专题10.10 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.10 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 独立事件的判断】 1 【题型2 独立事件的概率计算】 2 【题型3 条件概率】 3 【题型4 全概率公式及应用】 3 【题型5 贝叶斯公式及应用】 4 【题型6 条件概率与其他知识综合】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 独立事件的判断】 1．（2026·上海奉贤·二模）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（    ） A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 2．（2026·广东湛江·一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 3．（2026·江西·模拟预测）有6个质地形状相同的球，分别标有数字，从中随机有放回的取两个球，每次取1个球．事件“第一次取出的球标的数字为奇数”，事件“第二次取出的球标的数字为偶数”，事件“两次取出的球标的数字之和为5”，事件“两次取出的球标的数字之和为6”，则（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥 4．（2026·上海嘉定·一模）假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ） A．①中事件与事件相互独立、②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立、②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立、②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立、②中的事件与事件不相互独立 【题型2 独立事件的概率计算】 5．（2026·辽宁·模拟预测）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575 6．（2026·江西赣州·二模）已知事件、满足．若，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·四川绵阳·模拟预测）甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 条件概率】 9．（2026·湖北·模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·青海西宁·三模）设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026·甘肃白银·三模）暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·辽宁·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型4 全概率公式及应用】 13．（2026·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（ ） A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825 14．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·陕西西安·模拟预测）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在A、B、C三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求他投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在A、B、C三个不同区域各投篮一次，如果在A、B、C三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的分布列和数学期望． 16．（2026·陕西商洛·三模）我校素有由每届考入各大名校的优秀学生代表返校作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享的传统．若由2025届毕业的返校嘉宾组成编号为的个宣讲分享小组，其中0号宣讲分享小组的嘉宾为2名男生和2名女生，其余各组的嘉宾均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾是由从0号宣讲分享小组的嘉宾中选出的2名和1号宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出2名和2号宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，，按照这样的方式，依次进行到第场分享会． (1)求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； (2)求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； (3)记第场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望． 【题型5 贝叶斯公式及应用】 17．（2026·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·陕西宝鸡·三模）托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（    ） A． B． C． D． 19．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（    ） A．0.2 B．0.05 C． D． 20．（2026·重庆江津·三模）随着新能源汽车产业的迅速发展，高阶智能驾驶功能逐渐成为消费者购车时的重要考量.某汽车行业协会为了解不同年龄段购车者对高阶智能驾驶功能的偏好，随机抽取了一批近期计划购买新能源汽车的购车者进行问卷调查.统计结果如下表所示： 年龄段 人数占样本的比例 组内最看重高阶智能驾驶的比例 A组(30岁及以下) 40% 60% B组(31--45岁) 50% 30% C组(46岁及以上) 10% 10% 现从这批被调查的购车者中随机抽取1人，发现该购车者购车时最看重高阶智驾，则其属于A组的概率为（    ） A．0.24 B．0.40 C．0.60 D．0.80 【题型6 条件概率与其他知识综合】 21．（2026·陕西西安·模拟预测）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． (1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； (2)记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 22．（2026·山东·模拟预测）数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． (1)现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； (2)有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 23．（2026·重庆·模拟预测）小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． (1)求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； (2)记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； (3)求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 24．（2026·上海·三模）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 一、单选题 1．（2026·云南红河·三模）广东省第十二届大学生运动会将于2025年5月5日至6月5日在广州市举行．某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道．若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知M，N是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）某疾病全球发病率为0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为5%，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为1%，则某人检测成阳性的概率约为（    ） A．0.03% B．0.99% C．1.03% D．2.85% 4．（2026·广东·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东·模拟预测）某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江西赣州·一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 8．（2026·湖南长沙·二模）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（   ） A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9 二、填空题 9．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知随机事件满足：，则____________． 10．（2026·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为____________． 11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）学校有甲、乙两家食堂，记事件“李同学第一天去甲食堂就餐”，事件“李同学第一天去乙食堂就餐”，事件“李同学第二天去甲食堂就餐”.已知，.如果李同学第二天去了乙食堂就餐，则第一天在甲食堂就餐的概率为____________. 12．（2026·江西萍乡·二模）有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为____________． 一、单选题 1．（2026·山东·三模）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 3．（2026·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 4．（2026·陕西·三模）某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（    ）． A．概率为0.72，平均消费金额为210元 B．概率为0.88，平均消费金额为216元 C．概率为0.88，平均消费金额为240元 D．概率为0.82，平均消费金额为230元 二、解答题 5．（2026·陕西·三模）甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 6．（2026·湖北武汉·三模）某公司研究两款AI对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，星锐获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中星锐赢了局”．事件表示“星锐最终获胜”．求，，，值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为．证明：当时，． 7．（2026·陕西咸阳·三模）某新华书店为庆祝“六一”儿童节，推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为10元和5元两种“现金抵用券”.规则如下：顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元券的概率为p（）.已知某顾客购买了n本图书，用X表示该顾客在n次抽奖中获得的奖券金额总和，每次抽奖相互独立. (1)若，，求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率； (2)求X的分布列与数学期望； (3)若，设事件A表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件B表示“该顾客抽到10元券的总次数不少于2”，证明：. 8．（2026·云南·模拟预测）材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 二、填空题 2．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为__________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望__________. 三、解答题 3．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 4．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.10 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 独立事件的判断】 1 【题型2 独立事件的概率计算】 4 【题型3 条件概率】 6 【题型4 全概率公式及应用】 8 【题型5 贝叶斯公式及应用】 12 【题型6 条件概率与其他知识综合】 14 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 独立事件的判断】 1．（2026·上海奉贤·二模）有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则（    ） A．甲与乙相互独立 B．乙与丙相互独立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 【答案】A 【解题思路】根据题意分别求出事件的概率，再根据相互独立满足的概率公式判断即可. 【解答过程】由题意得，甲，乙，丙， 丁. 对于A，甲乙，所以甲乙甲乙，所以甲与乙相互独立，故A正确； 对于B，乙丙，所以乙丙乙丙，所以乙与丙不是相互独立，故B不正确； 对于C，甲丙，所以甲丙甲丙，所以甲与丙不是相互独立，故C不正确； 对于D，乙丁，所以乙丁乙丁，所以乙与丁不是相互独立，故D不正确. 故选：A. 2．（2026·广东湛江·一模）在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 【答案】C 【解题思路】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案. 【解答过程】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形： ①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同， 所以，，，， 因为事件与事件互斥，所以，又， 所以事件M与事件N不相互独立，故A错误； ，故B错误； 由，则事件M与事件Y相互独立，故C正确； 因为事件N与事件Y互斥，所以，又， 所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误. 故选：C． 3．（2026·江西·模拟预测）有6个质地形状相同的球，分别标有数字，从中随机有放回的取两个球，每次取1个球．事件“第一次取出的球标的数字为奇数”，事件“第二次取出的球标的数字为偶数”，事件“两次取出的球标的数字之和为5”，事件“两次取出的球标的数字之和为6”，则（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥 【答案】C 【解题思路】应用表格列举出所有情况，再应用古典概率求法、互斥事件定义及独立事件的判定判断各项正误. 【解答过程】如下表，对应为(第一次，第二次)， 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 由题设及上表知，和、和均可以同时发生，如，故它们均不互斥，故A，D均错误； 由上表知，， 所以，故与相互独立，与不相互独立． 故选：C. 4．（2026·上海嘉定·一模）假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ） A．①中事件与事件相互独立、②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立、②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立、②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立、②中的事件与事件不相互独立 【答案】B 【解题思路】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断. 【解答过程】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况， (男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)， 则，，，事件与事件不相互独立，AC错误； 若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， (男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)， (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， ，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误. 故选：B. 【题型2 独立事件的概率计算】 5．（2026·辽宁·模拟预测）甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则最终甲胜的概率为（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.57 D．0.575 【答案】D 【解题思路】最终甲胜分三种情况，一二局甲胜，一三局甲胜，二三局甲胜，而每种情况又分甲先着子和乙先着子，结合独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【解答过程】由题意知， 一二局甲胜的概率为：， 一三局甲胜的概率为：， 二三局甲胜的概率为：， 因此最终甲胜的概率为， 故选：D. 6．（2026·江西赣州·二模）已知事件、满足．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用概率的乘法公式可求得的值，分析可知事件、相互独立，故事件、相互独立，求出的值，即可得出的值. 【解答过程】由概率的乘法公式可得， 因为，即，故， 所以事件、相互独立，故事件、相互独立， 故， 因此. 故选：A. 7．（2026·河北衡水·三模）已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件，三人中恰有两人命中为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【解答过程】设甲、乙、丙三人射击一次命中分别为事件， 每人各射击一次，在三人中恰有两人命中为事件， 则， ，则. 故选：D． 8．（2026·四川绵阳·模拟预测）甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满6局时结束．设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．比赛结束时甲班所得分数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析事件对应的比赛进程，根据各局胜负独立的条件，用独立事件乘法公式计算对应概率，再用互斥事件加法公式将所得概率相加. 【解答过程】表示比赛结束时甲班得分，分两种情况讨论： 情况1：甲得分，且甲获胜，即前两局甲胜， 对应事件的概率， 情况2：甲得分，且乙获胜，即比赛打满6局结束，最终甲班得2分， 要打到第6局才结束，必须满足：前2局比分（不满足结束条件），第3、4局比分也为（仍不满足结束条件），前4局结束总比分为，且第5、6局甲全负（最终甲总分为2分）， 前局的概率为， 第3、4局的概率为 第5、6局甲全负的概率为 因此这种情况的概率， 所以. 故选：C. 【题型3 条件概率】 9．（2026·湖北·模拟预测）从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件概率公式计算求解. 【解答过程】设事件A为“甲被选中”，事件B为“乙被选中”， 那么在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为， 故选：B. 10．（2026·青海西宁·三模）设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题给条件求出，再利用条件概率公式即可求解. 【解答过程】由， 解得， 所以. 故选：A. 11．（2026·甘肃白银·三模）暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据条件概率的公式和性质计算即可. 【解答过程】记事件为“甲在第一科室实习”，事件为“甲与乙不在同一科室实习”， 样本点的总数为，， 事件同时发生的情况种数为， ∴，. . 故选：C. 12．（2026·辽宁·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据条件概率公式来求解，先分别求出（至少有一门是“美育”课程的概率）和（两门都是“美育”课程的概率），再代入公式计算. 【解答过程】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程， 从五门课程中任选两门的选法数为种. “至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”. 两门都是“劳动教育”课程的选法数为种. 所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种.则. 从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以. 由条件概率公式，将，代入可得： . 故选：B. 【题型4 全概率公式及应用】 13．（2026·云南红河·模拟预测）播种用的一批一等葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为（ ） A．0.0005 B．0.4815 C．0.5005 D．0.4825 【答案】D 【解题思路】根据全概率公式求解即可. 【解答过程】从这批种子中任选一颗是一，二，三，四等种子的事件分别是， 则，且，两两互斥， 设表示“从这批种子中任选一颗，所生长出的葫芦秋结出50颗以上果实”， 则， ， 则 . 故选：D. 14．（2026·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【解答过程】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 15．（2026·陕西西安·模拟预测）为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在A、B、C三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． (1)若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求他投篮命中的概率； (2)若规定该同学需要依次在A、B、C三个不同区域各投篮一次，如果在A、B、C三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 3 6 数学期望为． 【解题思路】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为0，1，3，6，求出所对应的概率，即可求出分布列和数学期望. 【解答过程】（1）设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， “该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为. （2）由题意可知，得分的可能取值为0，1，3，6， 所以， ． ， ， 所以的分布列为 0 1 3 6 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 16．（2026·陕西商洛·三模）我校素有由每届考入各大名校的优秀学生代表返校作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享的传统．若由2025届毕业的返校嘉宾组成编号为的个宣讲分享小组，其中0号宣讲分享小组的嘉宾为2名男生和2名女生，其余各组的嘉宾均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾是由从0号宣讲分享小组的嘉宾中选出的2名和1号宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出2名和2号宣讲分享小组的2名嘉宾共同组成，，按照这样的方式，依次进行到第场分享会． (1)求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； (2)求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率； (3)记第场分享会的学生嘉宾中男生人数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) (3)的分布列为 1 2 3 【解题思路】（1）设第 场分享会的学生嘉宾中恰有1名男生为事件，恰有2名男生为事件，恰有3名男生为事件，由古典概型公式可求得； （2）由全概率公式求解； （3）首先由全概率公式分别求出当时，与的关系，结合消参可得到一个等比数列，进而可得到的表达式，根据分布列可求解. 【解答过程】（1）设第 场分享会的学生嘉宾中恰有1名男生为事件，恰有2名男生为事件，恰有3名男生为事件， 则表示从0号宣讲分享小组的2男2女嘉宾中选出1男1女， 故，即第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率为. （2）由全概率公式知 ， 即第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率为. （3）当时，由全概率公式可知 ， ， ， 由得， 所以， 由（1）知，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 根据对称性（3男1女和3女1男）的概率一样，所以， 又，所以， 令可得的分布列为 1 2 3 所以的数学期望为 ． 【题型5 贝叶斯公式及应用】 17．（2026·湖南邵阳·三模）甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由全概率公式算出“任取一个零件，取到的零件是次品”的概率，再由贝叶斯公式即可求解. 【解答过程】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”， 由题意得，，，． 因为， 所以． 故选：D． 18．（2026·陕西宝鸡·三模）托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率"的问题中得到了一个公式：．这个定理在实际生活中有着重要的应用价值．假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常．如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用这个公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，得，从而计算求出得到答案. 【解答过程】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B， 则，，， 所以， 所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为， 故选：C． 19．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（    ） A．0.2 B．0.05 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可. 【解答过程】根据题意可得：； ； 由全概率公式可得： ； 故. 故选：D. 20．（2026·重庆江津·三模）随着新能源汽车产业的迅速发展，高阶智能驾驶功能逐渐成为消费者购车时的重要考量.某汽车行业协会为了解不同年龄段购车者对高阶智能驾驶功能的偏好，随机抽取了一批近期计划购买新能源汽车的购车者进行问卷调查.统计结果如下表所示： 年龄段 人数占样本的比例 组内最看重高阶智能驾驶的比例 A组(30岁及以下) 40% 60% B组(31--45岁) 50% 30% C组(46岁及以上) 10% 10% 现从这批被调查的购车者中随机抽取1人，发现该购车者购车时最看重高阶智驾，则其属于A组的概率为（    ） A．0.24 B．0.40 C．0.60 D．0.80 【答案】C 【解题思路】设抽到组为事件，抽到组为事件，抽到组为事件，抽到的购车者购车时最看重高阶智驾为事件，先根据全概率公式求得，再根据贝叶斯公式求解即可. 【解答过程】从这批被调查的购车者中随机抽取1人，设抽到组为事件，抽到组为事件，抽到组为事件， 抽到的购车者购车时最看重高阶智驾为事件， 则， ， 所以， 则. 故选：C. 【题型6 条件概率与其他知识综合】 21．（2026·陕西西安·模拟预测）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6个小球，其中3个黑球、3个白球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至3个白球全部取出． (1)求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； (2)记抽取3次取出白球的数量为，求随机变量的分布列和期望． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”，求出，进而利用条件概率公式计算求解； （2）分析的所有可能取值，求出相应概率，进而求出分布列和期望． 【解答过程】（1）记事件“第2次取出的小球为黑球”，事件“第1次取出的小球为白球”， 则，， 所以． （2）由题意，的所有可能取值为，，，，则 ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 期望为：． 22．（2026·山东·模拟预测）数学多选题的得分规则如下：每小题给出A，B，C，D四个选项，其中有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分（例如：若正确选项为两项，选对其中一项得3分；若正确选项为三项，选对其中一项得2分、选对其中两项得4分），有选错的得0分．已知任意一道多选题四个选项全部正确的概率为0，设正确选项为两项的概率为． (1)现有某道多选题，小李同学完全不会，他的策略是在A，B，C，D四个选项中任选两个选项． （i）若，求该题他得到6分的概率； （ii）已知小李在该题得分不是0分的条件下，恰好得4分的概率为，求的值； (2)有一道多选题，小李判断得出A选项正确（答案中A为正确选项），B，C，D选项他不会判断，现在他有两个方案， 方案一：选A和B，C，D中任意一个， 方案二：选A和B，C，D中任意两个， 从该题得分期望的角度分析，小李应该选择哪个方案． 【答案】(1)（i）； （ii）； (2)选方案一 【解题思路】（1）（i）得到了6分，因此标准答案必须为两项，求其概率； （ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数，则，根据条件概率列方程进行求解； （2）根据条件，分别求出两种情况的分布列，进而求出期望，再根据期望的值进行讨论，从而得到结论. 【解答过程】（1）（i）由于本题得到了6分，因此标准答案必须为两项， 记事件为该题他得到6分，则， 那么该题他得到6分的概率为； （ii）记事件为小李任选两个选项在该题的得分不是0分，记为小李该题的分数， 因为正确选项为两项的概率为，正确选项为四项的概率为0，所以正确选项为三项的概率为， 则，， ，， 令，解得； （2）记为小李该多选题的得分，执行方案一得分的可能取值为0、4、6， ， ，， 方案一的得分的分布列为 0 4 6 所以. 执行方案二得分的可能取值为0、6， ， ， 方案二的得分的分布列为 0 6 所以. 所以，成立， 故选方案一. 23．（2026·重庆·模拟预测）小溪同学参加一个投篮测试，其规则是：有次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至次投篮机会用完；第次投篮后，不论通过与否均结束测试．现假定小溪同学每次投篮结果相互独立，命中率均为． (1)求小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率； (2)记为小溪同学测试结束时投篮的次数，求的分布列及数学期望； (3)求在通过测试的条件下，小溪同学恰好投篮了三次的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设事件为第次投中，则前次投篮中就通过测试可表示，再由概率的加法公式及相互独立事件概率可得； （2）先确定的可能的值，再分别计算相应的概率及期望可得； （3）先计算通过测试概率，再计算前三次通过测试的概率，进而由条件概率公式可得. 【解答过程】（1）设事件为第次投中， 则小溪同学在前次投篮中就通过测试的概率为：． （2）的所有可能取值为：． ，， ，． 则的分布列为： ． （3）设事件：小溪同学通过测试，事件：小溪同学恰好投篮了三次， 因为投篮五次通过概率为， 则，， 则在通过测试的情况下，小溪同学投篮了三次的概率为：． 24．（2026·上海·三模）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 【答案】(1)采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率 (2)①；② 0 1 2 3 【解题思路】（1）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出方案一、方案二乙获胜的概率，再比较大小即可. （2）①利用条件概率公式计算得解；②求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【解答过程】（1）当时，每局比赛乙队获胜的概率为， 采用方案一，三局两胜制下乙获胜分两种情况：胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率； 采用方案二，五局三胜制下乙获胜分三种情况：胜、胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率， 而，所以采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率. （2）①当时，甲队最终获胜的事件为，五局三胜制下甲获胜分三种情况：胜、胜和胜， ， 比赛恰好进行了四局的事件为，则， 所以求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为. ②甲队得分的所有可能取值为， ，即乙以或胜甲，； ，即乙以胜甲，； ，即甲以胜乙，； ，即甲以或胜乙，， 所以的分布为 0 1 2 3 期望. 一、单选题 1．（2026·云南红河·三模）广东省第十二届大学生运动会将于2025年5月5日至6月5日在广州市举行．某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊5名记者中选派2人前往现场进行报道．若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件概率的计算公式求解. 【解答过程】设“记者甲被选中”为事件，“记者乙被选中”为事件， 则“记者甲和记者乙都被选中”为事件． 因为，，所以． 故选：D． 2．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知M，N是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由概率乘法公式可得，再由条件概率公式即可解出. 【解答过程】注意到，，则. 则. 故选：D. 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）某疾病全球发病率为0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为5%，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为1%，则某人检测成阳性的概率约为（    ） A．0.03% B．0.99% C．1.03% D．2.85% 【答案】C 【解题思路】根据题意，某人检测成阳性包含两种情况：非患者检测为阳性和患者检测为阳性，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解. 【解答过程】由题意，未患病者判定为阳性的概率为1%，患病者判定为阳性的概率为95%， 所以某人检测成阳性包含两种情况： ①非患者检测为阳性的概率为； ②患者检测为阳性的概率为, 所以某人检测成阳性的概率为. 故选：C. 4．（2026·广东·模拟预测）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合题意与正态分布的性质求出和，最后结合条件概率公式求解即可. 【解答过程】由题可知该正态分布的均值为，其图象的对称轴为直线， 则，又， 由对称性可知， 由条件概率公式得． 故选：C． 5．（2026·广东·模拟预测）某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【解答过程】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 6．（2026·江西赣州·一模）甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球都是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据全概率的计算公式即可求. 【解答过程】分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球,用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球， 由题意可知，，， 所以， 故选：B. 7．（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【解题思路】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【解答过程】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 故选：C. 8．（2026·湖南长沙·二模）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（   ） A．0.2 B．0.5 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【解题思路】设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 设发送信号为1的概率为，利用全概率公式得到方程，解得即可. 【解答过程】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 故选：C. 二、填空题 9．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知随机事件满足：，则____________． 【答案】0.74 【解题思路】根据全概率公式求得，然后根据对立事件概率公式求解即可. 【解答过程】由全概率公式，， ． 故答案为：0.74. 10．（2026·甘肃甘南·模拟预测）乒乓球比赛现采用五局三胜制，即最多打五局，谁先赢三局谁胜．甲、乙两人进行乒乓球比赛，甲在每局比赛中获胜的概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．已知前两局比赛中，甲、乙各胜1局，则最终乙获胜的概率为____________． 【答案】/ 【解题思路】讨论{第3局乙负，第4，5局乙胜}、{第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜}、{第3，4局乙胜}三种情况，应用独立事件乘法、互斥事件加法求概率即可. 【解答过程】乙最后的胜利包含三种情况： 一是第3局乙负，第4，5局乙胜，此时乙胜的概率为 ； 二是第3局乙胜，第4局乙负，第5局乙胜，此时乙胜的概率为； 三是第3，4局乙胜，此时乙胜的概率为 乙获胜的概率为． 故答案为：. 11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）学校有甲、乙两家食堂，记事件“李同学第一天去甲食堂就餐”，事件“李同学第一天去乙食堂就餐”，事件“李同学第二天去甲食堂就餐”.已知，.如果李同学第二天去了乙食堂就餐，则第一天在甲食堂就餐的概率为____________. 【答案】 【解题思路】根据全概率公式及条件概率公式求解即可. 【解答过程】记“李同学第二天去了乙食堂就餐”， 由全概率公式，得， 因事件与事件是对立事件，则，， 由贝叶斯公式，得. 故答案为：. 12．（2026·江西萍乡·二模）有甲、乙、丙三个相同的不透明盒子，甲盒中装有2个红球和3个蓝球，乙盒中装有3个红球和2个蓝球，丙盒中装有4个红球和1个蓝球.现随机选择一个盒子，从该盒子中不放回地连续取出两个球，在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为____________． 【答案】 【解题思路】用 分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用表示第次取出的球是红球，利用全概率公式计算，，再利用条件概率的计算公式即可. 【解答过程】用 分别表示选择的是甲、乙、丙盒子，用表示第次取出的球是红球， 则 ； ， 则， 故在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球也是红球的概率为. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·山东·三模）一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用古典概型的概率公式、对立事件的概率公式求出此人分别过第一关、第二关、第三关的概率，再结合独立事件的概率乘法公式可求得结果. 【解答过程】设这个人过第关的概率为， 过第一关，则抛出的点数构成的集合为，则， 过第二关，则抛两次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中两次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、、，共个， 故， 过第三关，则抛三次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中三次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、，共个， 故， 因为这个人过每个关卡是相互独立的，故这个人连过前三关的概率为. 故选：D. 2．（2026·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】AC选项，求出各个事件的概率，得到，，A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解. 【解答过程】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C. 3．（2026·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 【答案】C 【解题思路】先利用条件概率公式和全概率公式计算得，然后利用贝叶斯概率公式即可求出. 【解答过程】依题意可得，，， 若先发生，则乙袋中有个红球，5黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，4黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，3黑球，此时． 所以，，， 所以 ， 所以，即是与无关的定值，且为. 故选：C. 4．（2026·陕西·三模）某大型超市为了解顾客的购物习惯，对近期进入超市的1000名顾客进行了随机调查．调查发现，有600名顾客在进入超市前已经决定好了要购买的商品（称为“计划型顾客”），其余400名顾客则没有特定的购买计划（称为“随机型顾客”）．根据以往的销售数据，“计划型顾客”在超市的平均消费金额为200元，而“随机型顾客”中，有的人平均消费金额为100元，另外的人平均消费金额为300元．若从该超市近期进入的顾客中随机抽取1名，则这名顾客的平均消费金额不低于200元的概率，以及该顾客的平均消费金额的估计值分别为（    ）． A．概率为0.72，平均消费金额为210元 B．概率为0.88，平均消费金额为216元 C．概率为0.88，平均消费金额为240元 D．概率为0.82，平均消费金额为230元 【答案】B 【解题思路】设出事件，设顾客的平均消费金额为，的可能取值为，由条件概率和全概率公式得到相应的概率，得到期望值. 【解答过程】设事件表示“抽取的顾客为计划型顾客”， 事件表示“抽取的顾客的平均消费金额不低于200元”， 事件表示“抽取的顾客为随机型顾客”； ，由于计划型顾客的平均消费金额已经为200元，所以； 随机抽取1名顾客，消费不低于200元的概率是： ， 设顾客的平均消费金额为，则的可能取值为， 则；； ， 期望为：. 故选：B. 二、解答题 5．（2026·陕西·三模）甲、乙、丙、丁四人进行一场乒乓球比赛，具体赛制为：首先四人抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；紧接着“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁时甲获胜的概率均为，乙对阵丙、丁时乙获胜的概率均为，丙与丁对阵时，相互之间获胜的可能性相同，且不同对阵结果相互独立．经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． (1)求丙获得第四名的概率； (2)求甲获得冠军的概率； (3)求乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据概率乘法公式及条件概率公式求解即可. （2）根据概率乘法公式及加法公式求解即可. （3）根据概率乘法公式、条件概率公式及加法公式求解即可. 【解答过程】（1）丙获得第四名，则丙与丁对阵丙败，且丙在败区对阵仍败. 记丙获得第四名的事件为，丙与丁对阵丙败为事件，丙进入败区后与甲对阵为事件， 丙进入败区后与乙对阵为事件，丙在败区落败为事件， 则. （2）记甲获得冠军的事件为，甲在第场比赛中获胜为， 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况： 情况1：三场全胜，； 情况2：第一场胜第二场负第三场胜第四场胜， ； 情况3：第一场负第二场胜第三场胜第四场胜， ； 所以， 即甲获得冠军的概率为. （3）记乙参与对阵的比赛场数为随机变量，乙在第场比赛中获胜为，乙对阵甲为事件， 乙参与对阵的比赛场数恰为3可分为三种情况： 情况1：乙连胜两场，第三场进入决赛不用考虑胜败，概率为； 情况2：乙第一场胜第二场败第三场败，概率为 ； 情况3：乙第一场败第二场胜第三场败，概率为 ； 所以． 所以乙参与对阵的比赛场数恰为3的概率为. 6．（2026·湖北武汉·三模）某公司研究两款AI对战机器人（星锐，猎影）进行对抗赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，星锐获胜的概率都是，各局比赛的结果相互独立，且无平局． (1)当时，两款机器人共进行5局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； (2)当时，若两款机器人共进行（且）局比赛，记事件表示“在前局比赛中星锐赢了局”．事件表示“星锐最终获胜”．求，，，值； (3)若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为；若两款机器人共进行了局比赛，星锐获胜的概率记为．证明：当时，． 【答案】(1)分布列为： 1 3 5 期望． (2)，，，. (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据概率的乘法公式和加法公式列出分布列，再根据期望公式求解； （2）根据条件概率的定义分析求解即可； （3）结合（2）以及概率的乘法公式求出，得出当时，，再利用组合数的计算公式证明即可. 【解答过程】（1）两款机器人共进行5局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值可能的取值有， 则， ， ， 的分布列为： 1 3 5 所以随机变量的数学期望为：． （2）在前局比赛中星锐赢的局数时，第，局全胜，最终也无法获胜，所以； 当时，仅当第，局全胜，最终才能赢得比赛，即； 当时，第，局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即； 当时，无论第，局什么结果，都能最终赢得比赛，即； 综上所述，，，，. （3）证明：若共比赛局， 在前局比赛中星锐赢的局数小于，则无法保证星锐获胜，其概率为0； 若前局比赛中星锐赢的局为，则需第，局全胜，才可赢得比赛， 此时赢得比赛的概率为； 若前局比赛中星锐赢的局数为，则第，局至少胜一场，才可赢得比赛， 此时赢得比赛的概率为； 若前局比赛中星锐赢的局数大于，无论第，局什么结果，都能最终赢得比赛， 其概率为， 故 ， 所以， 当时，， 又因为 ， 因为，所以，即. 7．（2026·陕西咸阳·三模）某新华书店为庆祝“六一”儿童节，推出购图书参与抽奖的活动，抽奖的奖券分为10元和5元两种“现金抵用券”.规则如下：顾客每购买一本图书可获得1次抽奖机会，且每次抽到10元券的概率为p（）.已知某顾客购买了n本图书，用X表示该顾客在n次抽奖中获得的奖券金额总和，每次抽奖相互独立. (1)若，，求该顾客抽得的奖券金额总和为30元的概率； (2)求X的分布列与数学期望； (3)若，设事件A表示“该顾客前两次抽奖都抽到5元券”，事件B表示“该顾客抽到10元券的总次数不少于2”，证明：. 【答案】(1) (2)的分布列为：其中； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）利用二项分布求解即可； （2）对变量进行转换，用n次抽奖中抽到10元券的次数进行转换求解； （3）作差法进行比较，注意不同项的正负关系. 【解答过程】（1）设该顾客抽得的奖券金额总和30元为事件， 则为四次抽奖中，10元和5元各有2张， 则. （2）不妨设为n次抽奖中抽到10元券的次数，则，且 ， 由题意可知，可能的取值为：，对应的取值为， 所以的分布列为： 其中； 因为，所以， 即：数学期望. （3）由题意得：事件为前两次都抽到5元券，故， 事件为抽到10元券的总次数不少于2次，即：， 故， 事件表示前两次都抽到5元券，且10元券总次数不少于2次，即：后次抽奖中抽到10元券的次数不少于2次， 设后次抽奖中抽到10元券的次数不少于2次为事件，则， 由条件概率公式得：， 要证，即： ，即证：， 即证：， 左边减右边合并化简得：， 因为，，所以， 当，时， ，因为， 所以，因此，即得证. 8．（2026·云南·模拟预测）材料一：英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数､统计推断等做出了重要贡献.贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有，. 材料二：马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 请根据以上材料，回答下列问题. (1)已知德国电车市场中，有的车电池性能很好.公司出口的电动汽车，在德国汽车市场中占比，其中有的汽车电池性能很好.现有一名顾客在德国购买一辆电动汽车，已知他购买的汽车不是公司的，求该汽车电池性能很好的概率；（结果精确到0.001 (2)为迅速抢占市场，公司计划进行电动汽车推广活动.活动规则如下：有11个排成一行的格子，编号从左至右为，有一个小球在格子中运动，每次小球有的概率向左移动一格；有的概率向右移动一格，规定小球移动到编号为0或者10的格子时，小球不再移动，一轮游戏结束.若小球最终停在10号格子，则赢得6百欧元的购车代金券；若小球最终停留在0号格子，则客户获得一个纪念品.记为以下事件发生的概率：小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子.一名顾客在一次游戏中，小球开始位于第5个格子，求他获得代金券的概率. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.根据全概率公式和条件概率公式求解即可； （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子，事件表示小球向右走一格.小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于，即.证明是以为首项，3为公比的等比数列求解即可. 【解答过程】（1）记事件为一辆德国市场的电车性能很好，事件为一辆德国市场的车来自公司.由全概率公式知： 故：. （2）记事件表示小球开始位于第个格子，且最终停留在第10个格子， 此时的概率为，则下一步小球向左或向右移动， 此时当小球向右移动，即可理解为小球始于，当小球向左移动，即可理解为小球始于， 即.由题知， 又，故， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 即：， 即：， ， ， 故， ， 则， 故这名顾客获得代金券的概率为. 一、单选题 1．（2025·上海·高考真题）已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解题思路】根据独立事件的概率公式可求. 【解答过程】因为相互独立，故， 故选：B. 二、填空题 2．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为__________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望__________. 【答案】； 【解题思路】先根据全概率公式计算求解空一，再求出概率根据二项分布数学期望公式计算求解. 【解答过程】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件， 则； 设运动量达标为事件，， 所以，； 故答案为：；. 三、解答题 3．（2026·全国一卷·高考真题）设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次.当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【答案】(1)的分布列如下图所示： 1 2 3 4 (2)（i）； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. （2）（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合（i）的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【解答过程】（1）由题意知，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4. 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列，如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得，整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 4．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)， (3) 【解题思路】（1）用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望； （3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 【解答过程】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 【解题思路】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）首先各自计算出，，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可. 【解答过程】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $