精品解析：湖北省鄂州高中2026-2027学年高一年级上学期9月月考数学试卷

2026年秋季高一年级9月月考 数学试卷 命题学校：鄂州高中 命题教师：胡黎刚 审题教师：王娜、范先浩 考试时间：2026年9月28日下午 15：00-17：00 试卷满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合的运算即可得到答案. 【详解】 在阴影部分区域内任取一个元素，则或， 故阴影部分所表示的集合为或者，故A正确. 故选：A. 2. 已知集合，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出或，求出实数的值后，并代入集合，检验集合是否满足元素的互异性，由此可得出实数的值. 【详解】集合，且，或， 解得或. 当时，，集合不满足互异性； 当时，，，集合满足互异性. 因此，实数. 故选：C. 【点睛】本题考查利用有限集中的元素求参数的值，在求出参数值之后，还应对有限集的元素是否满足互异性进行检验，考查运算求解能力，属于基础题. 3. 若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有. 故选：C 4. A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质分析可得. 【详解】为简便起见，复用表示四个同学的年龄，则 则：①，②,③. ①+②得,①+③得，②+③得,由于,,故由③得,, 由①得，∵,∴，∴,∴, 综上. 故选：D. 5. 关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或0 【答案】A 【解析】 【详解】设一元二次方程的两个实数根为，， 因为，互为相反数， 所以根据韦达定理可得， 解得或， 当时，方程为无解，舍去； 当时，方程为，两根为符合题意， 的值为，故选项A正确. 6. 设，则“”的充要条件是（   ） A. 不都为1 B. 都不为1 C. 不都为0 D. 中至少有一个为1 【答案】B 【解析】 【分析】将整理得到，从而得到且. 【详解】， ， ， ， ， 且，即都不为1， 故选：B. 7. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，确定不等式的解集，根据不等式解集中恰有2个整数，即可求得实数的取值范围. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是4.， 故选：A 【点睛】关键点点睛：明确点集表示的几何意义为平面区域，这是解答的关键. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据韦达定理判断集合中的元素，再通过分类讨论进行判断 【详解】对于A：方程，因为， 所以方程有两个不同的实数根，由韦达定理可得， 又因为，所以或者. 若，将代入方程得 解得， 若，将代入方程得 解得， 故存在满足条件，与不符，选项A错误； 对于B：， 若，则，即； 若，则，即，选项B正确； 对于C： 若，则，只有一个元素； 若则，只有一个元素，选项C正确； 对于D：全集，， 所以， 若，则，不为； 若，则，不为，选项D正确. 10. 已知为正数,且,则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等式且均为正数,可以直接判断选项A正误,根据“1”的代换可以判断选项B正误,根据消元,用二次函数最值可以判断选项C正误,根据基本不等式和定积最大可以判断选项D正误. 【详解】解:由题知, 即, 均为正数,, 选项A正确; , 故选项B错误; 故选项C错误; , , 故选项D正确; 故选:AD 11. 对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知、不全为零是不等式成立的充要条件，结合充分、必要条件逐项分析判断即可. 【详解】因为，整理可得， 且，， 所以当且仅当，即时，， 所以、不全为零是不等式成立的充要条件. 对于A，显然一定能推出， 但成立时，可以取此时推不出， 所以是充分不必要条件，故A正确； 对于B，当时，不等式不成立，推不出，所以B错误； 对于C，能推出、不全为零，但是、不全为零时可以、互为相反数推不出， 所以能使不等式成立，但不等式成立推不出， 所以是充分不必要条件，故C正确； 对于D，等价于且，能推出、不全为零， 但是、不全为零推不出且， 所以能使不等式成立，但不等式成立推不出， 所以是充分不必要条件，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是________． 【答案】， 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 13. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式的性质，可得整式方程，再根据一元二次方程性质与分式方程性质分类讨论即可得答案． 【详解】方程两边同时乘以得，即， ①当，即时，方程只有一个解； ②当其中一个解为增根时，方程也只有一个解， （i）若增根为0时，； （ii）若增根为1时，； 故k的值为或0或2，即的可能取值构成的集合为. 14. 已知a，且，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】变形后，由基本不等式进行求解 【详解】 ， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）比较与的大小． （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以，且． 故，所以． 【解析】 【详解】（1）由， 因为，所以，，， 所以，所以． （2）略 16. 全集，集合，集合. （1）若，且集合满足：，求出所有这样的集合； （2）集合是否能满足，若能，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】（1），，或； （2）能， 【解析】 【分析】（1）解出，，根据，，求出所有的集合； （2）根据得到，分与，与，讨论得到结论. 【小问1详解】 时，， ， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故，，或； 【小问2详解】 因为，所以， 若，则满足，此时，解得：； 若，则，解得：， 所以，解得：或，故，不满足，舍去； 若，则，解得：， 所以，解得：或2，所以，不满足，舍去； 若，则，解得：，所以， 解得：或4，不满足，舍去， 综上：实数的取值范围是 17. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围. （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为恒成立，解不等式即可； （2）分类讨论结合集合的关系计算即可. 【小问1详解】 要使，恒成立，需. 函数在上单调递增，当时，. 因此有，即，解得. 即 【小问2详解】 当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为， 在区间上有， 则， 故，成立等价于， 即， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 若命题真假，结合（1）可知且，故， 综上，. 18. 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． （1）若，，求与； （2）若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）由新定义即可直接求解； （2）通过定义确定，或，，再分两类情况讨论即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以， ； 【小问2详解】 ，，且为质数， ，或，， 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号， 又为质数，，所以等号不成立； 所以此时． 当，时， 则由新定义可知：，， ， 当且仅当，即时取等号； 综上可知. 19. 设关于的函数． （1）若时，，求的取值范围； （2）求的最小值； （3）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为 （3）当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意得到，进而可求解； （2）通过，，讨论函数单调性，进而可求解； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【小问1详解】 时，， ； 【小问2详解】 ， 时，，对称轴为， 时，，对称轴为， 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 当时，，的最小值为． 当时，，， 可得到时，随着的增大而减少， 时，随着的增大而增大， 此时当时，有最小值， 综上：时，最小值为； 时，最小值为； 时，最小值为． 【小问3详解】 时，，即， ， 时，，即或，解集为， 时，，即， 方程有两个不等的实根， ，， ①时，则，解集为， ②时，则，解集为， ③时，则，解集为， 综上：当或时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一年级9月月考 数学试卷 命题学校：鄂州高中 命题教师：胡黎刚 审题教师：王娜、范先浩 考试时间：2026年9月28日下午 15：00-17：00 试卷满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，且，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则称A为“影子关系”集合．在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个 4. A，B，C，D四名学生的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或0 6. 设，则“”的充要条件是（   ） A. 不都为1 B. 都不为1 C. 不都为0 D. 中至少有一个为1 7. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 1 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知全集，集合，，且，则（ ） A. B. C. 中元素个数为1 D. 10. 已知为正数,且,则（ ） A. B. C. D. 11. 对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是________． 13. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值构成的集合为________． 14. 已知a，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）比较与的大小． （2）证明：． 16. 全集，集合，集合. （1）若，且集合满足：，求出所有这样的集合； （2）集合是否能满足，若能，求实数的取值范围；若不能，请说明理由. 17. 设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围. （2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 18. 笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”．高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题． 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的笛卡尔积”，如果集合中元素的个数记为，则集合的元素个数即为． （1）若，，求与； （2）若，，为质数，且对任意质数恒成立，求实数的取值范围． 19. 设关于的函数． （1）若时，，求的取值范围； （2）求的最小值； （3）若，求关于的不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $