第04讲 随机事件、频率与概率（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 随机事件、频率与概率 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1随机试验、样本空间与随机事件 知识点2事件之间的关系 知识点3事件的运算 知识点4频率与概率 题型破译 (含超链接） 题型1 随机事件与样本空间 题型2 随机事件之间的关系与运算 【方法技巧】事件运算识图法 题型3 频率估计概率 题型4 随机事件的概率 题型5 互斥事件与对立事件的判断 【方法技巧】互斥对立判别法 题型6 利用互斥事件与对立事件计算概率 【方法技巧】互斥对立的概率公式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 随机事件与概率 —— 全国一卷T15（1）（5分） 全国甲卷（文）T4（5分） 全国甲卷（理）T16（5分） 全国甲卷（理）T17（2）（8分） 全国II卷T14（5分） 考情分析 本节属于概率基础知识，高考既可以设置选择、填空小题，也可作为解答题的基础片段进行考查。命题重点集中在随机事件关系辨析、频率与概率理解、互斥与对立事件的概率简单求解。整体在全国卷中以基础题为主，难度偏易，侧重概念理解，常结合简单现实情境命题，是概率统计大题的必备前置知识。 复习目标 1.了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性，理解概率的含义，能够区分频率与概率，明晰二者的联系与差异。 2.理解事件的包含、相等、互斥、对立等关系，掌握并事件、交事件的运算，能完成事件关系的简单辨析与转化。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 随机试验、样本空间与随机事件 1.随机试验 对随机现象的实现和观察称为随机试验（简称试验），一般用字母表示，满足三个特征：①可以在相同条件下重复进行；②所有可能结果明确可知，且结果不止一个；③每次试验恰好出现其中一个结果，但事前无法确定出现哪一个。 2.样本空间与样本点 （1）样本点：随机试验每一个可能的基本结果。 （2）样本空间：全体样本点构成的集合，常用表示；样本点常用表示。 若试验有个结果，则，称为有限样本空间。 3.随机事件、确定事件 （1）随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件；只含一个样本点的事件叫基本事件。当子集内某个样本点出现，称该事件发生。 （2）必然事件：本身，每次试验一定发生。 （3）不可能事件：空集，不包含任何样本点，每次试验都不会发生。 （4）确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件。 自主检测 1．在下列事件中，随机事件是（   ） A．物体在只受重力作用下会自由下落 B．若是实数，则 C．若，则 D．函数（，且）是上的增函数 【答案】D 【详解】选项中的事件为必然事件，错误； 选项中的事件为不可能事件，错误； 选项中的事件为不可能事件，错误； 选项中的事件当时，发生；时，不发生，为随机事件，正确． 2．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 知识点2 事件之间的关系 设为同一试验下的两个事件 1.包含关系：若事件发生，则事件一定发生，称包含（或包含于），记作：（或）。 注：任何事件都包含不可能事件。 2.相等关系：若且，则事件与事件相等，记作。 3.互斥事件：事件与不能同时发生，即，称与互斥。 推广：若中任意两个都互斥，则称这些事件彼此互斥。 4.对立事件：与在一次试验中有且仅有一个发生。满足，且；叫作的对立事件。 互斥与对立的关系： 对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件； “对立”“互斥”；互斥是对立的必要不充分条件，对立是互斥的充分不必要条件。 自主检测 3．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【答案】C 【详解】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}， 所以. 故选：C. 4．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白色球（标号为和），个黑色球（标号为、和），从袋中不放回地依次随机取出个球，每次摸出一个球，设事件，“至少摸到一次白球”，“两次都摸到白球”，“两次都摸到黑球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A．与互斥但不对立 B．与互斥 C．与对立 D． 【答案】A 【详解】对于A，“摸到的两球均为白色或均为黑色”，“摸到的两球一个是白球，一个是黑球”， 则，，与为对立事件，A错误； 对于B，与不能同时发生，与互斥，B正确； 对于C，“两次摸到的都是白球或一个是白球，一个是黑球”，则，与对立，C正确； 对于D，“摸到的两球均为白色或均为黑色”，则，D正确. 故选：A. 知识点3 事件的运算 1.并事件（和事件） 事件发生或事件发生，即至少一个发生，叫作与的并事件。记作：（也记）。 2.交事件（积事件） 事件与事件同时发生，叫作与的交事件。记作：（也记）。 自主检测 5．某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”， 事件为“甲未中奖”，事件为“乙未中奖”， 事件“至少有一人中奖”，表示“甲中奖乙未中奖”或者“乙中奖甲未中奖” 或者“甲乙同时中奖”； 对选项A，表示事件和事件同时发生，即“甲乙同时中奖”，故A错误； 对选项B，表示事件或事件发生，即至少有一人中奖，故B正确； 对选项C，表示事件和事件同时发生，即“甲乙都未中奖”，故C错误； 对选项D，表示事件和事件同时发生，即“甲中奖且乙未中奖”，故D错误. 6．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中， “至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中， 故，，，. 故选：BC 知识点4 频率与概率 1.频数、频率 在次重复试验中，事件发生的次数叫作频数； 事件发生的频率：。 2.概率定义 大量重复同一试验时，事件发生的频率会在某个常数附近摆动，这个常数就是事件发生的概率，记作。 3.频率的稳定性 随着试验次数增大，频率偏离概率的幅度会缩小，事件发生的频率逐渐稳定于概率。 自主检测 7．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 【答案】D 【详解】A：由题意知朝上的点数是2的频率为1，概率为，故A错误； B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B错误； C：抛掷第6次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误； D：每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000，理论和实际会有一定的出入，故D正确． 故选：D． 8．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 【答案】 【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故答案为： 题●型●破●译 题型1 随机事件与样本空间 例1-1（2025·广东河源·模拟预测）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【详解】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 例1-2（2026·山东聊城·模拟预测）（多选）对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为，则表示的试验结果为（    ） A．第次检测到正品 B．第次检测到次品 C．前次检测到正品 D．前次检测到正品 【答案】BD 【详解】由题意，得表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为， 因此前次检测到的都是正品，第次检测到的是次品， 故选:BD. 【变式1-1】（2025·河南驻马店·二模）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 【答案】C 【详解】从10个数字中任取3个数字， 这3个数字的和大于或等于6， 小于5的情况不可能发生， 故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件． 故选：C 【变式1-2】（2025·吉林长春·一模）（多选）已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球个，其余均为黑色小球．现从中任意抽取5个小球，若事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则可以为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AB 【详解】由事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，则， 又由事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，则， 又由事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则， 所以可以为2或3. 【变式1-3】（2025·河北衡水·二模）在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 【答案】126 【详解】先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6， 若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小， 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的个位数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 此时最小为， 所以选中的方格中，的4个数之和最小，为. 故答案为：126. 【点睛】关键点点睛：关解决本题的关键是先确定十位数，再确定个位数，利用列举法写出所有的可能结果. 题型2 随机事件之间的关系与运算 例2-1（2026·山西太原·二模）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机， 另一种是两枚炮弹都击中飞机，即发生，必发生，因此，A正确； 对于B，显然事件是事件的对立事件，因此，B正确； 对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此，C正确； 对于D，包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件表示“两个炮弹都击中飞机或者都没击中飞机”， 因此，D错误. 故选：D 例2-2（2025·辽宁大连·模拟预测）（多选）记，分别为事件，的对立事件，如果事件，互斥，那么（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与互斥 D． 【答案】AD 【详解】设样本空间为 对于A：因为事件，互斥，则. 可得，所以是必然事件，故A正确； 对于BC：因为， 可知当且仅当，即事件，对立时，， 但题干中并没有说明，不一定是不可能事件，即与不一定互斥， 故选项BC不一定正确； 对于D：因为，所以，故D正确. 方法技巧 事件运算识图法 借助韦恩图辅助理解包含、相等、并、交、差事件。牢记符号含义：（发生或发生），（同时发生）。先翻译文字描述，转化为集合符号；化简事件表达式，区分“或”“且”对应的运算，避免并事件、交事件符号混用。 【变式2-1】（2025·湖南常德·一模）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件用样本点表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得， 事件， 事件， 所以事件， 故选：D． 【变式2-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】至少有1名男生包含2名全是男生､1名男生1名女生，故，， 故A，C正确； 事件B与D是互斥事件，故，故B正确， 表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生， 故，D错误， 故选：D. 【变式2-3】（2025·安徽滁州·一模）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障， 即甲、乙都没有故障，即事件和同时发生，即事件发生. 故选：D. 题型3 频率估计概率 例3-1（2026·广东汕头·三模）、两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用，，，，，，，表示获胜；，表示获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每个随机数作为一组. 例如，产生组随机数： ，据此估计获胜的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】共有组随机数，其中，表示B获胜， 则获胜的概率约为 例3-2（2025·河南商丘·二模）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_________（精确到0.1）． 【答案】 【详解】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数， 在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率； 观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在附近，进而求解即可. 故答案为： 【变式3-1】（2025·海南三亚·二模）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的6个红球，2个黄球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量的重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中约有黑球_____个. 【答案】2 【详解】设黑球个数为，则，得，故袋中约有黑球个 【变式3-2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）为了解某中学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号．调查人员向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是（     ） A．40人 B．80人 C．160人 D．200人 【答案】B 【详解】由题意可以估计回答问题（1）的学生有人，其中有人回答“是”． 因此回答问题（2）的人中有40人回答“是”．由此可以估计这人中有人闯过红灯． 【变式3-3】（2026·江西上饶·模拟预测）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（    ） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 【答案】A 【详解】设事件为 “甲获胜”， 20组随机数，其中事件发生了18次， . 故选：A. 题型4 随机事件的概率 例4-1（2025·浙江湖州·一模）如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气重度污染的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，第5日和第8日的空气质量指数大于， 则天中有两天空气质量为重度污染， 所以所求概率为． 例4-2（2025·吉林白山·二模）从1，2，3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数记为，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【详解】从1，2，3中随机抽取2个不同的数，共有3种等可能的情况： ①抽取1，2，则，剩余数为3，此时； ②抽取1，3，则，剩余数为2，此时； ③抽取2，3，则，剩余数为1，此时； 在总共3种等可能的情况中，满足的情况有2种，因此． 【变式4-1】（2025·广西钦州·模拟预测）从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 【答案】/ 【详解】从中随机取两个不同的数有，，，，，，，，，，共种情况， 其中满足和为偶数的有，，，，共种情况， 所以所求的概率为． 【变式4-2】（2026·湖南衡阳·三模）用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为_________． 【答案】 【详解】由题意知，用这三个数字组成无重复数字的三位数， 则样本空间，共有个样本点， 则， 所以，则． 故与事件至少有一个发生的概率为. 【变式4-3】（2026·湖南永州·一模）某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设6盒牛奶依次编号为1、2、3、4、5、6，规定1、2为中奖牛奶； 从6盒中随机抽取2盒，所有可能的组合为，，，，，，，，，，，，，，，共有15种抽取方法，其中能中奖的组合为，，，，，，，，，共有9种抽取方法；则能中奖的概率. 题型5 互斥事件与对立事件的判断 例5-1（2025·河南郑州·二模）掷一枚质地均匀的骰子，下列判断错误的是（    ） A．事件“出现的点数为7”是不可能事件 B．事件“出现的点数大于3”是随机事件 C．事件“出现的点数为奇数”与“出现的点数为5”是互斥事件 D．事件“出现的点数为奇数”与“出现的点数为偶数”是对立事件 【答案】C 【详解】掷一枚质地均匀的骰子的样本空间， 对于选项A，骰子的最大点数为，不可能出现， 因此“出现点数为”是不可能事件，该判断正确； 对于选项B，掷骰子前无法确定结果是否大于, 可能出现、、，也可能出现、、，符合随机事件的定义，该判断正确； 对于选项C，“出现点数为”时，点数同时满足“为奇数”的条件， 两个事件可以同时发生，不符合互斥事件“不能同时发生”的要求，该判断错误； 对于选项D，掷出的点数要么是奇数、要么是偶数，两个事件不能同时发生，且必然有一个发生， 符合对立事件的定义，该判断正确. 例5-2（2026·山东东营·二模）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【详解】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 方法技巧 互斥对立判别法 第一步判断是否互斥：，两事件不能同时发生；第二步判断对立：不仅互斥，且。对立一定互斥，互斥不一定对立。 做题先找交集是否为空集，再检验是否构成全部样本空间，避开“互斥就是对立”的误区。 【变式5-1】（2025·云南玉溪·二模）（多选）某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（   ） A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 【答案】BCD 【详解】因为表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误； 因为表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格，所以表示后两次测试成绩均不及格，故B正确； 表示同时发生，即表示三次测试成绩均及格，故C正确； 表示测试成绩均不及格，所以表示三次测试成绩均不及格，故D正确； 故选：BCD. 【变式5-2】（2025·山东济南·三模）已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】袋子中只有2个红球、2个白球，一次摸出3个球，结果只能是“1红2白”或“2红1白”，所以“恰有1个红球”，“恰有2个红球”，“至少有1个白球”=（必然事件），“都是白球”=（不可能事件）. 与互斥且，二者对立；、，均不互斥；与满足但，故互斥但不对立的是与. 【变式5-3】（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 【答案】BD 【详解】“甲被选中”和“乙被选中”可以同时发生，所以不互斥，故A不合题意； “甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” 两个事件不会同时发生，故它们互斥， 同时两事件的并集{丙丁， 乙丁}不包含所有可能事件，即它们不对立，故B符合题意； “甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” 不会同时发生，即它们互斥， 且它们至少有一个发生，即两个事件相互对立，故C不合题意； “甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 不会同时发生，故它们互斥， 例如当选出的是{甲， 丁}时，该结果不属于这两个事件，即它们的并集不是全集，它们不对立，故D符合题意. 题型6 利用互斥事件与对立事件计算概率 例6-1（2025·湖南邵阳·一模）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若互斥，则 【答案】C 【详解】对于选项A，根据对立事件的概率公式，得，故选项A正确； 对于选项B，因为，所以，故选项B正确； 对于选项C，根据概率的加法公式， 得，故选项C错误； 对于选项D，因为事件互斥，所以， 因此，故选项D正确. 例6-2（2025·山东济宁·三模）设，是一个随机试验中的两个互斥事件，若，，则（   ） A．0.05 B．0.144 C．0.75 D．0.25 【答案】C 【详解】，是互斥事件，，， . 方法技巧 互斥对立概率公式 互斥事件加法公式：若，；对立事件：。正面情况多、计算繁琐时优先用对立事件转化；使用加法公式前先验证互斥，没有互斥关系不能直接相加，防止公式滥用。 【变式6-1】（2025·江苏连云港·二模）已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2/ 【详解】因为为互斥事件，则， 所以. 【变式6-2】（2025·河南三门峡·三模）设随机事件，满足，，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【详解】可知. 【变式6-3】（2025·四川宜宾·模拟预测）某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到优或良的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】结合题意与表格中的数据可知，该城市一年空气质量达到优或良的概率为. 故选：D. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2018·全国III卷·高考真题）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【详解】设事件A为不用现金支付， 则 故选：B. 2．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据已知至少有一个发生， 则对立事件为都不发生，所以的对立事件为. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）. A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 【答案】C 【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”. 故选：C. 2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D．与相等 【答案】C 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 事件A包含的结果有：(正，正)，(正，反)，事件B包含的结果有：(正，反)，(反，反)， 对于AB，事件与能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，AB错误； 对于C，，C正确； 对于D，事件与事件不是同一个事件，D错误． 故选：C 3．已知. （1）如果，那么___________，___________； （2）如果A，B互斥，那么___________，___________. 【答案】 0.5 0.3 0.8 0 【分析】 【详解】（1）如果,那么,, 所以, （2）如果A,B互斥,那么, 所以, 故答案为：（1）0.5；0.3；（2）0.8；0 【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题 4．如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字. (1)用表格表示试验的所有可能结果； (2)列举下列事件包含的样本点：A=“两个数字相同”，B=“两个数字之和等于5”，C=“蓝色骰子的数字为2”. 【答案】（1）该试验的所有可能结果如下表：      蓝骰子点数 黄骰子点数 1 2 3 4 1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） 2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） 3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） 4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （2）A包含的样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）； B包含的样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）； C包含的样本点：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2）. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，由A，B两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况. (1)写出试验的样本空间； (2)对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点； (3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）A，B两个元件中每个元件都有正常（用1表示）或失效（用0表示）两种可能结果： 故该试验的样本空间可以表示为； （2）对串联电路，只有当A，B都正常时电路才是通路，故M包含的样本点为； （3）对并联电路，只有当A，B都失效时电路才是断路，故N包含的样本点为. 【点睛】本题考查样本空间和样本点，是基础题。 6．据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下： 血型 A B O AB 人数/人 7704 10765 8970 3049 频率 （1）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）； （2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）0.294. 【分析】 【详解】解：（1）总人数：7704+10765+8970+3049=30488， ，，， 如表： 血型 A B O AB 人数/人 7704 10765 8970 3049 频率 0.253 0.353 0.294 0.100 （2）由（1）知H省O型血的频率为0.294，所以相应概率大约是0.294. 【点睛】此题考查根据已知数据计算频率，并用频率估计概率. 7．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表： 父母血型的基因类型组合 子女血型的概率 O A B AB 【答案】见解析 【详解】解：当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为， 当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为， 当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为， 当父母血型的基因类型组合，得子女血型的基因类型有共4个，则型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为， 填入表中，如表所示： 父母血型的基因类型组合 子女血型的概率 O A B AB 所以一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则他们的子女的血型基因类型的可能结果如下：，，，共16个， 则他们的子女的血型是型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为，型血的概率为. 8．在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示： 元音字母 A E I O U 频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80% （1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率； （2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么. 【答案】（1）答案见解析；（2）不大接近，原因见解析. 【分析】 【详解】（1）选取英文书籍任意一页，一共637个字母， 其中元音字母出现频数和频率如下表， A出现38次，频率为：5.97% E出现96次，频率为：15.07% I出现47次，频率为：7.38% O出现52次，频率为：8.16% U出现12次，频率为：1.88% （2）可以发现统计出来的频率与上表中的频率不是很接近，因为统计数据较小，有很强的偶然性，上表中的统计数据40多万个单词，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小. 【点睛】此题考查频率与概率的关系，试验次数越多，频率越接近概率. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 随机事件、频率与概率 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1随机试验、样本空间与随机事件 知识点2事件之间的关系 知识点3事件的运算 知识点4频率与概率 题型破译 (含超链接） 题型1 随机事件与样本空间 题型2 随机事件之间的关系与运算 【方法技巧】事件运算识图法 题型3 频率估计概率 题型4 随机事件的概率 题型5 互斥事件与对立事件的判断 【方法技巧】互斥对立判别法 题型6 利用互斥事件与对立事件计算概率 【方法技巧】互斥对立的概率公式 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 随机事件与概率 —— 全国一卷T15（1）（5分） 全国甲卷（文）T4（5分） 全国甲卷（理）T16（5分） 全国甲卷（理）T17（2）（8分） 全国II卷T14（5分） 考情分析 本节属于概率基础知识，高考既可以设置选择、填空小题，也可作为解答题的基础片段进行考查。命题重点集中在随机事件关系辨析、频率与概率理解、互斥与对立事件的概率简单求解。整体在全国卷中以基础题为主，难度偏易，侧重概念理解，常结合简单现实情境命题，是概率统计大题的必备前置知识。 复习目标 1.了解随机事件发生的不确定性与频率的稳定性，理解概率的含义，能够区分频率与概率，明晰二者的联系与差异。 2.理解事件的包含、相等、互斥、对立等关系，掌握并事件、交事件的运算，能完成事件关系的简单辨析与转化。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 随机试验、样本空间与随机事件 1.随机试验 对随机现象的实现和观察称为随机试验（简称试验），一般用字母表示，满足三个特征：①可以在相同条件下_______进行；②所有可能结果_______可知，且结果不止一个；③每次试验恰好出现其中_______结果，但事前无法确定出现哪一个。 2.样本空间与样本点 （1）样本点：随机试验每一个可能的基本结果。 （2）样本空间：全体样本点构成的_______，常用表示；样本点常用表示。 若试验有个结果，则，称为有限样本空间。 3.随机事件、确定事件 （1）随机事件：样本空间的子集称为随机事件，简称事件；只含_______样本点的事件叫基本事件。当子集内某个样本点出现，称该事件发生。 （2）必然事件：本身，每次试验_______发生。 （3）不可能事件：空集，_______任何样本点，每次试验都不会发生。 （4）确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件。 自主检测 1．在下列事件中，随机事件是（   ） A．物体在只受重力作用下会自由下落 B．若是实数，则 C．若，则 D．函数（，且）是上的增函数 2．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 知识点2 事件之间的关系 设为同一试验下的两个事件 1.包含关系：若事件发生，则事件一定_______，称包含（或包含于），记作：（或）。 注：任何事件都包含_______。 2.相等关系：若且，则事件与事件相等，记作_______。 3.互斥事件：事件与不能_______发生，即_______，称与互斥。 推广：若中任意两个都互斥，则称这些事件彼此互斥。 4.对立事件：与在一次试验中有且仅有一个发生。满足_______，且_______；叫作的对立事件。 互斥与对立的关系： 对立事件_______是互斥事件，但互斥事件_______是对立事件； “对立”“互斥”；互斥是对立的_______条件，对立是互斥的_______条件。 自主检测 3．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 4．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白色球（标号为和），个黑色球（标号为、和），从袋中不放回地依次随机取出个球，每次摸出一个球，设事件，“至少摸到一次白球”，“两次都摸到白球”，“两次都摸到黑球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（    ） A．与互斥但不对立 B．与互斥 C．与对立 D． 知识点3 事件的运算 1.并事件（和事件） 事件发生_______事件发生，即至少一个发生，叫作与的并事件。记作：（也记）。 2.交事件（积事件） 事件与事件_______发生，叫作与的交事件。记作：（也记）。 自主检测 5．某抽奖活动设置了“一等奖”“二等奖”“谢谢参与”三种抽奖结果，已知甲、乙两人各抽奖一次，设事件为“甲中奖”，事件为“乙中奖”，则事件“至少有一人中奖”可表示为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点4 频率与概率 1.频数、频率 在次重复试验中，事件发生的_______叫作频数； 事件发生的频率：。 2.概率定义 大量重复同一试验时，事件发生的频率会在某个_______附近摆动，这个常数就是事件发生的概率，记作。 3.频率的稳定性 随着试验次数增大，频率偏离概率的幅度会缩小，事件发生的频率逐渐稳定于_______。 自主检测 7．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（    ） A．朝上的点数是2的概率和频率均为1 B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1 C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2 D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次 8．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为_____. 题●型●破●译 题型1 随机事件与样本空间 例1-1（2025·广东河源·模拟预测）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 例1-2（2026·山东聊城·模拟预测）（多选）对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为，则表示的试验结果为（    ） A．第次检测到正品 B．第次检测到次品 C．前次检测到正品 D．前次检测到正品 【变式1-1】（2025·河南驻马店·二模）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是（   ） A．3个数字相邻 B．3个数字全是偶数 C．3个数字的和小于5 D．3个数字两两互质 【变式1-2】（2025·吉林长春·一模）（多选）已知盒子中有8个质地均匀的小球，红色小球个，其余均为黑色小球．现从中任意抽取5个小球，若事件“至少取出一个黑色小球”为必然事件，事件“取出4个红色小球，1个黑色小球”为不可能事件，事件“取出2个红色小球，3个黑色小球”为随机事件，则可以为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（2025·河北衡水·二模）在如下图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____. 8 27 32 62 3 23 37 63 6 27 38 66 5 26 39 66 题型2 随机事件之间的关系与运算 例2-1（2026·山西太原·二模）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A表示随机事件“两枚炮弹都击中飞机”，事件B表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，事件D表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 例2-2（2025·辽宁大连·模拟预测）（多选）记，分别为事件，的对立事件，如果事件，互斥，那么（    ） A．是必然事件 B．是不可能事件 C．与互斥 D． 方法技巧 事件运算识图法 借助韦恩图辅助理解包含、相等、并、交、差事件。牢记符号含义：（发生或发生），（同时发生）。先翻译文字描述，转化为集合符号；化简事件表达式，区分“或”“且”对应的运算，避免并事件、交事件符号混用。 【变式2-1】（2025·湖南常德·一模）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10，事件B表示两次点数之和能被5整除，则事件用样本点表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名参加演讲比赛，设={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，则下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·安徽滁州·一模）如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M=“甲元件故障”，N=“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（    ） A． B． C． D． 题型3 频率估计概率 例3-1（2026·广东汕头·三模）、两人进行一局围棋比赛，获胜的概率为，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用，，，，，，，表示获胜；，表示获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每个随机数作为一组. 例如，产生组随机数： ，据此估计获胜的概率为（    ）． A． B． C． D． 例3-2（2025·河南商丘·二模）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_________（精确到0.1）． 【变式3-1】（2025·海南三亚·二模）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的6个红球，2个黄球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量的重复试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则袋中约有黑球_____个. 【变式3-2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）为了解某中学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，每个被调查者接受调查前会被告知自己的编号．调查人员向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷质地均匀的一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题．被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答．结果被调查的800人（编号从1至800）中有240人回答了“是”．由此可以估计这800人中闯过红灯的人数是（     ） A．40人 B．80人 C．160人 D．200人 【变式3-3】（2026·江西上饶·模拟预测）某学校乒乓球比赛，学生甲和学生乙比赛3局（采取三局两胜制），假设每局比赛甲获胜的概率是0.7，乙获胜的概率是0.3，利用计算机模拟试验，计算机产生之间的随机数，当出现随机数时，表示一局甲获胜，其概率是0.7.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，例如，产生20组随机数； 603 099 316 696 851 916 062 107 493 977 329 906 355 860 375 107 347 467 822 166 根据随机数估计甲获胜的概率为（    ） A．0.9 B．0.95 C．0.8 D．0.85 题型4 随机事件的概率 例4-1（2025·浙江湖州·一模）如图是某市某年10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数不大于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染．若某人随机选择10月1日至14日中某一天到达该市，则到达之日空气重度污染的概率是（     ） A． B． C． D． 例4-2（2025·吉林白山·二模）从1，2，3这3个数中随机抽取2个不同的数相加，得到的和记为，剩余的数记为，则（    ） A．1 B． C． D．0 【变式4-1】（2025·广西钦州·模拟预测）从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 【变式4-2】（2026·湖南衡阳·三模）用这三个数字组成无重复数字的三位数，记事件“能被整除”，事件“为奇数”，则事件与事件至少有一个发生的概率为_________． 【变式4-3】（2026·湖南永州·一模）某款品牌牛奶生产企业开展有奖促销活动：将6盒这种牛奶装一箱，每箱中都放置2盒能够中奖的牛奶，若从一箱中随机抽出2盒，能中奖的概率为（     ） A． B． C． D． 题型5 互斥事件与对立事件的判断 例5-1（2025·河南郑州·二模）掷一枚质地均匀的骰子，下列判断错误的是（    ） A．事件“出现的点数为7”是不可能事件 B．事件“出现的点数大于3”是随机事件 C．事件“出现的点数为奇数”与“出现的点数为5”是互斥事件 D．事件“出现的点数为奇数”与“出现的点数为偶数”是对立事件 例5-2（2026·山东东营·二模）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 方法技巧 互斥对立判别法 第一步判断是否互斥：，两事件不能同时发生；第二步判断对立：不仅互斥，且。对立一定互斥，互斥不一定对立。 做题先找交集是否为空集，再检验是否构成全部样本空间，避开“互斥就是对立”的误区。 【变式5-1】（2025·云南玉溪·二模）（多选）某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（   ） A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 【变式5-2】（2025·山东济南·三模）已知袋子中装有大小、质地完全相同的4个球，其中2个红球2个白球，从中一次摸出3个球.记“摸出的球中恰有1个红球”，“摸出的球中恰有2个红球”，“摸出的球中至少有1个白球”，“摸出的球中都是白球”，则下列各组事件中，互斥但不对立的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-3】（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）从甲、乙、丙、丁四名学生中随机选出两人参加数学竞赛，则下列选项中的两个事件的关系是互斥但不对立的是（   ） A．“甲被选中”和“乙被选中” B．“甲、乙两人都未被选中”和“乙、丁两人都被选中” C．“甲、乙两人中至少有一人被选中”和“丙、丁两人都被选中” D．“甲、乙两人都被选中”和“甲、丙两人都被选中” 题型6 利用互斥事件与对立事件计算概率 例6-1（2025·湖南邵阳·一模）已知为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若互斥，则 例6-2（2025·山东济宁·三模）设，是一个随机试验中的两个互斥事件，若，，则（   ） A．0.05 B．0.144 C．0.75 D．0.25 方法技巧 互斥对立概率公式 互斥事件加法公式：若，；对立事件：。正面情况多、计算繁琐时优先用对立事件转化；使用加法公式前先验证互斥，没有互斥关系不能直接相加，防止公式滥用。 【变式6-1】（2025·江苏连云港·二模）已知A、B为互斥事件，且，则______． 【变式6-2】（2025·河南三门峡·三模）设随机事件，满足，，，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式6-3】（2025·四川宜宾·模拟预测）某城市一年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 不大于 概率 其中当污染指数时，空气质量为优；当时，空气质量为良；当时，空气质量为轻微污染.该城市一年空气质量达到优或良的概率为（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2018·全国III卷·高考真题）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 2．（2026·上海·高考真题）事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（     ）． A． B． C． D． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（    ）. A．至多有1次中靶 B．2次都中靶 C．2次都不中靶 D．只有1次中靶 2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，下列结论中正确的是（    ） A．与互为对立事件 B．与互斥 C． D．与相等 3．已知. （1）如果，那么___________，___________； （2）如果A，B互斥，那么___________，___________. 4．如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字. (1)用表格表示试验的所有可能结果； (2)列举下列事件包含的样本点：A=“两个数字相同”，B=“两个数字之和等于5”，C=“蓝色骰子的数字为2”. 5．如图，由A，B两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况. (1)写出试验的样本空间； (2)对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点； (3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点. 6．据统计ABO血型具有民族和地区差异.在我国H省调查了30488人，四种血型的人数如下： 血型 A B O AB 人数/人 7704 10765 8970 3049 频率 （1）计算H省各种血型的频率并填表（精确到0.001）； （2）如果从H省任意调查一个人的血型，那么他是O型血的概率大约是多少？ 7．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa，B型的基因类型为bi或bb，AB型的基因类型为ab．其中a和b是显性基因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O，A，B或AB型的概率，并填写下表： 父母血型的基因类型组合 子女血型的概率 O A B AB 8．在英语中不同字母出现的频率彼此不同且相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定，有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示： 元音字母 A E I O U 频率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80% （1）从一本英文（小说类）书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率； （2）将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $