专题02三角形全等的判定、线段垂直平分线及角平分线期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题02三角形全等的判定、线段垂直平分线及角平分线期中复习讲义 ✵复习目标 · 掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），能准确辨析判定条件，规范书写全等证明过程。 · 掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，运用定理证明线段相等、计算线段长度。 · 掌握角平分线的性质定理与判定定理，准确理解 “距离” 的含义，用于线段相等证明与角度计算。 · 掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图，能综合运用上述知识解决简单几何综合题。 ✵高频题型梳理 题型1.图形的全等、全等三角形的概念辨析 题型2.全等三角形的性质应用 题型3.将图形分割成全等图形及利用全等图形求角度之和 题型4.尺规作图：作三角形 题型5.用SSS证明三角形全等 题型6.全等的性质与SSS综合证明 题型7.用SAS证明三角形全等 题型8.全等的性质与SAS综合证明 题型9.用ASA（AAS）证明三角形全等 题型10.全等的性质与ASA（AAS）综合证明 题型11.添加条件使三角形全等 题型12.灵活选用判定方法证明三角形全等 题型13.结合尺规作图的全等三角形综合问题 题型14.线段垂直平分线的性质计算与证明 题型15.尺规作图：作已知线段的垂直平分线 题型16.角平分线的性质定理计算与证明 题型17.连接两点构造全等三角形 题型18.全等三角形综合证明 题型19.尺规作图：作角平分线 题型20.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、全等三角形的判定 SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 补充：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；对应中线、高线、角平分线相等，周长相等，面积相等。 知识点二、线段垂直平分线 定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 补充：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 尺规作图：作一条线段的垂直平分线。 知识点三、角平分线 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 补充：三角形三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等。 尺规作图：作一个角的平分线。 ✵易错提醒 1.SSA 不能判定两个三角形全等；使用 SAS 时，相等的角必须是两组对应边的夹角。 2.书写三角形全等时，对应顶点顺序必须对应，避免找错对应边、对应角。 3.角平分线性质中的 “距离”，指点到角两边垂线段的长度，不是点到边上任意一点的线段长。 4.线段垂直平分线是直线，不是线段；确定一条线段的垂直平分线，需要找到两个到线段两个端点距离相等的点。 5.角平分线的判定仅适用于角的内部，角外部满足到两边距离相等的点，不在该角平分线上。 6.几何证明需步步有据，不可随意省略关键条件与推理依据。 ✵典例精讲 题型1.图形的全等、全等三角形的概念辨析 1．下边图形是全等形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有_____对全等三角形． 3．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 题型2.全等三角形的性质应用 1．如图，在中，于点D，E是上一点．若，的周长为24，，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．如图，，若的面积为，的面积为，则的面积为________． 3．如图，，，，、交于E，． (1)找出与的对应边与对应角； (2)求的度数． 题型3.将图形分割成全等图形及利用全等图形求角度之和 1．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 2．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则________． 3．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 题型4.尺规作图：作三角形 1．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 3．如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 题型5.用SSS证明三角形全等 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取．移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M，N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 3．如图，E，F是线段上两点，，，．求证． 题型6.全等的性质与SSS综合证明 1．按如下步骤（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知：，则______________． 3．如图，点在同一条直线上，分别是线段的中点，．求证：． 题型7.用SAS证明三角形全等 1．如图，在和中，，，，但这两个三角形不全等，此例子说明（     ） A．两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等 B．两角和一边对应相等的两个三角形不一定全等 C．两边及其夹角对应相等的两个三角形不一定全等 D．两角及其夹边对应相等的两个三角形不一定全等 2．如图，已知，，若使用“”证明，则应添加的一个条件为______． 3．如图，且，．求证：． 题型8.全等的性质与SAS综合证明 1．如图，，，，，是的角平分线，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，，_________° 3．已知．求证：． 题型9.用ASA（AAS）证明三角形全等 1．的六个元素如图所示，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（     ） A．甲、乙 B．丙 C．乙、丙 D．乙 2．如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是：_______． 3．如图，点A，B，D，E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型10.全等的性质与ASA（AAS）综合证明 1．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若且的面积为6，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在四边形中，若，，，则四边形的面积________． 3．如图，在中，D是上一点，，E是外一点，，．求证：． 题型11.添加条件使三角形全等 1．如图，已知，，添加下列条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，连接．请添加一个适当的条件：___________．使（只需写一个） 3．如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 题型12.灵活选用判定方法证明三角形全等 1．如图，在正方形网格中画出以点D、E、F为顶点的（点F在正方形网格的顶点上），使所作的与全等，这样的三角形最多可以画出（     ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 2．如图，海海家有一块直角三角形的瓷砖（阴影部分）不小心损坏，现要定制一块完全相同的瓷砖进行替换．若家里只有一把足够长的直尺，请设计一个测量方案：_______．理由：_______． 3．如图 ，在 和 中，，． (1)请你再添加一个条件，使，并写出判定依据； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 题型13.结合尺规作图的全等三角形综合问题 1．如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______． 3．如图，已知，请用尺规作图法在直线下方作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 题型14.线段垂直平分线的性质计算与证明 1．如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 2．如图，在中，是的中点，，，交于，，，则的长为__________． 3．【问题呈现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【问题解决】 (1)如图①，直线l是线段的垂直平分线，点P 在直线l的左侧，经测量，请证明这个结论． 证明：如图②，连结、，交直线l于M，连结． ∵直线l是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴． ∵（▲）， ∴． 请补全 ，“▲”处应填写的推理依据为 ． 【迁移应用】 (2)如图③，直线l是线段的垂直平分线，点 C在直线l外，且与点A 在直线l的同侧，点 D 是直线l上的任意一点，连结，直接写出和之间的大小关系． 题型15.尺规作图：作已知线段的垂直平分线 1．如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若面积为，且长度的最小值为，则长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，小红分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点；又分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点，连接，，若的面积为2，则的面积是_______． 3．如图，在四边形中，，，连接． (1)求证：； (2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F（不写作法，保留作图痕迹） 题型16.角平分线的性质定理计算与证明 1．如图，在中，平分，点是的中点，连接，若，，的面积是4，则的面积是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．如图，中，，是的角平分线，于点E，于点F，若，则的长为_______． 3．如图，在中，的平分线与外角的平分线相交于点D，射线交的延长线于点N，连接． (1)若，，，的面积为20，求的面积； (2)若是的垂直平分线，求的度数． 题型17.连接两点构造全等三角形 1．如图，在一个被称为风筝模型的四边形中，，，分别在边，上的两点，处拉两根彩线，，补充下列条件，能使两根彩线和的长度相等的是（   ） A． B． C． D．以上都可以 2．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 题型18.全等三角形综合证明 1．如图，OA平分，点P在OA上，点B，C分别在OM，ON边上，有如下条件：①，；②；③；④．选取其中一个一定可以得的条件是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 2．如图，已知，，，点、、、共线．则下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．（只填写序号） 3．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．     B． C．    D． (2)求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 题型19.尺规作图：作角平分线 1．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 2．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是________． 3．如图，是钝角三角形 (1)利用直尺和圆规作图(要求：保留作图痕迹，不写作法)：①在上求作一点 D，使得点D到点A、点B的距离相等；②连接，在上找一点E，使得点 E到、的距离相等： (2)中， 若，在（1）所作的图形中，则的周长为 ； (3)中，若，在（1）所作的图形中，则的度数为 ． ✵分层专项训练 一、单选题 1．已知：如图，，若，，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．8 2．如图，，若要使，则添加的一个条件后不能判定全等的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（     ） A． B． C． D． 4．三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 5．如图，中，是的平分线，，垂足为，若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，点，在上，，，，则的判定依据是________． 7．如图，已知，若，则的度数为___________． 8．如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③其中，正确结论的是________ ． 9．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交，于点D，E两点，则________．（填“＞”，“＜”或“＝”） 10．如图，在四边形中， ， 与的平分线相交于边上的M 点，，，，则_________． 三、解答题 11．解答以下问题： (1)如图，在中，，外角，求的度数． (2)如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 12．已知：如图，相交于点． (1)求证：； (2)时，求的度数． 13．如图，已知为的平分线，，点在上，于于．求证： (1)平分； (2)． 14．如图，在中，．点在内，连接，，且的平分线交的延长线于点，连接．求证：． 15．如图，在中，，点D是直线上一点（不与点重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．设，． (1)求证：． (2)当点D在线段上运动时， ①，则_______°． ②猜想与之间的数量关系，并对你的结论进行证明． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角形全等的判定、线段垂直平分线及角平分线期中复习讲义 ✵复习目标 掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），能准确辨析判定条件，规范书写全等证明过程。 掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，运用定理证明线段相等、计算线段长度。 掌握角平分线的性质定理与判定定理，准确理解 “距离” 的含义，用于线段相等证明与角度计算。 掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图，能综合运用上述知识解决简单几何综合题。 ✵高频题型梳理 题型1.图形的全等、全等三角形的概念辨析 题型2.全等三角形的性质应用 题型3.将图形分割成全等图形及利用全等图形求角度之和 题型4.尺规作图：作三角形 题型5.用SSS证明三角形全等 题型6.全等的性质与SSS综合证明 题型7.用SAS证明三角形全等 题型8.全等的性质与SAS综合证明 题型9.用ASA（AAS）证明三角形全等 题型10.全等的性质与ASA（AAS）综合证明 题型11.添加条件使三角形全等 题型12.灵活选用判定方法证明三角形全等 题型13.结合尺规作图的全等三角形综合问题 题型14.线段垂直平分线的性质计算与证明 题型15.尺规作图：作已知线段的垂直平分线 题型16.角平分线的性质定理计算与证明 题型17.连接两点构造全等三角形 题型18.全等三角形综合证明 题型19.尺规作图：作角平分线 题型20.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、全等三角形的判定 SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 补充：全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等；对应中线、高线、角平分线相等，周长相等，面积相等。 知识点二、线段垂直平分线 定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 补充：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 尺规作图：作一条线段的垂直平分线。 知识点三、角平分线 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 补充：三角形三条角平分线交于一点，该点到三角形三边的距离相等。 尺规作图：作一个角的平分线。 ✵易错提醒 1.SSA 不能判定两个三角形全等；使用 SAS 时，相等的角必须是两组对应边的夹角。 2.书写三角形全等时，对应顶点顺序必须对应，避免找错对应边、对应角。 3.角平分线性质中的 “距离”，指点到角两边垂线段的长度，不是点到边上任意一点的线段长。 4.线段垂直平分线是直线，不是线段；确定一条线段的垂直平分线，需要找到两个到线段两个端点距离相等的点。 5.角平分线的判定仅适用于角的内部，角外部满足到两边距离相等的点，不在该角平分线上。 6.几何证明需步步有据，不可随意省略关键条件与推理依据。 ✵典例精讲 题型1.图形的全等、全等三角形的概念辨析 1．下边图形是全等形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、两个圆的大小不同，不能完全重合，不是全等形； B、两个图形的形状相同、大小相等，能够完全重合，是全等形； C、两个三角形的形状不同，不能完全重合，不是全等形； D、两个正方形的大小不同，不能完全重合，不是全等形． 2．如图，在四边形中，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，第5个图中有_____对全等三角形． 【答案】 【分析】根据前面三个图形中全等三角形的个数总结出规律即可得到答案． 【详解】解：图1中有对全等三角形， 图2中有对全等三角形， 图3中有对全等三角形， ， 以此类推可知，图n中有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 3．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1) (2)与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解：， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 题型2.全等三角形的性质应用 1．如图，在中，于点D，E是上一点．若，的周长为24，，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】由全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，，若的面积为，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【分析】先根据全等三角形的性质得，再求出，然后根据中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，，，，、交于E，． (1)找出与的对应边与对应角； (2)求的度数． 【答案】(1)与，与，与是对应边，与，与，与是对应角； (2)． 【分析】（1）全等三角形的对应关系由三角形中字母的排列顺序直接读出：中，第1个字母A对A，第2个字母D对F，第3个字母C对B，据此即可写出三组对应边与三组对应角． （2）根据已知平行关系和全等三角形可得出，从而得到，根据平行线性质得到内错角相等，求出；通过角度关系等量代换得到，进而求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型3.将图形分割成全等图形及利用全等图形求角度之和 1．如图，在四边形中，，，点P为上的点不与点A，C重合，观察下列图形中全等三角形的对数．其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…．按此规律，图25中有（   ）对全等三角形． A．196 B．256 C．325 D．351 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律与组合数计算，解题的关键是通过分析线段上的点数，归纳出全等三角形对数的公式． 观察图1到图3上的点数对应（为图序号），全等对数为（为上的点数）；结合图序号与点数的关系，代入公式计算图的对数． 【详解】解：图1中,上有3个点，全等对数为； 图2中,上有4个点，全等对数为； 图3中,上有5个点，全等对数为；得规律：第个图中,上有个点，全等对数为 当时， 故选：D． 2．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则________． 【答案】90 【分析】先证明，得出，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】 如图所示： （答案不唯一）． 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】略 题型4.尺规作图：作三角形 1．在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了利用全等三角形的判定作图，对于没有不属于全等三角形的判定情况，要根据实际情况作图，是本题解答的关键．根据全等三角形的判定，可判断B选项和C选项不符合题意，对于选项A和选项D，则作以点C为圆心，长为半径作弧，查看该弧与直线的交点情况，即可判断答案． 【详解】A、如图1，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连结，则在中， ，，，同样满足题意，所以此三角形不唯一，符合题意； B、， a，b，c三线段能作组成三角形， 根据两个三角形“边边边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意； C、根据两个三角形“角角边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意； D、如图2，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，与直线没有交点，可知此三角形唯一确定，不符合题意． 故选A． 2．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 3．如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】在的上方作，在射线上截取线段，使得，在射线上截取线段，使得，连接，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 题型5.用SSS证明三角形全等 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取．移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M，N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据做法可知三边对应相等，利用判定三角形全等； 【详解】解：在和中， ，，， ， ， 即平分． 2．如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________． 【答案】7 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 以为公共边，与全等的格点三角形有1个， 以为公共边，与全等的格点三角形有3个， 共个． 故答案为：7． 3．如图，E，F是线段上两点，，，．求证． 【答案】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【分析】先证明，再利用即可证明． 【详解】略 题型6.全等的性质与SSS综合证明 1．按如下步骤（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由作图可知， ，，， ， ． 2．如图，已知：，则______________． 【答案】 【分析】连结，证出，再利用三角形内角和的推论即可求得答案． 【详解】解：作射线，在射线上取点， ， ， ，， ， ， 是的外角， ． 3．如图，点在同一条直线上，分别是线段的中点，．求证：． 【答案】证明：∵分别是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据题意得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】略 题型7.用SAS证明三角形全等 1．如图，在和中，，，，但这两个三角形不全等，此例子说明（     ） A．两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等 B．两角和一边对应相等的两个三角形不一定全等 C．两边及其夹角对应相等的两个三角形不一定全等 D．两角及其夹边对应相等的两个三角形不一定全等 【答案】A 【分析】分析已知条件中边角的位置关系． 【详解】解：∵在和中，，，，且不是与的夹角， ∴这是两边及其中一边的对角对应相等的情况， ∵题中说明这两个三角形不全等， ∴此例子说明两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等． 2．如图，已知，，若使用“”证明，则应添加的一个条件为______． 【答案】 【分析】使用“”（边角边）证明三角形全等，需要找出两边及其夹角相等． 【详解】解：， ，即， ，且使用“”证明， 应添加的一个条件为． 3．如图，且，．求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中, ， ． 【分析】根据平行线的性质可得，结合已知条件用“”即可求证. 【详解】略 题型8.全等的性质与SAS综合证明 1．如图，，，，，是的角平分线，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，得到，根据三角形的周长公式结合等量代换，进行求解即可. 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为. 2．如图，，，，_________° 【答案】155 【分析】根据，通过角度关系可得到，结合已知条件，运用“边角边（）定理”可证明，得到；然后根据三角形外角定理可得到，进而求出的度数． 【详解】解，如图，与交于点M， ∵，，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，，（三角形外角定理） ∴， ∴． 3．已知．求证：． 【答案】证明：因为， 所以，即． 在与中， ， 所以． 【详解】略 题型9.用ASA（AAS）证明三角形全等 1．的六个元素如图所示，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（     ） A．甲、乙 B．丙 C．乙、丙 D．乙 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：甲：中的角的对边是a，而甲中三角形的角的对边是b，故甲中三角形和不全等； 乙：利用可证明乙中三角形与全等，符合题意； 丙：利用可证明丙中三角形与全等，符合题意； 故选项C符合题意． 2．如图，，请你添加一个条件，使，你添加的条件是：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意已知一组边相等，一个公共角相等，再添加一个角相等即可求解； 【详解】解：添加， ∵，，， ∴（答案不唯一）． 3．如图，点A，B，D，E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：点A，B，D，E在同一直线上，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由，得到内错角，结合条件，，利用证明； （2）先求出，再根据全等三角形对应边相等得，由算出线段长． 【详解】（1）略 （2）解：点A，B，D，E在同一直线上，，， ， ， ， ． 题型10.全等的性质与ASA（AAS）综合证明 1．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若且的面积为6，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点P作于点E，根据三角形面积公式求出的长，证明求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点E， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； ∵和分别平分和， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在四边形中，若，，，则四边形的面积________． 【答案】8 【分析】延长至点，使，连接，证明 ， 得到，，，则，，再推出，即可得解． 【详解】解：延长至点，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，，． ， ． ， ． 在中，， ． 3．如图，在中，D是上一点，，E是外一点，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴． 【分析】先根据角的和差关系推出，进而利用“角边角”（）证明三角形全等，根据全等三角形性质即可推出结论． 【详解】略 题型11.添加条件使三角形全等 1．如图，已知，，添加下列条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴添加，利用能证明，选项A不符合题意； 添加，利用能证明，选项B不符合题意； 添加，利用能证明，选项C不符合题意； 添加，利用不能证明，选项D符合题意． 2．如图，在四边形中，，连接．请添加一个适当的条件：___________．使（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴添加时满足“边角边”，可证明． 3．如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)③ (2)证明：在与中， ， ． 【详解】（1）解：选择③，即． （2） 略 题型12.灵活选用判定方法证明三角形全等 1．如图，在正方形网格中画出以点D、E、F为顶点的（点F在正方形网格的顶点上），使所作的与全等，这样的三角形最多可以画出（     ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【详解】解：如图， 这样的三角形最多可以画出4个． 2．如图，海海家有一块直角三角形的瓷砖（阴影部分）不小心损坏，现要定制一块完全相同的瓷砖进行替换．若家里只有一把足够长的直尺，请设计一个测量方案：_______．理由：_______． 【答案】 用直尺测量出斜边和一条直角边的长度 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，具体涉及 “斜边、直角边” 判定定理，掌握该定理是解题的关键． 通过测量原直角三角形瓷砖的斜边和一条直角边长度，得到 “能定制出与原瓷砖完全相同的直角三角形瓷砖” 的结论，即可解决问题． 【详解】解：假设原三角形为，要定制的三角形为，           用直尺测量、的长，使得， ∵在和中， ∴． 故答案为：①用直尺测量出斜边和一条直角边的长度， ②斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ． 3．如图 ，在 和 中，，． (1)请你再添加一个条件，使，并写出判定依据； (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 【答案】(1)（依据）（答案不唯一，符合题意即可） (2)添加 ： 在 和 中，，，， 所以 ． 添加 ： 在 和 中，，，， 所以 ． 添加 ： 在 和 中，，，， 所以 ． 【详解】（1）可添加 依据 ；也可添加 或 ，任写一种即可． （3） 略 题型13.结合尺规作图的全等三角形综合问题 1．如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图痕迹结合全等三角形的判定方法，即可求解． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 2．如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为_______． 【答案】35°/35度 【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：． 【详解】解：连接CD，EF 由题目中尺规作图可知：， 在和中 AH平分 故答案为：． 【点睛】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键． 3．如图，已知，请用尺规作图法在直线下方作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，即为所求．（作法不唯一） 【分析】分别作，交于点，根据即可证明． 【详解】略 题型14.线段垂直平分线的性质计算与证明 1．如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，所以的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为． 2．如图，在中，是的中点，，，交于，，，则的长为__________． 【答案】12 【分析】结合D是的中点，，得，根据，，故，证明，得，，即可求出，再证明，则得到，根据即可求解． 【详解】解：连接， ∵D是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， 过作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．【问题呈现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？ 【问题解决】 (1)如图①，直线l是线段的垂直平分线，点P 在直线l的左侧，经测量，请证明这个结论． 证明：如图②，连结、，交直线l于M，连结． ∵直线l是线段的垂直平分线， ∴ ， ∴． ∵（▲）， ∴． 请补全 ，“▲”处应填写的推理依据为 ． 【迁移应用】 (2)如图③，直线l是线段的垂直平分线，点 C在直线l外，且与点A 在直线l的同侧，点 D 是直线l上的任意一点，连结，直接写出和之间的大小关系． 【答案】(1)；三角形任意两边之和大于第三边 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质和三角形三边关系即可解答； （2）结合题干的证明即可解答． 【详解】（1）证明：如图②，连结、，交直线l于M，连结． ∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵（三角形任意两边之和大于第三边）， ∴； （2）解：∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 题型15.尺规作图：作已知线段的垂直平分线 1．如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于、，作直线，为的中点，为直线上任意一点．若面积为，且长度的最小值为，则长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先由作图得出是的垂直平分线，得到，转化，确定最小值为，再结合等腰三角形三线合一与三角形面积公式求出． 【详解】解：如图，连接，， ∵由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． ∵两点之间线段最短， ∴当、、三点共线时，最小，最小值为． ∵的最小值为， ∴． ∵，为中点， ∴． ∵， ∴． ∴． 2．如图，小红分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点；又分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于点，连接，，若的面积为2，则的面积是_______． 【答案】8 【分析】先根据作图得出点D为的中点，点E为的中点，再根据三角形的中线求面积即可． 【详解】解：根据作图可知：点D为的中点，点E为的中点， ∵点E为的中点， ∴， ∵点D为的中点， ∴． 3．如图，在四边形中，，，连接． (1)求证：； (2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)证明：∵， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据证明即可； （2）根据要求作图即可． 【详解】（1）略； （2） 略． 题型16.角平分线的性质定理计算与证明 1．如图，在中，平分，点是的中点，连接，若，，的面积是4，则的面积是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】过点作于点，于点，由点是的中点，可得，再由平分，，，可得，再结合，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ∵点是的中点，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，中，，是的角平分线，于点E，于点F，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】过作于点，根据角平分线的性质得到，再根据计算即可． 【详解】解：过作于点， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． 3．如图，在中，的平分线与外角的平分线相交于点D，射线交的延长线于点N，连接． (1)若，，，的面积为20，求的面积； (2)若是的垂直平分线，求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）过点D分别作，，的垂线，垂足分别为E，F，G，则，根据的面积为20，即与的面积和为20，计算出，再用面积公式计算的面积即可； （2）根据是的垂直平分线推导，再结合平分得到，利用角平分线的判定得到平分，从而利用外角的性质推导 ，从而得解． 【详解】（1）解：过点D分别作，，的垂线，垂足分别为E，F，G， ∵和分别平分和，且，，， ∴． ∵的面积为20， ∴ ，即 ∴， ∴， ∴ ． （2）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵平分， ∴=， ∴． ∵且，， ∴平分， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴ ． 题型17.连接两点构造全等三角形 1．如图，在一个被称为风筝模型的四边形中，，，分别在边，上的两点，处拉两根彩线，，补充下列条件，能使两根彩线和的长度相等的是（   ） A． B． C． D．以上都可以 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 在和 中，利用即可证明，则；然后根据各选项的条件逐项分析即可． 【详解】解：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； A．∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故符合题意； B．∵，，， ∴， ∴，故符合题意； C．∵，，， ∴， ∴，故符合题意； 故选D． 2．如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 3．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)如果要使以B，C，D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标（A点除外）． (3)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． 【答案】(1) 即为所求： (2)或或． (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定、坐标与图形等知识点，熟练掌握轴对称图形的性质及数形结合解决问题是解题的关键． （1）先点关于y轴对称的点的坐标为，同理可得：，，然后再顺次连接即可解答； （2）先根据全等三角形的判定可画出图形，再根据图形可直接写出符合条件的点D坐标； （3）如图：连接，与y轴的交点即为点P，然后直接写出坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． （3）解：如图：连接，与y轴的交点P即为所求． 由平面直角坐标系可得：． 题型18.全等三角形综合证明 1．如图，OA平分，点P在OA上，点B，C分别在OM，ON边上，有如下条件：①，；②；③；④．选取其中一个一定可以得的条件是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题重点考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由平分，点在上，于点于点，可证明，可判断①符合题意；若，由，根据“”证明，可判断②符合题意；若，由，根据“”证明，可判断③符合题意，无法证明④符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：①∵平分，点在上，于点于点， ， ∵， ∴； 故①符合题意； ②∵平分，点分别在边上， ， 在和中， ， ， 故②符合题意； 在和中， ， ， 故③符合题意， ④当，，无法证明，故④不符合题意； 故选：D． 2．如图，已知，，，点、、、共线．则下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．（只填写序号） 【答案】①②④ 【分析】利用证明 ，根据全等三角形的性质可得对应边相等、对应角相等，结合三角形内角和定理及对顶角性质推导角度关系，逐项判定即可求解． 【详解】解： 在与中 结论①正确 结论②正确 设与交于点 ， 即 结论④正确 无条件能证明，故结论③错误 综上所述，正确的结论有①②④ 3．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．     B． C．    D． (2)求的取值范围． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长是6 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到，然后利用证明； （2）由得到，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长交于点F，证明，得到，最后利用全等三角形的性质求解． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 又， ， 由已知和作图能得到的理由是； （2）， ， 在中，， ； （3）如下图，延长交于点F， ， ， 是的中线， ， 又， ， ， , ， ． 题型19.尺规作图：作角平分线 1．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．2.4 B．3 C．4.8 D．5 【答案】B 【分析】过作于，由作图可得，平分，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：过作于， 由作图可得，平分， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 2．如图，直线，直线分别交，于点，．以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点；作射线交于点．若，则的度数是________． 【答案】 /63度 【分析】利用平行线的性质求出的度数，进而求出，最后利用平行线的性质即可求解． 【详解】解： 由作图可知，平分 ∴． 3．如图，是钝角三角形 (1)利用直尺和圆规作图(要求：保留作图痕迹，不写作法)：①在上求作一点 D，使得点D到点A、点B的距离相等；②连接，在上找一点E，使得点 E到、的距离相等： (2)中， 若，在（1）所作的图形中，则的周长为 ； (3)中，若，在（1）所作的图形中，则的度数为 ． 【答案】(1) (2)14 (3) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，作的角平分线交于点； （2）推出的周长等于即可解答； （3）求得，即可推出，再利用角平分线的定义即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵点D到点A、点B的距离相等， ， 的周长； （3）解：， ， ， ， ， ∵平分， ． ✵分层专项训练 一、单选题 1．已知：如图，，若，，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等得出，结合图形利用线段的和差关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，，若要使，则添加的一个条件后不能判定全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知和公共角，根据全等三角形判定定理逐一验证选项即可． 【详解】解：已知和公共角， A、当时，符合的判定条件，故A不符合题意； B、当时，符合的判定条件，故B不符合题意； C、当时，，，即，再结合已知条件，符合的判定条件，故C不符合题意； D、当时，不符合全等三角形的判定条件，故D符合题意． 3．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点和点，连接，若，，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图方式可知直线是线段的垂直平分线，得到，进而转化线段求出的周长． 【详解】解：由题意得：垂直平分， ， 则． 4．三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（     ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 5．如图，中，是的平分线，，垂足为，若，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线性质及垂直定义证明，得出，进而计算的长度． 【详解】解：是的平分线 在和中 ． 二、填空题 6．如图，点，在上，，，，则的判定依据是________． 【答案】 /边角边 【分析】根据证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中，， ∴． 7．如图，已知，若，则的度数为___________． 【答案】/98度 【分析】先利用全等三角形的性质，得到、，算出，记与的交点为F，借助对顶角相等和三角形内角和推导出即可求出角度． 【详解】解：，， ，， ， ， 如图，设与的交点为，则， ． 8．如图，和均是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③其中，正确结论的是________ ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 利用等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． 【详解】∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③错误； 故答案为：①②． 9．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交，于点D，E两点，则________．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】根据尺规作图的方法可知直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：由作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线， ∵点D在直线上， ∴． 10．如图，在四边形中， ， 与的平分线相交于边上的M 点，，，，则_________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质得到和，再根据梯形面积与三角形面积之间的和差关系求出． 【详解】解：过M作于N． ∵， ∴，， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．解答以下问题： (1)如图，在中，，外角，求的度数． (2)如图，已知，，，三点共线，如果，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据外角的定义和性质，即可解决； （2）利用线段求和得到，再根据全等的性质，即可求得． 【详解】（1）解：∵是的外角， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 12．已知：如图，相交于点． (1)求证：； (2)时，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ； (2) 【分析】（1）根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质、三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）略； （2）解：， ， ， ， ． 13．如图，已知为的平分线，，点在上，于于．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)证明：为的平分线， ， 在和中： ， ， 即平分； (2)证明：，， 、分别是点到两边、的距离， 由（1）可知：平分，且点在上， ． 【分析】（1）利用角平分线定义得到一组相等角，结合已知边相等与公共边，用证明三角形全等，再由全等三角形对应角相等证出平分； （2）结合（1）得到的角平分线结论，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，证明． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略． 14．如图，在中，．点在内，连接，，且的平分线交的延长线于点，连接．求证：． 【答案】 证明：由题意，得． ， ． 在和中， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】由可证，再分别计算、、、、的值，再由证，可得． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质等知识． 熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 15．如图，在中，，点D是直线上一点（不与点重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．设，． (1)求证：． (2)当点D在线段上运动时， ①，则_______°． ②猜想与之间的数量关系，并对你的结论进行证明． 【答案】(1)证明：∵，． 又∵， ∴， 又∵， ∴ (2)①130； ②，证明如下： 由（1）已证， ∴． 又∵， ∴， ∵在中， ∴． 【分析】（1）由得，根据证明即可； （2）①根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由得，从而可求出； ②证明，由三角形内角和定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ②略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $