负半轴，
∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意；
C、由图可得，，
∴分别位于x轴的负半轴和y轴的正半轴，
∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意；
D、由图可得，，
∴分别位于x轴的正半轴和y轴的负半轴，
∴观察函数图像中的点可知该选项不符合题意．
41．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）一次函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】一次函数图象与系数的关系：，，的图象在一、二、三象限，，，的图象在一、三、四象限，，，的图象在一、二、四象限，，，的图象在二、三、四象限，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴一次函数经过第一、第二、第四象限，
故只有A选项符合题意．
42．（26-27九年级·全国·暑假作业）一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：、∵一次函数经过一、二、三象限，
∴，，
∴，
∴正比例函数经过一、三象限，该选项图形错误，不符合题意；
、∵一次函数经过一、三、四象限，
∴，，
∴，
∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意；
、∵一次函数经过一、三、四象限，
∴，，
∴，
∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形正确，符合题意；
、∵一次函数经过一、二、四象限，
∴，，
∴，
∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意．
题型15 已知函数经过的象限求参数范围
43．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）一次函数的函数值随的增大而增大，且图象不经过第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据一次函数的增减性和图象不经过第二象限的条件，列关于的不等式组，取公共解集．
【详解】解：∵函数值随的增大而增大，且图象不经过第二象限，
∴，
解得，
即的取值范围为．
44．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
由直线经过点可得与的关系，再由直线不经过第三象限确定的取值范围，代入表达式，根据的范围求的范围．
【详解】直线经过点，
，即，
直线不经过第三象限，
且，
，即，
，
又，
当时，；
当时，，
∴．
故选：．
45．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象，要使该函数图象经过x、y轴的正半轴，则图象经过第一、二、四象限，从而，，求解即可．
【详解】解：∵函数的图象经过x、y轴的正半轴，
∴该函数图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴，．
故选：C．
题型16 一次函数图象与坐标轴的交点问题
46．（25-26八年级上·安徽池州·期末）直线在轴上的截距是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直线与y轴的交点坐标，y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，令代入方程求解即可．
【详解】解：∵直线在y轴上的截距为时的y值，
令，得，
∴截距为．
故选：B．
47．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）对于一次函数，下列判断错误的是（ ）
A．该函数的图象经过第二、三、四象限
B．该函数的图象在轴上截距为
C．该函数的图象与轴交于点
D．自变量的值每增加1，函数的值减小2
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与x轴的交点进行分析判断．
【详解】解：对于函数，∵，，∴图象经过第二、三、四象限，A正确；
当时，，∴y轴上截距为，B正确；
当时，，解得，∴与x轴交点为，不是，C错误；
∵，∴x每增加1，y减小2，D正确．
故选：C．
48．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知两个一次函数和的图象交于点，对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．随的增大而减小 B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与轴的交点的坐标为 D．图象经过点
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性，一次函数的图象经过的象限，求一次函数的函数值或自变量的值，把点的坐标代入中求出点的坐标，再把点的坐标代入中求出k的值，然后根据一次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：在中，当时，，解得，
∴，
把代入得，
∴，
∴一次函数的解析式为，
∴在中，随的增大而减小，的图象经过一、二、四象限，故A结论正确，B结论错误；
在中，当时，，当时，，
∴的图象与轴的交点的坐标为，且不经过点，故C和D的结论都错误；
故选：A．
题型17 一次函数图象的平移问题
49．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）将一次函数的图象向下平移3个单位长度后，得到的新图象的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由“上加下减”的原则即可求解．
【详解】解：∵将一次函数的图象向下平移3个单位长度，
∴新图象的函数关系式为．
50．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】先由“上加下减”的平移规律求出平移后的解析式，再根据一次函数的性质即可判断．
【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位，得直线的解析式为，即，
∵，，
∴直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
51．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．先根据一次函数图象的平移规律可得平移后新的直线的解析式，再求出当时，的值，由此即可得．
【详解】解：将直线沿轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线的解析式为，即为，
将代入得：，
解得，
则平移后，新的直线与轴的交点坐标是，
故选：B．
题型18 判断一次函数的增减性
52．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知一次函数，且自变量x满足，则下列说法正确的是（）
A．时，函数y有最小值 B．时，函数y有最大值
C．函数y满足 D．函数y没有最大值，也没有最小值
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的解析式求得，结合给定自变量的范围求得函数值的范围即可．
【详解】解：∵一次函数，
∴，
∴y随x的增大而减小，
则当时，函数y有最大值，故A不符合题意；
当时，函数y有最小值，故B不符合题意；
当自变量x满足，函数y满足，故C符合题意，D不符合题意．
53．（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）已知点和点都在直线上，则与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一次函数的增减性分析即可．
【详解】解：∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴．
54．（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）已知一次函数，且自变量x满足，则下列说法正确的是（ ）
A．时，函数y有最小值7 B．时，函数y有最大值－5
C．函数y满足 D．函数y没有最大值，也没有最小值
【答案】C
【分析】先确定随着的增大而减小，即可求解函数的最值，即可求解的取值范围．
【详解】解：一次函数中，故随着的增大而减小，
∵
∴当时，，时，，
故函数y满足，
故C符合题意．
题型19 根据一次函数增减性求参数
55．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】一次函数的增减性由一次项系数的符号决定，需分情况讨论，结合x的取值范围确定最小值对应的自变量后代入求解．
【详解】解：当，即时，随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
代入解析式得 ，
解得 ，
∵，不符合．∴舍去；
当，即时，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，
代入解析式得 ，
解得 ，
∵，符合条件．
56．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A，均在直线上．若，则k的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
根据题意可知，随着的增大而减小，进一步得到，即可求出答案．
【详解】解：∵点A，均在直线上．，，
∴随着的增大而减小，
∴，
∴，
∴k的值可以为2，
故选：D．
57．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）当时，一次函数满足，则常数a的取值范围（ ）
A． B．且
C．且 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意，一次函数在上的值恒小于10，即函数在该范围的最大值小于10，因为一次函数的增减性由a的符号决定，故需分和两种情况讨论：当时，函数为增函数，在处取得最大值；当时，函数为减函数，在处取得最大值．分别使最大值小于10，结合即可求出a的取值范围．
【详解】解：当时，函数为一次函数，它是递减的，
当时，．
则有当，，
解得：，
故此时：；
当时，函数为一次函数，它是递增的，
当，，解得；
故可得此时，
综上所述，且．
故选：C．
题型20 由直线与坐标的交点求不等式的解集
58．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的图象与不等式的关系，正确理解函数图象是解题的关键．不等式即为轴下方的图象，根据图象直接解答．
【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴不等式的解集是．
59．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：观察函数图象可知，当时，的取值范围为．
60．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．随的增大而减小 D．当时，
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可．
【详解】解：由图象知，，且随的增大而增大，故A、C选项错误；
图象与y轴负半轴的交点坐标为，所以，B选项正确；
当时，图象位于x轴的上方，则有，D选项错误，
故选：B．
题型21 根据两条直线的交点求不等式的解集
61．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了根据两直线的交点求不等式的解集．求出一次函数与的图象交于点，根据两直线的位置关系即可求出答案．
【详解】解：把代入得到，
解得，
∴一次函数与的图象交于点，
由图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的下方，
∴当时，的取值范围是，
故选：C
62．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据两直线的交点求不等式的解集，根据两直线的交点为，并结合函数图象即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，
∴结合图象可得，当时，直线位于直线的上方，
∴关于的不等式的解集是，
故选：D．
63．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据函数图象求不等式组的解集．
直接根据函数图象作答即可．
【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为．
故选：B．
题型22 图像法解二元一次方程组
64．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：联立两直线解析式，得，
解得，
∴直线与直线的交点坐标是．
65．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确；
②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确；
③．由图象可知：当时，，故选项③错误；
④．由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；故选项④正确；
故正确的有①②④共三个，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
66．（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可．
【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2），
∴方程组的解是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
题型23 三角形的分类
67．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角．
故选：D．
68．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，，则该三角形为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和．
设，则，利用三角形内角和定理求出各角，再根据角度判断三角形类型即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴是钝角三角形．
故选：C．
69．（25-26八年级上·安徽六安·期末）在下列条件：；；；：：：：中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是灵活利用三角形内角和定理求得内角的度数．根据三角形的内角和是，逐个判断即可．
【详解】解：①由、可得，即，为直角三角形；
②由、可得，即，，是直角三角形；
③由、可得，即，，不是直角三角形；
④由，可以设，，，由可得：，解得，则，，，为直角三角形；
能确定为直角三角形的有3个．
故选：C．
题型24 等腰三角形的定义
70．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）机器人社团要制作三角形机械臂，现有2根金属连杆，长度分别为、，以下长度的金属连杆中，可以与其构成等腰三角形机械臂的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：等腰三角形的两边分别为和，
当腰为时，不能构成三角形，故舍去；
当腰为时，满足题意，故选项D符合题意．
71．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题分3为腰长和3为底边长两种情况讨论，计算对应边长后求出“优美比”，同时根据三角形三边关系验证能否构成三角形，即可得到结果．
【详解】解：分两种情况讨论：
①当为腰长时，
∵等腰的周长为，
∴底边长 ，
∵，满足三角形三边关系，
∴“优美比”为；
②当为底边长时，
∵等腰的周长为，
∴腰长，
∵，满足三角形三边关系，
∴“优美比”为；
综上，该等腰三角形的“优美比”是或．
72．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知等腰三角形中一个内角的度数为，则该等腰三角形底角的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．分顶角为和底角为，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为时，则底角的度数为；
当等腰三角形的底角为时，则底角的度数为，
综上所述，该等腰三角形的底角度数为或，
故选：B．
题型25 三角形三边关系的应用
73．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系．
根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，推导x的取值范围即可．
【详解】解：∵ 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∴，
∴ x的取值范围为，
选项D满足，
故选：D．
74．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由三角形的三边关系得到，继而得到，解得，即可得到答案．
【详解】解：分别为三角形的三边，
，
，，
，
解得：，
故选：A．
75．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【分析】本题考查三角形形状的判定，因式分解，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质．
通过因式分解关系式，讨论可能情况，结合三角形三边关系排除不可能情形，最终确定三角形形状．
【详解】解：∵ ，
∴，
∴若，则，为等腰三角形；
若，则，不符合三角形三边关系，舍去；
综上，三角形为等腰三角形，
故选：C．
题型26 与角平分线有关的三角形内角和问题
76．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在△中，与的角平分线交于点Ⅰ，若，，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线与三角形内角和．熟练掌握角平分线有关计算，三角形内角和定理 ，是解题的关键．利用角平分线的定义，将和平分得到中的两个角，再根据三角形内角和定理计算．
【详解】∵平分，，
∴．
∵平分，，
∴．
在中，
∴．
故选：D．
77．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，的平分线BE，CD相交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据角平分线的定义求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，最后结合邻补角的性质求出的度数．
【详解】因为是的角平分线，且，根据角平分线的定义（将一个角分成两个相等的角），可得．
因为是的角平分线，且，同理可得．
在中，根据三角形内角和定理，可得．
由于与是邻补角，因此．
综上，的度数为，故选 ．
【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理及邻补角的性质．解题关键是通过角平分线拆分角度，再利用三角形内角和或邻补角关系推导目标角的度数．
78．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角的平分线，高线，三角形内角和定理解答即可．
本题考查了角的平分线，高线，三角形内角和定理，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
故选：A．
题型27 三角形折叠中的角度问题
79．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得，，，
∴，，
，
∴
，
∴．
80．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查折叠中的三角形的内角和问题，根据折叠的性质，得到，根据平角的定义，三角形的内角和定义，进行求解即可．
【详解】解：∵翻折，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
81．（23-24八年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，点D，E分别是上两点，将沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，翻折的性质，解题的关键是掌握以上性质．
根据翻折的性质得出相等的角，然后利用周角、平角以及三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
题型28 与三角形的高有关的计算问题
82．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
【答案】B
【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】解：∵为的中线，为的中线，
∴，
设中边上的高为，
∵的面积为，
∴，
∴.
83．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的面积，三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．
根据高和面积求出三角形的底边，然后根据三角形中线的性质进行求解即可．
【详解】解：∵是的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴．
故选：B．
84．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键．
连接，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
题型29 三角形角平分线的定义
85．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
是的角平分线，是的角平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C ．
86．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（ ）
A．是的角平分线 B．为边上的高
C．是边上的中线 D．为的高线
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确；
B．∵，为边上的高，正确；
C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确；
D．∵，为的高线，正确；
故选C．
87．（20-21八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，是的角平分线，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，最后利用垂线的定义可得，进而解答即可．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义．熟练掌握上述知识是解题关键．
88．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了三角形面积及中线的性质，根据面积及高求出底边，再利用中线的性质解决问题是解题的关键．根据三角形的面积及高求得底边的值，再利用中线的性质即可求得结果．
【详解】解：由题意得，
，
，
又为的中线，
，
，
，
故选：B．
题型30根据三角形的中线求线的长度或面积
89．（25-26八年级上·广东肇庆·阶段检测）如图，是的中线，E是的中点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据中点的定义以及三角形中线的性质，逐项分析判断即可得出答案．
【详解】解：∵E是的中点，
∴，故选项A结论正确，不符合题意；
∴，故选项C结论正确，不符合题意；
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，故选项B结论正确，不符合题意；
由题意无法证明，故选项D结论错误，符合题意；
故选：D．
90．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知点D，E，F分别为线段中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．
根据三角形中线的性质得出相等的边，然后得出三角形面积的关系进行求解即可．
【详解】解：∵点F是的中点，
∴，
∵的底是的底是，高相等，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积等于，
∴阴影部分的面积为．
故选：A．
题型31三角形的外角的定义及性质
91．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，与在直线同侧，点P在线段上．已知，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的外角的性质可得，进而在中，根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，．
92．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和求解即可．
【详解】解：．
93．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
∴，
∴．
故选：D
题型32 坐标系中的动点问题
94．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．
(1)求点C的坐标；
(2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，当时，；当时，
【分析】本题考查了算术平方根与绝对值的非负性，平移性质，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）根据算术平方根与绝对值的非负性求出点B坐标，再结合平移性质进行求解，即可得到点C的坐标；
（2）根据题意分以下两种情况讨论：当点P在线段上运动时，当点P在线段上运动时，再结合建立方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：，
，
解得，
点，
，
根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3，
∵垂直x轴，
∴垂直x轴，
∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4，
点C的坐标为；
（2）解：存在，
根据题意分以下两种情况讨论：
当点P在线段上运动时，点P的坐标为，则，如图，
∵，，
∴，
∵，点，
∴，
解得，
∴；
当点P在线段上运动时，点P的坐标为，即，如图，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，点，
∴，
解得，
∴，
∴此时．
综上所述，当时，；当时，．
95．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，．
(1)求点A、B、C的坐标．
(2)如图2，设D为线段OB上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数；（点E在x轴的正半轴）．
(3)如图3，当点D在线段OB上运动时，作交BC于M点，、的平分线交于N点，则点D在运动过程中，的大小是否会发生变化?若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)、，
(2)
(3)不变，
【分析】（1）根据实数的非负性，结合图形的面积，点所在象限，计算点C的坐标即可．
（2）根据角的平分线定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理计算即可．
（3）过点D作，过点N作，利用平行线的判定和性质，角的平分线的定义，解答即可．
【详解】（1））∵，
∴，，
解得，，
∴、．
∴，．
∵，
∴，
解得，，
∵C在第四象限，
∴；
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵平分，平分，
∴，
∴；
（3）在图3中，，大小不会发生变化，
理由如下：过D作，，则．
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵AN平分，MN平分，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了实数的非负性，平行线的判定和性质，垂直的应用，角的平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
96．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1)___________，___________，和的位置关系是___________；
(2)如图，当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为秒．
①请分别用含的式子表示和的面积；
②若，求出点的坐标；
(3)在、的运动过程中，当时，请求出和的数量关系．
【答案】(1)，，平行
(2)①；②；
(3)或．
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出、，得到点、、的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系；
（2）①过点作于，设时间经过秒，则，，，，，根据，，代入即可求解；
②根据，由①得，求解得，即可求得、值，从而得出点坐标；
（3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，，，
；
（2）解：①过点作于，
设时间经过秒，，则，，，，，
，，
②，
，
解得，，
，
，
点的坐标为；
（3）解：或．
理由如下：
①当点在点的上方时，过点作，如图2所示，
，
，，
，
，
，即；
②当点在点的下方时；过点作如图3所示，
，
，，
，
，
，
，
即，
综上所述，或．
【点睛】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
题型33 坐标规律探索的综合
97（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位，其行走路线如图所示．
(1)写出点，，，的坐标（是正整数）；
(2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向．
【答案】(1)，，，
(2)，向右
【分析】（1）观察图形可知，在y轴上，，，，都在x轴上，即可得出，，，的坐标；
（2）确定每四个点一循环，用，由余数确定的位置，最后得出到的移动方向．
【详解】（1）解：由图可知，，，都在x轴上，
∵小蚂蚁每次移动1个单位，
∴，，
∴，，；
∴，
∴点的坐标；
（2）解：，
观察知：
余数为1时，，，的坐标为；
余数为2时，的坐标为；
余数为3时，的坐标为；
整除时，的坐标为，
∵，
∴，
横坐标为，纵坐标为1，
∴，
∵是余数为1的点，坐标为，
∴到的移动方向是向右移动．
98．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题：
(1)请写出点，，的坐标；
(2)请你写出点，，的坐标；
(3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式．
【答案】(1)，，
(2)，，
(3)
【分析】本题考查了坐标系中点的规律，函数关系式，解题的关键是正确从坐标系中找出点的规律．
（1）根据坐标系即可求解；
（2）可得三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2，据此规律求解即可；
（3）由题可知时，，时，，时，，…，即可得．
【详解】（1）解：点，，，，，，…按照此规律，可得，，；
（2）解：由图可知，三个点是一个循环，且第i个点的横坐标为，每次循环的纵坐标分别为2，3，2，
，
，，；
（3）解：由题可知时，，时，，时，，…，
可得．
99．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______．
(2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______；
(3)的面积为______
【答案】(1)，，48
(2)，
(3)
【分析】此题考查了坐标规律的探索，解题的关键是根据已知点的坐标，总结出点的坐标规律．
（1）根据、、的坐标求出的坐标即可，根据、、的坐标求出的坐标即可；
（2）根据前几个点的坐标，总结出规律分别求出、的坐标即可；
（3）根据三角形面积公式以及、的坐标，求解即可．
【详解】（1）解：、、．
的横坐标为：，纵坐标为：3．
故点的坐标为：．
又、、．
的横坐标为：，纵坐标为：0．
故点的坐标为：．
的面积为
故答案为：，，48；
（2）解：由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3．
故的坐标为：，
由、、，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0．
故的坐标为：；
故答案为：，；
（3）解：的坐标为：，的坐标为：，
的面积为．
故答案为：．
题型34 一次函数围成图形面积问题
100．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，经过点，的直线：与直线：相交于点，已知点的纵坐标为2．
(1)求直线的表达式及点的坐标；
(2)根据图象，直接写出当时，的取值范围；
(3)记与轴的交点为，若点在直线上，且，求点的坐标．
【答案】(1)直线的表达式为，点的坐标为
(2)
(3)或
【分析】（1）将，两点坐标代入解析式求出直线表达式，再把点纵坐标代入，算出横坐标得到点坐标；
（2）观察图像，以两直线交点的横坐标为分界，直接读出不等式对应的取值范围；
（3）先求出解析式与点坐标，算出的面积，再根据面积关系列出方程求出点纵坐标，代回得到的完整坐标．
【详解】（1）解：将点，代入直线：，
得方程组，解得，
故直线的表达式为．
已知点M在上，且纵坐标为2，
令，则，
解得．
故点的坐标．
（2）解：借助图象可得直线在直线上方时，自变量的取值范围为，
所以当时，的取值范围是．
（3）解：已知点在直线：上，
则，解得
已知与轴的交点为，
则令，代入，得，
解得，
所以
因为，点M的纵坐标为2，
所以，
所以，
所以，
设在上，即，
，则，
解得，即或，
当时，代入直线中，
则，解得，故；
当时，代入直线中，
则，解得，故．
综上，点的坐标为或．
101．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)根据图象，直接写出不等式组的解集．
【答案】(1)直线为，直线；
(2)3；
(3)．
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键．
（1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可；
（2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可；
（3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解．
【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点，
∴将代入直线中，得，即，
将代入直线中，得，即，
∴直线为，直线．
（2）解：连接，
∵直线与轴和轴相交于点和点，
∴当时，解得，即点，，
当时，得，解得，即点，，
∵直线与轴相交于点，
∴当时，得，解得，即点，，
∴，
∴．
（3）解：法一：
依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，
∵，
∴结合函数图象可得，．
法二：
∵，
∴，
得，
由①得，
，
，
，
由②得，
，
，
综上，．
102．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点．
(1)求点的坐标和直线的解析式；
(2)判断的形状；
(3)若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)等腰直角三角形；
(3)或
【分析】（）先求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）求出点坐标，可得，即得，同理得，即得，即可求解；
（）求出点坐标，即得，即得到，设，再分点在轴下方和上方两种情况解答即可求解；
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定，掌握一次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵为直线上一点，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
将点代入，得，
解得．
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，令，得；令，得，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
同理在直线：中，可得，
∴
∴是等腰直角三角形；
（3）解：∵直线与轴的交点为，
∴，
∴，
∴，
设，
①当点在轴下方时，，
解得，
∴点的坐标为；
②当点在轴上方时，，
解得，
∴点的坐标为；
综上，当的面积等于面积两倍时，点的坐标为或．
题型35 一次函数图象综合题
103．（2023八年级上·安徽合肥·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，．
(1)求直线的解析式；
(2)一次函数（为常数）．
①求证：一次函数的图象一定经过点；
②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
①证明：把代入得，，
∴图象必经过点；
②且
【分析】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特点，熟知以上知识是解题的关键．
（1）设过的直线的解析式为，再把A，B两点的坐标代入求出k，b的值即可；
（2）①把代入一次函数，求出y的值即可得出结论；②分别把B，C两点的坐标代入一次函数，求出a的值，再把时代入函数，据此可直接得出结论．
【详解】（1）解：设过的直线的解析式为，
∵，，
∴，解得，
直线的解析式；
（2）①略
②解：一次函数的图象与线段有交点，
把代入直线得：，
∴，
把代入直线得：，
∴，
当时，不是一次函数，
综上：a的取值范围为：且．
104．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1．
(1)求直线的表达式；
(2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点，
①求证：；
②求的度数．
【答案】(1)
(2)
①证明：记与y轴交点为点Q，如图，
∵为的角平分线，为的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中，
有，
即，
即，
∵，
∴；
②
【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，一次函数图象平移，角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是由角平分线的性质得到角度的关系．
（1）先由待定系数法求解直线的表达式，再由向上平移3个单位长度即可得直线的表达式；
（2）①根据角平分线的性质，可得，再由平行线的性质可得，再根据三角形内角和性质可得，由此可证；
②根据直角三角形可得，再由三角形内角和性质可得，再由角度相等转化求解度数即可．
【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，，
设直线的表达式为，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
∵点向上平移3个单位得到点，且，
∴，
即直线的表达式为；
（2）解：①略；
②连接，如图，
在中，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
由①可知，，
∴．
105．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接．
(1)请直接写出与的位置关系；
(2)请应用（1）中结论求证：；
(3)连接，若点，请直接写出三角形的面积．
【答案】(1)
，
证明：∵，C、D两点的纵坐标相同，
∴CD平行x轴，即；
(2)
证明：∵，
∴，
∵，∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°，
∴；
(3)10．
【分析】（1）根据纵坐标相同的两点的连线平行于x轴，即可证明；
（2）根据和平行线的性质，利用三角形内角和定理即可证明；
（3）设CE的函数关系式为y=kx+b，求出点B的坐标，根据求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）设CE的函数关系式为y=kx+b，
代入点C（0，5），E（2，1），
得：，
解得：，
∴CE的函数关系式为，
当y=0时，x=，
即点B（，0），AB=，
∴．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
题型36 一次函数的实际应用分配方案问题
106．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍．
(1)求、两种道具包的单价；
(2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答）
【答案】(1)道具包的单价为元，道具包的单价为元；
(2)购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．
【分析】（1）设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍为相等关系列出方程求解即可
（2）设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，道具包的总采购价格道具包的总采购价格，进而根据学校预算不超过元，道具包数量不高于道具包数量的倍可得自变量的取值范围，那么根据函数的增减性和自变量的取值范围可得最低采购成本．
【详解】（1）解：设道具包的单价为元，则道具包的单价为元，
，
解得：，
经检验：是原方程的解．
∴．
答：道具包的单价为元，道具包的单价为元；
（2）解：设购买总成本为元，购买道具包个，道具包个，
得：，
∵，
∴随的增大而减小，
由题意得：，
解得：，
∴当时，最小，，
∴．
答：购买道具包个，道具包个，总采购成本最低，最低成本是元．
107．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元．
(1)请求出与的函数关系式；
(2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)
(2)购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）根据题意易得购买型健身器材套，然后可列函数解析式进行求解；
（2）根据题意易得，然后由及一次函数的增减性可进行求解．
【详解】（1）解：若型健身器材买套，则型健身器材套，
由题意得：，
即与的函数关系式为（，且x为整数）；
（2）解：由题意可知，，由可知，总费用为：，
随的增大而减小，
当时，有最小值，
即若型健身器材买套，
则型健身器材买套，
答：购买型健身器材套，型健身器材套才能使总费用最少．
108．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
地区
元
元
地区
元
元
(1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式；
(2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案；
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由．
【答案】(1)
(2)三种分配方案，方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区
(3)
派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高，
理由：，
∵,
∴随的增大而增大，
且为整数，
当时，取得最大值，此时，
派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高．
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台，每种情况乘以相应的租金，然后相加即可得关系式；
（2）由题意可得，，求出整数解，得到分配方案；
（3）利用一次函数的增减性求出函数在自变量范围内的最值即可．
【详解】（1）解：设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台，
；
（2）解：由题意可得，
，
得，
，为整数，
、、，
有三种分配方案，
方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；
方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；
方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；
（3）略
题型37 一次函数的实际应用最大利润问题
109．（26-27八年级上·安徽·阶段检测）某商场计划最多投入元用于购进A、B两种商品共件，其中购进A种商品x件，售完这件商品的总利润为y元．这两种商品的进价和售价如下表：
商品
A
B
进价（元/件）
售价（元/件）
(1)求y关于x的函数关系式．
(2)问商场可获得的最大利润是多少元？
【答案】(1)y与x的函数关系式为
(2)商场可获得的最大利润是元
【分析】（1）根据条件A、B两种商品共购进件，且A种商品购进了件，求出B种商品购进了件，根据总利润等于A种商品利润加B种商品利润即可列出y关于x的函数关系式．
（2）根据商场最多投入元用于购买这两种商品，列出不等式，解出即可得的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出商场可获得的最大利润．
【详解】（1）解：∵A、B两种商品共购进件，且A种商品购进了件，
∴B种商品购进了件，
∴总利润，
∴y与x的函数关系式为．
（2）解：∵商场最多投入元用于购买这两种商品，
∴，解得：，
由（1）得：，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，，
∴商场可获得的最大利润是元．
110．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如下表：若施甲种化肥每亩利润为（元），施乙种化肥每亩利润为（元），设该种农作物每千克单价（元），已知，施肥前每亩产量为．
化肥种类
化肥单价元
所需化肥数量/亩
每亩地增产
甲
5.2
40
150
乙
2.5
40
120
(1)求出，与之间的函数表达式．
(2)选用哪种化肥合算？
(3)为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利a元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则a的最小值为__________．
【答案】(1)与之间的函数表达式为，与之间的函数表达式为
(2)当时，选择乙化肥更合算；当时，选择甲、乙化肥一样合算；当时，选择甲化肥更合算
(3)
【分析】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式以及一次函数的性质，解题的关键是正确列出函数解析式并加以分析．
（1）根据数量关系找到、与x之间的函数表达式即可；
（2）当时，算出两者利润相同时x的值，再考虑和时的结果即可；
（3）根据题意得，从而得到，再根据，即可求出最终结果．
【详解】（1）解：由题意知，每亩利润=每亩农作物总售价每亩所用化肥总价，
则施甲肥每亩利润的表达式为：，
施乙肥每亩利润的表达式为：；
（2）①当时，即，
解得；
②当时，即，
解得；
③当时，即，
解得．
综上所述，当时，选择乙化肥更合算；当时，选择甲、乙化肥一样合算；当时，选择甲化肥更合算；
（3）解：根据题意得，
整理得．
因为，，
所以当时，取最大值，
所以，所以的最小值为．
故答案为：．
111．（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共90个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中．
品名
厂家批发价（元/个）
商场零售价（元/个）
篮球
100
128
足球
80
105
(1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式；
(2)该商场把这90个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；
(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将90个球全部卖出获得的最低利润是1860元，求的值．
【答案】(1)（）
(2)商场能获得的最大利润为2400元
(3)
【分析】（1）根据题意列函数解析式即可；
（2）设商场能获得的利润为元，根据题意列出函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可；
（3）设利润为元，根据题意，列出函数关系式，分、和三种情况，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
∴函数关系式为（）；
（2）解：设商场能获得的利润为元，
根据题意得，
，
随的增大而增大，
，
∴当时，取最大值， ，
即商场能获得的最大利润为2400元；
（3）解：设调整后的总利润为元，
根据题意得，
当，即时，随增大而增大，最小值在处取得，代入得，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，随增大而减小，最小值在处取得，代入得，解得，符合题意；
当，即时， ，不符合题意，舍去；
综上，．
题型38 一次函数的实际应用分段计费问题
112．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）周末小明一家准备打车从小区出发去城市公园游玩．当地出租车收费标准：3千米及以内收取起步价10元；超过3千米的部分，每千米收费2元（不足1千米按1千米计费）．设计费里程为（为正整数），车费为元．
(1)写出与的函数关系式；
(2)若小区到公园路程为，求小明打车需要支付的车费；
(3)若小明某次打车付车费20元，请算出本次乘车最远可以行驶多少千米．
【答案】(1)
(2)16元
(3)8千米
【分析】（1）分和两种情况写出函数解析式即可；
（2）根据不足按计费，按收费求解即可；
（3）先根据小明某次打车付车费20元判断行驶的路程，再代入求解．
【详解】（1）解：当时，；
当时，，
∴与的函数关系式为；
（2）解：不足按计费，按收费，，
∴当时，，
答：小明打车需要支付的车费为16元；
（3）解：∵，
∴，
∴当时，，，
答：小明本次最远可以行驶8千米．
113．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）为了鼓励居民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费y（单位：元）与用电量x（单位：）之间的函数图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)若小明家8月需缴电费159元，求小明家8月的用电量．
【答案】(1)
(2)小明家8月的用电量为
【分析】（1）根据图象分别设出和时的函数解析式，再用待定系数法求解即可；
（2）根据图象可以判断电费159元在的函数图象上，将函数值代入求解即可．
【详解】（1）解：由图可知，图像分两段和，
①当时，设函数表达式为，代入得
，
解得，
∴；
②当时，设函数表达式为，代入、得
，
解得，
∴；
综上，；
（2）解：∵，
∴适用计算，
把代入，得
，
解得．
答：小明家8月的用电量为．
114．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）某水果批发商销售草莓，规定一次性购买质量不超过千克时，单价为元每千克；一次性购买质量超过千克时，超过千克的部分，单价降为元每千克．设购买量为千克，总付款元．
(1)写出与的分段函数表达式；
(2)若顾客一次性购买千克草莓，需要付款多少元？
(3)若顾客一次性付款元，求购买草莓的千克数．
【答案】(1)
(2)需要付款元
(3)购买草莓千克
【分析】（1）要分两种购买情况讨论，①当购买量不超过，也就是时，全部草莓单价都是元千克，根据总付款单价数量，可以得到答案；②当购买量超过，也就是时，付款分成两部分：前千克和超出千克的部分千克，再根据它们的单价，即可得到答案；
（2）先判断属于哪一段，因为，所以代入第二段解析式，把代入式子计算即可；
（3）先计算购买千克的最多花费：元，付款，说明购买重量超过，使用第二段函数，令，列方程：即可解答此问．
【详解】（1）解：当时，；
当时，
；
分段函数：
（2）解：，代入得：
，
答：需要付款元．
（3）购买千克的费用：元，
，所以，代入得：
，
，
，
答：购买草莓千克．
题型39 一次函数与方程不等式综合
115．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
(2)结合图像回答下列问题：
①求方程的解．
②当时，则x的取值范围为 ．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）取两点，当时，，当时，，则经过两点，过这两点作直线即可；
（2）①根据图像即可求解；
②构造不等式即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：①方程的解就是与的交点，则；
②当时，
则，
解不等式得：．
116．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知直线经过点A为，点B为，且a，b满足．
(1)求出直线的函数表达式；
(2)利用函数图象解答下列问题：
①若点M在直线上，且点M的纵坐标为4，直接写出点M的横坐标；
②直接写出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)①点M的横坐标是；②
【分析】（1）根据平方与算术平方根的非负性求出a、b，得到A、B两点坐标，代入解析式求出k，d．
（2）①把代入函数解析式求出对应的；②不等式即，找函数值大于等于4对应的取值．
【详解】（1）解：，，
，，
解得，，
，，
把，代入，得：
，
把代入，，
解得
直线的函数表达式为．
（2）解：①把代入，
解得，
点的横坐标为．
②不等式变形为，
也就是求函数的函数值大于或等于时自变量的范围，
结合图象可得解集为．
117．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．
(1)求出点的坐标；
(2)结合图象，直接写出时的取值范围；
(3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)当时，
(3)点坐标为或
【分析】本题考查了一次函数图象和性质，解题的关键是熟练运用一次函数知识，用待定系数法求解析式，结合一次函数的性质求点的坐标．
（1）把，分别代入两个解析式，求出，的解析式，联立两个解析式，解方程组即可；
（2）观察图象直接判断即可；
（3）根据求出点的纵坐标，代入解析式求解即可．
【详解】（1）解：由题意，过点，
，
解得,
，
又过，
，
解得，
，
联立方程组得，，
，
；
（2）由图象可得：当时，；
（3）由（1）知，，，
，
，
设点坐标为，
，
，
，
当时，，
，
点坐标为；
当时，，
，
点坐标为；
综上，点坐标为或．
题型40 一次函数的新定义问题
118．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点．
(1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________；
(2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标；
(3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)点或
(3)
【分析】本题考查了新定义“关联点”的理解与应用，熟练掌握一次函数的性质和分类讨论是解答本题的关键．
（1）根据“关联点”的定义可求出给定两点的“关联点”；
（2）分别代入和求出与之对应的x值，结合“关联点”的定义可得出点M的坐标；
（3）先根据“关联点”的定义分情况讨论的表达式，再结合的取值范围确定a的取值范围．
【详解】（1）解：根据题意得，点的“关联点”是，点的“关联点”是，
故答案为：；
（2）解：当时，点，
则，解得：；
当时，点，
，解得：，
∴点或；
（3）解： ∵点P在函数的图像上，
∴设点P的坐标为，
当时，其关联点的纵坐标，
∵，
∴随x的增大而增大，
∴，
当时，其关联点的纵坐标，
此时，
综上，要使“关联点”的纵坐标的取值范围是，
a须满足且，
解得．
119．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，对点和点，给出了定义：若，则称Q为点P的关联点．例如：点的关联点的坐标是．
(1)点的关联点的坐标是________，点的关联点的坐标是________；
(2)若点，均是一次函数图象上某一个点的关联点，求k和c的值；
(3)若点P在函数的图象上，其关联点Q的纵坐标的取值范围是，则m的取值范围是________．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】本题以新定义为背景，考查了一次函数的性质、点的坐标变换，根据a的范围分类讨论求是解题的关键．
（1）根据“关联点”的定义求解即可；
（2）根据“关联点”的定义求解即可；
（3）根据“关联点”的定义求解即可；
【详解】（1）解：对于点，，
根据关联点的定义，这里，所以，
则点的关联点的坐标是；
对于点，，
根据关联点的定义，这里，所以，
则点的关联点的坐标是；
（2）解：已知点)是一次函数图象上某一个点的关联点，
因为，根据关联点的定义，所以关联点的纵坐标，
所以，关联点坐标为，代入可得：，
解得；
已知点是一次函数图象上某一个点的关联点，
因为，根据关联点的定义，所以原点的纵坐标，
设关联点坐标为，代入可得，
解得；
（3）解：当点Q在，
如图，取点，点或，点或
当时，，当时，
时，，
而当时，，
，
故答案为：．
120．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”．
(1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值；
(2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点．
①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值；
②若，点在点的上方，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，二元一次方程组，一元一次不等式的求值，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，对于①则有，由此化简即可求解；对于②则有点的横坐标为，纵坐标为，根据点在点的上方，可得，由此化简即可求值．
【详解】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵函数与的图象相交于点，
∴，
解得，，
∴，
根据题意，设函数、的“星辰函数”为，
①∵点在“星辰函数”上，
∴，整理得，，
∵，
∴，
∴；
②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∵点在点的上方，
∴，
∴，
∵，则，
∴
∴．
题型41 三角形中的动点问题
121．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，平分，交于点，动点在射线上（不与点重合），过点作交线段于点（不与点，重合），的平分线所在的直线与射线交于点．
(1)如图①，当点在线段上时．
①若，，的度数为______．的度数为______；
②求证：；
(2)当点在线段的延长线上时，在图②中画出图形并直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)①，；
②证明：平分，
．
，
．
．
平分，
．
．
(2)
点在线段的延长线上时，画图如下：
【分析】（1）①根据角平分线的定义求得的度数，再根据平行线的性质定理可求得和的度数．根据角平分线的定义得到的度数，最近利用三角形外角和定理即可得到的度数．
②根据①中推到可知：，，利用三角形外角和定理得到，再根据三角形内角和性质定理推导即可．
（2）根据题意画出图形，根据角平分线的定义与平行线的性质定理可得， ，利用三角形外角和定理可得，再代入根据三角形内角和推导即可．
【详解】（1）①平分，，，
．
，
．
．
平分，
．
．
②略
（2）解：，
如图，点在线段的延长线上．
平分，
．
，
，，
．
平分，
．
．
【点睛】本题通过三角形内角和定理、角平分线的性质以及平行线的性质定理，巧妙的构建角之间的关系．关键在于对定理的灵活运用以及逻辑推理的严密性．
122．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．
(1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______；
(2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）；
(3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由．
【答案】(1)61
(2)
(3)∠F的大小不变，
【分析】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义．
（1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可；
（3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可．
【详解】（1）
分别为，的平分线
故答案为：61．
（2），
分别为，的平分线
故答案为：．
（3）的大小不变，．
理由如下：
又是的平分线，是的平分线，
．
123.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，点D，E分别是边上的点，点F是直线上一动点，设，，．
(1)如图1，若点F在线段上，且，求的度数；
(2)若点F在线段的延长线上．
（i）如图2，当点D位于上方时，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（ii）如图3，当点D位于下方时，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
（i）.
理由：如图2，设与相交于点G
∵，
∴
（ii）.
理由：如图3，设与相交于点G
∵，
∴
∵，
∴
∴
【分析】（1）连接，利用三角形的外角的性质求解即可；
（2）（i）利用三角形的外角的性质求解即可；（ii）利用三角形的外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，
由三角形的外角性质，得，，
∴
（2）（i）略
（ii）略
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形的外角的性质．
题型42 三角形的内角外角综合问题
124．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知相交于点．
(1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数；
(2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论；
（2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论．
【详解】（1）解：，，，
，
，，
．
平分交于，平分交于，
，．
，，
，
．
（2）解：，平分交直线于，
，
，，
．
124．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）已知：，点A，B分别在，上运动（点A，B不与点O重合），点D在的外部，连接，射线经过点B．
(1)如图1，若，平分，平分，则的度数为________；
(2)如图2，若，，，求的度数；
(3)如图3，若，，求的度数（用含，n的代数式表示）．
【答案】(1)45
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形的外角的性质以及角平分线的定义推出即可得出结果；
（2）同（1）法即可得出结果；
（3）同（1）法即可得出结果.
【详解】（1）解：，
．
，
．
∵平分，平分，
，，
；
（2）解：，
．
．
，，
；
（3）解：
．
，
．
，，
．
125．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）课本再现：
(1)如图1，已知直线，c是截线，则_____．
(2)如图2，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．求证：．
拓展应用：
(3)如图3，已知，在的平分线上取两个点M，N，使得，求证：．
【答案】(1)
(2)证明：平分，
．
，
．
，
．
(3)证明：如图，过点N作，交于点G，则，
，．
是的一个外角，
．
又，，
，
．
平分，
，
．
【分析】（1）根据平行线的性质解答即可；
（2）根据角平分线的定义以及三角形外角的性质可得，即可求证；
（3）过点N作，交于点G，则，根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求证．
【详解】（1）解：∵，c是截线，
∴；
（2）略
（3）略
题型43三角形中的探究问题
127．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”，
(1)如图①，在规形中，若，，，则______°；
(2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°；
(3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)20
(2)54
(3)
解：；理由如下：
如图3，
由（1）知，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴
即．
【分析】（1）连接，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出、，即可得出，根据，，，即可得出答案；
（2）根据翻折得出，，根据三角形内角和得出，在根据，列出关于的方程，解方程即可得出答案；
（3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出，，根据，，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，连接，并延长到点E，
则、，
∴，即，
∵，，，
∴，
故答案为：20；
（2）解：∵将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）略
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
128．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，和有一条公共边，平分，平分．
(1)如图1，若点是与的交点，且，，
①直接写结果：的度数是______；
②求的度数；
(2)如图2，点，分别是射线和上的动点，点在与外，当时，请探究与，之间的数量关系．
【答案】(1)①；②；
(2)．
【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理．
（1）①利用三角形的外角性质求得，据此计算即可求解；
②同①利用三角形的外角性质求得，再利用三角形内角和定理求得，据此列式计算即可求解；
（2）设，，，，利用角平分线的定义求得，，再根据三角形内角和定理列式计算即可得到．
【详解】（1）解：①∵，，，
∴，
故答案为：；
②∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设，，，，
∵平分，平分，
∴，，，
∵，即，
∴，即，
∵，，
∴
．
即．
129．（25-26八年级上·广西柳州·期中）实验与探究
某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点．
(1)若如图所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______；
(2)若如图所示，点在内部，，求的度数；
(3)若如图所示，点在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请证明．
【答案】(1)
(2)
(3)
．
证明：连接，如下图所示：
由折叠可知，，
∴，
又∵，
∴，
同理可得，，
又∵，
∴，
∴．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、等边对等角、三角形外角的性质，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．
（1）由折叠的性质可得，再由三角形外角的性质可得出数量关系．
（2）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相加即可求解．
（3）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相减即可证明其数量关系．
【详解】（1）解：∵点D恰好在上，
∴C，D，N三点在一条直线上，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
故答案为：．
（2）连接，如下图所示：
由折叠可知，，
，
又∵，
∴，
同理可得，，
又∵，
∴，
∵，
∴．
（3）略
$专题 期中压轴题汇总
选填常考题
题型23 三角形的分类
题型1 用有序数对表示位置
题型24 等腰三角形的定义
题型2 用方向角和距离确定物体的位置
题型25 三角形三边关系的应用
题型3 求点到坐标轴的距离
题型26 与角平分线有关的三角形内角和问题
题型4 已知点所在的象限求参数
题型27 三角形折叠中的角度问题
题型5 求平移后的坐标
题型28 与三角形的高有关的计算问题
题型6 已知图形的平移、求点的坐标
题型29 三角形角平分线的定义
题型7 点坐标规律探索
题型30根据三角形的中线求线的长度或面积
题型8 用关系表示变量的关系
题型31三角形的外角的定义及性质
题型9 函数的概念
解答压轴题
题型10 识别一次函数
题型32 坐标系中的动点问题
题型11 根据一次函数的定义求参数
题型33 坐标规律探索的综合
题型12 正比例函数的定义
题型34 一次函数围成图形面积问题
题型13 正比例函数的图象与性质
题型35 一次函数图象综合题
题型14 判断一次函数的图象
题型36 一次函数的实际应用分配方案问题
题型15 已知函数经过的象限求参数范围
题型37 一次函数的实际应用最大利润问题
题型16 一次函数图象与坐标轴的交点问题
题型38 一次函数的实际应用分段计费问题
题型17 一次函数图象的平移问题
题型39 一次函数与方程不等式综合
题型18 判断一次函数的增减性
题型40 一次函数的新定义问题
题型19 根据一次函数增减性求参数
题型41 三角形中的动点问题
题型20 由直线与坐标的交点求不等式的解集
题型42 三角形的内角外角综合问题
题型21 根据两条直线的交点求不等式的解集
题型43三角形中的探究问题
题型22 图像法解二元一次方程组
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题型1 用有序数对表示位置
1．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标表示，“士”的位置用坐标表示，那么“相”的位置用坐标表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·安徽宣城·阶段检测）如图中，点用数对表示是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在电影院里，如果用表示排号，那么排号可以表示为（ ）
A． B． C． D．
题型2 用方向角和距离确定物体的位置
4．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）下列数据中不能确定位置的是（ ）
A．电影票上的“5排8号” B．小明住在某小区3号楼
C．南偏西 D．东经，北纬的城市
5．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置，下列选项中正确的是（ ）
A．北偏东方向，距离小青家 B．北偏东方向，距离小青家
C．东偏北方向 D．东偏北方向，距离小青家
6．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）一艘轮船在港口的北偏西方向，距离港口处，若以港口O为观测点，用方位角和距离描述该船相对于港口的位置是（ ）
A．北偏东， B．北偏西，
C．北偏东， D．北偏西，
题型3 求点到坐标轴的距离
7．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）点到x轴的距离是（ ）
A．5 B．3 C． D．
8．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）若点在第三象限，且点到轴、轴的距离分别为3，2，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型4 已知点所在的象限求参数
10．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）若点在第三象限，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
11．（26-27八年级上·安徽六安·阶段检测）已知点在第二象限，且到两坐标轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．4 B． C．1 D．
12．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）若点在坐标轴上，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
题型5 求平移后的坐标
13．（25-26八年级上·安徽池州·期末）点向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）将点先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿 y 轴向下平移2个单位长度后得到点 ，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．（24-25九年级下·广东佛山·期中）把平面直角坐标系上一点向上平移个单位，这时它恰好在轴的正半轴上，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型6 已知图形的平移、求点的坐标
16．（26-27八年级上·安徽淮北·阶段检测）是由平移得到的，若点的对应点为，点的对应点为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
17．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段，若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
18．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型7 点坐标规律探索
19．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，对点定义变换，变换后的点为．例如变换得到；继续变换得到．连续重复该变换，则坐标为（ ）
A． B． C． D．
20．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
21．（26-27八年级上·安徽安庆·阶段检测）“冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题，但计算机已经证明了以下的每一个数字都符合这个规律．其内容为：对于任意正整数，若为奇数，则下一步计算；若为偶数，则下一步计算重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2026次运算，得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型8 用关系表示变量的关系
22．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）小深在周末进行骑行训练．他从家出发，以的速度匀速骑行，用时小时骑行千米．下列说法正确的是（ ）
A．10是常量，和是变量 B．10和是常量，是变量
C．10和是常量，是变量 D．以上说法均错误
23．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）“冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，下列说法正确的是（ ）
A．时间为常量 B．冰的厚度为常量
C．冰的质量为常量 D．时间和冰的厚度都为变量
24．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）在高处让一物体由静止开始落下，它下落的时间t（单位：s）与下落的高度h（单位：m）之间的关系如下表：
下落的时间
1
2
3
4
…
下落的高度
…
请根据表格中的数据估计当物体下落的时间为时，下落的高度是（ ）
A． B． C． D．
题型9 函数的概念
25．（25-26八年级上·安徽亳州·期中）下列图象中，表示是的函数的为（ ）
A． B． C． D．
26．（26-27八年级上·安徽·阶段检测）下列曲线中，能表示是的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
27．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）下列关系式中，y不是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型10 识别一次函数
28．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
29．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列函数∶ ①， ②， ③，④，其中是一次函数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A． B．
C． D．（是常数）
题型11 根据一次函数的定义求参数
31．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段检测）若函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
32．（22-23八年级上·安徽合肥·开学考试）已知函数为一次函数，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
33．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）已知函数是一次函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
题型12 正比例函数的定义
34．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）下列函数中，y是x的一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
35．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）如果函数是的正比例函数，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或2 D．2
36．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）若是正比例函数，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
题型13 正比例函数的图象与性质
37．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）若点在第二象限，则正比例函数的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
38．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知正比例函数经过点和，则x的值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
39．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例，且时，，则时，的值为（）
A． B． C． D．2
题型14 判断一次函数的图象
40．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
41．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）一次函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
42．（26-27九年级·全国·暑假作业）一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型15 已知函数经过的象限求参数范围
43．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）一次函数的函数值随的增大而增大，且图象不经过第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
44．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
45．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（ ）
A．， B．， C．， D．，
题型16 一次函数图象与坐标轴的交点问题
46．（25-26八年级上·安徽池州·期末）直线在轴上的截距是（ ）
A．2 B． C． D．
47．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）对于一次函数，下列判断错误的是（ ）
A．该函数的图象经过第二、三、四象限
B．该函数的图象在轴上截距为
C．该函数的图象与轴交于点
D．自变量的值每增加1，函数的值减小2
48．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知两个一次函数和的图象交于点，对于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．随的增大而减小 B．图象经过第一、二、三象限
C．图象与轴的交点的坐标为 D．图象经过点
题型17 一次函数图象的平移问题
49．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）将一次函数的图象向下平移3个单位长度后，得到的新图象的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
50．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，则直线不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
51．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型18 判断一次函数的增减性
52．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知一次函数，且自变量x满足，则下列说法正确的是（）
A．时，函数y有最小值 B．时，函数y有最大值
C．函数y满足 D．函数y没有最大值，也没有最小值
53．（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）已知点和点都在直线上，则与的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
54．（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）已知一次函数，且自变量x满足，则下列说法正确的是（ ）
A．时，函数y有最小值7 B．时，函数y有最大值－5
C．函数y满足 D．函数y没有最大值，也没有最小值
题型19 根据一次函数增减性求参数
55．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
56．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A，均在直线上．若，则k的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
57．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）当时，一次函数满足，则常数a的取值范围（ ）
A． B．且
C．且 D．
题型20 由直线与坐标的交点求不等式的解集
58．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
59．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
60．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．随的增大而减小 D．当时，
题型21 根据两条直线的交点求不等式的解集
61．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
62．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
63．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型22 图像法解二元一次方程组
64．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
65．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
66．（21-22八年级上·江西抚州·期末）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
题型23 三角形的分类
67．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
68．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，，则该三角形为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
69．（25-26八年级上·安徽六安·期末）在下列条件：；；；：：：：中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
题型24 等腰三角形的定义
70．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）机器人社团要制作三角形机械臂，现有2根金属连杆，长度分别为、，以下长度的金属连杆中，可以与其构成等腰三角形机械臂的是（ ）
A． B． C． D．
71．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（ ）
A． B． C．或 D．或
72．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知等腰三角形中一个内角的度数为，则该等腰三角形底角的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
题型25 三角形三边关系的应用
73．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）已知三角形的三边长分别为、、，则的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
74．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
75．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知三角形的三边，，满足关系式，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
题型26 与角平分线有关的三角形内角和问题
76．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在△中，与的角平分线交于点Ⅰ，若，，则（）
A． B． C． D．
77．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，的平分线BE，CD相交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
78．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，是高，是的平分线．若，，则（ ）
A． B． C． D．
题型27 三角形折叠中的角度问题
79．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
80．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（ ）
A． B． C． D．
81．（23-24八年级上·重庆巴南·期末）如图，在中，点D，E分别是上两点，将沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型28 与三角形的高有关的计算问题
82．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．
83．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高、中线，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
84．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，三角形的面积为，，点为边上一点，过点分别作于，于，若，则长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
题型29 三角形角平分线的定义
85．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
86．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（ ）
A．是的角平分线 B．为边上的高
C．是边上的中线 D．为的高线
87．（20-21八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，是的角平分线，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
88．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型30根据三角形的中线求线的长度或面积
89．（25-26八年级上·广东肇庆·阶段检测）如图，是的中线，E是的中点，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
90．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，已知点D，E，F分别为线段中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于（ ）
A． B． C． D．
题型31三角形的外角的定义及性质
91．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，与在直线同侧，点P在线段上．已知，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
92．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
93．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型32 坐标系中的动点问题
94．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．
(1)求点C的坐标；
(2)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
95．（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，．
(1)求点A、B、C的坐标．
(2)如图2，设D为线段OB上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数；（点E在x轴的正半轴）．
(3)如图3，当点D在线段OB上运动时，作交BC于M点，、的平分线交于N点，则点D在运动过程中，的大小是否会发生变化?若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
96．（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1)___________，___________，和的位置关系是___________；
(2)如图，当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为秒．
①请分别用含的式子表示和的面积；
②若，求出点的坐标；
(3)在、的运动过程中，当时，请求出和的数量关系．
题型33 坐标规律探索的综合
97（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位，其行走路线如图所示．
(1)写出点，，，的坐标（是正整数）；
(2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向．
98．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，将学校的围墙图案放在平面直角坐标系中，已知点，，，，，，…按照此规律，完成下列问题：
(1)请写出点，，的坐标；
(2)请你写出点，，的坐标；
(3)设第1个点为，第2个点为，第3个点为，…，第n（，且n为整数）个点为，…，请你写出N关于n的函数关系式．
99．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成；已知变换过程中各点坐标分别为，，，，，，，．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将变换成，则的坐标为______，的坐标为______，的面积为______．
(2)按以上规律将进行n次变换得到，则的坐标为______，的坐标为______；
(3)的面积为______
题型34 一次函数围成图形面积问题
100．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，经过点，的直线：与直线：相交于点，已知点的纵坐标为2．
(1)求直线的表达式及点的坐标；
(2)根据图象，直接写出当时，的取值范围；
(3)记与轴的交点为，若点在直线上，且，求点的坐标．
101．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)根据图象，直接写出不等式组的解集．
102．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点．
(1)求点的坐标和直线的解析式；
(2)判断的形状；
(3)若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标．
题型35 一次函数图象综合题
103．（2023八年级上·安徽合肥·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，．
(1)求直线的解析式；
(2)一次函数（为常数）．
①求证：一次函数的图象一定经过点；
②若一次函数的图象与线段有交点，直接写出的取值范围．
104．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，，将点向上平移3个单位得到点，过点作，如图1．
(1)求直线的表达式；
(2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点，
①求证：；
②求的度数．
105．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接．
(1)请直接写出与的位置关系；
(2)请应用（1）中结论求证：；
(3)连接，若点，请直接写出三角形的面积．
题型36 一次函数的实际应用分配方案问题
106．（25-26八年级上·安徽六安·期末）为迎接六安市第九中学建校周年庆典暨第二十届校园文化艺术节，学校庐剧社团需要为节目《今日高唱凯歌归》采购道具包．现有两种道具包：（乐器+舞具）和（戏服+头饰）．已知每个道具包的单价比道具包的单价高元，且用元购买道具包的数量是用元购买道具包数量的倍．
(1)求、两种道具包的单价；
(2)在实际采购中，学校预算不超过元，计划购买、两种道具包共个，且道具包数量不高于道具包数量的倍；应如何安排采购方案，才能使总采购成本最低？最低成本是多少？（请用函数知识解答）
107．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段检测）为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用，经调查，某公司有，两种健身器材可供选择，每套型健身器材售价为万元，每套型健身器材售价为万元，经协商，该公司承诺：每套型健身器材在售价的基础上减免万元；每套型健身器材在售价的基础上打七折．学校想购进，两种健身器材共套，若型健身器材买套，共花费万元．
(1)请求出与的函数关系式；
(2)若型健身器材的数量不超过套，学校应如何购买才能使总费用最少？
108．（25-26八年级上·安徽滁州·阶段检测）某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
地区
元
元
地区
元
元
(1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式；
(2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案；
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由．
题型37 一次函数的实际应用最大利润问题
109．（26-27八年级上·安徽·阶段检测）某商场计划最多投入元用于购进A、B两种商品共件，其中购进A种商品x件，售完这件商品的总利润为y元．这两种商品的进价和售价如下表：
商品
A
B
进价（元/件）
售价（元/件）
(1)求y关于x的函数关系式．
(2)问商场可获得的最大利润是多少元？
110．（25-26八年级上·安徽亳州·期末）某农场种植某种农作物，欲购买化肥施肥，相关数据如下表：若施甲种化肥每亩利润为（元），施乙种化肥每亩利润为（元），设该种农作物每千克单价（元），已知，施肥前每亩产量为．
化肥种类
化肥单价元
所需化肥数量/亩
每亩地增产
甲
5.2
40
150
乙
2.5
40
120
(1)求出，与之间的函数表达式．
(2)选用哪种化肥合算？
(3)为提高产品竞争力，甲化肥厂商决定每千克化肥让利a元，要使施甲种化肥每亩地获利不低于施乙种化肥，则a的最小值为__________．
111．（26-27八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，同学们的运动热情被充分激发．某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共90个，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表．设该商场采购个篮球，其中．
品名
厂家批发价（元/个）
商场零售价（元/个）
篮球
100
128
足球
80
105
(1)求该商场采购费用（单位：元）与（单位：个）的函数关系式；
(2)该商场把这90个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；
(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将90个球全部卖出获得的最低利润是1860元，求的值．
题型38 一次函数的实际应用分段计费问题
112．（26-27八年级上·安徽阜阳·阶段检测）周末小明一家准备打车从小区出发去城市公园游玩．当地出租车收费标准：3千米及以内收取起步价10元；超过3千米的部分，每千米收费2元（不足1千米按1千米计费）．设计费里程为（为正整数），车费为元．
(1)写出与的函数关系式；
(2)若小区到公园路程为，求小明打车需要支付的车费；
(3)若小明某次打车付车费20元，请算出本次乘车最远可以行驶多少千米．
113．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）为了鼓励居民节约用电，某市采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．每户家庭每月电费y（单位：元）与用电量x（单位：）之间的函数图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数表达式．
(2)若小明家8月需缴电费159元，求小明家8月的用电量．
114．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）某水果批发商销售草莓，规定一次性购买质量不超过千克时，单价为元每千克；一次性购买质量超过千克时，超过千克的部分，单价降为元每千克．设购买量为千克，总付款元．
(1)写出与的分段函数表达式；
(2)若顾客一次性购买千克草莓，需要付款多少元？
(3)若顾客一次性付款元，求购买草莓的千克数．
题型39 一次函数与方程不等式综合
115．（26-27八年级上·安徽合肥·阶段检测）已知一次函数．
(1)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象．
(2)结合图像回答下列问题：
①求方程的解．
②当时，则x的取值范围为 ．
116．（26-27八年级上·安徽亳州·阶段检测）已知直线经过点A为，点B为，且a，b满足．
(1)求出直线的函数表达式；
(2)利用函数图象解答下列问题：
①若点M在直线上，且点M的纵坐标为4，直接写出点M的横坐标；
②直接写出不等式的解集．
117．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．
(1)求出点的坐标；
(2)结合图象，直接写出时的取值范围；
(3)连接，直线上是否存在一点，使，若存在，求点的坐标．
题型40 一次函数的新定义问题
118．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
如果，那么称点Q为点P的“关联点”，例如点的“关联点”为点，点的“关联点”为点．
(1)点“关联点”是______________：点的“关联点”是____________；
(2)如果一次函数图像上点的“关联点”是，求点的坐标；
(3)如果点在函数的图像上，其“关联点”的纵坐标的取值范围是，直接写出实数a的取值范围．
119．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在平面直角坐标系中，对点和点，给出了定义：若，则称Q为点P的关联点．例如：点的关联点的坐标是．
(1)点的关联点的坐标是________，点的关联点的坐标是________；
(2)若点，均是一次函数图象上某一个点的关联点，求k和c的值；
(3)若点P在函数的图象上，其关联点Q的纵坐标的取值范围是，则m的取值范围是________．
120．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”．
(1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值；
(2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点．
①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值；
②若，点在点的上方，求的取值范围．
题型41 三角形中的动点问题
121．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，平分，交于点，动点在射线上（不与点重合），过点作交线段于点（不与点，重合），的平分线所在的直线与射线交于点．
(1)如图①，当点在线段上时．
①若，，的度数为______．的度数为______；
②求证：；
(2)当点在线段的延长线上时，在图②中画出图形并直接写出与之间的数量关系．
122．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．
(1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______；
(2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）；
(3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由．
123.（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，点D，E分别是边上的点，点F是直线上一动点，设，，．
(1)如图1，若点F在线段上，且，求的度数；
(2)若点F在线段的延长线上．
（i）如图2，当点D位于上方时，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（ii）如图3，当点D位于下方时，探究与之间的数量关系，并说明理由．
题型42 三角形的内角外角综合问题
124．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）已知相交于点．
(1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数；
(2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数．
124．（26-27八年级上·安徽滁州·阶段检测）已知：，点A，B分别在，上运动（点A，B不与点O重合），点D在的外部，连接，射线经过点B．
(1)如图1，若，平分，平分，则的度数为________；
(2)如图2，若，，，求的度数；
(3)如图3，若，，求的度数（用含，n的代数式表示）．
125．（26-27八年级上·安徽芜湖·阶段检测）课本再现：
(1)如图1，已知直线，c是截线，则_____．
(2)如图2，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．求证：．
拓展应用：
(3)如图3，已知，在的平分线上取两个点M，N，使得，求证：．
题型43三角形中的探究问题
127．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”，
(1)如图①，在规形中，若，，，则______°；
(2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°；
(3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
128．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，和有一条公共边，平分，平分．
(1)如图1，若点是与的交点，且，，
①直接写结果：的度数是______；
②求的度数；
(2)如图2，点，分别是射线和上的动点，点在与外，当时，请探究与，之间的数量关系．
129．（25-26八年级上·广西柳州·期中）实验与探究
某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点．
(1)若如图所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______；
(2)若如图所示，点在内部，，求的度数；
(3)若如图所示，点在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请证明．
【答案】(1)
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