考点培优练03 概率与统计解答题全归纳（含决策性、赛制及马尔科夫链等问题）8大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练03 概率与统计解答题全归纳（含决策性、赛制及马尔科夫链等问题）8大考点 考点预览 目录 考点01 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1 考点02 二项分布与超几何分布 4 考点03 正态分布 8 考点04 条件概率、全概率与贝叶斯公式 13 考点05 独立性检验与线性回归方程 18 考点06 决策性问题 24 考点07 赛制问题 28 考点08 马尔科夫链 31 考点通关 考点01 离散型随机变量的分布列、期望与方差 离散型随机变量的分布列描述随机变量取各个值的概率，期望 反映平均水平，方差 反映波动大小。求解关键在于准确计算随机变量所有可能取值及其对应概率。 1. 分析随机试验的可能结果，确定随机变量 的所有可能取值 ，注意取值应互斥且完备。 2. 利用古典概型、排列组合或概率性质，计算每个取值对应的概率 ，并验证 。 3. 将取值与概率对应列表，或表示为 的形式。 4. 代入公式计算 ， 或利用 简化计算。 5. 验证归一性：分布列概率和必须为1，可用于检验计算正确性。2. 简化公式：方差计算常用 ，避免平方和运算。3. 期望性质：，，可用于数据变换。 【典例1】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将出现的点数分别记为、． (1)设向量，，求的概率； (2)现对上述试验重复进行3次（每次试验为先后抛掷骰子两次），每次试验的结果相互独立．将每次试验中事件“”发生记作一次“成功”．记X为3次试验中“成功”的次数． （i）求X的分布列； （ii）求X的数学期望和方差． 【跟踪训练】1．（26-27高三·全国·一轮复习）某公司拟投资一个项目，有三个方案可供选择，其收益 （万元）的分布如下：方案A：稳获收益 万元；方案B：收益 万元的概率为，收益 万元的概率为 ；方案C：收益、、 万元的概率分别为 、、. (1)分别求三个方案收益的数学期望、方差与标准差； (2)若仅以"收益的数学期望最大"为决策准则，应选哪个方案？ (3)若该公司风险承受能力较弱，要求"收益的波动尽可能小"，应如何在三个方案中权衡？给出你的建议并说明理由. 2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知某袋中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，黑球有个，每次从袋中不放回地随机取出1个小球. (1)设，求前三次取出的全是红球的概率； (2)设，记前3次取的小球的颜色的种数为，求的期望； (3)若，且最后剩下的球全是红球的概率为，证明：当时，. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）在边长为 2 的正方形区域内随机投一点，记该点落在其内切圆内的概率为 . (1)求 ； (2)独立重复投点 3 次，记落在内切圆内的次数为 ，求 的分布列与 . 4．（2025·河南·模拟预测）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲､乙两种抗“H病毒”的药物，现已进入药物临床试用阶段.每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种药物，2人试用乙种药物.经试验，服用甲､乙两种药物痊愈的概率分别为，如果试用组中乙种药物的治愈人数超过甲种药物，那么称该组为“乙类组”. (1)求一个试用组为“乙类组”的概率； (2)当取最大值时，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“乙类组”的个数，求的分布列及期望. 5．（26-27高三上·福建福州·开学考试）若数列（，，）满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合． (1)若是16项数列，当且仅当（，）时，，求数列的所有项的和； (2)已知且，数列，，记随机变量． （ⅰ）当时，求随机变量的分布列及期望； （ⅱ）若，是两个不同的数列；求证：． 考点02 二项分布与超几何分布 二项分布描述 次独立重复试验中事件发生次数，每次试验概率固定；超几何分布描述不放回抽取中指定类别个体出现次数。两者易混淆，需根据“是否放回”和“总体大小”区分。 1. 二项分布：有放回、独立重复试验，总体无限或近似无限。超几何分布：不放回抽取，总体有限，通常涉及“N件产品中含M件次品，取n件”模型。当总体很大时，超几何分布可近似为二项分布。 2. 二项分布：，其中 为试验次数， 为每次成功的概率。超几何分布：，其中 为总体容量， 为成功类个体数， 为抽取次数。 3. 二项分布：。超几何分布：，其中 满足 。 4. 二项分布：，。超几何分布：，。 5. 判断关键：看题目是否有“放回”或“不放回”关键词；无放回但总体很大时可用二项分布近似。组合数计算：超几何分布概率涉及组合数，注意利用组合恒等式简化。期望公式记忆：二项与超几何的期望均为 (成功概率)，便于速算。 【典例2】（2026·海南三亚·一模）某数学兴趣小组为深入了解智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的平均数和中位数． (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名居民．若从选定的这名居民中再随机抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 【跟踪训练】1．（26-27高三·全国·一轮复习）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）某厂家接到订单，急需加工一种零件，厂家安排甲、乙两台车床同时加工这种零件，其中甲车床加工的零件占60%，次品率为6%；乙车床加工的零件占40%，次品率为5%．为确保质量，将两台车床加工的零件混合，质检人员从中抽样检查． (1)从混合的零件中任取1个． （ⅰ）求这个零件是合格品的概率； （ⅱ）已知取到的是合格品，求它是由甲车床加工的概率； (2)从混合的零件中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记2次抽取中，抽到的零件是由乙车床加工的次数为，求随机变量的分布列和数学期望． 3．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派1个人进去，且每个人只派1次，工作时间不超过10min．如果前一个人10min内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在只有甲、乙、丙3个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立． (1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变3个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ (2)若按某指定顺序派人，这3个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列及均值； (3)假定，证明：按甲最先，乙次之，丙最后的先后顺序派出人员进入高辐射区工作，可使所派出的人员数目的均值达到最小． 4．（26-27高三上·江苏南京·阶段检测）苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 5．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）某动力电池企业研究低温预处理工艺对电芯循环寿命达标情况的影响，随机抽取400块同型号电芯开展对照检测试验，整理试验数据得到如下列联表： 循环达标 循环不达标 合计 经过低温预处理 100 100 200 未经过低温预处理 120 80 200 合计 220 180 400 (1)依据小概率值的独立性检验，能否推断电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关？ (2)实验室检测设备存在识别误差：一块实际循环达标的电芯，设备检测后判定为不达标的概率为0.2；一块实际循环不达标的电芯，设备检测后判定为达标的概率为0.2.现从全部400块试验电芯中随机抽取1块，求该电芯被设备判定为循环达标的概率； (3)按照分层随机抽样的方法从未经过低温预处理的电芯中选出5块，再从5块中选2块进行复检.设随机变量为抽到的循环不达标的电芯数量，求的分布列与数学期望. 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 考点03 正态分布 正态分布 由均值 和标准差 决定。其密度曲线关于 对称，经验法则提供区间概率，标准化转换 将一般正态转化为标准正态 以便查表计算。 1.明确 和 ，若题目给出的是样本数据，可估计均值和标准差。 2.适用于快速估算区间概率。 3.对一般正态，求 时，计算 ，则 ，其中 为标准正态分布函数。 4.利用标准正态分布表或计算器求 值。已知概率反求 时，先查得 ，再解 。 5.画图辅助：画出正态曲线，标明均值、标准差和所求区域，避免混淆。对称性利用：，用于求左侧概率。 3σ原则：常用于质量控制或判断异常值。 【典例3】（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 【跟踪训练】1．（26-27高三·全国·一轮复习）为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，零件尺寸检验员每天需从该生产线上随机抽取一批零件，并测量其尺寸（单位：），然后根据尺寸标准判断这条生产线是否正常.假设这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.假设生产线的生产状态正常，记为一天内抽取的16个零件中尺寸在之外的零件数，求. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）为提升青年球员的点球命中率，某足球青训营开展专项训练对比实验．教练从参训球员中随机选取200人，平均分为两组：甲组采用常规训练，乙组采用“预判+步伐”专项训练．训练周期结束后进行统一测试，甲组中有60人命中，乙组中有25人未命中． (1)请根据数据，画出列联表，通过分析列联表数据，能否有95%的把握认为“训练方式”与“点球命中”有关？请说明理由； (2)经大量训练，乙组球员的命中率（以比例表示）近似服从正态分布，其均值为0.75，标准差为0.05．现从乙组中随机抽取一名球员，求该球员命中率低于0.7的概率． 附：；，其中． 3．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）某市开展“全民反诈在行动”知识竞赛活动，现从参加该活动的两万名居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩频率分布直方图． (1)估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)由直方图可认为全市参加活动的居民成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，估计该市所有参加活动居民成绩超过95分的有多少人？ 附：，则，． 4．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）在某次高三年级的期中测试中，学校把数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等级定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等级定为优秀．现从物理方向的800名考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩．如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 数学非优秀 总计 (1)请完成列联表，并依据的独立性检验分析，能否认为本次测试中数学优秀的学生与数学非优秀的学生之间的物理成绩存在差异？ (2)数学组的章老师打算从这个同学中，按照这次测试数学的等级是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中抽取个人，并仔细考查这个人的答题情况．设最后抽出的个人中数学等级优秀的人数为，求的分布列及数学期望； (3)如果本次测试中考生的物理成绩，用样本估计总体，以名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的名考生中随机抽取人，求这人中至少有人的物理成绩的等级优秀的概率． 参考数据：取，，． 若，则， ，． 5．（2026·上海·模拟预测）小新为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为“优秀”与“合格”两级． (1)若男生和女生中分别有25名和35名被评为“优秀”，是否有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64，求全体参赛学生成绩的均值及方差． (3)在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①，其中；； ②、、． 考点04 条件概率、全概率与贝叶斯公式 条件概率 刻画事件 发生条件下 发生的概率；全概率公式将复杂事件分解为互斥原因的概率加权和；贝叶斯公式则用于已知结果反推原因概率。 1. 明确条件事件和结果事件，用字母表示（如 为原因， 为结果），并确保原因事件构成完备事件组 2. 条件概率： 或 。全概率公式：。贝叶斯公式： 关键技巧：1. 三步走口诀：罗列事件→罗列概率→背套公式。2. 区分先验与后验： 为先验概率， 为后验概率。3. 全概率是贝叶斯的分母，常先算全概率再求贝叶斯。 【典例4】（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半.为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了名网民，得到如下数据. 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 不喜欢网络文学 合计 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢网络文学与性别有关联？ (2)某网络文学平台组织网民进行文学挑战，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战，然后由平台组织专家打分确定胜负.根据以往经验，甲组第次挑战获胜的概率为，若甲组上一次挑战获胜，则下一次挑战获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战获胜的概率为.已知按此规则进行了次挑战，每次挑战有且仅有个组获胜，求甲组获胜次数的分布列与数学期望. 附：，其中. 【跟踪训练】1．（26-27高三·全国·一轮复习）甲口袋中装有个黑球和个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为． (1)求和； (2)求与的递推关系式． 2．（2027·湖南衡阳·一模）某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为． 0 1 2 (1)求，； (2)已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率． (3)工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由． 3．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）某科研团队研发一种新型智能光伏发电系统，该系统具备自动调节功能.每天系统会根据前一天的光照强度，决定当天该系统运行模式是“全功率追踪模式”（记为状态）或者“节能待机模式”（记为状态）.统计表明：若某天为状态，则次日继续保持该状态的概率为，若某天为状态，则次日切换回状态的概率为，记第天系统处于状态的概率为，且系统第一天的状态均为. (1)若， （i）求和； （ii）为了对系统进行压力测试，选取了10个互不干扰的独立时间段进行检测，设在每个时间段的第1天，系统均处于状态，记随机变量为这10个时间段中，第2天恰好处于状态的个数，求. (2)当参数满足时，证明：数列是等比数列，并求出的通项公式. 4．（2026·江西·二模）羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自2023年以来，由于多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨，部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友直呼快打不起球了．我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一．某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人． 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关? (2)现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音球的人数为，求的分布列和数学期望． (3)若某羽毛球俱乐部的男女比例为3：2．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 5．（2026·辽宁朝阳·三模）为了减轻教师阅卷负担，某校在一次考试中尝试采用AI辅助阅卷，从所有试卷中随机抽取60%由AI批阅，其余40%仍由教师人工批阅．阅卷后，按分层随机抽样的方式，从AI批阅和人工批阅的试卷中，随机抽取共100份试卷，统计AI批阅试卷的得分情况，得到如下的频率分布直方图． (1)估计AI批阅试卷的平均分和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于70分，则复批的概率为80%；若抽到试卷分数在70分到90分之间，则复批的概率为30%；若抽到试卷分数高于90分，则复批的概率为60%．若某同学试卷被复批，求AI批阅该同学试卷高于90分的概率； (3)已知抽取的100份试卷的平均分为，方差为，求人工批阅试卷的样本平均分和方差，并判断AI阅卷和人工阅卷的成绩是否有明显差异．（若，则认为二者有差异，否则不认为有明显差异） 6．（2026·四川德阳·三模）针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联； 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 (2)已知该校男生女生人数之比为4:5，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，已知该生喜欢人工智能应用，求该生为女生的概率． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 考点05 独立性检验与线性回归方程 独立性检验通过 （或 ）统计量判断两个分类变量是否相关；线性回归通过最小二乘法拟合变量间的线性关系，核心公式包括回归系数 和 的计算。 1. 列联表：整理 列联表，填入观测频数。2. 计算 ：，其中 为总样本量。3. 比较临界值：将计算值与临界值比较，若 临界值，则有一定把握认为两变量相关。 2. 1. 求样本中心：，。2. 计算回归系数：，。3. 写出方程：。 关键技巧：1. 数据预处理：可令 ， 简化计算，但最后要还原。2. 样本中心必在回归线上： 满足回归方程，可用于检验。3. 值越大，相关越可靠，但需注意样本量影响。 【典例5】（25-26高三·全国·一轮复习）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素．小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，，，． 附：相关系数，． (1)求样本（）的相关系数r；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）某新能源企业的甲、乙两条自动化产线生产动力电池电芯，两条产线当日产量相同．为探究产线类型与电芯合格情况是否存在关联，采用按比例分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的电芯中随机取出100枚进行性能检测，得到如下列联表： 单位：枚 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 50 乙自动化产线 40 合计 (1)将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验，分析自动化产线类型与电芯合格情况是否有关； (2)用样本的频率估计概率，从当日生产的电芯中随机抽取2枚进行检测，记其中不合格电芯的个数为，求的分布列与期望． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 2．（26-27高三上·四川·阶段检测）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； (3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 3．（2026·江苏泰州·二模）有媒体称开启了我国新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. （ii）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中道题的概率最大，求的值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 4．（26-27高三上·四川·阶段检测）乡村合作社开展农产品直播拓宽销路，开播后每月农产品销量持续上涨，下表记录了开播后5个月每个月直播售出农产品总量（单位：百公斤）： 月份序号 1 2 3 4 5 售出总量 35 44 58 70 88 (1)求关于的经验回归方程，并据此估计开播后第8个月合作社的农产品售出总量； (2)为研究购买直播农产品与居民城乡属性是否有关，该合作社随机抽取200名群众进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 购买过直播农产品 未购买过直播农产品 总计 城镇居民 80 120 乡村居民 40 总计 请完成上表，并判断是否有99%的把握认为购买直播农产品与居民城乡属性有关． 附1：对一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 附2：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 5．（2027高三·全国·专题练习）某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下： 某颗粒物密度 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于（年份）的回归方程拟采用或．若知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 6．（25-26高二下·山东临沂·期末）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： x（年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y（脂肪含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 数据经初步处理得，，，． (1)计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； (2)若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差． 附：（1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； （2）参考数据：，． 考点06 决策性问题 决策性问题通常涉及在不同方案中选择最优者，以期望收益最大或期望损失最小为标准。需列出各种可能状态及其概率，计算各方案的期望值进行比较。 【典例6】（25-26高三上·河南信阳·期末）在马年新春到来之际，某商场举办抽奖活动，方案如下： 1号不透明盒中放有标着“马”“骏”“龙”字样的小球，2号不透明盒中放有标着“到”“驰”“腾”字样的小球.顾客先从1号盒中随机取出1个小球，再从2号盒中随机取出1个小球.若这两个球上的字恰好组成“马到”，“骏驰”，“龙腾”中的一个词语，则该顾客中奖；否则未中奖，每位顾客只能抽奖一次，且各人抽奖结果相互独立.已知顾客从任一盒中抽到每个球的概率均为. (1)求一名顾客中奖的概率. (2)若小明一家三口都参加该抽奖活动，记小明全家中奖的人数为X， （i）求X的分布列及数学期望； （ii）已知对任意随机变量Y，若其数学期望、方差均存在，则对任意正实数a，有，该不等式称为切比雪夫不等式.若要求有不低于76%的把握使，求正实数a的最小值. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）“金秋时节蟹正肥，膏黄满溢惹人垂”，月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出只大闸蟹，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．以各组数据的中间数代表这组数据的平均值． (1)求抽取的只蟹质量的平均数和中位数；（若有小数，保留一位） (2)若按分层随机抽样从质量为，的蟹中随机抽取只，再从这只中随机抽取只，求这只蟹都来自同一个质量区间的概率； (3)某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有只蟹待捕捞，用样本估计总体．经销商对未捕捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以元/千克收购； 方案②：对质量低于克的蟹以元/只收购，对质量高于或等于克的蟹以元/只收购． 如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由． 2．（2026·上海·三模）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）某区连续几年的GDP（国内生产总值）情况，如下表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ (1)表中前4年数据的极差为_________，方差为_________，第20百分位数为_________； (2)我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析． 假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，这是数学建模中拟合函数的思想．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即拟合误差，来进行模型分析，一般拟合误差越小越适宜．） 例如，分析直线AB，即上的点：可知，求得拟合误差． ①：请依据以上方式，求出关于直线的拟合方差值：______； ②：请你在直线与直线进行预测的两个方案中选择合适的那个预估，预估该区第五年的GDP． 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 5．（2026·湖南怀化·二模）某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 考点07 赛制问题 制问题涉及多局比赛（如五局三胜、七局四胜、淘汰赛等），需计算某方获胜的概率或期望场次。关键在于将赛程分解为互斥的获胜路径，并考虑每局独立性。 1.弄清比赛结束条件（先赢几局获胜）、是否需打满全部局数、是否有种子选手或轮空等。 2.将所有可能的获胜过程按比分分类，确保互斥。例如五局三胜，获胜比分可能是3:0、3:1、3:2。 3.设每局甲胜概率为 ，乙胜为 。对3:1情况，需考虑前3局甲胜2局且第4局甲胜，且前3局中哪一局输掉有 种可能。 4.将所有路径概率相加。若求期望场次，则需列出所有可能的结束场次及其概率。 关键技巧：淘汰赛递推：可用动态规划 表示 号选手进入第 轮的概率，逐轮递推。2. 注意“连胜”条件：如“连胜两局获胜”需考虑中间可能有输局但最终连胜。3. 组合数应用：前 局胜负分布用组合数计算。 【典例7】（2025·安徽合肥·模拟预测）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响． (1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值． 【跟踪训练】1．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 2．（2026高三·全国·专题练习）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 3．（2026·四川攀枝花·一模）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 4．（2026·陕西西安·三模）光明中学举行校乒乓球比赛，共有人报名参加男子单打比赛，参赛选手的编号记为，并将所有选手分成A，B两组，每组各人，其中为不小于10的整数. (1)若，求编号为10和20的选手都在A组的概率； (2)若编号为和的选手都在A组，证明：在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于； (3)A组选手与B组选手一对一比赛后共有人晋级.已知在晋级的选手中有不超过10%的选手退赛，证明：在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得在这4人中有2人的编号之和等于另外2人的编号之和. 5．（25-26高三·全国·二轮复习）现有两球队进行友谊比赛，设队在每局比赛中获胜的概率都是． (1)若比赛6局，求队至多获胜4局的概率； (2)若采用“五局三胜”制，求比赛局数的分布列和数学期望． 考点08 马尔科夫链 马尔科夫链描述系统状态随时间演变的随机过程，核心特征是“无后效性”：下一状态的概率分布只由当前状态决定，与过去状态无关。解题关键是建立状态转移关系和递推方程。 1.根据问题情境，确定系统可能处于的有限个状态，如“球在甲手中”“球在乙手中”“球在丙手中”。 2.分析从每个状态转移到其他状态的概率，得到转移矩阵或转移关系。 关键技巧：1. 从后往前分析：马尔科夫链常从第 次倒推第 次，列出全概率关系。2. 构造等比：递推式 可通过待定系数法构造等比数列。3. 多状态变量：若有多个状态，需设多个变量联立求解。 【典例6】（2026·陕西咸阳·三模）某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． (1)记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； (2)比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 【跟踪训练】1．（25-26高三下·广东江门·期中）为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； (2)若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； (3)在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明： 2．（2026·湖南长沙·三模）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)设第i次投篮的人是甲的概率．求 3．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 4．（26-27高三上·湖北·阶段检测）小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为．某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为的概率为． (1)若小明投篮失败就退出比赛． （i）在的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率； （ii）写出的递推式及计算． (2)若小明持续参赛且投篮次数足够多，求的表达式． 5．（2026·山东聊城·二模）为评估某AI程序的国际象棋实战水平，现由甲与其进行多场比赛.已知甲每场比赛获胜的概率为，失败的概率为，且每场比赛的结果是相互独立的.记甲在前场比赛中，没有连续两场获胜的概率为，其中. (1)求（用表示）； (2)当时，求，并证明是等比数列； (3)设甲与AI程序至多进行场比赛且，若甲连续两场获胜，则比赛提前终止.记比赛终止时，比赛的总场数为，证明：. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练03 概率与统计解答题全归纳（含决策性、赛制及马尔科夫链等问题）8大考点 考点预览 目录 考点01 离散型随机变量的分布列、期望与方差 1 考点02 二项分布与超几何分布 9 考点03 正态分布 19 考点04 条件概率、全概率与贝叶斯公式 28 考点05 独立性检验与线性回归方程 39 考点06 决策性问题 53 考点07 赛制问题 62 考点08 马尔科夫链 70 考点通关 考点01 离散型随机变量的分布列、期望与方差 离散型随机变量的分布列描述随机变量取各个值的概率，期望 反映平均水平，方差 反映波动大小。求解关键在于准确计算随机变量所有可能取值及其对应概率。 1. 分析随机试验的可能结果，确定随机变量 的所有可能取值 ，注意取值应互斥且完备。 2. 利用古典概型、排列组合或概率性质，计算每个取值对应的概率 ，并验证 。 3. 将取值与概率对应列表，或表示为 的形式。 4. 代入公式计算 ， 或利用 简化计算。 5. 验证归一性：分布列概率和必须为1，可用于检验计算正确性。2. 简化公式：方差计算常用 ，避免平方和运算。3. 期望性质：，，可用于数据变换。 【典例1】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将出现的点数分别记为、． (1)设向量，，求的概率； (2)现对上述试验重复进行3次（每次试验为先后抛掷骰子两次），每次试验的结果相互独立．将每次试验中事件“”发生记作一次“成功”．记X为3次试验中“成功”的次数． （i）求X的分布列； （ii）求X的数学期望和方差． 【答案】(1) (2)（i） X 0 1 2 3 P （ii）， 【分析】（1）由古典概率公式求解即可； （2）（i）由二项分布的概率公式求分布列； （ii）由二项分布期望公式、方差公式求解即可. 【详解】（1）设事件 A 表示“”， 由 ，知 a＝b ，此时事件 A 有 6 种情况 而所有事件的总数为36，所以 （2）X的可能取值为0，1，2，3 由题知； 则， ， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P ，. 【跟踪训练】1．（26-27高三·全国·一轮复习）某公司拟投资一个项目，有三个方案可供选择，其收益 （万元）的分布如下：方案A：稳获收益 万元；方案B：收益 万元的概率为，收益 万元的概率为 ；方案C：收益、、 万元的概率分别为 、、. (1)分别求三个方案收益的数学期望、方差与标准差； (2)若仅以"收益的数学期望最大"为决策准则，应选哪个方案？ (3)若该公司风险承受能力较弱，要求"收益的波动尽可能小"，应如何在三个方案中权衡？给出你的建议并说明理由. 【答案】(1)方案A：，，；方案B：，，；方案C：，，．（数学期望、标准差的单位为万元，方差的单位为万元的平方．） (2)方案C． (3)三个方案的方差依次为、、，即方案A的收益无波动，方案B的收益波动居中，方案C的收益波动最大． 方案B的期望收益比方案A高万元，但有的概率收益仅为万元； 方案C的期望收益最高，但有的概率收益为万元． 若公司最重视收益稳定性且风险承受能力较弱，应选择方案A； 若愿意承担一定波动以提高期望收益，则可考虑方案B． 因此，以“收益的波动尽可能小”为首要要求时，建议选择方案A． 【分析】分别计算三个方案收益的数学期望、方差和标准差，再按题设要求比较并作出决策． 【详解】（1）方案A的收益为常数万元，故 方案B的收益分别为、万元，对应概率为、，故 方案C的收益分别为、、万元，对应概率为、、，故 （2）由，可知方案C的数学期望最大，因此应选择方案C． （3）略 2．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知某袋中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，黑球有个，每次从袋中不放回地随机取出1个小球. (1)设，求前三次取出的全是红球的概率； (2)设，记前3次取的小球的颜色的种数为，求的期望； (3)若，且最后剩下的球全是红球的概率为，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)“最后剩下的球全是红球”等价于最后一个球是红球（所有白球､黑球都被取完后，剩余球均为红球），因为， 因此最后一个球是红球的概率为， 取倒数得， 对到求和， 当，即时，，故， 综上，当时，.得证. 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式即可求解. （2）根据题意求出的所有取值，利用古典概型概率公式以及排列组合即可求出取每个值的概率，即可求解. （3）作等价转换：最后剩下的球全是红球，等价于红球是三种颜色中最后被全部取完的，进而可以写出的表达式，对拆分变形，利用等比数列求和公式计算结果，利用时，余项，的取值范围在0到1之间，放缩后即可得证. 【详解】（1）. （2）因为袋子中共6个球，且，所以的取值为2和3， ， ， 因此的期望. （3）略. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）在边长为 2 的正方形区域内随机投一点，记该点落在其内切圆内的概率为 . (1)求 ； (2)独立重复投点 3 次，记落在内切圆内的次数为 ，求 的分布列与 . 【答案】(1) (2)的分布列为： 【详解】（1）正方形边长为 2，其面积为 . 正方形的内切圆半径为 ，其面积为 . 由几何概型的概率公式，点落在内切圆内的概率为：. （2）独立重复投点 3 次，每次落在内切圆内的概率均为 ，且各次投点相互独立，故随机变量 服从二项分布，即 . X 的可能取值为 0, 1, 2, 3. 当 时，三次都未落在圆内： . 当 时，恰有一次落在圆内： . 当 时，恰有两次落在圆内： . 当 时，三次都落在圆内： . 的分布列为： 由二项分布的期望公式 ，得： . 4．（2025·河南·模拟预测）一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲､乙两种抗“H病毒”的药物，现已进入药物临床试用阶段.每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种药物，2人试用乙种药物.经试验，服用甲､乙两种药物痊愈的概率分别为，如果试用组中乙种药物的治愈人数超过甲种药物，那么称该组为“乙类组”. (1)求一个试用组为“乙类组”的概率； (2)当取最大值时，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“乙类组”的个数，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列为 0 1 2 3 【分析】（1）先分别求出甲种抗病毒药物治愈人数为,人的概率，以及乙种抗病毒药物治愈人数为,人的概率，再根据“乙类组”的定义，计算出一个试用组为“乙类组”的概率； （2）先根据(1)的结果求出时，一个试用组为“乙类组”的概率，再根据二项分布的定义确定服从的分布，最后求出的分布列和期望. 【详解】（1）设表示事件“一个试用组中，服用乙种药物治愈的有人”， 可得表示事件“一个试用组中，服用甲种药物治愈的有人”，. 由题意得， . 故一个试用组为“乙类组”的概率为. （2）由题意得在区间上单调递增，当取最大值时，， 此时一个试用组为“乙类组”的概率. 得到 可得的分布列为 0 1 2 3 由期望公式得 5．（26-27高三上·福建福州·开学考试）若数列（，，）满足，则称数列为项数列，由所有项数列组成集合． (1)若是16项数列，当且仅当（，）时，，求数列的所有项的和； (2)已知且，数列，，记随机变量． （ⅰ）当时，求随机变量的分布列及期望； （ⅱ）若，是两个不同的数列；求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）的分布列 X 0 1 2 3 ． （ⅱ）证明：因为数列，是从集合中任意取出的两个不同数列， 则数列，为项数列，所以的可能取值为：1，2，3，…，k， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同， 从项中选择项，和在项的某一项数字相反，其余项，两者均在同一位置数字相同， 由于，此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有种情况， 所以， 因为， 所以 ， 即． 【分析】（1）根据题意分析可知数列即，结合并项求和法运算求解； （2）（ⅰ）分析可知的可能取值为：0，1，2，3，且集合中元素的个数共有个，进而可得分布列和期望；（ⅱ）分析可知的可能取值为：1，2，3，…，k，集合中元素的个数共有个，结合组合数的性质求分布列和期望，进而分析证明. 【详解】（1）因为是16项数列，当且仅当时，， 当，和时，， 又因为，所以数列即， 设的所有项的和为S， 则 所以数列的所有项的和为． （2）（ⅰ）因为数列，是从集合中任意取出的两个数列， 则数列，为项数列，所以的可能取值为：0，1，2，3， 根据数列中0的个数可得，集合中元素的个数共有个， 当时，则数列，中有项取值不同，有项取值相同， 可得，；；； 随机变量的分布列 X 0 1 2 3 所以． （ⅱ）略 考点02 二项分布与超几何分布 二项分布描述 次独立重复试验中事件发生次数，每次试验概率固定；超几何分布描述不放回抽取中指定类别个体出现次数。两者易混淆，需根据“是否放回”和“总体大小”区分。 1. 二项分布：有放回、独立重复试验，总体无限或近似无限。超几何分布：不放回抽取，总体有限，通常涉及“N件产品中含M件次品，取n件”模型。当总体很大时，超几何分布可近似为二项分布。 2. 二项分布：，其中 为试验次数， 为每次成功的概率。超几何分布：，其中 为总体容量， 为成功类个体数， 为抽取次数。 3. 二项分布：。超几何分布：，其中 满足 。 4. 二项分布：，。超几何分布：，。 5. 判断关键：看题目是否有“放回”或“不放回”关键词；无放回但总体很大时可用二项分布近似。组合数计算：超几何分布概率涉及组合数，注意利用组合恒等式简化。期望公式记忆：二项与超几何的期望均为 (成功概率)，便于速算。 【典例2】（2026·海南三亚·一模）某数学兴趣小组为深入了解智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的平均数和中位数． (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照分层随机抽样的方式从，年龄段中随机共抽取名居民．若从选定的这名居民中再随机抽取名，记人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)，； (2) ​ ​ ​ ​ 数学期望 【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和中位数可得； （2）先确定两组所抽取的人数，进而可得随机变量的取值，且随机服从超几何分布，由超几何分布计算可得. 【详解】（1）因为频率分布直方图的组距为， 所以 ； 又因为前两组累计频率为， 前三组累计频率为， 因此中位数在第三组内，设中位数为， 则，解得. 因此估计年龄样本数据的平均数为，中位数为. （2）因为与的频率比为，分层抽样抽取人， 因此抽取人，抽取人. 所以的所有可能取值为， 且服从超几何分布，， ，， ，. 所以的分布列为： ​ ​ ​ ​ 数学期望：. 【跟踪训练】1．（26-27高三·全国·一轮复习）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． (1)求； (2)求； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下. 由题意知， 则，因为， 所以，（当时取等号） 所以. 【分析】（1）列出5人传球三次的树状图，根据概率乘法公式和加法公式得解； （2）由题意知，，根据数列的构造法求通项公式； （3）由题意知，作差法比大小. 【详解】（1）由题意知， ， 所以； （2）由题意知，， 所以， 所以， 则； （3）略 2．（2026·云南昆明·模拟预测）某厂家接到订单，急需加工一种零件，厂家安排甲、乙两台车床同时加工这种零件，其中甲车床加工的零件占60%，次品率为6%；乙车床加工的零件占40%，次品率为5%．为确保质量，将两台车床加工的零件混合，质检人员从中抽样检查． (1)从混合的零件中任取1个． （ⅰ）求这个零件是合格品的概率； （ⅱ）已知取到的是合格品，求它是由甲车床加工的概率； (2)从混合的零件中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记2次抽取中，抽到的零件是由乙车床加工的次数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【分析】（1）记甲车床加工为事件 ，乙车床加工为事件 ，取到合格品为事件 ，写出 ，，，，（i）用全概率公式求 ；（ii）用条件概率公式求 ； （2）有放回地独立抽取 次，每次抽到乙车床加工的概率为 ，故 ，写出 的分布列，再求. 【详解】（1）记“零件由甲车床加工”为事件 ，“零件由乙车床加工”为事件 ，“任取一个零件是合格品”为事件 ， 则 与 对立，，，且 ，. （i）由全概率公式，得 ， 所以这个零件是合格品的概率为 . （ii）在取到合格品的条件下，它由甲车床加工的概率为 . （2）由题意，每次抽取到的零件由乙车床加工的概率为，有放回地连续抽取次，各次抽取相互独立，所以，的所有可能取值为，，. ，，. 所以的分布列为： . 3．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派1个人进去，且每个人只派1次，工作时间不超过10min．如果前一个人10min内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在只有甲、乙、丙3个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立． (1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变3个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ (2)若按某指定顺序派人，这3个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列及均值； (3)假定，证明：按甲最先，乙次之，丙最后的先后顺序派出人员进入高辐射区工作，可使所派出的人员数目的均值达到最小． 【答案】(1)，不发生变化 (2) 1 2 3 (3)证明：由（2）的结论知：当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， ． 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减小所需派出的人员数目的均值． 下面证明：对于的任意排列，都有．(*) 事实上， ， 即(*)式成立，因此结论得证． 【分析】（1）由概率算式知任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关； （2）计算变量取值相应的概率得到分布列，计算数学期望； （3）根据不同顺序方案数学期望的结果，得到数学期望最小时的派出顺序． 【详解】（1）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是， 所以任务能被完成的概率与3个人被派出的先后顺序无关， 并等于． （2）的取值为， ，，， 故的分布列为 1 2 3 ． （3）略 4．（26-27高三上·江苏南京·阶段检测）苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】(1)​ (2)​ (3)​ 【分析】（1）先由男女性居民人数比求出样本中男、女性居民人数，再分别求出两类居民中观看比赛的人数，用观看人数除以样本总人数得到观看频率． （2）根据样本数据分别求出在观看比赛与未观看比赛的条件下居民为女性的条件概率，再代入似然比的定义计算． （3）按访谈的2人中男性居民人数分类，利用超几何分布求各类的概率，再对“没有观看比赛的男性居民”这一事件使用全概率公式． 【详解】（1）由男、女性居民人数比为，得样本中男性居民和女性居民的人数分别为人和人． 男性居民中观看比赛的人数为人，女性居民中观看比赛的人数为人． 所以样本中观看比赛的频率为． 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，估计此人观看比赛的概率为． （2）由题意，表示居民观看比赛，表示居民为女性． 样本中观看比赛的居民有人，其中女性有人，男性有人，因此，． 由似然比定义，． 未观看比赛的居民有人，其中女性和男性各有人，所以，． 因此， 从而． （3）按性别比例抽取5名居民，抽得男性居民3人、女性居民2人． 设从这5人中随机抽取的2人中恰有名男性居民为事件，其中，则． 设事件为抽取的2名居民中没有观看比赛的男性居民． 按频率估计，男性居民观看比赛的概率为，所以男性居民未观看比赛的概率为． 当发生时抽取的2人均为女性，故． 当发生时抽取的2人中有1名男性居民，故． 当发生时抽取的2人中有2名男性居民，故． 由全概率公式，根据、、三种情况， 代入各项概率，得 5．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）某动力电池企业研究低温预处理工艺对电芯循环寿命达标情况的影响，随机抽取400块同型号电芯开展对照检测试验，整理试验数据得到如下列联表： 循环达标 循环不达标 合计 经过低温预处理 100 100 200 未经过低温预处理 120 80 200 合计 220 180 400 (1)依据小概率值的独立性检验，能否推断电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关？ (2)实验室检测设备存在识别误差：一块实际循环达标的电芯，设备检测后判定为不达标的概率为0.2；一块实际循环不达标的电芯，设备检测后判定为达标的概率为0.2.现从全部400块试验电芯中随机抽取1块，求该电芯被设备判定为循环达标的概率； (3)按照分层随机抽样的方法从未经过低温预处理的电芯中选出5块，再从5块中选2块进行复检.设随机变量为抽到的循环不达标的电芯数量，求的分布列与数学期望. 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能 (2)0.53 (3) 0 1 2 期望为 【分析】（1）根据表中数据计算出，再根据临界值分析判断即可; （2）利用全概率公式计算即可； （3）随机变量X服从超几何分布，利用超几何分布的公式求分布列，再利用期望定义求期望即可. 【详解】（1）零假设为：电芯循环是否达标与是否进行低温预处理无关. 由列联表，      根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以电芯循环是否达标与是否进行低温预处理有关. （2）设事件为“实际循环达标的电芯”，事件为“实际循环不达标的电芯”， 事件为“被判定循环达标”. 所以该电芯被设备判定为循环达标的概率为0.53. （3）由题意可知的所有可能取值0，1，2. 可得 所以的分布列为：      0 1 2 故. 考点03 正态分布 正态分布 由均值 和标准差 决定。其密度曲线关于 对称，经验法则提供区间概率，标准化转换 将一般正态转化为标准正态 以便查表计算。 1.明确 和 ，若题目给出的是样本数据，可估计均值和标准差。 2.适用于快速估算区间概率。 3.对一般正态，求 时，计算 ，则 ，其中 为标准正态分布函数。 4.利用标准正态分布表或计算器求 值。已知概率反求 时，先查得 ，再解 。 5.画图辅助：画出正态曲线，标明均值、标准差和所求区域，避免混淆。对称性利用：，用于求左侧概率。 3σ原则：常用于质量控制或判断异常值。 【典例3】（2026·上海·三模）我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力、设备生产的零件的直径为（单位）． (1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； (2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求的分布与期望： (3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果保留到0.0001） 参考数据：若，则，． 【答案】(1)②①③ (2)的分布为： 期望 (3) 【分析】（1）利用相关系数绝对值越大相关性越强的性质排序； （2）先确定的所有可能取值，计算对应概率得到分布，再代入期望公式求解； （3）先由正态分布的原则求单个零件直径小于的概率，再结合二项分布概率公式计算所求概率. 【详解】（1）由， 故按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序为②①③； （2）由题意，个零件中直径大于的有个，不大于的有个， 随机抽取个，的可能取值为，，， ，，， 故的分布为： ； （3）由，， 故， 记个零件中直径小于的个数为，各零件检验独立，故， 则 . 【跟踪训练】1．（26-27高三·全国·一轮复习）为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，零件尺寸检验员每天需从该生产线上随机抽取一批零件，并测量其尺寸（单位：），然后根据尺寸标准判断这条生产线是否正常.假设这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.假设生产线的生产状态正常，记为一天内抽取的16个零件中尺寸在之外的零件数，求. 【答案】. 【分析】先根据正态分布的性质求尺寸在之外的概率，再结合二项分布的概率计算公式求对应的概率. 【详解】根据题意及正态分布的性质可知抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为， 所以零件的尺寸在之外的概率为， 所以， 所以. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）为提升青年球员的点球命中率，某足球青训营开展专项训练对比实验．教练从参训球员中随机选取200人，平均分为两组：甲组采用常规训练，乙组采用“预判+步伐”专项训练．训练周期结束后进行统一测试，甲组中有60人命中，乙组中有25人未命中． (1)请根据数据，画出列联表，通过分析列联表数据，能否有95%的把握认为“训练方式”与“点球命中”有关？请说明理由； (2)经大量训练，乙组球员的命中率（以比例表示）近似服从正态分布，其均值为0.75，标准差为0.05．现从乙组中随机抽取一名球员，求该球员命中率低于0.7的概率． 附：；，其中． 【答案】(1)2×2列联表如下： 命中 未命中 合计 常规训练 60 40 100 专项训练 75 25 100 合计 135 65 200 有的把握认为“训练方式”与“点球命中”有关； (2) 【分析】（1）根据题意，得到数据的列联表，利用公式求得，比较即可得到结论； （2）根据题意，得到乙组球员的命中率服从，转化为，进而求得其概率. 【详解】（1）解：根据题意，甲乙两组中各有100人，甲组中有60人命中，乙组中有25人未命中， 可得甲组中有40人未命中，乙组中有75人命中， 所以列联表，如下表所示： 命中 未命中 合计 常规训练 60 40 100 专项训练 75 25 100 合计 135 65 200 可得， 因为，所以有的把握认为“训练方式”与“点球命中”有关. （2）解：因为乙组球员的命中率近似服从正态分布，其均值为0.75，标准差为0.05， 即乙组球员的命中率近似服从， 将转化为标准正态分布变量，可得， 可得. 3．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）某市开展“全民反诈在行动”知识竞赛活动，现从参加该活动的两万名居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩频率分布直方图． (1)估计该社区居民竞赛成绩的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)由直方图可认为全市参加活动的居民成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，估计该市所有参加活动居民成绩超过95分的有多少人？ 附：，则，． 【答案】(1)， (2)人 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式，准确计算，即可求解； （2）由（1）得到服从正态分布，结合正态分布曲线的对称性，即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得估计该市居民竞赛成绩的平均数如下， 可得， 则估计该市居民竞赛成绩的方差为 ． （2）由（1）可得，所以，，则， 所以服从正态分布， 因为， 所以． 则该市参赛居民成绩超过95分的人数估计为人． 4．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）在某次高三年级的期中测试中，学校把数学成绩达到120分以上（包含120分）的同学的数学成绩等级定为优秀，物理成绩达到90分以上（包含90分）的同学的物理成绩等级定为优秀．现从物理方向的800名考生中随机抽取10名同学调研本次测试的数学和物理成绩．如下表： 数学（分） 119 145 99 95 135 120 122 85 130 120 物理（分） 84 90 82 84 83 81 83 81 90 82 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 数学非优秀 总计 (1)请完成列联表，并依据的独立性检验分析，能否认为本次测试中数学优秀的学生与数学非优秀的学生之间的物理成绩存在差异？ (2)数学组的章老师打算从这个同学中，按照这次测试数学的等级是否优秀，利用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中抽取个人，并仔细考查这个人的答题情况．设最后抽出的个人中数学等级优秀的人数为，求的分布列及数学期望； (3)如果本次测试中考生的物理成绩，用样本估计总体，以名同学物理成绩的平均数为，方差为，若从参加考试的名考生中随机抽取人，求这人中至少有人的物理成绩的等级优秀的概率． 参考数据：取，，． 若，则， ，． 【答案】(1) 列联表如下： 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 依据的独立性检验，不能认为本次测试中数学优秀的学生与数学非优秀的学生之间的物理成绩存在差异 (2) 的分布列为： 1 2 3 数学期望 (3) 【分析】（1）统计样本数据完成列联表，计算卡方统计量与的临界值比较判断独立性； （2） 按分层抽样确定抽取的优秀、非优秀人数，结合超几何分布求分布列和期望； （3） 计算物理成绩的样本均值和方差确定正态分布参数，利用正态分布对称性求单人物理优秀概率，再通过对立事件求4人中至少1人优秀的概率. 【详解】（1）数学成绩分共6人，其中物理成绩分有2人，物理成绩分有4人；数学成绩分共4人，物理成绩均分，据此完成上述列联表. 物理优秀 物理非优秀 总计 数学优秀 2 4 6 数学非优秀 0 4 4 总计 2 8 10 依据的独立性检验，不能认为本次测试中数学优秀的学生与数学非优秀的学生之间的物理成绩存在差异。零假设：数学是否优秀与物理成绩是否优秀独立，即两类学生物理成绩无差异，代入卡方公式计算： ， 已知对应的临界值，，依据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推翻，因此不能认为数学优秀与非优秀的学生之间物理成绩存在差异. （2）由分层抽样规则，抽取的5人中数学优秀人数为，数学非优秀人数为. 的可能取值为1，2，3，服从超几何分布： ， ， . 因此的分布列为： 1 2 3 期望 . （3）10名学生物理成绩的均值：， 方差： . 因此，， 由正态分布对称性：， 记“人中至少有人的物理成绩的等级优秀”为事件， 可得， 所以人中至少有人的物理成绩的等级优秀的概率为. 5．（2026·上海·模拟预测）小新为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为“优秀”与“合格”两级． (1)若男生和女生中分别有25名和35名被评为“优秀”，是否有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64，求全体参赛学生成绩的均值及方差． (3)在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①，其中；； ②、、． 【答案】(1)没有； (2)，； (3)82人 【分析】（1）由公式求得，得到，即可求解； （2）由均值和方差的计算公式即可求解； （3）转换成标准正态分布，进而可求解. 【详解】（1）提出零假设：该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别无关， 显著性水平， 计算， 因为，所以接受原假设， 即没有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关； （2）， 故； （3）由（2），得， 设，则， 故， 故成绩在范围内的学生约为82人． 考点04 条件概率、全概率与贝叶斯公式 条件概率 刻画事件 发生条件下 发生的概率；全概率公式将复杂事件分解为互斥原因的概率加权和；贝叶斯公式则用于已知结果反推原因概率。 1. 明确条件事件和结果事件，用字母表示（如 为原因， 为结果），并确保原因事件构成完备事件组 2. 条件概率： 或 。全概率公式：。贝叶斯公式： 关键技巧：1. 三步走口诀：罗列事件→罗列概率→背套公式。2. 区分先验与后验： 为先验概率， 为后验概率。3. 全概率是贝叶斯的分母，常先算全概率再求贝叶斯。 【典例4】（26-27高三上·广东惠州·阶段检测）随着短剧在短视频平台的爆发式增长，为其输送内容创作动能的网络文学用户规模也持续增加，目前中国网络文学用户已超过整体网民数量的一半.为了解不同性别的网民对网络文学的喜欢情况，随机调查了名网民，得到如下数据. 男性网民 女性网民 合计 喜欢网络文学 不喜欢网络文学 合计 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢网络文学与性别有关联？ (2)某网络文学平台组织网民进行文学挑战，分成甲、乙两组进行挑战，其规则如下：每次挑战时平台给出文学作品主题要求，甲组与乙组各选出一篇本组优秀作品参加挑战，然后由平台组织专家打分确定胜负.根据以往经验，甲组第次挑战获胜的概率为，若甲组上一次挑战获胜，则下一次挑战获胜的概率为；若甲组上一次挑战没有获胜，则下一次挑战获胜的概率为.已知按此规则进行了次挑战，每次挑战有且仅有个组获胜，求甲组获胜次数的分布列与数学期望. 附：，其中. 【答案】(1)依据小概率值的独立性检验，不能认为喜欢网络文学与性别有关联. (2) 数学期望 【分析】根据列联表数据计算，独立性检验结合题中给的小概率值进行判断. 先确定甲组获胜次数的所有可能取值：0，1，2，3.因为每一步概率受上一轮结果影响，逐条算概率再按获胜次数合并，写出分布列计算期望. 【详解】（1）零假设：喜欢网络文学与性别无关联. 根据列联表中数据得：. 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此不能认为喜欢网络文学与性别有关联. （2）表示次挑战中甲组获胜的次数，所以的可能取值：，，，， 由已知条件得： 第次挑战甲组胜：；甲组败：.上次胜本次胜： ；上次胜本次败：. 上次败本次胜：；上次败本次败：. 记：甲组胜，甲组败. ： ++： ++： ： 分布列为： 数学期望. 【跟踪训练】1．（26-27高三·全国·一轮复习）甲口袋中装有个黑球和个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为． (1)求和； (2)求与的递推关系式． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果； （2）根据操作，依次求，即得递推关系，构造等比数列求得． 【详解】（1）， ， ． （2）， ， 因此， 从而， 即． 2．（2027·湖南衡阳·一模）某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物．能正常工作的摄像头数为随机变量，其分布列如下表所示，且．每个正常工作的摄像头独立地以的概率识别出障碍物（否则漏检）．记识别出障碍物的摄像头数为． 0 1 2 (1)求，； (2)已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率． (3)工程师想通过提升单台识别率到，使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率达到0.8，这可能吗？请说明理由． 【答案】(1)． (2) (3)不可能，理由如下. 因为，，． 所以， 若要，则，即， 上式化简为，，故此不等式无解，故不能达到要求． 【详解】（1）（1）由题意知，， 解得． （2）（2）设事件恰有1台摄像头识别出该障碍物，有台摄像头正常工作， 由全概率公式知， ， 故． （3）略 3．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）某科研团队研发一种新型智能光伏发电系统，该系统具备自动调节功能.每天系统会根据前一天的光照强度，决定当天该系统运行模式是“全功率追踪模式”（记为状态）或者“节能待机模式”（记为状态）.统计表明：若某天为状态，则次日继续保持该状态的概率为，若某天为状态，则次日切换回状态的概率为，记第天系统处于状态的概率为，且系统第一天的状态均为. (1)若， （i）求和； （ii）为了对系统进行压力测试，选取了10个互不干扰的独立时间段进行检测，设在每个时间段的第1天，系统均处于状态，记随机变量为这10个时间段中，第2天恰好处于状态的个数，求. (2)当参数满足时，证明：数列是等比数列，并求出的通项公式. 【答案】(1)（i），；（ii）. (2)证明如下：， 由全概率公式可得， 设，可得， 对照系数可得，，解得， 所以， 所以数列是等比数列，公比为，首项为， 所以，， 故的通项公式为. 【分析】（1）（i）由全概率公式进行求解；（ii）可得，进而求出期望； （2）先得，构造法证明为等比数列，求出通项公式 【详解】（1）（i）由题意得，，， ， 故第2天系统处于状态的概率为， 第3天系统处于状态有两种情况，第2天系统处于状态且第3天系统处于状态， 和第2天系统处于状态且第3天系统处于状态， 故概率； （ii）由（i）可得，故； （2）略 4．（2026·江西·二模）羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，但自2023年以来，由于多种原因，羽毛球价格经历多轮上涨，部分高端型号涨幅甚至超过同期黄金涨幅，越来越多的球友直呼快打不起球了．我国某著名体育厂商抓住这个历史机遇推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，该羽毛球一经上市便引起热烈反响，但舆论对其评价褒贬不一．某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的45%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人． 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 (1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有90%的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关? (2)现从男性羽毛球爱好者中按对碳音球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音球的人数为，求的分布列和数学期望． (3)若某羽毛球俱乐部的男女比例为3：2．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 没有的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关 (2) 0 1 2 3 (3) 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）利用超几何分布的概率公式求出分布列，从而求出数学期望； （3）根据全概率公式及条件概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意可得列联表如下： 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 ， 没有的把握认为两种羽毛球的偏好与性别有关． （2）依题意男性羽毛球爱好者偏好碳音球的抽取人， 偏好天然羽毛球的抽取人， 则的可能取值为，，，， 则，， ，， 则的分布列为, 0 1 2 3 所以的数学期望为： ； （3）记事件A为：抽取的人偏好碳音球：事件B为：抽取的人性别为男性， 则， 由全概率公式得， 则，即此人为男性的概率为. 5．（2026·辽宁朝阳·三模）为了减轻教师阅卷负担，某校在一次考试中尝试采用AI辅助阅卷，从所有试卷中随机抽取60%由AI批阅，其余40%仍由教师人工批阅．阅卷后，按分层随机抽样的方式，从AI批阅和人工批阅的试卷中，随机抽取共100份试卷，统计AI批阅试卷的得分情况，得到如下的频率分布直方图． (1)估计AI批阅试卷的平均分和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)为了保证阅卷的准确性，需要从AI批阅试卷的样本中随机抽取试卷进行人工复批．若抽到试卷分数低于70分，则复批的概率为80%；若抽到试卷分数在70分到90分之间，则复批的概率为30%；若抽到试卷分数高于90分，则复批的概率为60%．若某同学试卷被复批，求AI批阅该同学试卷高于90分的概率； (3)已知抽取的100份试卷的平均分为，方差为，求人工批阅试卷的样本平均分和方差，并判断AI阅卷和人工阅卷的成绩是否有明显差异．（若，则认为二者有差异，否则不认为有明显差异） 【答案】(1)， (2) (3)，，不认为AI阅卷和人工阅卷的成绩有明显差异 【分析】（1）先求出90~100分的频率/组距，再代入公式即可求出平均数和方差； （2）设“该同学得分低于70分”为事件，“该同学得分在70分到90分之间”为事件，“该同学得分高于90分”为事件，“该同学试卷被复批”为事件B，再求出 ，最后利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出； （3）分别求出和方差，再代入公式即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，90~100分的频率/组距为， 所以平均分， 方差． （2）设“该同学得分低于70分”为事件，“该同学得分在70分到90分之间”为事件，“该同学得分高于90分”为事件，“该同学试卷被复批”为事件B． 由频率分布直方图得， 所求概率为． （3），解得， ，解得． 所以，故不认为AI阅卷和人工阅卷的成绩有明显差异． 6．（2026·四川德阳·三模）针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联； 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 (2)已知该校男生女生人数之比为4:5，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取1名学生，已知该生喜欢人工智能应用，求该生为女生的概率． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：，其中． 【答案】(1)填表： 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联 (2) 【分析】（1）根据等高堆积条形图，填写列联表，利用公式求，与临界值对比后下结论； （2）根据全概率公式求抽取的学生喜欢人工智能应用的概率，再根据贝叶斯公式求该生为女生的概率. 【详解】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成列联表如下： 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 零假设为：该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用没有关联． ， ∴依据小概率值的独立性检验， 我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联． （2）设事件A为“抽取的学生喜欢人工智能应用”， 事件B为“抽取的学生为女生”，则为“抽取的学生为男生”， 将样本的频率视为概率，则， ， 由全概率公式得， 再根据贝叶斯公式得. 所以已知该生喜欢人工智能应用，则该生为女生的概率为. 考点05 独立性检验与线性回归方程 独立性检验通过 （或 ）统计量判断两个分类变量是否相关；线性回归通过最小二乘法拟合变量间的线性关系，核心公式包括回归系数 和 的计算。 1. 列联表：整理 列联表，填入观测频数。2. 计算 ：，其中 为总样本量。3. 比较临界值：将计算值与临界值比较，若 临界值，则有一定把握认为两变量相关。 2. 1. 求样本中心：，。2. 计算回归系数：，。3. 写出方程：。 关键技巧：1. 数据预处理：可令 ， 简化计算，但最后要还原。2. 样本中心必在回归线上： 满足回归方程，可用于检验。3. 值越大，相关越可靠，但需注意样本量影响。 【典例5】（25-26高三·全国·一轮复习）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素．小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，，，． 附：相关系数，． (1)求样本（）的相关系数r；（精确到0.01） (2)现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列为 X 1 2 3 P 【分析】（1）利用题目给的数据和公式先计算出样本平均数，再算出相关系数即可； （2）利用超几何分布求解分布列即可． 【详解】（1）根据统计表格中的数据，可得， 因此样本相关系数 ． （2）根据题意，可得随机变量X的取值为1，2，3， 则，，． 因此随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 期望． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·河北沧州·阶段检测）某新能源企业的甲、乙两条自动化产线生产动力电池电芯，两条产线当日产量相同．为探究产线类型与电芯合格情况是否存在关联，采用按比例分层随机抽样的方法，从该厂当日生产的电芯中随机取出100枚进行性能检测，得到如下列联表： 单位：枚 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 50 乙自动化产线 40 合计 (1)将列联表补充完整并根据小概率值的独立性检验，分析自动化产线类型与电芯合格情况是否有关； (2)用样本的频率估计概率，从当日生产的电芯中随机抽取2枚进行检测，记其中不合格电芯的个数为，求的分布列与期望． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 45 50 乙自动化产线 10 40 50 合计 15 85 100 认为自动化产线类型与电芯合格情况无关． (2)分布列为 0 1 2 期望为 【分析】（1）根据题意，先完成的列联表，利用公式求得，结合附表的数据，即可得到结论； （2）先求得从样本中随机抽取1枚电芯为不合格电芯的概率，得到变量，结合二项分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，进而求得数学期望. 【详解】（1）解：将列联表补充完整，如下表所示： 不合格电芯 合格电芯 合计 甲自动化产线 5 45 50 乙自动化产线 10 40 50 合计 15 85 100 零假设：自动化产线类型与电芯合格情况无关， 由列联表，得， 所以根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立， 可以认为自动化产线类型与电芯合格情况无关． （2）解：由题意得，从样本中随机抽取1枚电芯为不合格电芯的概率， 又由随机变量的可能取值有，随机变量， 可得，， ， 则随机变量的分布列为 0 1 2 所以期望为． 2．（26-27高三上·四川·阶段检测）某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积亩 1 2 3 4 5 管理时间月 8 10 13 25 24 并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示（单位：人）： 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 (1)求出样本相关系数的大小，并判断管理时间与土地使用面积是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； (2)依据的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关； (3)以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为，求的分布列及数学期望． 参考公式：，，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：． 【答案】(1)0.933；管理时间与土地使用面积线性相关． (2) 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 认为村民的性别与参与管理的意愿有关． (3) 0 1 2 3 数学期望． 【分析】（1）根据相关系数的公式可求，从而可判断两个变量线性相关； （2）求出，与临界值比较后可得相应判断； （3）根据二项分布先求出的分布列，根据期望公式可求，或者直接根据二项分布的期望公式求得. 【详解】（1）由题知，，， ， ， ， 则， 故管理时间与土地使用面积线性相关． （2）依题意，完成表格如下：（单位：人） 愿意参与管理 不愿意参与管理 合计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 合计 200 100 300 零假设为：村民的性别与参与管理的意愿无关， 计算可得， 依据的独立性检验，推断不成立， 即认为村民的性别与参与管理的意愿有关． （3）法一：依题意，的可能取值为， 从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故， 故的分布列为： 0 1 2 3 则数学期望． 法二：依题意，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 则，故． 3．（2026·江苏泰州·二模）有媒体称开启了我国新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. （i）若答题活动设置道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用表示在本次答题的题目数量，求的分布列和期望. （ii）若答题活动设置且道题，甲仅答对其中道题的概率最大，求的值. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 认为学生报名参加答题活动与性别有关联. (2) （i） X 1 2 3 4 P ； （ii）. 【分析】（1）根据题设，结合条件概率的定义求出数据，进而完成列联表，再计算出的值判断即可； （2）（i）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望； （ii）设随机变量为甲答对题目的个数，则，根据二项分布的概率性质建立不等式组即可求解. 【详解】（1）因为，所以愿意报名参加答题活动人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为，则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001； （2）（i）的所有可能取值为：1，2，3，4， ， 所以的分布列为： X 1 2 3 4 P 故. （ii）设随机变量为甲答对题目的个数，则. 则， 假设最有可能答对题目的数量是次，则 即： 解得，又，则. 4．（26-27高三上·四川·阶段检测）乡村合作社开展农产品直播拓宽销路，开播后每月农产品销量持续上涨，下表记录了开播后5个月每个月直播售出农产品总量（单位：百公斤）： 月份序号 1 2 3 4 5 售出总量 35 44 58 70 88 (1)求关于的经验回归方程，并据此估计开播后第8个月合作社的农产品售出总量； (2)为研究购买直播农产品与居民城乡属性是否有关，该合作社随机抽取200名群众进行问卷调查，得到如下不完整的列联表： 购买过直播农产品 未购买过直播农产品 总计 城镇居民 80 120 乡村居民 40 总计 请完成上表，并判断是否有99%的把握认为购买直播农产品与居民城乡属性有关． 附1：对一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 附2：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)经验回归方程为，估计开播后第个月合作社的农产品售出总量为百公斤. (2)补全列联表如下： 购买过直播农产品 未购买过直播农产品 总计 城镇居民 80 40 120 乡村居民 40 40 80 总计 120 80 200 没有的把握认为购买直播农产品与居民城乡属性有关. 【分析】（1）先由表中数据求出、，再用最小二乘法公式求出与，最后把代入经验回归方程求估计值. （2）先由行、列合计数把列联表补全，再代入的计算公式，与临界值比较后下结论. 【详解】（1）由表中数据得，. 所以，. 所以关于的经验回归方程为. 当时，， 所以估计开播后第个月合作社的农产品售出总量为百公斤. （2）由合计数得：城镇居民中未购买过的有人， 乡村居民共有人，其中购买过的有人； 于是购买过直播农产品的共人，未购买过的共人. 所以列联表如下： 购买过直播农产品 未购买过直播农产品 总计 城镇居民 80 40 120 乡村居民 40 40 80 总计 120 80 200 记，，，，则. 所以. 因为，所以没有的把握认为购买直播农产品与居民城乡属性有关. 5．（2027高三·全国·专题练习）某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下： 某颗粒物密度 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于（年份）的回归方程拟采用或．若知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 【答案】(1)． (2)选择散点图，． (3)对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小． 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可. （2）根据相关系数的取值范围及相关系数与相关性的关系判断即可. （3）求出样本中心点，代入回归方程求解判断即可. 【详解】（1）由题意，设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度为事件， 显然满足题意共有7年，故， 故该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率为． （2）经分析应选择散点图，因相关系数的取值范围是，所以可以排除区间， 通过所给数据可知随着颗粒物密度的减少，二氧化硫密度也呈现减少的趋势，二者变化方向一致，属于正相关，因此， 综上，相关系数的取值区间为． （3）由题意，设样本中心， ， 故，则， 所以. 故时，此时，差值绝对值为2.20， ，差值绝对值为， 因为， 故对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小． 6．（25-26高二下·山东临沂·期末）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表： x（年龄/岁） 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 y（脂肪含量/%） 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 数据经初步处理得，，，． (1)计算样本相关系数r（精确到0.01），并说明该成对样本数据的线性相关程度； (2)若y关于x的线性回归方程为，求y关于x的线性回归方程（精确到0.01），并计算当年龄为60岁时的残差． 附：（1）参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，； （2）参考数据：，． 【答案】(1)0.98，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强 (2)，1.24 【分析】（1）先求出，然后根据相关系数公式求出，再根据的值即可对该成对样本数据的线性相关程度做出判断； （2）根据回归直线过样本点的中心求出，进而得到回归直线方程，将代入回归直线方程求出，即可求出残差. 【详解】（1），          ，                         ，                      由相关系数，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强； （2）由回归方程可知， 因为回归直线过样本点的中心，即，解得，           所以y关于x的线性回归方程为，           将代入上式可得，     所以年龄为60岁时的残差为． 考点06 决策性问题 决策性问题通常涉及在不同方案中选择最优者，以期望收益最大或期望损失最小为标准。需列出各种可能状态及其概率，计算各方案的期望值进行比较。 【典例6】（25-26高三上·河南信阳·期末）在马年新春到来之际，某商场举办抽奖活动，方案如下： 1号不透明盒中放有标着“马”“骏”“龙”字样的小球，2号不透明盒中放有标着“到”“驰”“腾”字样的小球.顾客先从1号盒中随机取出1个小球，再从2号盒中随机取出1个小球.若这两个球上的字恰好组成“马到”，“骏驰”，“龙腾”中的一个词语，则该顾客中奖；否则未中奖，每位顾客只能抽奖一次，且各人抽奖结果相互独立.已知顾客从任一盒中抽到每个球的概率均为. (1)求一名顾客中奖的概率. (2)若小明一家三口都参加该抽奖活动，记小明全家中奖的人数为X， （i）求X的分布列及数学期望； （ii）已知对任意随机变量Y，若其数学期望、方差均存在，则对任意正实数a，有，该不等式称为切比雪夫不等式.若要求有不低于76%的把握使，求正实数a的最小值. 【答案】(1)； (2)（i）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为1； （ii）. 【分析】（1）利用相互独立事件及互斥事件的概率公式列式计算即可. （2）（i）求出的可能值并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）由（i）求出，再利用切比雪夫不等式建立不等式关系并求出最小值. 【详解】（1）记事件抽到“马”与“到”，事件抽到“骏”与“驰”，事件抽到“龙”与“腾”， 则，而两两互斥， 所以顾客中奖的概率. （2）（i）小明全家中奖的人数的可能值为，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. （ii）由（i）知，则， 由切比雪夫不等式，得， 即，则由，解得，而，则， 所以正实数a的最小值. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）“金秋时节蟹正肥，膏黄满溢惹人垂”，月又到吃螃蟹的季节，某蟹塘随机捞出只大闸蟹，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．以各组数据的中间数代表这组数据的平均值． (1)求抽取的只蟹质量的平均数和中位数；（若有小数，保留一位） (2)若按分层随机抽样从质量为，的蟹中随机抽取只，再从这只中随机抽取只，求这只蟹都来自同一个质量区间的概率； (3)某经销商来收购大闸蟹，该蟹塘中大约还有只蟹待捕捞，用样本估计总体．经销商对未捕捞的蟹提出以下两种收购方案： 方案①：所有蟹以元/千克收购； 方案②：对质量低于克的蟹以元/只收购，对质量高于或等于克的蟹以元/只收购． 如果你是蟹塘老板，你会选择哪种方案，说明理由． 【答案】(1)平均数为，中位数为； (2) (3) 选择方案②获利更多． 【分析】（1）利用频率分布直方图可求得抽取的只蟹质量的平均数和中位数； （2）利用分层抽样求得每组所抽取的个数，进而利用古典概型概率公式求解即可； （3）分别求得两种方案的获利情况可得结论. 【详解】（1）抽取的只蟹质量的平均数为 ； 因为质量小于的频率为， 所以中位数位于，设中位数为，则，中位数 （2）因为的频率为，的频率为，所以分层抽样比例为， 记“这两只蟹取自同一组”， 则这只蟹都来自同一个质量区间的概率为； （3）选择方案②，理由如下： 因为蟹质量的平均数为克， 所以按方案①获利为元； 按方案②：质量低于克的频率为， 质量大于等于克的频率为， 所以按方案②获利为元， 又因为，所以选择方案②获利更多. 2．（2026·上海·三模）甲、乙两支球队参加某球类比赛，如果每局比赛甲队获胜的概率为（），乙队获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．比赛有两种方案， 方案一：采用“三局两胜”制，即累计先胜两局的队最终获胜； 方案二：采用“五局三胜”制，即累计先胜三局的队最终获胜． (1)当时，采用方案一还是方案二对乙更有利（不用说明理由），并求该方案下乙队最终获胜的概率； (2)当时，若比赛采用方案二． ①求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率； ②若比赛结果为或者时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为时，胜方得2分，负方得1分，求甲队本次比赛的得分的分布及期望 【答案】(1)采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率 (2)①；② 0 1 2 3 【分析】（1）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求出方案一、方案二乙获胜的概率，再比较大小即可. （2）①利用条件概率公式计算得解；②求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）当时，每局比赛乙队获胜的概率为， 采用方案一，三局两胜制下乙获胜分两种情况：胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率； 采用方案二，五局三胜制下乙获胜分三种情况：胜、胜和胜， 因此乙队最终获胜的概率， 而，所以采用方案一对乙更有利，乙队最终获胜的概率. （2）①当时，甲队最终获胜的事件为，五局三胜制下甲获胜分三种情况：胜、胜和胜， ， 比赛恰好进行了四局的事件为，则， 所以求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率为. ②甲队得分的所有可能取值为， ，即乙以或胜甲，； ，即乙以胜甲，； ，即甲以胜乙，； ，即甲以或胜乙，， 所以的分布为 0 1 2 3 期望. 3．（2026·上海杨浦·模拟预测）某区连续几年的GDP（国内生产总值）情况，如下表所示： 年份 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 GDP（百亿元） 10.0 11.0 12.4 13.5 ■ (1)表中前4年数据的极差为_________，方差为_________，第20百分位数为_________； (2)我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：、、、．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP，可以尝试选择直线AB、直线AC等函数模型来进行分析． 假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适． （说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜，这是数学建模中拟合函数的思想．我们可通过计算一组GDP所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即拟合误差，来进行模型分析，一般拟合误差越小越适宜．） 例如，分析直线AB，即上的点：可知，求得拟合误差． ①：请依据以上方式，求出关于直线的拟合方差值：______； ②：请你在直线与直线进行预测的两个方案中选择合适的那个预估，预估该区第五年的GDP． 【答案】(1)3.5；1.776875；10.0 (2)①0.0125；②直线更合适，14.8百亿元 【详解】（1）这组数据的极差为， 平均数为， 故方差为， ，故从小到大，选取第1个数作为20分位数，即10.0； （2）①：设直线的表达式为， 根据题意，解得， 直线的表达式为， 分析直线，拟合误差， ②：， 直线更合适， 当时，，即第五年的GDP约为14.8百亿元 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 【答案】(1)，. (2)75 (3)按（2）最优比例种植：（吨），评价：最优比例种植的方差最小，为300，稳产性最好，产量适中；全部种植第二种种子总产量最高，但是风险较高.建议：若农场追求高产量且能承担较高风险，可选全种第二种种子；若更看重稳产，降低种植风险，应采用75亩种第一种种子，25亩种第二种种子的最优比例. 【分析】（1）先计算和，再推导和；计算、时，先根据期望公式计算、，再利用方差公式计算方差； （2）根据种植面积，确定总产量的方差之和的表达式，利用方差性质展开得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质求最小值对应的值； （3）分别计算三种方案下总产量的期望和方差，因为期望反映总产量水平，方差反映稳产性和种植风险，所以结合期望和方差的意义，从三个角度逐一分析三种方案的特点，再给出建议. 【详解】（1）由题设得：， ， . ， ， ， 所以，. （2）由题意可得： 故当时，取得最小值300. （3）全部种植第一种种子：（吨）， 全部种植第二种种子：（吨）， 按（2）最优比例种植：（吨）， 评价：最优比例种植的方差最小，为300，稳产性最好，产量适中；全部种植第二种种子总产量最高，但是风险较高. 建议：若农场追求高产量且能承担较高风险，可选全种第二种种子；若更看重稳产，降低种植风险，应采用75亩种第一种种子，25亩种第二种种子的最优比例. 5．（2026·湖南怀化·二模）某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 【答案】(1) (2)应该选择方案一 【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得后对其求导，可得其单调性，即可得其极大值点； （2）分别求出两个方案对应的一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望，比较大小即可得. 【详解】（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点. （2）由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 因为，所以应该选择方案一． 考点07 赛制问题 制问题涉及多局比赛（如五局三胜、七局四胜、淘汰赛等），需计算某方获胜的概率或期望场次。关键在于将赛程分解为互斥的获胜路径，并考虑每局独立性。 1.弄清比赛结束条件（先赢几局获胜）、是否需打满全部局数、是否有种子选手或轮空等。 2.将所有可能的获胜过程按比分分类，确保互斥。例如五局三胜，获胜比分可能是3:0、3:1、3:2。 3.设每局甲胜概率为 ，乙胜为 。对3:1情况，需考虑前3局甲胜2局且第4局甲胜，且前3局中哪一局输掉有 种可能。 4.将所有路径概率相加。若求期望场次，则需列出所有可能的结束场次及其概率。 关键技巧：淘汰赛递推：可用动态规划 表示 号选手进入第 轮的概率，逐轮递推。2. 注意“连胜”条件：如“连胜两局获胜”需考虑中间可能有输局但最终连胜。3. 组合数应用：前 局胜负分布用组合数计算。 【典例7】（2025·安徽合肥·模拟预测）3月14日为国际数学日，也称为节，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节活动，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得1个积分．已知甲、乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是和，且每道题答对与否互不影响． (1)若，，求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得1个积分的概率； (2)若，且每轮比赛互不影响，进行n轮比赛后，甲、乙同学这一组获得的积分为X分．若恒成立，求n的最小值． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为，，求概率为；（2）由（1）可知，再由，，且，求导求出最小值，设在n轮比赛中，甲、乙两同学获得1个积分的轮数为，则服从，求出最小场数. 【详解】（1）假设同学甲和同学乙答对的题目个数分别为，， 所以所求概率为 ， 所以他们在一轮竞赛中获得1个积分的概率为； （2）由（1）可知 ， 整理可得， 因为，，且， 所以，， 令，则， 所以，，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 设在n轮比赛中，甲、乙两同学获得1个积分的轮数为，则服从， 又，所以，则由， 即，解得， 因为为正整数，所以n的最小值为． 【跟踪训练】1．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 2．（2026高三·全国·专题练习）某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次；如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． (1)计划依次派甲、乙、丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； (2)若依次派甲、乙、丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； (3)已知，若甲只能安排在第一个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定乙、丙谁先派出． 【答案】(1) (2) 1 2 3 (3)先派出乙． 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派甲丙乙进行闯关所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 1 2 3 所以； （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为． 由（2）可知，． 若依次派甲丙乙进行闯关，设派出人员数目的期望为，则． 从而， ． 因为，所以，，所以，即． 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出乙． 3．（2026·四川攀枝花·一模）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 【答案】(1) (2) (3)（i）当小王的积分为时，若小王接下来一题答对， 则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有， 整理可得． 又，所以为等比数列． （ⅱ） 【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题，答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）（i）根据全概率公式得，再构造成等比数列即可证明； （ii）根据（i）的结果并结合累加法和等比数列求和即可得到答案. 【详解】（1）小王答3道题后积分小于6，则小王3题都答错，或答对1题，答错2题， 故所求概率为. （2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为， 所以． 由题意知，所以，所以． （3）（i）略 （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以． 所以. 4．（2026·陕西西安·三模）光明中学举行校乒乓球比赛，共有人报名参加男子单打比赛，参赛选手的编号记为，并将所有选手分成A，B两组，每组各人，其中为不小于10的整数. (1)若，求编号为10和20的选手都在A组的概率； (2)若编号为和的选手都在A组，证明：在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于； (3)A组选手与B组选手一对一比赛后共有人晋级.已知在晋级的选手中有不超过10%的选手退赛，证明：在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得在这4人中有2人的编号之和等于另外2人的编号之和. 【答案】(1) (2)证明：设B组选手的编号分别为， 因为编号为和的选手都在A组， 故这个数的值只能取这个值， 故它们中必有两个数相等，   因为互不相等，所以也互不相等， 故一定存在，其中，， 又因为，，故存在，使得， 即在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于. (3)证明：设晋级且没有退赛的选手共有人，他们组成集合， 其中表示选手的编号，，且，，   假设中不存在4个元素满足其中2个元素之差等于另2个元素之差； （i）当为奇数时，考虑两组差：和 根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数， 故， ， 两式相加有； （ii）当为偶数时，考虑两组差：和， 根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数， 故， ， 两式相加有， 故若，即时， 中一定存在4个元素满足其中2个元素之差等于另2个元素之差， 也等价于其中2个元素之和等于另2个元素之和， 又因为当时，，故， 所以在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得其中2人的编号之和等于另外2人的编号之和． 【分析】（1）先求出所有可能的分组情况，再求出编号为10和20的选手都在A组的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率； （2）通过分析编号为和的选手在A组时，B组选手编号的组合情况，利用抽屉原理证明存在编号之和等于的两人； （3）先确定晋级且没有退赛的选手人数范围，再通过构造编号之和的组合，利用抽屉原理证明存在满足条件的4人． 【详解】（1）编号为10和20的选手都在A组的概率； （2）略 （3）略 5．（25-26高三·全国·二轮复习）现有两球队进行友谊比赛，设队在每局比赛中获胜的概率都是． (1)若比赛6局，求队至多获胜4局的概率； (2)若采用“五局三胜”制，求比赛局数的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为: 3 4 5 【分析】（1）应用独立重复试验概率公式计算求解； （2）先应用独立重复试验概率求出概率及分布列，再结合数学期望公式计算求解. 【详解】（1）记“比赛6局，队至多获胜4局”为事件， 则. 故队至多获胜4局的概率为． （2）由题意可知，的可能取值为3，4，5． ， ， ． 所以的分布列为 3 4 5 故． 考点08 马尔科夫链 马尔科夫链描述系统状态随时间演变的随机过程，核心特征是“无后效性”：下一状态的概率分布只由当前状态决定，与过去状态无关。解题关键是建立状态转移关系和递推方程。 1.根据问题情境，确定系统可能处于的有限个状态，如“球在甲手中”“球在乙手中”“球在丙手中”。 2.分析从每个状态转移到其他状态的概率，得到转移矩阵或转移关系。 关键技巧：1. 从后往前分析：马尔科夫链常从第 次倒推第 次，列出全概率关系。2. 构造等比：递推式 可通过待定系数法构造等比数列。3. 多状态变量：若有多个状态，需设多个变量联立求解。 【典例6】（2026·陕西咸阳·三模）某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． (1)记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； (2)比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 ，. (2)（i）.（ii）. 【分析】（1）比赛题库中两种题型数目始终相同，所以每次抽到选择题和填空题的概率均为．一次答题后的得分只可能为，分别按“抽到题型”和“答题正误”计算概率，再列分布列并求数学期望． （2）将理解为从开始答题到比赛停止前，累计得分曾经达到的概率．先由“最后一次得分为1分或2分”建立递推关系，再用构造法把二阶递推转化为一阶递推，最后利用等比数列求和得到通项． 【详解】（1）每次抽到选择题和填空题的概率均为.若答错，则得分为0，所以. 若答对选择题，则得1分，所以；若答对填空题，则得2分，所以. 因此的分布列为 0 1 2 所以. （2）记为从开始答题到比赛停止前，累计得分曾经达到的概率． 先求初始两项．要累计得分达到，第一次答题必须抽到并答对选择题，所以． 要累计得分达到，有两种互斥情况：第一次抽到并答对填空题， 或前两次均抽到并答对选择题，第一种情况的概率为，第二种情况的概率为，所以． 当时，若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对选择题，这一步发生的概率为； 若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对填空题，这一步发生的概率为． 因此． 由递推式得．再由递推式得． 下面用构造法求．由，得． 设，则． 又，所以，即． 设，则．又，所以. 用等比数列求和得，所以． 而也满足此式，因此 【跟踪训练】1．（25-26高三下·广东江门·期中）为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. (1)若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时的值； (2)若，用表示前3次甲投篮的次数，求数学期望； (3)在（2）的条件下，设第次是甲投篮的概率为，证明： 【答案】(1)处取得最大值，. (2) (3)证明如下： 已知第次是甲投篮的概率为，则第次是乙投篮的概率为. 那么第次是甲投篮有两种情况： 第次是甲投篮且没投进，概率为. 第次是乙投篮且投进，概率为. 所以. 则，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 当为奇数时，，，单调递增，，且. 当为偶数时，，，单调递减,，且. 综上，. 【分析】（1）先分析第三次乙投的两种情况，算出对应概率相加得.是二次函数，根据开口方向和对称轴求最大值. （2）分别确定取时的对应情况算概率，用期望公式计算. （3）根据第次甲投的条件得递推式，变形后结合求出表达式，分析奇偶性时的单调性，得出取值范围. 【详解】（1）已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况： 情况A：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为. 情况B：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为.   所以. 对于二次函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值，. （2）已知，表示前次甲投篮的次数，则的可能取值为，，，. 当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则 ； 当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为， 第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为， 第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则， 所以. （3）略 2．（2026·湖南长沙·三模）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)设第i次投篮的人是甲的概率．求 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据独立事件的概率公式可求题设中的概率； （2）根据全概率公式构建递推关系，利用构造法可求. 【详解】（1）设为“第2次投篮的人是乙”， 则. （2）由题设有，， 而，故， 故，而， 故为等比数列，首项为，公比为， 故即，. 3．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 【答案】(1) (2)分布列： (3)； 【分析】（1）运用互斥事件概率加法公式，分析投篮4次停止需满足“前两次未出现连中且后两次连中”的结构，利用每次投篮的独立性，对命中与未命中序列进行分类相乘即可； （2）依据比赛规则确定随机变量的所有可能取值，逐局分析胜负条件，运用独立事件乘法与互斥事件加法求各取值概率，最后按定义计算分布列与数学期望； （3）利用数学期望的递推思想，基于投篮结果建立关系式，导出与的递推，通过构造等比数列求通项，再对等比数列与常数列分别求和得. 【详解】（1）设事件：甲第次投篮合中， 则则甲投篮4次即停止投篮的概率， 则，故甲投篮4次即停止投篮的概率为． （2）依题意可得，随机变量的可能取值为：， ， 局结束时，甲胜概率， 局结束时，乙胜概率， ， ， 分布列： 数学期望：. （3）当时，，则， 当时，， 则，即则， 故为首项为，公比为的等比数列故， 即，故． 4．（26-27高三上·湖北·阶段检测）小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为．某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为的概率为． (1)若小明投篮失败就退出比赛． （i）在的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率； （ii）写出的递推式及计算． (2)若小明持续参赛且投篮次数足够多，求的表达式． 【答案】(1)（i）；（ii）（），且； (2)， 【分析】（1）通过全概率公式求出得三分和两分的概率，通过相减求投篮不成功的概率，分析得分情况，由马尔科夫链模型求出递推公式； （2）通过新条件找出递推公式，通过数列知识求通项。 【详解】（1）（i）由题意，设小明投篮得2分的概率为，； 投篮得3分的概率为，； 投篮不成功的概率为． 小明最后一次投篮成功为二分投篮意味着得分为6是3次二分投篮， 记“小明3次二分投篮成功得分为6”为事件，， ， 由条件概率计算公式，在的条件下小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率为 ． （ii）由题意，小明遇到投篮失败就退出比赛， 所以若第一次投篮失败则得分为，且． 对于，若第一次投篮得2分，则后续还需得分， 若第一次投篮得3分，则后续得分为分． 所以（），且， 从而， ，， ，所以． （2）小明持续参赛且投篮次数足够多，说明小明投篮失败后也可继续投篮， 则（），规定（）． 化简可得，，其中，，． 令， ， 所以． 即，．① 令， ， ，所以对于，． ，（）．②． ①-②可得，（） 即，（）. 令，则， 所以. 令，． 因为，所以，， 所以，． 【点睛】概率与数列的结合典型例题，马尔科夫链问题，重点抓住相邻两项或多项的关系，结合数列求通项的方法求解。 5．（2026·山东聊城·二模）为评估某AI程序的国际象棋实战水平，现由甲与其进行多场比赛.已知甲每场比赛获胜的概率为，失败的概率为，且每场比赛的结果是相互独立的.记甲在前场比赛中，没有连续两场获胜的概率为，其中. (1)求（用表示）； (2)当时，求，并证明是等比数列； (3)设甲与AI程序至多进行场比赛且，若甲连续两场获胜，则比赛提前终止.记比赛终止时，比赛的总场数为，证明：. 【答案】(1) (2)由（1）得，解得， 由全概率公式，得， 即，而， 所以是首项为，公比为的等比数列. (3) 依题意，当时，则，无论这两场甲是胜还是负均结束比赛， 即，因此，此时不等式的右边为； 当时，随机变量的取值为， 则，对于， 若第场没有结束比赛，则第场可能结束比赛，也可能没有结束比赛，则， 对于，只需第场没有结束比赛，则无论甲第场是胜还是负均结束比赛，则， 因此 ， 当时，显然，即， 于是，且， 由（2）知，两边同除以， 得， 因此，， 则 . 所以. 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解. （2）由（1）求出，再利用全概率公式列式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证. （3）按分类，结合期望的定义列式，再利用不等式的性质及等比数列前项和公式推理得证. 【详解】（1）依题意，甲在两场比赛中连胜两场的概率为， 所以. （2）略 （3）略 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $