精品解析：湖北省鄂州高中2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026年秋季高一年级10月月考 数学试卷 考试时间：2026年10月26日下午 试卷满分：150分 一．单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，，且，则当取得最小值时，（ ） A. 16 B. 6 C. 18 D. 12 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围是（　　） A. [，3] B. （2，3] C. （2，] D. 二．多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数与是同一函数 C. 函数的单调递增区间是 D. 已知的定义域为，则函数的定义域为 10. 下列命题正确的是（ ） A. 使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 B. 在上恒成立，则实数的取值范围是. C. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或 D. 若不等式的解集为或，则 11. 已知函数定义域为，当时，，且对任意实数，均有，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 是单调函数 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数值集合为______． 13. 函数的值域是______． 14. 若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是__________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，其中. （1）1是中的一个元素，用列举法表示； （2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合； （3）若中至多有一个元素，试求的取值范围. 16. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值; （2）若，，求此不等式的解集． 17. 如图，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个小镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离. （1）请将表示为的函数，并写出定义域； （2）如果将船停在距点处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到）？ （3）设，证明：，并求将船停在海岸处距点多远时从小岛到城镇所花时间最短？ 18. 我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称的图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性，并求在上的值域； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 19. 设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得． （1）求的值并证明为奇函数； （2）求证：在上单调递增； （3）设函数，，不等式对恒成立，试求的值域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一年级10月月考 数学试卷 考试时间：2026年10月26日下午 试卷满分：150分 一．单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】特称命题的否定规则为：将存在量词改为全称量词， 保持量词对应的取值范围不变，同时否定原命题的结论， 原命题为“”的否定是“”， 则选项D正确. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析判断. 【详解】由题，故A错； ∵，，∴，B正确； ，C错； ，D错； 故选:B 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 4. 已知，，且，则当取得最小值时，（ ） A. 16 B. 6 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得，将展开利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以 所以． 当且仅当即时取等号， 所以当取得最小值时， 故选：B. 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C． 6. 已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据分段函数单调性，列出不等式组，解出即可. 【详解】设， 由题意得函数在上单调递增， 函数在上单调递增，且在上增， ，解得. 故选：B. 7. 我们从商标中抽象出一个图象如图所示，其对应的函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及定义域和取特值可排除得选项. 【详解】根据函数的图像可知，函数为偶函数，且定义域为， 判断四个选项，只有和符合， 又因为时，有的函数值是负数，例如不符合， 所以只有成立， 故选：B. 8. 已知关于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围是（　　） A. [，3] B. （2，3] C. （2，] D. 【答案】D 【解析】 【分析】将不等式变形为，然后分a＝4，a＝0，0＜a＜4，a＞4四种情况，分别求出不等式的解集，分析求解即可． 【详解】由题意可知，a≥0，则不等式（4x﹣3）2≤4ax2可变形为（4x﹣3）2﹣4ax2≤0， 即， ①当a＝4时，不等式为﹣24x+9≤0，解得x≥，不符合题意； ②当a≠4时，不等式为关于x的一元二次不等式， 若，即a＝0时，不等式的解集为{}，不符合题意； 若，即0＜a＜4时，不等式的解集为，又， 所以如果恰有三个整数，只能是1，2，3， 故，解得； 若，即a＞4时，不等式的解集为或， 不会恰好有三个整数解，不符合题意． 综上所述，实数a的取值范围为． 故选：D． 二．多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数与是同一函数 C. 函数的单调递增区间是 D. 已知的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，求出函数的定义域即可判断B、C，根据抽象函数的定义计算规则判断D. 【详解】对于A：由，即，解得或， 所以由推得出，故充分性成立， 由推不出，故必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，即A正确； 对于B：因为函数，所以，解得， 所以函数的定义域为 因为，则，解得或， 故的定义域为， 函数和函数的定义域不同，故不是同一函数，故B错误； 对于C：由，解得或， 即函数的定义域为，故C错误； 对于D：因为函数的定义域为，所以， 得，故函数的定义域为，故D正确； 故选：AD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 B. 在上恒成立，则实数的取值范围是. C. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或 D. 若不等式的解集为或，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A：令，则即可求得a的范围； B：令，则即可求得k的范围； C：根据题意求出a和b的关系，化简即可求出解集； D：根据二次方程根与系数的关系求出a、b、c间的关系，即可判断abc的符号． 【详解】A：要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小， 令，则有，即， 解得，故A正确； B：∵在上恒成立， 令，则，即，解得，故B正确； C：∵关于的不等式的解集是，∴， 则关于的不等式等价于，即， 解得或，故C正确； D：若不等式的解集为或， 则，且， 又，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数定义域为，当时，，且对任意实数，均有，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 是单调函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，令得到或，若，推出矛盾，从而得到；B选项，令，代入整理得，B正确；C选项，在B基础上得到，因为，所以；D选项，令，有，推出当时，，在R上恒成立，定义法得到在R上单调递增，D正确. 【详解】A选项，令，得， 整理得，解得或， 再取，，得， 若，则，解得， 则与条件中“当时，”矛盾，故， 所以，A错误； B选项，令，得， 代入整理得（*）， 所以的图象关于点对称，B正确. C选项，由（*）式可知，，因为，所以，C正确. D选项，下面证明在R上单调递增， 条件可变形为. 令，则有， 因为当时，，所以当时，， 的图象关于点对称，故当时，， 故在R上恒成立， ，，，有 ， 故，， 又恒正，所以，从而在R上单调递增，D正确. 故选：BCD. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，若，则实数值集合为______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，则的子集有，，，，分别求解即可. 【详解】因为，故； 则的子集有，，，， 当时，显然有； 当时，； 当，； 当，不存在， 所以实数的集合为； 故答案为． 13. 函数的值域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 14. 若关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由题意可知关于的不等式在上有解，作出函数和函数的图像， 然后考虑直线与函数的图像相切，以及直线过点，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】关于的不等式在上有解， 即关于的不等式在上有解， 作出两函数与的图像，如下图： 当与相切时，则，即， 由，解得：； 当过点时，得. 由图可知，，因此实数的取值范围为. 故答案为： 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，其中. （1）1是中的一个元素，用列举法表示； （2）若中有且仅有一个元素，求实数的组成的集合； （3）若中至多有一个元素，试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） ；（3）或. 【解析】 【分析】（1）若1∈A，则a＝﹣3，解方程可用列举法表示A； （2）若A中有且仅有一个元素，分a＝0，和a≠0且△＝0两种情况，分别求出满足条件a的值，可得集合B． （3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①A中有且仅有一个元素，②A中一个元素也没有，分别求出即可得到a的取值范围． 【详解】解：（1）∵1是A的元素，∴1是方程ax2+2x+1＝0的一个根， ∴a+2+1＝0，即a＝﹣3， 此时A＝{x|﹣3x2+2x+1＝0}． ∴x1＝1，，∴此时集合； （2）若a＝0，方程化为x+1＝0，此时方程有且仅有一个根， 若a≠0，则当且仅当方程的判别式△＝4﹣4a＝0，即a＝1时， 方程有两个相等的实根x1＝x2＝﹣1，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合B＝{0，1}； （3）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（2）可知此时a＝0或a＝1， ②A中一个元素也没有，即A＝∅，此时a≠0，且△＝4﹣4a＜0，解得a＞1， 综合①②知a的取值范围为{a|a≥1或a＝0} 【点睛】本题考查的知识点是集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题． 考点：1、元素与集合的关系；2、集合的表示. 16. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值; （2）若，，求此不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知1和5是方程的两个根，且，然后利用根与系数的关系列方程可求得结果； （2）分，，和四种情况求解一元二次不等式. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以1和5是方程的两个根，且， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 当时，可化为， 所以， 由（），得或， 当时，由，得或， 当，即时，由，得， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，由，得， 综上，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 如图，一座小岛距离海岸线上最近的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个小镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是，（单位：）表示他从小岛到城镇的时间，（单位：）表示此人将船停在海岸处距点的距离. （1）请将表示为的函数，并写出定义域； （2）如果将船停在距点处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到）？ （3）设，证明：，并求将船停在海岸处距点多远时从小岛到城镇所花时间最短？ 【答案】（1）， （2） （3） 因为，所以， 所以， 又，所以； 易知函数在是单调递增，所以当时，； 由基本不等式知，当且仅当，即，即时，取等号；此时； 综上，将船停在海岸处距点远时从小岛到城镇所花时间最短，所花时间约为. 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理，时间与路程的关系即可列出关系式； （2）将已知值代入条件（1）中的关系式即可求得； （3）根据题设可求得关于的式子，由条件（1）化简可得到关于的式子，因此即可证得；由基本不等式即可求得的最小值. 【小问1详解】 如图，设表示此人驾驶小船的行驶距离，则，， 由，得； 所以关于的函数为，定义域为； 【小问2详解】 当船停在距点处时，即，所以，； 所以，即从小岛到城镇的时间大约. 【小问3详解】 略 18. 我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称的图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）用定义证明在区间上的单调性，并求在上的值域； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明：任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. 所以在上单调递增，故的值域为. （3）. 【解析】 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心； （2）根据单调性定义证明，再根据所得单调性结合定义域求值域即可； （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）可知的值域，的值域可对二次函数分析得到，最终整合得到实数m的取值范围. 【小问1详解】 设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于对任意，总存在，使得， 于是问题转化为在上的值域是值域的子集， 在单调递增，图象又关于点对称且经过点， 可知在上也单调递增，故在上单调递增，又；， 所以在的值域为，在的值域为， ，，解得，则的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求出两函数的值域，再利用两函数值域的包含关系即可得到不等式组，解出即可. 19. 设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得． （1）求的值并证明为奇函数； （2）求证：在上单调递增； （3）设函数，，不等式对恒成立，试求的值域． 【答案】（1） 证明：由， 令，得， ，， 为奇函数． （2）证明： 时，，， ，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得， ， 时，， 又为奇函数， 时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ， 又，， ， ， ，， ∴在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）通过赋值法和奇函数定义即可求解； （2）由（1）和单调性的定义即可求证； （3）由函数的单调性、奇偶性确定的范围，即可求解. 【小问1详解】 的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得， ， 证明：略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ， ， ∵不等式对恒成立， 对恒成立， 又在上单调递增， 对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，解得， 综上，， 而函数在上单调递减， 的值域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $