4.2.2 指数函数的图象和性质 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

　指数函数的图象和性质 知识梳理 指数函数的图象和性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 值域 性质 (1)过定点 ，即x＝0时， (2) 函数 (2) 函数 注意： (1)当自变量x取同一个正数时，底数a越大的函数值y就越大；当自变量x取同一个负数时，底数a越大的函数值y就越小． (2) 函数总是在某一个方向上无限趋向于x轴，并且永不相交． 思考：(1)对于指数函数y＝2x，y＝5x，y＝，y＝，…，为什么一定过点？(2)根据指数函数的图象，？处y的范围是什么？ （3）观察教材图4.2－5，你能总结一个关于指数函数的性质吗？ 底数 x的范围 y的范围 a>1 x>0 x<0 0<a<1 x>0 x<0 自我检测 1．指数函数的图象都在x轴的上方吗？ 2．若指数函数y＝mx是减函数，那么m的范围是什么？ 3．函数y＝3x的图象都在函数y＝2x图象的上方吗？ 4.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b>0　　 B．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 5．函数y＝的定义域是(　　) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 基础类型一　指数函数单调性的应用(逻辑推理) 1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　　) A．y3>y1>y2　　B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2 2．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 3．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 微提醒：若两个指数式都比1大或都比1小，可以尝试作出图象，根据图象观察比较． 基础类型二　定义域问题(数学运算) 1.求下列函数的定义域 (1)y＝； (2)y＝； (3)f(x)＝＋. 2．函数f(x)＝的定义域为________． 3．函数y＝的定义域为________． 综合类型　指数函数图象的应用(直观想象) 1.　定点问题 (1)函数f(x)＝ax＋1－1恒过定点(　　) A．(1，1)　B．(1，－1)　C．(－1，0)　D．(－1，－1) (2)若函数f(x)＝2ax＋m－n(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－1，4)，则m＋n＝(　　) A．3 B．1 C．－1 D．－2 2.　图象的变换 作出函数y＝的图象，并写出函数的定义域、值域，奇偶性和单调区间． 变式：(1)将本例中的函数变为y＝，试作出函数的图象，并写出函数的定义域，值域，奇偶性和单调区间． (2)函数y＝a在上是减函数，则实数a的取值范围是________． 微提醒：函数y＝a是偶函数，图象关于y轴对称，当x>0时的图象即函数y＝ax的图象． 创新思维　利用单调性比较大小(数学建模) 若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　) A．x＋y≥0　　　B．x＋y≤0 C．x－y≤0 D．x－y≥0 创新题型　判断指数函数的性质(数学运算) (多选题)已知点(2，9)在函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)图象上，对于函数y＝f(x)定义域中的任意x1，x2(x1≠x2)，有如下结论，正确的是(　　) A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2) C．＜0 D．f＜ 随堂检测： 1． 函数y＝5x－1的图象大致是(　　) 2．若指数函数y＝(1－3a)x在R上为单调递增函数，则实数a的取值范围为(　　) A．　　　　　　B．(1，＋∞) C．R D．(－∞，0) 3．若函数y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的图象经过二、三、四象限，一定有(　　) A．0＜a＜1且b＜0 B．a＞0且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0 D．a＞1且b＜0 4．函数f(x)＝a1－x＋5(a＞0且a≠1)的图象必过定点________． 5．不等式4x<42－3x的解集是________． 学科网（北京）股份有限公司 $