专题10.9 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.9 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解两个事件相互独立的含义 (2)理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 事件的相互独立性 新课标Ⅱ卷：第18题，17分 全国一卷：第17题，15分 条件概率、全概率公式 天津卷：第13题，6分 命题规律分析 1、事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式是高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容的考查频率、难度、题型都比较稳定，主要考查相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式等，在选择、填空、解答题中都有可能考查。在选择、填空题中侧重单一知识点的考查，难度不大；在解答题中会作为一小问出现，与其他知识结合考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习。 考点1 事件的相互独立性 知识点1 事件的相互独立性 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 考点2 条件概率与全概率公式 知识点2 条件概率与全概率公式 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P(|A)=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有P(B)=·P(B|Ai).我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解. 4．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 5．求条件概率的常用方法 (1)定义法：. (2)样本点法：. (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解. 6．利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【方法技巧与总结】 1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 【题型1 独立事件的判断】 【例1】（2026·山东泰安·三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】D 【解题思路】根据相互独立事件的定义依次分析即可. 【解答过程】依题意得，，，故A项错误； ，，故B项错误； ，故C项错误； ，，故D项正确. 故选：D. 【变式1-1】（2026·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解题思路】由已知得出样本空间包含的样本点的个数为36个，求出相关事件的概率，逐一利用相互独立事件的概率乘法公式检验即得. 【解答过程】由题意得：事件“”的情况有：共12种， 所以． 事件“为奇数”的情况有： 共18种， 所以； 事件“”的情况有： 共10种， 所以； 事件“”的情况有：共6种， 所以. 对于A，因，则与不独立，故A错误； 对于B，因，则与不独立，故B错误； 对于C，因事件C与D不能同时发生，则，故C错误； 对于D，，则与相互独立，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】（2026·上海奉贤·三模）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，所以相互独立，故A正确； 对于B，因为， 所以， 所以相互独立，所以相互独立，故B正确； 对于C，， 所以，所以无法判断相互独立，故C错误； 对于D，， 因为，所以相互独立，故D正确. 故选：C. 【变式1-3】（2026·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【解题思路】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误. 【解答过程】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 【题型2 独立事件的概率计算】 【例2】（2026·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用独立事件乘法公式及对立事件的概率求法求概率. 【解答过程】由题设，甲乙都不能破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：A. 【变式2-1】（2026·湖南·三模）已知事件，是相互独立事件，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据相互独立事件的性质可知事件，也是相互独立事件，再由相互独立事件的概率公式计算可得. 【解答过程】因为事件，是相互独立事件，所以事件，也是相互独立事件， 又，，所以，， 所以. 故选：A. 【变式2-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得. 【解答过程】元件都不正常的概率， 则元件至少有一个正常工作的概率为， 而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生， 所以这个电路是通路的概率. 故选：B. 【变式2-3】（2026·海南·模拟预测）小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用事件相互独立性，互斥，根据恰好射中两个靶子的概率是建立等式，求出x，再利用事件相互独立性乘法公式进行求解． 【解答过程】记小明射中三个靶子分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且，， 恰好能射中两个靶子为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，三个靶子都没射中为事件， 故， 故选：C． 【题型3 条件概率】 【例3】（2026·江西萍乡·三模）从双不同品牌的筷子中任取两根，若其中一根为品牌的筷子，则另一根筷子也属于品牌的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设事件为“从所有筷子中任取两根均为品牌”，设事件为“任取的两根筷子中有品牌”，求出、的值，结合条件概率公式可求得的值. 【解答过程】设事件为“从所有筷子中任取两根均为品牌”，则. 设事件为“任取的两根筷子中有品牌”，则. 所求概率即为. 故选：A. 【变式3-1】（2026·甘肃白银·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意，利用全概率公式以及条件概率的计算，可得答案. 【解答过程】因为， 所以， 所以． 故选：C. 【变式3-2】（2026·重庆·三模）某班有男生25人，女生20人，其中60%的男生和50%的女生都喜欢篮球运动，现从该班级随机抽取一名学生，已知该同学喜欢篮球运动，则该同学是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据全概率公式以及条件概率公式即可求解. 【解答过程】记“喜欢篮球的同学”，“喜欢篮球是男生”， 故, , 所以, 故选：C. 【变式3-3】（2026·江苏苏州·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件，“甲不站在两端”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件概率公式来求解，需要先分别求出和，再代入公式计算. 【解答过程】“甲、乙相邻”，可将甲、乙看成一个整体，与丙、丁、戊全排列，同时甲、乙两人之间也需要全排列. 甲、乙两人全排列的方法数为种； 将甲、乙整体与丙、丁、戊全排列的方法数为种. 所以事件包含的基本事件数为种. 名学生全排列的方法数为种. 根据古典概型概率公式可得. “甲、乙相邻且甲不站在两端”，当甲、乙相邻时，若甲不站在两端，甲只能站在中间3个位置上， 所以事件AB包含的基本事件数为种. 则. 根据条件概率公式，将，代入可得： . 故选：D. 【题型4 全概率公式及应用】 【例4】（2026·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据全概率公式求解. 【解答过程】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件， 则，. 则 . 故选：D. 【变式4-1】（2026·广东汕头·二模）某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【解题思路】应用全概率公式计算求解. 【解答过程】记“第1天去餐厅”，“第1天去餐厅”，“第2天去餐厅”， 则由全概率公式得：． 故选：A. 【变式4-2】（2026·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为. (1)记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； (2)求甲在这次竞赛中获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分析总分各取值，求其概率并列出分布列，进而按期望公式求出期望. （2）利用全概率公式，根据第一轮后甲得分三种情形进行递归分解，其中时比赛状态重置，时甲失败、时甲获胜，从而建立关于获胜概率的方程并求解. 【解答过程】（1）第一轮答题后甲的总分X可取， ，，，     X的分布列为 . （2）记D="甲在这次竞赛中获胜"，因为甲获胜至少经过一轮答题，由（1）知， 一轮回答后有三种情形，由全概率公式得： ， 是指一轮答题后甲得0分的条件下甲获胜的概率，为0（乙获胜，比赛结束）； 是指一轮答题后甲得1分的条件下甲获胜的概率为； 是指一轮答题后甲得2分的条件下甲获胜的概率为1； 所以， 解得，      所以甲在这次竞赛中获胜的概率. 【变式4-3】（2026·陕西西安·模拟预测）大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲、乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． (1)求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； (2)在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 【答案】(1)0.75 (2)当或时，的值最大 【解题思路】（1）根据全概率公式求得小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； （2）根据二项分布的知识求得的表达式，由此列不等式求得的取值范围，进而求得正确答案. 【解答过程】（1）设事件A为“小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意”， 事件B为“小丁同学当天中午去乙餐厅就餐”，则为“小丁同学当天中午去甲餐厅就餐”． 由题意得，，， ． 根据全概率公式 . （2）由题意可知， 则（，1，2，…，）, 因此, 要使最大，需满足, 即, 化简第一个不等式,,,, 化简第二个不等式,,,, 因为且，所以或． 所以当或时，的值最大． 【题型5 贝叶斯公式及应用】 【例5】（2026·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，利用贝叶斯公式可求得的值. 【解答过程】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的， 事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品， 则，，， ，，， 由贝叶斯公式可得. 因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为. 故选：C. 【变式5-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病，利用全概率公式求出的值，然后利用贝叶斯公式可求出的值，即为所求. 【解答过程】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为， 故选：A. 【变式5-2】（2026·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：C． 【变式5-3】（2026·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，先分析求解从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【解答过程】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球， 则从甲袋中取出的2只球是1红1白的概率为 . 故选：B. 【题型6 条件概率与其他知识综合】 【例6】（2026·湖南益阳·模拟预测）某银行储蓄卡的密码由6位数字组成，在该银行自助取款机上取款时，若密码输入正确，则可成功取款，若密码连续输错3次，则不能继续输密码，取款失败．甲利用储蓄卡在该银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： (1)任意按最后1位数字，不超过2次就成功取款的概率； (2)如果记得密码的最后1位是偶数，记表示取钱时输密码的次数，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列如下： 1 2 3 【解题思路】（1）由条件概率及古典概型公式求解即可； （2）根据题意，可能的取值为1，2，3．记“最后1位密码为偶数”，由条件概率公式求出对应的概率，即可得分布列，再由期望公式求解即可. 【解答过程】（1）设“第次成功取款”， 则事件“不超过2次就成功取款”可表示为． 则． （2）根据题意，可能的取值为1，2，3． 记“最后1位密码为偶数”， ， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 故随机变量的期望． 【变式6-1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）一个袋子中有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．现从袋子中一次性随机摸取4个球． (1)若在已知摸到的4个球中至少有1个黑球，求恰好有2个黑球的概率； (2)求摸到黑球个数的数学期望． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用条件概率公式，结合古典概型计算对应事件的组合数比值求解； （2）先确定随机变量服从超几何分布，通过超几何分布期望公式计算. 【解答过程】（1）设事件为“摸到的4个球中至少有1个黑球”，事件为“摸到的4个球中恰好有2个黑球”，显然，故. 从8个球中一次性摸取4个，总的基本事件数为. 事件的对立事件为“摸到的4个球全为白球”，因此. 事件包含的基本事件数为，因此. 由条件概率公式得：. （2）的所有可能取值为， 服从参数为（总体容量）、（总体中黑球个数）、（抽取容量）的超几何分布， 分布律为. 由超几何分布的期望公式，代入参数得. 【变式6-2】（2026·宁夏银川·模拟预测）教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表： 性别 体测结果 合计 合格 优秀 男生 2 28 30 女生 6 14 20 合计 8 42 50 (1)根据小概率值的独立性检验，分析体测结果与性别是否有关？ (2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)能有的把握认为体测结果与性别有关 (2) 【解题思路】（1）根据列联表可得独立性检验的各项数据，利用独立性检验的计算公式以及检验过程，可得答案； （2）根据古典概型以及条件概率，利用全概率公式，可得答案. 【解答过程】（1）由题意可得， 零假设为：体测结果与性别无关， 则， 故根据的独立性检验，在犯错误的概率不超过的前提下可以认为有关， 即能有的把握认为体测结果与性别有关. （2）设事件为抽取的一人为优秀，事件为抽取的一人为男生， 则为抽取的一人为合格，为抽取的一人为女生， 根据表中数据可得，， 因为，， 所以， 故. 【变式6-3】（2026·山西忻州·模拟预测）某通信系统传输信号0或1，设一次发送的真实信号为1的概率为p，为0的概率为，若真实信号为1，单次接收正确为1的概率为；若真实信号为0，单次被误收为1的概率为，各次接收相互独立． 系统采用“三次多数译码”规则：同一真实信号连续发送三次，若三次接收结果中1出现次数不少于2，则最终译码为1；否则最终译码为0，在一次实验中，共传输个信号，其中个最终译码为1，用频率估计概率． (1)求p的估计值； (2)在（1）的估计下，若某个信号最终译码为1，求其真实信号为1的概率； (3)在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取5个，记其中真实信号为1的个数为X，求与． 【答案】(1) (2) (3)， 【解题思路】（1）先通过二项分布计算不同真实信号下译码为1的条件概率，再利用全概率公式结合频率估计概率构造方程求解； （2）利用条件概率公式计算求解； （3）判断服从二项分布，再利用期望、方差公式计算求解． 【解答过程】（1）设事件表示“真实信号为1”，事件表示“最终译码为1”， 则， 真实信号为0时，最终译码为1的概率为： ． 由频率估计概率，最终译码为1的概率为， 又真实信号为1的概率为p， 由全概率公式, 化简整理得，解得． （2）由条件概率公式，． （3）在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取一个，其真实信号为1的概率为， 抽取互相独立，故服从二项分布． ，． 一、单选题 1．（2026·浙江台州·一模）已知事件相互独立，，则（    ） A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.7 【答案】C 【解题思路】由独立事件的乘法公式直接求解即可. 【解答过程】因为事件相互独立，且， 所以. 故选：C. 2．（2026·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由独立事件概率公式和充要条件的概念即可求解. 【解答过程】由甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6， 若“事件互相独立”，则， 若，则事件互相独立， 即“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的充要条件， 故选：C. 3．（2026·四川达州·一模）已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【解题思路】利用条件概率的定义式，先通过与求出，再代入的条件概率公式计算结果. 【解答过程】根据条件概率公式，先求： 由， 得. 再求： 由， 代入，得. 故选：B. 4．（2026·陕西西安·二模）甲､乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用独立重复事件，分析获胜情况，即可求出概率. 【解答过程】甲第一局获胜并最终以获胜，说明在4局比赛中，甲胜了3局，输了1局， 并且输掉的这局为第二局或第三局， 故概率为. 故选：C. 5．（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知随机事件，，则（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0．2 【答案】B 【解题思路】首先根据已知条件求出的值，进而利用条件概率公式可求出的值. 【解答过程】因为，， 所以，所以． 故选：B． 6．（2026·四川成都·一模）三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据全概率公式和条件概率的计算公式，即可得到答案. 【解答过程】记从 “放有两个黑球盒子”， “放有一个黑球一个红球盒子”， “放有两个红球盒子”中取出一球分别为事件，，， 则事件，，两两互斥，， 记“取出的球为红色”为事件B，则所求概率即为， 得到 ， 则， 故若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为. 故选：D. 7．（2026·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 【答案】A 【解题思路】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【解答过程】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 8．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”，通过计算条件概率即可. 【解答过程】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”， 每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：， 设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为 因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等， 记，，则，即. 若即则路径数有6种； 若即则路径数有24种； 若即则路径数有6种； 所以. 事件“向右移动2次且回到点” 要使向右移动2次且回到点，则且， 又，所以，路径数有6种； . . 故选：A. 二、多选题 9．（2026·四川泸州·一模）记为事件的对立事件，已知，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解题思路】由独立事件定义和性质、独立概率乘法公式、条件概率公式即可逐一计算判断各选项. 【解答过程】对于A选项：若，则，A正确； 对于B选项：若与相互独立，则与相互独立, 所以，B正确； 对于C选项：若，则，C错误； 对于D选项：若，则, 又, 所以，D正确. 故选：ABD. 10．（2026·云南昭通·模拟预测）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据对立事件定义可判断A；根据条件概率及全概率公式计算可判断BCD. 【解答过程】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即， 所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，故C不正确； 对于D，，故D正确， 故选：ABD． 11．（2026·云南·模拟预测）某项团队建设活动，每场活动固定进行两轮，每轮结束后可得4分或7分.任意一场活动，第一轮得4分或7分的概率均为；在同一场活动中，若第一轮得4分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为；若第一轮得7分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为.若一场活动结束总分超过10分，称该场活动为“成功场次”.已知各场活动的结果相互独立，则下列选项正确的是（ ） A．一场活动结束总分为8分的概率为 B．一场活动结束总分为11分的概率为 C．已知该场活动为“成功场次”的条件下，该场活动结束总分为11分的概率为 D．若连续5场活动中“成功场次”的次数为，则的数学期望 【答案】ACD 【解题思路】利用独立事件概率的计算公式，即若事件、相互独立，则，和条件概率公式，以及对于二项分布，其期望，逐项分析即可. 【解答过程】记事件表示第轮活动得4分，事件表示第轮活动得7分，其中， 所以，，，，. 记事件表示一场活动结束总分为8分，记事件表示一场活动结束总分为11分， 记事件表示一场活动为“成功场次”. 选项A，，故A正确； 选项B， ，故B错误； 选项C， ， 所以，所以，故C正确； 选项D，由于各场活动的结果相互独立，则， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2026·上海浦东新·三模）已知随机事件满足，，，则__________. 【答案】/ 【解题思路】先根据条件概率公式求出，进而可求出，再根据条件概率公式即可得解. 【解答过程】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 13．（2026·上海杨浦·模拟预测）甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为、、.现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为__________. 【答案】/0.75 【解题思路】记三人各投篮一次至少有一人命中为事件，根据独立事件的概率公式先求，再用即可求得结果. 【解答过程】记三人各投篮一次至少有一人命中为事件， 则，所以. 故答案为：. 14．（2026·浙江宁波·一模）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是__________． 【答案】 【解题思路】利用全概率公式求出第一次摸到红球的概率以及第一次和第二次都摸到红球的概率，再根据条件概率公式进行计算． 【解答过程】设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到红球”． 设事件表示“选择甲袋”，事件表示“选择乙袋”， 且，， 根据全概率公式，得， 在甲袋中，第一次摸出红球后，还剩2个红球和3个黑球，共5个球， 所以从甲袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 在乙袋中，第一次摸出红球后，还剩1个红球和3个黑球，共4个球，所 以从乙袋中第一次和第二次都摸到红球的概率， 根据全概率公式，得， 所以，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为． 故答案为：． 四、解答题 15．（2026·福建漳州·模拟预测）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的个数. (1)求X的分布列和数学期望； (2)已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 【答案】(1)的分布列为： X 0 1 2 P (2) 【解题思路】（1）根据题意求出随机变量X的所有取值，利用古典概型概率计算公式依次求出取每个值的概率即可，再利用数学期望的计算公式求解. （2）本题属于条件概率，分别求出第一次摸到的球是红球的概率，第一次摸到的球是红球并且第二次摸到的球也是红球的概率，利用条件概率计算公式即可求解. 【解答过程】（1）X的所有取值为0,1,2. . . . 所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 数学期望. （2）设事件“第一次摸到的球是红球”,事件“第二次摸到的球是红球”. . 所以. 所以已知第一次摸到的球是红球，第二次摸到的球也是红球的概率为. 16．（2026·江西南昌·模拟预测）甲、乙两名同学进行篮球罚篮游戏，两人交替进行，每交换一次称为一轮，罚中记1分，罚不中记0分，甲、乙每次罚中的概率分别为，且假设每次罚中与否以及对方罚中与否对下次罚球都不产生影响，共进行3轮，若3轮罚球进行完游戏结束，总分多者获胜，相等为战平. (1)求甲获胜的概率； (2)游戏结束后，乙总得分减去甲总得分记为随机变量，求的概率分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）因为甲乙投篮结果相互独立，所以可利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，分别计算甲获胜的每种情况的概率再求和. （2）先确定随机变量X的所有可能取值，利用独立事件概率乘法公式计算每个组合的概率，求出分布列. 【解答过程】（1）记甲获胜为事件，其中分为三种情形， 情形一：甲得1分，乙得0分，概率为. 情形二：甲得2分，乙得0、1分，概率为. 情形三：甲得3分，乙得0、1、2分，概率为. 从而. （2） 的所有可能取值为. ， ， ， ， ， ， . 从而的分布列为 . 17．（2026·云南昆明·模拟预测）某厂家接到订单，急需加工一种零件，厂家安排甲、乙两台车床同时加工这种零件，其中甲车床加工的零件占60%，次品率为6%；乙车床加工的零件占40%，次品率为5%．为确保质量，将两台车床加工的零件混合，质检人员从中抽样检查． (1)从混合的零件中任取1个． （ⅰ）求这个零件是合格品的概率； （ⅱ）已知取到的是合格品，求它是由甲车床加工的概率； (2)从混合的零件中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记2次抽取中，抽到的零件是由乙车床加工的次数为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【解题思路】（1）记甲车床加工为事件 ，乙车床加工为事件 ，取到合格品为事件 ，写出 ，，，，（i）用全概率公式求 ；（ii）用条件概率公式求 ； （2）有放回地独立抽取 次，每次抽到乙车床加工的概率为 ，故 ，写出 的分布列，再求. 【解答过程】（1）记“零件由甲车床加工”为事件 ，“零件由乙车床加工”为事件 ，“任取一个零件是合格品”为事件 ， 则 与 对立，，，且 ，. （i）由全概率公式，得 ， 所以这个零件是合格品的概率为 . （ii）在取到合格品的条件下，它由甲车床加工的概率为 . （2）由题意，每次抽取到的零件由乙车床加工的概率为，有放回地连续抽取次，各次抽取相互独立，所以，的所有可能取值为，，. ，，. 所以的分布列为： . 18．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·阶段检测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， (1)求； (2)求的通项公式，求 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）利用全概率公式列出递推关系，再利用数列构造法及累加法求出通项公式即可. 【解答过程】（1）依题意，质点运动到的概率，则. （2）运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 则，即， 而，因此是首项为，公比为的等比数列， 则， 所以 ， . 19．（2026·广东广州·模拟预测）某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验（第1关）、偏见与公平性检测（第2关）、对抗鲁棒性测试（第3关）．测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关．一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测．已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为，，，且每次检测相互独立．记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)记“该模型在第n次检测后恰好通过第2关”为事件，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)当时，； 当时，. 【解题思路】（1）利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式，计算，； （2）利用组合计数原理与独立事件乘法公式，结合全概率公式与错位相减法推导的表达式； （3）结合条件概率公式转化问题，通过构造数列判断单调性，最后比较两个条件概率的大小. 【解答过程】（1）由题意知，， . （2）记“第次测试后恰好通过第1关”为事件， “第次至次测试后没有通过第2关，且第次测试后恰好通过第2关”为事件， “第至次进行第3关测试没有通过，且第次通过”为事件， 则， ， . 所以. 令， ， 所以， ， 所以. 所以. （3）由（2）得，，， . 令，则， 所以， 因为随的增大而增大， 所以当时，， 当时，，； 当时，，，是增数列. 所以当时，取得最小值，最小值为. 又，且； 所以当时，，即， 所以. 因为，所以，即； 当时，，即， 所以.因为， 所以，即. 综上所述，当时，； 当时，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.9 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解两个事件相互独立的含义 (2)理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 事件的相互独立性 新课标Ⅱ卷：第18题，17分 全国一卷：第17题，15分 条件概率、全概率公式 天津卷：第13题，6分 命题规律分析 1、事件的相互独立性与条件概率、全概率公式 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式是高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，本节内容的考查频率、难度、题型都比较稳定，主要考查相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式等，在选择、填空、解答题中都有可能考查。在选择、填空题中侧重单一知识点的考查，难度不大；在解答题中会作为一小问出现，与其他知识结合考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习。 考点1 事件的相互独立性 知识点1 事件的相互独立性 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 考点2 条件概率与全概率公式 知识点2 条件概率与全概率公式 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P(|A)=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 3．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有P(B)=·P(B|Ai).我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解. 4．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 5．求条件概率的常用方法 (1)定义法：. (2)样本点法：. (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解. 6．利用全概率公式的思路 (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【方法技巧与总结】 1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 2．全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 【题型1 独立事件的判断】 【例1】（2026·山东泰安·三模）盒中有4个大小相同的小球，其中2个红球、2个白球，第一次在盒中随机摸出2个小球，记下颜色后放回，第二次在盒中也随机摸出2个小球，记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”，事件“两次均未摸出白球”，事件“第一次摸出的两个球中有红球”，事件“第二次摸出的两个球中有白球”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【变式1-1】（2026·湖南·模拟预测）甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为，表示事件“”，表示事件“为奇数”，表示事件“”，表示事件“”，则相互独立的事件是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-2】（2026·上海奉贤·三模）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·上海青浦·模拟预测）一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【题型2 独立事件的概率计算】 【例2】（2026·天津河北·模拟预测）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙能破译的概率分别为、，则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·湖南·三模）已知事件，是相互独立事件，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·海南·模拟预测）小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 【题型3 条件概率】 【例3】（2026·江西萍乡·三模）从双不同品牌的筷子中任取两根，若其中一根为品牌的筷子，则另一根筷子也属于品牌的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·甘肃白银·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·重庆·三模）某班有男生25人，女生20人，其中60%的男生和50%的女生都喜欢篮球运动，现从该班级随机抽取一名学生，已知该同学喜欢篮球运动，则该同学是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·江苏苏州·三模）甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排，记“甲、乙相邻”为事件，“甲不站在两端”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 全概率公式及应用】 【例4】（2026·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·广东汕头·二模）某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【变式4-2】（2026·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为. (1)记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； (2)求甲在这次竞赛中获胜的概率. 【变式4-3】（2026·陕西西安·模拟预测）大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲、乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． (1)求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； (2)在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 【题型5 贝叶斯公式及应用】 【例5】（2026·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 【题型6 条件概率与其他知识综合】 【例6】（2026·湖南益阳·模拟预测）某银行储蓄卡的密码由6位数字组成，在该银行自助取款机上取款时，若密码输入正确，则可成功取款，若密码连续输错3次，则不能继续输密码，取款失败．甲利用储蓄卡在该银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字．求： (1)任意按最后1位数字，不超过2次就成功取款的概率； (2)如果记得密码的最后1位是偶数，记表示取钱时输密码的次数，求随机变量的分布列和数学期望． 【变式6-1】（2026·浙江绍兴·模拟预测）一个袋子中有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．现从袋子中一次性随机摸取4个球． (1)若在已知摸到的4个球中至少有1个黑球，求恰好有2个黑球的概率； (2)求摸到黑球个数的数学期望． 【变式6-2】（2026·宁夏银川·模拟预测）教育部办公厅要求中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素，了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力．某学校为了了解学生的身体健康与身体素质状况，随机抽取了50名同学的体测结果（“合格”或“优秀”），统计数据如下表： 性别 体测结果 合计 合格 优秀 男生 2 28 30 女生 6 14 20 合计 8 42 50 (1)根据小概率值的独立性检验，分析体测结果与性别是否有关？ (2)用样本估计总体，频率估计概率．现等可能地从男、女生中抽取一个性别，然后再从选好的性别中随机抽取1名学生的体测结果，已知抽出的学生体测结果是“优秀”，求这名学生是男生的概率． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【变式6-3】（2026·山西忻州·模拟预测）某通信系统传输信号0或1，设一次发送的真实信号为1的概率为p，为0的概率为，若真实信号为1，单次接收正确为1的概率为；若真实信号为0，单次被误收为1的概率为，各次接收相互独立． 系统采用“三次多数译码”规则：同一真实信号连续发送三次，若三次接收结果中1出现次数不少于2，则最终译码为1；否则最终译码为0，在一次实验中，共传输个信号，其中个最终译码为1，用频率估计概率． (1)求p的估计值； (2)在（1）的估计下，若某个信号最终译码为1，求其真实信号为1的概率； (3)在（1）的估计下，从最终译码为1的信号中随机抽取5个，记其中真实信号为1的个数为X，求与． 一、单选题 1．（2026·浙江台州·一模）已知事件相互独立，，则（    ） A．0.1 B．0.3 C．0.4 D．0.7 2．（2026·上海长宁·一模）甲、乙两人投篮的命中率分别为0.7和0.6，两人各投篮一次，事件为甲投中，事件为乙投中．“甲、乙两人均投中的概率为0.42”是“事件互相独立”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·四川达州·一模）已知，则（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 4．（2026·陕西西安·二模）甲､乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知随机事件，，则（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0．2 6．（2026·四川成都·一模）三个相同的盒子里分别放有两个黑球，一个黑球一个红球，两个红球，现从任意的盒子里随机取出一球，若该球为红色，则该盒剩下的另一球也是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 8．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·四川泸州·一模）记为事件的对立事件，已知，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若与相互独立，则 C．若，则 D．若，则 10．（2026·云南昭通·模拟预测）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A．为对立事件 B． C． D． 11．（2026·云南·模拟预测）某项团队建设活动，每场活动固定进行两轮，每轮结束后可得4分或7分.任意一场活动，第一轮得4分或7分的概率均为；在同一场活动中，若第一轮得4分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为；若第一轮得7分，则第二轮得4分的概率为，得7分的概率为.若一场活动结束总分超过10分，称该场活动为“成功场次”.已知各场活动的结果相互独立，则下列选项正确的是（ ） A．一场活动结束总分为8分的概率为 B．一场活动结束总分为11分的概率为 C．已知该场活动为“成功场次”的条件下，该场活动结束总分为11分的概率为 D．若连续5场活动中“成功场次”的次数为，则的数学期望 三、填空题 12．（2026·上海浦东新·三模）已知随机事件满足，，，则__________. 13．（2026·上海杨浦·模拟预测）甲、乙、丙投篮各自命中的概率分别为、、.现三人各投篮一次，且三人是否命中互不影响，则至少有一人命中的概率为__________. 14．（2026·浙江宁波·一模）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和3个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现随机地选择一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到的也是红球的概率是__________． 四、解答题 15．（2026·福建漳州·模拟预测）已知甲袋中有大小质地完全相同的3个红球和2个黑球，乙袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两袋中等可能选取一个袋子，并从中不放回地依次随机摸出两个球，记X为这两个球中红球的个数. (1)求X的分布列和数学期望； (2)已知第一次摸到的球是红球，求第二次摸到的球也是红球的概率. 16．（2026·江西南昌·模拟预测）甲、乙两名同学进行篮球罚篮游戏，两人交替进行，每交换一次称为一轮，罚中记1分，罚不中记0分，甲、乙每次罚中的概率分别为，且假设每次罚中与否以及对方罚中与否对下次罚球都不产生影响，共进行3轮，若3轮罚球进行完游戏结束，总分多者获胜，相等为战平. (1)求甲获胜的概率； (2)游戏结束后，乙总得分减去甲总得分记为随机变量，求的概率分布列与数学期望. 17．（2026·云南昆明·模拟预测）某厂家接到订单，急需加工一种零件，厂家安排甲、乙两台车床同时加工这种零件，其中甲车床加工的零件占60%，次品率为6%；乙车床加工的零件占40%，次品率为5%．为确保质量，将两台车床加工的零件混合，质检人员从中抽样检查． (1)从混合的零件中任取1个． （ⅰ）求这个零件是合格品的概率； （ⅱ）已知取到的是合格品，求它是由甲车床加工的概率； (2)从混合的零件中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记2次抽取中，抽到的零件是由乙车床加工的次数为，求随机变量的分布列和数学期望． 18．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·阶段检测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为， (1)求； (2)求的通项公式，求 19．（2026·广东广州·模拟预测）某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验（第1关）、偏见与公平性检测（第2关）、对抗鲁棒性测试（第3关）．测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关．一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测．已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为，，，且每次检测相互独立．记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)记“该模型在第n次检测后恰好通过第2关”为事件，试比较与的大小，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $