3.2.1 单调性与最大(小)值-【重难点手册】2026-2027学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版）浙江专用

①当0≤-号≤1时，f(x)m=m=f(-g）=- +6,f (x)mx=M=max(f(0),f (1))=max(6,1+ a+b}, 放M-m=mx受，1+a+},与a有关，与6无关 ②当-号<0时，f(x)在[0,1]上单调递增， 故M-m=f(1)-f(0)=1十a,与a有关，与b无关， ③当-号>1时，f(x)在[0,1止单调递减， 故M-m=f(0)-f(1)=-1-a,与a有关，与b无关 综上所述，M一m与a有关，但与b无关. 练习册答案 A学考过关练 1.A提示：f(x)=x2-2ax十b开口向上，对称轴为 x=a,在区间(-∞，1]上是减函数，则a∈[1，十∞). 2.D提示：由题意，二次函数y=x2-ax十8的图象的 对称轴为直线x=受，函数y=丘在[0，十0)上为增 函数，，函数y=√x一ax十8在区间[1,2]上单调递 122-2a+8≥0， 孩号见 解得4≤a≤6，.a的取值 范围是[4,6]. 3C提示：f)-名=1+牛0若f)在区间 （一2，+∞)止单调递增，则十10 解得k≤-2. k≤-2， 4.BC提示：对于A选项，若函数f(x)在R上为增函 数，则对于任意的x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)< f(x2)一定成立，若f(3)>f(2)成立，不具有一般性， 比如f(2)>f(0)不一定成立，所以函数f(x)在R上 不一定是增函数，A错误；对于B选项，若函数f(x)在 R上为减函数，则对于任意的x1,x2∈R且x1<x2, f(x1)>f(x2)一定成立，所以f(3)<f(2)一定成立， 所以若f(3)>f(2),则函数f(x)在R上不是减函数， 故B正确；对于C选项，若定义在R上的函数f(x)在 区间（一∞，0]上是增函数，在区间[0，十∞）上也是增 函数，则满足对于任意的x1,x2∈R且x1<x2,f(x1)< f(x2)一定成立，所以函数f(x)在R上是增函数，符 合增函数的定义，故C正确；对于D选项，设函数f(x)= 36 |x+1,x0, 是定义在R上的函数，且f(x)在区间 x-1,x>0 (一∞，0]上是增函数，在区间(0，十∞)上也是增函数， 而-1<1，但f(一1)=f(1),不符合增函数的定义，所 以函数f(x)在R上不是增函数，故D错误 5.ABC提示：A,B选项，y=f(x)在(0，十∞)上是减函 数，且0<x1<x2,故f(x1)>f(x2),f(x1)-f(x2)> 0,A,B正确；C,D选项，因为x1一x2<0,f(x1) f(x2)>0,所以(x1-x2)(f(x1)-f(x2)<0, f(x)-f(x)<0,C正确，D错误 x1-x2 (-x2十2x+3,x≥0， 6.(1)f(x)=-x2+2|x|+3= 画 -x2-2x+3,x<0, 出函数f(x)的图象如图所示. 由函数f(x)的图象得，函数f(x)的单调递增区间为 (-∞，一1)，(0,1)，单调递减区间为(-1,0)，(1，+∞). y=f(x) 8-2102345元 -2 (2)因为f(1)=f(-1)=4, 所以由函数f(x)的图象可得，f(x)的值域为（一∞，4]. x+3,x≤1， 7.(1)当k=1时，f(x)= 1-1,x>1, x+ 元 由f0m)=号 m+3-3 m+-1=2, 2'或 m十 m≤1 m>1, 解得m=一名或风=2，所以实数m的值为-号或2 (2)当x≤1时，f(x)=x+3,值域为(-∞，4幻.当x> 1时，分以下两种情形来讨论： 情形-：若0<k≤1，此时厦≤1，则f(x)=x+-1 x 在区间(1，十∞)上单调递增，此时f(x)的值域为(k, 十∞)，所以函数f(x)的值域为(-oo,4]U(k,十∞) =R,满足题意 所以0<k≤1满足题意。 情形二：若k>1,此时E>1,则f(x)=x+兰-1在 区间(1，√]上单调递减，在区间（√反，十∞）上单调递 增，此时f(x)的值域为[2√E一1，十o),所以f(x)的 值域为(-∞，4幻U[2√E-1,+∞)， 由题意可得2，瓜-1<4，解得及<空，所以1<<空。 综上所述走的取值范围是0<≤空》。 8(当a=4时，fx)考在2，十四)止单调造减 证明如下：任取x1,x2∈(2，十∞)，且x1<x2, 则fx)-fz2)=+4_2+4 x1-2x2-2 =x1十40(x2-2)-(x2+4)(x1-2) (x1-2)(x2-2) 6(x2-x1) =(x1-2)(x2-2)' 由x2>x1>2,得x2-x1>0,x2-2>0,x1-2>0,所 6(x2-x1) 以fx1)-fx:)=1-2(c,-2>0, 即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(2，十∞)上单调 递减. (2)若函数f(x)在区间(2，十∞)上单调递减，则a>一2. 证明如下：任取x3,x4∈(2，十∞)，且x3<x4, 则f(x)-f(x)=+a_x十a x3-2x4-2 =（x3十a)(x4-2)-(x4十a)(x-2) (x3-2)(x4-2) =a十2)(z4-x) (x3-2)(x4-2)’ 由x4>x3>2,得x4-x3>0,x4-2>0,x3-2>0, 由a>-2得a+2>0, 所ue）0)-名o, 即f(x3)>f(x4), 所以函数f(x)在(2，十∞)上单调递减. B高考提能练 1B提示：由f)-f≥1， x1一x2 得f)-f）-1≥0， x1一x2 则f)-1-[f）-x2≥0， x1一x2 设函数g(x)=f(x)一x, 则对y1,∈1，十o)都有8)g≥0成立， x1一x2 所以函数g(x)=x2-2a.x十1在区间[1，十c∞)上单调 递增，所以一二分≤1，解得a<1,则a∈（一0,1山 2.D提示：f(x)的图象如图，对称轴为直线x=1,f(1)= 4,令x2-2x-3=4,得x=1±22.f(-1)=0, ∴数形结合可得-1<m≤1或m≥1十2√2. -2-1012345x 3.A提示：当a<0时，f(x)在（一∞，a)上单调递增，此 时f(x)无最小值，不符合题意；当a=0时，f(x)= 1,x<0, 当x≥0时，f(x)mm=f(2)=0,又x< (x-2)2,x≥0， 0时，f(x)=1,f(x)存在最小值0，满足题意；当0< a<2时，f(x)在（一∞，a),(a,2)上单调递减，在(2， 十∞)上单调递增，若f(x)存在最小值，则-a2+1≥ f(2)=0,解得-1≤a≤1，.0<a≤1；当a≥2时， f(x)在（一∞，a)上单调递减，在(a,十o∞）上单调递 增，若f(x)存在最小值，则-a2+1≥f(a)=(a 2)2,不等式无解.综上所述，实数a的取值范围为[0， 1],则a的最大值为1. 4.C提示：当x2∈[2,4]时，有g(x2)∈[1,2].Vx1∈ [1,4],3x2∈[2,4]，使得f(x1)>g(x2)成立，等价 于Vx1∈[1,4幻，f(x1)>1.即x2-mx+3>0在x∈ [1,4们上恒成立，参变分离可得工十三>m.当x∈[1， x 4幻时，x+3≥25，当且仅当x=3时取等号，所以 m<2√3. 5.ACD提示：当x∈[0,1)时，[x]=0,f(x)=2(2- x);当x∈[1,2)时，[x]=1,f(x)=3(2-x);当x∈ [2,3)时，[x]=2,f(x)=4(x-2);对于选项A, f(）=多，故A正确对于选项B,因为f(分）=3， f1)=3,即f(2)=f1),可知fx)在[0,2)上不单 调，故B错误.对于选项C,当x∈[0,1)时，f(x)=2(2- x)∈(2,4幻；当x∈[1,2)时，f(x)=3(2-x)∈(0,3]； 当x∈[2,3)时，f(x)=4(x-2)∈[0,4)；综上所述， f(x)的值域是[0,4]，故C正确.对于选项D,令f(x) 37 x≥0，当x∈[0,1)时，f(x)-x=4-3x>0,解得0≤ x<1;当x∈[1,2)时，f(x)-x=6-4x≥0，解得 1≤x≤2；当x∈[2,3)时，f(x)-x=3x-8>≥0，解 得≤x<3:综上所述，y=了)一x的定义域为 [o,]U[号3)放D正确， 6()当a=2时，f)=x+2,所以f2)=2+号=3. (2)f(x)在区间(0，十o∞)上单调递增，证明如下： 任取≥x>0,则fx)-fx)=(1+异） (+）=-x1-z）】 又a<0,则1-a>0,且x1-x2>0,所以f(x1)> f(x2),即f(x)在区间(0，十∞)上单调递增. |x2-x+1,-1≤x<1, 7.(1)若a=1,则f(x)= x2+x-1,1≤x≤2， 当1x<1时r)e[: 当1≤x≤2时，f(x)∈[1,5]； 所以f)的值城为[？.司： (2)若f(x)≥1对x∈[-2,2]恒成立，即ax-1≥ 1-x2对x∈[-2,2]恒成立； 当x=1时，f(x)≥1成立，a∈R; 当x∈[-2,1)时，ax-1|≥1-x2恒成立，则a(1一 x)≥(1+x)(1-x)恒成立， 所以a≥1十x恒成立，所以a≥2； 当x∈(1,2]时，ax-1≥1-x2恒成立，则a(x- 1)≥(1十x)(1-x)恒成立， 所以a≥-(1十x)恒成立，所以a≥-2. 综上可得，a≥2.故a的取值范围为[2，十∞). 8.(1)函数g(x)满足g(2x+1)=(2a-4)x十a-3, 设2z+1=,则x-号，则g0=(2a-4).分+ a-3=(a-2)t-1,即有g(x)=(a-2)x-1. 因为对任意实数x,都有f(x)十g(x)>a恒成立， 即有x2-2ax-1+(a-2)x-1>a,即x2-(a+2)x a-2>0恒成立， 所以△=(a十2)2+4(a十2)<0，解得-6<a<-2, 即a的取值范围是（一6，一2）. 38 (2)存在x∈[1,3]，使得f(x)-g(x)≤a成立， 即存在x∈[1,3]，使得x2+(2-3a)x-a≤0成立， 设h(x)=x2+(2-3a)x-a, 可得h(1)≤0或h(3)≤0，即1+2一3a一a≤0或9+ 6-9a-a<0,解得a≥或a≥号，所以a>, 即a的取值范国是[子十一) (3)若对任意x>0,都有f(x)g(x)≥0恒成立， 即 f(x)≥0， fx)0对任意x>0恒成立. g(x)≥0g(x)≤0 由于f(x)是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=a, gx)是过点（二20）的直线a=2时不满足题意)， 且f0)=g0)=-1,所以a>2,且f(22)-=0,可 得a=+7 39 当a<2时，不满足题意. 故实数a的取值集合是4十7} 3/ C拓展拔高练 1.(-∞，-1)U(1,十∞).提示：由于是三角形的三 边，因而2f(x)血>f(x)mx,由于f(x)in=f(1)= k2,f(x)x=f(0)=b2+1,因而2k2>k2+1,解得 k∈(-∞，1)U(1,十∞). 2.0;[0,1).提示：当x∈[-2，-1)时，f(x)=x-[x]= x十2，当x∈[-1,0)时，f(x)=x-[x]=x+1,当 x∈[0,1)时，f(x)=x-[x]=x,当x∈[1,2)时， f(x)=x-[x]=x-1,当x∈[2,3)时，f(x)=x [x]=x-2,当x∈[3,4)时，f(x)=x-[x]=x-3,…, 以此类推，可得f(x)=x一[x]的图象如图所示，由图 知，函数f(x)的最小值为0，f(x)的值域为[0,1)，所 以若函数y=f(x)的图象与直线y=m有无数个交 点，则m∈[0,1). 3.2.2奇偶性 变式训练答案 [变式1]ACD提示：A选项，令F(x)=f(x)g(x), F(-x)=f(|-x)g(-x)=f(xI)g(x)=F(x),重难点手册高中数学必修第一册（上）？J(浙江专用) 3.2函数的基本性质 3.2.1单调性与最大（小）值 A学考过关练 测试时间：15分钟 D.f(z)-f(r0 x1一x2 1.[题型3](2022·浙江省学业水平考试)已知函 6.[题型2、4]已知函数f(x)=一x2十2x|+3. 数f(x)=x2-2ax+b在区间(-∞，1]是减 (1)画出该函数的图象，并写出该函数的单调 函数，则实数a的取值范围是( 区间 A.[1,+∞) B.(-∞，1] (2)求该函数的值域. C.[-1,+∞) D.(-∞，-1] 2.[题型3]已知函数y=√x2-ax十8在区间 [1,2]上单调递减，则a的取值范围是( A.[6,+∞) B.(-∞，4] C.(-∞，4]U[6,+∞)D.[4,6] 3.[题型3]若函数f(x)=x十 x-k 在区间（一2， 十∞)上单调递增，则实数k的取值范围是 (). A.(-∞，-1) B.{-2} x+3,x≤1， C.(-∞，-2] D.(-∞，-2) 7.[题型4]已知函数f(x) 4.[题型2]（多选）下列说法正确的是(). x+-1,x>1 A.若定义在R上的函数f(x)满足f(3)> (k>0). f(2),则函数f(x)是R上的增函数 B.若定义在R上的函数f(x)满足f(3)> （1若k=1,/m)=多求实数m的值 f(2),则函数f(x)不是R上的减函数 (2)若函数f(x)的值域为R,求k的取值范围. C.若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0] 上是增函数，在区间[0，十∞)上也是增函 数，则函数f(x)在R上是增函数 D.若定义在R上的函数f(x)在区间（一∞，0] 上是增函数，在区间(0，十∞)上也是增函 数，则函数f(x)在R上是增函数 5.[知识点1]（多选）若函数y=f(x)在(0， +∞)上是减函数，且0<x1<x2,则下列选项 正确的是(). A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)-f(x2)>0 C.(x1-x2)(f(x1)-f(x2)<0 34 第三章函教的概念与性质么翅 8.[题型1,3]已知函数f(x)=+8 4.[题型4]已知函数f(x)=x2一mx十4，g(x)= x21 (1)若a=4,判断函数f(x)在(2，十∞)上的单 2x.若“x1∈[1,4]，3x2∈[2,4]，使得 调性，并利用单调性的定义证明你的结论. f(x1)>g(x2)成立”为真命题，则实数m的取 (2)若函数f(x)在区间(2，十∞)上单调递减， 值范围是(). 写出a的取值范围并证明. A.(0,2) B.(-1,0) C.(-∞，2√3) D.（-4,2) 5.[题型4]（多选）设[x]表示不超过x的最大整 数，如[0.8]=0，[1.2]=1.函数f(x)=(2十 [x])|x一2，x∈[0,3)，则下列结论正确的是 (). Ar()-是 B.f(x)在[0,2)上单调递减 C.f(x)的值域是[0,4 ny=f)-的定义蚊为0引U[g B高考提能练 6.[题型1]已知函数f(x)=x+a 测试时间：15分钟 1.[题型3]已知f(x)=x2一(2a-1)x+1,对 (1)若a=2,求f(2)的值. V1,x,e1,+∞)都有f)-fx,)≥1 (2)若a<0,判断f(x)在区间(0，十∞)上的 1一x2 单调性，并用定义证明， 成立，则实数a的取值范围是(). A.[1,+∞) B.(-∞，1] C.[2,+o∞) D.(-∞，2] 2.[题型4]已知函数f(x)=|x2-2x一3|在 [一1，m]上的最大值为f(m),则m的取值范 围是(). A.(-1,1] B.(-1,1+22] C.[1+2W2,+∞) D.(-1,1]U[1+2√2，+o∞) 3.[题型4]设函数f(x)= -ax+1,<a若 (x-2)2,x≥a, f(x)存在最小值，则a的最大值为(). A.1 B.-1 c号 n 35 重难手册高中数学必修第一册（上）JA(浙江专用) 7.[题型4]已知函数f(x)=x2十ax一1. 8.[题型4]已知函数f(x)=x2一2a.x一1，函数 (1)若a=1,x∈[-1,2]，求f(x)的值域 g(x)满足g(2.x+1)=(2a-4)x十a-3. (2)若f(x)≥1对x∈[一2,2]恒成立，求实数 (1)若对任意实数x,都有f(x)+g(x)>a恒 a的取值范围. 成立，求实数a的取值范围. (2)若存在x∈[1,3]，使得f(x)-g(x)≤a 成立，求实数a的取值范围. (3)若对任意x>0,都有f(x)g(x)≥0恒成 立，求实数a的取值集合. C拓展拔高练 测试时间：5分钟 1.(2025·中国科学技术大学强基计划招生考试) 若f(x)=(x-1)2+k2,且Ha,b,c∈[0,1]，都存 在以f(a),f(b),f(c)为边的三角形，则k的取 值范围是 2.(2025·华东师范大学第二附属中学期中)高 斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之 一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛 顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的 “高斯函数”为：对于实数x,符号[x]表示不超 过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例 如[π]=3，[-1.08]=-2.定义函数f(x)= x一[x],则函数f(x)的最小值为」 若函数y=f(x)的图象与直线y=m有无数个 交点，则满足条件的m的取值范围为 36