3.2.1双曲线及其标准方程 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课题

3.2.1 双曲线及其标准方程

课型

新授课

授课时间

2026—2027学年第一学期

课时量

1

教学目标

1.数学抽象：经历从生活情境（广州塔、发电厂冷却塔等）与“拉链实验”中抽象出双曲线的过程，掌握双曲线的定义、焦点与焦距的概念，能准确叙述双曲线的定义并辨析定义中的限制条件。

2.逻辑推理与数学运算：类比椭圆标准方程的推导过程，经历建系、设点、列式、化简的完整步骤，推导双曲线的标准方程，掌握两种标准方程的形式以及a、b、c三者之间的关系。

3.数学建模与直观想象：会用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题，体会数形结合思想，在与椭圆的类比中提升迁移能力。

教学重点

双曲线的定义、标准方程及其简单应用。

教学难点

双曲线标准方程的推导（含两次平方化简），根据条件求双曲线的标准方程。

教学过程

教学程序

教师行为

学生行为

设计意图

情境导入

（5 min）

【情境设疑】

师：同学们，请看三幅图（如图1）：广州塔“小蛮腰”中部塔身的轮廓，发电厂冷却塔的外形剪影，还有沙漏中细沙流尽后留下的轮廓。大家发现它们有什么共同特征？

师：它们的轮廓线都不是圆、椭圆或抛物线，而是一种中间收细、两端张开的曲线——这就是我们今天要认识的第二种圆锥曲线：双曲线。

观察三幅情境图，发现其轮廓的共同特征；回顾椭圆的定义与标准方程，思考“距离的差为常数”的轨迹形状。

带着问题进入新课学习。

以广州塔、冷却塔、沙漏等真实情境引入，激发学习兴趣；通过复习椭圆的定义与标准方程，为用类比法研究双曲线作铺垫。

师：再请看图2与图3（冷却塔与沙漏）它们的侧面轮廓同样都是双曲线的一部分绕轴旋转所成的曲面。通过声音时差定位声源，也要用到双曲线的性质。

【复习铺垫】

师：椭圆的定义是什么？它的标准方程是怎样的？

（学生回答，教师板书并强调：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹是椭圆；标准方程中a、b、c满足c2=a2+b2。）

师：一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹又是什么？今天我们就类比椭圆的研究方法，来研究双曲线及其标准方程。

环节一

双曲线的定义

（10 min）

【探究活动】

师：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在两个定点F1、F2处（如图4），把笔尖放于点M处，随着拉链的开合移动笔尖，笔尖画出的曲线满足什么条件？

师：请同学们动手实验并观察：曲线上的点M满足|MF1|−|MF2|=常数；如果交换固定点的位置，可得|MF2|−|MF1|=常数，画出另一条曲线。两条曲线合在一起就是双曲线。

【概念形成】

师：一般地，我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的

动手做拉链实验，观察笔尖画出的曲线；归纳曲线上动点的几何特征：到两定点距离之差的绝对值为定长。

阅读教材，准确表述双曲线的定义、焦点、焦距概念。

分三种情况讨论常数取值对轨迹的影响，理解定义中限制条件的必要性。

通过动手实验强化双曲线概念的抽象和建立过程，提高思维严谨性；通过变式辨析突破定义中的易错点，深化对“绝对值”“小于|F1F2|”的理解。