3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

第2课时　 直线与双曲线的位置关系

　

1.直线y＝（x＋1）与双曲线x2－y2＝1的交点个数为（　　）

A.0 B.1

C.2 D.1或2

解析：C　方法一：由

可得3x2－2x－5＝0，Δ＝（－2）2－4×3×（－5）＞0，

所以直线y＝（x＋1）与双曲线有2个交点.

方法二：双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，

易知直线y＝（x＋1）过双曲线的左顶点，且斜率为＜1，

所以直线y＝（x＋1）与双曲线有2个交点.

2.若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是（　　）

A.

B.

C.

D.∪

解析：C　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，得k∈.故选C.

3.已知直线l：x＋y＝0与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）无公共点，则双曲线C的离心率e的取值范围为（　　）

A.（1，] B.[，＋∞）

C.（1，] D.[，＋∞）

解析：C　由题意得，直线l：x＋y＝0的斜率为－1，

而双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，由于直线l与双曲线C没有公共点，

所以－≥－1，即≤1，故≤1，即－1≤1，所以e2≤2，

故1＜e≤，即e∈（1，].故选C.

4.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则该双曲线的方程为（　　）

A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9

C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25

解析：B　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝x联立，得x2＝a2，∴｜AB｜＝×a＝2，

∴a＝3.故选B.

5.（2026·浙江台州期中）设A，B为双曲线x2－＝1上两点，若线段AB的中点是（－1，－3），则直线AB的方程为（　　）

A.3x－4y－9＝0

B.3x＋4y＋15＝0

C.4x＋3y＋13＝0

D.4x－3y－5＝0

解析：D　设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点是（－1，－3），

所以x1＋x2＝－2，y1＋y2＝－6.

因为A，B在双曲线上，则

两式相减并化简得＝＝＝，

所以kAB＝，所以直线AB的方程为y＋3＝（x＋1），即4x－3y－5＝0.

验证可知直线与双曲线有两个交点，满足题意.

6.设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M（2，2），则｜AB｜＝（　　）

A. B.2

C. D.2

解析：B　设双曲线x2－＝1上的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（2，2），则x1≠x2，则且

①－②得（x1＋x2）（x1－x2）－（y1＋y2）（y1－y2）＝0，即y1－y2＝2（x1－x2），

则直线AB的斜率k＝＝2，直线AB的方程为y＝2x－2，

由消去y得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，

｜AB｜＝｜x1－x2｜＝2.故选B.

7.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为.

（1）求双曲线的方程；