3.2.1 双曲线及其标准方程教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦双曲线的定义及标准方程，从椭圆定义导入，将“距离之和”改为“距离之差的绝对值”，通过拉链实验引导学生动手画图，直观感知双曲线生成过程，搭建新旧知识的学习支架。 该资料以启发引导与对比探究为特色，通过拉链实验具象化定义中“差的绝对值”与常数条件，类比椭圆推导标准方程，强化数学抽象与逻辑推理素养。例如对比椭圆与双曲线a、b、c关系，帮助学生辨析差异，提升学生探究能力，为教师提供清晰的教学路径和重难点突破方法。

教学设计-2026-2027学年 选择性必修第一册 高二 人教A版 数学 3.2.1 双曲线及其标准方程 一、教学设计 授课内容 3.2.1 双曲线及其标准方程 教学目标 1.掌握双曲线的定义及其集合表示，理解定义中“差的绝对值”与常数小于 的约束；2.掌握双曲线标准方程的两种形式，明确 、、 的关系；3.能利用定义或待定系数法求双曲线标准方程。 教学重点 双曲线的定义和标准方程。 教学难点 定义中“差的绝对值”与常数小于 的条件，以及与椭圆中 与 的区别。 学情分析 高二学生已掌握椭圆定义及标准方程的推导方法，具备一定的坐标化推导能力，但对绝对值条件的讨论容易遗漏，需通过对比强化。 教学方法 启发引导与对比探究相结合。 课时安排 1课时 二、教学方法 本节课采用启发引导与对比探究相结合的教学方法。学生已具备椭圆的学习经验，教学时从椭圆的定义入手，将“距离之和”改为“距离之差的绝对值”，引导学生动手画图，直观感知双曲线的生成过程。在推导标准方程时，类比椭圆标准方程的化简思路，以旧引新，降低认知难度。通过变式例题与对比练习，帮助学生辨析双曲线与椭圆在定义及 、、 关系上的差异，落实数学抽象与逻辑推理素养。 三、板书设计 1.双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹。 2.集合表示：。 3.焦点与焦距：定点 、 叫做焦点， 叫做焦距。 4.标准方程（焦点在 轴上）：（），焦点 、，。 5.标准方程（焦点在 轴上）：（），焦点 、，。 6.双曲线分左右两支。 7.例1求解过程。 8.例2求解过程。 9.椭圆与双曲线对比小结。 10.易错提醒：定义中常数 必须满足 。 11.易错提醒：（双曲线）与 （椭圆）的区别。 12.课堂形成性练习。 13.课后作业。 14.总结反思。 四、教学过程 序号 教师活动 学生活动 设计意图 时间 1—5 引导复习椭圆定义，提出“距离之差”的新情境，组织画图探究，推导标准方程，讲解例题，组织练习与小结。 回忆椭圆定义，动手画图感知双曲线，参与方程推导，求解例题与练习，对比归纳。 通过类比与对比，理解双曲线定义及标准方程，辨析与椭圆的异同。 45分钟 1.复习引入。教师提问：椭圆的定义是什么？预设学生回答：平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹。教师追问：如果把“距离之和”改为“距离之差的绝对值”，点的轨迹会是什么？由此引出本课课题。 2.探究双曲线的定义。教师演示拉链实验：将一条拉链拉开，两端分别固定在 、 处，笔尖沿拉链移动，画出的曲线满足 。教师提问： 与 的大小关系是什么？如果 或 会怎样？预设学生回答：当 时轨迹是两条射线，当 时无轨迹。教师引导给出定义：我们把平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。集合表示为 。教师追问：定义中去掉“绝对值”三个字，轨迹还是双曲线吗？预设学生回答：不是，去掉绝对值后只表示双曲线的一支。教师强调：双曲线分左右两支，必须带绝对值。 3.推导标准方程。教师引导：类比椭圆标准方程的推导，取经过两焦点 、 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系 。设焦距为 （），则焦点坐标为 、。设 为双曲线上任一点，由定义有 （ 为大于 的常数，）。教师写出 ，类比椭圆化简过程，得 。两边同除以 ，由定义知 即 ，所以 ，令 （），得 （）。教师指出：这就是双曲线的标准方程，它表示焦点在 轴上、焦点分别是 、 的双曲线，这里 。教师提问：如果焦点在 轴上，标准方程是什么？预设学生回答：（），焦点为 、。教师追问：双曲线中 、、 的关系与椭圆有何不同？预设学生回答：椭圆是 （），双曲线是 （，），双曲线中 、 大小不确定。 4.例题精讲。 例1 已知双曲线的两个焦点分别为 、，双曲线上一点 到两焦点距离的差的绝对值等于 ，求双曲线的标准方程。 解：由焦点坐标 、 知焦点在 轴上，。由 知 ，即 。由 得 。所以双曲线的标准方程为 。 答案：。 例2 求经过点 且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。 解：设双曲线的标准方程为 （）。将 代入，得 ，即 ，整理得 。当焦点在 轴上时，取 ，则 ，方程为 ，此时 ，焦点为 、。当焦点在 轴上时，取 ，则 ，此时方程 ，满足 ，焦点为 、。 答案： 或 。 5.巩固练习。 练习1 判断下列方程是否表示双曲线，若是指出焦点位置：（1）；（2）；（3）。 解：（1）是双曲线，焦点在 轴上。（2）是双曲线，焦点在 轴上。（3）不是双曲线，是椭圆。 答案：（1）是，焦点在 轴上；（2）是，焦点在 轴上；（3）不是。 练习2 已知双曲线 （）的焦距为 ，且经过点 ，求 、 的值。 解：由焦距为 知 ，。由经过点 知 ，，。由 得 ，。 答案：，。 课堂形成性练习。 1.已知双曲线 的两个焦点为 、，点 在双曲线上，，求 的值。 解：由方程知 ，，。由定义 ，即 ，解得 或 。 答案： 或 。 2.已知双曲线 （）的离心率 ，焦距为 ，求双曲线的标准方程。 解：由焦距为 知 ，。由 得 ，。由 得 。所以标准方程为 。 答案：。 小结。教师引导学生回顾本节课的主要内容：双曲线的定义（差的绝对值等于非零常数，且小于 ）、两种标准方程的形式及 、、 的关系（）。教师强调双曲线分左右两支，与椭圆进行对比辨析。 五、教学反思 本节课通过拉链实验引入双曲线定义，学生直观感知了双曲线的生成过程，兴趣浓厚。在推导标准方程时，类比椭圆的化简过程，学生能较快理解 的由来。但在例2中，部分学生对设 这种统一形式理解不到位，容易遗漏焦点在 轴上的情况，后续教学中需加强分类讨论意识的培养。此外，课堂形成性练习第1题中 有两个解，个别学生只写了一个，说明对“差的绝对值”理解仍不充分，下节课需通过更多变式加以巩固。整体来看，教学节奏适中，重难点突破到位，但应给予学生更多自主探究与表达的时间。课堂形成性练习第1题解析如下：由方程 知 ，，。由双曲线定义 ，将 代入得 ，解得 或 。答案： 或 。 学科网（北京）股份有限公司 $