第06讲 线段垂直平分线、角平分线的性质（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（浙教版2024）

第06讲 线段垂直平分线、角平分线的性质 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1 线段的垂直平分线 （重点） 2 角平分线的性质 （重点） 3 作已知角的平分线 题型巩 固 一、线段垂直平分线的性质 二、作已知线段的垂直平分线 三、作垂线(尺规作图) 四、角平分线的性质定理 五、角平分线性质的实际应用 六、作角平分线(尺规作图) 分层强 化 一、单选题（8） 二、填空题（6） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1 线段的垂直平分线 （重点） 1.线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过这条线段的中点；②垂直于这条线段 几何语言：如图所示，∵直线 ⊥AB于点 D ，且 AD=BD ， ∴直线 就是线段 AB 的垂直平分线. 拓展 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 2.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 垂直平分线上的任意一点 几何语言：如图所示， ∵CD⊥AB ， OA=OB，点 P是直线 CD 上任意一点， ∴PA=PB. 知识点2 角平分线的性质 （重点） 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.几何语言：如图所示， ∵OC 是 ∠AOB的平分线， P是 OC 上一点， PD⊥OA， PE⊥OB ，垂足分别为 D， E ， ∴PD=PE. 注意 利用角平分线的性质定理证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段” ，如图（1）所示，而不是“垂直于角平分线的线段”，如图（2）所示. 知识点3 作已知角的平分线 已知 ∠BAC （如图所示），用直尺和圆规作 ∠BAC的平分线 AD . 作法 以点 A 为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于 E , F 两点. 分别以 E ， F 为圆心，大于 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于 ∠BAC 内一点 D . 过点 A ， D 作射线 AD .射线 AD 就是所求作的 ∠BAC 的平分线. 示范 原理 连结 DF ， DE .由作法可得 AF=AE ， DF=DE ，又 ∵AD=AD ， ∴△ADF≅△ADE(SSS) ,∴∠FAD=∠EAD ，即 AD 平分 ∠BAC . 注意 要以大于 EF 长为半径作圆弧，因为以小于 EF 长为半径作圆弧时，两圆弧没有交点，以等于 EF 长为半径作圆弧不易操作. 题型巩固 题型一、线段垂直平分线的性质 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，则的周长为（　　） A．4 B．7 C． D． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，是的中垂线，点D在上，点E在上，若的周长为，的周长为，则的长度为 ． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 题型二、作已知线段的垂直平分线 4．在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（    ） A．A处             B．B处             C．C处             D．D处 5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC=10cm，则△ABD的周长为 cm． 6．如图，在联欢会上，有甲、乙、丙三名同学站在的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则摆放凳子的最适当的位置是在内的哪一点上，请用尺规作图找出这个点，并说明在此放凳子公平的理由？ 题型三、作垂线(尺规作图) 7．如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点E、F，直线EF交BC于点D．连接AD，已知AC=4，△ABD的周长是10，则BC的长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，在中，已知的周长为19，的周长为13，则 ．    9．如图，在中，在上作一点Q，连接，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 题型四、角平分线的性质定理 10．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，的平分线为的面积是（   ） A．7 B．2 C． D．14 11．如图，在中，，平分，，且，则点P到的距离为 题型五、角平分线性质的实际应用 12．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 13．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是 ． 14．如图，、为两条公路，点和点为内部的两个居民点．现计划在内部区域修建一货站，使货站到两条公路距离相等，到两居民点的距离也分别相等． (1)请你找出点货站位置．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)简述你的作图理由． 题型六、作角平分线(尺规作图) 15．如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为 ． 16．尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 分层强化 一、单选题 1．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上 3．如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（    ） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 4．如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（    ） A．32 B．20 C．16 D．8 5．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 6．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A．6 B．11 C．14 D．28 8．如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ． 10．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 11．如图，在中，，平分交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长度为 ． 12．如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 13．如图，在中，，平分交于点，于点．若， 则的周长为 ．    14．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 三、解答题 15．如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：． 16．如图，中，． (1)在内求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且点到、的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结、，若，求的度数． 17．如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． (1)作线段的垂直平分线交于点； (2)作的角平分线交于点； (3)的周长是 ． 18．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，已知，作边的垂直平分线，交边于点M，交边于点N； (2)如图②，已知，作的平分线． 19．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 20．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 21．如图，在中，垂直平分，分别交边于点D，点E，平分． (1)若，求的周长； (2)设，试用含的式子表示，再求当，的值． 22．如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 线段垂直平分线、角平分线的性质 （知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳 理 1 线段的垂直平分线 （重点） 2 角平分线的性质 （重点） 3 作已知角的平分线 题型巩 固 一、线段垂直平分线的性质 二、作已知线段的垂直平分线 三、作垂线(尺规作图) 四、角平分线的性质定理 五、角平分线性质的实际应用 六、作角平分线(尺规作图) 分层强 化 一、单选题（8） 二、填空题（6） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1 线段的垂直平分线 （重点） 1.线段的垂直平分线：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线. 线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过这条线段的中点；②垂直于这条线段 几何语言：如图所示，∵直线 ⊥AB于点 D ，且 AD=BD ， ∴直线 就是线段 AB 的垂直平分线. 拓展 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 2.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 垂直平分线上的任意一点 几何语言：如图所示， ∵CD⊥AB ， OA=OB，点 P是直线 CD 上任意一点， ∴PA=PB. 知识点2 角平分线的性质 （重点） 1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.几何语言：如图所示， ∵OC 是 ∠AOB的平分线， P是 OC 上一点， PD⊥OA， PE⊥OB ，垂足分别为 D， E ， ∴PD=PE. 注意 利用角平分线的性质定理证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段” ，如图（1）所示，而不是“垂直于角平分线的线段”，如图（2）所示. 知识点3 作已知角的平分线 已知 ∠BAC （如图所示），用直尺和圆规作 ∠BAC的平分线 AD . 作法 以点 A 为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于 E , F 两点. 分别以 E ， F 为圆心，大于 EF 长为半径作圆弧，两条圆弧交于 ∠BAC 内一点 D . 过点 A ， D 作射线 AD .射线 AD 就是所求作的 ∠BAC 的平分线. 示范 原理 连结 DF ， DE .由作法可得 AF=AE ， DF=DE ，又 ∵AD=AD ， ∴△ADF≅△ADE(SSS) ,∴∠FAD=∠EAD ，即 AD 平分 ∠BAC . 注意 要以大于 EF 长为半径作圆弧，因为以小于 EF 长为半径作圆弧时，两圆弧没有交点，以等于 EF 长为半径作圆弧不易操作. 题型巩固 题型一、线段垂直平分线的性质 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，则的周长为（　　） A．4 B．7 C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟记“垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”是解题关键． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，是的中垂线，点D在上，点E在上，若的周长为，的周长为，则的长度为 ． 【答案】7 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，关键是求出，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用性质进行推理的能力．根据线段垂直平分线推出，推出和，作差即可求解． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵的周长为，的周长为，， ∴，， ∴， 故答案为：7． 3．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论； （2）由题意可得，再结合，求解即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 题型二、作已知线段的垂直平分线 4．在国家精准扶贫政策的指导下，在镇党委的大力扶持下，有两个村庄P、Q都开发了绳网项目，生产体育绳网、安全绳网等．为了让绳网通过互联网迅速销往各地，当地政府准备在两个村庄的公路m旁建立公用5G移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，那么基站应该建立在（    ） A．A处             B．B处             C．C处             D．D处 【答案】B 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等进行求解即可． 【详解】由题意知，村庄P．Q连线的垂直平分线与公路的交点就是所求，即选在点B， 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝6cm，AC＝8cm，BC=10cm，则△ABD的周长为 cm． 【答案】16 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=16（cm）， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 6．如图，在联欢会上，有甲、乙、丙三名同学站在的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则摆放凳子的最适当的位置是在内的哪一点上，请用尺规作图找出这个点，并说明在此放凳子公平的理由？ 【答案】见解析. 【知识点】作已知线段的垂直平分线 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等， ∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当． 如图，分别作AB边和BC边的垂直平分线，交点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 题型三、作垂线(尺规作图) 7．如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点E、F，直线EF交BC于点D．连接AD，已知AC=4，△ABD的周长是10，则BC的长是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】由线段垂直平分线的性质得到AD=CD，再根据△ABD的周长为10，推出AC+CD+BD=10，由此即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可知直线EF是线段AC的垂直平分线， ∴AD=CD， ∵△ABD的周长为10， ∴AB+AD+BD=10， ∵AC=AB，AD=CD， ∴AC+CD+BD=10， ∴CD+BD=10-AC=6，即BC=6， 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 8．如图，在中，已知的周长为19，的周长为13，则 ．    【答案】3 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意知，是线段的垂直平分线，则，，由，，可得，即，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为13， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：3． 9．如图，在中，在上作一点Q，连接，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图-复杂作图．过点B作于点Q，则点Q即为所求． 【详解】解：如图，过点B作于点Q， 则点Q即为所求． ， ． 题型四、角平分线的性质定理 10．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，的平分线为的面积是（   ） A．7 B．2 C． D．14 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出的高的长度．过D作于G，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：过D作于G，如图所示： ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴ 故选：A． 11．如图，在中，，平分，，且，则点P到的距离为 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，先过点P作，由角平分线的性质得出，因为，且，所以，即可作答． 【详解】解：如图：过点P作， ∵平分，，， ∴， ∵，且， ∴， ∴则点P到的距离为4， 故答案为：4． 题型五、角平分线性质的实际应用 12．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】此题考查了角平分线的性质．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求． 【详解】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角任意两条平分线的交点，共三处． 综上，可选择的点有四处． 故选：D． 13．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是 ． 【答案】50 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PF＝PD＝5，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC得到S△ABC＝（AB+BC+AC），再把△ABC的周长为20代入计算即可． 【详解】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图所示， ∵点P是△ABC三条角平分线的交点， ∴PE＝PF＝PD＝5， ∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC ＝PD•AB+PE•BC+PF•AC ＝（AB+BC+AC） ＝×20 ＝50， 故答案为：50． 【点晴】考查了角平分线的性质，解题关键是运用了：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 14．如图，、为两条公路，点和点为内部的两个居民点．现计划在内部区域修建一货站，使货站到两条公路距离相等，到两居民点的距离也分别相等． (1)请你找出点货站位置．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)简述你的作图理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）先做的角平分线，再画的垂直平分线，相加于点为所求； （2）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可理解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．点P到两条公路距离相等，到两个村庄距离也相等故为角平分线与垂直平分线的交点． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型六、作角平分线(尺规作图) 15．如图，在x轴、y轴上分别截取，使，再分别以A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为，则a的值为 ． 【答案】3 【知识点】作角平分线(尺规作图)、坐标与图形 【分析】本题考查坐标与图形，点到坐标轴的距离．根据作图可知，点在的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，求解即可． 【详解】解：由作图可知：点在的角平分线上， ∴点到两个坐标轴的距离相等， ∴， ∴； 故答案为：3． 16．尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 【答案】图形见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查尺规作图，熟练掌握角平分线的作图步骤是解题的关键．根据角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】解：以点为圆心任意半径画弧，交两点，以两点分别为圆心，大于两点的距离画弧交于一点，连接A点和此点的射线交边于D点，连接即可； 分层强化 一、单选题 1．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【详解】解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 2．如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案． 【详解】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选B． 【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 3．如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（    ） A．36 B．18 C．32 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F， ∴，， ∵， ∴的周长， 故选：A． 4．如图，在中，为的平分线，于点，，，则的面积为（    ） A．32 B．20 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点D作于，根据角平分线的性质定理得到，再结合，即可求出面积． 【详解】解：如图，过点D作于， ∵为的平分线，于，于，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（     ） A．62 B．52 C．42 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长． 【详解】解：中，，直线垂直平分， ， 的周长为32， ， 的周长是， 故选：B． 6．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，作图即可. 【详解】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可， 故选：B． 【点睛】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法. 7．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A．6 B．11 C．14 D．28 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】解：由基本作图得到平分， ∴点E到和的距离相等， ∴点E到的距离等于的长度，即点E到的距离为4， ∴． 故选：C． 8．如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交，于点E，F．若点E，F分别在，的垂直平分线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键．由线段垂直平分线的性质可知，．再根据平角和三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵点E，F分别在，的垂直平分线上， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 9．如图，在中，平分交于点D，于点E，于点F，且，，则的面积是 ． 【答案】14 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∴； 故答案为：14． 10．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线交点的性质，三角形内角和定理等；由三角形角平分线交点的性质得点是的角平分线的交点，从而可得，，由三角形内角和定理得，即可求解；掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 点是的角平分线的交点， ，， ， ， ， ； 故答案：． 11．如图，在中，，平分交于点，过点作，垂足为点．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得：，根据图中线段之间的关系可以求出的长度． 【详解】解：， ， 平分，， ， 又， ． 故答案为：． 12．如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合的周长为，，即可得出 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵，，的周长为， ∴ ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，平分交于点，于点．若， 则的周长为 ．    【答案】9 【分析】本题考查的是角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线的性质得出，再结合周长的定义即可得出答案． 【详解】解：∵平分，，于点， ∴， ∴的周长， 故答案为：9． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为32， ， ，即， ， ． 故答案为：5． 三、解答题 15．如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得，再结合，，证明，则，因为，故． 【详解】证明：∵是的角平分线 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．如图，中，． (1)在内求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且点到、的距离也相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连结、，若，求的度数． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点，点即为所求． （2）证明，根据三角形内角和定理，构建关系式可得结论． 本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由作图可知垂直平分线段， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 17．如图，等腰中，．用无刻度直尺和圆规完成下列作图任务，保留作图痕迹（铅笔作图）． (1)作线段的垂直平分线交于点； (2)作的角平分线交于点； (3)的周长是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)11 【分析】此题考查作图能力，作线段的垂直平分线，作角的平分线，线段垂直平分线的性质，正确掌握各作图方法是解题的关键． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线交于点，即可； （2）利用尺规作出的角平分线交于点，即可； （3）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，点E即为所求． （2）解：如图，射线即为所求． （3）解：∵垂直平分， ∴， ∴周长为． 故答案为：11 18．尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图①，已知，作边的垂直平分线，交边于点M，交边于点N； (2)如图②，已知，作的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本作图，作一条线段的垂直平分线，作一个角的平分线，解题的关键是熟练掌握基本作图步骤． （1）根据作一条线段垂直平分线的基本作图方法作图即可； （2）根据作一个角的平分线的基本作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，射线即为所求． 19．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解 (2)3 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，与三角形高有关的计算等知识．解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题． （1）由角平分线的性质定理可推出，从而可证，即得出，结合，即证明垂直平分； （2）由图可知，结合和三角形面积公式可得出，即，解出的值即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴． 在与中，， ∴， ∴． ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 21．如图，在中，垂直平分，分别交边于点D，点E，平分． (1)若，求的周长； (2)设，试用含的式子表示，再求当，的值． 【答案】(1)14 (2)β＝180°﹣3α，96° 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据等腰三角形的性质得到∠ECA＝∠A＝α，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝14； （2）∵EA＝EC， ∴∠ECA＝∠A＝α， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ECA＝α， ∴β＝180°﹣3α， 当α＝28°时，β＝180°﹣3×28°＝96°． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 22．如图1，在和中，．连接． (1)求证：； (2)将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F． ①若，求的度数； ②连接，求证：平分； ③若G为上一点，，且，连接，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析；③ 【分析】（1）根据，推出，结合证明，即可得出结论； （2）①根据，得出，根据，结合三角形内角和定理即可得出答案； ②过点A作于点M，于点N，根据，得出，证明，即可证明结论； ③连接， 证明，得出，证明，根据等腰三角形三线合一得出，根据垂直平分线的性质得出，再根据，即可求出结果． 【详解】（1）证明：， ， 即：， 在和中， ， ， ； （2）①解：根据解析（1）可知，， ， ， 又， ； ②证明：过点A作于点M，于点N，如图所示： ， ， ∴， ， 平分； ③解：；理由如下： 连接，如图3所示： ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$