考点培优练02 排列组合中常见方法技巧8大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练02 排列组合中常见方法技巧8大考点 考点预览 目录 考点01 特殊元素、特殊位置法 1 考点02 捆绑法 6 考点03 捆绑法 9 考点04 定序问题（消序法） 13 考点05 多面手问题 17 考点06 涂色问题 21 考点07 分组、分配问题 27 考点08 隔板法 31 考点通关 考点01 特殊元素、特殊位置法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 【典例1】（2026·江苏南京·模拟预测）某校运动会需要名同学（含甲、乙、丙等）排成一列参加入场式，其中甲不能站在队列两端，乙和丙之间恰好间隔名同学，则不同的队列排法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】应先分析乙丙相对位置“间隔人”意味着他们占据位置为第和第位置或第和第位置，再结合甲不在两端的限制进行分类讨论，最后安排其余人. 【详解】以乙丙的位置分两类完成， 第一类：当乙丙在第和第位置，有种不同的方法， 再排第位，从除甲、乙、丙三个人中剩余人中选一个人，有种， 其余个人两个位置全排列，有种， 根据分步乘法原理，有种不同的队列排法. 第二类：当乙丙在第和第位置，有种不同的方法， 再排第位，从除甲、乙、丙三个人中剩余人中选一个人，有种， 其余个人两个位置全排列，有种， 根据分步乘法原理，有种不同的队列排法. 由分类加法计数原理，共有种不同的队列排法. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）现有，，，四人排成一行，其中与相邻，不排在两边，则共有不同的排法为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用捆绑法处理、相邻的约束，再通过特殊元素排除法计算不排在两边的排列总数. 【详解】将、看成一个整体，总的有种排法， 当排在最左边时，有种排法，当排在最右边时，有种排法， 满足条件的排法为种. 2．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）黔西市2026年“自然凉·毕燃嗨”火把狂欢避暑旅游季活动中，黔西市某单位派出6名志愿者前往4个避暑旅游节服务点参与志愿服务，每个服务点至少去1名志愿者，其中甲志愿者去A服务点，则不同的分配方法种数为（    ） A．360种 B．390种 C．750种 D．1170种 【答案】B 【分析】分为只有甲前往A服务点、甲与另外1个人前往A服务点和甲与另外2个人前往A服务点三种情况，再对其它人员进行分组分配即可求出答案. 【详解】只有甲前往A服务点的总方法数：； 甲与另外1个人前往A服务点的总方法数：； 甲与另外2个人前往A服务点的总方法数：； 综上，总分配方法数为. 3．（26-27高三上·山西长治·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲站在两端，丙和丁相邻的排法有（     ） A．12种 B．24种 C．40种 D．48种 【答案】B 【分析】先确定甲的站位，再用捆绑法处理丙丁相邻的情况，结合分步乘法计数原理计算总排法数. 【详解】第一步，确定甲的站位：甲站在两端，共2种选择（左端或右端）， 第二步，处理丙丁相邻的情况：将丙、丁视为一个整体，整体内部有种排列顺序， 第三步，排列剩余对象：此时待排列的对象为丙丁整体、乙、戊共3个元素，个元素全排列，共种排法. 根据分步乘法计数原理，总排法数为种. 4．（26-27高三上·云南·开学考试）将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】A 【详解】先确定甲、乙所在的工作站，共有2种，确定甲、乙所在的工作站后，该工作站已经有2人， 另一个工作站至少有2人，需要从另外3人中选出至少2人到另一个工作站，不同的分配方案数为种， （注意：若另一个工作站只有2人，余下的1人就跟甲乙一组，若另一个工作站只有3人，则甲乙一组）， 所以不同的分配方案共有种. 5．（2026·江苏徐州·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛.规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（ ） A． B． C． D．48 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用两个基本原理及有限制条件的排列计数问题列式求解. 【详解】依题意，甲、乙两人至少有1人参加， 当甲乙两人都参加时，不同参赛安排方案数为种； 当甲乙之一参加时，不同参赛安排方案数为种， 所以所求参赛方案种数为. 6．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 【答案】 【分析】先计算所有满足每个家庭至少1人的总分配方法数，再计算甲恰好被安排在A家庭的分配方法数，二者的比值即为所求概率. 【详解】先从5人中任选2人组成1组，剩余3人各自成组，再将4组全排列分配到4个家庭，总方法数为种. 志愿者甲恰好被安排在A家庭有两种情况： ① A家庭仅分配甲1人：剩余4人分配到另外3个家庭，每个家庭至少1人，先从4人中任选2人组成1组，剩余2人各自成组，再将3组全排列分配到3个家庭，方法数为种； ② A家庭分配甲和另外1名志愿者：先从其余4人中选1人与甲共同分配到A家庭，剩余3人全排列分配到另外3个家庭，方法数为种. 因此甲恰好被安排在A家庭的总方法数为种. 故所求概率为. 7．（2026高三·全国·专题练习）从这十个数字中，每次选出五个，可以组成多少个分别符合下列条件的没有重复数字的五位数？ (1)奇数； (2)偶数； (3)能被整除； (4)到之间的偶数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据条件，利用分类、分步计数原理，结合排列，对各小问逐一分析判断，即可求解. 【详解】（1）由题知个位数为奇数，且首位不能为，第一步：先排个位，只能从这个数字中任选一个排在个位上，有种， 第二步：万位上不能排，从余下的除以外的个数字中任取一个排在万位上，有种方法， 第三步：在余下的8个数字中任选3个排在余下的3个位置上，有种方法， 根据乘法原理，符合条件的排列共有种，从而共有奇数13440个． （2）①若在个位， 第一步：在个位有1种方法， 第二步：从余下的个数字中任取个排在余下的个位置上共有种方法， 据乘法原理，共有符合条件的不同排列种方法． ②若不在个位， 第一步：个位从四个数字中任选一个排在个位上，有种方法． 第二步：万位上不能排零，从余下的个数字中任取一个排在万位上，有种方法． 第三步：在余下的个数字中任选个排在余下的个位置上，有种方法，根据乘法原理，共有符合条件的不同排列种． 再根据加法原理，符合条件的排列共有（种），从而有13776个偶数． （3）欲使位数能被整除，末两位数只能是，符合条件的排列可以分为如下三类： 第一类：末两位是时，首位（万位）不能排数字， 第一步排首位从这七个数字中任选一个，有种； 第二步排余下的两位，可从余下的个数字中任选个排上有种， 所以共有（个）； 第二类：末两位是，排法同第一类，共有（个）． 第三类：末两位是，因零已取出排在末位，其他三位只要从余下的个数字中任取个进行排列即可，故（个）． 根据分类计数原理，符合条件的五位数有（个）． （4）万位数字上可选，个位上可排，首位、末位都是特殊的位置， 所以要对特殊位置先排，以万位为分类标准，可将符合要求的五位数分为以或为首位的与以或为首位数的两类： 第一类：第一步，万位排或有种方法，第二步，个位从五个数字中任选一个，有种方法， 第三步，从余下的个数字中任取个排在其余个位置上，有种不同排法，依据乘法原理，共有（个）． 第二类：万位排或，第一步，排万位有种方法，第二步，排个位，从剩下的4个偶数中任取一个，有种方法， 第三步，其他三位数字可从余下的8个数字中任取3个数字有种不同排法，依据乘法原理，共有（个）． 根据分类计数原理，符合条件的五位数共有（个）． 考点02 捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是______． 【答案】144 【分析】先排两名女生留出3个空位，再捆绑两名男生看成一个整体，与其余两名男生插入空位中，分步相乘即可得出结果. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将2名女生全排列，有种情况，排好后，有3个空位， ②从4位男生中选2位，看成一个整体，考虑其顺序，有种情况，再将这个整体与其他2名男生全排列，安排在女生的3个空位中，有种情况， 则一共有种排法. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）2026年8月22日~26日，第二届世界人形机器人运动会在国家速滑馆“冰丝带”举行，某机器人运动队有4名操作员和4名人形机器人（每名操作员固定控制1名人形机器人），赛后此机器人运动队排成一排拍照留念，则每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有（   ） A．24种 B．120种 C．384种 D．786种 【答案】C 【详解】先将每名操作员与其控制的人形机器人捆绑，然后进行全排列， 所以每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有种． 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排， 若甲和乙相邻， 且甲和丙不相邻， 则不同的排列方式共有（    ）． A．24 种 B．30 种 C．36 种 D．42 种 【答案】C 【分析】使用捆绑法，插空法求解． 【详解】法一：甲丙两人插剩余三人空，考虑甲乙相邻，则排法数为，则满足要求的方法数为36种． 法二：仅考虑甲乙相邻排法数为，甲与乙相邻且甲与丙相邻排法数为， 则满足要求的方法数为． 3．（26-27高三上·重庆·开学考试）变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺. 已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为（    ） A．24 B．120 C．144 D．168 【答案】C 【详解】先安排第一天的演出： 变脸和吐火的演出顺序相邻，共有种情况， 捆绑后与滚灯、藏刀全排列，共有种情况， 所以第一天有种不同的演出顺序； 再安排第二天的演出： 变脸和吐火的演出顺序不相邻， 先对滚灯、藏刀排列，共有种情况， 形成的三个空隙中选两个排变脸和吐火，共有种情况， 所以第二天有种不同的演出顺序； 由分步乘法计数原理，不同的方案数为. 4．（26-27高三上·湖北·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用捆绑法求解即可. 【详解】五名同学全排列的基本事件总数为. 利用捆绑法，将甲、乙视作一个整体，内部排列有种方式， 该整体与其余三人共4个元素全排列有种方式， 故甲与乙相邻的事件数为. 所求概率为. 5．（26-27高三上·贵州·阶段检测）某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（    ） A．6种 B．8种 C．12种 D．24种 【答案】C 【详解】数学课相邻，采用捆绑法将其看为一个整体，将数学课整体与物理课全排列，共有种， 且排列后形成3个空隙，语文课与英语课要求不相邻，从三个空隙中选两个排入，共有种， 根据分步乘法计数原理，不同排列方法共有种． 6．（2026·湖北襄阳·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位大学生计划到三个地方实习，每人选择一个地方且每个地方至少一人，则学生甲不去A的概率为_________． 【答案】 【分析】根据题意，先将四名大学生分成3组，即一组两人，另外两组各一人，再分配到3个地方得到总情况数，再分类讨论得到符合题意的情况数，最后结合古典概型公式即可得解. 【详解】先将四名大学生分成3组，有种方法， 再将分好的3组全排列，分配到3个地方，有种情况， 则每个地方至少分到一名大学生的方法数有种. 当甲单独一组不去A时，共有种情况， 当甲和其他人一组不去A时，共有种情况， 由古典概型概率公式得概率为. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻坐法有______种. 【答案】72 【分析】先将3人中2人捆绑排列，利用3把椅子形成4个插空位置，把捆绑形成的整体与剩余1人插入不同的空位进行排列，最后分步相乘即可. 【详解】根据题意，3人中取2人捆绑并排列共有种方法，6把椅子有3把空椅子，形成4个插空位置，选取两个插空位置排列共有种方法， 根据分步乘法计数原理，则共有种坐法. 考点03 插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.. 【典例3】（2026·甘肃金昌·三模）有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为__________. 【答案】108 【详解】当两男生在两端时，坐法有种，当两女生在两端时，坐法有种， 当一男生一女生在两端时， 先选出这两人有种选法，两端的男女生可以交换位置，有种坐法， 再考虑中间四个位置的坐法,若挨着男生的是另一名女生，此时中间另3个位置有种坐法， 若挨着男生的是机器人，此时中间另3个位置有种坐法， 故当一男生一女生在两端时坐法有种， 所以不同坐法总数为. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·云南·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲不站在两端，丙和丁也不相邻的排法有（    ） A．12种 B．24种 C．40种 D．48种 【答案】D 【分析】先计算甲不站在两端的排法总数，再减去其中丙、丁相邻的排法数． 【详解】先只考虑“甲不站在两端”这一条件． 甲只能站在中间个位置中的一个位置，有种选择； 其余乙、丙、丁、戊人任意排列，有种排法． 因此，甲不站在两端的排法共有种． 下面计算其中丙、丁相邻的排法数． 先计算丙、丁相邻的所有排法：把丙、丁看成一个整体，这个整体内部有“丙丁”“丁丙”种顺序； 再将这个整体与甲、乙、戊共个对象排列，所以共有种排法． 在这种排法中，还要去掉甲站在两端的情形． 若甲站在两端，先确定甲站左端还是右端，有种选择； 再把丙、丁看成一个整体，内部有种顺序； 该整体与乙、戊共个对象排列，有种排法． 因此，甲站在两端且丙、丁相邻的排法共有种． 所以，甲不站在两端且丙、丁相邻的排法共有种． 因此，甲不站在两端且丙、丁不相邻的排法共有种． 2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，且丙和丁不相邻，则不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】C 【分析】使用插空法计所有丙和丁不相邻的排法数，丙丁不相邻且甲站在两端的排法数，使用间接法求解. 【详解】甲无限制，且丙和丁不相邻时，共有：种排法， 丙丁不相邻，甲站在两端时，共有：种排法， 则甲不站在两端，且丙和丁不相邻，共有种排法. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）由0，1组成的长度为5的序列中，把连续出现的一段1称为一个“1块”．例如，序列10110中有两个“1块”．则长度为5且恰有两个“1块”的0，1序列共有（   ） A．10个 B．12个 C．15个 D．18个 【答案】C 【分析】对长度为5的0，1序列中含1的个数分别讨论求解. 【详解】若有2个1，要形成两个“1块”，则这两个1不能相邻．从5个位置中选2个不相邻的位置，有种； 若有3个1，要形成两个“1块”，这3个1必须分成长度为1和2的两块， 即共6种； 若有4个1，要形成两个“1块”，必须是四个1被一个0分开，且这个0不能在两端，所以有3种； 若有5个1，只有一个“1块”，不符合． 所以共有个． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）甲、乙两人要在一排8个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（   ） A．10种 B．16种 C．20种 D．24种 【答案】C 【分析】采用插空法即可解答. 【详解】一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座． 要求每人两旁均有空座， 在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法． 5．（26-27高三上·广西南宁·开学考试）某海滨旅游路线全线共设有14个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留1个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有_________种． 【答案】56 【分析】先明确需保留的个驿站形成个可插入空位，从中选5个插入关停驿站，直接得出符合要求的关停方案数为组合数. 【详解】全线共14个驿站，起点和终点永久保留，因此可供选择关停的中途驿站总数为个. 总共要关停5个中途驿站，因此正常运营的中途驿站数量为个； 由于要求关停的驿站不能相邻（任意2个关停驿站间至少留1个运营驿站）， 关停的驿站只能插入这7个运营驿站的内部空隙中. 7个元素共形成个空隙， 问题等价于从8个空隙中任选5个放入关停的驿站，对应的组合数为， 即不同的站点关停方案共有个. 6．（2026高三·全国·专题练习）一排共9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座：每人左右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有_________种．（用数字作答） 【答案】20 【分析】一排共9个座位，甲、乙、丙三人坐，有6个空位，可将6个空位先摆好，用插空法排甲、乙、丙三人. 【详解】一排共9个座位，甲、乙、丙三人坐，有6个空位，可将6个空位先摆好， 中间有5个空，选3个，共有种情况， 让甲坐中间，乙、丙坐两边，共有种情况， 所以有种不同的坐法 . 7．（2026·湖北黄冈·模拟预测）甲、乙、丙、丁共4人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两人不相邻，则不同的排法种数共有________.（用数字作答） 【答案】 8 【分析】先将甲乙捆绑，再将甲乙整体和丁排列，最后得到丙位置的情况即可求解. 【详解】首先将甲、乙看成一个整体，甲、乙两人相邻的排列有种， 将甲乙整体和丁排列，有种，此时形成3个空位， 由乙、丙两人不相邻，则丙不能在乙的旁边，所以丙只有2个位置， 综上：不同的排法种数共有. 8．（2026·山东菏泽·二模）将两个1，两个2，两个3组成一个六位数，则两个1不相邻的六位数个数为________.（用数值表示） 【答案】60 【分析】先排4个数字（两个2、两个3），形成5个空隙（含两端），再从5个空隙中选2个放1，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先排4个数字（两个2、两个3），从 4 个位置中选2个放2，剩余位置放3，用组合数表示为：种， 排好4个数字后，形成5个空隙（含两端），从5个空隙中选2个放 1（1无需排序），表示为：种 根据分步乘法计数原理，两个1不相邻的六位数个数为：种. 考点04 定序问题（消序法） 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用消序法求解比较方便快捷 【典例4】（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号．已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有_____种． 【答案】6 【分析】按照每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻有两种情况，再根据排列组合来求解即可. 【详解】第一种情况，4个0全部相邻，把4个0看成1个元素，共有种； 第二种情况，将4个0分成2组，每组2个0，每组不相邻，利用插空法共有种． 综上，这样的信号共有6种． 故答案为：. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【答案】A 【分析】定序问题，使用倍缩法，用全排列除以内部排序即可. 【详解】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 2．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 3．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算全部书籍的排列数，利用捆绑法计算2本相同的故事书相邻的排列数，再求解概率即可. 【详解】由题意知，4本不同的科普书籍和2本相同的故事书的排列数为， 2本相同的故事书看作一个整体同其他4本书进行排列，排列数为， 所以2本相同的故事书相邻摆放的概率为， 故选：C. 4．（2025·福建泉州·二模）(多选)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（    ） A．从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法 B．从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法 C．将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种 D．名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法 【答案】AC 【分析】利用排列计数原理可判断A选项；利用分步乘法计数原理可判断B选项；利用捆绑法可判断C选项；利用倍缩法可判断D选项. 【详解】对于A选项，从个人中选人，人做正组长，人做副组长选法共有种，故A正确； 对于B选项，从个人中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人选法共有种，故B错误； 对于C选项，将个女生捆绑在一起，形成一个大“元素”，与个男生一起排序， 由捆绑法可知，不同的排法种数为种，故C正确； 对于D选项，名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中， 由倍缩法可知，不同的排法种数为种，故D错误. 故选：AC. 5．（2026高三下·上海·竞赛）设，且，由a，a，b，c能构成_________个不同的四位数． 【答案】252 【分析】先枚举满足且的组合共 3 组，再从剩余 7 个数字里选得到 21 种三元集合，最后对每组含两个、一个、一个的四元数字有 12 种，相乘得到总数. 【详解】是集合，意味着三者互不相同. 已知，在中枚举的组合，仅有三组可能：， 可以是中除了a，b之外的任意数字，所以有种选择， 根据分步乘法计数原理，有种不同的元素构成方案． 对于确定好的一组a，a，b，c（两个相同，另外两个相异），构成的不同的四位数的方案为种 所以共可构成不同的四位数个． 6．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有____种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有____种.(请用数字作答) 【答案】 120 210 【分析】（1）用定序问题即可求解. （2）利用分组分配即可求解. 【详解】甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有=120种， A项目恰有2人游玩的组合有(+)=210种. 故答案为：；. 7．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有_____种插入方法（用数字作答）. 【答案】 【分析】利用倍缩法解决定序问题即可. 【详解】对全部的9个节目全排列，有种，已排定顺序的5个舞蹈节目的全排列数有种，所以满足题意的插入方法有（种）. 故答案为：. 8．（2025·湖南永州·模拟预测）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为_____. 【答案】 【分析】先计算事件总数，因为，得到，然后看不同的大小组合，最后排序计算符合条件的总数，然后计算概率即可. 【详解】所有投掷结果共有种， 由，不妨设， 则， 事实上，对于其他排序可得类似结果，则 所以 我们不妨设，则，还有一个数为 显然， 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 当时，三个数为，对应有种方法； 所以一共有种； 故事件“”发生的概率为 故答案为： 考点05 多面手问题 一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数 【典例5】（2027高二·全国·专题练习）某龙舟队有12名队员，其中只能划左边的有5人，只能划右边的有5人，有2名队员左右都能划，现在要组成一支左边3人右边3人的龙舟队，有_____种组法． 【答案】800 【分析】将左右都能划的2名队员视为多面手，对他们的上场情况进行分类讨论，即可求解． 【详解】将左右都能划的2名队员视为多面手， ①当2个多面手都不上场时，有(种)， ②当只有1个多面手划左边时，有(种)， ③当只有1个多面手划右边时，有(种)， ④当1个多面手划左边、1个多面手划右边时，有(种)， ⑤当有2个多面手划左边时，有(种)， ⑥当有2个多面手划右边时，有(种)， 综上所述，一共有(种)组法． 【跟踪训练】1．（2027高三·全国·专题练习）某食品厂制作了种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐种卡片才可获奖，则购买该食品袋，获奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理得出不同的放法种数，再求出个食品袋中种不同的卡片都有的放法种数，结合古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】将种不同的精美卡片随机放进个食品袋中，根据分步乘法计数原理可知共有种不同放法， 个食品袋中种不同的卡片都有的放法共有种， 根据古典概型概率公式知能获奖的概率为. 2．（25-26高三下·河南周口·开学考试）袋子中有3个除颜色外完全一致的球，分别为红色、黄色、蓝色，小明从袋中有放回地随机摸球4次，则3种颜色的球都被摸出来的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】每次摸球有3种颜色可选，摸4次，结果总数（种）. 设A=“4次摸球中3种颜色都出现”，则 第一步：从3种颜色中选1种作为出现2次的颜色，有种选法； 第二步：从4次摸球中选2次摸该颜色，有种选法； 第三步：剩下2次摸另外2种颜色，有种排列方式. 因此，（种）. 于是，. 3．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）排序题是考研英语中难度较高的题型之一，也是考生普遍认为挑战较大的题型.现有A，B，C，D，E，F6段话，需要将它们按正确的顺序排列，已知正确答案为，某考生将段落B排在第1段后，因时间来不及，只能将后5段进行随机排序，则该名考生恰好对一个的情况有（    ） A．22种 B．24种 C．36种 D．44种 【答案】D 【分析】分 四类讨论，先算出答对时的排法共 11 种，同理得到答对也各 11种，得到总的可能情况种数. 【详解】由已知，排在第一段，该名考生恰好对一个，则可能对的一个是四种可能， 若对的一个是，则可分为两类：一是排在第2段，二是排在第段中的一个位置. 若排在第2段，则只能排在第段中一个位置，剩余的只有一种排法，共有种不同的排法； 若C排在第段中的一个位置，不妨设排在第6段，则可排在第段中的任何一个位置， 此时剩余只有一种排法，共有种不同的排法； 综上，此时不同的排法共有种， 同理可得当对的是中某一个时，不同的排法也各有11种， 所以该名考生恰好对一个的情况共有种. 4．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围，某地图书馆计划开展3场主题讲座，现有4名同学报名参加，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案种数为（     ） A．12 B．24 C．36 D．60 【答案】C 【分析】根据分步计数原理，结合排列组合知识求解即可. 【详解】先将4名同学分为3组：种， 再将3组分到3场主题讲座：种， 故不同的安排方案种数为种. 5．（26-27高三上·云南·开学考试）将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】A 【详解】先确定甲、乙所在的工作站，共有2种，确定甲、乙所在的工作站后，该工作站已经有2人， 另一个工作站至少有2人，需要从另外3人中选出至少2人到另一个工作站，不同的分配方案数为种， （注意：若另一个工作站只有2人，余下的1人就跟甲乙一组，若另一个工作站只有3人，则甲乙一组）， 所以不同的分配方案共有种. 6．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复数字的四位数，其千位数、百位数、十位数、个位数分别为，，，，若为偶数，则不同的四位数共有________个． 【答案】144 【分析】根据分类加法计数原理及分步乘法计数原理，利用排列组合公式求解即可. 【详解】这6个数字中偶数为，奇数为； 第一类，若为奇数，则为奇数，即都为奇数，奇、偶数各一个， 共有个； 第二类，若为偶数，则为偶数，即至少有一个偶数，同为奇数或同为偶数， 若同为偶数，则一个偶数，一个奇数，共有个； 若同为奇数，则必为偶数，共有个， 所以第二类共有个， 所以根据分类加法计数原理，共有个. 7．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）某高中运动会设有5个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有______. 【答案】70 【分析】根据题意，可以分两种情况，第一种情况所选取3个项目恰有2个相同，第二种情况所选取的3个项目完全相同，结合分步乘法计数原理与分类加法计数原理，代入计算，即可求解. 【详解】由题意知可分为两种情况， 第一种情况所选取的3个项目恰有2个相同： 第一步，在5个项目中选取2项，共有种， 第二步，甲在剩下的3个项目中选取1项，共有种， 第三步，乙在剩下的2个项目中选取1项，共有种， 由分步乘法计数原理可知，共有种； 第二种情况所选取的3个项目完全相同，则有种. 由分类加法计数原理可知，总情况共有种. 考点06 涂色问题 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（1）根据使用颜色总数分类讨论；（2）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（3）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（4）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 【典例6】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）现有4种颜色，给3张不同的卡片正反面涂色，要求三张正面颜色各不相同、三张反面颜色各不相同，且每张卡片正反两面颜色不同，则不同的涂色方法共有________种． 【答案】264 【分析】排列组合的涂色问题,分两步分别计算，第一步先计算正面涂色的方法数,第二步再涂反面颜色,涂反面颜色时要分两类情况考虑，使用第4种颜色和不使用第4种颜色,将两类情况方法数相加，再利用分步乘法计数原理得到最终的总方法数. 【详解】第一步,先涂三张卡片正面颜色,要求三张卡片正面颜色各不相同共有：种. 第二步,再涂三张卡片反面颜色, 假设正面颜色为A,B,C（已经选好的3种不同颜色）,剩余1种未使用的颜色为D. 反面涂色需满足： 三张卡片反面颜色各不相同，且每张卡片正反两面颜色不同, 分两类情况考虑：不使用颜色D和使用颜色D. 不使用颜色D时,反面只用A,B,C三种颜色，错位排列共有2种方法数. 使用颜色D时,还需要两种颜色，有3种颜色组合（,,）, 每种颜色组合都有种涂色方法. 所以涂反面颜色时有种方法, 所以共有种方法. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）如图，给编号为1，2，3，4的4块矩形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜色不能相同，若有4种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（   ）种. A．24 B．48 C．60 D．84 【答案】D 【分析】从使用的颜色种数出发，分析颜色与位置的关系.至少使用2种颜色，至多使用4种颜色. 【详解】（1）若用2种颜料，对角位置颜色相同，则涂色方案有种； （2）若用3种颜料，一组对角位置颜色相同，一组对角位置颜色不同，则涂色方案有种； （3）若用4种颜料，则涂色方案有种；所以共有种，故选D. 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据排列组合方法计算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，结合古典概型的概率公式可求相应的概率. 【详解】先涂底面，有种涂法，再涂4个侧面， 如果4个侧面用2种颜色，则不同的涂法有种； 如果4个侧面用种颜色，则不同的涂法有； 故相邻（有一条公共边）的两面不同色，共有种不同的涂法. 若相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色， 则这两个面只能是平面、平面或平面、平面. 则此时不同的涂法有种， 设为随机事件“恰有两个面涂了红色”， 则. 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）对以下各选项中的多面体顶点进行涂色，要求相邻顶点颜色不同，则仅需2种颜色满足要求的是（   ） A．正方体 B．正八面体 C．正三棱台 D．正四面体 【答案】A 【详解】 对于A，如图， 正方体的8个顶点要求相邻顶点颜色不同，需两种颜色即可： 例，对，有1种颜色，对需要另1种颜色， 故需2种颜色即可满足要求； 对于B，正八面体是由同底的两个正四棱锥组成，共6个顶点， 上顶点为，下顶点为，中间四个顶点：； 与相连，与相连，要求相邻顶点颜色不同，需3种以上颜色即可. 例，对涂第1种颜色，那么必须涂第2种颜色，要使满足题目要求， 必须对再分色涂，至少需3种颜色即可满足要求； 对于C，正三棱台的上下两个面为两个正三角形，侧棱连接对应顶点，共6个顶点， 上底面顶点为，，；下底面顶点为，，； 当上底面，，顶点两两相连，满足题目要求需3种颜色去涂， 故正三棱台至少需3种颜色满足要求； 对于D，假设正四面体的4个顶点分别为，用颜色1涂，用颜色2涂， 要与，颜色不同，只能用颜色3涂，要与顶点的颜色不同， 只能用颜色4，所以要使正四面体相邻顶点颜色不同，至少需4种颜色即可； 故A选项正确. 4．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】由分步计数原理结合分类讨论即可. 【详解】依顺序，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色， ①区域若与区域同色，则E有两种颜色可选； ②区域若不与区域同色，则只有种颜色可选，也只有种颜色可选， 所以符合条件的方案有种方案． 5．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、，则花盆有种颜色可选，然后对、是否同色进行分类讨论，确定、、的涂色种数，以及、、同色时的涂法种数，结合分类、分步计数原理以及间接法可得结果. 【详解】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、． 由题可知有种颜色可选， ①当、同色时，有种颜色可选，此时、、各有种颜色可选， 其中、、同色时有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种； ②当、不同色时，有种颜色可选，只有种颜色可选， 则有种颜色可选，只有种颜色可选，有种颜色可选， 其中、、同色时只有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种． 综上，最下层不全为同色时，花盆摆放的不同方式共有种． 6．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）(多选)用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（   ） A．用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C．在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为 D．在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为 【答案】ABD 【分析】由分类乘法计数原理结合相邻区域不能同色的条件，即可求解. 【详解】对于A，先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种涂法，再涂区域，有2种涂法， 最后涂区域，因为要保证4种颜色全部使用，故只有1种涂法， 故共有种方法，所以A正确； 对于B，先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法， 再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法， 故共有种方法，所以B正确； 对于C，若用4涂色，则区域有3种方法，区域有2种方法， 区域有1种方法，由A知总情况有24种，则概率为，所以C错误； 对于D，若用2涂色，则区域有2种方法，区域有1种方法， 区域有1种方法，由B知总情况有6种，则概率为，所以D正确； 7．（2027高三·全国·专题练习）如图，要给 5 个区域染色，有 5 种不同的颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数为_____. 【答案】540 【分析】每个区域只染一个颜色，且相邻区域颜色不同，根据图形特点，先给中间区域③涂色，然后再考虑剩余部分即可求解. 【详解】先给③选择一个颜色，有种； 剩下的①‑②‑④‑⑤这4个区域看作直线链条，4 个区域，4 种剩余颜色，相邻区域颜色不同， 第一个区域①：4 种；后面每一个都不能和前一个同色，各 3 种：； 所以不同的染法种数为. 考点07 分组、分配问题 ①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． ③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 【典例7】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）A，B，C，D四位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：先将四位同学平均分成两组，每组进行一场比赛决出胜负，获胜者进入胜者组，失败者进入败者组．胜者组和败者组中再各自进行一场比赛，胜者组中获胜者获得冠军，失败者获得亚军，败者组中获胜者获得季军．设每场比赛双方获胜的概率都为，则A，B两人能分在同一组的概率为________；则在A，B两人能够在比赛中相遇的条件下A得到冠军的概率为________． 【答案】 【分析】使用均匀分组和古典概型概率公式计算A，B两人能分在同一组的概率，使用条件概率公式计算A，B两人能够在比赛中相遇的条件下A得到冠军的概率. 【详解】将四位同学平均分成两组共有种方法， 若A，B两人能分在同一组，则,两人分在同一组，只有这一种分法， 所以A，B两人能分在同一组的概率为：， 记事件为：A，B两人能够在比赛中相遇，事件为：A得到冠军， A，B两人在第一轮相遇概率为， A，B两人在第二轮相遇概率为，故， A，B两人能够在比赛中相遇并且A得到冠军包含：“A，B两人在第一轮相遇并且获得冠军”，和“A，B两人在第一轮不相遇并且两人第一轮都获胜，A，B两人在第二轮相遇且获得冠军”两种情况，故, 则, 即A，B两人能够在比赛中相遇的条件下A得到冠军的概率为：. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围，某地图书馆计划开展3场主题讲座，现有4名同学报名参加，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案种数为（     ） A．12 B．24 C．36 D．60 【答案】C 【分析】根据分步计数原理，结合排列组合知识求解即可. 【详解】先将4名同学分为3组：种， 再将3组分到3场主题讲座：种， 故不同的安排方案种数为种. 2．（2026高二·全国·专题练习）北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（   ） A．60 B．90 C．150 D．240 【答案】C 【详解】依题意5名同学参加三个项目比赛，每个项目至少有一名同学，先分组再排列， 5人分为：1，1，3，则有种； 5人分为：1，2，2，则有种， 所以一共有种方法 3．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）某校派出 6 名志愿者派往 4 个社区参与志愿服务，每个社区至少去 1 名志愿者，其中甲志愿者去 A 社区. 则不同的分配方法种数为（    ） A．360 B．390 C．750 D．1170 【答案】B 【分析】根据分组分配问题的求解方法，结合分类计数原理求解 【详解】只有甲前往A社区的总方法数：； 甲与另外1个人前往A社区的总方法数：； 甲与另外2个人前往A社区的总方法数：； 综上，总分配方法数为. 4．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】C 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为 种. 故所有分配方案共有种. 5．（2026·山东济南·模拟预测）某单位派出包括甲、乙在内的9名员工参加培训，需要把他们随机平均分成3个小组，那么甲、乙两人分到同一个小组的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】9人平均分成3组的方法数为 ， 甲乙同组的情况：先选1人和甲乙同组，再把剩余6人平均分成2组的方法数为 ， 所以甲、乙两人分到同一个小组的概率为. 6．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）为了迎接成都西博城人工智能展，主办方将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务，若每组去一个场馆，且每个场馆都有人服务，则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 【答案】B 【分析】根据分组分配的求法求出6人分3组，再分配到3个不同的场馆的分配种数，减去甲乙在同一个馆服务的情况即可求解. 【详解】将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务， 共有种方案， 甲、乙在同一个场馆服务的分配方案有种方案， 所以甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有种方案. 7．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）甲、乙、丙三个社区开展活动，某中学派出五名学生参与活动，若每个社区都要有该校学生参与活动，且乙社区只需要一名该校学生参与活动，则不同的安排方式共有（    ） A．60种 B．70种 C．100种 D．120种 【答案】B 【详解】第一步：首先确定乙社区的人员安排，选法为：（种）， 第二步：剩余4名学生分为两组，均不为空： 第一类：分为2人、2人的两组，由于人数相同，分组时存在重复计数，需除以两组的排列数消除重复， 分组方法数为：，将两组分配到甲、丙两个社区，分配方法数为（种）， 所以第一类方法数为（种）. 第二类：分为人、人的两组，由于人数不同，不存在重复计数， 分组方法数为：， 将两组分配到甲、丙两个社区，分配方法数为（种），所以第二类方法数为（种）. 所以总的安排方法数为：（种）. 8．（26-27高三上·湖南永州·开学考试）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（    ） A．18种 B．27种 C．36种 D．54种 【答案】A 【分析】先将6张卡片分为3组，再将3组不同卡片放入3个不同的信封即可. 【详解】6张卡片平均分成3组且1，2的卡片同组有种方法， 再将3组卡片放入3个不同的信封中有种方法， 所以将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中， 若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种方法. 考点08 隔板法 将个相同的元素分给个不同的对象，有种方法可描述为个空中插入块板 【典例8】（2026·福建·模拟预测）已知某密码由4个正整数组成，且所有数字之和为7，则该密码共有________种可能（用数字作答）． 【答案】20 【详解】已知密码由个正整数组成，设四个数字分别为， 满足，且. 根据隔板法，解的个数为，共有种可能. 【跟踪训练】1．（2026·重庆渝中·模拟预测）有11个周末听讲座的名额要随机分配给四个班级，每个班至少分一个，则不同的分配方法有（   ） A．50种 B．120种 C．210种 D．310种 【答案】B 【分析】对于分组分配问题，可以使用隔板法. 【详解】有11个周末听讲座的名额要随机分配给四个班级，每个班至少分一个，可采用隔板法， 在11个小球之间可放入3个隔板，每个隔板至少分隔一个小球，则有种分配方法. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）清华大学给某省增加了5个相同的强基计划名额，有3所高中的学生有资格争取这5个名额，则将这5个名额分配到各校的不同方法种数为（   ） A．243 B．150 C．42 D．21 【答案】D 【详解】由于是将5个相同的名额分配到3所不同的高中，属于相同元素的分配问题，所以可用隔板法求解， 根据隔板法，由于允许学校没有分配到名额，所以共有7个位置，2个隔板，所以，因此，将这5个名额分配到各校的不同方法种数为21. 3．（2026·河南·模拟预测）将6个相同的小球放入3个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为（   ） A． B． C．28 D．84 【答案】C 【分析】本题可采用隔板法求解，通过“借元”将原问题转化为每个盒子非空的情形进行计算. 【详解】将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将9个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在9个相同的小球中间所形成的8个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为（种）. 4．（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中，共有多少项（ ） A．45 B．55 C．120 D．165 【答案】B 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项含有1个字母时，有项， 当展开式的项含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， 所以的展开式共有项. 5．（2026·河南·模拟预测）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 【答案】B 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）方程，若，，均为正整数，则有序三元组解的个数为______.若，，均为非负整数，则解的个数为______(均用组合数回答） 【答案】 【分析】利用隔板法求方程的正整数解的个数即可. 【详解】因，，均为正整数，， 则解的个数相当于把个用两个挡板分成3份，分别对应，，， 所以解的个数为； 由得， 因，，均为非负整数，所以，，均为正整数， 与一一对应，相当于把个用两个挡板分成3份， 分别对应，，，所以解的个数为. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）定义集合，例如：若，则，，.把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即.已知集合，则中的元素个数为______. 【答案】56 【分析】理解集合的新定义，将问题转化为求不定方程正整数解的个数，再应用组合数的定义通过隔板法计算求解即可. 【详解】定义集合， ， 因为集合， 所以中的元素满足，且， 利用组合数公式，将问题转化为将9个相同的小球放入6个不同的盒子中， 每个盒子中球的个数分别是， 因为，所以任意的最大值为， 该解集中的均满足， 因此问题可等价转化为方程的正整数解的个数问题， 应用隔板法，即有种分法，即中有56个元素. 8．（2027高二·全国·专题练习）把 个完全相同的球放入 个彼此不同的盒子，允许空盒，有多少种方法. 【答案】 【分析】方法一：求出对于一个盒子的各种选择的生成函数，再求出所有放法的生成函数，求其展开式的含的项的系数即可. 方法二：问题可转化为把个完全相同的球放入个彼此不同的盒子不允许空盒的方法数，利用隔板法求解. 【详解】方法一：假设对于一个允许为空的盒子，它可以装 个球， 所以对于一个盒子可以用下边的生成函数表示它的各种选择 ， 由于所有的球是相同的，因此盒子里有 个球对应的情况都是一种，也就是对任意的恒成立. 现在有个盒子，由于每个盒子的选择是互相独立的，使用乘法原理， 这 个盒子里一共有个球，也就是说 即为所求. 方法二：把个完全相同的球放入个彼此不同的盒子允许空盒的方法数等价于不定方程的非负整数解个数， 令， 则，， 问题相当于求不定方程的正整数解个数， 等价于求把个完全相同的球放入个彼此不同的盒子不允许空盒的方法数， 由隔板法可得满足条件的方法数为. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练02 排列组合中常见方法技巧8大考点 考点预览 目录 考点01 特殊元素、特殊位置法 1 考点02 捆绑法 3 考点03 捆绑法 4 考点04 定序问题（消序法） 5 考点05 多面手问题 7 考点06 涂色问题 8 考点07 分组、分配问题 10 考点08 隔板法 12 考点通关 考点01 特殊元素、特殊位置法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 【典例1】（2026·江苏南京·模拟预测）某校运动会需要名同学（含甲、乙、丙等）排成一列参加入场式，其中甲不能站在队列两端，乙和丙之间恰好间隔名同学，则不同的队列排法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【跟踪训练】1．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）现有，，，四人排成一行，其中与相邻，不排在两边，则共有不同的排法为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·贵州毕节·开学考试）黔西市2026年“自然凉·毕燃嗨”火把狂欢避暑旅游季活动中，黔西市某单位派出6名志愿者前往4个避暑旅游节服务点参与志愿服务，每个服务点至少去1名志愿者，其中甲志愿者去A服务点，则不同的分配方法种数为（    ） A．360种 B．390种 C．750种 D．1170种 3．（26-27高三上·山西长治·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲站在两端，丙和丁相邻的排法有（     ） A．12种 B．24种 C．40种 D．48种 4．（26-27高三上·云南·开学考试）将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 5．（2026·江苏徐州·模拟预测）现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛.规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（ ） A． B． C． D．48 6．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 7．（2026高三·全国·专题练习）从这十个数字中，每次选出五个，可以组成多少个分别符合下列条件的没有重复数字的五位数？ (1)奇数； (2)偶数； (3)能被整除； (4)到之间的偶数． 考点02 捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. 【典例2】（25-26高三·全国·一轮复习）四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是______． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）2026年8月22日~26日，第二届世界人形机器人运动会在国家速滑馆“冰丝带”举行，某机器人运动队有4名操作员和4名人形机器人（每名操作员固定控制1名人形机器人），赛后此机器人运动队排成一排拍照留念，则每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有（   ） A．24种 B．120种 C．384种 D．786种 2．（26-27高三上·重庆·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排， 若甲和乙相邻， 且甲和丙不相邻， 则不同的排列方式共有（    ）． A．24 种 B．30 种 C．36 种 D．42 种 3．（26-27高三上·重庆·开学考试）变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺. 已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为（    ） A．24 B．120 C．144 D．168 4．（26-27高三上·湖北·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·贵州·阶段检测）某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（    ） A．6种 B．8种 C．12种 D．24种 6．（2026·湖北襄阳·模拟预测）甲、乙、丙、丁四位大学生计划到三个地方实习，每人选择一个地方且每个地方至少一人，则学生甲不去A的概率为_________． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻坐法有______种. 考点03 插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求.. 【典例3】（2026·甘肃金昌·三模）有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为__________. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·云南·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲不站在两端，丙和丁也不相邻的排法有（    ） A．12种 B．24种 C．40种 D．48种 2．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，且丙和丁不相邻，则不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 3．（2026·山西忻州·模拟预测）由0，1组成的长度为5的序列中，把连续出现的一段1称为一个“1块”．例如，序列10110中有两个“1块”．则长度为5且恰有两个“1块”的0，1序列共有（   ） A．10个 B．12个 C．15个 D．18个 4．（25-26高三·全国·一轮复习）甲、乙两人要在一排8个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（   ） A．10种 B．16种 C．20种 D．24种 5． （26-27高三上·广西南宁·开学考试）某海滨旅游路线全线共设有14个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留1个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有_________种． 6．（2026高三·全国·专题练习）一排共9个座位，甲、乙、丙三人按如下方式入座：每人左右两旁都有空座位，且甲必须在乙、丙两人之间，则不同的坐法共有_________种．（用数字作答） 7．（2026·湖北黄冈·模拟预测）甲、乙、丙、丁共4人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两人不相邻，则不同的排法种数共有________.（用数字作答） 8．（2026·山东菏泽·二模）将两个1，两个2，两个3组成一个六位数，则两个1不相邻的六位数个数为________.（用数值表示） 考点04 定序问题（消序法） 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用消序法求解比较方便快捷 【典例4】（25-26高三上·湖南怀化·开学考试）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列，不同的排列表示不同的信号．已知某信号由2个1和4个0组成，且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻，则这样的信号有_____种． 【跟踪训练】1．（25-26高三下·四川达州·期中）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 2．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 3．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）图书馆有4本不同的科普书籍（分别记为）和2本相同的故事书，现在需要将这6本书从左到右整齐摆放在书架上，则2本相同的故事书相邻摆放的概率（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建泉州·二模）(多选)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（    ） A．从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法 B．从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法 C．将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种 D．名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法 5．（2026高三下·上海·竞赛）设，且，由a，a，b，c能构成_________个不同的四位数． 6．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）6名同学相约去游乐场游玩，进场时按顺序验票，则甲、乙、丙按顺序进场的不同情况有____种;进场后他们选定了3个游玩项目，每人都只玩1个项目，且每个项目都有人玩，则A项目恰有2个人游玩的不同分配方法有____种.(请用数字作答) 7．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有_____种插入方法（用数字作答）. 8．（2025·湖南永州·模拟预测）一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，，，则事件”发生的概率为_____. 考点05 多面手问题 一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数 【典例5】（2027高二·全国·专题练习）某龙舟队有12名队员，其中只能划左边的有5人，只能划右边的有5人，有2名队员左右都能划，现在要组成一支左边3人右边3人的龙舟队，有_____种组法． 【跟踪训练】1．（2027高三·全国·专题练习）某食品厂制作了种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐种卡片才可获奖，则购买该食品袋，获奖的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·河南周口·开学考试）袋子中有3个除颜色外完全一致的球，分别为红色、黄色、蓝色，小明从袋中有放回地随机摸球4次，则3种颜色的球都被摸出来的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）排序题是考研英语中难度较高的题型之一，也是考生普遍认为挑战较大的题型.现有A，B，C，D，E，F6段话，需要将它们按正确的顺序排列，已知正确答案为，某考生将段落B排在第1段后，因时间来不及，只能将后5段进行随机排序，则该名考生恰好对一个的情况有（    ） A．22种 B．24种 C．36种 D．44种 4．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围，某地图书馆计划开展3场主题讲座，现有4名同学报名参加，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案种数为（     ） A．12 B．24 C．36 D．60 5．（26-27高三上·云南·开学考试）将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 6．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复数字的四位数，其千位数、百位数、十位数、个位数分别为，，，，若为偶数，则不同的四位数共有________个． 7．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）某高中运动会设有5个项目，甲､乙两名学生每人随机选取3个项目，则至少选中2个相同项目的报名情况有______. 考点06 涂色问题 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（1）根据使用颜色总数分类讨论；（2）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（3）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（4）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 【典例6】（26-27高三上·河北沧州·开学考试）现有4种颜色，给3张不同的卡片正反面涂色，要求三张正面颜色各不相同、三张反面颜色各不相同，且每张卡片正反两面颜色不同，则不同的涂色方法共有________种． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·重庆渝中·阶段检测）如图，给编号为1，2，3，4的4块矩形区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜色不能相同，若有4种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（   ）种. A．24 B．48 C．60 D．84 2．（26-27高三上·浙江·开学考试）现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）对以下各选项中的多面体顶点进行涂色，要求相邻顶点颜色不同，则仅需2种颜色满足要求的是（   ） A．正方体 B．正八面体 C．正三棱台 D．正四面体 4．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 5．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）(多选)用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（   ） A．用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C．在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为 D．在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为 7．（2027高三·全国·专题练习）如图，要给 5 个区域染色，有 5 种不同的颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数为_____. 考点07 分组、分配问题 ①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． ③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 【典例7】（26-27高三上·天津和平·阶段检测）A，B，C，D四位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：先将四位同学平均分成两组，每组进行一场比赛决出胜负，获胜者进入胜者组，失败者进入败者组．胜者组和败者组中再各自进行一场比赛，胜者组中获胜者获得冠军，失败者获得亚军，败者组中获胜者获得季军．设每场比赛双方获胜的概率都为，则A，B两人能分在同一组的概率为________；则在A，B两人能够在比赛中相遇的条件下A得到冠军的概率为________． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）2026年4月23日是第31个世界读书日，为营造爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围，某地图书馆计划开展3场主题讲座，现有4名同学报名参加，每个讲座至少有一名同学参加，每人只能参加一个讲座，则不同的安排方案种数为（     ） A．12 B．24 C．36 D．60 2．（2026高二·全国·专题练习）北京市某高中高二年级5名学生参加“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，比赛包含“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个项目，规定每个项目至少有一名学生参加，则符合要求的参赛方法种类数为（   ） A．60 B．90 C．150 D．240 3．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）某校派出 6 名志愿者派往 4 个社区参与志愿服务，每个社区至少去 1 名志愿者，其中甲志愿者去 A 社区. 则不同的分配方法种数为（    ） A．360 B．390 C．750 D．1170 4．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术攻关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 5．（2026·山东济南·模拟预测）某单位派出包括甲、乙在内的9名员工参加培训，需要把他们随机平均分成3个小组，那么甲、乙两人分到同一个小组的概率为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）为了迎接成都西博城人工智能展，主办方将6名安检人员平均分成3组，到3个不同场馆服务，若每组去一个场馆，且每个场馆都有人服务，则甲、乙两名安检人员不在同一个场馆服务的分配方案有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 7．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）甲、乙、丙三个社区开展活动，某中学派出五名学生参与活动，若每个社区都要有该校学生参与活动，且乙社区只需要一名该校学生参与活动，则不同的安排方式共有（    ） A．60种 B．70种 C．100种 D．120种 8．（26-27高三上·湖南永州·开学考试）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（    ） A．18种 B．27种 C．36种 D．54种 考点08 隔板法 将个相同的元素分给个不同的对象，有种方法可描述为个空中插入块板 【典例8】（2026·福建·模拟预测）已知某密码由4个正整数组成，且所有数字之和为7，则该密码共有________种可能（用数字作答）． 【跟踪训练】1．（2026·重庆渝中·模拟预测）有11个周末听讲座的名额要随机分配给四个班级，每个班至少分一个，则不同的分配方法有（   ） A．50种 B．120种 C．210种 D．310种 2．（2026·陕西西安·模拟预测）清华大学给某省增加了5个相同的强基计划名额，有3所高中的学生有资格争取这5个名额，则将这5个名额分配到各校的不同方法种数为（   ） A．243 B．150 C．42 D．21 3．（2026·河南·模拟预测）将6个相同的小球放入3个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为（   ） A． B． C．28 D．84 4．（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中，共有多少项（ ） A．45 B．55 C．120 D．165 5．（2026·河南·模拟预测）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）方程，若，，均为正整数，则有序三元组解的个数为______.若，，均为非负整数，则解的个数为______(均用组合数回答） 7．（25-26高三·全国·一轮复习）定义集合，例如：若，则，，.把集合中满足条件的元素组成的集合记为，即.已知集合，则中的元素个数为______. 8．（2027高二·全国·专题练习）把 个完全相同的球放入 个彼此不同的盒子，允许空盒，有多少种方法. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $