4.1 指数-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册下（人教A版）浙江专用

误区1忽略根式有意义的条件 易错题1（错误率35%）(1)若√4a2-4a+1=9(1-2a)3, 则实数a的取值范围是( a[合+e) B(←o,] a D.R (2)已知a<b<0,n>1,n∈N*,化简"(a-b)"+ "/(a+b)n. 正解(1)，√4a2-4a+1=(1-2a)3, ∴.|2a-1|=1-2a, 1 则2a-1≤0，解得a≤2 (2)'a<b<0,.a-b<0,a十b<0 ,n>l,n∈N*, ∴.当n是奇数时，原式=(a-b)十(a十b)=2a; 当n是偶数时，原式=|a-b|+|a十b=(b-a)+ (-a-b)=-2a. ./(a-b)"+w(a+b)"= 2a,n为奇数， -2a,n为偶数. 答案(1)B(2)见正解。 易错探因使根式有意义的条件：根指数为奇数，被开方 数为正负均可，结果的符号与被开方数的符号相同；根 指数为偶数，被开方数非负，结果非负. 误区2对题意理解不透彻 易继题2（错误率250已知两数于）-中骨，若对 任意x1,x2,x3∈R,总有f(x1),f(x2),f(x3)为某 个三角形的边长，则实数m的取值范围是(. A[2] B.[0,1] C.[1,2] n[B习 正解由题意可得f(x1)十f(x2)>f(x3)对任意的 x1,x2,x3∈R恒成立. :f(x)=+m-e+1+m-D=1+m} e+1 e+1 e'+1' 当m>1时，函数y=f(x)是R上的减函数，该函数 的值域为(1，m), ∴.f(x1)+f(x2)>2,f(x3)<m, ∴.m≤2，此时1<m≤2； 当m=1时，f(x)=1,则f(x1)+f(x2)>f(x3)对任 意的x1,x2,x3∈R恒成立； 当m<1时，函数y=f(x)是R上的增函数，该函数的 值域为(m,1), ∴.f(x1)+f(x2)>2m,f(x3)<1, 2m≥1，则m≥2，此时号≤m<1, 综上所述，实数m的取值范围是[号，2]， 答案D 易错探因动不了笔，读不懂题，缺乏逻辑推理能力.对 Hx1,x2x∈R,总有f(x1),f(x2),f(x3)为某一个 三角形的三边长，其实就是2f(x)m>f(x)mx,问题 就转化为求f(x)的值域. 误区3未能熟练掌握换元法 易错题3（错误率40%）设函数f(x)=ba-ax(a> 0,且a≠1，k∈R),f(x)是定义在R上的奇函数. (1)求的值 (2②已知f=是，函数gx)=a2+a“-4f(x, x∈[1,2]，求g(x)的值域。 正解(l):f(x)=ka2一ax是定义在R上的奇函数， .f(0)=0,得k=1. 此时f(x)=a-ar,f(-x)=ax-a=-f(x). 即f(x)是R上的奇函数. ②f=号a-日号即2a2-a-2=0, =2或a=号（喻去， g(x)=224+2-4-4f(x)=(2-2x)2-4(2- 2-x)十2. 令t=2-2+(1≤x≤2)，易知t=2-2x在[1,2] 上为增函数， ae[层]， ∴.g(x)=g(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2. 当：-5时g)有最大值名，第四章指数函数与对数函数 4.1指数 变式训练答案 [变式110.081片-3×(3)门×[815+ (3)]幸-10X0.0272=0.3-3x1D1× (r+号)-10xa8-=9日3=a (2)由x-1=1可知x2=x+1, x-x x工 x x2 +1xx+1x+1=1. [变式2]B提示：3=5,3=6， 8*==1239-6=36-9"- 36 [变式3]D提示：(a6十ab)2=8→a6十a-6=6, .(a5-ab)2=a2b十a-b-2=4. 又a>1,b>0,a>ab，a5-ab=2. [变式4]令3=2=6=t(t>0), 则3=，2=，6=， 显然有中-→+行日 w京高-- ()-2 212是2+2=2-2 (2)由(1)可以猜测结论：f(x)+f(1-x)=1, 22-2x 根据函数式f(四)+j01-222 22 2 2+22十20+21. 设s=()+(品)+（品）+()+叶 f(器)+f(8), 将s倒序排列，得=f(照)+f(器)+f(品)十 f()++(品a)+f(), 根据结论，将上面两式相加得2s=99,故5=9. 2 真题演练答案 1.B提示：由[t]=1,得1≤t<2. 由[t2]=2,得2≤t2<3 由[t4门=4，得4≤t<5,所以2≤t2<5, 由[t3]=3,得3≤t3<4,所以6≤t5<45. 由[t5]=5,得5≤t5<6与6≤t5<45矛盾. 故正整数n的最大值是4. 2.D提示：f(()=f(3×8-b)=f(号-6). 当号-6<1，即6>号时，3×（号-b）-6=4,解得 6=名（含去）.当号-6≥1，即6≤号时，20=4，解 得6=2 练习册答案 A学考过关练 1.A2.BD3.A4.A 5.C提示：由a>0,得 a? =q2 Wa·a 6.D提示：根据题意，得(10)2=10m-=10m× 10”=(10)2×(10)2=2×32=8 9 因为10学≥0所以10宁-一√侣 -2 8_22 31 7.BD提示：因为m,n是方程2x2+3x一1=0的两根， 所以由根与系数的关系可得m十n=一 3 2,mn= -所以m2+=(m+-2m=.（）” (仔)-（分）’=8,6-6=日()” (4)”=(64)-8,所以BD正确 &g×83+()+(-6+2-5第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 重点和难点 课标要求 1.理解根式与指数幂的意义. 重点：实数指数幂的运算及其性质。 2.掌握根式的化简， 难点：用有理数指数幂逼近无理数指数暴 3.掌握有理数指数幂的运算 口01-必备知识梳理。幻 基础梳理 知识点1根式的概念及性质 1.n次方根的定义与性质 同敲黑板 对于根式a,要注意以下 般地，如果x”=a,那么x叫作a的n次方根，其中n>1,且 几点： 定义 n∈N' 1.n>1,且n∈N. 2.当n为大于1的奇数 正数aα的偶次方根有两个，它们互为相反数，正、负偶次方根分别 时，Wa对任意的实数a都有意 表示为a,-a(n∈N*,n为偶数，a>0) 义，它表示a在实数范围内唯 一的一个”次方根，从而有 负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义） (Wa)"=a. 3.当n为大于1的偶数 性质 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示 时，Wa只有当a≥0时才有意 为a(n∈N*,n>1,n为奇数，a∈R) 义，当a<0时无意义.a(a≥0) 表示a在实数范围内的一个 0的任何次方根都是0，记作6=0(n∈N*,n>1) n次方根，另一个是一a,从而 正数a的正n次方根叫作a的n次算术根(n∈N*,n>1) 有（土a)"=a. 刀作比较7 2.根式的定义与性质 a与(a)”的区别 定义 当a有意义时，式子a叫作根式，n叫作根指数，a叫作被开方数 1.a"是实数a"的n次方 根，是一个恒有意义的式子，不 受n的奇偶限制，但这个式子 (1)an= a(n为奇数)， 的值受n的奇偶限制.其算法 性质 a(n为偶数)； 是对a先乘方，后开方（都是 (2)(a)"=a(n∈N*,且n>1) n次)，结果不一定等于a.当n 为奇数时，a”=a;当n为偶 1 重滩点手细高中数学必修第一册（下）尺Ua(浙江专用) 知识点2分数指数幂 a,a≥0， 数时，a=la a,a0. 1.正数的正分数指数幂的意义：a-am (a>0,m,n∈ 2.(a)”是实数a的n次 N*,且n>1). 方根的n次幂，其中实数a的 取值由n的奇偶决定.其算法 2.正数的负分数指数幂的意义： a >0,m,n∈N*, 是对a先开方，后乘方（都是 n次)，结果恒等于a. 且n>1) 3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 国敲黑板 于是可知在a>0,m,n∈N*,且n>1的条件下，有Vam= 对分数指数幂概念的理解 a”,即任何根式都可以写成分数指数幂的形式。 1.分数指数幂是指数幂概 重难拓展 念的又一推广，分数指数暴a” 重难点1实数指数幂的运算性质 不能理解为个a相乘，它是 1.有理数指数幂 根式的一种新的写法.在这样 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推 的规定下，根式与分数指数幂 广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也 是表示相同意义的量，只是形 同样适用，即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质： 式不同而已 2.正数的负分数指数幂在 (1)a'a'=a+(a>0,r,s∈Q). 有意义的情况下，总表示正数 (2)(a')'=a(a>0,r,s∈Q) 而不是负数.把根式"am化成 (3)(ab)'=a'b(a>0,b>0,r∈Q) 分数指数暴的形式时，不要轻 2.无理数指数幂 易对”进行约分 对于无理数指数幂，我们可以从有理数指数幂来理解，由于 无理数是无限不循环小数，因此可以取无理数的不足近似值和过 3.在保证相应的根式有意 义的前提下，负数也存在分数 剩近似值来无限逼近它，最后我们也可得出无理数指数幂α (a>0,a是无理数)是一个确定的实数， 指数暴，如(-5)号=-5) 可以证明有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指 有意义，但（一5）子=-5)月 数幂 就没有意义。 [说明]对于任意实数a,都有1°=1,0的正无理数指数幂为 0,0的负无理数指数幂没有意义. 3.幂指数的扩充 幂指数 定义 底数的取值范围 正整数 a"=a·a·…·a(n∈N) a∈R 指数 n个 数指 零指数 a°=1 a≠0且a∈R 负整数 e”三上(z三y) a≠0且a∈R 指数 第四章指教函数与对款函教么出 续表 幂指数 定义 底数的取值范围 a∈R 正分数 a是=a(m,n∈N,n>1, n为奇数 指数 且m,n互质) n为偶数 a≥0 数 负分数a”= 1 =(m,n∈N*,n> n为奇数 a≠0且a∈R 指数 1,且m,n互质) n为偶数 a>0 当a>0且x是无理数时，a” 无理数指数 一般规定a>0 是一个确定的实数 例①用分数指数幂的形式表示下列各式 (IWavavaa. (2) bavb3 (a>0,b>0). 解析(1Wa√a√aa -√a√aa √aaa-√aa=a品 (2)方法一（从里向外化） 源-·-g 层-层 - =a1量片.b+量音=a6意】 方法二（从外向里化） 层-（原）-（原门 -医)门-()·)() _a.bi.ai 6a6 点评先将根式转化为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算性质进 行化简. 3 重滩点手细高中数学必修第一册（下）尺Ua(浙江专用) 例②化简（式中各字母均为正数）： (1)(xEy5)6 (2)4x京.3x京(-y)·y9 解析(1）原式=xxw6y5x6=x25y3 (2)原式=-12x立方y-9=-12y华」 口02关键能动提升。 题型方法 解机(1)原式=(2)(102)言×(22)3× 题型】幂和根式的化简与求值 [(号门=×10x2*×(号)'=86号 1.幂和根式化简求值的基本方法 (2)原式=√(2)2+(3)2-2√3X√2+ (1)在进行幂和根式的化简时，一般是先 将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数 √J2+(3)2-2X2X3 +√(W6)2+1-2X√6X1 指数幂，尽可能地统一成分数指数幂的形式， √(W6)2+(W2)2-2X√6X√2=√3-√2+2-3+ 再利用幂的运算性质进行化简、求值和计算， √6-1-(W6-√2)=2-√2-1+√2=1. 以达到化繁为简的目的. (2)对于根式的计算结果，并不要求统一 8-(侵)'×)×停)+10X石。 的表示形式，一般用分数指数幂的形式来表 +3002+(24)=4×3×3 X 10×(5+2)+10W3 示.若有特殊要求，则按要求给出结果，但结果 31 22 中不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既 2 -103-20+10W3+2=-16. 含有分母又含有负分数指数幂，即结果必须化 2.乘法公式的灵活运用 为最简形式 某些问题中，要注意立方和、立方差公式 (3)指数幂四则运算的顺序是先算乘方， 在分数指数幂中的应用.因为二项和、差公式 再算乘除，最后算加减，有括号时要先算括号 与平方差公式一般一目了然，而立方和、立方 里面的. 差公式却不易发现.如： 例③计算： a=(a)3; 18×1o0×()×. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2); a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2); (2)W/5-26+√7-43+√J7-2√6 a2+b2=(a+b)(a-ab+b); √8-43 a是-b=(a-b)(a十ab3+b). 3)a5×9)×6》+108-2》 例④化简下列各式： +16 1)1-a31+a号 300 a-a专1十a 第四章指教函教与对教函教么出9 (2)2x1一+x+1_x-x 题型2幂运算的综合应用 x+x+1x+1x-1 1.含附加条件的求值问题 (3) (a3+a-3)(a3-a-3),a2(1+a4)-2 a4+a4+1)a-a)a-a1 例BD已知z5-5),mEN, 点拨(1)进行1的代换：1=aa,1=a立a 则(x十√/I十x)”的值为() (2)(3)可利用立方差、立方和、平方差公式进 A.3 B.4 c号 D.5 行化简 解折(1)原式=a-a。a+。 2已知2=-1a.则后》-（力 a是-a支 1+a A.-22 B.2√2 =a1a-1)_a(a+1） a(a-1) 1+a =a立-a=0. 留(1：=6-5. (2原式=-+r+D 2=6-2+5). x号+x+1 +1D(z号-x+1)x(z+1)(x-1) 1+x=6+2+)=6+y. x+1 x3-1 x+)=[-6)++ =x-1+x-x+1-x3-x=-x 5)”=6y=5 a5-a-6 (3)原式=a+a+1)(a-a) (2)由题意可得2=10,5=10°， a2+a-2-2 a-a-i 4=10,25=10忌，两式相乘得100=102+号， (a2)3-(a-2)3 -(a*+a4+1)(a-a) +(a-a1)2 a-a-1 =a-a)a+1+a (a4+a-4+1)(a-a1) +(a-a1) (2+2)-2-8=2. =(a+a1)+a-a1 答案(1)D(2)B =2a. ●变式1(2026·江西新余分宜中学检测) ◆变式2若3”=53=6，则值为的是 ( ). ()计算0.0081-[3×(g)门× A() B.33a-29 [81-35+68)月-10x0.027i C.3a3-92 D.325a-69 ●变式3若a>1,b>0,且a6十a-b= ②已专1其申0水 2√2，则a一ab的值为(). A.6 B.2或-2 的值 C.-2 D.2 5 重滩点手细高中数学必修第一册（下）尺UA(浙江专用) 2.幂的证明问题 (1)求证：f(x)在(0，十∞)上是增函数（已 例6已知ax3=y3=cz3,且1+1+1 知y=x3在R上是增函数)， xy之 (2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9) =1,求证：(ax2+by2+c22)=a+b+c】 一5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函数 [点拨根据已知条件a.x3=by3=cz3,设一个参 f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成 数t,用含t的式子表示ax2+by2十c22与a+b+ 立的一个等式，并加以证明。 c,从而找到(ax2+by2十cz2)3与a+b+c之间 证明(1)设x1>x2>0, 的关系 “y=x在R上是增函数，x>x 证明]令ax3=by3=cz3=t, 又：(x1x2)百>0， f(x1)-f(x2) =3, -x-+ ax+w+ew)-(侵+号+)》月 -云-[1+e)>0 ∴.f(x)在(0，十∞)上是增函数， (2)经计算知f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9) 又1+1+1=1， 5f(3)g(3)=0, x y z 由此猜想f(x2)-5f(x)g(x)=0. (ax2+by2+c22)=t 由az=6y=cz=, 证明如下：f(x2)-5fx)g(x)-号(x-x) +z-)=-x) y 22 ◆变式5已知函数f(x)=2十2 =但++)- ∴.(ax2+by2+cz2)=a+b+c号 1)求f》()的值 [点评设辅助未知数是针对数学问题“层次性” 2)求f(00+f(品)+f(18)+… 的深刻认识的体现，是把复杂问题转化为两个或多个 基本问题的重要分析方法。 f照)+()的值 ●变式4设a,b,c都是正数，且3a=2= 易错警示 求证日日 ◆易错题1（错误率35%）(1)若 3.与函数知识的综合应用 √4a2-4a十1-(1-2a),则实数a的 例☑(2026·南昌高三模拟测试)已知函 取值范围是( ). 5g(x)=xx 数f(x)=x一x 5 A+ 6 第四章指教函教与对教函教么出型 c D.R /(a-b)n+(a+b) (2)已知a<b<0,n>1,n∈N*,化简： 参考答案见《全书易错题集》第1页 口03-核心泰养墨焦， 考向分类 令x=0,得f(1)=-f(1),所以f1)=0. 考向1指数幂的运算 f()=f(-8+2)=f(2)=-f(2》 例8（经典·重庆卷）若x>0,则(2x+ =-2, 3)(2x-3)-4x(x-x)= 所以f(-)+f)=-2. 解标(2x+3)(2z-3)-4红(x-x 答案-2. =4z立-33-4x+4=-23. 回归教材 教材P107练习第3题与函数性质相结合 答案-23. 常考题型 选填题难度系数0.8 高考热度 ★★ 回归教材教材P107例4 核心素养 数学运算 素养水平水平二 常考题型 选填题难度系数0.8高考热度 ★★ 核心素养 数学运算 素养水平水平二 真题演练 考向2指数幂与其他知识的综合问题 1.(经典·湖北卷，考向1)设x∈R,[x] 例⑨（经典·四川卷改编）已知函数 表示不超过x的最大整数.若存在实数t,使得 f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈ [t]=1,[t2]=2,…,[t”]=n同时成立，则正 R,都有f(x)=f(x+2).当0<x<1时， 整数n的最大值是( fx)=4,则f(》+f) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(经典·山东卷，考向2)设函数f(x)= 解析因为f(x)是定义在R上的奇函数， 3x-b,x<1 所以f(0)=0. 2,x≥1 若f(》=4,则b=( 又f(x)=-f(-x),f(x+2)=f(x), 所以f(x十1)=-f(1-x). A.1 c D.2 7